苏教版高中数学选修2-2 微积分基本定理第2课时教案

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苏教版高中数学选修2-2：微积分基本定理_课件3

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1 .微积分基本定理
(1)定理内容:一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F'(x)=f(x),
那么
��
f(x)dx=F(b)-F(a).
这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.
(2)符号表示:
��
2 1
=
32.
答案 :32
1
2
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2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,在 x 轴下方的面积为 S 下,则
f(x) (1)当曲边梯形在
x
2
2�� + π
6
'=12cos
2�� + π
6
· 2�� + π
6
'=cos
2�� + π
6
,
∴
π
2
0
cos
2�� + π
6
dx=12sin
2�� + π
6
=12
sin 2 × π + π
26
-sin
2× 0+π
6
π 2
0=12
sin
7π 6
-sin
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最新166-高中数学选修系列2选修2-2《微积分基本定理与定积分计算》教案2汇总

166-高中数学选修系列2选修2-2《微积分基本定理与定积分计算》教案2§3 微积分基本定理与定积分计算一、目标预览1.理解并能熟练运用微积分基本定理.2.掌握定积分的常用计算方法.3.了解定积分与不等式的常用证明方法.4.了解定积分相关知识的综合应用.二、概念入门设«Skip Record If...»，称函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：«Skip Record If...».注（i）由«Skip Record If...»积分的性质，«Skip Record If...»的定义有意义.（ii）由«Skip Record If...»积分的性质易证«Skip Record If...».三、主要事实1.微积分基本定理若«Skip Record If...»，则«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，«Skip Record If...».注（i）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得.（ii）通过微分中值定理（推论），可获得微积分基本定理如下的等价表述：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢41仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢42⎰'-'=)( )( )())(()())(())((x x x x f x x f dt t f dx d ψϕϕϕψψ⎰⎰=ξ )()()()(a b a dx x f a g dx x g x f ⎰=b dx x g b f )()(ξ若«Skip Record If...»，而且«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».(iii)微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积分、微分与积分的内在联系.（iv ）利用微积分基本定理及复合函数微分法可得下述的变限积分求导公式：若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»、«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可微而且«Skip Record If...»、«Skip Record If...»，则2.第二积分中值定理（1）（旁内（Bonnet ，1819-1892[法]）型第二积分中值定理）若«Skip Record If...»，而且«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上非负递减（相应地递增）函数，则存在«Skip Record If...»使得（相应地）（2）（Werierstrass型第二积分中值定理）若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上的单调函数，则存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».证（1）令«Skip Record If...»«Skip Record If...»，利用«Skip Record If...»的可积性得«Skip Record If...»«Skip Record If...»再由«Skip Record If...»«Skip Record If...»及«Skip Record If...»的单调减小性，可得«Skip Record If...»再由连续函数的介值性即得.（2）当«Skip Record If...»为单调递减（增）时，对«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»应用（1）即得.3.定积分的计算（1）（牛顿——莱布尼兹公式）若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»而且除有限个点外有«Skip Record If...»，那么有仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢43«Skip Record If...».注（i）牛顿——莱布屁兹公式简称«Skip Record If...»—公式，它是微积分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种形式.（ii）证明可由«Skip Record If...»积分的定义（分点包括例外点）及微分中值定理（作用在«Skip Record If...»上）可推得.（2）（定积分换元积分法）如果«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上有连续导数，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，那么有«Skip Record If...»注（i）定积分换元积分公式由复合函数微分法及«Skip Record If...»公式可得，而且«Skip Record If...»可减弱为«Skip Record If...».进一步，定积分换元积分公式中的«Skip Record If...»可减弱为«Skip Record If...»，但«Skip Record If...»的条件稍许加强（证明较为复杂），即有以下的命题成立：若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是一一映射而且还满足«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，那么有仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢44«Skip Record If...».（ii）定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的直接应用.但使用时有较大差别，在这里换元之后变量不需回代，但积分限要跟着更换（在去掉根号的情形下须注意函数的符号）.（iii）对应于不定积分中的第一换元法（即凑微分法），在这里可以不加变动地直接应用，而且积分限也不须作更改（即仍然采用原来的积分变量）.（3）（分部积分法）如果«Skip Record If...»、«Skip Record If...»具有连续的导数，那么有«Skip Record If...»«Skip Record If...».注（i）分部积分可由乘积微分法则及«Skip Record If...»公式直接证之.（ii）分部积分公式可连续使用«Skip Record If...»次，即利用数学归纳法及分部积分公式可得下面的命题：若«Skip Record If...»、«Skip Record If...»具有«Skip Record If...»阶连续导数，那么有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».4.定积分计算中常用的几个公式仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢45（1）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».（2）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»（3）若«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的周期函数，则«Skip Record If...»有«Skip Record If...»（4）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（5）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».证（1）令«Skip Record If...»可得.（2）令«Skip Record If...»得«Skip Record If...».（3）令«Skip Record If...»得«Ski p Record If...»，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢46于是有«Skip Record If...»，再令«Skip Record If...»得«Skip Record If...».（4）令«Skip Record If...»可得.（5）令«Skip Record If...»可得«Skip Record If...»及«Skip Record If...».5.带积分余项的泰勒公式若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上具有«Skip Record If...»阶连续导数，那么«Skip Record If...»有«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，称此为泰勒公式的积分余项.注（i）令«Skip Record If...»（常数变易法），对«Skip Record If...»分别应用«Skip Record If...»公式及分部积分公式即获得积分余项公式的证明.（ii）对积分余项应用第一积分中值定理（«Skip Record If...»在积分区间«Skip Record If...»（或仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢47«Skip Record If...»上不变号）可得泰勒公式的拉格朗日余项：«Skip Record If...»（其中«Skip Record If...»）.（iii）对积分余项应用积分平均值定理泰勒公式的柯西余项：«Skip Record If...»«Skip Record If...»四、例题选讲1.定积分计算例题选.例1求下列定积分（1）«Skip Record If...»（2）«Ski p Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»（5）«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»（7）«Skip Record If...»（8）«Skip Record If...»（9）«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢48解（1）«Skip Record If...».（2）«Skip Record If...».（3）令«Skip Record If...»，（3）«Skip Record I f...»（4）令«Skip Record If...»，（4）«Skip Record If...»«Skip Record If...».令«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，于是有（4）«Skip Record If...».（5）«Skip Record If...»«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»«Skip Record If...»（7）利用«Skip Record If...»得仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢49（7）«Skip Record If...»（8）利用«Skip Record If...»得（8）«Skip Record If...»（9）«Skip Record If...».例2（1）求«Skip Record If...»（2）证明Wallis公式：«Skip Record If...».解（1）«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»证（2）由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，由此可得«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，50因此«Skip Record If...».例3利用定积分求下列极限（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»（5）«Skip Record If...»解（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...».（3）由«Skip Record If...»可得（3）«Skip Record If...»（4）由«Skip Record If...»可得«Skip Record If...».因此«Skip Record If...».（5）令«Skip Record If...»51«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».因此«Skip Record If...».2.微积分基本定理应用例题选例4 设«Skip Record If...»，试求«Skip Record If...».解应用微积分基本定理两次可得«Skip Record If...».例5确定常数«Skip Record If...»、«SkipRecord If...»、«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».解由«Skip Record If...»可推得«Skip Record If...»，由罗比塔法则及«Skip Record If...»可推得«Skip Record If...»，接着易求得«Skip Record If...».例6 若«Skip Record If...»存在，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，试求«Skip Record If...».52解令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...».例7设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求：«Skip Record If...».解令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»于是有«Skip Record If...».两边关于«Skip Record If...»求导得«Skip Record If...»再令«Skip Record If...»可得«Skip Record If...».例8试求可微函数«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».解先关于«Skip Record If...»求导得«Skip Record If...»令«Skip Record If...»得«Skip Record If...»再关于«Skip Record If...»求导得53«Skip Record If...».因而«Skip Record If...»，因而«Skip Record If...».3.积分中值定理应用例题选例9 设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可微，而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）.证明：«Skip Record If...».证令«Skip Record If...»，则由条件可得«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»«Skip Record If...»，于是有«Ski p Record If...».例10设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».证«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处取最大值，因而有«Skip Record If...»«Skip Record If...».证«Skip Record If...»54«Skip Record If...»例11 设«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»例12设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上二阶可导，而且«Skip Record If...».证明：（i）«Skip Record If...»；（ii）又若«Skip Record If...»«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».证（i）由«Skip Record If...»及«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，再由«Skip Record If...»得«Skip Record If...».（ii）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，积分后得«Skip Record If...»«Skip Record If...».55例13设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上具有二阶连续函数，证明；存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».证令«Skip Record If...»，分别求得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»处的二阶泰勒展开式，两式相减再用微积分基本定理及连续函数的介值定理即得.例14设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»证由条件«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则由«Skip Record If...»导出«Skip Record If...»矛盾！例15设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调而且可微.证明：存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».56证令«Skip Record If...»，由微积分基本定理及第一积分中值定理可得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».例16证明下列极限（1）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（2）若«Skip Record If...»，则«Skip RecordIf...».（3）«Skip Record If...»（4）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（5）若«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的连续函数，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».57（6）若«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»有«Skip Record If...».证（1）«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».（2）由«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»（其中«Skip Record If...»）及«Skip Record If...»可积的第二充要条件可得.（3）由第二积分中值定理得，存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»，再令«Skip Record If...»即得.（4）«Skip Record If...»«Skip Record If...»58«Skip Record If...».（5）«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的连续函数，从而有界，由此即得.（6）由第一积分中值存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».令«Skip Record If...»即得.例17设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调递增，而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...».若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».证若不然，«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...»使得«Skip RecordIf...»，此时分两种情形：（i）若存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».59（ii）«Skip Record If...»，«Skip Re cord If...»，则«Skip Record If...»有«Skip Record If...»«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...».上述的（i）、（ii）与«Skip Record If...»矛盾.例18 设«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».证令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则由«Skip Record If...»«Skip Record If...»于是有«Skip Record If...».五、思考与讨论1.若«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上有原函数，是否必有«Skip Record If...»公式成立？提示：考虑«Skip Record If...»602.若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是否必有原函数？3.若«Skip Record If...»，而且«Skip Record If...»是否必有«Skip Record If...»？4.若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上不«Skip Record If...»可积，«Skip Record If...»的原函数在«Skip Record If...»上是否必不存在？5.奇函数的原函数是否必为偶函数？偶函数的原函数是否必为奇函数？六、基础题训练1.计算下列定积分（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Re cord If...»（5）«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»（7）«Skip Record If...»（8）«SkipRecord If...»61（9）«Skip Record If...»（10）«Skip Record If...»（11）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为实数）（12）«Skip Record If...»2.设«Skip Record If...».试求«Skip Record If...».3.设«Skip Record If...»,试求«Skip RecordIf...».4.设«Skip Record If...»，试求«Skip Record If...».5.«Skip Record If...».试求«Skip Record If...».6.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求：«Skip Record If...».7.求下列极限62（1）«Skip Record If...»（2）«SkipRecord If...»（3）«Skip Record If...»（4）«SkipRecord If...»8.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.9.设«Skip Record If...»连续而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».求«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».（答案：«Skip Record If...»）10.证明：«Skip Record If...»（提示：分段，换元）.11.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，而且«Skip Record If...».证明：63«Skip Record If...»,«Skip Record If...».12.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调增加.证明：«Skip Record If...».（提示：«Skip Record If...»）.七、提高性习题13.求下列积分（«Skip Record If...»为正整数）（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»14.求下列极限（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»64（5）«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»（答案：（1）.«Skip Record If...»；（2）.«Skip Record If...»；（3）«Skip Record If...»；（4）.（2）；（5）.«Skip Record If...»；（6）«Skip Reco rd If...»）15.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，令«Skip Record If...».证明：（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...».16.求下列极限（1）«Skip Record If...»（2）«SkipRecord If...»（3）«Skip Record If...».（答案：（1）.«Skip Record If...»；（2）.«Skip Record If...»；（3）.«Skip Record If...»）.6517.证明下列极限：（1）若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，则«Skip Record If...».（2）若«Skip Record If...»不变号，则«Skip Record If...»（3）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（4）若«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（提示：（1）利用分部积分；（2）令«Skip Record If...»，再用第一积分中值定理；（3）令«Skip Record If...»，再利用积分中值定理；（4）分段估计）.18.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».19.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上无穷次可微，«Skip Record If...»为自然数，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».6620.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为偶数且对于«Skip Record If...»，有«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»,并由此计算«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.21.设«Skip Record If...»为连续函数.证明下述等式：（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...».（提示：（1）令«Skip Record If...»，再令«Skip Record If...»（分段）；（2）令«Skip Record If...»）.22.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求«Skip Record If...».（答案：«Skip Record If...»）.23.试求函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的最大值.（答案：«Skip Record If...»）.6724.设«Skip Record If...»连续，而且«Sk ip Record If...».试求«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.25.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上存在，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的反函数而且«Skip Record If...».试求：«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.26.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»(«Skip Record If...»).试求«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.27.设«Skip Record If...»而且«Skip Reco rd If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中至少有两个零点.（提示：令«Skip Record If...»，利用分部积分）.28.设«Skip Record If...»而且不恒为常数，而且«Skip Record If...».68证明：存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»）.29.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»存在而且非负.证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的一阶泰展开式）.30.设«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：分«Skip Record If...»变号与不变号两种情形考虑）.31.设«Skip Record If...».证明«Skip Record If...».6932.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»）33.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上二阶可导，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）而且«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的泰勒展开式）.34.设«Skip Record If...»且«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的一阶泰展开式）.35.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处取最大值）.7036.设«Skip Record If...»而且非负，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»）.37.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，再利用分部积分公式及换元公式）.38.设«Skip Record If...»不恒为零而且满足«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用函数单调性）.39.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»）.7140.设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»（常数）.试求«Skip Record If...»，并讨论«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的连续性.（答案：«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»）.41.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，则«Skip RecordIf...»，再由«Skip Record If...»及积分中值定理可得）.72。

高二年级新课程教案数学选修2-2：16微积分基本定理第2课时

函数 f (x) 的图象以及直线 x a, x b 之间各部分面积
的代数和，在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面积取负号．
布置作业
1． P62 习题 1. 6 B 组第 1 题（2）（4） 2． P62 习题 1. 6 B 组第 2 题（2）（4） 3． P62 习题 1. 6 B 组第 3 题
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
aT
T
6.设 f (x) 为 R 上以 T 为周期的连续函数，证明对任何实数 a ，有 a f (x)dx 0 f (x)dx
证明：∵ f (x) 为 R 上以 T 为周期的连续函数
∴ f (x T ) f (x), x R
设 F '(x) f (x) ，则有 F '(x T ) f (x T )
容易误为 F(x) F(x)
∴ F(x) F(x)
∴
a a
f
(x)dx
F ( x)
a a
F (a)
F (a)
F(a)
F (a)
0
∴原式得证
师：本题从几何直观上是非常容易理解的，但是要使
用微积分基本定理证明，关键是证明奇函数的原函数
是偶函数这个性质．
再次强调运用微积分基本定理求定积分的关键是求出原函数 F(x)
f (x) dx
c
f (x)dx
d f (x)dx
b
f (x)dx
a
a
c
d
c
d
b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
c
d
例题 3：已知 f (x) 在 a,a 上连续，若 f (x) 是奇函数，

高中数学教案选修2-2教案第一章导数及其应用《微积分基本定理(二)》教案

§15 微积分基本定理（二）【学习目标】1.直观了解微积分基本定理的含义，能运用微积分基本定理计算简单的定积分。

2.通过学习微分与积分的关系，体会数学的博大精深，为进一步学好微积分打好基础。

【学习重点】微积分基本定理的理解；【学习难点】运用微积分基本定理计算简单的定积分。

【学习内容】一、预习提纲1．微积分基本定理：2．定积分公式：（1）=⎰b a cdx （2）=⎰b a n dx x （3）=⎰b a xdx cos （4）=⎰b axdx sin （5）)0(___________1>=⎰x dx x b a（6）=⎰b a x dx e （7）=⎰n mx dx a 3．定积分性质（1）⎰⎰=b aba dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）（2）⎰⎰⎰±=±bab a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([ （3）,)()()(⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f 二、典型例题例1．计算下列定积分（1）⎰-21)1(dx x （2）⎰+21)1(dx x e x（3）⎰π0|cos |dx x （4）⎰-302|4|dx x例2．求由曲线3,1362+=+-=x y x x y 围成的封闭区域的面积例3．已知函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-。

（1）求常数b a ,；（2）求曲线)(x f y =与x 轴围成的图形的面积。

三．课堂练习1．计算下列定积分（1）⎰ππ2cos xdx （2）⎰-+11)1(||dx x x2．计算⎰-11)(dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,)(23x x x x x f3．求由曲线22,x y x y ==围成的图形的面积§15 微积分基本定理（二）课外作业1．计算下列定积分（1）⎰π02cos xdx （2）⎰-212)1(dx xx（3）⎰+4025dx x （4）⎰202sin πxdx2．已知)(x f 是]3,3[-上的偶函数，且16)(30=⎰dx x f ，求⎰--+33]5)([dx x x f 的值。

苏教版高中数学选修2-2要点讲解：微积分基本定理

微积分基本定理自主探究学习1. 微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰. 2. 定积分的性质：()()()()bc b a a c f x dx f x dx f x dx a c b 其中（定积分对积分区间的可加性）名师要点解析要点导学1.微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果，它揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效办法.2.寻找满足()()F x f x 的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).3. 为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰.该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁. 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础.【经典例题】【例1】计算下列定积分：2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.【分析】求出sin x 的原函数，利用微积分基本定理求解.然后观察规律.【解】因为'(cos )sin x x -=，所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰，22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰，2200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．【点拨】要注意定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.【例2】计算下列定积分：（1）3211(2)x dx x -⎰；（2）⎰+2021dx xx . 【分析】根据被积函数的特点，求出其原函数，利用微积分基本定理求解.【解】（1）因为2''211()2,()x x x x ==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dx xx -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=. （2）)1()1(211221220202x d x dx x x ++=+-⎰⎰151221202-=+⋅=x .【点拨】把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，寻找满足()()F x f x 的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).。

最新人教版高中数学选修2-2第一章《微积分基本定理》示范教案(第2课时)

第2课时教学目标知识与技能目标通过实例进一步熟练微积分基本定理解题的步骤格式，了解其几何意义，掌握定积分的性质．过程与方法目标通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法，感受在其过程中渗透的数形结合等思想方法．情感、态度与价值观通过微积分基本定理的简单应用，培养学生运用知识解决实际问题的能力，提高分析问题、解决问题的能力，激发学生学习数学的兴趣．重点难点重点：运用微积分基本定理解决简单的数学及实际问题，了解其几何意义．难点：微积分基本定理的含义，定积分的值与曲边梯形面积之间的关系，定积分的性质．教学方法问题探究式教学法，使学生在解决问题中练习知识、掌握知识；同时，能够掌握方法、提升能力．教学过程复习回顾1．微积分基本定理的内容是什么？如果函数f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，则∫b a f(x)dx＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．2．计算定积分的关键是什么？计算定积分∫b a f(x)dx关键是找出满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，从而把问题转化为计算函数F(x)在区间的两个端点处的函数值之差．3．一般如何得出F(x)?通常我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则逆向求出F(x)．4．计算下列定积分：∫3－1(4x－x2)dx.答案：20 3.引入新课提出问题1：计算下列定积分：∫π0sinxdx，∫2ππsinxdx，∫2π0sinxdx.活动设计：可由多名学生同时到黑板上板演，其他学生独立思考求解．学情预测：学生可以比较顺利地计算出来．活动成果：用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分比较简洁、有效，结果如下：解：因为(－cosx)′＝sinx，所以∫π0sinxdx＝(－cosx)|π0＝(－cosπ)－(－cos0)＝2；∫2π0πsinxdx＝(－cosx)|2ππ＝(－cos2π)－(－cosπ)＝－2；∫2π0sinxdx＝(－cosx)|2π0＝(－cos2π)－(－cos0)＝0.设计意图体会求导数对求定积分的重要意义，同时熟练运用公式．探究新知提出问题2：由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，并对成果进行展示．学情预测：学生的说法可能有多种，经过讨论、细化、规范说法，但可能仍有重复或疏漏．活动结果：教师引导学生进行分析比较，可以发现：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时(图1)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时(图2)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；图2(3)当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0(图3)，且等于位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积．图3设计意图着重说明定积分的值与曲边梯形面积之间的关系．提出问题3：你能否给出一般的定积分∫b a f(x)dx的几何意义？活动设计：学生类比问题2进行思考，然后口答．学情预测：学生一般能得出正确结论，但叙述上可能不太严谨．活动结果：如图，定积分∫b a f(x)dx的几何意义是：界于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a、x＝b之间各部分曲边梯形面积的“代数和”——在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．因此，定积分的值也可以分成几部分来求，然后把各部分的值加起来，就是所求定积分的值．(定积分的性质)通过探究思考，使学生掌握定积分的几何意义，进一步加深对定积分的认识．设计意图 ⎠⎜⎛0π2 提出问题4：不计算定积分的值，试比较⎠⎜⎛0π2 cosxdx 与22cos xdx ππ-⎰的大小关系．活动设计：学生先思考，然后分组讨论交流，教师引导．学情预测：有了上面的讨论和分析，学生不难得出结果．活动结果：师生共同梳理，根据余弦函数的对称性，从图象上容易看出22cos xdx ππ-⎰所对应的曲边梯形的面积，刚好是⎠⎜⎛0π2cosxdx 所对应的曲边梯形的面积的2倍．设计意图体会定积分几何意义的重要性．提出问题5：计算定积分⎠⎜⎛0π2cosxdx 与22cos xdx ππ-⎰的值，并与0sin xdx π⎰进行比较，试从几何意义上给出解释．活动设计：可由学生到黑板上板演，其他学生独立思考求解．学情预测：学生可以比较顺利地计算出来．活动成果：解：因为(sinx)′＝cosx ，所以⎠⎜⎛0π2cosxdx ＝sinx|π20＝sin π2－sin0＝1， 22cos xdx ππ-⎰＝sinx|π2－π2＝sin π2－sin(－π2)＝2.根据正弦函数与余弦函数图象的关系，容易得出22cos xdx ππ-⎰所对应的曲边梯形的面积，刚好等于∫π0sinxdx 所对应的曲边梯形的面积．设计意图通过计算及比较，进一步熟悉公式、加深对几何意义的理解，同时强化数形结合的思想方法．设计意图运用新知例1由抛物线y 2＝x 和直线x ＝1所围成的图形的面积等于( )A ．1 B.43 C.23 D.13活动设计：以学生练习、讨论为主，教师引导、点评．活动结果：根据几何意义，所求面积也就是定积分∫10xdx 的2倍(如图阴影部分所示)．因为(23x 32)′＝x ，所以∫10xdx ＝(23x 32)|10＝23. 所求面积为2×23＝43，故选答案B. 设计意图进一步体会几何意义的重要性，同时渗透数形结合的思想．例2汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车．设汽车作匀减速刹车，加速度大小a ＝1.8米/秒2，问从开始刹车到停车，汽车行驶了多少米？解：首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，当t ＝0时，汽车速度v 0＝32千米/小时＝32×1 0003 600米/秒≈8.88米/秒，刹车后汽车匀减速行驶，其速度为v(t)＝v 0－at ＝8.88－1.8t.当汽车停住时，速度v(t)＝0，故由v(t)＝8.88－1.8t ＝0，解得t ＝8.881.8≈4.93(秒)．于是在这段时间内，汽车所驶的距离是s ＝∫4.930v(t)dt ＝∫4.930(8.88－1.8t)dt ＝ (8.88t －1.8×12t 2)|4.930≈21.90(米)．即在刹车后，汽车需驶过21.90米才能停住．点评：进一步熟练、规范运用微积分基本定理求定积分问题，并体会定积分在解决实际问题中的价值．巩固练习计算下列定积分：(1) ⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sinx)dx ；(2) 412cos 2xdx ππ⎰；(3)∫21(x －1)dx. 答案：(1)3π28＋1；(2)14；(3)423－53. 变练演编1．∫20(2x －4)(x 2－4)dx ＝__________. 2．∫32(x ＋1x)2dx ＝__________. 3．∫41x(1－x)dx ＝__________.答案：1.403 2.92＋ln3－ln2 3.－176点评：进一步熟练运用公式；进一步体会公式运用的关键——求原函数F(x)；体会导数与定积分的关系；体会利用定积分的性质计算定积分．达标检测1．∫21(e x －2x)dx ＝__________. 答案：e 2－e －2ln22．计算定积分∫3π0sinxdx 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．解：∫3π0sinxdx ＝(－cosx)|3π0＝2.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与位于x 轴下方的曲边梯形的面积之差．或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积(取正值)与位于x 轴下方的曲边梯形的面积(取负值)的代数和．课堂小结知识整理，形成系统(由学生归纳，教师完善)．1．知识收获：本节课通过探究正弦函数在某个区间上的定积分，结合图象，得出了定积分的几何意义，同时学习了定积分的性质．2．方法收获：运用微积分基本定理及其几何意义、定积分的性质可以方便地解决定积分问题．3．思维收获：数形结合的思想，由特殊到一般的思想．布置作业习题1.6B 组1.(1)(2)(3)．补充练习基础练习1．∫10(e x ＋e －x )dx 等于( )A ．e ＋1eB ．2e C.2e D ．e －1e2．曲线y ＝cosx ，x ∈[0，3π2]与坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．4 B ．3C.52D ．2 3．若∫a 0(3x 2＋4x －5)dx ＝a 3－2(a>1)，则a ＝__________.答案：1.D 2.B 3.2拓展练习4．22cos 2x dx ππ⎰＝__________. 答案：π4－125．如图，求由两条曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得C(1，－1)，同理得D(2，－1)． ∴所求图形的面积 S ＝2{∫10[－x 24－(－x 2)]dx ＋∫21[－x 24－(－1)]dx} ＝2(∫103x 24dx －∫21x 24dx ＋∫21dx)＝2(x 34|10－x 312|21＋x|21)＝43. 设计说明本节从探究正弦函数在某个区间上的定积分与对应曲边梯形面积的关系入手，让学生观察探究、合作交流讨论，使学生经历从特殊到一般的探究过程．通过数形结合，寻求定积分和曲边梯形面积的内在联系，得到定积分的几何意义．在“数形结合”的思想下，在问题式教学的引导下，学生既经历了知识发现的过程，又直观了解了定积分的性质．本节教材课本内容相对较少，但其地位却非常重要，因此，本设计增加了相应的探究内容和例题及练习．在充分探究的基础上，强化针对性练习，使学生能较好地理解定积分的几何意义，并掌握其性质．例题和练习的设计遵循由浅入深、循序渐进的原则，与前一节的题目相辅相成，并且相对于前一节题目的难度有所提升，以便于学生更好地掌握公式、熟悉性质．备课资料牛顿与莱布尼兹创立微积分之解析牛顿，1642年生于英格兰，1661年，入英国剑桥大学，1665年，牛顿回到乡间，终日思考各种问题，运用他的智慧和数年来获得的知识，发明了流数术(微积分)、万有引力和光的分析．牛顿生活的时代正是英国发生变革的时代，当时英国发生了国内战争，资产阶级和贵族的阶级妥协，使英国资产阶级革命明显地带上了不彻底性．牛顿在30岁以前发现了微积分，并建立了经典力学体系，而他的后半生在自然科学的研究上几乎一事无成．这是由于在资本主义产生和形成的时期，资产阶级曾经向宗教神学发起冲击，帮助科学从神学中解放出来．但是当资产阶级的地位巩固以后，阶级斗争逐渐激化之时，资产阶级逐渐衰退，他们就抓住各种各样的宗教信念作为奴役人民的思想武器．牛顿受其影响很大，其前半生由于自发的唯物主义的思想倾向，使他获得了巨大的成就，而后半生则完全沉迷于神学的研究．牛顿继承了培根的经验主义传统，特别重视实验和归纳推理的作用，他曾断言，自然科学只能从经验事实出发解释世界．这在当时对打击经院哲学的崇尚空谈、妄称神意来歪曲自然界是起过积极作用的．莱布尼兹生于德国，1672年赴巴黎，在那里接触到惠更斯等一些数学名流，引导其进入了数学领域，开始微积分的创造性工作．牛顿建立微积分是从运动学的观点出发，而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑，所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，并有效地促进了微积分学的发展．牛顿发现微积分(1665～1666年)比莱布尼兹至少早了9年，然而莱布尼兹公开发表它的微积分文章比牛顿早3年．如果说，牛顿建立微积分主要是从运动学的观点出发，而莱布尼兹则是从哲学的和几何学的角度去考虑，特别是和巴罗的“微分三角形”有密切的关系，莱布尼兹称它为“特征三角形”．巴罗的“微分三角形”对莱布尼兹有着重要启发，对微分三角形的研究，使他意识到求切线和求积分问题是一对互逆的问题．莱布尼兹第一个发表出微分和积分之间的互逆关系.1675～1676年间，他从求曲边梯形面积出发得到积分的概念，给出微积分基本定理.1686年莱布尼兹发表积分学论文《潜在的几何与分析不可分和无限》，1693年，他给出了上述定理的一个证明，以上这些都发表在《教师学报》上．将微分和积分统一起来，是微积分理论得以建立的一个重要标志．牛顿和莱布尼兹的哲学观点的不同导致了他们创立微积分的方法不同．牛顿坚持唯物论的经验论，特别重视实验和归纳推理．他在研究经典力学规律和万有引力定律时，遇到了一些无法解决的数学问题，而这些数学问题用欧几里德几何学和16世纪的代数学是无法解决的，因此牛顿着手研究新的求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法——流数法．莱布尼兹的微积分创造始于研究“切线问题”和“求积问题”，他从微分三角形认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值；求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和．莱布尼兹认识到求和与求差运算是可逆的．莱布尼兹的无穷小的分阶正是和它的客观唯心论的哲学体系中那个不同层次的单子系统是相对应的．莱布尼兹在微积分的研究过程中，连续性原则成为其工作的基石，而连续性原则是扎根于他哲学中无限的本质的思想．牛顿和莱布尼兹创立微积分的相同点有：从不同的角度创立了一门新的数学学科，使微积分具有广泛的用途，并能应用于一般函数；用代数的方法从过去的几何形式中解脱出来；都研究了微分与反微分之间的互逆关系．牛顿认为微积分是纯几何的自然延伸，关心的是微积分在物理学中的应用．经验、具体和谨慎是他的工作特点，这种拘束的做法，使他没有能尽情发挥．而莱布尼兹关心的是广泛意义下的微积分，力求创造建立微积分的完善体系．他富于想象，喜欢推广，大胆而且有思辩性，所以毫不犹豫地宣布了新学科的诞生．牛顿和莱布尼兹都是他们时代的科学巨人．微积分之所以能成为独立的学科，并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是取决于牛顿与莱布尼兹的工作．从牛顿和莱布尼兹创立微积分的过程中可以看出：当巨人的哲学的沉思变成科学的结论时，对科学发展的影响是深远的．(设计者：韩辉杰)。

高中数学选修系列2选修2-2《微积分学基本定理定积分计算》教案

§5 微积分学基本定理•定积分计算（续）教学目的：熟练掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。

重点难点：重点为微积分基本定理,难点为泰勒公式的积分型余项。

教学方法：讲练结合。

本节要在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数. 一变限积分与原函数的存在性设f 在[]b a ,上可积，根据定积分的性质4，对任何[]b a x ,∈，f 在[]x a ,上也可积.于是，由 ()(),dt t f x xa⎰=Φ[]b a x ,∈ （1）定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似可定义变下限的定积分： ()(),dt t f x bx⎰=ψ[]b a x ,∈. （2）Φ与ψ统称为变限积分.注意，在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量x 写成()dx x f xa⎰，以免与积分上、下限的x 相混淆.变限积分所定义的函数有着重要的性质．由于()(),dt t f dt t f bxbx⎰⎰-=因此下面只讨论变上限积分的情形．定理9．9 若f 在[]b a ,上可积，则由(1)式所定义的函数Φ在[]b a ,上连续．证对[]b a ,上任一确定的点x ，只要[]b a x x ,∈∆+，按定义式(1)有 ()()().dt t f dt t f dt t f xx xx axx a⎰⎰⎰∆+∆+=-=∆Φ因f 在[]b a ,上有界，可设()[]b a t M t f ,,∈≤．于是，当0>∆x 时有 ()();x M dt t f dt t f xx xxx x∆≤≤=∆Φ⎰⎰∆+∆+当0<∆x 时则有x M ∆≤∆Φ．由此得到 ,0lim 0=∆Φ→∆x即证得Φ在点x 连续．由x 的任意性，Φ在[]b a ,上处处连续．口定理9．10 (原函数存在定理) 若f 在[]b a ,上连续，则由(1)式所定义的函数Φ在[]b a ,上处处可导，且()()()[].,,b a x x f dt t f dxd x xa ∈==Φ'⎰ （3）证对[]b a ,上任一确定的x ，当0≠∆x 且[]b a x x ,∈∆+时，按定义式（1）和积分第一中值定理，有()().10,1≤≤∆+=∆=∆∆Φ⎰∆+θθx x f dt t f xx xx x 由于f 在点x 连续，故有 ()()().lim lim0x f x x f x x x x =∆+=∆∆Φ=Φ'→∆→∆θ由x 在[]b a ,上的任意性，证得Φ是f 在[]b a ,上的一个原函数．口本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了f 的一个原函数．正因为定理9．10的重要作用而被誉为微积分学基本定理．此外，又因f 的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当f 为连续函数时，它的任一原函数F 必满足 ()().C dt t f x F xa+=⎰若在此式中令a x =，得到()a F C =，从而有()).()(a F x F dt t f xa-=⎰再令b x =,有()).()(a F x F dt t f ba-=⎰这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.定理9．11 (积分第二中值定理) 设函数f 在[]b a ,上可积. (ⅰ)若函数g 在[]b a ,上减,且()0≥x g ,则存在 []b a ,∈ξ,使()()()()dx x f a g dx x g x f ab a⎰⎰=ξ(ⅱ)若函数g 在[]b a ,上增,且()0≥x g ,则存在 []b a ,∈η,使()()()()dx x f b g dx x g x f bba⎰⎰=η推论设函数f 在[]b a ,上可积, 若函数g 为单调函数,则存在[]b a ,∈ξ,使()()=⎰dx x g x f ba()()()()dx x f b g x f a g ba⎰⎰+ξξ积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具．二换元积分法与分部积分法定理9．12 (定积分换元积分法) 若函数f 在[]b a ,上连续，ϕ在[]βα,上连续可微，且满足 ()()()[]βαϕϕϕ,,,,∈≤≤==t b t a b b a a ，则有定积分换元公式：()()()()dt t t f dx x f b aϕϕβα'=⎰⎰ （9）证由于(9)式两边的被积函数都是连续函数，因此它们的原函数都存在．设F 是f 在[]b a ,上的一个原函数，由复合函数微分法()()()()()()()()t t f t t F t F dtdϕϕϕϕϕ'=''= 可见()()t F ϕ是()()()t t f ϕϕ'的一个原函数．根据牛顿一莱布尼茨公式，证得()()()()()()()a F F dt t t f ϕβϕϕϕβα-='⎰()()()dx x f a F b F ba ⎰=-=从以上证明看到，在用换元法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，不必作变量还原，而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了．这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别，这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果(9)式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了.注如果在定理9．12的条件中只假定f 为可积函数，但还要求ϕ是单调的，那么（9）式仍然成立.（本节习题第14题）例计算.112dx x ⎰-解令t x sin =，当t 由0变到2π时，x 由0增到1，故取[].2,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=πβα应用公式(9)，并注意到在第一象限中0cos ≥t ，则有tdt tdt t dx x ⎰⎰⎰=-=-20220212cos cos sin 11ππ()2202sin 21212cos 121ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰t t dt t.4π=例2 计算⎰22.cos sin πtdt t解逆向使用公式(9)，令,sin ,cos tdt dx t x -==当t 由0变到2π时，x 由1减到0，则有.31cos sin 102200122⎰⎰⎰==-=dx x dx x tdt t π例3计算().11ln 102dx x x J ⎰++=解令t x tan =，当t 从0变到4π时，x 从0增到1.于是由公式（9）及21x dx dt +=得到()dt ttt dt t J ⎰⎰+=+=404cos sin cos lntan 1ln ππdt tt ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40cos 4cos 2lnππ.cos ln 4cos ln 2ln 404040dt t dt t dt ⎰⎰⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-+=ππππ对最末第二个定积分作变换t u -=4π，有dt t ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-404cos ln ππ()⎰⎰=-=4004,cos ln cos ln ππudu du u它与上面第三个定积分相消．故得.2ln 82ln 40ππ==⎰dt J事实上，例3中的被积函数的原函数虽然存在，但难以用初等函数来表示，因此无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式．可是像上面那样，利用定积分的性质和换元公式(9)，消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值．换元积分法还可用来证明一些特殊的积分性质，如本节习题中的第5，6，7等题．定理9.13 (定积分分部积分法)若()()x v x u ,为[]b a ,上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：()()()()()().dx x v x u x v x u dx x v x u baba ba⎰⎰'-=' （10）证因为uv 是v u v u '+'在[]b a ,上的一个原函数，所以有()()dx x v x u ba'⎰+()()dx x v x u b a⎰'()()()()[]dx x v x u x v x u ba⎰'+'==()()ba x v x u .移项后即为(10)式．为方便起见，公式(10)允许写成()()=⎰x dv x u b a=()()bax v x u ()().x du x v ba⎰- （01'）例4 计算.ln 12xdx x e⎰解()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰dx x x x x xd xdx x e e e e12131312ln 31ln 31ln ().129131313133+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e x e e例5 计算dx x n ⎰2sin π和.,2,1,cos 20Λ=⎰n xdx n π解当2≥n 时，用分部积分求得()⎰⎰---+-==202220120cos sin 1cos sinsin πππxdx x n xx xdx J n n n n()()xdx n xdx n n n ⎰⎰---=-20202sin 1sin1ππ()().112n n J n J n ---=-移项整理后得到递推公式：.2,12≥-=-n J nn J n n 由于,1sin ,2201200=⎰==⎰=xdx J dx J πππ重复应用递推式(11)便得()()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=⋅--⋅+=⋅-=⋅--⋅-=+.!!12!!21321222122,2!!2!!122212232212122m m m m m m J m m m m m m J m m ΛΛππ ()12 令t x -=2π，可得.sin 2cos cos 200220xdx dt t xdx n nnππππ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-=⎰因而这两个定积分是等值的．由例5结论(12)可导出著名的沃利斯(Wallis)公式：()().121!!12!!2lim 22+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∞→m m m m π()13 事实上，由,sin 2cos sin 1220021220xdx dt t xdx m n n -+⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰<⎰ππππ 把(12)代人，得到()()()()()(),!!12!!222!!2!!12!!12!!2--<⋅-<-m m m m m m π由此又得()()()().21!!12!!22121!!12!!222m m B m m m m m m A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π 因为()()()(),02211221!!12!!22∞→→⋅<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-<m m m m m m A B o m m π所以().0lim =-∞→m m m A B 而,2m m m A B A -<-π故得2lim π=∞→m m A （即()13式）.三泰勒公式的积分型余项若在[]b a ,上()x u 、()x v 有1+n 阶连续导函数，则有()()()()()()()()()Λ+'-=⎰-+x v x u x v x u dx x vx u n n n b a 11[ ()()()()()()()()dx x v x u x v x u n ban b a n n111]1++⎰-+-+().,2,1Λ=n ()14 这是推广的分部积分公式，读者不难用数学归纳法加以证明．下面应用公式()14 导出泰勒公式的积分型余项.设函数f 在点0x 的某邻域()0x U 内有1+n 阶连续导函数．令∈x ()0x U ，()()nt x t u -=，()()t f t v =，[]x x t ,0∈（或[]0,,x x ）．利用(14)式得()()()()()()()()()Λ+-+-=-⎰--+t f t x n t f t x dt t ft x n n n nn nx x 111[0()()dt t f t f n xx xx ⋅⎰++0]!00()()()()Λ+-'+-=000[!!x x x f x f n x f n()()()]!00n n x x n x f -+()x R n n !=，其中()x R n 即为泰勒公式的n 阶余项．由此求得()()()()dt t x t f n x R n n x x n -⎰=+10!1， ()15这就是泰勒公式的积分型余项．由于()()t fn 1+连续，()n t x -在[][]()00,,x x x x 或上保持同号，因此由推广的积分第一中值定理，可将()15式写作()()()()dt t x f n x R nx x n n -⎰=+01!1ξ ()()()()101!11++-+=n n x x f n ξ，其中()10,00≤≤-+=θθξx x x ．这就是以前所熟悉的拉格朗日型余项．如果直接用积分第一中值定理于(15)，则得()()()()()01!1x x x fn x R n n n --=+ξξ， ()10,00≤≤-+=θθξx x x . 由于()()()[]()0000x x x x x x x x x n n ----=--θξ()()101+--=n nx x θ因此又可进一步把()x R n 改写为()x R n ()()()()(),1!110001++---+=n n n x x x x x fn θθ .10≤≤θ （16）特别当00=x 时，又有 ()x R n ()()().10,1!111≤≤-=++θθθn n n x x fn （17）公式（16）、（17）称为泰勒公式的柯西型余项.各种形式的泰勒公式余项，将在第十四章里显示它们的功用.作业:2,3,4(1),(6)(9)。

苏教版高中数学选修2-2《微积分基本定理》教学课件2

1
x2
2
0
sin
xdx
公式3
b a
cos
xdx
sin
x
|ba
sin
b
sin
a
b a
sin
xdx
(
cos
x)
|ba
cos
b
cos
a
练习：
(1) 1(-3t2 + 2)dt _1_____ 0
(2) 2(x + 1)2dx = _2_9_/_6__
1
x
(3) 2(3x2 + 2x -1)dx = __9____ -1
• 1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。 1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。
b a
f
(x)dx
F ( x)
|ba
F (b)
F (a)
例1 计算下列定积分
找出f(x)的原函数是关健
(1) 5 3x2dx 2
练习：
（1）11dx _1_____ 0
(2) 1 xdx _1_/2____ 0
(3) 1 x2dx _1_/_4___ 0
(4) 2 x3dx _1_5_/4___ -1
公式1:
b xndx xn1 b
a
h2
A
h1
s( a )
O
aa( t0 ) t1 t2 ti1 ti
S2 S1
tn1 b(btn ) t
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理（微积分基本定理）

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2019-2020学年苏教版选修2-2 微积分基本定理第2课时教案
【教学重点】：
（1）运用基本定理求定积分
（2）定积分的值与曲边梯形面积之间的关系
【教学难点】：
（1）求函数()f x 的一个原函数()F x
（2）理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系
【教学突破点】：
合理利用复合函数的求导法则来求原函数()F x
1. 22
(sin cos )d x x x π
π-+⎰的值是（）
(A)0 (B)
4
π
(C)2 (D)4
答案：C
解释：()222
2
(sin cos )d cos sin 2x x x x x ππ
ππ--+=-+=⎰
2. 曲线3cos (0)2
y x x π
=≤≤与坐标轴所围成的面积是（） (A)2
(B)3
(C)
5
2
(D)4
答案：B 解释：33222
2
cos d cos d (cos )d S x x x x x x ππππ==+-⎰
⎰⎰
3
202
sin sin 123x x π
π
π=-=+=
3. sin (02)y x x π=≤≤与x 轴所围成图形的面积为答案：4
解释：220
sin d sin d sin d x x x x x x π
π
π
π
=+
⎰⎰⎰
20cos (cos )4x x ππ
π=--=
4. 设201()5
12x x f x x ≤≤
⎧=⎨<≤⎩，求20()f x dx ⎰。

解释：
2
1
2
1
2
1
1
()()()256f x dx f x dx f x dx xdx dx =+=+=⎰
⎰⎰⎰⎰
（难题）
5. 求2
22max{,}.x x dx -⎰
解释：由图形可知222
20()max{,}01,12x x f x x x x x x x ⎧-≤≤⎪
==≤≤⎨⎪≤≤⎩
∴0
1
2
222
1
11.2
x dx xdx x dx -∴=++=
⎰⎰⎰原式 6. 设()f x 为R 上以T 为周期的连续函数，证明对任何实数a ，有0
()d ()d a T T
a
f x x f x x +=⎰⎰
证明：∵()f x 为R 上以T 为周期的连续函数 ∴()(),f x T f x x +=∈R
设'()()F x f x =，则有'()()F x T f x T +=+
[]'()()()'()()''()()'F x f x f x T F x T x T F x T F x T ==+=+=++=+
∴()()F x F x T C =++（C 为常数） ∴()()C F x F x T =-+
令0x =，则(0)()C F F T =- 令x a =，则()()C F a F a T =-+ ∴()d ()()()a T a T
a
a f x x F x F a T F a C ++==+-=-⎰
∴00
()d ()()(0)T
T
f x x F x F T F C ==-=-⎰
∴原式等证。

2。