高考数学复习 第十章 第四节 古典概型与几何概型 理
1.3古典概型与几何概型
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 N 种, n
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法
D N D 种, k n k D N D N . 于是所求的概率为 p k n k n
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
19
2005
. (1) 设事件 A1 为“恰有一 练习1 将一枚硬币抛掷三次 次出现正面” , 求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 为 “至少有一 次出现正面” , 求 P ( A2 ).
解 (1) 设 H 为出现正面, T 为出现反面.
则 S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.
S {HH, HT, TT}
他计算得
P( A) 1 3
3
这不是 等可能概型！
2005
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
袋中有 a 只白球， b只红球. 从袋中任取 n 只球， 求取到 k ( min(n, a) ) 只白球的概率. 从 a b 只球中任取 n 只，样本点总数为
nk k C C 取到 k 只白球的有利场合数为 a b
概率非常小的事件，称为小概率事件
小概率事件在大量重复试验中几乎是必然 发生的.
下面的例题是利用统计推断原理对某种假设作
出判断（接受或拒绝），这在数理统计的假设检验 中是非常有用的。
例：某接待站在某一周内接待了12次来访者,已知
所有这些来访都是在星期二与星期四进行的,问能否由此 推断该接待站的接待时间是有规定的? 〖解〗若接待时间没有规定,且来 抽象:模型化 人=“球”
高考数学(理)总复习课件： 古典概型与几何概型
( C)
5 A. 18
Hale Waihona Puke 4 B. 9解析：A，B，C，D 4名同学排成一排有A 4 4 ＝24种排法.当A，C 之间是B时，有2×2＝4种排法，当A，C之间是D时，有2种排 4＋2 1 法，所以所求概率P＝ ＝ . 24 4
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(2)(2019· 武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数 依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是 7 A. 36 1 B. 2 19 C. 36 5 D. 18 ( C )
[解析]投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为 1≤a≤6，a∈N *， 所以a和b的组合有36种. * 1 ≤ b ≤ 6 ， b ∈ N ， 若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，所以b2≥4a. 当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可 取1,2；当b＝4时，a可取1,2,3,4；当b＝5时，a可取1,2,3,4,5,6； 当b＝6时，a可取1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有19种，则方程ax2 19 ＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝ . 36
返回
①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只 有有限个不同的基本事件； ②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.
(2)古典概型的概率计算的基本步骤： ①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A； ②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件 个数m； m ③利用古典概型的概率公式P(A)＝ n ，求出事件A的概率.
2021高考数学复习专题 古典概型与几何概型 (文 精讲)
专题11.2 古典概型与几何概型【考情分析】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义. 【重点知识梳理】 知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点二 古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn.知识点三 古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.知识点四 几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.知识点五 几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 知识点六 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.【典型题分析】高频考点一 古典概型的概率计算【例1】【2020·浙江卷】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______． 【变式探究】(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅰ)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键【变式探究】(1)(2019·全国卷ⅰ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15(2)(2019·全国卷ⅰ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B.14 C.13D.12【变式探究】(2019·江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．【举一反三】(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160. 现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．ⅰ试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；ⅰ设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 高频考点二 综合考查古典概型与其他知识【例2】（2020·河南省焦作模拟）从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a ，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(2,1)共线的概率为( )A.16B.13C.14D.12【变式探究】（2020·黑龙江省大庆模拟）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为 ．【举一反三】（2020·江苏省宿迁模拟）已知a ＝log 0.55，b ＝log 32，c ＝20.3，d ＝⎝⎛⎭⎫122，从这四个数中任取一个数m ，使函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋x ＋2有极值点的概率为( )A.14B.12C.34D ．1高频考点三 与长度、角度有关的几何概型【例3】（2020·浙江省舟山模拟）在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )A.16 B.13 C.23D.45【方法技巧】长度、角度等测度的区分方法(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解．解题的关键是构建事件的区域(长度)．(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．【变式探究】（2020·安徽省芜湖模拟）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在ⅰDAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为 ．高频考点四 与体积有关的几何概型【例4】（2020·江西省南昌模拟）在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π 【方法技巧】与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积，求解的关键是计算事件的总体积以及事件A 的体积．【变式探究】（2020·广东省江门模拟）在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ．高频考点五 与面积有关的几何概型【例5】（2020·山东省淄博模拟）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.14B.18C.38D.316【变式探究】（2020·山东省滨州模拟）已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，2x ＋y －4≤0，x ≥0表示的平面区域为M ，在区域M 内随机取一点N (x 0，y 0)，则3x 0－y 0－2≤0的概率为( )A.56B.34C.35D.13【举一反三】（2020·陕西省宝鸡模拟）在区间(0,2)内随机取一个实数a ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥0，x －a ≤0的点(x ，y )构成区域的面积大于1的概率是( )A.18B.14C.12D.34专题11.2 古典概型与几何概型【考情分析】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义. 【重点知识梳理】 知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点二 古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n.知识点三 古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.知识点四 几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.知识点五 几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 知识点六 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.【典型题分析】高频考点一 古典概型的概率计算【例1】【2020·浙江卷】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______． 【答案】13，1 【解析】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=，随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.【变式探究】(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅰ)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率． 【解析】(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6ⅰ9ⅰ10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人． (2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．(ⅰ)由表格知，符合题意的所有可能结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种．所以，事件M 发生的概率P (M )＝1115.【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键【变式探究】(1)(2019·全国卷ⅰ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15(2)(2019·全国卷ⅰ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B.14 C.13 D.12【答案】(1)B (2)D【解析】(1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.(2)设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.故选D 。
高三数学总复习 古典概型与几何概型 知识讲解 新人教A版
高考总复习：古典概型与几何概型【考纲要求】1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。
【知识网络】【考点梳理】知识点一、古典概型1. 定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。
2. 古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。
（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。
3.古典概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是1n。
如果某个事件A 包含m 个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和，即nm A P )(。
所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为：试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A A P =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ；（3）应用公式()m P A n=求值。
5．古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。
利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。
知识点二、几何概型1. 定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。
满足以上条件的试验称为几何概型。
2.几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。
3.几何概型的概率计算公式：随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。
古典概型和几何概型计数原理
古典概型和几何概型计数原理引言在组合数学中，有两个重要的计数原理，即古典概型和几何概型计数原理。
这两个原理可以帮助我们计算一系列事件的可能性或可能的组合数量。
它们在计算组合、排列、概率等问题时经常被使用。
本文将详细解释古典概型和几何概型计数原理的基本原理，并提供一些示例来帮助理解。
古典概型计数原理古典概型计数原理主要用于计算事件的可能性。
它的基本原理可以归纳为以下三点：1.对于一个有序的实验空间，假设实验空间中有m个互不相同的事件，每个事件发生的可能性都是相同的。
如果第一个事件有n1种可能的结果，第二个事件有n2种可能的结果，…，第m个事件有nm种可能的结果，那么整个实验空间中的总结果数为n1 * n2 * … * nm。
2.对于一个有序的实验空间，每个事件的发生可能性可能不相同。
如果第一个事件有n1种可能的结果，第二个事件有n2种可能的结果，…，第m个事件有nm种可能的结果，那么整个实验空间中的总结果数为n1 * n2 * … *nm。
3.对于一个无序的实验空间，假设实验空间中有m个互不相同的事件，每个事件发生的可能性都是相同的。
如果每个事件发生的次数都是相同的，那么整个实验空间中的总结果数为(m!)^n，其中n为每个事件发生的次数。
为了更好地理解古典概型计数原理，我们来看几个示例：示例1假设有一支笔，由4个字母A、B、C、D组成。
如果要从中选择2个字母，这些字母的排列和组合的可能性分别是多少？根据古典概型计数原理的第一个原理，每个位置都有4种可能的选择，因为每个位置都可以选择A、B、C、D中的任意一个字母。
所以排列的可能性是4 * 4 = 16。
根据古典概型计数原理的第三个原理，选择的字母是无序的，所以示例中的选择次序不重要。
因此，组合的可能性就是排列的可能性除以选取的字母的个数。
所以组合的可能性是16 / 2 = 8。
示例2假设有7个不同的球放在7个不同的篮子里，每个篮子只能放一个球。
那么放球的可能性有多少种？根据古典概型计数原理的第一个原理，第一个篮子有7种选择，第二个篮子有6种选择，…，第七个篮子有1种选择。
高中数学古典概型与几何概型
邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形的面积大于 20 cm2
的概率为
()
A.16
B.13
C.23
D.45
[解析] 设|AC|＝x，则|BC|＝12－x，所以 x(12－x)>20， 解得 2<x<10，故所求概率 P＝101－2 2＝23.
[答案] C
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成
的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共 36 个，其 中满足直线 ax＋by＝0 与圆(x－2)2＋y2＝2 有公共点，即满足
a22＋a b2≤ 2，即 a2≤b2 的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
古典概型与几何概型 结 束
解：用(x，y)(x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示 甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1,1)，(1,2)， (1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)， (3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共 25 个．(1)设甲获胜的事 件为 A，则事件 A 包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)， (4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共 10 个． 则 P(A)＝1205＝25.
构成的四边形是梯形的概率 P＝165＝25. 答案：B
1.3古典概型与几何概型
所含的总取法为 aPbi1[(a b i)!] 故
P(B)
a
Pbi
1[(a b (a b)!
i)!]
a Pbi 1 Pai b
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
及两个球全是黑球的概率
解 (2) 已知 在 10 个球中任取两球的取法有C120 种 在 10 个球中取到一个白球和一个黑球的取法有C13C17 种 在 10 个球中取两个球均是黑球的取法有C32种 记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球” C为事件
“两个球均为黑球” 则
P(B)
C13 C17 C120
P(D)
Ckn
(N 1)nk Nn
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
解 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件 分别为A B C
总数为24 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D
(1) A有两种排法 故有
P(A)
2 24
1 12
(2) B有2(3!)12种排法 故有
P(B)
12 24
1 12
例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下 列各事件的概率
(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻
等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中 共有(N1)n种放
高三数学一轮复习讲义古典概型几何概型教师
课题：古典概型与几何概型知识点一、古典概型古典概型：（1）所有基本事件有限个；（2）每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型.如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()nm A P =（3）古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件数； ②求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P （A ）= 总的基本事件个数包含的基本事件数A【典型例题】例1.4张卡上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.12B.13C.23D.34例2.同时抛掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( )A.118B.112C.19D.16例3.在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________． 例4.甲，乙两人随意入住三间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是________．例5.从1,2,3,4,5这5个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是________． 例6.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．【举一反三】1．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13B.512C.12D.7122．已知集合M ＝{}1，2，3，4，N ＝{}a ，b |a ∈M ，b ∈M ，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.183．从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率等于________．4．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9 (cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是________．5．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：（1）A ：取出的两球都是白球；（2）B ：取出的两球1个是白球，另1个是红球．知识点二、几何概型1.基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P （A ）= 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．2.几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多【典型例题】例1.在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于（ ） A.21 B. 32 C.53 D.52 例2.（ ） A.101 B.91 C.111 D.81 例3.用力将一个长为3米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为________．例4.如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是________． 例5.有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为________．(填序号)【举一反三】1．在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，则含有麦锈病种子的概率是________．2．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．3．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序实数对(x ，y )，记事件A 为“x 2＋y 2<1”，则P (A )＝_______.4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看到的是绿灯的概率是________．5．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________．6．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．【课堂巩固】1．同时向上抛100个铜板，落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为对这100个铜板下面情况更可能正确的是（ ）A ．这100个铜板两面是一样的B ．这100个铜板两面是不同的C ．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的D ．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的2．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个红球与都是黒球B ．至少有一个黒球与都是黒球C ．至少有一个黒球与至少有1个红球D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球3．设,A B 为两个事件，且()3.0=A P ，则当（ ）时一定有()7.0=B PA ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立 Ｃ．B A ⊆ Ｄ． A 不包含B4. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为（ ） A.157 B.158 C.53 5. 在1万 km 2的海域中有40 km 2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是. A.2511 B.2491 C.2501 D.2521 【课后练习】正确率：__________1．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（ ）A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.72．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是（ ）A ．4030B ．4012C ．3012 D ．以上都不对 3．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（ ）A ．81B ． 83C ． 85D ． 87 4. 从全体3位数的正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为（ ） A.2251 B.3001 C.4501 5. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是（ ） A.21 B.31 C.41 6.在20瓶墨水中，有5瓶已经变质不能使用，从这20瓶墨水中任意选出1瓶，取出的墨水是变质墨水的概率为_________.7. 从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，则三个数字完全不同的概率是_________.8. 在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率..9. 抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和出现7点的概率；（2）出现两个4点的概率.。
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2. 随 机 数 与 件发生的概率.
际 问 题 、 数 学 较高，一般以中等难度题目
Байду номын сангаас
几何概型. (2)随机数与几何概型 学 科 内 材 料 为 为主.从命题趋势来看，试题
①了解随机数的意义， 背 景 ， 考 查 两 更加注重理解、分析、逻辑
能运用模拟方法估计概 种 概 率 的 计 算 推理及创新性，更加注重学
解 (1)①设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i＝0，1，2， 3)，则 P(A3)＝CC2523·CC1223＝51. ②设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 B＝A2∪A3， P(A2)＝CC2523·CC2223＋CC13C52 12·CC1223＝12，且 A2，A3 互斥， 所以 P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝21＋51＝170.
3.几何概型的概率计算公式 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域（长面度积（或面体积积或）体积）.
4.几何概型与古典概型的区别与联系 (1)共同点：基本事件都是等可能的. (2)不同点：几何概型基本事件的个数是无限的，古典概型基本 事件的个数是有限的.基本事件可以抽象为点，对于几何概型， 这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，根据 等可能性，这些点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而 与该区域的位置和形状无关.
[点评] 求解概率问题的关键是弄清题中所研究的对象，准 确求解出试验与所求事件分别包含的基本事件的个数，这是 准确求解古典概型的基础.
方法2 几何概型的概率 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动 范围，当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度 比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算.事实上，当半径 一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以 角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.
3.古典概型的概率公式 A包含的基本事件的个数
P(A)＝_____基__本__事__件__的__总__数______.
知识点二 几何概型 1.几何概型的概念 (1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量 (_长__度__、_面__积__或_体__积__)成比例，则称这样的概率模型为几何 概率模型，简称_几__何__概__型__. (2)几何概型中的几何度量可以是空间中或直线上的有限区域， 相应的概率是体积之比、面积之比或长度之比.
【例1】 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白 球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外 完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的 白球不少于2个，则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率； (2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X). [解题指导](1)关键点：阅读题意，判定概率类型. (2)信息分析：①要获奖则摸出的白球为2个或3个两种情况；②在 两次游戏中获奖次数X可为0，1，2，为独立重复试验，求出其各 自概率，得X的分布列，从而求得其数学期望E(X).
第四节 古典概型与几何概型
考点梳理
考纲速览
命题解密
热点预测
(1)古典概型
预测高考可能会以实际
①理解古典概型及其概 主 要 考 查 或数学其他领域的材料为背
率计算公式.
概 率 的 概 念 、 景，对古典概型和几何概型
②会计算一些随机事件 古 典 概 型 、 几 的计算实施考查.考查比较基
1.古典概型. 所含的基本事件数及事 何概型.多以实 础，但对逻辑推理能力要求
【名师助学】 1.利用古典概型的公式求解事件的概率问题，应明确是否满足古 典概型的两个特点：一是基本事件的有限性，二是基本事件的等 可能性. 2.善于用转化思想把求一个复杂事件的概率问题转化为求几个简 单事件的概率和问题. 3.解决几何概型的求概率问题，关键是要构造出随机事件对应的 几何图形.利用图形的几何度量来求随机事件的概率.
【例2】 设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三 个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2)若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个 数，求上述方程有实根的概率.
2.几何概型的特点 (1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_无__限__多个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等. 因此，用几何概型求解的概率问题和古曲概型的思路是相同的， 同属于“比例解法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含 的基本事件所占的图形面积(或体积、长度)”与“试验的基本事 件所占总面积(或总体积、总长度)”之比来表示.
(2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2. P(X＝0)＝1－1702＝1090， P(X＝1)＝C12170×1－170＝2510， P(X＝2)＝1702＝14090. 所以 X 的分布列是
X
0
1
2
P
9
21
100 50
49 100
数学期望 E(X)＝0×1900＋1×2510＋2×14090＝75.
方法1 古典概型概率 (1)一定要针对具体问题认真分析事件特点，准确判断事件类型， 古典概型中事件特点是结果有限且等可能性. (2)计算古典概型中事件A的概率的关键是求出基本事件总数n和 事件A中所含基本事件数m. (3)计算基本事件总数常用的方法有枚举法、树形图法、列表法、 坐标网格法、用计数原理与排列组合计算法，备考中应认真体会 和熟练掌握.
率.
方法
生灵活运用知识解决问题的
②了解几何概型的意义.
能力.
知识点一 古典概型
1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是_互__斥__的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_基__本__事__件__的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有_有__限__个. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性_相__等__.