大一下学期高数参考试题1

高等数学（下）试卷答案（A ）一、填空(每小题3分,共15分) 1. 设()y x z +=ln ，则=∂∂+∂∂y z y x z x 21 . 2. 已知()⎰⎰⎰⎰=++≤++RR z y x dr r dv z y xf 0222)(2222ϕ，则=)(r ϕ)(422r f rπ .3. 已知⎰+Lxdy a xdx y sin cos 在整个xOy 面内与路径无关,则=a 1 .4. 设()x f 是以π2为周期的函数,它在区间],(ππ-上的表达式为()⎩⎨⎧≤<≤<-=ππx x x f 0,10,0 ,则()x f 的傅里叶系数中=3b π32. 5. 微分方程()0233='-''y y x 的阶数是 2 . 二、选择(每小题3分,共15分)1．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(,0)0,0(,),(22)( )( x,y x,y y x xyy x f 在点（0,0）处(C ).(A) 连续，偏导存在； (B) 连续，偏导不存在； (C) 不连续，偏导存在； (D) 不连续，偏导不存在. 2. 函数()222ln z y x u ++=在点M(1,2,-2)处正确的是（ B ）.()().;9292以上三项都不对 (D) div (C) ;2d 2d d d (B) ;92grad -=-+==M Mu z y x u u A 3. 设1D 是以原点为中心1为边长的正方形,2D 是1D 的内切圆,3D 是1D 的外接圆,记.;;322212321⎰⎰⎰⎰⎰⎰---===D x D x D x dxdy e I dxdy e I dxdy e I 则321,,I I I 的大小顺序为(B ).()321I I I ≤≤A ()312I I I ≤≤B()123I I I ≤≤C ()213I I I ≤≤D4. 级数∑∞=1n nu在满足条件( B )时,一定是收敛.()0lim =∞→n n u A ; ()∑∞=1n n u B 收敛; ()∑∞=1n n u C 1收敛; ()∑+∞=1n u D 2n 收敛. 5. 方程x y y cos =+''的一个特解的形式为=*y ( D ).();cos x Ax A ();sin cos x B x Ax B +();sin cos x Bx x A C + ().sin cos x Bx x Ax D +三、计算下列各题(每小题6分,共12分)1． 设ϕϕ,),()(1f y x y xy f xz ++=具有二阶连续导数，求y x z ∂∂∂2.解)()()(12y x y xy f x y xy f xx z +'+'+-=∂∂ϕ 2分 )()()()(1)(12y x y y x xy f y xy f x xy f x y x z +''++'+''+'+'-=∂∂∂ϕϕ 5分 )()()(y x y x y xy f y +'++''+''=ϕϕ 6分2. 在曲面xy z =上求一点，使这点的法线垂直于平面093=+++z y x ，并写出这条法线 的方程.解 设所求点为),,(000z y x ，则过曲面xy z =上点),,(000z y x 的法线的方向向量为{}1,,00-x y .由已知113100-==x y ，得3,1,3000=-=-=z y x . 3分 过曲面上点),,(000z y x 的法线方程为133113-=+=+z y x 6分 四、(6分)求由旋转抛物面226y x z --=，平面x y x z y ====及1,0,0所围成的立体对z轴的转动惯量（设体密度ρ=1）.解 设Ω是由旋转抛物面226y x z --=，平面x y x z y ====及1,0,0所围成的区域.()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz y xI z 22()⎰⎰⎰--+=2260221y x xdz y xdy dx3分()()457615288615322221=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=⎰⎰⎰ 0 0dx x x dy y x y xdxx 6分 五、计算下列积分(每小题6分,共24分) 1. ⎰⎰11xy dy e x dx 22.解 ⎰⎰⎰⎰=yy xy dx e x dy dy e x dx 1 011 022223分⎰⎰==110 223226131dy e y dy e y y y 4分2y t ====[]616161=-=⎰1 01t tt e te dt te 6分 2.()()之间的一段弧与点上介于点是抛物线其中2,10,04 L ,2LB O x y yds =⎰. 解 ⎰⎰+=1114 0dx xx yds L3分()12234)1(3412231-=+=+=⎰1x dx x 6分 3. ⎰++-L 22yx xdyydx 其中L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L 的方向为逆时针方向. 解 令2222,y x x Q y x y P +=+-=.则当022≠+y x 时，有xQy x x y y P ∂∂=+-=∂∂2222 1分 记L 所围成的区域为D .当D ∉)0,0(时，022=++-⎰L y x xdyydx 2分当D ∈)0,0(时，记,:2221r y x L =+其中1L 包含在L 内，并取其顺时针方向.⎰⎰⎰++--++-=++-+11L L L L 222222y x xdyydx y x xdyydx y x xdyydx 4分πθθθπ2sin cos 0022222=+-=⎰ 2d r r r 6分4.(),3222⎰⎰∑++++z y x zdxdy ydzdx xdydz 其中∑是球面2222a z y x =++的外侧. 解()⎰⎰⎰⎰∑∑++=++++33222azdxdyydzdx xdydz zy xzdxdyydzdx xdydz 3分 π4313==⎰⎰⎰Ωdxdydz a 6分六、(7分) 讨论级数∑∞=11n nna是绝对收敛、条件收敛还是发散?解 当1>a 时，由于111)1(1lim1<=+++∞→a na n a n n n ，所以级数∑∞=11n n na 绝对收敛. 3分 当1=a 时，级数∑∞=11n n发散. 4分 当1-=a 时，级数∑∞=-1)1(n nn条件收敛. 5分当10<<a 时，由于111)1(1lim1>=+++∞→a na n a n n n ，所以01lim ≠+∞→n a n n 级数∑∞=11n n n a 发散. 7分七、(7分) 将函数()x +2ln 展开成x 的幂级数,并求其收敛区间. 解 ()[]nn n x x x x ∑+∞=⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅=+='+02)1(2121121212ln 3分∑∑⎰+∞=+++∞=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+0110)1(2)1(2)1(212ln )2ln(n n n n nn xn x n dx x x 0 5分 ∑+∞=+++-+=+011)1(2)1(2ln )2ln(n n n nx n x 6分收敛区间为：]2,2(-. 7分 八、(6分)求微分方程()dy y x xydx 222+=的通解.解 212⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=x y x y dx dy ,令x y u =，则原方程化为231u u u dx du x +-= 3分 ()xdx u u du u =-+321，⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+xdxdu u u u 2121 5分 C x u u ln ln 1ln ln 2+=--，通解为：Cx y x xy =-22 6分九、(8分)求微分方程x xe y y 4=-''的通解.解 特征方程及特征根分别是：1,1,01212=-==-r r r 2分对应齐次方程的通解是：x x e C e C Y 21+=- 4分 设方程的特解为：x e b ax x y )(*+= 6分 将)(*b ax x y +=代入原方程得：1,1-==b a 7分 所以原方程的通解为：x x x e x x e C e C y )1(21-++=- 8分。