高考数学复习 第十章 第四节 古典概型与几何概型 理
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第四节 古典概型与几何概型
考点梳理
考纲速览
命题解密
热点预测
(1)古典概型
预测高考可能会以实际
①理解古典概型及其概 主 要 考 查 或数学其他领域的材料为背
率计算公式.
概 率 的 概 念 、 景，对古典概型和几何概型
②会计算一些随机事件 古 典 概 型 、 几 的计算实施考查.考查比较基
1.古典概型. 所含的基本事件数及事 何概型.多以实 础，但对逻辑推理能力要求
【名师助学】 1.利用古典概型的公式求解事件的概率问题，应明确是否满足古 典概型的两个特点：一是基本事件的有限性，二是基本事件的等 可能性. 2.善于用转化思想把求一个复杂事件的概率问题转化为求几个简 单事件的概率和问题. 3.解决几何概型的求概率问题，关键是要构造出随机事件对应的 几何图形.利用图形的几何度量来求随机事件的概率.
率.
方法
生灵活运用知识解决问题的
②了解几何概型的意义.
能力.
知识点一 古典概型
1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是_互__斥__的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_基__本__事__件__的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有_有__限__个. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性_相__等__.
2. 随 机 数 与 件发生的概率.
际 问 题 、 数 学 较高，一般以中等难度题目
几何概型. (2)随机数与几何概型 学 科 内 材 料 为 为主.从命题趋势来看，试题
①了解随机数的意义， 背 景 ， 考 查 两 更加注重理解、分析、逻辑
能运用模拟方法估计概 种 概 率 的 计 算 推理及创新性，更加注重学
【例2】 设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三 个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2)若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个 数，求上述方程有实根的概率.
3.几何概型的概率计算公式 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域（长面度积（或面体积积或）体积）.
4.几何概型与古典概型的区别与联系 (1)共同点：基本事件都是等可能的. (2)不同点：几何概型基本事件的个数是无限的，古典概型基本 事件的个数是有限的.基本事件可以抽象为点，对于几何概型， 这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，根据 等可能性，这些点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而 与该区域的位置和形状无关.
解 (1)①设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i＝0，1，2， 3)，则 P(A3)＝CC2523·CC1223＝51. ②设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 B＝A2∪A3， P(A2)＝CC2523·CC2223＋CC13C52 12·CC1223＝12，且 A2，A3 互斥， 所以 P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝21＋51＝170.
2.几何概型的特点 (1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_无__限__多个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等. 因此，用几何概型求解的概率问题和古曲概型的思路是相同的， 同属于“比例解法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含 的基本事件所占的图形面积(或体积、长度)”与“试验的基本事 件所占总面积(或总体积、总长度)”之比来表示.
Leabharlann Baidu
[点评] 求解概率问题的关键是弄清题中所研究的对象，准 确求解出试验与所求事件分别包含的基本事件的个数，这是 准确求解古典概型的基础.
方法2 几何概型的概率 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动 范围，当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度 比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算.事实上，当半径 一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以 角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.
(2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2. P(X＝0)＝1－1702＝1090， P(X＝1)＝C12170×1－170＝2510， P(X＝2)＝1702＝14090. 所以 X 的分布列是
X
0
1
2
P
9
21
100 50
49 100
数学期望 E(X)＝0×1900＋1×2510＋2×14090＝75.
方法1 古典概型概率 (1)一定要针对具体问题认真分析事件特点，准确判断事件类型， 古典概型中事件特点是结果有限且等可能性. (2)计算古典概型中事件A的概率的关键是求出基本事件总数n和 事件A中所含基本事件数m. (3)计算基本事件总数常用的方法有枚举法、树形图法、列表法、 坐标网格法、用计数原理与排列组合计算法，备考中应认真体会 和熟练掌握.
3.古典概型的概率公式 A包含的基本事件的个数
P(A)＝_____基__本__事__件__的__总__数______.
知识点二 几何概型 1.几何概型的概念 (1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量 (_长__度__、_面__积__或_体__积__)成比例，则称这样的概率模型为几何 概率模型，简称_几__何__概__型__. (2)几何概型中的几何度量可以是空间中或直线上的有限区域， 相应的概率是体积之比、面积之比或长度之比.
【例1】 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白 球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外 完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的 白球不少于2个，则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率； (2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X). [解题指导](1)关键点：阅读题意，判定概率类型. (2)信息分析：①要获奖则摸出的白球为2个或3个两种情况；②在 两次游戏中获奖次数X可为0，1，2，为独立重复试验，求出其各 自概率，得X的分布列，从而求得其数学期望E(X).
考点梳理
考纲速览
命题解密
热点预测
(1)古典概型
预测高考可能会以实际
①理解古典概型及其概 主 要 考 查 或数学其他领域的材料为背
率计算公式.
概 率 的 概 念 、 景，对古典概型和几何概型
②会计算一些随机事件 古 典 概 型 、 几 的计算实施考查.考查比较基
1.古典概型. 所含的基本事件数及事 何概型.多以实 础，但对逻辑推理能力要求
【名师助学】 1.利用古典概型的公式求解事件的概率问题，应明确是否满足古 典概型的两个特点：一是基本事件的有限性，二是基本事件的等 可能性. 2.善于用转化思想把求一个复杂事件的概率问题转化为求几个简 单事件的概率和问题. 3.解决几何概型的求概率问题，关键是要构造出随机事件对应的 几何图形.利用图形的几何度量来求随机事件的概率.
率.
方法
生灵活运用知识解决问题的
②了解几何概型的意义.
能力.
知识点一 古典概型
1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是_互__斥__的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_基__本__事__件__的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有_有__限__个. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性_相__等__.
2. 随 机 数 与 件发生的概率.
际 问 题 、 数 学 较高，一般以中等难度题目
几何概型. (2)随机数与几何概型 学 科 内 材 料 为 为主.从命题趋势来看，试题
①了解随机数的意义， 背 景 ， 考 查 两 更加注重理解、分析、逻辑
能运用模拟方法估计概 种 概 率 的 计 算 推理及创新性，更加注重学
【例2】 设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三 个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2)若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个 数，求上述方程有实根的概率.
3.几何概型的概率计算公式 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域（长面度积（或面体积积或）体积）.
4.几何概型与古典概型的区别与联系 (1)共同点：基本事件都是等可能的. (2)不同点：几何概型基本事件的个数是无限的，古典概型基本 事件的个数是有限的.基本事件可以抽象为点，对于几何概型， 这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，根据 等可能性，这些点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而 与该区域的位置和形状无关.
解 (1)①设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i＝0，1，2， 3)，则 P(A3)＝CC2523·CC1223＝51. ②设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 B＝A2∪A3， P(A2)＝CC2523·CC2223＋CC13C52 12·CC1223＝12，且 A2，A3 互斥， 所以 P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝21＋51＝170.
2.几何概型的特点 (1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_无__限__多个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等. 因此，用几何概型求解的概率问题和古曲概型的思路是相同的， 同属于“比例解法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含 的基本事件所占的图形面积(或体积、长度)”与“试验的基本事 件所占总面积(或总体积、总长度)”之比来表示.
Leabharlann Baidu
[点评] 求解概率问题的关键是弄清题中所研究的对象，准 确求解出试验与所求事件分别包含的基本事件的个数，这是 准确求解古典概型的基础.
方法2 几何概型的概率 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动 范围，当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度 比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算.事实上，当半径 一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以 角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.
(2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2. P(X＝0)＝1－1702＝1090， P(X＝1)＝C12170×1－170＝2510， P(X＝2)＝1702＝14090. 所以 X 的分布列是
X
0
1
2
P
9
21
100 50
49 100
数学期望 E(X)＝0×1900＋1×2510＋2×14090＝75.
方法1 古典概型概率 (1)一定要针对具体问题认真分析事件特点，准确判断事件类型， 古典概型中事件特点是结果有限且等可能性. (2)计算古典概型中事件A的概率的关键是求出基本事件总数n和 事件A中所含基本事件数m. (3)计算基本事件总数常用的方法有枚举法、树形图法、列表法、 坐标网格法、用计数原理与排列组合计算法，备考中应认真体会 和熟练掌握.
3.古典概型的概率公式 A包含的基本事件的个数
P(A)＝_____基__本__事__件__的__总__数______.
知识点二 几何概型 1.几何概型的概念 (1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量 (_长__度__、_面__积__或_体__积__)成比例，则称这样的概率模型为几何 概率模型，简称_几__何__概__型__. (2)几何概型中的几何度量可以是空间中或直线上的有限区域， 相应的概率是体积之比、面积之比或长度之比.
【例1】 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白 球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外 完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的 白球不少于2个，则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率； (2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X). [解题指导](1)关键点：阅读题意，判定概率类型. (2)信息分析：①要获奖则摸出的白球为2个或3个两种情况；②在 两次游戏中获奖次数X可为0，1，2，为独立重复试验，求出其各 自概率，得X的分布列，从而求得其数学期望E(X).