高一数学必修1函数的最值精品PPT课件
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高中数学 1.3.1.2 第2课时 函数的最大值、最小值课件 新人教A版必修1
(2)存在x0∈I，使 _f_(x_0_)＝__M__
结论
M是函数y＝f(x)的最 大值
M是函数y＝f(x)的 最小值
第五页，共42页。
1．函数 f(x)(－2≤x≤2) 的图象如图所示，则函数 的最大值、最小值分别为
()
A．f(2)，f(－2) C．f(12)，f(－32) 答案(dáàn)： C
第二十页，共42页。
2.已知函数 f(x)＝x－a 1(x∈[2,6])的 最大值为 2，求 a 的值． 解析： 首先讨论 f(x)在[2,6]上的单调性： 设 x1，x2∈[2,6]，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－a 1－x2－a 1 ＝x1a－x12－xx2－1 1. ∵2≤x1＜x2≤6， ∴x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0.
当x＝0
最小值
时，y＝0是所有函数值中_______．而对于f(x)
＝_最__－大__x值_2_来．说，x＝0时，y＝0是所有函数值中
第三页，共42页。
2．二次函数的最值 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象为抛物线， 当 a＞0 时，ymin＝4ac4－a b2， 当 a＜0 时，ymax＝4ac4－a b2.
第八页，共42页。
3．函数(hánshù)y＝x2－4x＋5，x∈[0,3]的最大 值为________． 解析： ∵y＝(x－2)2＋1，x∈[0,3]， ∴原函数(hánshù)在[0,2]上为减函数(hánshù)， 在[2,2]上为增函数(hánshù)． ∴最大值为f(0)与f(3)中的最大者，而f(0)＝5， f(3)＝2， ∴最大值为5. 答案： 5
第二十八页，共42页。
②当 t≤1≤t＋1， 即 0≤t≤1 时， f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1＜1，即 t＜0 时，f(x)在[t，t＋1]上单 调递减，
2013版高考数学 2.2.1 第2课时 函数的最大值、最小值课件 苏教版必修1
数的最大值与最小值.
观察下列两个函数的图象： M
y
B
o
图2
x0
x
思考1 这两个函数图象有何共同特征？
【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最
高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.
思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定
义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何? 【解答】 f(x)≤M
例3
已知函数y=f(x)的定义域是[a，b]，a<c<b ．当
x∈[a ，c]时， f(x)是单调增函数；当x∈[c，b]时， f(x)是单调减函数，试证明f(x)在x=c时取得最大值．
【证明】 因为当x∈[a ，c]时， f(x)是单调增函数， 所以对于任意x∈[a ，c] ，都有f(x)≤f(c).又因为当
要赢得好的声誉需要20年，而要毁掉它，
5分钟就够。如果明白了这一点，你做起
事来就会不同了。
思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？ 一般地，设y=f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A,使 得对于任意的x∈A ，都有f(x) ≥ f(x0) ,那么称f(x0)为
y=f(x)的最小值，记为 ymin= f(x0).
提升总结： 1.函数最大（小）值的几何意义：函数图象最高（低） 点的纵坐标. 2.讨论函数的最大（小）值，要坚持定义域优先的原则； 函数图象有最高（低）点时，这个函数才存在最大（小） 值，最高（低）点必须是函数图象上的点.
第2课时 函数的最大值、最小值
1. 引导学生通过观察、归纳、抽象概括，自主构建函数
最值等概念.（重点）
2. 会求简单函数的最大值与最小值.(重点、难点）
高数数学必修一《3.2.1.2函数的最大(小)值》教学课件
几何意义
f(x)图象上最高点的 ___纵_坐_标_____
f(x)图象上最低点的 ___纵_坐_标_____
微点拨❶
(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝ x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必 须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成 立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？ ②通过观察图1你能发现什么？
(2)观察下面两个函数的图象，回答下列问题．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最低点？ ②通过观察图3你能发现什么？
提示：①题图3中函数f(x)＝x2的图象有一个最低点． 题图4中函数y＝x的图象没有最低点． ②对任意x∈R，都有f(x)≥f(0)．
M].( × )
2.函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值和最
小值分别为( )
A．3，0
B．3，1
C．3，无最小值 D．3，2
答案：C 解析：由图可知，f(x)在[－2，＋∞)上的最大值为3，最小值取不到．故选C.
3．已知函数y＝2x，x∈[1，2]，则此函数的最大值是____2____，最小 值是____1____．
课堂小结 1.函数最大值、最小值的定义． 2．求函数最值的方法．
提示：(1)最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)不一定，需要考虑函数的单调性．
例2 已知f(x)＝2xx++11. (1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值．
3.2.1函数的单调性与最值(教学课件)——高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
即y＝
−2 − 2 + 1, ＜0，
−（ + 1）2 + 2, ＜0，
函数图像如图所示,单调递增区间为（-∞，-1］和［0，1］,单调递减区间为
［-1,0］和［1,+∞）.
高中数学
必修第一册
湖南教育版
方法感悟
利用图像法判断函数单调性的注意点
凡是能作出函数图像的单调性问题，都可用图像法解决.此法主要用于
利用定义证明函数单调性的方法
注意：作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因
式乘积的形式.
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题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
2.用图像法证明函数的单调性
例2
求下列函数的单调区间：（1）y＝|x2+2x-3|；（2）y＝-x2+2|x|+1.
解（1）令f（x）＝x2+2x-3＝（x+1）2-4，作出f（x）的图像，保留其在x轴上方
从而这个函数的最小值为f（-1）=2，最大值为f（6）=23.
提示 例2的结论也可由不等式的知识得到：因为-1≤x≤6，所以3≤3x≤18，
2≤3x+5≤23，即f（-1）≤f（x）≤f（6），其余同上.
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题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
1.用定义法证明函数的单调性
图像可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即
1
y随着x的增大而增大；从反比例函数y=的图像可以看出，在（-∞，0）
和（0，+∞）内，这个函数的函数值y都随着x的增大而减小.
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−2 − 2 + 1, ＜0，
−（ + 1）2 + 2, ＜0，
函数图像如图所示,单调递增区间为（-∞，-1］和［0，1］,单调递减区间为
［-1,0］和［1,+∞）.
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方法感悟
利用图像法判断函数单调性的注意点
凡是能作出函数图像的单调性问题，都可用图像法解决.此法主要用于
利用定义证明函数单调性的方法
注意：作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因
式乘积的形式.
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题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
2.用图像法证明函数的单调性
例2
求下列函数的单调区间：（1）y＝|x2+2x-3|；（2）y＝-x2+2|x|+1.
解（1）令f（x）＝x2+2x-3＝（x+1）2-4，作出f（x）的图像，保留其在x轴上方
从而这个函数的最小值为f（-1）=2，最大值为f（6）=23.
提示 例2的结论也可由不等式的知识得到：因为-1≤x≤6，所以3≤3x≤18，
2≤3x+5≤23，即f（-1）≤f（x）≤f（6），其余同上.
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题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
1.用定义法证明函数的单调性
图像可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即
1
y随着x的增大而增大；从反比例函数y=的图像可以看出，在（-∞，0）
和（0，+∞）内，这个函数的函数值y都随着x的增大而减小.
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高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.2 函数的单调性与最值
f－32；当
x＝12时，有最大值
1 f2.
答案 C
2．函数 f(x)＝x12在区间12，2上的最大值是
1 A.4
B．－1
C．4
D．－4
( )．
解析 由 t＝x2 在12，2上是增函数，易知 f(x)＝x12在12，2上 是减函数．
∴f(x)max＝f12＝4. 答案 C
(2)∵f(x)的最小值为 f(2)＝121，
∴f(x)>a
恒成立，只须
f(x)min>a，即
11 a< 2 .
类型三 函数最值的实际应用 【例 3】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元， 每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：
R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400， 其中 x 是仪器的月产量． 80 000，x>400.
课堂小结 1．函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是
最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)， 对任 意x∈R， 都有 f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是 最 大 值 了 ． 最 大 ( 小 ) 值 的 核 心 就 是 不 等 式 f(x)≤M( 或 f(x)≥M)，故也不能只有(2)．
2．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，
则函数f(x)的最值必在
区间端点处取得．
互动探究 探究点1 函数f(x)＝x2≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？ 提示 不是．因为对x∈R，找不到使f(x)＝－1成立的实数x. 探究点2 函数最大值或最小值的几何意义是什么？ 提示 函数的最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐 标．
3.2.1+函数的单调性与最值课件+2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区
间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
新知探究
角度4 求函数的最值
2
例6 已知函数f(x)＝ (x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
x−1
解析：∀x1，x2∈[2，6]，且x1<x2，则
2
f(x1)－f(x2)＝
4
新知探究
角度2
解不等式
例4 f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取
值范围是(
)
3
A．m＞0
B．0＜m＜
C．－1＜m＜3
2
1
3
D．－ ＜m＜
2
2
答案：B
−2 < m − 1 < 2，
3
解析：由题意知 −2 < 2m − 1 < 2， 解得0<m< .故选B.
（增）函数的差是增（减）函数；
新知探究
归纳总结
（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）
函数；
（4）如果y = f u 和u = g x 单调性相同，那么y = f[g(x)]是增函数，
如果y = f u 和u = g x 单调性相反，那么y = f[g(x)]是减函数.
2
m − 1 < 2m − 1，
新知探究
角度3
利用函数的单调性求参数的取值范围
2m
例5 若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝ 在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范
x+1
围是(
)
A．(－∞，0)∪ 0，1 B. −1，0 ∪ 0，1
间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
新知探究
角度4 求函数的最值
2
例6 已知函数f(x)＝ (x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
x−1
解析：∀x1，x2∈[2，6]，且x1<x2，则
2
f(x1)－f(x2)＝
4
新知探究
角度2
解不等式
例4 f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取
值范围是(
)
3
A．m＞0
B．0＜m＜
C．－1＜m＜3
2
1
3
D．－ ＜m＜
2
2
答案：B
−2 < m − 1 < 2，
3
解析：由题意知 −2 < 2m − 1 < 2， 解得0<m< .故选B.
（增）函数的差是增（减）函数；
新知探究
归纳总结
（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）
函数；
（4）如果y = f u 和u = g x 单调性相同，那么y = f[g(x)]是增函数，
如果y = f u 和u = g x 单调性相反，那么y = f[g(x)]是减函数.
2
m − 1 < 2m − 1，
新知探究
角度3
利用函数的单调性求参数的取值范围
2m
例5 若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝ 在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范
x+1
围是(
)
A．(－∞，0)∪ 0，1 B. −1，0 ∪ 0，1
课件_人教版高中数学必修一函数PPT课件_优秀版
y 1是函数吗？
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x| （3） y=x 2 （5） y2+x2=1
（2）|y|=x （4）y2 =x （6）y2-x2=1
(1)能 (2)不能 (4)不能 (5)不能
(3)能 (6)不能
问题：
如何判断给定的两个变量之间是否具有函
数关系？
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1 如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？ （3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2} (2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为 (a,b)
(3)f(x) x1 1 2x
练 习 ： 求 下 列 函 数 的 定 义 域 （1）f(x)= x+1 x-3
（2）f(x)= 5-x x 3
（3）f(x)= (x-1)0 x2 x
两个函数相同：
（ 1 ） 对 应 关 系 f ， 定 义 域 ， 值 域 都 相 同
定义域，定义域到值域的对应关系 相同
②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每 请阅读课本P48关于区间的内容
（4） {x|x < -9}∪{x| -9 < x<20}
如(4)何不判能断一给定个的两个值变量，之间是是否具否有函都数关有系？ 惟一确定的一个函数值y和它对 应。 (5)不能
（2） {x|x ≥9} 判断下列图象能表示函数图象的是（ ） 定义域、对应法则、值域 （1）{x|5 ≤ x<6} 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”。 ②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有惟一确定的一个函数值y和它对应。
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x| （3） y=x 2 （5） y2+x2=1
（2）|y|=x （4）y2 =x （6）y2-x2=1
(1)能 (2)不能 (4)不能 (5)不能
(3)能 (6)不能
问题：
如何判断给定的两个变量之间是否具有函
数关系？
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1 如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？ （3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2} (2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为 (a,b)
(3)f(x) x1 1 2x
练 习 ： 求 下 列 函 数 的 定 义 域 （1）f(x)= x+1 x-3
（2）f(x)= 5-x x 3
（3）f(x)= (x-1)0 x2 x
两个函数相同：
（ 1 ） 对 应 关 系 f ， 定 义 域 ， 值 域 都 相 同
定义域，定义域到值域的对应关系 相同
②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每 请阅读课本P48关于区间的内容
（4） {x|x < -9}∪{x| -9 < x<20}
如(4)何不判能断一给定个的两个值变量，之间是是否具否有函都数关有系？ 惟一确定的一个函数值y和它对 应。 (5)不能
（2） {x|x ≥9} 判断下列图象能表示函数图象的是（ ） 定义域、对应法则、值域 （1）{x|5 ≤ x<6} 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”。 ②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有惟一确定的一个函数值y和它对应。
2014-2015学年高一数学必修1精品课件：1.3.1 函数的最大值、最小值 第2课时
1．作出函数y＝|x－2|(x＋1)，x∈[ －2,4] 的图象，说明函 数的单调性，并判断是否存在最大值和最小值．
解析：
x－2x＋1， y＝ 2－xx＋1，
答案： A
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
3．函数y＝ax＋1(a>0)在区间[1,3] 的最大值为4，则a＝ ________.
解析： ∵a>0，∴函数y＝ax＋1在区间[1,3] 上是增函 数， ∴ymax＝3a＋1＝4，解得a＝1.
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合作探究 课堂互动
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第一章 集合与函数概念
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图象法求函数值域
(1)函数f(x)在区间[ －2,5] 上的图象如图所示，则 此函数的最小值、最大值分别是( A．－2，f(2) C．－2，f(5) )
[提示]
[－2,3]．
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第一章 集合与函数概念
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1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义． 2．会求一些简单函数的最大值或最小值．
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
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函数的最大值与最小值
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第一章 集合与函数概念
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第2课时 函数的最大值
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数学 必修1
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注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最 值要借助于图象即数形结合。
3、利用图象求函数的最大（小）值
-2x+1 x≤-1
例4、求函数f(x)= 3
-1<x<2 的最值
2x-1 x≥2
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
思考3:如果函数 f (x)的最大值是b，最小值是a， 那么函数 f (x)的值域是[a，b]吗？
理论迁移
1、利用函数单调性的求函数的最大（小）值
例1已知函数 f x 2 , x 2,6 ，求函数 f (x)
x 1
的最大值和最小值.
单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其 单调性求最值；常用到以下一些结论：
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
f(X) ≤M反映了函数y=f(X)的所有函数值不大于实数M， 这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标 是M。
思考8：函数最大值的几何意义是什么？
函数图象最高点的纵坐标。
思考9:函数 y 2x 1, x (1, )有最大
值吗？为什么？点（-1，3）是不是最高点？
思考10：由问题9你发现了什么值得注意的地方？
思考4:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M, 则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关 系如何?
f(x) ≤M
思考5:设函数f(x)=1-x2,则f(x) ≤2成立吗?f(x) 的最大值是2吗?为什么?
思考6:在数学中,形如问题1中的函数y=f(x)的图象上
最高点A、B的纵坐标就是函数y=f(x)的最大值，谁能 给出函数最大值的定义，用什么符号表示？
f (x) 的最小值？
一般地，设函数 y f (x)的定义域为I， 如果存在实数m满足：
（1）对于任意的 x I , 都有 f (x) m;
（2）存在 x0 I，使得 f (x0 ) m .
那么称m是函数 y f (x)的最小值，记作 f (x)min m
函数最小值的几何意义：函数图象最低点的纵坐标。
一般地，设函数 y f (x) 的定义域为I，如果存在 实数M满足：
（1）对于任意的 x I , 都有 f (x) M；
（2）存在 x0 I，使得 f (x0) M.
那么称M是函数 y f (x) 的最大值，记作
f (x)max M
思考7:函数的最大值的定义中f(x) ≤M即f(x) ≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具 有什么特点？其图象又具有什么特征？
点B,也就是说,这两个函数的图象的共同特征是都有最
高点
思考2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有 什么关系?
函数图象上任意点P(x,y)的意义:横坐标x是自变量 的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
思考3:函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？
函数图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值, 即函数的最大值
①如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递增，在区间[b,c) 上单调递减，则函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).
②如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递减，在区间[b,c) 上单调递增，则函数y=f(X)在x=b处有最小值f(b).
③如果函数y=f(X)在区间[a,b]上单调递增，则函数函数 y=f(X)在x=b处有最大值f(b).在x=a处有最小值f(a).
解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象，如图，显然，
函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟
花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。
h
30
25
20 15
10
5
0
1
2
3
4
t
由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2 +14.7t+18 ，
我们有：当
h
4 (4.9) 18 14.72
讨论函数的最小值，要坚持定义域优先的原则；函数图 象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是 函数图象上的点。
知识探究（三）
思考1:如果在函数 f (x)定义域内存在x1和 x2， 使对定义域内任意x都有 f (x1) f (x) f (x2 ) 成立，由此你能得到什么结论？
思考2:如果函数 f (x)存在最大值，那么有几个？
讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图 象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是 函数图象上的点。
知识探究（二）
观察下列两个函数的图象：
y y
m
m
o
x0
x
x0 o
x
图1
图2
思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图
象上最低点的纵坐标叫什么名称？
思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数
2、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最 大（小）值 例 2 “菊花”烟花是最壮观 的烟 花之一。制造时一般是期望在它
达到最高点时爆裂, 如果烟花 距地面的
高度h m与时间t s之间的关系为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ，那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少? （精确到1m）
时，函数有最大值
29
4 (4.9)
t 14.7 1.5 2 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的 高度约为29m
例3．将进货单价40元的商品按50元一个售出时， 能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量 减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
本题主要考察二次函数的最值问题，以及应用二次 函数解决实际问题的能力，解应用题步骤是①审清题 意读懂题；②实际问题转化为数学问题来解决；③归 纳结论。
函数的最值
问题提出
1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？
2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性， 如果函数的图象存在最高点或最低点，它又 反映了函数的什么性质？
知识探究（一）
观察下列两个函数的图象：
y
y B
A
M
M
x
o x0
o
x0
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图1
图2
思考1:这两个函数图象有何共同特征？
第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高
3、利用图象求函数的最大（小）值
-2x+1 x≤-1
例4、求函数f(x)= 3
-1<x<2 的最值
2x-1 x≥2
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
思考3:如果函数 f (x)的最大值是b，最小值是a， 那么函数 f (x)的值域是[a，b]吗？
理论迁移
1、利用函数单调性的求函数的最大（小）值
例1已知函数 f x 2 , x 2,6 ，求函数 f (x)
x 1
的最大值和最小值.
单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其 单调性求最值；常用到以下一些结论：
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
f(X) ≤M反映了函数y=f(X)的所有函数值不大于实数M， 这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标 是M。
思考8：函数最大值的几何意义是什么？
函数图象最高点的纵坐标。
思考9:函数 y 2x 1, x (1, )有最大
值吗？为什么？点（-1，3）是不是最高点？
思考10：由问题9你发现了什么值得注意的地方？
思考4:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M, 则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关 系如何?
f(x) ≤M
思考5:设函数f(x)=1-x2,则f(x) ≤2成立吗?f(x) 的最大值是2吗?为什么?
思考6:在数学中,形如问题1中的函数y=f(x)的图象上
最高点A、B的纵坐标就是函数y=f(x)的最大值，谁能 给出函数最大值的定义，用什么符号表示？
f (x) 的最小值？
一般地，设函数 y f (x)的定义域为I， 如果存在实数m满足：
（1）对于任意的 x I , 都有 f (x) m;
（2）存在 x0 I，使得 f (x0 ) m .
那么称m是函数 y f (x)的最小值，记作 f (x)min m
函数最小值的几何意义：函数图象最低点的纵坐标。
一般地，设函数 y f (x) 的定义域为I，如果存在 实数M满足：
（1）对于任意的 x I , 都有 f (x) M；
（2）存在 x0 I，使得 f (x0) M.
那么称M是函数 y f (x) 的最大值，记作
f (x)max M
思考7:函数的最大值的定义中f(x) ≤M即f(x) ≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具 有什么特点？其图象又具有什么特征？
点B,也就是说,这两个函数的图象的共同特征是都有最
高点
思考2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有 什么关系?
函数图象上任意点P(x,y)的意义:横坐标x是自变量 的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
思考3:函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？
函数图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值, 即函数的最大值
①如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递增，在区间[b,c) 上单调递减，则函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).
②如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递减，在区间[b,c) 上单调递增，则函数y=f(X)在x=b处有最小值f(b).
③如果函数y=f(X)在区间[a,b]上单调递增，则函数函数 y=f(X)在x=b处有最大值f(b).在x=a处有最小值f(a).
解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象，如图，显然，
函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟
花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。
h
30
25
20 15
10
5
0
1
2
3
4
t
由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2 +14.7t+18 ，
我们有：当
h
4 (4.9) 18 14.72
讨论函数的最小值，要坚持定义域优先的原则；函数图 象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是 函数图象上的点。
知识探究（三）
思考1:如果在函数 f (x)定义域内存在x1和 x2， 使对定义域内任意x都有 f (x1) f (x) f (x2 ) 成立，由此你能得到什么结论？
思考2:如果函数 f (x)存在最大值，那么有几个？
讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图 象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是 函数图象上的点。
知识探究（二）
观察下列两个函数的图象：
y y
m
m
o
x0
x
x0 o
x
图1
图2
思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图
象上最低点的纵坐标叫什么名称？
思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数
2、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最 大（小）值 例 2 “菊花”烟花是最壮观 的烟 花之一。制造时一般是期望在它
达到最高点时爆裂, 如果烟花 距地面的
高度h m与时间t s之间的关系为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ，那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少? （精确到1m）
时，函数有最大值
29
4 (4.9)
t 14.7 1.5 2 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的 高度约为29m
例3．将进货单价40元的商品按50元一个售出时， 能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量 减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
本题主要考察二次函数的最值问题，以及应用二次 函数解决实际问题的能力，解应用题步骤是①审清题 意读懂题；②实际问题转化为数学问题来解决；③归 纳结论。
函数的最值
问题提出
1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？
2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性， 如果函数的图象存在最高点或最低点，它又 反映了函数的什么性质？
知识探究（一）
观察下列两个函数的图象：
y
y B
A
M
M
x
o x0
o
x0
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图1
图2
思考1:这两个函数图象有何共同特征？
第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高