(完整word版)2019届高考数学专题二十几何概型总结练习题及答案

专题二十 几何概型

1.长度类几何概型 例1：已知函数()2

2f x x x =--，[]5,5x ∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概

率是（ ） A ．1

10 B ．2

3

C ．3

10

D ．4

5

【答案】C

【解析】先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x --≤⇒-≤≤，

从而在数轴上[]1,2-区间长度占[]5,5-区间长度的比例即为事件发生的概率，∴

3

10P =

，故选C ．

2．面积类几何概型 （1）图形类几何概型

例2-1：如图所示，在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，图中阴影部分是以AB 为直径的半圆，现在向矩形ABCD 内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ）

A ．1000

B ．2000

C ．3000

D ．4000

【答案】C

【解析】在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，面积为22a ，半圆的面积为21

2a π， 故由几何概型可知，半圆所占比例为4π

，随机撒4000粒豆子，

落在阴影部分内的豆子数目大约为3000，故选C ． （2）线性规划类几何概型

例2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ） A ．1

4 B

．1

3

C ．3

4

D ．7

16

【答案】D

【解析】设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，

则所有基本事件构成的区域

满足024

024x y ≤≤≤≤⎧⎨⎩

，

这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A 满足

0240246x y x y ⎧≤≤⎪

≤≤⎨⎪-≤⎩

，作出对应的平面区域如图所示：

这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为()18187

1242416

S P A S Ω

⨯==-

=⨯阴，故选D ．

（3）利用积分求面积

例2-3：如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ）

A ．24

π B ．34

π

C ．22

π

D ．32

π

【答案】B

【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为3π， 正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M ，

根据图形的对称性得：面积为0

02sin dx 2cos 4S x x π

π

==-=⎰，

由几何概率的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，

则点A 落在区域M 内的概率3

4P =π，故选B ．

3．体积类几何概型

例3：一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体

ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为（ ）

A ．3

4 B ．2

3

C ．1

3

D ．1

2

【答案】D

【解析】所求概率为棱锥F AMCD -的体积与棱柱ADF BCE -体积的比值． 由三视图可得AD DF CD a ===，且AD ，DF ，CD 两两垂直， 可得311

22

ADF BCE ADF V S

DC AD DF DC a -=⋅=

⋅⋅=， 棱锥体积1

3F AMCD ADMC V DF S -=⋅，而()213

24

ADCM

S AD AM CD a =

⋅+=， ∴2

14F AMCD V a -=．从而12F AMCD ADF BCE

V P V --==．故选D ．

一、单选题

1．如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为2

3．则阴影区域的面积约为（ ）

A ．2

3 B ．4

3

C ．8

3

D ．无法计算

【答案】C

【解析】设阴影区域的面积为s ，

243s =，∴8

3

s =．故选C ．

2．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（ ）

A ．1

10

B ．16

C ．15

D ．56

【答案】B

【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10

分钟，

∴概率101

606P ==．故选B ．

3．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ） A ．31-

π B ．3

4

C ．

3π D ． 1

4

【答案】A

【解析】满足条件的正三角形如图所示：

其中正三角形ABC 的面积3

1643S =

=三角形满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离都小于2的平面区域如图中阴影部分所示，

则2S =π阴，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离都大于2的概率为：

3

1143

P ==．故选A ．

4．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件2""3

x y +≤的概率，则P =（ ）

A ．2

3 B ．1

2

C ．4

9

D ．2

9

【答案】D

【解析】如图所示，01x ≤≤，01y ≤≤表示的平面区域为ABCD ，

平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中203P ⎛⎫

⎪⎝⎭,，203Q ⎛⎫

⎪⎝⎭

,，