人教新课标版数学高一A版必修1课件1.函数的最大(小)值
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高中数学 1.3.1.2 第2课时 函数的最大值、最小值课件 新人教A版必修1
(2)存在x0∈I，使 _f_(x_0_)＝__M__
结论
M是函数y＝f(x)的最 大值
M是函数y＝f(x)的 最小值
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1．函数 f(x)(－2≤x≤2) 的图象如图所示，则函数 的最大值、最小值分别为
()
A．f(2)，f(－2) C．f(12)，f(－32) 答案(dáàn)： C
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2.已知函数 f(x)＝x－a 1(x∈[2,6])的 最大值为 2，求 a 的值． 解析： 首先讨论 f(x)在[2,6]上的单调性： 设 x1，x2∈[2,6]，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－a 1－x2－a 1 ＝x1a－x12－xx2－1 1. ∵2≤x1＜x2≤6， ∴x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0.
当x＝0
最小值
时，y＝0是所有函数值中_______．而对于f(x)
＝_最__－大__x值_2_来．说，x＝0时，y＝0是所有函数值中
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2．二次函数的最值 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象为抛物线， 当 a＞0 时，ymin＝4ac4－a b2， 当 a＜0 时，ymax＝4ac4－a b2.
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3．函数(hánshù)y＝x2－4x＋5，x∈[0,3]的最大 值为________． 解析： ∵y＝(x－2)2＋1，x∈[0,3]， ∴原函数(hánshù)在[0,2]上为减函数(hánshù)， 在[2,2]上为增函数(hánshù)． ∴最大值为f(0)与f(3)中的最大者，而f(0)＝5， f(3)＝2， ∴最大值为5. 答案： 5
第二十八页，共42页。
②当 t≤1≤t＋1， 即 0≤t≤1 时， f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1＜1，即 t＜0 时，f(x)在[t，t＋1]上单 调递减，
人教A版数学必修一1.3.1第2课时函数的最大(小)值.pptx
解：当－12≤x≤1 时，由 f(x)＝x2 得 f(x)最大值为 f(1)＝1， 最小值为 f(0)＝0；
当 1＜x≤2 时，由 f(x)＝1x 得 f(2)≤f(x)＜f(1)， 即12≤f(x)＜1． 综上 f(x)max＝1，f(x)min＝0．
【题后总结】求分段函数的最值，关键是正确地求出各段 上的最值，再进行比较．而各段上的最值的求解要根据各段函 数的特点灵活选用图象法或单调性法等．
其图象如图所示，显然函数值y≥3，所以函数有最小值3， 无最大值．
函数的单调性与最值
对函数最值与单调性的认识 (1)运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别 是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法． (2)函数最值与单调性有如下关系： ①如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c) 上是减函数，那么函数y＝f(x)，(x∈(a，c))在x＝b处有最大值 f(b)；
【借题发挥】利用函数图象求最值是求函数最值的常用方 法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单的且 图象易作出的函数求最值较常用．图象法求最值的一般步骤 是：
1．试求函数 y＝|x＋1|＋ x－22的最值．
解：原函数变为 y＝|x＋1|＋|x－2| －2x＋1 x≤－1，
＝3 －1＜x≤2， 2x－1 x＞2，
如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、 最小值．
【思路点拨】利用图象法求函数最值，要注意函数的定义 域．函数的最大值、最小值分别是图象的最高点和最低点的纵 坐标．
解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)， 最低的点是(－1．5，－2)，
所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3， 当x＝－1．5时取得最小值，最小值是－2．
新人教版高中数学必修第一册函数的最大(小)值ppt课件及课时作业
课堂 小结
1.知识清单： (1)函数的最大值、最小值定义. (2)求解函数最值的方法.
2.方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：
(1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域. (2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论.
随堂演练
1.函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为
设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个， 销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个， 则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000. 故当x＝70时，ymax＝9 000. 即售价为70元时，利润最大，最大利润为9 000元.
60 000－100x，x>400.
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益 ＝总成本＋利润)
当 0≤x≤400 时，f(x)＝－12(x－300)2＋25 000. ∴当x＝300时，f(x)max＝25 000； 当x>400时，f(x)＝60 000－100x单调递减， f(x)<60 000－100×400<25 000. ∴当x＝300时，f(x)max＝25 000. 即月产量为300台时利润最大，最大利润为25 000元.
三
探究生活中的实际问题
例3 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪 器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝ 400x－12x2，0≤x≤400，其中x(单位：台)是仪器的月产量. 80 000，x>400， (1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x元， 从而 f(x)＝－12x2＋300x－20 000，0≤x≤400，
人教版高一数学必修一函数的基本性质最大(小)值课件PPT
●你是否曾遇到过这种情形,离下课还有一点时间时,你对学生 说:“如果你们保持安静,我就不会再布置更多的任务了。”学生 会有哪些反应? 你是否曾发现自己预先安排的内容已经讲完了,却还没到下课时 间,于是决定给学生布置课堂任务来填补这段空白,此时学生有哪 些反应?
以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a＝ (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
课堂小结
1. 最值的概念；
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也 很快
你是否曾注意到,有些学生再怎样努力,也无法在规定时间内完成 任务。
你是否曾注意到,学生做练习的时候,往往也是最容易出现课堂 纪律问题的时候。比如,有些学生会在完成自己的任务之后,询问 接下来要做什么,有些学生没有专心完成课堂任务,而是做些违纪 动作,还有些学生不停地抱怨自己不明白要做什么？
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a＝ (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
课堂小结
1. 最值的概念；
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也 很快
你是否曾注意到,有些学生再怎样努力,也无法在规定时间内完成 任务。
你是否曾注意到,学生做练习的时候,往往也是最容易出现课堂 纪律问题的时候。比如,有些学生会在完成自己的任务之后,询问 接下来要做什么,有些学生没有专心完成课堂任务,而是做些违纪 动作,还有些学生不停地抱怨自己不明白要做什么？
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
人教A版高中数学必修一函数的最大值、最小值新人A教课件
由图象可以看出近150年来人类消耗木材比例一直减 少；消耗的煤炭比例先逐渐增多，到1940年左右达到最大 值，以后又逐渐变少；从1880年左右开始消耗石油，到 1990年左右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然 气从1900年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增 大，核能从1980年左右开始被应用，所占比例逐渐增大．
类型二 利用单调性求函数最值 【例2】 求函数f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上的最大值 与最小值．
思路分析：先用定义研究函数在区间上的单调性，再 求最值．
∵2≤x1<x2≤5，∴x1－x2<0， x2－1>0， x1－1>0， ∴f(x2)－f(x1)<0. ∴f(x2)<f(x1)． ∴f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上是单调减函数．
(1)证明f(x)为R上的增函数． (2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
(1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2. ∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，
∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)－1.
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1. 又∵x1<x2，∴x2－x1>0， ∴f(x2－x1)>1，∴f(x2－x1)－1>0. ∴f(x2)－f(x1)>0， 即f(x1)<f(x2)． 所以函数f(x)在R上是增函数．
当a>0时，区间[a，b]内的数距对称轴x＝－2ba越 近，在该点处的函数值越小，越远值越大．
当a<0时，区间[a，b]内的数距对称轴x＝－2ba越 远，在该点处的函数值越小，越近值越大．
②求含参变量的二次函数在指定区间上的最值，通 常按照顶点横坐标在区间内，区间左，区间右三种情况 来分类讨论．
2021版高中数学人教A版必修1课件：1.3.1.2 函数的最大(小)值
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
解:设售价为x元,利润为y元, 则单个涨价(x-50)元,销量减少10(x-50)个. y=(x-40)[500-10(x-50)] =-10(x-70)2+9 000, 当x=70时,ymax=9 000, 即售价为70元时,利润最大为9 000元. 反思解应用题要弄清题意,从实际出发,引进数学符号,建立数学 模型,列出函数关系式,分析函数的性质,从而解决问题,这里要注意 自变量的取值范围.在实际应用问题中,最大利润、用料最省等问 题常转化为求函数的最值来解决.
-2-
M 第2课时 函数的最大(小)值
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UBIAODAOHANG
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1.最大值和最小值
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
-3-
M 第2课时 函数的最大(小)值
目标导航
UBIAODAOHANG
12
Z 知识梳理 HISHI SHULI
错因分析:在求函数最值时,只有判断出函数的单调性,才能确定 函数最值在何处取得,不能直接代入区间的端点来求.如本例函数 在区间[2,+∞)内先减后增,故最小值不在x=2处取得.
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M 第2课时 函数的最大(小)值
目标导航
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
知识拓展1.定义中M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,如 函数f(x)=-x2(x∈R)的最大值为0,有f(0)=0.
高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第一章 1.3.1 第2课时函数的最大(小)值
知识点二 函数的最大(小)值的几何意义 思考 函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如右： 试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值. 答案 x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x＝0时， y有最小值0，对应的点为图象中的最低点. 一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低 点，它们不一定只有一个.
只需 a≤(x12－1x)min. 设 t＝1x，∵x∈(0,1]，∴t≥1.
x12－1x＝t2－t＝(t－12)2－14. 当 t＝1 时，(t2－t)min＝0，即 x＝1 时，(x12－1x)min＝0， ∴a≤0.
解析答案
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1 23 45
1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分 别是( C )
答案 最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应， 不是函数值.
答案
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意 x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x) 的最大值. 如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使 得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值.
解析答案
(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
解 ∵函数图象的对称轴是x＝a， ∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. 当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
A.10,6 C.8,6
人教A版高中数学必修第一册3.2.1第2课时-函数的最大(小)值【课件】
.
∵x1<x2,∴x1-x2<0.
∵1≤x1<x2≤2,∴x1x2>0,1<x1x2<4,
即x1x2-4<0.
∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2), f(2)=2+=4 ;f(x)的最大值为
f(1),f(1)=1+4=5,
整理得 y=-+162x-21 000=-(x-4 050)2+307
050.
故当 x=4 050,即每辆车的租金为 4 050 元时,租赁公司的月收
益最大,最大月收益是 307 050 元.
思 想 方 法
利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值
【典例】 求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.
当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上
的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;
当1<a≤2时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为-1;
当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.
方法点睛
1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出
y=f(x)的草图,再根据图象的单调性进行研究.特别要注意二次
2.观察下面两个函数的图象,回答下列问题.
(1)比较两个函数的图象,它们是否都有最低点?
(2)通过观察图①你能发现什么?
提示:(1)题图①中函数y=x2的图象有一个最低点.
题图②中函数y=x的图象没有最低点.
(2)对任意x∈R,都有f(x)≥f(0).
3.
∵x1<x2,∴x1-x2<0.
∵1≤x1<x2≤2,∴x1x2>0,1<x1x2<4,
即x1x2-4<0.
∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2), f(2)=2+=4 ;f(x)的最大值为
f(1),f(1)=1+4=5,
整理得 y=-+162x-21 000=-(x-4 050)2+307
050.
故当 x=4 050,即每辆车的租金为 4 050 元时,租赁公司的月收
益最大,最大月收益是 307 050 元.
思 想 方 法
利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值
【典例】 求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.
当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上
的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;
当1<a≤2时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为-1;
当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.
方法点睛
1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出
y=f(x)的草图,再根据图象的单调性进行研究.特别要注意二次
2.观察下面两个函数的图象,回答下列问题.
(1)比较两个函数的图象,它们是否都有最低点?
(2)通过观察图①你能发现什么?
提示:(1)题图①中函数y=x2的图象有一个最低点.
题图②中函数y=x的图象没有最低点.
(2)对任意x∈R,都有f(x)≥f(0).
3.