电磁场与电磁波理论课件PPT第1章
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精品课件-电磁场与电磁波-第1章
第1章 矢量分析基础
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
电磁场与电磁波第一章 ppt课件
电磁学的建立，根源于人类对早期发现的一 些电磁现象进行的物理解释，如静电吸物、摩擦 生电、磁石相吸、库仑实验等。
电磁场理论的发展经历三个阶段：
• （一） 静电学、静磁学的建立阶段（19世纪前）
这一阶段，电、磁现象是作为两种独立的物理现象分 别进行研究，当时还没有发现电与磁的联系，这些早期的 研究为电磁学理论的建立奠定了基础。
o 2
坐标单位矢量 e,e,ez
z
e e ez
位置矢量
reezz
微分单元关系
线元矢量
d r e d e d e z d z
圆柱坐标系
面元矢量 体积元
dS edldlz e ddz dS edldlz eddz dSz ezd积元
赫兹 1888年用实验方法证实了电磁波的存在后，麦克斯 韦方程组成为经典电动力学的公理，麦克斯韦成为宏观 电磁场理论的奠基人。
三、电磁场理论的主要研究与应用领域
电磁 场理 论的 主要 研究
领域
作为理论物理学的一个 重要研究分支，主要致 力于统一场理论和微观 量子电动力学的研究。
作为电子信息技术的理论 基础，集中于三大类应用 问题的研究。
• 信息类专业与电有关的两大核心知识基础：
电路理论
电磁场理论
• 本课程的主要任务：在大学物理和高等数学的基 础上，帮助学生建立场的观念，学会运用场的观点 对宏观电磁现象进行分析和求解，为进一步学习有 关专业课程奠定必要的理论基础。
二、电磁场理论的发展简史
电磁学是研究电场、磁场以及电磁相互作用 的现象、规律和应用的学科。
体积元
dVdxdydz
z
z
z0
（平面） ez
P
ey
ex
o
电磁场理论的发展经历三个阶段：
• （一） 静电学、静磁学的建立阶段（19世纪前）
这一阶段，电、磁现象是作为两种独立的物理现象分 别进行研究，当时还没有发现电与磁的联系，这些早期的 研究为电磁学理论的建立奠定了基础。
o 2
坐标单位矢量 e,e,ez
z
e e ez
位置矢量
reezz
微分单元关系
线元矢量
d r e d e d e z d z
圆柱坐标系
面元矢量 体积元
dS edldlz e ddz dS edldlz eddz dSz ezd积元
赫兹 1888年用实验方法证实了电磁波的存在后，麦克斯 韦方程组成为经典电动力学的公理，麦克斯韦成为宏观 电磁场理论的奠基人。
三、电磁场理论的主要研究与应用领域
电磁 场理 论的 主要 研究
领域
作为理论物理学的一个 重要研究分支，主要致 力于统一场理论和微观 量子电动力学的研究。
作为电子信息技术的理论 基础，集中于三大类应用 问题的研究。
• 信息类专业与电有关的两大核心知识基础：
电路理论
电磁场理论
• 本课程的主要任务：在大学物理和高等数学的基 础上，帮助学生建立场的观念，学会运用场的观点 对宏观电磁现象进行分析和求解，为进一步学习有 关专业课程奠定必要的理论基础。
二、电磁场理论的发展简史
电磁学是研究电场、磁场以及电磁相互作用 的现象、规律和应用的学科。
体积元
dVdxdydz
z
z
z0
（平面） ez
P
ey
ex
o
电磁场与电磁波(1)幻灯片PPT
(z)Ur(z)Ir(z) Ui(z) Ii(z)
▪ 对无耗传输线γ=jβ，终端负载为Zl，得 (z ) A A 2 1 e e j j z z Z Z L L Z Z 0 0 e j2 z L e j2 z
▪ 其中
LZ ZL L Z Z0 0Lejl
称为终端反射系数
7.1 均匀传输线的分析
U min
A1[1
l
]
I
max
A1 Z0
[1
l
]
▪ 电压波节点阻抗也为纯电阻， 其值为
Rmin
Z011 ll
Z0
7.2 传输线的等效
❖ 行驻波状态
▪ 可见电压波腹点和波节点相距λ/4，且两点阻抗有如下 关系： Rm axRm inZ0 2
7.2 传输线的等效
❖ 传输线的等效
▪ 终端短路的无耗传输线的等效
前向波与后向波的叠加
U(z)A1ez A2ez
I(z) 1 Z0
(A1ez
A2ez)
7.1 均匀传输线的分析
❖ 传输线的重要参量
▪ 特性阻抗Z0
Z0
R jL C jC
▪ 对于均匀无耗传输线， R=G=0， 因此均匀无耗传输
线的特性阻抗为
Z0
L C
▪ 此时， 特性阻抗Z0为实数， 且与频率无关。
7.1 均匀传输线的分析
❖ 传输线中的重要参量
▪ 传播常数γ
( R jL )G ( jC ) j
▪ 对于均匀无耗传输线，R=G=0，有jLCj ▪ 对于损耗很小的传输线， 即满足R<<ωL, G<<ωC时：
(R j L )(G j C )
j L (1 j R ) j C (1 j G )
电磁波与电磁场第一章
( A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
A (BC) 标量，标量三重积。
A (B C) 矢量，矢量三重积。
A (B C) B (C A) C ( A B)
注意：先后轮换次序。
A (B C) B( A C) C( A B)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
+ 2q
q
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2、矢量场的通量
通过矢量场中某一曲面的矢量线数称为通过该面的 通量。用表示。 n 从图可以看出，通过面元 dS的通量和通过投影面dS⊥的 通量是一样的。因此通过dS的 F ds 通量为 ds d =F dS⊥= F ds cos 上式可以写为
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
b.矢量积（叉积）：
A B ec | A || B | sin
ec
B
A 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量 组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三 者符合右手螺旋法则。
推论1：不服从交换律：A B B A,
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
同理：在 y方向上,穿过 S 3 和
S 4 面的总通量：
Ay y xyz
S3
A dS3 A dS4
S4
在 z 方向上,穿过 S 5 和
S 6 面的总通量：
S6
S5
A dS5 A dS6
AZ xyz z
整个封闭曲面的总通量：
Ax Ay Az xyz S A dS y z x
1、矢量线 概念：矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。
矢量，标量与矢量相乘。
A (BC) 标量，标量三重积。
A (B C) 矢量，矢量三重积。
A (B C) B (C A) C ( A B)
注意：先后轮换次序。
A (B C) B( A C) C( A B)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
+ 2q
q
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2、矢量场的通量
通过矢量场中某一曲面的矢量线数称为通过该面的 通量。用表示。 n 从图可以看出，通过面元 dS的通量和通过投影面dS⊥的 通量是一样的。因此通过dS的 F ds 通量为 ds d =F dS⊥= F ds cos 上式可以写为
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
b.矢量积（叉积）：
A B ec | A || B | sin
ec
B
A 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量 组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三 者符合右手螺旋法则。
推论1：不服从交换律：A B B A,
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
同理：在 y方向上,穿过 S 3 和
S 4 面的总通量：
Ay y xyz
S3
A dS3 A dS4
S4
在 z 方向上,穿过 S 5 和
S 6 面的总通量：
S6
S5
A dS5 A dS6
AZ xyz z
整个封闭曲面的总通量：
Ax Ay Az xyz S A dS y z x
1、矢量线 概念：矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。
电磁场与电磁波第一章.ppt
第1章 矢量场
物理量随空间的分布称为场。本书涉及的物理量主要是标 量和矢量。前者称为标量场，后者称为矢量场。 1.1 矢量及其矢量场
1.2 三种常用坐标系中的矢量场 1.3 梯度 1.4矢量场的散度 1.5 矢量场的旋度
1.1 矢量及其矢量场
1.矢量的表示方法
a矢量的概念
E, H, F,v
b矢量的特点
反映曲面边界上的矢量场与曲面中旋度源的关系
1.6无旋场与无散场
() 0 ( A) 0
矢量场的唯一性定理
2.矢量的代数运算法
a.加减法：法则和规律
A B
平行四边形法则：
A B
B
A B B A A (B C) (A B) C
A
三角形法则： A B来自BABAB B A
A
b.标积：
A B A B cos Ax Bx Ay By Az Bz
满足乘法交换律： A B B A
直角坐标系：三个单位矢相互垂直且为常矢量，不随空间的变化而变化；
圆柱坐标系与圆球坐标系的三个单位矢量不全是常矢量。
一：位置矢量（位矢）
r
o
p 有向线段 r 可以表示p点的位置，称为位置矢量。只与
参考点选择有关，与坐标系选择无关。 位矢的基本特征：起点始终在参考点O上。
二：正交坐标系
1：直角坐标系
单位矢量： ex , ey , ez （常矢量）
1．2 三种常见坐标系中的矢量场
场是物理量的空间分布，矢量场是矢量的空间分布。随着空间点的不 同，每个空间点上对应的矢量也不同。因此，矢量场是空间坐标变量的函 数，对矢量场的分析很大程度上依赖于采用的坐标系。
共同特征：正交坐标系，各自的三个单位矢量都互相垂直。
物理量随空间的分布称为场。本书涉及的物理量主要是标 量和矢量。前者称为标量场，后者称为矢量场。 1.1 矢量及其矢量场
1.2 三种常用坐标系中的矢量场 1.3 梯度 1.4矢量场的散度 1.5 矢量场的旋度
1.1 矢量及其矢量场
1.矢量的表示方法
a矢量的概念
E, H, F,v
b矢量的特点
反映曲面边界上的矢量场与曲面中旋度源的关系
1.6无旋场与无散场
() 0 ( A) 0
矢量场的唯一性定理
2.矢量的代数运算法
a.加减法：法则和规律
A B
平行四边形法则：
A B
B
A B B A A (B C) (A B) C
A
三角形法则： A B来自BABAB B A
A
b.标积：
A B A B cos Ax Bx Ay By Az Bz
满足乘法交换律： A B B A
直角坐标系：三个单位矢相互垂直且为常矢量，不随空间的变化而变化；
圆柱坐标系与圆球坐标系的三个单位矢量不全是常矢量。
一：位置矢量（位矢）
r
o
p 有向线段 r 可以表示p点的位置，称为位置矢量。只与
参考点选择有关，与坐标系选择无关。 位矢的基本特征：起点始终在参考点O上。
二：正交坐标系
1：直角坐标系
单位矢量： ex , ey , ez （常矢量）
1．2 三种常见坐标系中的矢量场
场是物理量的空间分布，矢量场是矢量的空间分布。随着空间点的不 同，每个空间点上对应的矢量也不同。因此，矢量场是空间坐标变量的函 数，对矢量场的分析很大程度上依赖于采用的坐标系。
共同特征：正交坐标系，各自的三个单位矢量都互相垂直。
电磁场与电磁波PPT课件
二、单质
4、制备 (1)工业制法 液化空气，蒸发。 (2)实验室制法 原理：NH4Cl+NaNO2(饱和)=NaCl+N2↑+2H2O 药品：NH4Cl溶液，饱和亚硝酸钠溶液 装置：液液加热 除杂：干燥
二、单质
收集： 【讨论】为何使用冰盐冷却？A用来何用？加 热前必须怎么做？收集前应如何操作？如何 收集？加热片刻后可以移去酒精灯，为什么？
本质
种类 传播 速度
电磁波
机械波
都是波，都会发生干涉、衍射等现象
都满足关系：v=λf
是一种客观存在的物质
本身不是物质， 是运动形式的传播
是横波
有横波也有纵波
不需介质 传播电磁能及信息
真空中：恒定 介质：取决于介质与频率
需要介质 传播机械能及信息
取决于介质
讨论与交流
从电磁波的特点出发，你认为电磁场是客 观存在的物质吗？
二、单质
磷（红磷、白磷） 1、分子结构：
2、物理性质： 3、化学性质：
4P+5O2=2P2O5 P2O5+H2O(冷)=2HPO3(偏磷酸剧毒) P2O5+3H2O(热)=2H3PO4(无毒) 2P+3Cl2=2PCl3 2P+5Cl2=2PCl5
二、单质
隔绝空气
416℃ 冷却
白磷----→红磷----→升华---→白磷
三、氢化物
4、制备 (1)工业制备 N2+3H2=2NH3(催化剂、加热、加压) (2)实验室制法 原理：2NH4Cl+Ca(OH)2=CaCl2+2NH3↑+2H2O 药品：固体NH4Cl，消石灰(浓氨水、CaO) 装置：固固加热(液固加热) 除杂：干燥
电磁场与电磁波ppt完美版课件
探究一
探究二
随堂检测
画龙点睛变化的磁场周围产生电场,与是否有闭合电路存在无关。
2.对麦克斯韦电磁场理论的理解
探究一
探究二
随堂检测
实例引导例1根据麦克斯韦电磁场理论,下列说法正确的是( )A.有电场的空间一定存在磁场,有磁场的空间也一定能产生电场B.在变化的电场周围一定产生变化的磁场,在变化的磁场周围一定产生变化的电场C.均匀变化的电场周围一定产生均匀变化的磁场D.周期性变化的磁场周围空间一定产生周期性变化的电场解析:根据麦克斯韦电磁场理论,只有变化的电场才能产生磁场,均匀变化的电场产生恒定的磁场,非均匀变化的电场产生变化识
自我检测
1.正误判断。(1)电磁波也能产生干涉、衍射现象。( )答案:√(2)电磁波的传播不需要介质,可以在真空中传播。答案:√2.探究讨论。为什么电磁波是横波?答案:根据麦克斯韦电磁场理论,电磁波在真空中传播时,它的电场强度和磁感应强度是相互垂直的,且二者均与波的传播方向垂直。因此,电磁波是横波。
探究一
探究二
随堂检测
规律方法理解麦克斯韦的电磁场理论的关键掌握四个关键词:“恒定的”“均匀变化的”“非均匀变化的”“周期性变化的(即振荡的)”,这些都是对时间来说的,是时间的函数。
探究一
探究二
随堂检测
变式训练1如图所示的四种电场中,哪一种能产生电磁波( )
解析:由麦克斯韦电磁场理论,当空间出现恒定的电场时(如A图),由于它不激发磁场,故无电磁波产生;当出现均匀变化的电场时(如B、C图),会激发出磁场,但磁场恒定,不会激发出电场,故也不会产生电磁波;只有振荡的电场(即周期性变化的电场)(如D图),才会激发出振荡的磁场,振荡的磁场又激发出振荡的电场……如此周而复始,便会形成电磁波。答案:D
电磁场与电磁波 课件
国际标准
国际非电离辐射防护委员会（ ICNIRP）制定了电磁辐射的安全标 准，限制了公众暴露在特定频率和强 度的电磁场中的最大容许暴露量。
各国标准
不同国家和地区根据自身情况制定了 相应的电磁辐射安全标准，以确保公 众的健康安全。
电磁波的防护措施
远离高强度电磁场
尽量减少在高压线、变电站、雷 达站等高强度电磁场区域的停留
射电望远镜是射电天文学的主要观测设备，可以接收来自宇宙的微弱射电信号。
射电天文学的发展对于人类认识宇宙、探索宇宙奥秘具有重要意义。
电磁波探测与成像
电磁波探测与成像技术利用电磁波的 特性，实现对物体内部结构的探测和 成像。
电磁波探测与成像技术对于医学诊断 、无损检测等领域具有重要意义。
医学上常用的超声波、核磁共振等技 术都是基于电磁波的探测与成像原理 。
这些物理量在电磁场与物质相互作用中起着重要作用，例如在光子与物 质的相互作用中，光子的能量和动量会与物质的能量和动量发生交换。
06
电磁场与电磁波的计算机模 拟
时域有限差分法（FDTD）
总结词
一种用于模拟电磁波传播的数值方法，通过在时域上逐步推进电磁场的变化来求解波动 方程。
详细描述
时域有限差分法（FDTD）是一种基于麦克斯韦方程组的数值计算方法，通过将电磁场 分量在空间和时间上交替离散化，将波动方程转化为差分方程，从而在计算机上实现电 磁波传播过程的模拟。这种方法在计算电磁波传播、散射、吸收等过程中具有广泛的应
磁场
磁Hale Waihona Puke 和电流周围存在的一种特殊 物质，对其中运动的磁体和电流 施加力。
电磁场与电磁波的产生
1 2
3
变化的电场产生磁场
根据麦克斯韦的电磁场理论，变化的电场在其周围产生磁场 。
国际非电离辐射防护委员会（ ICNIRP）制定了电磁辐射的安全标 准，限制了公众暴露在特定频率和强 度的电磁场中的最大容许暴露量。
各国标准
不同国家和地区根据自身情况制定了 相应的电磁辐射安全标准，以确保公 众的健康安全。
电磁波的防护措施
远离高强度电磁场
尽量减少在高压线、变电站、雷 达站等高强度电磁场区域的停留
射电望远镜是射电天文学的主要观测设备，可以接收来自宇宙的微弱射电信号。
射电天文学的发展对于人类认识宇宙、探索宇宙奥秘具有重要意义。
电磁波探测与成像
电磁波探测与成像技术利用电磁波的 特性，实现对物体内部结构的探测和 成像。
电磁波探测与成像技术对于医学诊断 、无损检测等领域具有重要意义。
医学上常用的超声波、核磁共振等技 术都是基于电磁波的探测与成像原理 。
这些物理量在电磁场与物质相互作用中起着重要作用，例如在光子与物 质的相互作用中，光子的能量和动量会与物质的能量和动量发生交换。
06
电磁场与电磁波的计算机模 拟
时域有限差分法（FDTD）
总结词
一种用于模拟电磁波传播的数值方法，通过在时域上逐步推进电磁场的变化来求解波动 方程。
详细描述
时域有限差分法（FDTD）是一种基于麦克斯韦方程组的数值计算方法，通过将电磁场 分量在空间和时间上交替离散化，将波动方程转化为差分方程，从而在计算机上实现电 磁波传播过程的模拟。这种方法在计算电磁波传播、散射、吸收等过程中具有广泛的应
磁场
磁Hale Waihona Puke 和电流周围存在的一种特殊 物质，对其中运动的磁体和电流 施加力。
电磁场与电磁波的产生
1 2
3
变化的电场产生磁场
根据麦克斯韦的电磁场理论，变化的电场在其周围产生磁场 。
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♥ 直角坐标系中矢量加法和减法
（1.1.24）
（1.1.25） ◘ 只有矢量和矢量之间才能进行相加减。
1-24
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
3.矢量的标量积和矢量积 矢量的标量积 矢量的矢量积
“右手法则”和“右手螺旋法则”
标量积和矢量积的特点 标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
旋度等算子在这三种坐标系中的表示式。
1-2
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
基本要求
◘ 掌握矢量和场的基本概念； ◘ 掌握矢量的代数运算和场量的梯度、散度、旋度
以及拉普拉斯运算；
◘ 了解矢量分析过程中所需的恒等式和基本定理。
1-3
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
三种常用的正交坐标系 直角坐标系 圆柱坐标系 球面坐标系
1-13
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量表示法
♥ 矢量的方向余弦
——矢量与三个坐标轴之间的夹角。 ♥ 矢量的方向的单位矢量 （1.1.5）
◘ 一般情况下均采用矢量的方向的单位矢量（方向余弦）来
表示矢量的方向，只有需要时，才需要用到矢量与坐标轴 的夹角。
1-14
《电磁场与电磁波理论》
♥ 若某空间中的每一个点都对应着某个物理量的一个确定值，就 称在该空间中定义了这个物理量的场或函数。 ♥ 若这个物理量是标量，则这个场或函数称为标量场或标量函数。 例如，一幢建筑物内的温度分布、一个区域内的电位分布等等。 ♥ 若这个物理量是矢量，则这个场或函数称为矢量场或矢量函数。 例如，某河流区段内水流的速度分布、一个区域内电场强度的 分布等等。 ♥ 若标量场中各点标量值的大小都相同，则称场中的物理量是常 数； ♥ 若矢量场中各点矢量的大小和方向都相同，则称场中的物理量 为常矢。 ♥ 若场中的物理量在各点所对应的值不随时间而变化，则这个场 称为静态场或恒定场；否则，就称为时变场。
第1章 矢量分析与场论
1. 标量场的方向导数
♥ 方向导数——空间某一点的标量场沿某一方向的变化率定
义为该标量场在该点沿该方向的方向导数，即
（1.2.1）
其中
1-40
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1. 标量场的方向导数
♥ 根据求导法则，方向导数可以表示成
（1.2.2） ◘ 方向余弦
◘ 该方向上的单位矢量
（1.1.33）
（1.1.35）
1-34
பைடு நூலகம்
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.2 1.2.1
场的微分运算 场的基本概念
1.2.2
1.2.3 1.2.4
标量场的方向导数和梯度
矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度
1-35
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.2.1 场的基本概念
1-37
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.2.1 场的基本概念
♥ 矢量场的矢量线（通量线）——一系列有方向曲线。线上 每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的矢量线 密度代表该点矢量场大小。例如，电场中的电力线、磁场 中的磁力线。 ◘ 一般来说，矢量场中的每一点均有 一条矢量线通过，所以矢量线是充 满了整个矢量场所在的空间。
◘ 三种常用的正交坐标系的相互转换（坐标的转换和方向矢 量的转换）。
1-8
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
物理量的分类
物理量
与位置无关的量 时间、长度、 重量……
与位置有关的量 （场量）
标量场 （只有大小） 矢量场 （大小+方向）
温度、湿度、 电位……
速度、电场、 磁场……
◘ 标量场
◘ 矢量场
第1章 矢量分析与场论
例1.2.1 试证明：（1） 式中， 和
；（2）
（1.2.3）
1-41
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1. 标量场的方向导数
♥ 对比两个矢量的标量积
（1.1.36） ♥ 方向导数的另一种表示形式
1-42
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2. 标量场的梯度（gradient）
♥ 标量场 的梯度 ——大小等于标量函数 在该点的最大方向的导数值，方向指向使函数值增加最快 的方向。
（1.2.8）
1-44
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
3. 梯度的基本公式
（1.2.9） （1.2.10） （1.2.11）
（1.2.12）
（1.2.13） 其中， 为常数； ， 为标量函数。
◘ 算子 具有类似于矢量和微分的性质，通常称其矢量微分 算子。
1-45
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
矢量的矢量积
♥ 矢量积只满足分配律，不满足交换律。
1-29
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
“右手法则”和“右手螺旋法则”
1-30
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
标量积和矢量积的特点
♥ 若两个矢量垂直，即它们之间的夹角为90o ，则它们的标 量积等于零，而矢量积最大，等于这两个矢量的模的乘积； ♥ 若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于
1-9
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.1
矢量的代数运算
1.1.1 矢量与矢量的表示法
1.1.2 矢量的代数运算
1-10
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.1.1 矢量与矢量的表示法
1. 矢量与单位矢量
2. 矢量表示法
3. 位置矢量与距离矢量
1-11
《电磁场与电磁波理论》
1-25
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
矢量的标量积 （ the dot product）
♥ 两个矢量的标量积（点积）定义为这两个矢量的模以及这
两个矢量 之间夹角的余弦三者的乘积。
（1.1.26）
1-26
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
矢量的标量积
♥ 标量积满足交换律和分配律。
（1.1.15）
1-18
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.1.2 矢量的代数运算 矢量与矢量相等 1. 矢量与标量的乘积 2. 矢量加法和减法 3. 矢量的标量积和矢量积
直角坐标系中矢量的代数运算
1-19
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
矢量与矢量相等
♥ 一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。 ♥ 在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。
第1章 矢量分析与场论
标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
♥ 直角坐标系中两个矢量的标量积——可以利用分配率以及 单位矢量的关系直接计算
（1.1.33）
1-33
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
♥ 直角坐标系中两个矢量的矢量积——可以利用分配率以及 单位矢量的关系直接计算
（1.2.6）
♥ 标量函数 在空间给定点沿 方向的方向导数等
于该点的梯度矢量
在该方向上的投影 。
（1.2.5）
1-43
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2. 标量场的梯度
♥ 梯度的表示——哈密顿（Hamilton）算子 ◘ 直角坐标系中的哈密顿算子 （1.2.7） ◘ 直角坐标系中的梯度表示式 （读作del）
第1章 矢量分析与场论
1.矢量与单位矢量
♥ 矢量——在三维空间中的一根有方向的线段。 该线段的长度 该线段的方向 代表该矢量的模， 代表该矢量的方向
（1.1.1）
♥ 单位矢量——模等于1的矢量叫做单位矢量。
（1.1.2）
1-12
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量表示法
♥ 在直角坐标系中矢量的表示 （1.1.3） ——矢量的三个分量，即矢量在三个坐标上的投影 矢量的大小 矢量的方向的单位矢量 （1.1.4）
电磁理论的一个重要的概念就是关于场的概念。有 很多物理量都是矢量，此外一些用来描述电磁现象基本 规律的方程也都是矢量函数的微分方程或积分方程。因
此，矢量分析和场论是电磁理论的重要的数学基础。本
章仅讨论在电磁场理论中所需要的矢量分析与场论中的 基本内容，包括矢量的基本代数运算和场量的梯度、散 度、旋度和拉普拉斯运算以及矢量场的恒等式和基本定 理。最后，还给出了三种常用坐标系及其梯度、散度、
零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。
♥ 若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂
直；
♥ 若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。
1-31
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
♥ 直角坐标系中单位矢量的标量积和矢量积
1-32
《电磁场与电磁波理论》
1-27
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
矢量的矢量积
（the cross product）
♥ 两个矢量的矢量积（叉积）的模等于这两个矢量的模以 及这两个矢量之间夹角的正弦三者的乘积，而方向垂直 于两矢量所构成的平面，其指向按“右手法则”来确定。 （1.1.29）
1-28
《电磁场与电磁波理论》
1-21
（1.1.24）
（1.1.25） ◘ 只有矢量和矢量之间才能进行相加减。
1-24
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
3.矢量的标量积和矢量积 矢量的标量积 矢量的矢量积
“右手法则”和“右手螺旋法则”
标量积和矢量积的特点 标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
旋度等算子在这三种坐标系中的表示式。
1-2
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
基本要求
◘ 掌握矢量和场的基本概念； ◘ 掌握矢量的代数运算和场量的梯度、散度、旋度
以及拉普拉斯运算；
◘ 了解矢量分析过程中所需的恒等式和基本定理。
1-3
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
三种常用的正交坐标系 直角坐标系 圆柱坐标系 球面坐标系
1-13
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量表示法
♥ 矢量的方向余弦
——矢量与三个坐标轴之间的夹角。 ♥ 矢量的方向的单位矢量 （1.1.5）
◘ 一般情况下均采用矢量的方向的单位矢量（方向余弦）来
表示矢量的方向，只有需要时，才需要用到矢量与坐标轴 的夹角。
1-14
《电磁场与电磁波理论》
♥ 若某空间中的每一个点都对应着某个物理量的一个确定值，就 称在该空间中定义了这个物理量的场或函数。 ♥ 若这个物理量是标量，则这个场或函数称为标量场或标量函数。 例如，一幢建筑物内的温度分布、一个区域内的电位分布等等。 ♥ 若这个物理量是矢量，则这个场或函数称为矢量场或矢量函数。 例如，某河流区段内水流的速度分布、一个区域内电场强度的 分布等等。 ♥ 若标量场中各点标量值的大小都相同，则称场中的物理量是常 数； ♥ 若矢量场中各点矢量的大小和方向都相同，则称场中的物理量 为常矢。 ♥ 若场中的物理量在各点所对应的值不随时间而变化，则这个场 称为静态场或恒定场；否则，就称为时变场。
第1章 矢量分析与场论
1. 标量场的方向导数
♥ 方向导数——空间某一点的标量场沿某一方向的变化率定
义为该标量场在该点沿该方向的方向导数，即
（1.2.1）
其中
1-40
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1. 标量场的方向导数
♥ 根据求导法则，方向导数可以表示成
（1.2.2） ◘ 方向余弦
◘ 该方向上的单位矢量
（1.1.33）
（1.1.35）
1-34
பைடு நூலகம்
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.2 1.2.1
场的微分运算 场的基本概念
1.2.2
1.2.3 1.2.4
标量场的方向导数和梯度
矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度
1-35
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.2.1 场的基本概念
1-37
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.2.1 场的基本概念
♥ 矢量场的矢量线（通量线）——一系列有方向曲线。线上 每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的矢量线 密度代表该点矢量场大小。例如，电场中的电力线、磁场 中的磁力线。 ◘ 一般来说，矢量场中的每一点均有 一条矢量线通过，所以矢量线是充 满了整个矢量场所在的空间。
◘ 三种常用的正交坐标系的相互转换（坐标的转换和方向矢 量的转换）。
1-8
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
物理量的分类
物理量
与位置无关的量 时间、长度、 重量……
与位置有关的量 （场量）
标量场 （只有大小） 矢量场 （大小+方向）
温度、湿度、 电位……
速度、电场、 磁场……
◘ 标量场
◘ 矢量场
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例1.2.1 试证明：（1） 式中， 和
；（2）
（1.2.3）
1-41
《电磁场与电磁波理论》
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1. 标量场的方向导数
♥ 对比两个矢量的标量积
（1.1.36） ♥ 方向导数的另一种表示形式
1-42
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2. 标量场的梯度（gradient）
♥ 标量场 的梯度 ——大小等于标量函数 在该点的最大方向的导数值，方向指向使函数值增加最快 的方向。
（1.2.8）
1-44
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第1章 矢量分析与场论
3. 梯度的基本公式
（1.2.9） （1.2.10） （1.2.11）
（1.2.12）
（1.2.13） 其中， 为常数； ， 为标量函数。
◘ 算子 具有类似于矢量和微分的性质，通常称其矢量微分 算子。
1-45
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
矢量的矢量积
♥ 矢量积只满足分配律，不满足交换律。
1-29
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第1章 矢量分析与场论
“右手法则”和“右手螺旋法则”
1-30
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
标量积和矢量积的特点
♥ 若两个矢量垂直，即它们之间的夹角为90o ，则它们的标 量积等于零，而矢量积最大，等于这两个矢量的模的乘积； ♥ 若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于
1-9
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第1章 矢量分析与场论
1.1
矢量的代数运算
1.1.1 矢量与矢量的表示法
1.1.2 矢量的代数运算
1-10
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.1.1 矢量与矢量的表示法
1. 矢量与单位矢量
2. 矢量表示法
3. 位置矢量与距离矢量
1-11
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1-25
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第1章 矢量分析与场论
矢量的标量积 （ the dot product）
♥ 两个矢量的标量积（点积）定义为这两个矢量的模以及这
两个矢量 之间夹角的余弦三者的乘积。
（1.1.26）
1-26
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第1章 矢量分析与场论
矢量的标量积
♥ 标量积满足交换律和分配律。
（1.1.15）
1-18
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第1章 矢量分析与场论
1.1.2 矢量的代数运算 矢量与矢量相等 1. 矢量与标量的乘积 2. 矢量加法和减法 3. 矢量的标量积和矢量积
直角坐标系中矢量的代数运算
1-19
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矢量与矢量相等
♥ 一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。 ♥ 在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。
第1章 矢量分析与场论
标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
♥ 直角坐标系中两个矢量的标量积——可以利用分配率以及 单位矢量的关系直接计算
（1.1.33）
1-33
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标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
♥ 直角坐标系中两个矢量的矢量积——可以利用分配率以及 单位矢量的关系直接计算
（1.2.6）
♥ 标量函数 在空间给定点沿 方向的方向导数等
于该点的梯度矢量
在该方向上的投影 。
（1.2.5）
1-43
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第1章 矢量分析与场论
2. 标量场的梯度
♥ 梯度的表示——哈密顿（Hamilton）算子 ◘ 直角坐标系中的哈密顿算子 （1.2.7） ◘ 直角坐标系中的梯度表示式 （读作del）
第1章 矢量分析与场论
1.矢量与单位矢量
♥ 矢量——在三维空间中的一根有方向的线段。 该线段的长度 该线段的方向 代表该矢量的模， 代表该矢量的方向
（1.1.1）
♥ 单位矢量——模等于1的矢量叫做单位矢量。
（1.1.2）
1-12
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第1章 矢量分析与场论
2.矢量表示法
♥ 在直角坐标系中矢量的表示 （1.1.3） ——矢量的三个分量，即矢量在三个坐标上的投影 矢量的大小 矢量的方向的单位矢量 （1.1.4）
电磁理论的一个重要的概念就是关于场的概念。有 很多物理量都是矢量，此外一些用来描述电磁现象基本 规律的方程也都是矢量函数的微分方程或积分方程。因
此，矢量分析和场论是电磁理论的重要的数学基础。本
章仅讨论在电磁场理论中所需要的矢量分析与场论中的 基本内容，包括矢量的基本代数运算和场量的梯度、散 度、旋度和拉普拉斯运算以及矢量场的恒等式和基本定 理。最后，还给出了三种常用坐标系及其梯度、散度、
零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。
♥ 若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂
直；
♥ 若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。
1-31
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
♥ 直角坐标系中单位矢量的标量积和矢量积
1-32
《电磁场与电磁波理论》
1-27
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第1章 矢量分析与场论
矢量的矢量积
（the cross product）
♥ 两个矢量的矢量积（叉积）的模等于这两个矢量的模以 及这两个矢量之间夹角的正弦三者的乘积，而方向垂直 于两矢量所构成的平面，其指向按“右手法则”来确定。 （1.1.29）
1-28
《电磁场与电磁波理论》
1-21