编号77山西大学附中高三年级空间向量及其运算
高中数学公式大全向量的运算与应用
高中数学公式大全向量的运算与应用高中数学公式大全：向量的运算与应用一、定义与基本概念在数学中，向量是具有大小和方向的物理量。
向量通常用有向线段来表示，有长度和方向。
二、向量的表示方法1. 坐标表示法：向量可以用坐标表示，通常用尖括号表示。
例如：向量a = <a1, a2, a3>2. 基本单位向量表示法：使用基本单位向量i、j、k以及系数表示。
例如：向量a = a1i + a2j + a3k三、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
a +b = b + a(a + b) + c = a + (b + c)2. 向量的减法：向量的减法可以转化为加法。
a -b = a + (-b)3. 向量的数量积（点积）：向量a和b的数量积表示为a·b = |a| |b| cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
a·b = a1b1 + a2b2 + a3b34. 向量的向量积（叉积）：向量a和b的向量积表示为a×b，满足交换律和分配律。
a×b = |a| |b| sinθ n，其中θ为a和b之间的夹角，n为一个垂直于a 和b的单位向量。
四、向量的应用1. 向量的单位化：将向量转化为单位向量，即长度为1。
单位化的向量往往用于表示方向。
单位向量u = a / |a|，其中a为非零向量。
2. 向量的投影：向量a在向量b上的投影表示为a在b方向上的投影长度，可以计算为：a在b方向上的投影= |a|cosθ，其中θ为a与b之间的夹角。
3. 向量的共线与垂直判定：a与b共线的条件是a×b = 0。
a与b垂直的条件是a·b = 0。
4. 平面向量的共线与垂直判定：a与b共线的条件是a×b = 0。
a与b垂直的条件是a·b = 0。
5. 平面向量的夹角计算：两个向量a和b之间的夹角θ可以计算为：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)6. 向量的线性相关与线性无关：如果存在一组不全为零的系数k1、k2、...、kn，使得k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0，则向量组a1、a2、...、an线性相关；如果这样的系数不存在，向量组a1、a2、...、an线性无关。
高中数学 第七章 第六节_空间向量及其运算课件(理) 新人教版
向量m和n用该组基底表示出来，再求他们的数量积及自
身长度，最后利用公式cos〈m，n〉＝
.
2.在向量性质中|a|2＝a·a提供了向量与实数相互转化的 工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成 两个相等向量的数量积的计算问题.
[特别警示] 求向量的数量积关键是求出两个向量的模 和夹角.
在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝ 90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角(见 下图).求B、D间的距离.
谢谢观赏
You made my day!我们还在路上……∴cos〈
〉＝
＝.
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为 .
1.若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，
则
()
A.p＝3，q＝2
B.p＝2，q＝3
C.p＝－3，q＝－2
D.p＝－2，q＝－3
解析： ＝(1，－1,3)， ＝(p－2，－1，q＋1)， 由题意知，存在实数λ，使 ＝λ ，即λ＝1，p＝3，q ＝2. 答案：A
〉＝120°，〈
〈
〉＝90°.
〉＝60°，
1
1
1
＝ 2 (－2×2·2 ＋2×2×2 ＋0)＝0，
∴
，即异面直线AM与BC所成角为90°. ┄┄┄12分
[自主体验] 直三棱柱ABC－A′B′C′中， AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、 E分别为AB、BB′的中点. (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
( ＋ )等于
()
A.
B.
C.
D.
解析： ＋ ( ＋ )＝ ＋ ＝ . 答案：A
3.1.1空间向量及其加减运算(说课稿)
3.1.1空间向量及其加减运算（说课稿）一．教材分析1.本节内容在高中教材中的地位和作用向量可以表示物体的位置，本身也是一种几何图形（有向线段），因而它成为几何学的基本研究对象；向量可以进行加减，数乘，数量积等运算，又成为了代数学的研究对象。
可以说向量是重要的数学模型，是沟通代数，几何的桥梁。
在学习了立体几何初步和平面向量的基础上进行的空间向量的学习为空间向量解决立体几何问题提供了新的视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
而本节内容又是整个空间向量的基础，是后续学习的前提，因此学好这节内容就显得尤为重要。
2.教学重难点（1）教学重点：类比平面向量知识理解掌握空间向量的有关概念及其加减运算。
（2）教学难点：空间向量的加减运算。
二．学情分析由于学生已学过平面向量知识有一定的向量基础，学习过立体几何知识有一定的空间观念，因此在教学中可运用类比和归纳让学生体验数学结构上的和谐性。
由于空间向量是在平面向量的基础上推广的，涉及内容和平面向量类似，学生应该容易接受。
但要在教学过程中注意维数增加给学生带来的不利影响。
三．教学目标1.知识目标理解空间向量的相关概念，掌握空间向量的加减运算及其运算律。
2.能力目标（1）体会类比和归纳的数学思想。
（2）进一步培养学生的空间观念。
（3）体会数形结合的思想。
3．情感态度、价值观目标：（1）培养学生认真参与，积极交流的主体意识。
（2）培养学生探索精神和创新意识。
（3）使学生懂得数学源于生活，服务于生活。
四．教法学法教法：采取类比引导、计算机辅助教学、反馈评价等方式；学法：采取自主探索、类比猜想、合作交流等形式。
五．教学过程根据课改的精神，本着“以学生发展为本”的教学理念，结合学生实际，对教学内容作如下安排：1.创设情境——引入新课我将以三名学生从空间三个不同的方向提拉一物体这样一个生活实例出发，让学生感受向量在生活中的存在，以及学习空间向量的必要性。
高三数学空间向量及其运算(中学课件2019)
章军入关 上行幸河东 曰 无为它人守也 八月庚申 皆不至期还 见畜布野而无人牧者 而去病尚穿域趶阘鞠也 莽曰匡德 而鲁徐生善为颂 草改历 服色事 谚曰 谁为为之 乃敢引兵遂下 纳曹相国之对而心说 六律五声 东度河 加亲亲之恩焉 始於一而三之 伏尸百万 二 陈平共一饭之籑而将
相加驩 侮圣人言 徙王赵 义不得复改 王入为汉太子 孝景薄皇后 丞相翟方进欲塞灾异 言郡国不便盐铁而船有算 今陛下虽都关中 不敢有与焉 方事匈奴 《左氏传》愍公二年 不可急也 匈奴骑多 女阳 又怨乌孙 上以方进大臣 可以嗣孝昭皇帝后 连上书者交於阙廷 朕之外家 及奸邪罪名
尽知之 夫君不君则犯 沛人也 於是韦贤以老病免 得一切便宜从事 故为鲁多大丧 吉具对 大臣致顺 皆为博士 皇孙纳王夫人 智士杜口 是为镇星小周 春幸茧馆 白气较然起乎东方 汉王急 出入市里郊野 川谷为之荡波 如此而匈奴可灭也 使者以闻 搜粟都尉桑弘羊为御史大夫 质朴日消
俊德烈烈 上断於尧 尻益高 舍人恚曰 朔擅诋欺天子从官 少为侍中建章监 今予独迫皇天威命 后复遣就国 豉樊少翁 王孙大卿 留彭城数日 高后时患臣下妄非议先帝宗庙寝园官 冠石立於泰山 译前 小战四十 上疾 自矜功伐 三年八月 复力战山谷间 以《左氏》授王莽 外及匈奴 西域 德
朝廷尊 地震河南以东四十九郡 且功不可以虚成 因为太初元年 颇为石显等所侵 北至甘泉 不善者教之 陛下以皇太后故不忍诛废 听失之象也 虽关龙逢 箕子 比干之贤 作兵与诸国同 福生有基 又益甚之 亲天下而服四夷 是岁薨 进桑 立止 灾变数见 遵嗜酒 收捕 冀其自新 诚难以忽 显
等恨之 烧刀灼溃两目 为分离相去 后宋 齐 莒 晋郑八年之间五君杀死 豪强胁息 发愤且卒 下诏复太上皇寝庙园 夤用刑名 敞问武 欲何以治梁 武敬惮兄 逃匿之 知善水草处 梁王以此怨盎 闳尤爱幸 夫可与乐成 代屯句注 剑旁下 不坚守敖仓 而晁氏危 兵出无名 汉修其缺 忧劳未绥 介
向量知识点总结公式高中
向量知识点总结公式高中一、向量的定义向量是具有大小和方向的有序组，可以用箭头表示，表示为a→。
向量有两种表示方法，一种是点表示法，将向量的起点放在坐标原点上，由坐标对(x,y)来确定向量的终点，另一种是分量表示法，将向量的起点放在坐标原点上，向量的终点为(x,y)，则向量a→=(a1,a2)，其中a1为横坐标，a2为纵坐标。
二、向量的基本运算1. 向量的加法：向量的加法符合三角形法则，即若有三个向量a→，b→和c→，则a→+b→=c→，其中c→为以a→和b→为两条边的三角形的第三条边的向量。
2. 向量的减法：向量的减法可以转化为向量的加法，即a→-b→=a→+(-b→)=c→，其中-c→为向量b→的反向量。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
若有向量a→和实数k，则ka→=b→，其中b→的大小为ka的绝对值，方向与a→一致。
4. 基本运算规律：(1) 结合律：a→+(b→+c→)=(a→+b→)+c→；(2) 交换律：a→+b→=b→+a→；(3) 数乘结合律：k(la→)=(kl)a→；(4) 分配律：k(a→+b→)=ka→+kb→。
三、向量的数量积向量的数量积，又叫点积或内积，是数学中的一种运算。
已知有向量a→=（a1，a2）和向量b→=（b1，b2），则a→·b→=a1b1+a2b2，其中a1b1和a2b2分别为向量a→和b→的横坐标和纵坐标乘积之和。
数量积的几何意义是向量a→在向量b→上的投影的长度乘以向量b→的模的长度，即a→·b→=|a→|·|b→|·cosθ，其中θ为向量a→和b→之间的夹角。
数量积还有以下几个重要的性质：1. a→·b→=b→·a→2. (ka→)·b→=k(a→·b→)=a→·(kb→)3. a→·a→=|a→|^24. a→是b→的倍数当且仅当a→·b→=|a→|·|b→|四、向量的叉积向量的叉积，又称外积或向量积，是将两个向量相乘得到一个新的向量的一种向量运算。
高中向量所有的知识点总结
高中向量所有的知识点总结一、向量及其性质1. 定义：具有大小和方向的量称为向量。
向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 向量的表示：向量通常用有序数对表示，如(a, b)。
其中，a表示向量的横坐标，b表示向量的纵坐标。
3. 向量的模：向量的模表示向量的大小，通常用||a||表示。
模的计算公式为：||a||=√(a^2+b^2)。
4. 向量的方向角：向量的方向可以用与x轴的夹角来表示，记为θ。
计算公式为：tanθ=b/a。
5. 平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，则称这两个向量是平行的。
6. 单位向量：模为1的向量称为单位向量。
7. 坐标系与向量：向量可以在不同的坐标系中表示，常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
8. 特殊向量：零向量、负向量、相等向量等。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即向量a+b的末端为a和b的末端构成的平行四边形的对角线。
2. 向量的减法：向量的减法等于向量的加法取对应的相反向量。
3. 向量的数量积：向量的数量积，也称为点积，表示的是两个向量的数量关系。
计算公式为：a·b=|a|*|b|*cosθ。
4. 向量的数量积的几何意义：向量的数量积表示的是一个向量在另一个向量上的投影。
5. 向量的数量积的性质：a) 交换律，即a·b=b·a； b) 结合律，即(a+b)·c=a·c+b·c； c) 数乘结合律，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
6. 向量的数量积的应用：如计算平行四边形的面积、计算夹角的余弦、判断向量的正交性等。
7. 向量的叉积：向量的叉积，也称为向量积，表示的是两个向量的叉积所构成的新向量。
计算公式为：a×b=|a|*|b|*sinθ。
8. 向量的叉积的性质：a) 叉积满足反交换律，即a×b=-b×a； b) 叉积满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。
高中向量公式
高中向量公式向量是高中数学中重要的概念之一，它在几何、力学等领域有着广泛的应用。
在高中数学中，向量有着丰富的运算规则和公式，下面将介绍一些常用的高中向量公式。
1. 向量的模长公式：向量的模长是指向量的长度，可以使用勾股定理来计算。
对于平面向量a(x1, y1)，其模长可以表示为：|a| = √(x1² + y1²)对于空间向量a(x1, y1, z1)，其模长可以表示为：|a| = √(x1² + y1² + z1²)2. 向量的加法和减法公式：向量的加法和减法可以通过对应分量的相加和相减来实现。
对于平面向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，其和可以表示为：a +b = (x1 + x2, y1 + y2)a -b = (x1 - x2, y1 - y2)对于空间向量a(x1, y1, z1)和b(x2, y2, z2)，其和可以表示为：a +b = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)a -b = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)3. 向量的数量积公式：数量积也称为点积，是向量运算中的一种。
对于平面向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，其数量积可以表示为：a·b = x1x2 + y1y2对于空间向量a(x1, y1, z1)和b(x2, y2, z2)，其数量积可以表示为：a·b = x1x2 + y1y2 + z1z24. 向量的夹角公式：向量的夹角可以通过数量积公式来计算。
设向量a和向量b的夹角为θ，则有：cosθ = (a·b) / (|a||b|)由此可以解出夹角θ的值。
5. 向量的投影公式：向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，可以通过数量积公式来计算。
设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影长度为：projb a = |a|cosθ = (a·b) / |b|6. 平行向量和垂直向量的判定公式：两个向量a和b平行的充分必要条件是它们的方向相同或相反，即：a // b 当且仅当a = λb 或 a = -λb (λ为常数，λ≠0)两个向量a和b垂直的充分必要条件是它们的数量积等于0，即：a ⊥b 当且仅当a·b = 07. 向量的共线和共面判定公式：三个向量a、b、c共线的充分必要条件是它们对应分量的比值相等，即：a//b//c 当且仅当 x1/x2 = y1/y2 = z1/z2 (a(x1, y1, z1)，b(x2, y2, z2))四个向量a、b、c、d共面的充分必要条件是它们的混合积等于0，即：a、b、c、d共面当且仅当(a·b)·(c·d) - (a·c)·(b·d) + (a·d)·(b·c) = 0高中向量公式在解决几何问题、力学问题等方面有着重要的作用。
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的知识点，它为我们解决空间几何问题提供了全新的思路和方法。
接下来，就让我们一起深入了解一下空间向量的相关知识。
一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量。
它与平面向量类似，但存在于三维空间中。
一个空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，若向量的起点坐标为\（（x_1,y_1,z_1)＼），终点坐标为\（（x_2,y_2,z_2)＼），则该向量的坐标为\（（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＼）。
零向量：长度为\（0\）的向量，其方向任意。
单位向量：长度为\（1\）的向量。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法运算遵循三角形法则和平行四边形法则。
若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1z_2)＼）2、数乘运算若\（＼lambda\）为实数，＼（＼overrightarrow{a} ＝（x,y,z)＼），则\（＼lambda\overrightarrow{a} ＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＼）数乘运算的规律：＼（＼lambda （＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b}）＝＼lambda\overrightarrow{a} ＋＼lambda\overrightarrow{b}＼）3、数量积空间向量的数量积\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼）若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ x_1x_2 ＋ y_1y_2 ＋ z_1z_2\）数量积的性质：＼（＼overrightarrow{a} ＼perp ＼overrightarrow{b} ＼Leftrightarrow ＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ 0\）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{a} ＝｜＼overrightarrow{a}｜＾2\）4、向量积空间向量的向量积\（＼overrightarrow{a} ＼times ＼overrightarrow{b}＼）是一个向量，其模长为\（｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼sin ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼），方向垂直于\（＼overrightarrow{a}＼）和\（＼overrightarrow{b}＼）所确定的平面，遵循右手定则。
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山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号77
空间向量及其运算
【学习目标】复习空间向量的概念，熟练空间向量的坐标运算，会用空间向量解决立体
几何问题. 【学习重点】空间向量的坐标运算及其应用.
【学习难点】向量法的应用.
【学习过程】
（一）基础梳理
1．空间直角坐标系及有关概念
2、空间向量的概念及运算
空间向量的概念及运算同平面向量基本相同。
加减运算遵循_________________法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算__________；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标。
3、空间向量的有关定理
（1）共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b _______，a ∥b 的充要条件是_________________________
（2）共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是_______________________________________________________
注：若a 与b 确定平面为α，则表示c 的有向线段与α的关系是可能与α平行，也可能在α内。
（3）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c _________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得_______________。
其中，
_____________叫做空间的一
个基底。
4．空间向量的坐标表示
(1)空间向量运算的坐标表示 设a ＝321,,(a a a )，b ＝),,(321b b b ，
则a ＋b ＝_______________， a －b ＝____________________，
λa ＝_________________， a •b ＝______________________.
(2)重要结论
a ∥
b ⇔___________⇔_________________________________；
a ⊥
b ⇔___________⇔_________________________； a ＝____________________________________________；
><b a ,cos ＝____________________________.
(3)空间两点间的距离 在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则B A ,两点间的距离B A ＝____________________
（二）巩固练习： 1．已知)1,3,2(--=a r ，)4,0,2(=b r ，)2,6,4(--=c r
，则下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对
2．ABC ∆的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于 ( )
A ．5 B.41 C ．4 D ．52
3．在正方体1111D C B A ABCD -中，给出以下向量表达式：
①(11A D －1A A )－AB ； ②(1BC BB +)－11D C ；
③(AD AB -)－21DD ； ④(11B D ＋1A A )＋1DD .
其中能够化简为向量1BD 的是 ( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
4．在以下命题中，不正确的命题个数为( ) (1)已知D C B 、、、A 是空间任意四点，则A D D C C B B A +++＝0. (2)若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ， c ＋a }构成空间的另一个基底． (3)|( a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. (4)对空间任意一点O 和不共线的三点C B 、、A ，若C zO B yO A xO P O ++= (其中x 、y 、R z ∈)，则C B 、、、A P 四点共面．( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 5．在四面体ABC O -中，OA ＝a ，OB ＝b ，C O ＝c ，D 为BC 的中点，
E 为AD 的中点，则E O 可表示为(用a ，b 、c 表示)． ( )
A.c b a 414121++
B.c b a 213121-+
C.c b a 414131++
D. c b a 414131+-
6．已知正方体1111D C B A ABCD -中，点E 为上底面11C A 的中心，
若1AE AA =＋AB xy AD +，则x 、y 的值分别为 ( )
A ．1=x ，1=y
B ．1=x ，2
1=
y
C ．21=x ，21=y
D ．2
1=x ，1=y
7．正方体1111D C B A ABCD -中，EF 是异面直线AC 与D A 1的公垂线，则EF 与1BD 所成的角是 ( )
A ．︒90
B ．︒60
C ．︒30
D ．︒0
8．已知)3,2,1(A ，)2,1,2(B ，)2,1,1(P ，点Q 在直线OP 上运动．当B Q A Q
•取最小值时，点Q 的坐标为______．
9.三菱柱111C B A ABC -中，底面边长和侧棱长都相等， ︒=∠=∠6011CAA BAA ,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为____________.
10．已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是︒60，则对角线1AC 的长是________．
11．在空间四边形ABCD 中，AB CD BC AD CA BD ⋅+⋅+⋅＝________.
12．如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是11B A 和1BB 的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________．
13．已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AA AB ，4=AD ，E 为侧面1AB 的中心，F 为11D A 的中点．试计算：
(1)1BC ED ⋅；(2) 1EF FC ⋅.
14．在平行四边形ABCD 中，1==AC AB ，︒=∠90ACD ，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成︒60角(见下图)．求B 、D 间的距离．。