抛物线的几何性质

抛 物 线
一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质
1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.
2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴
3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当
0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.
4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =
知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02
p
x =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p
例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()2
2,812925f x y x x x x =-++=++，
又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2
,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为
[)9,+∞
答案：[)9,+∞
二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：
知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.
（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是
1e >，抛物线的离心率是1e =；
⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；
⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线
例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.
分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.
答案：解：由2
2
169144x y +=得：22
1169
y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛
物线的标准方程为()220y px p =->，由
32
p
=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.
三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦
如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.
又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛
⎫⎛⎫=+
=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.
②022p AB x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭（焦点弦长与中点的关系）
③若直线AB 的倾斜角为α，则2
2sin p
AB α
= 推导：12AB AF BF x x p =+=++
由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220p
y y k k
+=
≠
1212122222y y y y p p p x x p p k k k k
+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=
+=+= ⎪⎝⎭
当k 不存在时，即90α=时，22sin p
AB α
=
亦成立 ④A B 、
两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2
124
p x x =，212y y p =-
分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：
焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：
()02p y k x k ⎛
⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px
⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝
⎭⎨⎪=⎩
，得：2220ky py kp --= ()2
22
42122
1212122
2,22444
y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2
p
x =
则22
2
2
12121212,,224
y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==
⑤
11AF BF +为定值2p
推导：由焦半径公式知，12,22
p p
AF x BF x =+
=+ ()12212
12121111
2224
x x p p p
p p AF BF x x x x x x ++∴
+=+=+++++
又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22
112
424
AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故
11AF BF +为定值2
p
.
2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质
（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切
（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.
例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4
π
的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.
解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F
的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过
点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：
111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛
⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
由222p y x y px
⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得2
22p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22
304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2
p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =
当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-
例4、已知抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，
且2132x x x =+，则有（ ）
123.A FP FP FP += 222
123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2
213.D FP
FP FP =
解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222
p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C
例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?
解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。