必修1-最值(1)
人教版必修1教学课件：1 第2课时 函数的最大值、最小值课件牛老师
所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
()
A．f(2)，f(－2) C．f(12)，f(－32) 答案： C
B．f(12)，f(－1) D．f(12)，f(0)
2．函数 f(x)＝2xx＋＋76
x∈[1，2] x∈[－1，1]
，则 f(x)
的最大值、最小值为( )
A．10,6
B．10,8
C．8,6
D．以上都不对
解析： 本题为分段函数最值问题，其最大值 为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上 最小值中的最小值． 当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10， 当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8. ∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10. 答案： A
[题后感悟] 利用函数图象求最值是求函数最 值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意 义为依据，对较为简单的且图象易作出的函数 求最值较常用．图象法求最值的一般步骤是：
值．
1.试求函数 y＝|x－2|＋ x＋12的最
解析： 原函数变为 y＝|x－2|
＋|x＋1|＝
－2x＋1
3 2x－1
x≤－1 －1＜x≤2
数M满足：
条件
(1)对于任意的x∈I， 都有_f_(x_)_≤__M__.
(1)对任意x∈I，都 有_f(_x_)_≥__M_.
_(f_2(x_)存0_)_＝在__Mx_0.∈I，使
(_f2_()x_存0_)_＝在__Mx_0∈I，使
新教材人教B版必修第一册 3.1.2.2 函数的最大值、最小值 课件(57张)
(2)当a≤1时,f(x)max=f(2)=5-4a;
当a>1时,f(x)max=f(0)=1,
所以f(x)max=
5 4a,a 1， 1,a 1.
【解题策略】一元二次函数的最值
(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴,根据对称轴和定义域的关系确定最值
【思路导引】求函数的最大值、最小值问题,应先考虑其定义域,由于是二次函 数,所以可以采用配方法和图像法求解.
【解题策略】 (1)函数y=ax2+bx+c(a>0)在区间 (, b ]上是减函数,在区间
2a
[ b , )上是增函数,当x=- b 时,函数取得最小值.
2a
2a
(2)函数y=ax2+bx+c(a<0)在区间 (, b ] 上是增函数,在区间 [ b , ) 上是
点,代入函数解析式求最值.
(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为x=m,区间[a,b]为例,
f a , m a，
①最小值:f(x)min=
f
m
,
a
m
b，
f b, m b.
②最大值:f(x)max=
f f
a, b,
m m
a a
2 2
b， b.
当开口向下、区间不是闭区间等时,类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.
x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2), y y2 y1 (即 f ___x_2___x_1____)，
x x2 x1 x
称 f f x2 f x1 为函数在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均
3.2.1函数的单调性与最值(教学课件)——高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
−2 − 2 + 1, ＜0，
−（ + 1）2 + 2, ＜0，
函数图像如图所示,单调递增区间为（-∞，-1］和［0，1］,单调递减区间为
［-1,0］和［1,+∞）.
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方法感悟
利用图像法判断函数单调性的注意点
凡是能作出函数图像的单调性问题，都可用图像法解决.此法主要用于
利用定义证明函数单调性的方法
注意：作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因
式乘积的形式.
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题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
2.用图像法证明函数的单调性
例2
求下列函数的单调区间：（1）y＝|x2+2x-3|；（2）y＝-x2+2|x|+1.
解（1）令f（x）＝x2+2x-3＝（x+1）2-4，作出f（x）的图像，保留其在x轴上方
从而这个函数的最小值为f（-1）=2，最大值为f（6）=23.
提示 例2的结论也可由不等式的知识得到：因为-1≤x≤6，所以3≤3x≤18，
2≤3x+5≤23，即f（-1）≤f（x）≤f（6），其余同上.
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题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
1.用定义法证明函数的单调性
图像可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即
1
y随着x的增大而增大；从反比例函数y=的图像可以看出，在（-∞，0）
和（0，+∞）内，这个函数的函数值y都随着x的增大而减小.
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人教A版(老课标)数学必修1--第一章 集合与函数概念2 第2课时 函数的最大值、最小值
数学建模， 数学运算
第一章 集合与函数概念
问题导学 预习课本 P30－32，思考以下问题： (1)函数最大(小)值的定义是什么？ (2)从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？
栏目 导引
第一章 集合与函数概念
最大值和最小值
最大值
最小值
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M
栏目 导引
第一章 集合与函数概念
(2019·福州高一检测)已知函数 f(x)＝x2＋x 1 . (1)判断函数 f(x)在[－3，－1]上的单调性，并用定义法证明； (2)求函数 f(x)在[－3，－1]上的最大值．
栏目 导引
第一章 集合与函数概念
解：(1)函数 f(x)在[－3，－1]上为增函数． 理由：设－3≤x1＜x2≤－1， f(x1)－f(x2)＝x1＋x11－x2＋x12 ＝(x1－x2)＋x2x－2x1x1 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 1， 由－3≤x1＜x2≤－1 可得 x1－x2＜0，x1x2＞1， 即有 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 可得 f(x)在[－3，－1]上为增函数． (2)因为函数 f(x)在[－3，－1]上递增， 所以 f(x)的最大值为 f(－1)，即为－2.
以函数 f(x)＝4x2－mx＋1 的对称轴方程为 x＝m8 ＝－2，即 m＝ －16. 又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且 f(x)在[－2，＋∞)上递增． 所以 f(x)在[1，2]上递增， 所以当 x＝1 时，f(x)取得最小值 f(1)＝4－m＋1＝21； 当 x＝2 时，f(x)取得最大值 f(2)＝16－2m＋1＝49. 所以 f(x)在[1，2]上的值域为[21，49]．
必修1课件1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)
f ( x2 ) x2
f ( x1 ) x1
f ( x2 ) x2
x
x
图4
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．
1.增函数与减函数 定义：对于函数y=f(x)的定义域I内某个区间上的任 意两个自变量的值x1,x2， ⑴若当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),则说在这个区间上 是增函数； ⑵若当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),则说在这个区间上 是减函数. y y
∴ g ( x1 ) g ( x2 ) 且 g ( x1 ), g ( x2 ) (m, n) ∵ y f (u ) 在 (m, n) 上是增函数， ∴ f [ g( x1 )] f [ g( x2 )] 所以复合函数 y
f ( g ( x)) 在区间 ( a, b)
上是增函数
证明：②设 x1 , x2 (a, b) ，且 x1 ∵u
§1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)
问题提出
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到 了以下一些数据：
时间间 隔 t 记忆量y (百分比) 8-9 1天 刚记忆 20分 60分 完毕 钟后 钟后 小时后 后 100 58.2 44.2 35.8 2天 后 6天 一个 后 月后
x 1 x 1
2 0且 x 1 x 1 0
2 1 2 2
又 x 1 x | x | x
2 2
x 1 x即x x 1 0
2 2
2 x1 x12 1 0, x2 x2 1 0
2 1 2 2
x 1 x 1
( x2 x1 )
高一数学必修1第一章函数最值
教学目标1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点重难点 3.会求一些简单函数的定义域、函数值。
【知识回顾与能力提升】1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]3.其他区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)4.函数相等如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们称这两个函数相等．【新知识梳理与重难点点睛】1．定义域为I 的函数f(x)的增减性2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，就说函数y ＝f (x )在区间D 上具有(严格)的单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．3．最大值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最大值是图象最高点的纵坐标．4．最小值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最小值是图象最低点的纵坐标．要点一 利用图象求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值．解 作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1.当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0.规律方法 1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值．2．如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值．跟踪演练1 已知函数f (x )＝3x 2－12x ＋5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值： (1)x ∈R ；(2)[0,3]；(3)[－1,1]． 解 f (x )＝3x 2－12x ＋5＝3(x －2)2－7. (1)当x ∈R 时， f (x )＝3(x －2)2－7≥－7， 当x ＝2时，等号成立．即函数f (x )的最小值为－7，无最大值．(2)函数f (x )的图象如图所示，由图可知，函数f (x )在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f (0)＝5，f (2)＝－7，f (3)＝－4，所以在[0,3]上，函数f (x )在x ＝0时取得最大值，最大值为5，在x ＝2时，取得最小值，最小值为－7.(3)由图象可知，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )max ＝f (－1)＝20，f (x )min ＝f (1)＝－4.要点二 利用单调性求函数的最值例2 求函数f (x )＝x x －1在区间[2,5]上的最大值与最小值．解 任取2≤x 1<x 2≤5， 则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2x 2－1，f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1)， ∵2≤x 1<x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0. ∴f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是单调减函数．∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000(0≤x ≤400)，60 000－100x (x ＞400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000；∴当x ＝300时，f (x )max ＝25 000，当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )＜60 000－100×400＜25 000. ∴当x ＝300时 ，f (x )max ＝25 000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．规律方法 1.解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．2．实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．跟踪演练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？ 解 设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个． ∴y ＝(x －40)(1 000－10x ) ＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000. 故当x ＝70时，y max ＝9 000.答 售价为70元时，利润最大为9 000元．1.函数f (x )(－2≤x ≤2)的图象如图所示，则函数的最大值和最小值分别为( )A ．f (2)，f (－2)B ．f (12)，f (－1)C ．f (12)，f (－32)D ．f (12)，f (0)答案 C解析 由图象可知最大值为f (12)，最小值为f (－32)．2．已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )∴f (x )最小值为f (0)＝f (2)＝0. 而a <－x 2＋2x 恒成立，∴a <0.10．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则a 的取值范围是________． 答案 (1,3]解析 由题意知f (x )在[1，a ]上是单调递减的， 又∵f (x )的单调减区间为(－∞，3]， ∴1<a ≤3.11．画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间及最小值．解 f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.三、探究与创新12．求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[－1,1]上的最小值．解 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a ，且函数图象开口向上，如图所示：①当a >1时，f (x )在[－1,1]上单调递减， 故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；②当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1,1]上先减后增， 故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；③当a <－1时，f (x )在[－1,1]上单调递增， 故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a . 综上可知f (x )的最小值为。
高一数学必修一函数的最值问题试题
函数的最值问题（高一）一．填空题：1. ()35,[3,6]f x x x =+∈的最大值是 。
1()f x x=，[]1,3x ∈的最小值是 。
2.函数y =的最小值是 ，最大值是3.函数212810y x x =-+的最大值是 ，此时x = 4.函数[]23,3,21x y x x -=∈--+的最小值是 ，最大值是 5.函数[]3,2,1y x x x=-∈--的最小值是 ，最大值是 6.函数y=2-x -21+x 的最小值是。
y x =-的最大值是 7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 最小值是 .8.函数()21f x x =-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。
9.函数y =x x 213+-（x ≥0）的值域是______________. 10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值 。
12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 222251x x y x x ++=++的最大值是 14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为：18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是 。
二、解答题20.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 a 的值。
【课件】函数单调性与最值(第1课时) 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
______．
2、 在区间 (0,+∞)
_____ 上，f(x)的值随着x的增大而
增大
_____．
引入
知识点一、增函数、减函数的定义
前提条件
复习引入
条件
设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I
∀x
________________，x
1＜x2
1，x2∈D
都有 f(x1)＜f(x2)
都有 f(x1)＞f(x2)
x
满足f ( ) f ( x) f ( y ),
y
（1）求f (1)的值；
（2）若f (6) 1求不等式f ( x 3) f (2) 1的解集；
x
解：（1）由条件对一切x, y 0, 满足f ( ) f ( x) f ( y),
y
所以令x y 1, 则f (1) 0.
调性的一般步骤：
1 取值.任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差.f(x1)－f(x2)；
3 变形.（通常是因式分解和配方）；
4 定号.（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论.（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
题型三、利用单调性求解不等式
例1.已知函数 f ( x)是定义在 R上的增函数，且 f (3a 7) f (8a 11)
求实数 a的取值范围 .
[解析] ∵函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(3a－7)＞f(11＋8a)，
∴3a－7＞11＋8a，
18
∴a＜－ 5 ，
18
∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 5 )．
题型三、利用单调性求解不等式
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2Байду номын сангаас
任意x∈R，都有f（x）≥M。
当一个函数有最低点，我们就说函数 f（x）有最小值，当函数f（x）没有 最低点，我们就说函数f（x）没有最 小值。
二、新课探究
一般地，设函数f（x）的定义域为I， 如果存在实数M满足 （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；
（2）存在x∈I，是的f（x ）=M；
0 0
那么我们称M是函数f（x）的最小值， 记作f（x） =M。 min
二、新课探究
你能仿照函数最小值的定义，给出函数 f（x）的最大值的定义吗？ 一般地，设函数f（x）的定义域为I， 如果存在实数M满足 （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；
（2）存在x∈I，是的f（x ）=M；
0 0
那么我们称M是函数f（x）的最大值， 记作f（x） =M。 max
解：假设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个 实数，且x1＜x2，则
2 ( x [2, 6]) ，求函 例3．已知函数 f ( x) = x- 1 数的最大值和最小值。
三、例题解析
解：由2≤x1≤x2≤6，得x2-x1＞0，（x1-1） （x2-1）＞0， 定义法 于是f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞ f（x2）， 所以函数f（x）是区间[2,6]上的减函 数。
三、例题解析
例1．求函数y=x2 -2x+3在当自变量x在下 列范围内取值时的范围。 （1）R；（2）[-1,0]；（3）[0,3] 2 解：y=x2 -2x+3=(x-1) +2 （1）y∈[2，+∞] 配方法 （2）y∈[3，6] （3）y∈[-1，2]
三、例题解析
2 ( x [2, 6]) ，求函 例3．已知函数 f ( x) = x- 1 数的最大值和最小值。
1.3.1单调性与最大（小）值
一、复习回顾
1.什么是函数的单调性和单调区间？ 2.怎么判断函数的单调性？ 3.观察图1.3-2的各个函数图象，你能 说说它们在哪些区间上是增函数， 哪些区间是减函数吗？
二、新课探究
观察y = x 的图象，假设最低点（0,0） 的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自 变量x，f(x)与M的大小关系如何？