数学(文)一轮教学案：第十章第3讲 抛物线及其性质 Word版含解析
抛物线的性质教案
教学内容2．3抛物线的性质教学目标知识目标：了解各种抛物线标准方程所表示的性质．能力目标：学生的数学思维能力得到提高．教学重点四种抛物线标准方程所表示的性质．教学难点四种抛物线标准方程所表示的性质．教学过程复习导入揭示课题2．3抛物线的性质．*创设情境兴趣导入新授1．范围在标准方程22y px=中，因为200p y>≥，，所以抛物线上的点横坐标，都满足x≥0．于是，抛物线在y轴的右侧（如图2－15），并且当x的值增大时，|y|也增大．这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性在标准方程中，将y换成－y，方程依然成立．这说明双曲线关于x轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在抛物线的标准方程中，令y = 0，得x = 0．因此，抛物线的顶点为坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离与点M 到准线的距离的比叫做抛物线的离心率．记作e ．由抛物线的定义知e = 1． 【做一做】按照类似的方法研究其它三种标准方程对应的抛物线的性质．巩固知识 典型例题例3 已知抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点，并且经过点(2M ．求抛物线的标准方程．解 由于点为第四象限的点(2,M ，且抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点，故抛物线的焦点在x 轴的正半轴上．设其方程为22y px =（0p >）．将点(2,M 的坐标代入方程，得2(22p -=⋅，， 解得 p = 2．故抛物线的标准方程为24y x =．例4 已知抛物线的顶点为原点，对称轴为坐标轴，并且经过点M （―5，―10）．求抛物线的标准方程． 分析 点M （―5，―10）在第三象限．由于题中没有明确指出对称轴是x轴还是y 轴，因此有两种情况（如图）．图2－17解 设所求抛物线的标准方程为221222y p x x p y =-=-或， 将点M 的坐标分别代入方程，得2212(10)2(5)(5)2(10)p p -=---=--或， 解得 125104p p ==或．故抛物线的标准方程为 225202y x x y =-=-或．课堂练习1、求双曲线204522=-yx的实轴长、虚轴长、离心率、顶点及渐近线方程。
抛物线的性质教案
)0,2(p12.8 抛物线的性质(1)一、教学目标1．理解抛物线的性质；2．由抛物线的图像和抛物线标准方程，类比椭圆、双曲线的性质的研究方法来探索抛物线的性质； 3．培养学生的严谨的数学思维和探索问题的能力，培养学生数形结合的思想和方法。
二、教学重、难点教学重点：抛物线的性质；教学难点：利用抛物线的性质来解决简单的实际问题。
三、教学过程设计1. 复习导入（1）抛物线的定义 ；（2）抛物线的四种标准方程形式：（3）抛物线方程中参数p 的含义。
练习：（1）以（1,0）为焦点的抛物线标准方程为______________。
图形标准方程 焦点坐标 准线方程 开口向右)0(22>-=p px y 2p x =)2,0(p )0(22>-=p py x 2p y =（2）抛物线y x 82=的准线方程为______________。
2.新课探究我们根据抛物线的标准方程22(0)y px p =>和图像来探索抛物线的性质。
a.对称性通过观察图形，可得抛物线的的部分图像是关于y 轴对称的，那么当x 值增大时呢？ 我们可以由抛物线的方程判断：在方程中，以y -代替y ，方程不变，这表明：如果某点在抛物线上，那么该点关于x 轴的对称的点也在该抛物线上，即抛物线关于x 轴对称，它是一轴对称图形。
b.顶点由图可得：抛物线与对称轴相交于O 点，称O 为抛物线的顶点，O 也是坐标原点。
c.范围由图可得，抛物线的图像除了原点之外都在y 轴的右侧，由抛物线的方程可得：在方程中，因为0p >，所以202y x p=≥，这表明除了顶点，抛物线的图像全部落在 y 轴的右侧，在第一象限，随着x 的增大，抛物线的图像向右上方无限延伸；在第四象限，随着x 的增大，抛物线的图像向右下方无限延伸。
抛物线的其他三种类型：)0(2),0(2),0(2222>-=>=>-=p py x p py x p px y 的性质可以通过类比)0(22>=p px y 性质来探索。
《抛物线的性质和判定》教学设计
《抛物线的性质和判定》教学设计课题：抛物线的性质和判定教学目标：1.理解抛物线的定义和性质；2.掌握抛物线的判定方法；3.能够应用所学知识解决实际问题。
教学内容：1.抛物线的定义和性质；2.抛物线的判定方法。
教学重难点：抛物线的判定方法以及如何应用所学知识解决实际问题。
教学准备：教具：投影仪、黑板、彩色粉笔、实物模型；教材：课本《高中数学》；资料：抛物线的性质和判定的相关资料。
教学过程：Step 1 引入新课（10分钟）教师通过投影仪将一张抛物线的图片展示给学生，然后提问：“你们看到的这张图片是什么几何图形？有什么特点？”学生回答后，教师引导学生思考抛物线的特点，引导学生对抛物线进行定义。
Step 2 抛物线的定义和性质（20分钟）教师给学生讲解抛物线的定义和性质，包括：焦点、准线、对称轴、顶点等概念。
然后通过投影仪展示相应的示意图，帮助学生理解。
Step 3 抛物线的判定方法（30分钟）教师向学生提问：“如果给出一个二次函数，你们能判断它是否是抛物线吗？”接着，教师介绍抛物线的判定方法，包括：a.判定二次函数的系数是否符合抛物线的特点：-当二次项系数为正时，抛物线开口向上；-当二次项系数为负时，抛物线开口向下。
b.利用求解方程的方法：-当一元二次方程的判别式大于零时，方程有两个不相等实根，抛物线与x轴有两个交点，不是抛物线；-当一元二次方程的判别式等于零时，方程有且只有一个实根，抛物线与x轴有且只有一个交点，是抛物线；-当一元二次方程的判别式小于零时，方程无实根，抛物线与x轴无交点，是抛物线。
Step 4 实例分析（20分钟）教师通过实例分析，帮助学生掌握抛物线判定的方法。
例如，给出以下二次函数：f(x)=2x^2+3x+1教师引导学生求解该二次函数的判别式，并判断其为抛物线。
然后，通过图像展示，帮助学生直观理解。
Step 5 实践应用（20分钟）教师给学生出一些实际问题，要求学生运用所学知识解决。
抛物线性质教案
抛物线性质教案一、引言抛物线是数学中的基本曲线之一，广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。
本教案将通过介绍抛物线的基本性质和相关公式，帮助学生全面理解和掌握抛物线的特点和应用。
二、教学目标1. 了解抛物线的定义和基本性质；2. 掌握抛物线的顶点坐标和焦点坐标的计算方法；3. 理解抛物线与直线的关系，学会通过求解方程组判断抛物线和直线的交点；4. 能够应用抛物线的性质解决实际问题。
三、教学内容1. 抛物线的定义和基本性质抛物线是平面上到定点（焦点）F 和一条定直线（准线）l 的距离相等的点的轨迹。
抛物线的对称轴是过焦点 F 并垂直于准线 l 的直线。
抛物线的顶点是抛物线与对称轴的交点。
抛物线的开口方向是焦点所在的一侧。
2. 抛物线的顶点坐标和焦点坐标的计算方法抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，顶点坐标为 (-b/2a, -D/4a)，其中 D = b^2 - 4ac。
焦点到准线的距离为 p，焦点坐标为 (h, k + p)，其中 h = -b/2a，k= -D/4a，p = 1/4a。
3. 抛物线与直线的关系与交点的求解设抛物线和直线的方程分别为 y1 = ax^2 + bx + c 和 y2 = mx + n，求解方程组 y1 = y2，可得交点坐标。
4. 实际问题的应用抛物线在物理学、工程学和计算机图形学中的应用非常广泛。
例如，抛物线的形状可以用来模拟飞行物体的轨迹；飞行物体的发射角度和速度可以通过抛物线性质的计算得到。
另外，抛物线的形状也被用于天桥、拱门等工程设计中。
四、教学方法1. 教师讲解与示范教师通过讲解抛物线的定义和基本性质，示范计算抛物线的顶点坐标和焦点坐标，并演示如何求解抛物线和直线的交点。
2. 学生练习与合作学生在教师指导下进行练习，计算抛物线的顶点坐标和焦点坐标，以及抛物线和直线的交点。
3. 实践探究学生分组进行实验，利用抛物线性质计算飞行物体的轨迹，或者设计抛物线形状的建筑结构。
【课堂新坐标】数学苏教版选修教案：抛物线的几何性质Word版含解析
2．4.2抛物线的几何性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)探究抛物线的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．(2) 掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题．2．过程与方法(1)通过抛物线的方程研究抛物线的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力．(2)通过掌握抛物线的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对抛物线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．●重点难点重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用．难点：抛物线各个知识点的灵活应用．(教师用书独具)●教学建议本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法．先通过多媒体动画演示，创设问题情境，在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高．根据本节课特点，结合教法和学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比——探索——应用”的探究式学习方法，增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维的能力及科学的学习方法，增强自信心．●教学流程通过复习和预习，知道如何通过对抛物线的标准方程的讨论来研究它的几何性质．提问：双曲线有哪些几何性质，获取的途径有哪些？⇒从范围、对称性、顶点及离心率等研究抛物线的几何性质．既要数形结合直观感知，又要根据标准方程严格推证．⇒采用类比教学的方法，由焦点在x轴上的情形得出焦点在y轴上的情形，总结四种情形下的抛物线的几何性质．注意抛物线与双曲线的性质对比．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握由几何性质求标准方程的方法，首先根据几何性质恰当设出标准方程，然后求出待定系数．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握抛物线的焦点弦长的求解公式，体会抛物线定义的应用，并且通过与一般弦长公式比较，体会焦点弦长公式的优势．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握与抛物线有关的最值问题的求法，体会函数思想、转化思想的应用，注意抛物线定义的解题功能，注意抛物线范围的应用．⇒通过易错易误辨析，使学生避免错用判别式而判错抛物线与直线交点个数问题，体会等价转化思想的应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．1．抛物线有几个焦点？【提示】一个．2．抛物线的顶点与椭圆有什么不同？【提示】椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．3．抛物线有对称中心吗？【提示】没有．4．抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？【提示】有；1条．已知拋物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与拋物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此拋物线的标准方程．【思路探究】求A 、B 两点的坐标→求出弦长AB →写出△OAB 的面积，利用面积列方程解p 【自主解答】 由题意，设拋物线方程为y 2＝ax (a ≠0)． 焦点F (a 4，0)，直线l ：x ＝a4，∴A 、B 两点的坐标分别为(a 4，a 2)，(a 4，－a2)，∴AB ＝|a |，∵△OAB 的面积为4， ∴12·|a4|·|a |＝4，∴a ＝±42， ∴拋物线的方程为y 2＝±42x .1．本例中，由于焦点F 有两个位置，故有两个标准方程．2．利用几何性质求抛物线的标准方程，仍是先定位，再定量，利用待定系数法求解．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程．【解】 ∵椭圆x 29＋y 216＝1的焦点在y 轴上，∴椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线为x 轴．∴抛物线的对称轴为x 轴．∴设抛物线的方程为y 2＝mx (m ≠0)． ∴|m4|＝5，∴m ＝±20. ∴所求抛物线的方程为y 2＝20x 或y 2＝－20x .已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A 、B 两点，且AB ＝52p ，求AB 所在直线的方程．【思路探究】思路一 联立消元→韦达定理→弦长公式→列方程→求斜率k →求方程 思路二 联立消元→韦达定理→焦点弦公式→列方程→求斜率k →求方程【自主解答】 法一 焦点F (p 2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则AB ＝2p <52p .所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴AB ＝ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ (1＋1k 2)·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝2p (1＋1k 2)＝52p ，解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．法二 如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，设A 、B 到准线的距离分别为d A ，d B ， 由抛物线的定义知，AF ＝d A ＝x 1＋p 2，BF ＝d B ＝x 2＋p2，于是AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，AB ＝2p <52p ，所以直线AB 与Ox 不垂直．设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2，所以直线AB 的方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2)．1．通过两种方法的比较可知，在求焦点弦长时，利用焦点弦长公式较一般弦长公式要简便．2．若焦点在y 轴正半轴上，则焦点弦长公式应改为：AB ＝y 1＋y 2＋p ，应注意相应地变化．斜率为12的直线经过抛物线x 2＝8y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB的长．【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则对于抛物线x 2＝8y ，焦点弦长AB ＝p ＋(y 1＋y 2)＝4＋(y 1＋y 2)．因为抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，且直线AB 的斜率为12，所以直线AB 的方程为y ＝12x＋2，代入抛物线方程x 2＝8y ，得y 2－6y ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝6，所以AB ＝10.即线段AB 的长为10.已知P是抛物线y2＝4x上任意一点，点A(a,0)，试求当P A最小时P点的坐标．【思路探究】设P(x，y)→表示|P A|→分类讨论求取得最小值时P点的坐标【自主解答】设P(x，y)，则P A＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋4x＝[x－(a－2)]2＋4a－4.∵x≥0，a∈R，∴需分类讨论如下：(1)当a－2≤0即a≤2时，P A的最小值为|a|，此时P(0，0)．(2)当a－2＞0即a＞2时，则x＝a－2，P A取得最小值为2a－1，此时P(a－2，±2a－2)．综上所述，P A最小时，P点的坐标为：a≤2时，P(0,0)；a＞2时，P(a－2，±2a－2)．1．本例常犯的一种错误是，忽略抛物线上点的坐标的取值范围x ≥0，不进行分类讨论，直接认为x ＝a －2时取得最小值．2．与抛物线有关的最值问题，一般转化为函数最值问题求解．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．【解】 法一 设抛物线y ＝x 2上一点P (x 0，y 0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为d ，则d ＝|x 0－y 0－2|2＝|x 20－x 0＋2|2＝12|(x 0－12)2＋74|.当x 0＝12时，d min ＝728.令Δ＝1＋4m ＝0得m ＝－14，∴切线方程为x －y －14＝0，∴最短距离为d ＝|－2＋14|2＝78 2.错用Δ判别式而致错求过定点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．【错解】 由题意设直线的方程为y ＝kx ＋1.∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12.∴所求直线的方程为y ＝12x ＋1.【错因分析】 本题错解的原因有两个：一是忽略直线斜率不存在的情况，只考虑斜率存在的直线；二是方程消元后，认定它为二次方程．事实上，二次项系数为零的一次方程的解也符合题意．【防范措施】 当直线和抛物线只有一个公共点时，应该有两种情况：一是直线和抛物线相切；二是直线与抛物线的对称轴平行，容易忽略的是第二种情况，还有第一种情况中应考虑斜率不存在的情形．【正解】 若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0， ∴直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，则由题意设直线的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x 消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0. 当k ＝0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点．当k ≠0时，有Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12，即方程为y ＝12x ＋1的直线与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.1．由抛物线的几何性质求抛物线的标准方程，应当先定位，再定量，恰当地设出标准形式，利用待定系数法求解．2．当抛物线方程为y2＝2px(p>0)时，其焦点弦长公式为AB＝x1＋x2＋p，替代一般弦长公式计算更为简洁，对其它标准方程，可以得出相应焦点弦弦长公式．3．抛物线的最值问题一般转化为函数最值问题，若是涉及到抛物线上的点坐标，应注意范围的限制．1．顶点是坐标原点，焦点是(0,2)的抛物线的方程是______． 【解析】 ∵p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝8y .【答案】 x 2＝8y图2－4－32．过抛物线x 2＝－4y 的焦点作直线垂直于y 轴，交抛物线于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．【解析】 F (0，－1)，将y ＝－1代入得x A ＝2，∴AB ＝4， ∴S △OAB ＝12×4×1＝2.【答案】 23．设拋物线的顶点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1，则它的焦点坐标为________．【解析】 设准线与y 轴交点为K (0，－1)，顶点为A (0,1)，焦点为F (0，y 0)， 由拋物线性质可知：线段FK 中点为A ，∴y 0－12＝1，∴y 0＝3， ∴焦点为F (0,3)． 【答案】 (0,3)4．斜率为1的直线经过拋物线y 2＝4x 的焦点，与拋物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．【解】 由题意知抛物线焦点为F (1,0)，k AB ＝1，所以AB 的方程为y ＝x －1代入y 2＝4x 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，Δ＝32>0，∴设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，AB ＝AF ＋FB ＝x 1＋x 2＋2＝8，∴线段AB 长为8.一、填空题1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________． 【解析】 ∵p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝8x .【答案】 y 2＝8x2．经过抛物线y 2＝2px (p >0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________． 【解析】 通径长为2p . 【答案】 2p3．(2013·烟台高二检测)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与抛物线相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝8，则PQ 的值为________．【解析】 PQ ＝x 1＋x 2＋2＝10.【答案】 104．(2013·四川高考改编)抛物线y 2＝4x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32. 【答案】325．已知等边三角形AOB 的顶点A ，B 在抛物线y 2＝6x 上，O 是坐标原点，则△AOB 的边长为________．【解析】 设△AOB 边长为a ，则A (32a ，a 2)，∴a 24＝6×32a .∴a ＝12 3. 【答案】 12 36．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为m 、n ，则1m ＋1n＝________.【解析】 由焦点弦性质知1PF ＋1FQ ＝2p ，抛物线的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，∴2p ＝1a，p ＝12a， ∴1PF ＋1FQ ＝4a ，即1m ＋1n＝4a . 【答案】 4a7．(2013·南通高二检测)已知弦AB 过拋物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则以AB 为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________．【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，如图，则AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋p .设A ，B ，M 到准线l ：x ＝－p 2距离分别为d 1，d 2，d ，则有d 1＝x 1＋p 2，d 2＝x 2＋p 2，d ＝d 1＋d 22＝x 1＋x 2＋p 2＝AB2，∴以AB 为直径的圆与拋物线的准线相切． 【答案】 相切8．(2012·陕西高考)如图2－4－4所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．图2－4－4【解析】 设水面与拱桥的一个交点为A ，如图所示，建立平面直角坐标系，则A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则22＝－2p ×(－2)，得p ＝1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝6，解得x 0＝±6，所以水面宽为26米．【答案】 2 6 二、解答题9．(2013·哈师大附中高二检测)设抛物线顶点在原点，焦点在y 轴负半轴上，M 为抛物线上任一点，若点M 到直线l ：3x ＋4y －14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．【解】 设与l 平行的切线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2py 3x ＋4y ＋m ＝0得2x 2－3px －pm ＝0. ∴Δ＝0即m ＝－98p .又d ＝|14－98p |5＝1，∴p ＝8或p ＝1529(舍)，∴抛物线的标准方程为x 2＝－16y .10．过点(0,4)，斜率为－1的直线与拋物线y 2＝2px (p ＞0)交于两点A ，B ，如果OA ⊥OB (O 为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标．【解】 直线方程为y ＝－x ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，y 2＝2px ，消去y 得x 2－2(p ＋4)x ＋16＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(p ＋4)，x 1x 2＝16，Δ＝4(p ＋4)2－64＞0.所以y 1y 2＝(－x 1＋4)(－x 2＋4)＝－8p .由已知OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，从而16－8p ＝0，解得p ＝2.所以，拋物线的标准方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．图2－4－511．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点．【解】 (1)设l ：my ＝x －1与y 2＝4x 联立，得y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－3.(2)证明：设l ：my ＝x ＋n 与y 2＝4x 联立，得y 2－4my ＋4n ＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4n .由OA →·OB →＝－4＝(m 2＋1)y 1y 2－mn (y 1＋y 2)＋n 2＝n 2＋4n ，解得n ＝－2，∴l ：my ＝x －2过定点(2,0)．(教师用书独具)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．【思路探究】建立符合题设条件的平面直角坐标系，设出对应的抛物线方程，选取点的坐标代入，求得抛物线的方程．【自主解答】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．由题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25，即抛物线方程为x2＝－25y.∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一，设点B的坐标为(2，y B)，代入抛物线方程x2＝－25y，得y B＝－425，∴AB＝4－425＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．1．本例解题的实质是利用抛物线方程求点的坐标，建立坐标系的方法也不尽相同．2．抛物线的实际应用问题，一般可根据图形建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而可求出抛物线的标准方程，进而使问题获解．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．【解】 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为(a 2，－a 4)，如图所示． 设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a 4)，∴m ＝－a .即抛物线方程为x 2＝－ay .将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a . 欲使卡车通过隧道，应有y －(－a 4)>3， 即a 4－0.82a>3.由于a >0， 得上述不等式的近似解为a >12.21.∴a 应取13.。
数学物理教案：抛物线的性质与应用
数学物理教案：抛物线的性质与应用一、抛物线的性质实践教案1.1 抛物线的定义与基本性质抛物线是二次函数的图像，具有特殊的几何性质和应用价值。
在数学中，我们常用一般式方程 y=ax^2+bx+c （其中a≠0 ）来描述抛物线。
在这个教案中，我们将重点探讨抛物线的性质与应用。
首先，我们来介绍抛物线的基本性质。
抛物线的对称轴与 x 轴平行，方程形式为 x= -b/2a。
对称轴上的点称为抛物线的顶点，也是对称中心。
通过点对称性，可以得出抛物线关于顶点对称。
抛物线在顶点处取得最值，当 a>0 时，最小值为 -D/4a；当 a<0 时，最大值为 -D/4a。
其中 D=b^2 - 4ac 称为方程的判别式。
抛物线的开口方向由 a 的正负决定，当 a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。
1.2 抛物线的性质之焦点与准线接下来，我们将讨论抛物线的焦点和准线。
对于给定的抛物线，焦点F（p, q）是位于对称轴上的一个点，满足距离的性质：焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦点到准线上的相应点的距离。
准线是过焦点 F 且垂直于对称轴的一条直线，其方程为 y=-(D/4a)。
我们可以利用这一性质来确定焦点的坐标，通过解方程组将焦点的坐标表示为（p, q）=（-b/2a, -D/4a）。
二、抛物线的应用实践教案2.1 抛物线的应用之物体运动轨迹抛物线不仅在数学领域有重要性质，而且在物理学中也具有广泛的应用。
抛物线可用于描述和分析物体在自由落体或斜抛运动中的轨迹。
在物理学中，我们知道自由落体运动是指只受重力作用的运动。
当一个物体以初速度 v₀进行向下抛掷时，其运动轨迹可以用抛物线来描述。
根据抛物线的性质，我们可以计算物体的最高点、最大高度以及落地点等重要信息。
2.2 抛物线的应用之天体运动除了物体运动轨迹外，抛物线还可以用于描述天体的运动。
在天文学中，行星、卫星和彗星等天体在星际空间中的运动轨迹往往呈现出抛物线形状。
中学数学抛物线性质教案
中学数学抛物线性质教案一、教学目标1.了解抛物线的定义和基本性质。
2.掌握抛物线的顶点坐标、对称轴和焦点坐标的计算方法。
3.运用抛物线的性质解决相关问题。
4.培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学重点1.抛物线的定义和性质。
2.抛物线的顶点坐标、对称轴和焦点坐标的计算方法。
三、教学内容1.抛物线的定义和性质的介绍抛物线是指平面上一点的轨迹，使得该点到已知点（焦点）的距离与该点到已知直线（准线）的距离相等。
具体公式为：y = a*x^2 + b*x + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
2.抛物线的顶点坐标的计算方法抛物线的顶点坐标可以通过求导数或应用平移变换的方法计算得到。
设抛物线为y = ax^2 + bx + c，其中a≠0，顶点坐标为（h，k）。
（1）求导数法：对抛物线求导，令导数为0得到x = -b/2a，带入原方程得到y坐标，即为顶点坐标。
（2）平移变换法：将原抛物线平移至新坐标系（h，k）的坐标轴位置，可得到新的抛物线方程为y = a(x-h)^2 + k，顶点即为（h，k）。
3.抛物线的对称轴的计算方法抛物线的对称轴是指通过抛物线顶点，并且与抛物线平行的直线。
设抛物线为y = ax^2 + bx + c，其中a≠0，对称轴为x = p。
对称轴的坐标x = p可以通过使用求导数法求得顶点坐标后代入抛物线方程解得。
4.抛物线的焦点坐标的计算方法抛物线的焦点是指到抛物线上任意一点的距离与该点到准线的距离相等的点。
设抛物线为y = ax^2 + bx + c，其中a≠0，焦点坐标为（p，q）。
焦点的坐标（p，q）可以通过使用求导数法求得顶点坐标后代入抛物线方程解得。
四、教学方法1.讲授抛物线的定义和性质，并通过练习和例题巩固。
2.引导学生通过求导数法和平移变换法计算抛物线的顶点坐标，并进行练习和解答相关问题。
3.指导学生通过求导数法计算抛物线的对称轴，并进行练习和解答相关问题。
4.指导学生通过求导数法计算抛物线的焦点坐标，并进行练习和解答相关问题。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案教案：抛物线的简单几何性质一、教学目标：1.了解抛物线的定义和基本性质；2.掌握抛物线的几何特征，如顶点、焦点和准线等；3.能够在实际问题中应用抛物线的几何性质。
二、教学准备：1.教师准备：教材、黑板、白板、粉笔/白板笔；2.学生准备：纸、铅笔、直尺、计算器。
三、教学过程：1.导入（10分钟）：教师向学生介绍抛物线的定义，即平面上离一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离之比等于一个常数（离心率）的点的轨迹。
2.探究抛物线的性质（30分钟）：a)定义性质教师和学生一起探究抛物线的核心性质：(1)焦点离抛物线准线的距离等于焦点离顶点的距离；(2)抛物线关于准线对称；(3)抛物线拱点所在的直线过抛物线的焦点。
b)几何特征(1)顶点：抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，是抛物线的对称中心。
(2)焦点：焦点是抛物线离心率的定位点，也是抛物线的最高点或最低点离焦点最近的点。
(3)准线：准线是与抛物线平行且位于焦点上方的一条水平线。
c)抛物线方程教师给出标准抛物线方程y = ax² + bx + c，并与学生一起通过几何特征推导出方程的性质，如顶点坐标、焦点坐标、离心率等。
3.练习与应用（40分钟）：a)练习题学生完成一些关于抛物线的基本计算练习题，以加深对抛物线几何性质的理解。
b)实际应用学生在教师的指导下，应用抛物线的几何性质解决一些实际问题，例如求解最优路径、抛物线天花板设计等。
4.小结与评价（10分钟）：教师对本节课内容进行小结，并对学生的学习情况进行评价。
四、教学反思：通过本节课的教学活动，学生可以深入了解抛物线的几何性质，并能够应用这些性质解决实际问题。
为了培养学生的实际应用能力，教师可以增加更多的实际应用案例，并提供丰富的练习题目供学生练习。
为了提高教学效果，教师还可以在课堂中使用多媒体教学工具，如电子白板或投影仪，展示抛物线的几何特征和应用案例的图像。
在教学过程中，教师应该多与学生进行互动，引导学生发现问题并提出自己的解决思路。
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第3讲抛物线及其性质考纲展示命题探究考点一抛物线的标准方程1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2抛物线的标准方程顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝2px(p>0)；顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝－2px(p>0)；顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝2py(p>0)；顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝－2py(p>0)．注意点定义的理解和方程中p的意义(1)定义的实质可归纳为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M到点F的距离和它到直线l的距离的比值等于1.(2)p的几何意义是焦点到准线的距离.1．思维辨析(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( ) (3)抛物线就是一元二次函数的图象．( ) 答案 (1)× (2)× (3)×2．经过点P (16，－4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝－64y B ．y 2＝x 或y 2＝－64x D ．y 2＝x D ．x 2＝－64y答案 A解析 当抛物线的开口向右时，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，代入点P (16，－4)得：p ＝12，∴y 2＝x ；当抛物线的开口向下时，抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，代入点P (16，－4)得：p ＝32，∴x 2＝－64y ；综上所述，y 2＝x 或x 2＝－64y .3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x答案 B解析 由准线方程x ＝－2得－p2＝－2，且抛物线的开口向右(或焦点在x 轴的正半轴)，所以y 2＝2px ＝8x .[考法综述] 四种不同的抛物线的标准方程形式是考查重点，一种是求抛物线的方程，另一种是根据抛物线的方程研究它的几何性质．与抛物线定义有关的最值、轨迹问题及焦点弦问题．命题法 抛物线的定义及方程典例 (1)点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y(2)抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．[解析] (1)将y ＝ax 2化为x 2＝1a y ， 当a >0时，准线y ＝－14a ，由已知得3＋14a ＝6，所以1a ＝12，所以a ＝112. 当a <0时，准线y ＝－14a ，由已知得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，所以a ＝－136或a ＝112(舍)．所以抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y ，故选D.(2)抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.[答案] (1)D (2)2【解题法】 抛物线方程的求法(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p 的值，得到抛物线的标准方程．(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p 的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从统一角度出发，焦点在x 轴上，设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上，设为x 2＝by (b ≠0)．1.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 A解析 由y 2＝x 得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－14，设A 点到准线的距离为d ，由抛物线的定义可知d ＝|AF |，从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.2．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是( )A ．y 2＝－16xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝－12x答案 C解析 由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点(4,0)即为抛物线的焦点，故其方程为y 2＝16x .3．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.答案 2 2解析 y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，又p >0，所以x ＝－p2必经过双曲线x 2－y 2＝1的左焦点(－2，0)，所以－p2＝－2，p ＝2 2.4．已知F 1、F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．答案 x ＝－2解析 将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a 2＝1，则其焦点坐标为F 1(－2a,0)，F 2(2a,0)，且(2a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程得⎩⎨⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a⇒|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝－2.5．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.答案 1＋ 2解析 由题意，知C ⎝⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2，b . 又C ，F 在抛物线y 2＝2px (p >0)上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2p ×a 2， ①b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2，②由②÷①，得b 2a 2＝2b ＋aa ，即b 2－2ba －a 2＝0，解得b a ＝1±2(负值舍去)．故ba ＝1＋ 2.6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．解 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p .所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)． 故MN 的中点为E ⎝⎛2m 2＋2m 2＋3，－2m⎭⎫ ，|MN |＝ 1＋1m 2|y 3－y 4|＝4(m 2＋1)2m 2＋1m 2. 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4， 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.考点二 抛物线的几何性质1 抛物线的几何性质2 抛物线焦点弦的性质焦点弦：线段AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24； (2)y 1y 2＝－p 2； (3)焦半径|AF |＝x 1＋p2；(4)弦长l ＝x 1＋x 2＋p .当弦AB ⊥x 轴时，弦长最短为2p ，此时的弦又叫通径；(5)弦长l ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)． 注意点 解抛物线问题的注意事项(1)注意四种不同的方程下，焦点与顶点以及准线的对应位置． (2)注意定义的应用：将到焦点的距离与到准线的距离进行灵活转化.1．思维辨析(1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (2)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )(3)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )(4)若AB 是焦点弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4 B. 8 C ．12 D ．16答案 D解析 抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.3．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到焦点的距离是4，则P 点坐标为________．答案 (2，±4)解析 设y 2＝8x 的焦点为F ，则F (2,0)．设P (x ，y )．|PF |＝x ＋2＝4，∴x ＝2，代入抛物线得y ＝±4.∴P 点坐标为(2，±4)．[考法综述] 抛物线虽只有一个焦点和一条准线，却有许多有趣的性质，尤其焦点弦的性质一直是高频考点，与向量等知识综合命题的趋势较强，应予以高度关注．高考对本考点要求较高，试题难度较大．命题法 抛物线的几何性质及其应用典例 (1)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2(2)已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( )A.12 B ．1 C ．2D ．4[解析] (1)焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知，|PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12，故选A. [答案] (1)C (2)A【解题法】 抛物线的性质应用技巧及焦点弦问题解题策略(1)用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．(2)抛物线焦点弦问题求解策略求解抛物线焦点弦问题时，除灵活运用焦点弦的有关性质外，还要灵活应用抛物线的定义及数形结合思想求解．1．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案 A解析 由题可知抛物线的准线方程为x ＝－1.如图所示，过A 作AA 2⊥y 轴于点A 2，过B 作BB 2⊥y 轴于点B 2，则S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB 2||AA 2|＝|BF |－1|AF |－1.2.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3 C.52 D ．2答案 B解析 如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p ＝|FM |＝4.过Q 作QH ⊥l 于H ，则|QH |＝|QF |. 由题意，得△PHQ ∽△PMF ， 则有|HQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝34，∴|HQ |＝3. ∴|QF |＝3.3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12答案 C解析 由点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2,0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34，故选C.4．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 设圆的半径为r ，因为F (0,2)是圆心，抛物线C 的准线方程为y ＝－2，由圆与准线相交知4<r ，因为点M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，所以r ＝|FM |＝y 0＋2>4，所以y 0>2.故选C.5．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．答案 32解析 由题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，抛物线的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.不妨设点A 在第一象限，由⎩⎨⎧y ＝b axx 2＝2py，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pb ay ＝2pb 2a 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2.所以k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a＝4b 2－a 24ab .由已知F 为△OAB 的垂心，所以直线AF 与另一条渐近线垂直，故k AF ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，即4b 2－a 24ab ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，整理得b 2＝54a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝94a 2，故c ＝32a ，即e ＝c a ＝32.6．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．答案 x ＝－2解析 ∵c 2＝9－5＝4，∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y25＝1的右焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.7．已知A 是抛物线y 2＝4x 上一点，F 是抛物线的焦点，直线F A 交抛物线的准线于点B (点B 在x 轴上方)，若|AB |＝2|AF |，则点A 的坐标为________．答案 (3，－23)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233 解析 依题意，①若点A 位于x 轴上方，过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足记为A 1，则有|AB |＝2|AF |＝2|AA 1|，∠BAA 1＝60°，直线AF 的倾斜角为120°.又点F (1,0)，因此直线AF ：y ＝－3(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x －1)y 2＝4x (y >0)得⎩⎨⎧x ＝13y ＝233，此时点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233.②若点A 位于x 轴下方，则此时点F (1,0)是线段AB 的中点，又点B 的横坐标是－1，故点A 的横坐标是2×1－(－1)＝3，相应的纵坐标是y ＝－4×3＝－23，点A 的坐标是(3，－23)．综上所述，点A的坐标是(3，－23)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233. 8．已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM →.(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．解 (1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1.设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2)．由PF →＝3FM →，分别得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23. (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y得x 2－4kx －4m ＝0. 于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )． 由PF →＝3FM →，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415. 由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.又因为|AB |＝41＋k 2·k 2＋m ， 点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k 2. 所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝⎛⎭⎪⎫－13<m ≤43. 令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1.可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43.所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以，△ABP 面积的最大值为2565135.9．设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A 、B 两点，且|AB |＝26，求k 的值；(3)设点P 的轨迹是曲线C ，点Q (1，y 0)是曲线C 上的一点，求以Q 为切点的曲线C 的切线方程．解 (1)过P 作x 轴的垂线且垂足为N ，则|PN |＝y ，由题意可知|PM |－|PN |＝12，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝y ＋12， 化简得x 2＝2y (y ≥0)，即为所求． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝2y化简得x 2－2kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2，|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 24k 2＋8＝26，∴k 4＋3k 2－4＝0，又k 2≥0，∴k 2＝1，∴k ＝±1.(3)因为Q (1，y 0)是曲线C 上一点，∴12＝2y 0，∴y 0＝12， ∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，由y ＝12x 2，求导得y ′＝x ， ∴当x ＝1时，k ＝1.则切线方程为y －12＝x －1，即2x －2y －1＝0.如图所示，过点P (0，－2) 的直线l 交抛物线y 2＝4x 于A ，B两点，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M的轨迹方程．[错解][错因分析]本题可以设出直线l的方程，通过参数法求解．容易忽视的是直线l与抛物线交于不同两点时，直线的斜率k是有前提条件的．首先，k≠0；其次，消元后的一元二次方程的根的判别式大于0.忽视这些限制条件就扩大了所求轨迹的范围．[正解] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，设直线l 的方程为y ＝kx －2(k ≠0)．与抛物线方程y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－4(k ＋1)x ＋4＝0.(*) 由根与系数的关系，可得x 1＋x 2＝4(k ＋1)k 2，x 1x 2＝4k 2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝4k .又在平行四边形OAMB 中，AB 的中点为OM 的中点． 所以x 1＋x 2＝x ＝4(k ＋1)k 2，y 1＋y 2＝y ＝4k ，消去k ，得(y ＋2)2＝4(x ＋1)．又直线l 与抛物线y 2＝4x 交于不同的两点，故对于(*)，其Δ＝[－4(k ＋1)]2－16k 2＝32k ＋16>0，解得k >－12.代入y ＝4k ，可得y <－8或y >0.故点M 的轨迹方程为(y ＋2)2＝4(x ＋1)(y <－8或y >0)． [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[2016·衡水二中周测]若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝6xC ．y 2＝8xD ．y 2＝10x答案 C解析 ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线为x ＝－p2.∵点P (2，y 0)到其准线的距离为4，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2－2＝4，∴p ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选C.2．[2016·枣强中学仿真]已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y答案 D解析 ∵2c ＝4a ，∴c ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴b ＝3a ，∴渐近线y ＝±3x ，又∵抛物线C 2的焦点⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴d ＝p 22＝2，∴p ＝8，∴抛物线C 2的方程为x 2＝16y .3. [2016·衡水二中月考]如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案 C解析 如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |， ∴|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°.连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.4. [2016·武邑中学热身]已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )A.72 B ．3 C.52 D ．2答案 C解析 抛物线的准线方程为x ＝－12，当MQ ∥x 轴时，|MQ |－|QF |取得最小值，此时|QM |－|QF |＝3－12＝52，选C.5．[2016·衡水二中热身]已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5答案 B解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2，∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离， ∴⎝⎛⎭⎪⎫2－p 22＋y 20＝2＋p 2＝3. 解得：p ＝2，y 0＝±2 2.∴点M (2，±22)，根据两点距离公式有： ∴|OM |＝22＋(±22)2＝2 3.6. [2016·武邑中学期末]已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522＋2B.522＋1C.522－2 D.522－1答案 D解析 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，因为点P 到y 轴的距离为d 1，所以到准线的距离为d 1＋1，又d 1＋1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1，焦点F 到直线l 的距离d ＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|PF |＋d 2≥d ＝522，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1，选D.7．[2016·衡水二中预测]已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与抛物线方程联立得，⎩⎨⎧y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2y 2＝2px，消去y 整理得：x 2－3px ＋p 24＝0，可得x 1＋x 2＝3p .根据中点坐标公式，有3p2＝3，p ＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.8．[2016·枣强中学月考]过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B 、C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF |＝6，AF →＝2FB →，则|BC |＝( )A.92B ．6C.132 D ．8答案 A解析 不妨设直线l 的倾斜角为θ，其中0<θ<π2，点B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，则点B 在x 轴的上方．过点B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为B 1，于是有|BF |＝|BB 1|＝3，|AF ||AB |＝p|BB 1|，由此得p ＝2，抛物线方程是y 2＝4x ，焦点F (1,0)，cos θ＝p |AF |＝26＝13，sin θ＝1－cos 2θ＝223，tan θ＝sin θcos θ＝22，直线l ：y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)y 2＝4x 得8(x －1)2＝4x ，即2x 2－5x ＋2＝0，x 1＋x 2＝52，|BC |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋2＝92，选A.9．[2016·衡水二中猜题]已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________．答案17－1解析 由题意知，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1,0)．根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1.10．[2016·衡水二中一轮检测]已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为________．答案41解析 由题意得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4，圆心C 坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当m ＋|PC |最小时，为圆心与抛物线焦点间的距离，即(m ＋|PC |)min ＝(－3－2)2＋(－4)2＝41.11．[2016·冀州中学周测]已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．答案 254解析 由y 2＝8x 知2p ＝8， ∴p ＝4，则点F 的坐标为(2,0)．由题设可知，直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －2)，点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )．又点A (8,8)在直线上，∴8＝k (8－2)，解得k ＝43. ∴直线l 的方程为y ＝43(x －2)．①将①代入y 2＝8x ，整理得2x 2－17x ＋8＝0，则x A ＋x B ＝172，∴线段AB 的中点到准线的距离是x A ＋x B 2＋p 2＝174＋2＝254.12．[2016·冀州中学热身]已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可得x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.能力组13. [2016·枣强中学周测]设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝( )A.45B.23C.47D.12答案 A解析 如图，过A ，B 作准线l ：x ＝－12的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由于F 到直线AB 的距离为定值，∴S △BCF S △ACF＝|BC ||CA |. 又∵△B 1BC ∽△A 1AC ，∴|BC ||CA |＝|BB 1||AA 1|，由抛物线定义知|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2|AF |，∴S △BCF S △ACF ＝|BF ||AF |.由|BF |＝|BB 1|＝2知x B ＝32，y B ＝－3， ∴直线AB 的方程为y －0＝33－32(x －3)． 把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2， ∴|AF |＝|AA 1|＝52.故S △BCF S △ACF ＝|BF ||AF |＝252＝45.故选A. 14．[2016·冀州中学预测]已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5答案 C解析 设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线外，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|P A |＋|PM |＝|P A |＋d －12≥5－12＝92，即(|P A |＋|PM |)min ＝92.故选C.15．[2016·衡水二中热身]如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．答案2 6解析建立适当的坐标系，如图所示，可求出抛物线的方程是x2＝－2y，当y＝－3时，x2＝－2×(－3)＝6，所以x＝±6，即水面宽是2 6 米．16．[2016·武邑中学期末]设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解(1)由题意易知B，D两点关于y轴对称，所以|FB|＝|FD|.故△BFD为等腰直角三角形．设BD交y轴于点E，则|BE|＝|DE|＝|EF|＝p.所以|BD|＝2p.故圆F 的半径|F A|＝|FB|＝2p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|F A|＝2p.因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以F (0,1)．故圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°.由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33.当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0.由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p6. 因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3， 所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.。