导学设计6山西大学附中高二年级两条直线的交点及两点间距离公式
山西大学附中高中数学（必修2）学案 编号6
两条直线的交点及两点间距离公式
【学习目标】学习两直线交点坐标的求法，判断两直线位置的方法，会求两点间距离公式；
【学习重点】用代数方法求出两条直线的交点坐标，会求平面内两点间的距离；
【学习难点】掌握直角坐标系两点间距离公式的应用，用坐标法证明简单的几何问题；
【学习过程】
一 、导学
1．设两条直线的方程分别是
00l A x B y C l A x B y C ++=++=：，：：
2. 结经过两条直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=交点的直线系方程为 111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，()R λ∈，不包括直线2220A x B y C ++=
3.两点间的距离公式：
4.中点坐标公式：
二、导练
1.判断下列两条直线是否相交，若相交，求出它们的交点：
（1）12273270l x y l x y -=
+-=：
，：； （
2）122
64041280l x y l x y -+= -+=：
，：； （3）12424023l x y l y x ++==-+：
，：． 2求,A B 两点间的距离：
（1）(2,0)(2,3)A B ---，；
（2）(0,3)(3,3)A B ---，；
（3）(3,5)(3,3)A B -，．
3．求AB 中点的坐标：
（1）(8,10)(4,4)A B -，； （2）((A B ，．
4. 已知(0,10),(,5)A B a -两点间的距离是17，则实数a 的值为_______________．
5. 已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5)(2,1)(4,7)A B C ---，，，求BC 边上的中线AM 的
长和AM 所在直线的方程．
6 直线l 经过原点，且经过另两条直线238010x y x y ++=--=，的交点，求直线l 的方程．
7已知直线l 经过两条直线233020x y x y --=++=，的交点，且与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程．
8 已知直线l 经过两条直线221003420x y x y -+= +-=，的交点，且垂直于直线 3240x y -+=，求直线l 的方程．
x。
两条直线的交点坐标两点间的距离公式
[解] (1)法一.∵|AB|＝ (3＋3)2＋(－3－1)2＝ 52＝2 13， |AC|＝ (1＋3)2＋(7－1)2＝ 52＝2 13， |BC|＝ (1－3)2＋(7＋3)2＝ 104＝2 26， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二.∵kAC＝1－7－(－13)＝32，kAB＝3－－3(－－13)＝－23， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝ (1＋3)2＋(7－1)2＝ 52＝2 13， |AB|＝ (3＋3)2＋(－3－1)2＝ 52＝2 13， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC 是等腰直角三角形． (2)S△ ABC＝12|AC|·|AB|＝12×( 52)2＝26， 即△ ABC 的面积为 26.
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为
A．1
B．－5
C．1或－5
D．－1或5
解析：∵|AB|＝ (a＋2)2＋(3＋1)2＝5，
∴a＝－5或a＝1. 答案：C
() ()
()
3．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的
距离是
()
[对点练清] 1．[变条件]在本例条件中将“与直线 3x＋y－1＝0 平行”改为“垂直”，其他
不变，又该如何求解？
解：两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为－35，－75.
又与直线3x＋y－1＝0垂直，故所求直线的斜率为
1 3
，因此所求直线的方
程为y＋75＝13x＋35，即5x－15y－18＝0.
二、应用性——强调学以致用 2．某地 A，B 两村在一直角坐标系下的位置分别为 A(1,2)，B(4,0)，一条河所在
高二数学直线的交点坐标与距离公式
思考3:上述直线l1与直线l2的交点M （-2，2）在这条直线上吗？当m，n为何 值时，方程 m(3x 4 y 2) n(2x y 2) 0 分别表示直线l1和l2？
却真的无力再缩写下去。我的心在颤抖，我的灵瑰在夜黑人静的街头徘徊。忧伤是很真实的，忧伤也是很复杂的。忧伤是因为舞台的失去，忧伤是因为通行的被剥夺，我还有怎样的光荣与梦想去迎接下一次的挑战。
当我的人生来到凭吊的遗址，当我的爱情走进玫瑰的墓冢，
当我的耕耘陷进世俗的泥塘。忧伤就是我所能呈现给你的唯一姿态。我的逃避与我的遮掩，只是我无援的思想。也许往前走一步，就来到了崩溃的边缘。我所能做出的选择就是在忧伤的背后，还自已一个无欲无求的心情。
A1 x A2 x
B1 y C1 B2 y C2
0 0
有惟一解，有无数组解，无解，则两直
线的位置关系如何？
知识探究（二）：过交点的直线系 思考1:经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2： 2x+y+2=0的交点可作无数条直线，你能 将这些直线的方程统一表示吗？
y-2=k(x+2)和x=-2
忧伤不会是错误的判断，忧伤是在困境中的辗转。你
的酸楚，与我的苦涩一样，充满了梅雨时节的味道。当你陷进突如其来的情绪低谷，当我遭遇难以摆脱的人生乱麻，忧伤就是命定的人间底色。诱惑逼得你忧伤，想像惹得我忧伤。伤痕刻入了肌肤的深处，埋葬了多年苦苦经营的事业与理想。
当这一切的不幸如倾盆大雨浇在
你身上，你的言语已经不再有任何的感动与欣慰。忧伤弥漫开来，无言以对周遭的存在。从此，你生命的影子是否会越来黯淡。温柔像唿哨，躲躲闪闪之间，忧伤接踵而至。而忧伤也让你学会思考许多问题，其中最关键的一个是你的下一颗棋子下在哪里，才能让你惊险的棋局转危为安。
高中数学两条直线的交点坐标两点间的距离
探究2：当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0
表示何图形?图形有何特点？
解：先以特殊值引路：
λ=0时，方程为l1：3x+4y-2=0
λ=1时，方程为l2：5x+5y=0
λ=-1时，方程为l3：x+3y-4=0
作出相应的直线
y
l1l2
l3
0x
所以当λ变化时，方程表示直线，所有的直线都过点（-2,2）.
在平面直角坐标系中，从点
分别向y轴和x轴作垂线，垂足分别为
.直线相交于点Q.
如图Rt△P1P2Q中，|P1P2|2= |P1Q|2+|QP2|2，为了计算|P1Q|和|QP2|长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为
M1（x1,0），过点P2向y轴作垂线，垂足为N2（0，y2），
Q
于是有
所以
所以两点
间的距离为
得y=2
∴l1与l2的交点是（2，2）。
设经过原点的直线方程为 y=k x
把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 y=x
3.两点间的距离公式
探究4：
（1）如果A，B是轴上两点，C，D是轴上两点，
它们的坐标分别是，，，，
那么|AB|，|CD|怎样求？
(2)已知，试求两点间的距离.
若
y
Ox
若
y
Ox
若
定是它们的方程组成的方程组的解.
交点坐标即是
方程组的解
如果方程组有解，
那么以这个解为坐标的点就是直线
和的交点.
【即时训练】
求下列各对直线的交点坐标，并画出图形：
答案：
例1求下列两条直线的交点坐标：
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式要求出两条直线的交点坐标，可以将两条直线的方程联立，得到如下方程组：a1x+b1=a2x+b2(1)y=a1x+b1通过对方程组进行求解，可以得到两条直线的交点坐标。
首先，我们可以将方程(1)两边关于x进行整理，得到：(a1-a2)x=b2-b1再将这个结果代入方程y=a1x+b1中，可以求解出y的值。
现在，我们来看一个具体的实例来说明如何通过方程组来计算两条直线的交点坐标。
假设有两条直线分别为y=2x+1和y=-3x+4我们可以将这两条直线的方程联立，得到方程组如下：2x+1=-3x+4(2)y=2x+1将方程(2)两边关于x进行整理，得到：5x=3解方程5x=3，可以得到x=3/5再将这个结果代入方程y=2x+1中，可以求解出y的值。
代入x=3/5，可以得到y=2*(3/5)+1=6/5+1=11/5因此，两条直线的交点坐标为(3/5,11/5)。
接下来，我们来介绍一下两点间的距离公式。
两点间的距离公式可以通过勾股定理推导得到。
假设有平面上的两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则点A和点B之间的距离可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以通过勾股定理的推导得到。
假设有直角三角形ABC，其中角C为直角，AB为斜边，AC为边长为a，BC为边长为b，AB为边长为c。
根据勾股定理可以得到a²=b²+c²。
将直角三角形ABC的顶点A(x1,y1)和B(x2,y2)的坐标代入，可以得到：c²=(x2-x1)²+(y2-y1)²开方后可以得到两点间的距离d，即：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这就是两点间的距离公式。
通过这个公式，我们可以计算出平面上两个点之间的距离，进而可以用来计算两条直线的距离。
总结起来，要确定两条直线的交点坐标，可以通过解直线方程组来计算。
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式直线是平面几何中最基本的图形之一，计算两条直线的交点坐标和距离是解决许多几何问题的基础。
在本文中，我们将详细介绍如何计算两条直线的交点坐标和距离的公式和方法。
首先，我们需要了解什么是直线。
在平面几何中，直线是由一组点组成的，这些点在同一条直线上，且直线上的任意两点可以确定直线的一条直线是由两个不同的点定义。
那么，如何计算两条直线的交点坐标呢？要计算两条直线的交点，我们需要利用直线的方程。
在平面几何中，直线可以由一般方程、点斜式方程和两点式方程表示。
1.一般方程：Ax+By+C=0。
其中A、B、C是常数。
2.点斜式方程：y-y1=m(x-x1)。
其中m是斜率，(x1,y1)是直线上的一个点。
3.两点式方程：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两个点。
像这样，当我们有两条直线的方程时，我们可以通过求解方程组，找到两条直线的交点坐标。
解方程组的方法有多种，比如代入法、消元法和克莱姆法则等。
让我们通过一个具体的例子来说明如何计算两条直线的交点坐标。
例1：已知直线L1的方程为y=2x-1，直线L2的方程为y=-x+3，求两条直线的交点坐标。
解：将L1和L2的方程联立起来，得到方程组：y=2x-1y=-x+3通过消元法，我们可以先将方程组中的y消去。
将L1中的y代入L2的方程中，得到：2x-1=-x+3整理方程，得到：3x=4解方程，得到：x=4/3将x的值代入L1的方程中，得到：y=2*(4/3)-1y=8/3-1y=5/3所以，两条直线的交点坐标为(4/3,5/3)。
接下来，我们将介绍如何计算两条直线的距离。
两条直线的距离是两条直线之间最短的直线距离，也就是垂直于两条直线的连线段的长度。
计算两条直线的距离，我们可以利用点到直线的距离公式来求解。
点到直线的距离公式:d=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)其中，A、B、C是直线的方程中的常数。
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式高二数学同步精品课件
导航系统：在 导航系统中， 两点间距离公 式可以用来计 算最短路径， 从而帮助用户 找到最佳路线。
建筑设计：在 建筑设计中， 两点间距离公 式可以用来计 算建筑物之间 的距离，以确 保符合规划要
求。
物流运输：在 物流运输中， 两点间距离公 式可以用来计 算货物运输的 距离和成本， 从而优化运输
方案。
解析几何中的综合问题
直线方程：ax+by+c=0 直线交点坐标：(x, y) 两点间距离公式：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) 例题解析：已知两条直线的方程，求它们的交点坐标及两点间的距离。
实际应用中的问题解析
公式应用：使用两条直线的 交点坐标公式求解
例题解析：通过具体的例子， 详细解析如何应用公式求解
a(d-b)/(a-c)+b)
两点间距离公式的推导过程
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)， 求两点间的距离
证明两点间距离公式的正确性： 通过几何图形的性质和勾股定理， 证明两点间的距离公式是成立的
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利用勾股定理，得到两点间的距 离公式为：d = √(x2-x1)² + (y2-y1)²
03
两点间的距离公式
两点间距离公式的推导
两点间距离的定义：两点之间直线距离 两点间距离公式的推导过程：使用勾股定理和相似三角形的性质 两点间距离公式的应用：计算两点之间的直线距离 两点间距离公式的局限性：仅适用于平面上的两点
两点间距离公式的应用
测量地图上的 距离：利用两 点间距离公式， 可以精确地测 量地图上的两 点之间的距离。
交点坐标
问题描述：已知两条直线的 方程，求它们的交点坐标
两直线交点坐标、两点间距离公式导学案 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
中学导学案2.3.1、2.3.2 两条直线的交点坐标和两点间的距离公式 导学环节导学内容教学目标及重难 点 1. 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。
2. 会根据方程组解的数量判定两条直线的位置关系。
3. 掌握数形结合、坐标法的数学思想方法，发展直观想象和数学运算的核心素养 自主学习问题预设1.点与坐标的一一对应关系 几何元素与关系 代数表示 点M ()b a M , 直线l ()0,0:不同时为B A C By Ax l =++ 点M 在直线l 上 直线l 与2l 的交点是M2.方程解的数量与两条直线的位置关系 方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解 直线1l 与2l 的公共点个数 直线1l 与2l 的位置关系4. 两点间的距离公式：已知平面内两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )间的距离|OP |＝ 合作探究合作探究例题1：求下列两直线交点坐标L1 ：3x+4y-2=0 L2：2x+y+2=0例2．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标。
（1）L1：x-y=0 L2： 3x+3y-10=0（2）L1：3x-y+4=0 L2： 6x-2y=0（3）L1：3x+4y-5=0 L2： 6x+8y-10=0例3：已知点A(-1,2),B(2,√7),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 例4：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边的平方和的两倍。
课堂展示教师随机安排，按分组或个人上台展示以上问题。
精讲短评1.知识点:2.方法技巧：3.数学思想：课堂检测课本第72页练习1、2、3 课本第74页练习1、2、3。
直线的交点坐标与距离公式知识点总结
直线的交点坐标与距离公式知识点总结直线是数学中重要的几何概念之一，我们经常会遇到需要求两直线交点坐标或者计算直线间距离的问题。
为了解决这类问题，学习直线的交点坐标与距离公式是非常必要的。
本文将对这些知识点进行总结。
直线方程的表示形式在讨论直线的交点坐标与距离公式之前，我们首先需要了解直线可以用哪些形式表示。
1. 斜截式一条直线可以通过截距和斜率来表示。
斜截式一般形式为：y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。
2. 一般式一条直线也可以用一般式表示，一般形式为：Ax+By+C=0，其中A、B、C是实数。
3. 点斜式直线还可以用点和斜率来表示。
点斜式的一般形式为：y−y1=k(x−x1)，其中(x1,y1)是直线上的一点，k是斜率。
直线交点坐标的计算当我们需要求两条直线的交点坐标时，可以利用直线的方程进行计算。
假设有两条直线L1和L2，它们分别由以下方程表示：L1:y=m1x+c1L2:y=m2x+c2交点的坐标可以通过以下步骤计算：1.将两条直线的方程联立，得到方程组。
m1x+c1=m2x+c22.将方程组中的未知数消去，求解出x的值。
3.将求得的x值代入任意一条直线方程中，求解出y的值。
4.得到交点的坐标(x,y)。
直线间距离的计算当我们需要求两条直线之间的距离时，可以使用以下公式计算。
假设有两条直线L1和L2，它们的方程分别为：L1:Ax+By+C1=0L2:Ax+By+C2=0直线L1和L2之间的距离可以通过以下公式计算：$d = \\frac{|C_2 - C_1|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}$这个公式的推导过程比较复杂，在此不做详细说明。
只需记住这个公式，我们就可以计算两直线间的距离了。
举例说明为了更好地理解直线的交点坐标与距离公式，让我们通过一个具体的例子来说明。
假设有两条直线L1:y=2x+1和 $L_2: y = -\\frac{1}{2}x + 3$，我们想要求它们的交点坐标和距离。
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件
命题方向1 ⇨两直线的交点问题
判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
[思路分析] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解 的个数．
(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1， 当a＝1，l2与l3重合． (4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1， 当a＝1时，l1与l3重合． 综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2； 当a＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2. [正解] D
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
1．两条直线的交点坐标 (1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点 坐标，因此解方程组即可．
(2)应用：可以利用两直线的___交__点__个__数____判断两直线的位置关系． 一般地，将直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的方程联
3．坐标法
(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．
( 2 ) 步 骤 ： ① 建 立 _ _坐_ _ _标_ _系_ _ _ _ _ ， 用 坐 标 表 示 有 关 的 量 ： ② 进 行 有 关 代 数 运 算 ； ③ 把 代 数 运 算 结 果
“翻译”成几何关系．
解法一：∵|AB|＝ －1－12＋[3－－1]2＝ 20＝2 5， |AC|＝ 3－12＋[0－－1]2＝ 5， |BC|＝ [3－－1]2＋0－32＝ 25＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形．
高二数学直线的交点坐标与距离公式
理论迁移 例1 判断下列各对直线的位置关
系，如果相交，求出其交点的坐标. （1）
（2） （3）
例2 求经过两直线3x+2y+1=0和 2x-3y+5=0的交点，且斜率为3的直线 方程.
例3 设直线y=k(x+3)-
3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标
问题提出
t
p
1 2
5730
1.在平面几何中，我们只能对直线作定
性的研究，如平行、相交、垂直等.在平面
直角坐标系中，我们用二元一次方程表示直
线，从而可以对直线进行定量分析，如确定
直线的斜率、截距等.
2.在同一平面内，两条直线之间存 在平行、相交、重合等位置关系，这些 位置关系的基本特征与公共点的个数有 关. 因此，如何将两直线的交点进行量 化，便成为一个新的课题.
知识探究（一）：两条直线的交点坐标 思考1:若点P在直线l上，则点P的坐标 (x0，y0)与直线l的方程Ax+By+C=0有什么 关系？
思考2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0， 直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置 关系分别如何？
天遍地飞出数不清的钻石，顷刻间绚丽多姿的钻石就同时绽放，整个大地和天空立刻变成了怪异的海洋……空气中瞬间绕动出神奇的鬼光之香……飞进主楼巍巍的紫红色 棱柱形前门，无比空阔豪华的大厅让人眼前一亮，扑面而来的空气能发出一种极稀有的悦耳风声并荡漾着阵阵绵香，这让人感觉有些迷茫怪异……大厅前方三尊超大的湖 青色翡翠坐姿神像神态诡秘地笑着，好像想出了一个得意的妙计。大厅两侧摆放着珍贵的文物奇石，在变幻幽淡的灯光下转动生辉……墙上超大的壁画凝重神秘……铺着 地毯的通道两旁，四十多米高的，活像一列威武齐整，玉树临风的仪仗队的美玉雕像威猛剽悍，神态冷漠。雕像之间八十多米高的，巨盆的鹅黄色的十球水滴形的亮光奇 花，肃穆而淡雅……抬头看去，大厅顶部上亿颗焰火雾淞般的梦幻吊灯，把大厅装点得分外辉煌。大厅正面中央的宝座上仍然坐着主ｌ官女总管瑶雯娃姑婆两旁还是坐着 那些副ｌ官和监ｌ官！一阵的钟声响过，主ｌ官女总管瑶雯娃姑婆站起身来，然后 看着蘑菇王子和知 知爵士问道：“你们两个准备好没有？”蘑菇王子答道：“我们准备好 了！”主ｌ官女总管瑶雯娃姑 分子泵 复合分子泵 高真空分子泵 / 磁悬浮分子泵 分子泵机组 分子泵系统 婆大声道：“那就开始吧！”女总管 瑶雯娃姑婆刚刚说完，就见深红色个穿着深红色琥滢琥滢衣的司仪官同时用手朝空中一指，随着五道闪光，整个大厅像菊花一样展开怒放，然后纷纷向远方退去，逐渐消 失在地平线之下……接着只见一座几乎无底透明、正在凌空漫游的巨大蛙掌形运动场，加速地在蘑菇王子和知知爵士的脚下展现出来，而悬空漫游的巨大运动场下面竟然 是一片虚幻俊傲、闷热中有些奇寒的灰蓝色水晶宫！悬浮在半空的ｌ场宏大巍峨、气势非凡，整个ｌ场由八座蛋形的天蓝色大型看台和一个东西长九公里，南北长九公里的 乳白色的比赛场地构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的ｌ场上，让洒满金辉的ｌ场在天蓝色的天空和金橙色的云朵映衬下越发怪异夺目……ｌ场四周悬浮着十几处色彩造型 各不相同的看台，看台上坐满了将近五十亿前来观看的师生，他门都穿着节日的盛装，远远看去就像一片片不断变幻色彩的云海……所有前来观看的师生都带着一只备有 压缩彩屏的三维，虽然只有拇指大小，但彩屏展开后最大面积却可达到只十英寸，使用时只要把插到座席前的折叠桌上，就可以从各种角度和距离观看现场所有的超清晰 立体景像。这毕竟是几十年都难得一见的盛大表演！虽然宇宙之大无奇不有，但敢拿万倍学资玩跳级的学生并不多见！所以整个ｌ场的气氛显得十分热烈高涨……在场地 中央悬浮着一片几乎透明的巨大玉米形草坪，草坪上盛长着厚羊绒般柔软而富有弹力