2017届高考数学一轮复习 必考部分 第十篇 概率 第3节 几何概型应用能力提升 文

Байду номын сангаас
外,即P点在如图所示的阴影部分内,则概率为P=
=1-
.
答案:1-
9.(2015市中区校级四模)若在区域
内任取一点P,则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为 . 解析:满足约束条件
的区域为△AOB内部(含边界), 与单位圆x2+y2=1的公共部分如图中阴影部分所示,
则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为 P=
=
. (2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,
则全部基本事件的结果为Ω={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6}; 满足a·b<0的基本事件的结果为 A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6 且-2x+y<0};
画出草图如图, 正方形的面积为S正方形=25, 阴影部分的面积为S阴影=25-
×2×4=21, 故满足a·b<0的概率为
×4×2=4, 因为正方形OABC的面积为S=4×4=16, 所以函数f(x)=x2+ax+b2有零点的概率为 P=
=
=
. 答案:
S△ABC. 将一粒黄豆随机撒在△ABC内,黄豆落在△PBC内的概率为P=
=
. 答案:
14.已知关于x的二次函数f(x)=b2x2-(a+1)x+1. (1)若a,b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求y=f(x)恰 有一个零点的概率; (2)若a,b∈[1,6],求满足y=f(x)有零点的概率. 解:(1)设(a,b)表示一个基本事件,则抛掷两次骰子的所有基本事件有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…, (6,5),(6,6),共36个. 用A表示事件“y=f(x)恰有一个零点”, 即Δ=(a+1)2-4b2=0,则a+1=2b. 则A包含的基本事件有(1,1),(3,2),(5,3),共3个. 所以P(A)=
=
.
(2)由题意
≤
,即-1≤x+y≤1,形成的区域如图中阴影部分所示, 面积S2=4, 所求概率为P2=
=
. 11.已知向量a=(2,1),b=(x,y),若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量a,b的夹 角是钝角的概率. 解: 设“a,b的夹角是钝角”为事件B,
由a,b的夹角是钝角,可得a·b<0, 即2x+y<0,且x≠2y. 基本事件空间为 Ω={(x,y)|
(B)
(C)
(D)
解析: 根据题意可得集合A={(x,y)|x2+y2≤4}所表示的平面区域即为如 图所表示的圆及内部的平面区域,面积为4π,集合B={(x,y)|x+y2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域即为图中的Rt△AOB,S△AOB=
×2×2=2, 根据几何概率的计算公式可得 P=
=
.故选A.
=
=
. 答案:
10.已知集合A=[-2,2],B=[-1,1],设M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合M内随 机取出一个元素(x,y). (1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率; (2)求以(x,y)为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于
的概率. 解:(1)集合M内的点形成的区域面积S=8. 因x2+y2=1的面积S1=π, 故所求概率为P1=
. 15.已知向量a=(-2,1),b=(x,y). (1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为
1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a·b=-1的概率; (2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,求满足a·b<0的概率. 解:(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件 总数为6×6=36(个); 由a·b=-1有-2x+y=-1, 所以满足a·b=-1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个; 故满足a·b=-1的概率为
=1,∠BAD=30°. 记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M, 则BM<1”,可得∠BAM<∠BAD时事件N发生. 由几何概型的概率公式得P(N)=
=
,故选B. 7. 如图所示,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M,则使四棱锥M ABCD的体积小于
的概率为 .
(B)
(C)
(D)
解析:因为N={x|x2-3x+2≤0}=[1,2], 所以M∩N=[1,2], 所以所求的概率P=
=
. 2.(2015宜宾模拟)在满足不等式组
的平面点集中随机取一点M(x0,y0),设事件A为“y0<2x0”,那么事件A发 生的概率是( B ) (A)
(B)
(C)
(D)
解析:作出不等式组
第3节 几何概型
【选题明细表】 知识点、方法 与长度(角度)有关的几何概型 与面积(体积)有关的几何概型 随机模拟 题号 1,4,6 3,5,7,8,10,12 13
综合应用 2,9,11,14,15 基础对点练(时间:30分钟) 1.(2016福建三明质量检测)已知集合M={x|-2≤x≤8},N={x|x23x+2≤0},在集合M中任取一个元素x,则“x∈M∩N”的概率是( A ) (A)
,若在扇形AOB内任取一点,则该点在圆C内的概率为( C )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:设圆C的半径为r, 试验发生包含的事件对应的是扇形AOB, 满足条件的事件是☉C,其面积为π·r2, 如图,连接OC,延长交扇形于P.
由于易知CE=r,∠BOP=
,
OC=2r,OP=3r, 则S扇形AOB=
”表示的区域如图(1)中阴影部分S1,事件“|x-y|≤
”表示的区域如图(2)中阴影部分S2,事件“xy≤
”表示的区域如图(3)中阴影部分S3.由图知,阴影部分的面积S2<S3<S1, 正方形的面积为1×1=1.根据几何概型的概率计算公式,可得p2<p3<p1.
13.(2016武汉校级模拟)已知P是△ABC所在平面内一点,
)≥
, 所以sin(x+
)≥
, 因为x∈[0,π], 所以x+
∈[
,
], 所以在区间[
,
]内,满足sin(x+
)≥
的x+
∈[
,
].得x∈[
,
], 所以事件sin x+cos x≥
发生的概率为P=
=
. 2.(2015江西二模)在区间[0,4]内随机取两个数a,b,则使得函数 f(x)=x2+ax+b2有零点的概率为 . 解题关键:本题涉及两个随机数a,b,故是与面积有关的问题,在坐标系内 作出事件所表示的区域,利用面积型问题求解. 解析: 因为两个数a,b在区间[0,4]内随机地取,
解析:要使四棱锥M ABCD的体积小于
,则其高应小于
,所以P点应落在正方体ABCD A1B1C1D1中与底面ABCD平行且距离为
的截面与平面ABCD之间. 所以P=
. 答案:
8.向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆,记绿豆落在P点, 则P点到A点的距离大于1米,同时∠DPC∈(0,
)的概率为 . 解析: 由题意知P点在以DC为直径的圆外,且在以A为圆心,1为半径的圆
}, B=
, 则由图可知,P(B)=
=
, 即向量a,b的夹角是钝角的概率是
. 能力提升练(时间:15分钟) 12.(2015高考湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事 件“x+y≥
”的概率,p2为事件“|x-y|≤
”的概率,p3为事件“xy≤
”的概率,则( B ) (A)p1<p2<p3 (B)p2<p3<p1 (C)p3<p1<p2 (D)p3<p2<p1 解析:x,y∈[0,1],事件“x+y≥
. 精彩5分钟 1.(2015漳州模拟)在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sin x+cos x≥
”发生的概率为( B ) (A)
(B)
(C)
(D)
解题关键:先求出满足“sin x+cos x≥
”的x的范围,转化为与长度有关的问题解决. 解析:因为sin x+cos x≥
, 即 sin(x+
表示的平面区域即△ABC,其面积为4,且事件A表示的区域即△AOC,其面 积为3,所以事件A发生的概率是
.
3.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表 示的平面区域分别为Ω1,Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在 区域Ω2内的概率为( A ) (A)
=
, 所以☉C的面积与扇形AOB的面积比是
. 所以概率P=
. 6. 如图所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD= ,在∠BAC内作射线AM交BC于点M,则BM<1的概率为( B )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:因为∠B=60°,∠C=45°, 所以∠BAC=75°. 在Rt△ADB中,AD= ,∠B=60°, 所以BD=
所以以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系, 可得对应的点(a,b)在如图的正方形OABC及其内部任意取, 其中A(0,4),B(4,4),C(4,0),O为坐标原点, 若函数f(x)=x2+ax+b2有零点, 则Δ=a2-4b2≥0,解之得a≥2b, 满足条件的点(a,b)在直线a-2b=0上及其下方, 且在正方形OABC内部, 其面积为S1=