北京市牛栏山一中2015-2016学年度第一学期期中考试高一数学试题
2016顺义牛栏山一中高一(上)期中数学
2016海淀八一中学高一（上）期中数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（4分）已知全集U=R，集合M={x|x2﹣2x＜0}，集合N={x|x＞1}，则集合M∩（∁U N）=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1}2．（4分）下列函数中，与函数y=x（x≥0）有相同图象的一个是（）A．y=B．y=（）2C．y=D．y=3．（4分）已知a=31.2，b=3°，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b4．（4分）下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（）A．B．f（x）=C．f（x）=（x﹣1）3D．f（x）=2x5．（4分）直线y=ax+b的图象如图所示，则函数h（x）=（ab）x在R上（）A．为增函数 B．为减函数 C．为常数函数D．单调性不确定6．（4分）函数f（x）=1﹣2|x|的图象大致是（）A．B．C．D．7．（4分）定义在实数集R上的偶函数y=f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x），且在区间[﹣1，0]上单调递增，设a=f （1），，c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞c＞b8．（4分）要得到函数f（x）=21﹣x的图象．可以将（）A．函数y=2x的图象向左平移1个单位长度B．函数y=2x的图象向右平移1个单位长度C．函数y=2﹣x的图象向左平移1个单位长度D．函数y=2﹣x的图象向右平移1个单位长度9．（4分）已知点B（2，0），P是函数y=2x图象上不同于A（0，1）的一点，有如下结论：①存在点P使得△ABP是等腰三角形；②存在点P使得△ABP是锐角三角形；③存在点P使得△ABP是直角三角形．其中，正确结论的序号为（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③10．（4分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g （x2），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（0，3] D．[3，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若，则f（x）的定义域是．12．（4分）已知f（x+1）=2x，且f（a）=4，则a= ．13．（4分）已知则f（x）的零点为．14．（4分）如果集合A={x|ax2+2x+1=0}只有一个元素，则实数a的值为．15．（4分）已知函数的图象与函数y=2x+b的图象恰有两个交点，则实数b的取值范围是．16．（4分）给定集合A n={1，2，3，…，n}，n∈N*．若f是A n→A n的映射且满足：①任取i，j∈A n，若i≠j，则f（i）≠f（j）；②任取m∈A n，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．则称映射f为A n→A n的一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f：A3→A3是一个“优映射”．表一i 1 2 3F（i） 2 3 1表2i 1 2 3 4F（i） 3（1）若f：A4→A4是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）若f：A2015→A2015是“优映射”，且f（1004）=1，则f（1000）+f（1017）的最大值为．二、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）解关于x的不等式ax2﹣ax+x＞0，其中a∈R．18．（8分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．（Ⅰ）设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（Ⅱ）求矩形BNPM面积的最大值．19．（9分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，．（Ⅰ）求f（﹣1）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的值域A；（Ⅲ）设函数的定义域为集合B，若A⊆B，求实数a的取值范围．20．（9分）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”．（1）若f（x）=ax2+ax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；（2）若f（x）是“一阶比增函数”，求证：对任意x1，x2∈（0，+∞），总有f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（3）若f（x）是“一阶比增函数”，且f（x）有零点，求证：关于x的不等式f（x）＞2015有解．数学试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【解答】由M中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即M={x|0＜x＜2}，∵全集U=R，N={x|x＞1}，∴∁U N={x|x≤1}，则M∩（∁U N）={x|0＜x≤1}，故选：B．2．【解答】一个函数与函数y=x （x≥0）有相同图象时，这两个函数应是同一个函数．A中的函数和函数y=x （x≥0）的值域不同，故不是同一个函数．B中的函数和函数y=x （x≥0）具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．C中的函数和函数y=x （x≥0）的值域不同，故不是同一个函数．D中的函数和函数y=x （x≥0）的定义域不同，故不是同一个函数．综上，只有B中的函数和函数y=x （x≥0）是同一个函数，具有相同的图象，故选 B．3．【解答】∵a=31.2＞3，b=3°=1，=30.9＜3，30.9＞1，∴b=1＜c＜3＜a，∴a，b，c的大小关系是b＜c＜a．故选：C．4．【解答】对于A，定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），则函数为奇函数对于B，定义域为{x|x≠1}不对称，从而是非奇非偶函数对于C，f（﹣x）=﹣（x+1）3≠﹣f（x）=﹣（x﹣1）3，故不是奇函数对于D，f（﹣x）=2﹣x≠﹣f（x）=﹣2x，故不是奇函数故选A．5.【解答】由图可知x=﹣1时，y=b﹣a=0．∴a=b，当x=0时，y=b，0＜b＜1，∴0＜a，b＜1，根据指数函数的性质，∴h（x）=（ab）x，为减函数．故选B．6．【解答】因为|x|≥0，所以2|x|≥1，所以f（x）=1﹣2|x|≤0恒成立，故选：A7．【解答】∵偶函数y=f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增，∴在区间[0，1]上单调递递减，在区间[1，2]上单调递增，则f（2）＞f（）＞f（1），即c＞b＞a，故选：B8．【解答】将函数y=2﹣x的图象向右平移1个单位长度，得函数y=2﹣（x﹣1）=21﹣x的图象故选 D9．【解答】∵函数y=2x的导函数为y′=（ln2）2x∴y′|x=0=ln2，即线段AB的斜率为，ln2＜2∴存在点P使得三角形ABP为锐角和直角三角形．以B（2，0）为圆心，AB为半价作圆，和y=2x有交点，所以能够构成等腰三角形所以，选项都对，选D10．【解答】∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，可得f（x1）值域为[﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴⇒a≥3故选D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．【解答】要使原函数有意义，则，解得：x≥0且x≠1，∴f（x）的定义域是[0，1）∪（1，+∞）．故答案为：[0，1）∪（1，+∞）．12．【解答】由f（x+1）=2x得f（x+1）=2（x+1）﹣2，则f（x）=2x﹣2，由f（a）=4得f（a）=2a﹣2=4，即2a=6，得a=3，故答案为：3．13．【解答】，当x≥0时，f（x）=3x﹣3=0，解得：x=1，当x＜0时，f（x）==0，解得：x=﹣2，∴函数f（x）的零点为：﹣2和1．故答案为：﹣2和1．14．【解答】若集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个解当a=0时，方程可化为2x+1=0，满足条件；当a≠0时，二次方程ax2+2x+1=0有且只有一个解则△=4﹣4a=0，解得a=1故满足条件的a的值为0或1故答案为：0或115．【解答】当x＞1或x＜﹣1时，y=x+1，当﹣1≤x＜1时，y=﹣x+1，当直线y=2x+b经过点A（1，﹣2）时，此时﹣2=2+b，解得b=﹣4时只有一个交点，当直线y=2x+b经过点B（，2）时，此时2=2+b，解得b=0，此时只有一个交点，由图象可知，函数的图象与函数y=2x+b的图象恰有两个交点，则实数b的取值范围是（﹣4，0）故答案为：（﹣4，0）．16．【解答】（1）i 1 2 3 4f（i） 2 3 1 4或i 1 2 3 4f（i） 2 3 4 1（2）根据优影射的定义，f：A2010→A2010是“优映射”，且f（1004）=1，则对f（1000）+f（1007），只有当f（1000）=1004，f（1017）=1017，f（1000）+f（1017）取得最大值为 1004+1017=2021，故答案为：2021．二、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【解答】（I）当a=0时，原不等式变为：x＞0，（II）当a≠0时，原不等式可写为，①当a＞0时，若即a=1此时不等式变为x2＞0得x≠0，若即0＜a＜1可得或x＞0，若即a＞1时可得x＜0或，②当a＜0时，可得，综上所述：当a=0时，不等式的解集为{x|x＞0}；当a=1时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a＜0时，不等式的解集为当a＞1时，不等式的解集为当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1﹣或x＞0}18．【解答】（I）作PQ⊥AF于Q，所以PQ=8﹣y，EQ=x﹣4…（2分）在△EDF中，，所以…（4分）所以，定义域为{x|4≤x≤8}…（6分）（II）设矩形BNPM的面积为S，则…（9分）所以S（x）是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10所以当x∈[4，8]，S（x）单调递增…（11分）所以当x=8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米…（13分）19．【解答】（I）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数∴f（﹣1）=f（1）又x≥0时，∴，即f（﹣1）=．（II）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数f（x）的值域A即为x≥0时，f（x）的取值范围，当x≥0时，故函数f（x）的值域A=（0，1]．（III）∵定义域B={x|﹣x2+（a﹣1）x+a≥0}={x|x2﹣（a﹣1）x﹣a≤0}方法一：由x2﹣（a﹣1）x﹣a≤0得（x﹣a）（x+1）≤0∵A⊆B∴B=[﹣1，a]，且a≥1（13分）∴实数a的取值范围是{a|a≥1}方法二：设h（x）=x2﹣（a﹣1）x﹣aA⊆B当且仅当即∴实数a的取值范围是{a|a≥1}20．【解答】（1）依题意可知：函数在区间（0，+∞）上为增函数；由一次函数性质可知一次项系数a＞0；∴实数a的取值范围为（0，+∞）；（2）证明：因为f（x）为“一阶比增函数”，即在（0，+∞）上为增函数；又对任意x1，x2∈（0，+∞），有x1＜x1+x2，x2＜x1+x2；故，；∴，；不等式左右两边分别相加得：；因此，对于任意x1，x2∈（0，+∞），总有f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（3）证明：设f（x0）=0，其中x0＞0；因为f（x）是一阶比增函数，所以当x＞x0时，，即f（x）＞0；取t∈（0，+∞），满足f（t）＞0，记f（t）=m；由（2）知f（2t）＞2f（t）=2m；同理可得：f（4t）＞2f（2t）=4m，f（8t）＞2f（4t）＞8m；∴一定存在n∈N*，使得f（2n t）＞2n m＞2015；故不等式f（x）＞2015有解．2016人大附中高一（上）期中数学一、选择题（共8小题）.1．（3分）已知集合A={x|y=lg（x﹣1）}，全集U=R，则有∁U A=（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1] C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．（3分）下列图示所表示的对应关系不是映射的是（）A．B．C．D．3．（3分）若函数f（x）是一次函数，且函数图象经过点（0，1），（﹣1，3），则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2x﹣1 B．f（x）=2x+1 C．f（x）=﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2x+14．（3分）若函数f（x）=2x﹣3，则f﹣1（5）=（）A．4 B．5 C．6 D．75．（3分）若实数a=20.1，b=log32，c=log0.34，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b6．（3分）若函数，则f（x）的图象为（）7．（3分）函数f（x）=x3﹣x+2在下列区间内一定存在零点的是（）A．（1，2）B．（0，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，0）8．（3分）函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，f（3）=0，则不等式f（2x﹣1）≥0的解为（）A．B．C．[2，+∞）D．二、填空题（本大题共6小题）．9．（3分）集合{a，b}的所有子集是：{a}，{b}，，．10．（3分）已知函数f（x+1）=x2，则函数f（x）的解析式为f（x）= ．11．（3分）某班共有15人参加数学和物理课外兴趣小组，其中只参加数学兴趣小组的有5人，两个小组都参加的有4人，则只参加物理兴趣小组的有人．12．（3分）若函数，方程f（x）=m有两解，则实数m的取值范围为．13．（3分）函数单调减区间为．14．（3分）对于函数f（x），若存在实数M＞0，使得对于定义域内的任意的x，使得函数|f（x）|≤M，则称函数f （x）为有界函数，下列函数是有界函数的是①y=2x+1②y=﹣x2+2x③y=2x﹣1④y=lnx（x∈（1，e]）⑤y=2﹣|x|⑥．三、解答题15．计算下列指、对数式的值（Ⅰ）（Ⅱ）．16．已知（Ⅰ）求函数y=f[g（x）]的解析式；（Ⅱ）求f[g（1）]，f[g（﹣1）]的值；（Ⅲ）判别并证明函数y=f[g（x）]的奇偶性．17．已知（Ⅰ）求f（﹣1），f（1）的值；（Ⅱ）求f（a）+f（﹣a）的值；（Ⅲ）判别并证明函数f（x）的单调性．18．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对于定义域内任意x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y），且函数在定义域内为单调递减函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的零点；（Ⅲ）求满足不等式f（2m+1）+f（m）＞0的实数m的范围．19．已知分段函数f（x）=．（1）求实数c的值；（2）当a=1时，求f[f（﹣1）]的值与函数f（x）的单调增区间；（3）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．20．若A n=（a i=0或1，i=1，2，…n），则称A n为0和1的一个n位排列，对于A n，将排列记为R1（A n）；将排列记为R2（A n）；依此类推，直至R n（A n）=A n．对于排列A n和R i（A n）（i=1，2，…n﹣1），它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做A n和R i（A n）的相关值，记作t（A n，R i（A n）），（Ⅰ）例如A3=，则R1（A3）= ，t（A3，R1（A3））= ；若t（A n，R i（A n））=﹣1（i=1，2，…n﹣1），则称A n为最佳排列（Ⅱ）当n=3，写出所有的n位排列，并求出所有的最佳排列A3；（Ⅲ）证明：当n=5，不存在最佳排列A5．数学试题答案一、选择题（共8小题）.1．【解答】由于函数y=y=lg（x﹣1）有意义，∴x﹣1＞0，即x＞1集合A={x|y=lg（x﹣1）}=（1，+∞）由于全集U=R，所以C U A=（﹣∞，1]，故选：B．2．【解答】若在M中的任意一个元素，在N中都有唯一的元素对应，则M到N的对应叫映射，A、B、D符合映射的定义，是映射，C中，M的元素b在N中有两个对应的元素，不符合映射的定义，不是映射．故选：C．3．【解答】∵函数f（x）是一次函数，∴其解析式可以假设为f（x）=kx+b （k≠0），∵函数图象经过点（0，1），（﹣1，3），∴f（0）=1，f（﹣1）=3，∴b=1，k=﹣2，∴f（x）=﹣2x+1，故选：D．4．【解答】由2x﹣3=5，解得x=4．∴f﹣1（5）=4．故选：A．5．【解答】∵a=20.1＞20=1，0=log31＜b=log32＜log33=1，c=log0.34＜log0.31=0，∴a＞b＞c．故选：A．6．【解答】f（﹣x）===f（x），所以函数f（x）为偶函数，故图象关于y轴对称，故排除B，D，由f′（x）=，当x＞0时，f′（x）为减函数，故f（x）的切线的斜率越来越小，故f（x）增加的越来越慢，故选：A．7．【解答】f（﹣2）=﹣8+2+2=﹣4＜0，f（﹣1）=﹣1+1+2=2＞0，则函数f（x）在（﹣2，﹣1）上存在零点，故选：C8．【解答】∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（3）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣3）=﹣f（3）=0，作出函数f（x）的草图：如图：由不等式f（2x﹣1）≥0得2x﹣1≥3或2x﹣1=0或﹣3≤2x﹣1＜0，即x≥2或x=或﹣1≤x＜，综上x≥2或﹣1≤x≤，即不等式的解集为，故选：B二、填空题（本大题共6小题）．9．【解答】集合{a，b}的所有子集：∅，{a}，{b}，{a，b}．故答案为：∅，{a，b}．10．【解答】令t=x+1，则x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣1）2，∴f（x）=（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）211．【解答】由题意可得到只参加物理兴趣小组的人数为15﹣5﹣4=6人，故答案为：612．【解答】如图所示．由题意，x≤0，0＜3x≤1，x＞0，f（x）≤2，∵方程f（x）=m有两解，∴0＜m＜2．故答案为：0＜m＜2．13．【解答】由2x﹣x2＞0得0＜x＜2，设t=2x﹣x2，∵y=log2t为增函数，∴要求单调减区间，即求函数t=2x﹣x2（0＜x＜2）的递减区间，∵当1≤x＜2时，函数t=2x﹣x2为减函数，故函数f（x）的单调递减区间为[1，2），故答案为：[1，2）．14．【解答】若函数f（x）为有界函数，则函数的值域是有界的．①y=2x+1的值域为R，故不是有界函数，②y=﹣x2+2x的值域为（﹣∞，1]，故不是有界函数，③y=2x﹣1的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故不是有界函数，④y=lnx（x∈（1，e]）的值域为（0，1]为有界函数；⑤y=2﹣|x|的值域为（0，1]为有界函数；⑥．的值域为（﹣1，1）为有界函数；故答案为：④⑤⑥三、解答题15．【解答】（Ⅰ）=×=×==3．（Ⅱ）=1+3×5=16．16．【解答】（1）∵f（x）=log2x，g（x）=9﹣x2，∴y=f[g（x）]=（﹣3＜x＜3）；（2）f[g（1）]=log28=3，f[g（﹣1）]=log28=3；（3）偶函数，证明：定义域为（﹣3，3），关于原点对称，∵y=f[g（x）]=，∴f[g（﹣x）]=，∴y=f[g（﹣x）]=y=f[g（x）]，∴y=f[g（x）]为偶函数．17．【解答】（Ⅰ）∵，∴f（﹣1）==，f（1）==；（Ⅱ）f（a）+f（﹣a）=+=+=1；（Ⅲ）函数f（x）是定义域R上的单调增函数，证明如下：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，∴＜，（1+）（1+）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）是定义域R上的单调增函数．18．【解答】（Ⅰ）由题意知，f（xy）=f（x）+f（y）令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，令x=a，y=，∴f（a）+f（）=f（1）=0；（Ⅱ）∵函数在定义域内为单调递减函数，∵f（1）=0，∴在定义域内只有一个零点x=1；（Ⅲ）f（2m+1）+f（m）＞0，∴f（2m+1）+f（m）＞f（1），∴（m+1）（2m﹣1）＜0，∴﹣1＜m＜，∵m＞0，∴0＜m＜19．【解答】（1）因为两段都取到x=0，所以当x=0时的函数值相等，即20=c，因此c=1 （2）因为a=1，所以，所以由解析式可知：f（x）的增区间是（﹣∞，0）和（1，+∞）（3）由解析式知：当x≤0时：函数没有零点当x≥0时：f（x）=（ax﹣1）（x﹣1），此时函数一定有一个零点x=1令h（x）=ax﹣1，则函数h（x）要么没有零点，要么有且只有一个零点x=1，而：当a=0时，此函数没有零点，符合题意当a＜0时，此函数没有零点，符合题意当a＞0时，若a=1，此函数有且只有一个零点x=1，符合题意；其它取值都有不等于1的根，不符合题意所以：当a∈（﹣∞，0]∪{1}时，函数f（x）有且只有一个零点20．【解答】（Ⅰ）当A3=，R1（A3）=，t（A3，R1（A3））=1﹣2=﹣1，故答案为：，﹣1…（4分）（Ⅱ）当n=3时，所有的3位排列有：，，，，，，，最佳排列A3为，，，，，…（8分）证明：（Ⅲ）设A 5=，则R1（A5）=，因为 t（A5，R1（A5））=﹣1，所以|a1﹣a5|，|a2﹣a1|，|a3﹣a2|，|a4﹣a3|，|a5﹣a4|之中有2个0，3个1．按a5→a1→a2→a3→a4→a5的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不发生改变，有3次数码发生了改变．但是a5经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在A5，使得t（A5，R1（A5））=﹣1，从而不存在最佳排列A5．…（12分）2016首师大附属育新高一（上）期中数学一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，在后面答题区域的表格内填写正确的答案）1．（3分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则B∩∁U A（）A．{5，6} B．{3，4，5，6} C．{1，2，5，6} D．∅2．（3分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=x2+3x B．y=（x﹣1）2C．g（x）=2﹣x D．y=log0.5（x+1）3．（3分）设a=（）0.2，b=1.30.7，c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c4．（3分）已知集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围（）A．a＜﹣2 B．a＞2 C．a≤﹣2 D．a≥25．（3分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m恰有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[0，1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）6．（3分）函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．7．（3分）已知实数a，b满足等式2014a=2015b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，则f（）的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，在后面答题区域的表格内填写正确方为有效共10小题，每小题4分，满分40分）9．（4分）若函数f（x）=﹣x2+4ax在（﹣∞，﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是．10．（4分）已知函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P，则P点的坐标为．11．（4分）若函数f（x）=是奇函数，则a+b= ．12．（4分）函数f（x）=x2﹣x+a，则f（m）f（1﹣m）（填“＜”“＞”或“=”）13．（4分）用“二分法”求函数f（x）=x3﹣3x+1的一个零点时，若区间[1，2]作为计算的初始区间，则下一个区间应取为．14．（4分）已知函数f（x）=x5+ax﹣8，且f（﹣2）=10，则f（2）= ．15．（4分）函数f（x）=的值域是．16．（4分）函数f（x）=x2+2ax+a2在区间[﹣1，2]上的最大值是4，则实数a的值为．17．（4分）设2a=5b=m，且+=2，m= ．18．（4分）已知下表中的对数值有且只有一个是错误的．x 1.5 3 5 6 8 9lg x 4a﹣2b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3[1﹣（a+c）] 2（2a﹣b）其中错误的对数值是．三、解答题（本大题共4小题，满分36分要求写出必要的解题步骤和文字说明）19．（9分）计算下来各式：（1）化简：a••；（2）求值：log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5．20．（9分）已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．21．（9分）据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．22．（9分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，a，b，c是常数且a≠0，满足条件：f（0）=3，f（3）=6，且对任意的x∈R有f（1+x）=f（1﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）问是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]，[2m，2n]？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由．数学试题答案一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，在后面答题区域的表格内填写正确的答案）1．【解答】∵全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，∴∁U A={5，6}，则B∩∁U A={5，6}，故选：A．2．【解答】对于A，函数f（x）=x2+3x在（0，+∞）上是单调增函数，满足条件；对于B，函数y=（x﹣1）2在（0，1）是单调减函数，在（1，+∞）上是单调增函数，不满足条件；对于C，函数g（x）=2﹣x=在（﹣∞，+∞）上为单调减函数，不满足条件；对于D，函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是单调减函数，不满足条件．故选：A．3．【解答】∵1＞a=（）0.2＞（），b=1.30.7＞1，则a，b，c的大小关系是b＞a＞c．故选：B．4．【解答】∵集合A={x丨﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x丨x≥a}，且A⊆B，∴a≤﹣2故选：C．5．【解答】令g（x）=0得f（x）=m，作出y=f（x）的函数图象如图所示：由图象可知当m＜0或m≥1时，f（x）=m只有一解．故选D．6．【解答】函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．7．【解答】分别作出y=2014x，与y=2015x的函数图象．∵2014a=2015b，∴a＞b＞0，或a＜b＜0，或a=b=0，正确；因此只有：③，④不正确．故选：B．8．【解答】根据题意，得若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，得到f（x）﹣为一个常数，令f（x）﹣=n，则f（n）=2，∴2﹣=n，∴n=1，∴f（x）=1+，∴f（）=7，故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，在后面答题区域的表格内填写正确方为有效共10小题，每小题4分，满分40分）9．【解答】f（x）=﹣（x﹣2a）2+4a2，∴f（x）的图象开口向下，对称轴为x=2a，∴f（x）在（﹣∞，2a]上单调递增，在（2a，+∞）上单调递减，∵在（﹣∞，﹣2]上单调递增，∴﹣2≤2a，解得a≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）．10．【解答】令2x+3=1，可得 x=﹣1，此时y=3．即函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P的坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．11．【解答】由题意，a=f（0）=0．f（﹣1）=﹣f（1），∴﹣1+b=﹣（1﹣1），∴b=1，∴a+b=1．故答案为：1．12．【解答】解法一、函数f（x）=x2﹣x+a，可得f（1﹣m）﹣f（m）=（1﹣m）2﹣（1﹣m）+a﹣（m2﹣m+a）=（1﹣m）（﹣m）﹣m（m﹣1）=m（m﹣1）﹣m（m﹣1）=0，则f（m）=f（1﹣m）．解法二、函数f（x）=x2﹣x+a的对称轴为x=，由m+（1﹣m）=1，可得f（m）=f（1﹣m）．故答案为：=．13．【解答】由二分法由f（1）=1﹣3+1＜0，f（2）=8﹣6+1＞0，取区间[1，2]作为计算的初始区间取x1=1.5，这时f（1.5）=1.53﹣3×1.5+1=﹣0.125＜0，故x0∈（1.5，2）．故答案为：（1.5，2）．14．【解答】f（﹣2）=（﹣2）5﹣2a﹣8=10，则2a=﹣25﹣18，则f（2）=25+2a﹣8=25﹣25﹣18﹣8=﹣26，故答案为：﹣26．15．【解答】若使函数的解析式有意义则4﹣2x≥0，解得x≤2此时0＜2x≤4则0≤4﹣2x＜40≤＜2故函数的值域是[0，2）故答案为：[0，2）16．【解答】∵函数f（x）=x2+2ax+a2=（x+a）2在区间[﹣1，2]上的最大值是4，区间[﹣1，2]的中点为，二次函数f（x）的图象的图象的对称轴为x=﹣a，当﹣a＜时，即a＞﹣时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为f（2）=4+4a+a2=4，a=0．当﹣a≥时，即a≤﹣时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为f（﹣1）=1﹣2a+a2=4，求得a=﹣1，综上可得，a=0或 a=﹣1，故答案为：0或﹣1．17．【解答】解：∵2a=5b=m，∴a=log2m，b=log5m，由换底公式得，∴m2=10，∵m＞0，∴故应填18．【解答】∵lg9=2lg3，适合，故二者不可能错误，同理：lg8=3lg2=3（1﹣lg5），∴lg8，lg5正确．lg6=lg2+lg3=（1﹣lg5）+lg3=1﹣（a+c）+（2a﹣b）=1+a﹣b﹣c，故lg6也正确．故答案为：lg1.5．三、解答题（本大题共4小题，满分36分要求写出必要的解题步骤和文字说明）19．【解答】（1）a••==；（2）log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5=1+log57﹣log0.50.5+log550﹣log57﹣log52+3=1+log57﹣1+2+log52﹣log57﹣log52+3=1﹣1+2+3=5．20．【解答】函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）∵﹣1＜x＜1∴函数f（x）的定义域（﹣1，1）（2）函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）．∴f（x）为奇函数（3）∵f（x）＞0，∴求解得出：0＜x＜1故x的取值范围：（0，1）21．【解答】设直线l交v与t的函数图象于D点，（1）由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），∴OT=4，TD=12，∴S=×4×12=24（km）；（2分）（2）当0≤t≤10时，此时OT=t，TD=3t（如图1）∴S=•t•3t=（4分）当10＜t≤20时，此时OT=t，AD=ET=t﹣10，TD=30（如图2）∴S=S△AOE+S矩形ADTE=×10×30+30（t﹣10）=30t﹣150（5分）当20＜t≤35时，∵B，C的坐标分别为（20，30），（35，0）∴直线BC的解析式为v=﹣2t+70∴D点坐标为（t，﹣2t+70）∴TC=35﹣t，TD=﹣2t+70（如图3）∴S=S梯形OABC﹣S△DCT=（10+35）×30﹣（35﹣t）（﹣2t+70）=﹣（35﹣t）2+675；（7分）（3）∵当t=20时，S=30×20﹣150=450（km），当t=35时，S=﹣（35﹣35）2+675=675（km），而450＜650＜675，∴N城会受到侵袭，且侵袭时间t应在20h至35h之间，（8分）由﹣（35﹣t）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）．∴在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城．22．【解答】（1）∵对任意的x∈R有f（1+x）=f（1﹣x），∴函数的对称轴是x=﹣=1①，又f（0）=3，f（3）=6，∴f（0）=c=3②，f（3）=9a+3b+c=6③，由①②③组成方程组解得：a=1，b=﹣2，c=3，∴f（x）=x2﹣2x+3；（2）f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，对称轴x=1，函数的最小值是2，由于函数f（x）的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，m＜n，．∴函数f（x）在定义域为[m，n]上是增函数，∴f（m）=2m，f（n）=2n，即，解得：m=1，n=3，∴m=1，n=3．2016顺义牛栏山一中高一（上）期中数学一、选择题：（每题5分，共40分）在每小题的4个选项中，只有1项是符合题目要求的.1．（5分）设集合I=R，集合M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，则集合{x|﹣1＜x＜1}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁I M）∪N D．（∁I M）∩N2．（5分）若f（x）=x2+a（a为常数），，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．13．（5分）函数的定义域为（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，0）∪（0，+∞）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，2）4．（5分）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣55．（5分）已知a=40.4，b=80.2，，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．（5分）已知幂函数f（x）=xα（α∈Z），具有如下性质：f2（1）+f2（﹣1）=2[f（1）+f（﹣1）﹣1]，则f（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．28．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10） B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）二、填空题：（每题5分，共30分）9．（5分）写出满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是．10．（5分）函数y=1﹣2x（x∈[2，3]）的值域为．11．（5分）如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f（x﹣1）＜0的x的取值范围是．12．（5分）若函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是．13．（5分）函数y=log2（x2﹣3x﹣4）的单调增区间是．14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）= ．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求∁R（A∪B），∁R（A∩B），（∁R A）∩B，A∪（∁R B）16．（14分）计算下列各题：（2）2lg lg49．17．（13分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．18．（14分）某企业打算购买工作服和手套，市场价为每套工作服53元，每副手套3元，该企业联系了两家商店A 和B，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：商店A：买一赠一，买一套工作服，赠一副手套；商店B：打折，按总价的95%收款．该企业需要工作服75套，手套x副（x≥75），如果工作服与手套只能在一家购买，请你帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱？19．（13分）设函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212．（1）求a，b的值；（2）当x∈[1，2]时，求f（x）最大值．20．（14分）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．数学试题答案一、选择题：（每题5分，共40分）在每小题的4个选项中，只有1项是符合题目要求的.1．【解答】∵I=R，M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故选：B．2．【解答】∵f（x）=x2+a（a为常数），，∴2+a=3，∴a=1．故选：D．3．【解答】要使原函数有意义，则，解得：x＞﹣2．∴函数的定义域为（﹣2，+∞）．故选：C．4．【解答】由于奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上必是增函数且最小值为﹣5，故选A．5．【解答】a=40.4=20.8，b=80.2=20.6=20.5，因为y=2x是增函数，所以a＞b＞c．故选：D．6．【解答】幂函数f（x）=xα（α∈Z）中，若有f2（1）+f2（﹣1）=2[f（1）+f（﹣1）﹣1]，则可取常量n=2，所以，函数为f（x）=x2，此函数的图象是开口向上，并以y轴为对称轴的二次函数，即定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），所以为偶函数．故选：B．7．【解答】∵f（x）=，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣log24=﹣2．故选：B．8．【解答】作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．二、填空题：（每题5分，共30分）9．【解答】{1，3}∪A={1，3，5}，可得A中必须含有5这个元素，也可以含有1，3中的数值，满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．故答案为：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．10．【解答】因为函数y=1﹣2x是减函数．所以x∈[2，3]时，可得函数的最大值为：﹣3，最小值为：﹣7，函数的值域[﹣7，﹣3]．故答案为：[﹣7，﹣3]．11．【解答】由题意x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，可得x＞1时，函数值为正，0＜x＜1时，函数值为负又奇函数y=f（x）（x≠0），由奇函数的性质知，当x＜﹣1时，函数值为负，当﹣1＜x＜0时函数值为正综上，当x＜﹣1时0＜x＜1时，函数值为负∵f（x﹣1）＜0∴x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，即x＜0，或1＜x＜2故答案为（﹣∞，0）∪（1，2）12．【解答】∵函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，而函数y=2﹣x+m的图象经过定点（0，1+m），且函数y在R上单调递减，则1+m≤0，求得m≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．13．【解答】令t=x2﹣3x﹣4＞0，求得x＜﹣1，或x＞4，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），且y=log2t，故本题即求二次函数t的增区间．再利用二次函数的性质可得函数t的增区间为（4，+∞），故答案为：（4，+∞）．14．【解答】由题意可知：f（1）=f（0+1）=f（0）+f（1）+2×0×1=f（0）+f（1），∴f（0）=0．f（0）=f（﹣1+1）=f（﹣1）+f（1）+2×（﹣1）×1=f（﹣1）+f（1）﹣2，∴f（﹣1）=0．f（﹣1）=f（﹣2+1）=f（﹣2）+f（1）+2×（﹣2）×1=f（﹣2）+f（1）﹣4，∴f（﹣2）=2．f（﹣2）=f（﹣3+1）=f（﹣3）+f（1）+2×（﹣3）×1=f（﹣3）+f（1）﹣6，∴f（﹣3）=6．故答案为：6．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【解答】∵集合A={x丨3≤x＜7}，B={x丨2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，A∩B={x|3≤x＜7}，∁R A={x|x＜3或x≥7}，∴∁R（A∪B）={x|x≤2或x≥10}，∁R（A∩B）={x|x＜3或x≥7}，（∁R A）∩B={x|2＜x≤3或7≤x＜10}．16．【解答】（1）=0.4﹣1﹣1+[﹣2]﹣4+2﹣3+0.1=﹣1++=…（7分）（2）2lg lg49=2lg5﹣2lg3﹣lg7+2lg2+2lg3+lg7=2lg5+2lg2=2 …（14分）17．【解答】（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴=﹣，因此b=﹣b，即b=0．又f（2）=，∴=，∴a=2；（2）由（1）知f（x）==+，f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，证明：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣x2）•．∵x1＜x2≤﹣1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数．18．【解答】设按商店A和B优惠付款数分别为f（x）和g（x）商店A：f（x）=75×53+（x﹣75）×3=3x+3750（x≥75）…（4分）商店B：g（x）=（75×53+3x）×95%=2.85x+3776.25（x≥75）…（8分）令f（x）=g（x），解得x=175选择A与B是一样的…（10分）令y=f（x）﹣g（x）=0.15x﹣26.25，当75≤x＜175时，y＜0，选择商店A；…（12分）当x＞175时，y＞0，选择商店B；…（14分）19．【解答】∵函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212 ∴∴∴（2）由（1）得令g（x）=4x﹣2x=（2x）2﹣2x令t=2x，则y=t2﹣t∵x∈[1，2]，∴t∈[2，4]，显然函数y=（t﹣）2﹣在[2，4]上是单调递增函数，所以当t=4时，取得最大值12，∴x=2时，f（x）最大值为log212=2+log2320．【解答】（1）由题设，需，∴a=1，∴，经验证，f（x）为奇函数，∴a=1．（2）减函数证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2﹣x1＞0，f（x2）﹣f（x1）=﹣=，∵x1＜x2 ∴0＜＜；∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0∴f（x2）﹣f（x1）＜0∴该函数在定义域R 上是减函数．（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2）知，f（x）是减函数∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0 对任意t∈R 恒成立，∴△=4+12k＜0，得即为所求．（4）原函数零点的问题等价于方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0由（3）知，4x﹣b=2x+1，即方程b=4x﹣2x+1有解∴4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴当b∈[﹣1，+∞）时函数存在零点．。
高一数学-2015-2016学年高一上学期期中数学试卷
2015-2016学年高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．设集合A={1，2，3}，B={2，4}，则A∩B=__________．2．已知a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则a的值是__________．3．=__________．4．若角α=﹣4，则角α的终边在第__________象限．5．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）=__________．6．函数的定义域为__________．7．函数y=3+log a x，（a＞0且a≠1）必过定点__________．8．设a=log0.60.8，b=log1.20.9，c=1.10.8，则a、b、c由小到大的顺序是__________．9．已知定义域为[1，2]的函数f（x）=2+log a x（a＞0，a≠1）的图象过点（2，3），若g（x）=f（x）+f（x2），则函数g（x）的值域为__________．10．已知f（x）=3kx3+﹣2（k∈R），f（lg7）=1（k∈R），则f（lg）=__________．11．设方程2x+x=4的根为x0，若x0∈（k﹣，k+），则整数k=__________．12．若2a=5b=10，则=__________．13．若函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（4）=0，则＜0的解集__________．14．已知函数满足f（c2）=．则f（x）的值域为__________．二、解答题：本大题共6小题，计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|ax≥1，a＜0}（1）当a=﹣时，求A∩B；（2）当A⊆B时，求a的取值范围．16．（14分）已知扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积．17．（14分）已知二次函数f（x）满足=f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数g（x）=f（x）﹣2x的值域．18．（16分）用一根细铁丝围一个面积为4的矩形，（1）试将所有铁丝的长度y表示为矩形的某条边长x的函数；（2）①求证：函数f（x）=x+在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数；②题（1）中矩形的边长x多大时，细铁丝的长度最短？19．（16分）已知函数f（x）=ln（1+x）+aln（1﹣x）（a∈R）的图象关于原点对称．（1）求定义域．（2）求a的值．（3）若有零点，求m的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=2x（x∈R），（1）解不等式f（x）﹣f（2x）＞16﹣9×2x；（2）若函数q（x）=f（x）﹣f（2x）﹣m在[﹣1，1]上有零点，求m的取值范围；（3）若函数f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2ag （x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．设集合A={1，2，3}，B={2，4}，则A∩B={2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，4}，∴A∩B={2}，故答案为：{2}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则a的值是0．【考点】子集与真子集．【专题】计算题．【分析】由题意，集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则此集合必是空集，a的值易求得．【解答】解：由于a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则此集合必是空集，故方程ax=1无根，所以a=0故答案为：0．【点评】本题考查集合中的参数取值问题，空集的概念，解题的关键是理解题意，得出是任何集合的子集的集合必是空集．3．=2．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题．【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简即可得解【解答】解：原式=故答案为：2【点评】本题考查指数运算与对数运算，须能够对指数式和对数式灵活变形，熟练应用指数运算法则和对数运算法则．属简单题4．若角α=﹣4，则角α的终边在第二象限．【考点】象限角、轴线角．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】判断角的所在范围，推出所在象限即可．【解答】解：因为α=﹣4，﹣4∈（﹣，﹣π），所以α的终边在第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查象限角的判断，是基础题．5．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）=．【考点】幂函数的图像；函数的值．【专题】待定系数法．【分析】设出幂函数的解析式，由图象过（，8）确定出解析式，然后令x=﹣2即可得到f （﹣2）的值．【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过，则有8=，∴a=﹣3，即f（x）=x﹣3，∴f（﹣2）=（﹣2）﹣3=﹣故答案为：﹣【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．6．函数的定义域为（0，1]．【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0建立不等式组，解之即可求出所求．【解答】解：要使函数有意义则由⇒0＜x≤1故答案为：（0，1]．【点评】本题主要考查了对数函数的定义域，以及根式函数的定义域和不等式组的解法，属于基础题．7．函数y=3+log a x，（a＞0且a≠1）必过定点（1，3）．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】数形结合；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数函数的图象经过的定点，再通过平移，求出函数y=3+log a x图象经过的定点．【解答】解：∵对数函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，0），而函数y=3+log a x的图象是由f（x）的图象向上平移3个单位得到，∴函数y=3+log a x的图象必过定点（1，3）．故答案为：（1，3）．【点评】本题主要考查了对数函数的图象经过的定点的应用，以及函数图象的平移变换，属于基础题．8．设a=log0.60.8，b=log1.20.9，c=1.10.8，则a、b、c由小到大的顺序是b＜a＜c．【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由y=log0.6x是减函数，知1=log0.60.6＞a=log0.60.8＞log0.61=0；由y=log1.2x是增函数，知b=log1.20.9＜log1.21=0；由y=1.1x是增函数，知c=1.10.8＞1.10=1，由此能比较a、b、c的大小【解答】解：∵y=log0.6x是减函数，∴1=log0.60.6＞a=log0.60.8＞log0.61=0；∵y=log1.2x是增函数，∴b=log1.20.9＜log1.21=0；∵y=1.1x是增函数，∴c=1.10.8＞1.10=1，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．9．已知定义域为[1，2]的函数f（x）=2+log a x（a＞0，a≠1）的图象过点（2，3），若g（x）=f（x）+f（x2），则函数g（x）的值域为[4，]．【考点】对数函数的图像与性质；函数的值域．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）的图象过点（2，3），代入可得实数a的值，再确定g（x）的定义域，最后根据单调性求函数值域．【解答】解：∵f（x）=2+log a x的图象过点（2，3），∴3=2+log a2，即log a2=1，解得a=2，又∵g（x）=f（x）+f（x2）=4+3log2x，且f（x）的定义域为[1，2]，∴g（x）的自变量x需满足，解得x∈[1，]，又g（x）在x∈[1，]上单调递增，所以g（x）min=g（1）=4，g（x）max=g（）=，因此，函数g（x）的值域为[4，]，故填：[4，]．【点评】本题主要考查了函数解析式和定义域的求法，以及应用单调性求函数的值域，忽视g（x）的定义域是本题的易错点，属于中档题．10．已知f（x）=3kx3+﹣2（k∈R），f（lg7）=1（k∈R），则f（lg）=﹣5．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用已知条件求出k，然后求解f（lg）．【解答】解：f（x）=3kx3+﹣2（k∈R），f（lg7）=1（k∈R），可得3klg37+﹣2=1，可得3klg37+=3．f（lg）=f（﹣lg7）=﹣（3klg37+）﹣2=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查函数值的求法，整体代入法的应用，考查计算能力．11．设方程2x+x=4的根为x0，若x0∈（k﹣，k+），则整数k=1．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题．【分析】令f（x）=2x+x﹣4，由f（x）的单调性知：f（k﹣）＜0，且f（k+）＞0，根据k 取整数，从而确定k 值．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣4，则f（x0）=0，且f（x）=2x+x﹣4在定义域内是个增函数，∴f（k﹣）＜0，且f（k+）＞0即：+k﹣﹣4＜0，且+k+﹣4＞0又k 取整数，∴k=1；故答案为1．【点评】联系用二分法求函数近似解的方法，构造f（x）=2x+x﹣4，由f（k﹣）＜0，且f（k+）＞0 及k 取整数，来确定k 值．12．若2a=5b=10，则=1．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】首先分析题目已知2a=5b=10，求的值，故考虑到把a和b用对数的形式表达出来代入，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．【解答】解：因为2a=5b=10，故a=log210，b=log510=1故答案为1．【点评】此题主要考查对数的运算性质的问题，对数函数属于三级考点的内容，一般在高考中以选择填空的形式出现，属于基础性试题同学们需要掌握．13．若函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（4）=0，则＜0的解集（﹣4，0）∪（4，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：若函数f（x）为偶函数，则不等式＜0等价为=＜0，即xf（x）＜0，∵f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，f（4）=0，∴函数f（x）对应的图象为：则不等式等价为x＞0时，f（x）＜0，此时x＞4，x＜0时，f（x）＞0，此时0＜x＜4，综上不等式的解集为（﹣4，0）∪（4，+∞），故答案为：（﹣4，0）∪（4，+∞）【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性的性质，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．14．已知函数满足f（c2）=．则f（x）的值域为（1，]．【考点】函数的值域；分段函数的应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）的定义域便可看出0＜c＜1，从而可判断0＜c2＜c，从而可求出，这样便可求出c=，然后根据一次函数、指数函数的单调性及单调性定义即可求出每段上f（x）的范围，然后求并集便可得出f（x）的值域．【解答】解：根据f（x）解析式看出0＜c＜1；∴0＜c2＜c；∴；∴；∴；①0时，f（x）=为增函数；∴；即；②时，f（x）=2﹣4x+1为减函数；∴；即；∴综上得f（x）的值域为．故答案为：．【点评】考查分段函数的概念，知道0＜c＜1时，c2＜c，以及一次函数、指数函数的单调性，单调性的定义，函数值域的概念，分段函数值域的求法．二、解答题：本大题共6小题，计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|ax≥1，a＜0}（1）当a=﹣时，求A∩B；（2）当A⊆B时，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】（1）化简集合A，B，再求A∩B；（2）当A⊆B时，，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|x2+3x+2=0}={﹣1，﹣2}，当a=﹣时，B=（﹣∞，﹣2]，所以A∩B={﹣2}；…（2）因为A⊆B，a＜0时，，所以，解得a≤﹣1，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．…（14分）【点评】考查描述法表示集合，不等式的性质，以及子集的定义，比较基础．16．（14分）已知扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r=4，l=8，再由扇形面积公式可得扇形的面积S．【解答】解设扇形的半径为r，弧长为l，则有，得，…故扇形的面积为（cm2）…（14分）【点评】本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识，属于基础题．17．（14分）已知二次函数f（x）满足=f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数g（x）=f（x）﹣2x的值域．【考点】二次函数的性质；函数的值域．【专题】计算题；函数思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】（1）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求的结果；（2）求得二次函数g（x）的解析式，求得对称轴，可得[﹣1，]为减区间，即可得到最值，进而得到值域．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为f（x）=ax2+bx+c （a≠0），由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．因为f（x+1）﹣f（x）=2x，所以a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=2x．即2ax+a+b=2x，根据系数对应相等，∴，所以f（x）=x2﹣x+1；（2）当x∈[﹣1，1]时，函数g（x）=f（x）﹣2x=x2﹣3x+1=（x﹣）2﹣，对称轴为x=，区间[﹣1，1]在对称轴的左边，为减区间，即有x=﹣1时取得最大值，且为5，x=1时取得最小值，且为﹣1．故值域为[﹣1，5]．【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查二次函数的值域的求法，注意运用函数的单调性，属于基础题．18．（16分）用一根细铁丝围一个面积为4的矩形，（1）试将所有铁丝的长度y表示为矩形的某条边长x的函数；（2）①求证：函数f（x）=x+在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数；②题（1）中矩形的边长x多大时，细铁丝的长度最短？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用面积求出另一条边长为，则可得铁丝的长度；（2）①利用导数证明即可；②由①可知x=3时，函数取得最小值．【解答】（1）解：由题意，另一条边长为，则铁丝的长度y=2x+（x＞0）；（2）①证明：∵f（x）=2（x+），∴f′（x）=2﹣，∴在（0，2]上，f′（x）＜0，在[2，+∞）上，f′（x）＞0，∴函数f（x）=2（x+）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数；②解：由①可知x=2时，函数取得最小值8．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）=ln（1+x）+aln（1﹣x）（a∈R）的图象关于原点对称．（1）求定义域．（2）求a的值．（3）若有零点，求m的取值范围．【考点】对数函数的单调区间；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由函数的解析式可得，由此求得函数的定义域．（2）由题意可得，函数f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），即（1+a）ln（1﹣x）+（a+1）ln（1+x）=0，即（1+a）ln（1﹣x2）=0恒成立，由此可得a的值．（3）由题意可得：，在x∈（﹣1，1）上有解，即：，解得，由此利用不等式的性质求得m的范围．【解答】解：（1）由函数的解析式可得，求得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）．（2）由题意可得，函数f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），即ln（1﹣x）+aln（1+x）=﹣[ln（1+x）+aln（1﹣x）]，即（1+a）ln（1﹣x）+（a+1）ln（1+x）=0，故（1+a）ln（1﹣x2）=0恒成立，∴a=﹣1．（3）∵，由题意可得：在x∈（﹣1，1）上有解，即：在x∈（﹣1，1）上有解，即在x∈（﹣1，1）上有解，即3x=﹣2m﹣1在x∈（﹣1，1）上有解，∴，即，解得﹣2＜m＜1，∴m∈（﹣2，1）．【点评】本题主要考查求函数的定义域，奇函数的定义，求函数的零点，不等式的性质应用，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=2x（x∈R），（1）解不等式f（x）﹣f（2x）＞16﹣9×2x；（2）若函数q（x）=f（x）﹣f（2x）﹣m在[﹣1，1]上有零点，求m的取值范围；（3）若函数f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2ag （x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用；函数恒成立问题；二次函数的性质；指数函数的图像与性质．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）设t=2x，利用f（x）＞16﹣9×2x，转化不等式为二次不等式，求解即可．（2）设t=2x，求出，利用二次函数的性质求解最值．然后求解m的取值范围为．（3）利用函数的奇偶性以及函数恒成立，结合基本不等式求解函数的最值，推出结果．【解答】解：（1）设t=2x，由f（x）＞16﹣9×2x得：t﹣t2＞16﹣9t，即t2﹣10t+16＜0．…∴2＜t＜8，即2＜2x＜8，∴1＜x＜3∴不等式的解集为（1，3）．…（2）设t=2x，∵x∈[﹣1，1]，∴，．∴f（x）的值域为．函数有零点等价于方程有解等价于m在f（x）的值域内，∴m的取值范围为．…（3）由题意得解得2ag（x）+h（2x）≥0即，对任意x∈[1，2]恒成立，又x∈[1，2]时，令，在上单调递增，当时，有最大值，所以…（16分）【点评】本题考查函数与方程的综合应用，二次函数的性质，基本不等式以及函数恒成立的转化，考查计算能力．。
北京市一零一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含答案
北京一零一中2015-2016学年度第一学期期中考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1. 下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（ ）（A ）{}0x x = （B ）{}20a a = （C ）{}0a = （D ）{}0 2. 函数()y f x =的定义域为[]1,5，则函数()21y f x =-的定义域是（ ） （A ） []15， （B ）[]2,10 （C ）[]19， （D ）[]13， 3. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ） （A ） ()f x =()g x x =（B ）()f x x =，()2x g x x=（C ） ()f x =()g x =（D ）()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩4.如图是函数()y f x =的图象，()()2ff 的值为（ ）（A ） 3 （B ）4 （C ） 5 （D ）65. 已知函数()35x f x x =+-，用二分法求方程35=0xx +-在()0,2x ∈内近似解的过程中，取区间中点01x =，那么下一个有根区间为（ ）（A ） ()0,1 （B ） ()12， （C ）()12，或()0,1都可以 （D ）不能确定6. 函数()248f x x ax =--在区间()4+∞，上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）32a ≤ （B ）32a ≥ （C ）16a ≥ （D ）16a ≤7. 已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()21f x x x=+，则()1f -等于（ ） （A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ） 28. 定义区间(),a b 、[),a b 、(],a b 、[],a b 的长度均为d b a =-，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3.2=3，[]2.33-=-.记{}[]x x x =-，设()[]{}f x x x=⋅，()1g x x =-，若用d 表示不等式()()f x g x <解集区间长度，则当03x ≤≤时有（ ） （A ） 1d = （B ）2d = （C ） 3d = （D ） 4d = 二、填空题：本大题共6小题，共30分。
北京市顺义区牛栏山第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试化学试题带答案
牛栏山一中2015――2016学年度第一学期期中考试高一年级化学学科试卷2015.11.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分。
所有答案一律作答在答题卡上。
可能用到的相对原子质量：Na: 23 Cl: 35.5 Mg: 24 Al: 27 H: 1 S: 32 O: 16 C: 12 N: 14 P: 31 K: 39第Ⅰ卷（选择题共42分）本卷共21小题，每小题2分，共42分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目答案的一项。
1．实验室装有浓硫酸的试剂瓶应贴有的图标是有毒品A B C D2．有关氧化还原反应实质的说法中正确的是A．是否有元素的电子转移B．是否有元素的化合价的变化C．是否有氧元素的参加D．是否有原子的重新组合3. 下列操作过程中一定有氧化还原反应发生的是4. 下列基本反应类型中，一定是氧化还原反应的是A. 置换反应B.分解反应C. 化合反应D. 复分解反应5．下图为反应Fe + CuSO4 === Cu + FeSO4中电子转移的关系图，则图中的元素甲、乙分别表示A. Fe，SB. Cu，SC. Fe，OD. Fe，Cu6．实验中的下列操作正确的是A．取出试剂瓶中的Na2CO3溶液，加入试管中，发现取量过多，为了不浪费，又把试管中过量的试剂倒回原试剂瓶中。
B．Ba(NO3)2 溶于水，可将含有Ba(NO3)2 的废液倒入水池中，再用水冲入下水道C．用蒸发方法使NaCl 从溶液中析出时，应将蒸发皿中NaCl 溶液全部蒸干才停止加热。
D．用浓硫酸配制一定物质的量浓度的稀硫酸时，浓硫酸溶于水后，应冷却至室温才能转移到容量瓶中7. 下图所示是分离混合物时常用的仪器，从左至右，可以进行的混合物分离操作分别是A. 蒸馏、蒸发、萃取、过滤B. 蒸馏、过滤、萃取、蒸发C. 萃取、过滤、蒸馏、蒸发D. 过滤、蒸发、萃取、蒸馏8．相同物质的量的固体或液体体积并不相同，其主要原因是A．微粒大小不同B．微粒间距离不同C．微粒数量不同D．微粒质量不同9. 每摩尔物质含有A．6.02×1023个分子B．6.02×1023个原子C．阿伏加德罗常数个原子D．阿伏加德罗常数个该物质的粒子10. 下列说法正确的是① 2mol Fe ② 1mol Fe3+③ 0.5mol 氧④ 0.5mol N2⑤ 1mol Cl2的质量为35.5g，1mol Cl—的质量也为35.5g⑥ NH3的摩尔质量是17gA．①②④⑥B．①②④⑤⑥C．①②④D．都正确11．按照物质的组成和性质进行分类，HNO3应属于①酸②氧化物③无氧酸④挥发性酸⑤化合物⑥混合物⑦纯净物⑧一元酸A．①④⑤⑦⑧B．②③④⑤C．③④⑤⑦D．②⑤⑥⑦⑧12. 等质量的SO2和SO3 ，下列说法正确的是A．所含氧原子的个数比为2∶3 B．所含硫原子的个数比为1∶1C．所含氧元素的质量比为6∶5 D．所含硫元素的质量比为5∶413．用N A 表示阿伏加德罗常数，下列叙述正确的是 A. 64g SO 2含有氧原子数为N AB. 常温常压下，14g N 2含有分子数为0.5N AC. 标准状况下，22.4L H 2O 的分子数为N AD. 物质的量浓度为0.5mol/L MgCl 2溶液，含有Cl -离子数为N A 14. 下列装置能达到对应实验目的的是15.下列关于分散系的说法，正确是A. 稀硫酸、盐酸、空气和水等都是分散系B. 一般可用丁达尔现象区分溶液和浊液C. 按稳定性由弱到强的顺序排列的是溶液、胶体、浊液（以水为分散剂时）D. 按照分散质和分散剂的状态（气、液、固态），它们之间可以有9种组合方式16. 某一化学兴趣小组的同学在家中进行实验，按照图示连接好线路，发现图B 中的灯泡亮了。
北京市顺义牛栏山第一中学高一数学上册期末试题
北京市顺义牛栏山第一中学高一数学上册期末试题一、选择题1．已知全集U =R ，集合{}2A x x =>，那么UA（ ）A ．{}2x x ≥B ．{}2x x >C ．{}2x x ≤D ．{}2x x < 2．函数ln(1)y x =-的定义域为A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞3．已知cos tan 0θθ<，那么θ是第几象限的角（ ）A ．第一或第二B ．第二或第三C ．第三或第四D ．第一或第四4．已知点()3,4A ，向的OA 绕原点O 逆时针旋转3π后等于OB ，则点B 的坐标为（ ） A ．433343,22⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．433343,22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．343433,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．343433,22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭5．函数()23log f x x x =+的零点所在区间为（ ） A ．11,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，若扇形的半径20cm R =，则此时的扇形面积为（ ）A ．2200(51)cm πB ．2200(51)cm πC ．2200(35)cm πD ．2200(52)cm π7．已知奇函数()f x 在R 上单调递减，且()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集是（ ）A ．[]22-,B ．[]1,1-C ．[]0,4D ．[]1,38．已知定义在R 上的函数y =f (x )对任意的x 都满足f (x +2)=f (x )，当-1≤x <1时，2()f x x =．若函数g (x )=f (x )-a |x |有5个不同零点，则a 的取值范围是（ ）A ．103⎛⎫⎪⎝⎭，B ．113⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．113⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．112⎛⎫⎪⎝⎭， 二、填空题9．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+单调递增的是（ ） A ．21y x =+B ．1y x =-C ．21y x =D ．x t e -=10．下列说法中正确的是（ ）A ．命题2000,0x R x x ∃∈->“”的否定是“x R ∀∈，20x x -<”B ．“1x >”是“2230x x +->”的充分不必要条件C ．“22ac bc >”的必要不充分条件是“a b >”D ．函数4πsin 0,sin 2y x x x ⎛⎫⎛⎤=+∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭的最小值为4 11．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b < B ．11b b a a +<+ C ．11a b b a+>+ D ．11a b a b+>+ 12．已知函数()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为π2B ．若函数()f x 的最大值为6，则3m =C ．直线π6x =是函数()f x 的图象的一条对称轴 D ．函数()f x 的图象可由函数()π2sin 213g x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到三、多选题13．若“2[2,1],20x x x m ∃∈-+->”为假命题，则实数m 的最小值为___________. 14．计算102554(1)2100.25log log π-++++=_____.15．设,a b 是实数，已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(,1)A a ，(2,)B b -，且1sin 3θ=，则ab 的值为____________ .16．已知函数()12,01,33,>1.22x x xf x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩若方程()()f x a a R =∈有两个不同的实根12,x x ，且满足121223x x <<，则实数a 的取值范围为___________. 四、解答题17．在“①A B =∅，②A B ⋂≠∅”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合{|231}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<≤． （Ⅰ）若0a =，求A B ；（Ⅱ）若________（在①，②这两个条件中任选一个），求实数a 的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．18．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）求函数()y f x =的最大值以及取最大值时对应的x 的值．19．函数()f x 对于任意实数m ，n 有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，()0f x >． （1）求证：()f x 在(),-∞+∞上是增函数；（2）若()11f =，()22log 2f x x m +⎡⎤⎣⎦-<对任意实数[]0,2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围．20．某工厂生产一新款智能迷你音箱，每日的成本C （单位：万元）与日产量x（x N *∈，单位：千只）的关系满足2C x =+．每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的关系满足：当17x ≤≤时，161xS x x =++，当716x ≤<时，3216kS x x =++-；当16x ≥时，28S =．已知每日的利润L S C =-（单位：万元）．（1）求k 的值，并将该产品每日的利润L （万元）表示为日产量x （千只）的函数； （2）当日产量为多少千只时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．21．已知函数()()220g x ax ax b b =-+>，在[]1,2x ∈时最大值为1和最小值为0.设()()g x f x x=. （1）求实数a ，b 的值；（2）若不等式()2410x xg k -⋅+≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若关于x 的方程()222log 310log mf x m x+--=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围.22．已知函数()33x xf x -=+，函数()()()26g x f x mf x =-+.（1）填空：函数()f x 的增区间为___________（2）若命题“(),0x R g x ∃∈≤”为真命题，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数m ，使函数()()()3log m h x g x -=在[]0,1上的最大值为0？如果存在，求出实数m 所有的值.如果不存在，说明理由.【参考答案】一、选择题 1．C 【分析】应用集合的补运算求UA 即可.【详解】∵{}2A x x =>，U =R ， ∴{|2}UA x x =≤.故选：C 2．B 【详解】 由，得选B【分析】将给定不等式结合有理数的乘法法则转化为两个不等式组，再分别判断即可. 【详解】由cos tan 0θθ<得：cos 0tan 0θθ>⎧⎨<⎩或cos 0tan 0θθ<⎧⎨>⎩，且θ角终边不在坐标轴上，若cos 0tan 0θθ>⎧⎨<⎩，由cos 0θ>知，θ角终边在第一或第四象限，由tan 0θ<知，θ角终边在第二或第四象限，于是得θ角终边在第四象限，若cos 0tan 0θθ<⎧⎨>⎩，由cos 0θ<知，θ角终边在第二或第三象限，由tan 0θ>知，θ角终边在第一或第三象限，于是得θ角终边在第三象限， 所以θ是第三或第四象限的角. 故选：C 4．D 【分析】设OA 与x 轴正方向所成的角为α，设OB 与y 轴正方向所成的角为β，先求出5OA =，34cos ,sin 55αα==，再结合两角和的正弦公式和余弦公式求出cos β和sin β，进而可以求出结果. 【详解】设OA 与x 轴正方向所成的角为α，设OB 与y 轴正方向所成的角为β，则3πβα=+，由题意知 5OA =，34cos ,sin 55αα==，所以cos cos cos cos sin sin 333πππβααα⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭sin sin sin cos cos sin 333πππβααα⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭所以点B 的横坐标为5cos 5β==；点B 的纵坐标为5sin 5β==；所以点B 的坐标为⎝⎭， 故选：D.【分析】由函数()23log f x x x =+，分别求得区间端点的函数值，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解. 【详解】由题意，函数()23log f x x x =+，可得函数()f x 为单调递增函数， 可得21113()3log 4016161616f =⨯+=-<，13()3088f =-<，13()2044f =-<， 13()1022f =->，(1)30f =>， 所以11()()042f f <，所以函数()f x 的零点所在区间为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C. 6．C 【分析】由扇形的面积比可得扇形的圆心角，再由扇形面积公式即可得解. 【详解】设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，由题意知，1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，则αβ=，又2αβπ+=，解得(3απ=，所以21200(32S R απ==()2cm .故选:C ． 7．D 【分析】根据()f x 为奇函数且()11f =-，将()121f x -≤-≤转化为()()()121f f x f ≤-≤-，利用函数的单调性求解. 【详解】因为()f x 为奇函数且且()11f =-， 所以不等式()121f x -≤-≤， 即为()()()121f f x f ≤-≤-，又因为函数在区间(),-∞+∞单调递减， 所以121x -≤-≤， 解得13x ≤≤， 故x 的取值范围为[]1,3. 故选：D. 8．B 【分析】问题转化为()f x 的图象与y a x =的图象有5个交点，y a x =是偶函数，()f x 是周期为2的周期函数，作出()f x 的图象与y a x =的图象，由观察图象可得不等关系得结论． 【详解】由题意()()g x f x a x =-有5个解，即函数()y f x =和y a x =的图象有5个交点， 因为f (x +2)=f (x )，所以()f x 是周期为2的周期函数， 当-1≤x <1时，2()f x x =，图象关于y 轴对称，过原点， 当1≤x <3时，()2()2f x x =-，y a x =是偶函数，图象关于y 轴对称，过原点，作出()y f x =和y a x =的图象，如图，它们有5个交点时，0a >， 根据对称性，可知，0x >时两个图象要有两个交点，y ax =直线在OA OB 、之间，即在(1,1)A 点下方，在(3,1)B 点上方，则131a a <⎧⎨>⎩，解得113a <<，故选：B.【点睛】方法点睛：本题考查函数零点个数问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，然后作出两个函数的图象，由图象观察所需同条件求得结论．考查了数形结合思想．二、填空题9．AB 【分析】利用定义法逐一判断奇偶性，并结合常见函数性质判断单调性，即得结果.【详解】选项A 中，()211y f x x ==+，定义域为R ，满足()()()221111f x x x f x -=-+=+=，故()1f x 是偶函数，又由二次函数性质知()211y f x x ==+区间()0,∞+单调递增，故符合题意；选项B 中，2()1y f x x ==-，定义域为R ，满足22()11()f x x x f x -=--=-=，故2()f x 是偶函数，在区间()0,∞+上，2()1y f x x ==-是递增函数，故符合题意； 选项C 中，321()y f x x==，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，满足()332211()()f x f x x x -===-，故3()f x 是偶函数，但由幂函数性质知2321()y f x x x-===在区间()0,∞+单调递减，故不符合题意；选项D 中，()x t t x e -==，定义域为R ，()x x t x e e --=≠恒成立，故()x t t x e -==不是偶函数，故不符合题意. 故选：AB. 10．BC 【分析】根据含有一个量词的否定，充分不必要条件，必要不充分条件及基本不等式依次判断各选项即可. 【详解】对于A.命题2000,0x R x x ∃∈->“”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤”，故A 错误；对于B. 2230x x +->等价于(3)(1)0x x +->，解得3x <-或1,x >故“1x >”是“2230x x +->”的充分不必要条件，B 正确；对于C.由22ac bc >可知20c >，则,a b >即22,b ac bc a >⇒>反之20a b c >≥，,22ac bc >不成立，所以“a b >” 是“22ac bc >”的必要不充分条件，C 正确；对于D.4sin 4sin y x x =+≥当且仅当4sin sin x x =，即sin 2x =±取等号，显然等号无法取得，故最小值不是4，设sin t x =，则(]0,1,t ∈4y t t=+在(]0,1,t ∈上为减函数，当1t =时，y 取最小值5，故D 错误；故选：BC. 11．ABC 【分析】利用不等式的性质可判断ABC ，取特殊值可判断D 选项. 【详解】选项A ：因为0a b >>，所以10a b >⋅，不等式a b >两侧同时乘以1a b ⋅，所以11a b<，故A 正确；选项B ：因为0a b >>，所以0ab >，所以a ab b ab +>+，即()()11a b b a +>+，又()101a a >+，所以不等式()()11a b b a +>+两侧同时乘以()11a a +，则11b b a a+>+，故B 正确；选项C ：因为0a b >>，所以11b a >，根据不等式的同向可加性知11a b b a+>+，故C 正确；选项D ：当2a =，12b =时，此时0a b >>，11a b a b+=+，故D 错误. 故选：ABC 12．BC 【分析】对于A 可以根据正弦函数最小正周期公式直接求得；对于B 根据题意得出等式计算即可；对于C 利用代入法判断即可；对于D 得出函数()π2sin 213g x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度的解析式与函数()f x 的解析式对比即可. 【详解】对于A ，函数()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的最小正周期2T ππω==,故A 错误； 对于B ，函数()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭最大值为2113m m ⨯++=+，若函数()f x 的最大值为6，则3m =，故B 正确； 对于C ，代入π6x =可知πsin 2=sin 162x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，函数取得最大值，所以直线π6x =是函数()f x 的图象的一条对称轴，故C 正确；对于D ，函数()π2sin 213g x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到π2sin 212sin 2163y x m x m π⎛⎫⎛⎫-+++⎪==++ ⎪⎝⎭⎝⎭，与()f x 图像不同，故D 错误.故选:BC三、多选题 13．3【分析】写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m 的取值范围即可． 【详解】解：命题“[]2,1x ∃∈-，有220x x m +->”是假命题， 它的否定命题是“[]2,1x ∀∈-，有220x x m +-≤”，是真命题，即[]2,1x ∀∈-，22x x m +≤恒成立，所以()2max 2m x x +≥，[]2,1x ∀∈-因为()()22211f x x x x =+=+-，在()2,1--上单调递减，()1,1-上单调递增，又()13f =，()20f -=，所以()max 3f x =所以3m ≥，m ∴的最小值为3， 故答案为：3．14．72【分析】根据指数、对数的运算法则和性质求解. 【详解】 102554(1)2100.25π-++++log log ，551211000.1254=+++log log ，511252=++log 171222=++=. 故答案为：72【点睛】本题主要考查了对数，指数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．4-【分析】根据三角函数的定义，得到两个方程，解方程即可求出ab的值.【详解】由三角函数的定义，13==a < 0，解得b a ==-所以4ab=-. 故答案为：4- 16．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】首先画出函数图象，结合函数图象可得22a >，对3a ≤和3a >分类讨论，当3a >时，y a =分别与12y x x =+、3322y x =+有交点，设12x x <，则1210,12x x <<>由112123322x a x x a⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去a 得211213321022x x x x +--=，再根据121223x x <<，即可求出1x 的取值范围，从而求出()1f x 的取值范围，即可求出参数a 的取值范围；【详解】解：因为()12,01,33,>1.22x x xf x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩，函数图象如下所示：当01x <≤时，()12f x x x =+，由图可知当12x x =即2x =()min 22f x =()13f =，132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭当a >()()f x a a R =∈才有两个不同的实根，当3a ≤时，方程()()f x a a R =∈有两个不同的实根，即12x a x+=有两个解，即2210x ax -+=有两个根，此时1212x x =，不符题意， 当3a >时，y a =分别与12y x x=+、3322y x =+有交点，设12x x <，则1210,12x x <<>由112123322x a x x a⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去a 得211213321022x x x x +--=，所以212114233x x x x =+-，因为121223x x <<，所以21114222333x x <+-<，解得1104x <<，或1112x <<，又因为1102x <<，所以1104x <<，由函数图象可知()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又1942f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以()19,2f x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，故9,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故答案为：9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．四、解答题17．（1）{|31}x x -<≤；（2）若选①，(,1][2,)-∞-+∞；若选②，()1,2- 【分析】（1）由0a =得到{|31}A x x =-<<，然后利用并集运算求解.（2）若选A B =∅，分A =∅和A ≠∅两种情况讨论求解； 若选A B ⋂≠∅，则由23123110a a a a -<+⎧⎪-<⎨⎪+>⎩求解. 【详解】（1）当0a =时，{|31}A x x =-<<，{|01}B x x =<≤； 所以{|31}A B x x =-<≤ （2）若选①，A B =∅，当A =∅时，231a a -≥+，解得4a ≥，当A ≠∅时，4231a a <⎧⎨-≥⎩或410a a <⎧⎨+≤⎩，解得：24a ≤<或1a ≤-，综上：实数a 的取值范围(,1][2,)-∞-+∞． 若选②，A B ⋂≠∅，则23123110a a a a -<+⎧⎪-<⎨⎪+>⎩，即421a a a <⎧⎪<⎨⎪>-⎩，解得：1a 2-<<， 所以实数a 的取值范围()1,2-． 【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：∅是任何集合的子集，所以要分集合B =∅和集合B ≠∅两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题. 18．(1)π，[,]()36k k k Z ππππ-+∈；(2)max ()2f x =，此时,6=+∈x k k Z ππ.【分析】(1)利用正弦型函数周期公式求得，再利用正弦函数的性质即可求出增区间； (2)利用正弦函数的性质，分析计算作答. 【详解】(1)因函数()2sin(2)6f x x π=+，x ∈R ，则()f x 最小正周期22T ππ==， 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得：,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈；(2)依题意，当sin(2)16x π+=时，max ()2f x =，此时，22,62x k k Z πππ+=+∈，即,6=+∈x k k Z ππ，所以max ()2f x =，此时,6=+∈x k k Z ππ.19．（1）证明见解析；（2）1,24⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）直接利用单调性的定义进行证明即可；（2）先得到()22f =，利用单调性把()22log 2f x x m +⎡⎤⎣⎦-<转化为()22log 2x x m -+<，由题意列不等式24104m m +<⎧⎪⎨-+>⎪⎩，即可解出实数m 的取值范围.【详解】（1）任取1x ，()2,x ∈-∞+∞，且12x x <， 则210x x ->，()210f x x ->．∵()()()()()()()2121112111f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=-+-()210f x x =->，即()()21f x f x >，∴()f x 在(),-∞+∞上是增函数．（2）∵()11f =，∴()()()211112f f f =+=+=．()22log 2f x x m +⎡⎤⎣⎦-<可等价变形为()()22log 2f x x m f ⎡⎤-+<⎣⎦，∵()f x 在(),-∞+∞上是增函数，∴上式可变形为()22log 2x x m -+<．∴204x x m <-+<．依题意，当[]0,2x ∈时，()()2max 2min40x x m x x m ⎧-+<⎪⎨-+>⎪⎩．当12x =时，2x x m -+取得最小值14m -+； 当2x =时，2x x m -+取得最大值2m +．∴24104m m +<⎧⎪⎨-+>⎪⎩．解得124m <<． 故实数m 的取值范围是1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】(1)利用单调性解不等式通常用于： ①分段函数型不等式；②复合函数型不等式；③抽象函数型不等式；④解析式较复杂的不等式；(2)解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可．20．（1）18，***162,17,,1182,716,,1626,16,xx x x L x x x x x x x ⎧-∈⎪+⎪⎪=+<<∈⎨-⎪-∈⎪⎪⎩N N N ；（2）当日产量为13千只时，每日的利润可以达到最大值为20万元. 【分析】（1）由题意可知，7x =时，167737271716kS ⨯=+=⨯+++-，从而可求出k 的值，由利润L S C =-可求得每日的利润L （万元）表示为日产量x （千只）的函数；（2）分17x ，7<x <16和16x 三种情况，求三个函数的最大值，再作比较可求出利润的最大值 【详解】（1）当x =7时，167737271716kS ⨯=+=⨯+++-，解得k =18. ***162,17,,1182,716,,1626,16,xx x x L x x x x x x x ⎧-∈⎪+⎪⎪=+<<∈⎨-⎪-∈⎪⎪⎩N N N（2）当17x ，*x ∈N 时，161621411x L x x =-=-++，在[1,7]上单调递增， 所以当x =7吋，max 12L =； 当7<x <16，*x ∈N 时，18182322(16)1616L x x x x ⎡⎤=+=--+⎢⎥--⎣⎦， 因为182(16)22(161216x x -+-=-， 当且仅当182(16)16x x-=-，即x =13时，max 20L =； 当16x ，*x ∈N 时，26L x =-在[16,)+∞上单调递减， 所以当16 x =时，max 10L =. 综上，当13x =时，max 20L =.答：当日产量为13千只时，每日的利润可以达到最大值为20万元. 21．（1）1a b ==；（2）12k ≤；（3）12m >-. 【分析】（1）就0a =、0a <、0a >分类讨论后可求,a b 的值.（2）令2x t =，则原不等式等价于222110t t kt -+-+≥在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离后可求k 的取值范围.（3）令2log 0s x =>，则原方程等价于()231210s m s m -+++=在()0,s ∈+∞有两个不同的实数解，利用根分布可求m 的取值范围. 【详解】解：（1）∵函数()()220g x ax ax b b =-+>，在[]1,2x ∈时最大值为1和最小值为0.∴（i ）当0a =时，()g x b =不符合题意；（ii ）当0a >时，由题意得()g x 对称轴为1x =，()g x 在[]1,2x ∈单调增， ∴()()1021g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴1a b ==；（ⅲ）当0a <时，由题意得()g x 对称轴为1x =，()g x 在[]1,2x ∈单调减， ∴()()1120g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴1a =-，0b =，不符合题意，综上：1a b ==；（2）当[]1,1x ∈-，令12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴()210g t k t -⋅+≥在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴222110t t kt -+-+≥在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即211221k t t ⎛⎫⎛⎫≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，又当2t =时，211221t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭最小值为12，∴12k ≤；（3）令2log 0s x =>，∴当0s >时，方程2log s x =有两个根；当0s <时，方程2log s x =没有根. ∵关于x 的方程()222log 310log mf x m x+--=有四个不同的实数解， ∴关于s 的方程()2310mf s m s+--=在()0,s ∈+∞有两个不同的实数解， ∴()231210s m s m -+++=在()0,s ∈+∞有两个不同的实数解，∴()()()2914210310210m m m m ⎧∆=+-⋅+>⎪+>⎨⎪+>⎩，∴12m >-.综上：关于x 的方程()222log 310log mf x m x +--=有四个不同的实数解时，12m >-.【点睛】方法点睛：对于指数不等式的恒成立问题或对数方程的有解问题，我们可以通过换元把它们转化为一元二次不等式的恒成立问题（可用参变分离来求参数的取值范围）或一元二次方程的解的问题（可用根分布来处理）.22．（1）[0,)+∞（写出开区间亦可）；（2）4m ≥；（3）72m =. 【分析】（1）根据单调性的定义结合奇偶性可得解；（2）令332xxt -=+≥=，问题转化为“242,t t m t+∃≥≥”为真命题，根据基本不等式找函数的最小值即可；（3）当[0,1]x ∈时，1033[2,]3x xt -=+∈，记2()4t t mt ϕ=-+，若函数()()()3log m h x g x -=在[]0,1上的最大值为0，分031m <-<和31m ->，结合对数函数的单调性列式求解即可. 【详解】（1）函数()f x 的增区间为[0,)+∞（写出开区间亦可）； 理由：()()f x f x =-，()f x 为偶函数，任取210x x >>，()22112112211()()(1()33333)330x x x x x xx x f x f x --+-=+--+=->，所以()f x 的增区间为[0,)+∞.（2）()22233(33)6(33)(33)4x x x x x x x xg x m m ----=+-++=+-++，令332x x t -=+≥=，当且仅当0x =时取“=”，“(),0x R g x ∃∈≤”为真命题可转化为“242,t t m t+∃≥≥”为真命题，因为2444t t t t +=+≥，当且仅当2t =时取“=”， 所以2min 4()4t t+=， 所以4m ≥；（3）由（1）可知，当[0,1]x ∈时，1033[2,]3x xt -=+∈，记2()4t t mt ϕ=-+， 若函数()()()3log m h x g x -=在[]0,1上的最大值为0，则 1）当031m <-<，即34m <<时，()t ϕ在10[2,]3上最小值为1， 因为()t ϕ图象的对称轴为3(,2)22m t =∈，所以min ()(2)821t m ϕϕ==-=，解得7(3,4)2m =∈，符合题意；2）当31m ->，即4m >时，()t ϕ在10[2,]3上最大值为1，且()0t ϕ>恒成立， 因为()t ϕ图象是开口向上的抛物线，在10[2,]3的最大值可能是(2)ϕ或10()3ϕ，若(2)1ϕ=，则742m =<，不符合题意， 若10()13ϕ=，则127430m =>， 此时对称轴127310[,]6023t =∈，由2min ()()4024m m t ϕϕ==-<，不合题意0. 综上所述，只有72m =符合条件. 【点睛】本题主要考查了对数型、指数型的复合函数的单调性及最值问题。
2015-----2016上学期,期中考试高一数学,试卷(实验) (2)
2015----2016上学期期中考试高一数学试卷刘春和一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合M ＝{1,2,4,8}，N ＝{x |x 是2的倍数}，则M ∩N 等于( )A ．{2,4}B ．{1,2,4}C ．{2,4,8}D ．{1,2,8}2．已知函数y ＝1－x 2x 2－3x －2的定义域为( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，2]C ．(－∞，－12)∩(－12，1]D ．(－∞，－12)∪(－12，1]3．若f (x )＝ax 2－2(a >0)，且f (2)＝2，则a 等于( )A ．1＋22B ．1－22C ．0D ．24．若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －45．下列式子中成立的是( )A ．log 0.44<log 0.46B ．1.013.4>1.013.5C ．3.50.3<3.40.3D ．log 76<log 676．若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．式子log 89log 23的值为( ) A.23 B.32 C ．2 D ．38．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度9．函数y ＝1＋1x 的零点是( )A ．(－1,0)B ．－1C ．1D ．010．函数f(x)＝ln x －2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)11．若a>1，则函数y ＝a x 与y ＝(1－a)x 2的图象可能是下列四个选项中的( )12．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2 (x ≥2)2x (x <2)，已知f (x 0)＝8，则x 0＝________. 14．函数f(x)＝a x －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________．15．幂函数f (x )的图象过点(3，427)，则f (x )的解析式是______________．16．已知函数y ＝f (x )是R 上的增函数，且f (m ＋3)≤f (5)，则实数m 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)计算：(－3)0－120＋(－2)－2－1416-；(2)已知a ＝12，b ＝132， 求[32a -()()122123b ab a ----]2的值．18．(12分)设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B .19．(12分)已知函数f (x )＝－3x 2＋2x －m ＋1.(1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值．20．(12分)函数f (x )是R 上的偶函数，且当x >0时，函数的解析式为f (x )＝2x －1.(1)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上是减函数；(2)求当x <0时，函数的解析式．21．(12分)函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．22．(12分)某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系是p＝⎩⎪⎨⎪⎧ t ＋20， 0<t <25，t ∈N ，－t ＋100， 25≤t ≤30，t ∈N .该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )．(1)求这种商品的日销售金额的解析式；(2)求日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？。
2015-2016学年度第一学期期中高一数学试卷
高一数学期中试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}0,2,5B =，则A B = ▲ . 2．函数1y x=+的定义域为 ▲ . 3. 用列举法．．．表示集合{}2|1log 2,A x x x =-<<∈z ，其表示结果应为 ▲ . 4. 函数223(03)y x x x =-++≤<的值域是 ▲ .5．已知函数21(0)()1()(0)3x x x f x x -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩则1(())2f f -= ▲ .6. 若{}1,3,5B =-，下列集合A ，使得:21f x x →+是A 到B 的映射的是________(填写序号)①{}1,2A = ②{}1,7,11A =- ③{}1,1,2A =- ④{}1,0,1A =- 7. 已知幂函数25*()m y xm -=∈N 在(0,)+∞上是减函数，且它的图像关于y 轴对称，则m = ▲ .8．已知函数222()x x y x --+=∈R ，对于任意x 恒有0()()f x f x ≤成立，则0x = ▲ .9. 函数143y x =-+的图象的对称中心的坐标是 ▲ . 10. 计算：3298542lg 4lg log 16log 818-+++⋅= ▲ .11．函数lg 25y x x =+-的零点0(1,3)x ∈，对区间(1,3)利用两次“二分法”，可确定0x 所在的区间为 ▲ .12. 已知()y f x =是R 上的偶函数，且当[0,)x ∈+∞时，()23xf x =-，则满足()0f x <的x 的取值范围是 ▲ .13．函数3()||3f x x x x =⋅++在区间[2015,2015]-上的最大值与最小值之和为= ▲ . 14．下列命题：① 函数22(2)2x x y x -=-是奇函数； ② 函数|3|2x y -+=在(,4)-∞上是增函数； ③ 将函数2log (2)y x =-的图象向左平移3个单位可得到2log (1)y x =+的图象； ④ 若1.4 1.51ab=<，则0a b <<；则上述正确命题的序号是 ▲ .（将正确命题的序号都填上）二、解答题 (共6道题，计90分) 15．（本题满分14分）设全集U =R ,集合{}|14A x x =≤<，{}|23B x a x a =≤<-． （1）若2a =-，求B A ，U B A ð （2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； 16、（本题满分14分）已知函数22231()log (1)1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨->⎩(1) 画出函数()y f x =的简图（要求标出关键的点、线）； (2) 结合图象，直接写出函数()y f x =的单调增区间；(3) 观察图象，若关于x 的方程()f x t =有两个不相等的实数解，求实数 t 的取值范围.17、（本题满分15分）已知0a >且1a ≠，函数1()log (1),()log (3),a af x xg x x =-=-（1）若()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的定义域； （2）若2,a = 求函数()()()h x f x g x =-的值域； （3）讨论不等式()()0f x g x +≥中x 的取值范围.18、（本题满分15分）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ,经过一段时间t 后的温度是T ，则有01()()2T T T T αα-=-⋅th，其中T α表示环境温度，h 称为半衰期且10h =. 现有一杯用89℃热水冲的速溶咖啡，放置在25℃的房间中20分钟，求此时咖啡的温度是多少度？如果要降温到35℃，共需要多长时间？（lg 20.301≈，结果精确到0.1） 19、（本题满分16分）已知函数()af x x x=+，()2g x a x =- （1） 若4,a =判断函数()y f x =在[2,)+∞上的单调性，并证明你的结论；（2） 若不等式()()f x g x ≥在[1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.20、（本题满分16分）已知函数2()21(0,1)g x ax ax b a b =-++≠<，在区间[2,3]上有最大值4，有最小值1， 设()()g x f x x=. （1） 求,a b 的值；（2） 不等式(2)20x x f k -⋅≥在[1,1]x ∈-时恒成立，求实数k 的取值范围； （3） 若方程2(|21|)(3)0|21|xx f k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.高一数学期中考试参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1、{}1,0,1,2,5-2、{}|1,0x x x ≥-≠3、{}1,2,34、(0,4]5、16、①③7、18、12-9、(3,4)- 10、912411、5(2,)212. 22(log 3,log 3)- 13. 6 14、 ①②③④ 二、解答题 (共6道题，计90分)15．（本题满分14分）解：（1）{}|14U A x x x =<≥或ð, 2a =-时，{}45B x =-≤<， ………………2分 所以[1,4)B A = ,U B A ð={}|4145x x x -≤<≤<或 ………………6分（2）若B A ⊆，分以下两种情形：①B =∅时，则有23a a ≥-，∴1a ≥ ………………8分②B ≠∅时，则有232134a aa a <-⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，∴112a ≤< ………………12分综上所述，所求a 的取值范围为12a ≥………………14分 （注：画数轴略，不画数轴不扣分）16、（本题满分14分） 解：（1），其中图象正确得3分，关键点、线的标注3分. ………………6分以下要素有一处不标注的，扣1分：x 、y 轴、原点O ，对称轴，渐近线，顶点（-1，4），点（1，0），点（2，0）.（2）增区间为：(,1]-∞-，(1,)+∞ ………………10分（3）观察图象，方程()f x t =有两个不相等的解等价于函数()y f x =的图象与直线y t =只有两个交点. 所以实数 t 的取值范围是4t =或0t < ………………14分 17、（本题满分15分） 解：（1）x 应满足1030x x ->⎧⎨-<⎩，∴13x <<，所求定义域为{}|13x x << …………4分注：如对原来函数变形后求定义域，则扣2分. （2）2a =时， 函数2()log (1)(3)h x x x =--，令(1)(3)t x x =--，由于13x <<，∴01t <≤， …………7分 ∴ ()0h x ≤， 所以，所求函数()h x 的值域为(,0]-∞ …………9分 （3）1()()log 03a x f x g x x-+=≥-，分以下两种情形： 情形一：当1a >时，得113x x -≥-，等价于：3013x x x ->⎧⎨-≥-⎩或3013x x x -<⎧⎨-≤-⎩解得：23x ≤<. …………12分情形二：当01a <<时，得1013x x -<≤-，等价于：301013x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≤-⎩或301013x x x x-<⎧⎪-<⎨⎪-≥-⎩解得：12x <≤.…………15分 18、（本题满分15分）解：由条件知，089,T =25T α=，20t=， …………2分代入01()()2T T T T αα-=-⋅t h 得125(8925)()2T -=-⋅2010，解得41T = …………………6分如果要降温到35℃，则13525(8925)()2-=-⋅t 10， …………8分则1lg 18lg 2102t ⋅=-，解得26.8t ≈ …………13分 答：此时咖啡的温度是41℃，要降温到35℃，共需要约26.8分钟. …………15分19、（本题满分16分） 解：（1）4a =时，函数()y f x =在[2,)+∞上是增函数 ………………1分 任取12,[2,)x x ∈+∞，设12x x > 则211212121212444()()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-+ =1212124()x x x x x x --⋅………………4分 ∵ 122x x >≥，∴ 120x x ->，124x x >，∴121240x x x x -> ………………6分∴12()()0f x f x ->，即：12()()f x f x >所以，函数)(x f =xx 4+在[2,)+∞上是增函数 ………………8分（2）不等式()()f x g x ≥就是：2a x a x x +≥-，即：3ax a x+≥由于[1,)x ∈+∞，等价于230x ax a -+≥在[1,)+∞上恒成立 ………………9分① 当16a≤时，2()3g x x ax a =-+在[1,)+∞是增函数，则(1)0g ≥，这显然成立 ………………12分 ② 当16a ≥时，2()3g x x ax a =-+在[1,]6a 是减函数，在[,)6a+∞上增函数，则()06ag ≥，解得612a ≤≤ ………………15分综上，所求实数a 的取值范围是12a ≤ ………………16分注：用分离参数法解，相应给分。
北京市顺义区牛栏山一中2015_2016学年高一数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年北京市顺义区牛栏山一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（每题5分，共40分）在每小题的4个选项中，只有1项是符合题目要求的. 1．设集合I=R，集合M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，则集合{x|﹣1＜x＜1}等于( ) A．M∪N B．M∩N C．（∁I M）∪N D．（∁I M）∩N2．若f（x）=x2+a（a为常数），，则a的值为( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．13．函数的定义域为( )A．上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间上是( )A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣55．已知a=40.4，b=80.2，，则( )A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．已知幂函数f（x）=xα（α∈Z），具有如下性质：f2（1）+f2（﹣1）=2，则f（x）是( ) A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数7．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为( )A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．28．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是( )A．（1，10）B．（5，6） C．（10，12）D．二、填空题：（每题5分，共30分）9．写出满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是__________．10．函数y=1﹣2x（x∈）的值域为__________．11．如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f（x﹣1）＜0的x的取值范围是__________．12．若函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是__________．13．函数y=log2（x2﹣3x﹣4）的单调增区间是__________．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）=__________．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求∁R（A∪B），∁R（A∩B），（∁R A）∩B，A∪（∁R B）16．（14分）计算下列各题：（2）2lg lg49．17．（13分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．18．（14分）某企业打算购买工作服和手套，市场价为每套工作服53元，每副手套3元，该企业联系了两家商店A和B，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：商店A：买一赠一，买一套工作服，赠一副手套；商店B：打折，按总价的95%收款．该企业需要工作服75套，手套x副（x≥75），如果工作服与手套只能在一家购买，请你帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱？19．（13分）设函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212．（1）求a，b的值；（2）当x∈时，求f（x）最大值．20．（14分）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．2015-2016学年北京市顺义区牛栏山一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（每题5分，共40分）在每小题的4个选项中，只有1项是符合题目要求的. 1．设集合I=R，集合M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，则集合{x|﹣1＜x＜1}等于( ) A．M∪N B．M∩N C．（∁I M）∪N D．（∁I M）∩N【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】由M与N，求出两集合的交集、并集，M补集与N的并集，M补集与N的交集即可．【解答】解：∵I=R，M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若f（x）=x2+a（a为常数），，则a的值为( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【考点】函数的零点．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用f（x）=x2+a（a为常数），，代入计算，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=x2+a（a为常数），，∴2+a=3，∴a=1．故选：D．【点评】本题考查函数值的计算，考查学生的计算能力，比较基础．3．函数的定义域为( )A．上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间上是( )A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣5【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变，结合题意从而得出结论．【解答】解：由于奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变．如果奇函数f（x）在区间上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间上必是增函数且最小值为﹣5，故选A．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，奇函数的图象和性质，属于中档题．5．已知a=40.4，b=80.2，，则( )A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞c＞b D．a＞b＞c【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】把3个数化为底数相同，利用指数函数的单调性判断大小即可．【解答】解：a=40.4=20.8，b=80.2=20.6=20.5，因为y=2x是增函数，所以a＞b＞c．故选：D．【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．6．已知幂函数f（x）=xα（α∈Z），具有如下性质：f2（1）+f2（﹣1）=2，则f（x）是( ) A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数【考点】函数的零点．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】欲正确作答，取常量n=2，验证可得结论．【解答】解：幂函数f（x）=xα（α∈Z）中，若有f2（1）+f2（﹣1）=2，则可取常量n=2，所以，函数为f（x）=x2，此函数的图象是开口向上，并以y轴为对称轴的二次函数，即定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），所以为偶函数．故选：B．【点评】本题考查幂函数，函数的奇偶性，考查学生的计算能力，比较基础．7．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为( )A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的性质和对数的运算法则求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣log24=﹣2．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．8．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是( )A．（1，10）B．（5， 6）C．（10，12）D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质．【专题】作图题；压轴题；数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：（每题5分，共30分）9．写出满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】利用已知条件，直接写出结果即可．【解答】解：{1，3}∪A={1，3，5}，可得A中必须含有5这个元素，也可以含有1，3中的数值，满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．故答案为：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．【点评】本题考查集合的并集的元素，基本知识的考查．10．函数y=1﹣2x（x∈）的值域为．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的单调性，直接求解函数值域即可．【解答】解：因为函数y=1﹣2x是减函数．所以x∈时，可得函数的最大值为：﹣3，最小值为：﹣7，函数的值域．故答案为：．【点评】本题考查函数的单调性的应用，函数的值域的求法，是基础题．11．如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f（x﹣1）＜0的x的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，2）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；数形结合．【分析】由题意，可先研究出奇函数y=f（x）（x≠0）的图象的情况，解出其函数值为负的自变量的取值范围来，再解f（x﹣1）＜0得到答案【解答】解：由题意x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，可得x＞1时，函数值为正，0＜x＜1时，函数值为负又奇函数y=f（x）（x≠0），由奇函数的性质知，当x＜﹣1时，函数值为负，当﹣1＜x＜0时函数值为正综上，当x＜﹣1时0＜x＜1时，函数值为负∵f（x﹣1）＜0∴x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，即x＜0，或1＜x＜2故答案为（﹣∞，0）∪（1，2）【点评】本题考查利用奇函数图象的对称性解不等式，解题的关键是先研究奇函数y=f（x）函数值为负的自变量的取值范围，再解f（x﹣1）＜0的x的取值范围，函数的奇函数的对称性是高考的热点，属于必考内容，如本题这样的题型也是高考试卷上常客12．若函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【考点】指数函数的图像变换．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数y=2﹣x+m的图象经过定点（0，1+m），且函数y在R上单调递减，可得1+m≤0，求得m的范围．【解答】解：∵函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，而函数y=2﹣x+m的图象经过定点（0，1+m），且函数y在R上单调递减，则1+m≤0，求得m≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．13．函数y=log2（x2﹣3x﹣4）的单调增区间是（4，+∞）．【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】令t=x2﹣3x﹣4＞0，求得函数的定义域，根据y=log2t，本题即求二次函数t的增区间，再利用二次函数的性质可得函数t的增区间．【解答】解：令t=x2﹣3x﹣4＞0，求得x＜﹣1，或x＞4，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），且y=log2t，故本题即求二次函数t的增区间．再利用二次函数的性质可得函数t的增区间为（4，+∞），故答案为：（4，+∞）．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）=6．【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题．【分析】本题是抽象函数及其应用类问题．在解答时，首先要分析条件当中的特殊函数值，然后结合条件所给的抽象表达式充分利用特值得思想进行分析转化，例如结合表达式的特点1=0+1等，进而问题即可获得解答．【解答】解：由题意可知：f（1）=f（0+1）=f（0）+f（1）+2×0×1=f（0）+f（1），∴f（0）=0．f（0）=f（﹣1+1）=f（﹣1）+f（1）+2×（﹣1）×1=f（﹣1）+f（1）﹣2，∴f（﹣1）=0．f（﹣1）=f（﹣2+1）=f（﹣2）+f（1）+2×（﹣2）×1=f（﹣2）+f（1）﹣4，∴f（﹣2）=2．f（﹣2）=f（﹣3+1）=f（﹣3）+f（1）+2×（﹣3）×1=f（﹣3）+f（1）﹣6，∴f（﹣3）=6．故答案为：6．【点评】本题是抽象函数及其应用类问题．在解答的过程当中充分体现了抽象性、特值的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求∁R（A∪B），∁R（A∩B），（∁R A）∩B，A∪（∁R B）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】利用集合的交、并、补集的混合运算和不等式的性质求解．【解答】解：∵集合A={x丨3≤x＜7}，B={x丨2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，A∩B={x|3≤x＜7}，∁R A={x|x＜3或x≥7}，∴∁R（A∪B）={x|x≤2或x≥10}，∁R（A∩B）={x|x＜3或x≥7}，（∁R A）∩B={x|2＜x≤3或7≤x＜10}．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．16．（14分）计算下列各题：（2）2lg lg49．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）=0.4﹣1﹣1+﹣4+2﹣3+0.1=﹣1++=…（2）2lg lg49=2lg5﹣2lg3﹣lg7+2lg2+2lg3+lg7=2lg5+2lg2=2 …（14分）【点评】本题考查对数与已经在什么的运算法则的应用，考查计算能力．17．（13分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数a，b的值；（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴=﹣，因此b=﹣b，即b=0．又f（2）=，∴=，∴a=2；（2）由（1）知f（x）==+，f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，证明：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣x2）•．∵x1＜x2≤﹣1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，根据相应的定义是解决本题的关键．18．（14分）某企业打算购买工作服和手套，市场价为每套工作服53元，每副手套3元，该企业联系了两家商店A和B，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：商店A：买一赠一，买一套工作服，赠一副手套；商店B：打折，按总价的95%收款．该企业需要工作服75套，手套x副（x≥75），如果工作服与手套只能在一家购买，请你帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】分别计算按商店A和B优惠付款数，作差比较，即可得出结论．【解答】解：设按商店A和B优惠付款数分别为f（x）和g（x）商店A：f（x）=75×53+（x﹣75）×3=3x+3750（x≥75）…商店B：g（x）=（75×53+3x）×95%=2.85x+3776.25（x≥75）…令f（x）=g（x），解得x=175选择A与B是一样的…令y=f（x）﹣g（x）=0.15x﹣26.25，当75≤x＜175时，y＜0，选择商店A；…当x＞175时，y＞0，选择商店B；…（14分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，正确求出按商店A和B优惠付款数是关键．19．（13分）设函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212．（1）求a，b的值；（2）当x∈时，求f（x）最大值．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】综合题．【分析】（1）由已知f（1）=1，f（2）=log212代入到f（x）中，求得a、b的值即可；（2）利用换元法，由（1）得，令g（x）=4x﹣2x=（2x）2﹣2x，再令t=2x，则y=t2﹣t，可知函数y=（t﹣）2﹣在上是单调递增函数，从而当t=4时，取得最大值12，故x=2时，f（x）取得最大值．【解答】解：∵函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212∴∴∴（2）由（1）得令g（x）=4x﹣2x=（2x）2﹣2x令t=2x，则y=t2﹣t∵x∈，∴t∈，显然函数y=（t﹣）2﹣在上是单调递增函数，所以当t=4时，取得最大值12，∴x=2时，f（x）最大值为log212=2+log23【点评】本题以对数函数为载体，考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，考查函数的单调性与最值，属于基础题．20．（14分）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．【考点】指数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题．【分析】（1）根据奇函数当x=0时的函数值为0，列出方程求出a的值；（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论；（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出不等式由二次函数恒成立进行求解；（4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出b的范围．【解答】解：（1）由题设，需，∴a=1，∴，经验证，f（x）为奇函数，∴a=1．（2）减函数证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2﹣x1＞0，f（x2）﹣f（x1）=﹣=，∵x1＜x2 ∴0＜＜；∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0∴f（x2）﹣f（x1）＜0∴该函数在定义域R 上是减函数．（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2）知，f（x）是减函数∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0 对任意t∈R 恒成立，∴△=4+12k＜0，得即为所求．（4）原函数零点的问题等价于方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0由（3）知，4x﹣b=2x+1，即方程b=4x﹣2x+1有解∴4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴当b∈[﹣1，+∞）时函数存在零点．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，利用奇函数的定义域内有0时有f（0）=0进行求值，函数单调性的证明必须按照定义法进行证明，即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论，利用二次函数的性质，以及整体思想求出恒成立问题．。
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北京市牛栏山一中2015-2016学年度第一学期期中考试
高一数学试题
牛栏山一中 2015.11.12
一、选择题：（每题5分，共40分）在每小题的4个选项中,只有1项是符合题目要求的.
1. 设集合I =R ，集合{}1=<M x x ，N=｛x |12-<<x ｝，则集合｛x |11-<<x ｝等于（ ）
A . M N
B . M N
C . I (M)N ?
D . I (M)N ?
2. 若2()=+f x x a （a 为常数）
，3=f ，则a 的值为（ ）
A .2-
B . 2
C . 1-
D . 1
3. 函数x x y +-+=2)2(0的定义域为（ ）
A .),2[+∞-
B . [2,0)(0,)-+∞
C . ),2(+∞-
D . )2,(-∞
4.如果奇函数)(x f 在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么)(x f 在区间]3,7[--上是
（ ）
A ．增函数，且最小值为5-
B ．增函数，且最大值为5-
C ．减函数，且最小值为5-
D ．减函数，且最大值为5-
5.已知4.04=a ，2.08=b ，5.0)21
(-=c ，则（ ）
A . c b a <<
B . b c a <<
C . b c a >>
D . c b a >>
6. 已知幂函数)()(Z x x f ∈=αα，具有如下性质：]1)1()1([21-122--+=+f f f f ）（）（，
则)(x f 是
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
7.定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0
),4(log )(2x x f x f x x x f ，则)3(f 的值为（ ）
A.2-
B. 1-
C. 2
D.1
8.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=10,62
1100,|lg |)(x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则abc
的取值范围是（ ）
A. （1，10）
B. （5，6）
C. （10，12）
D. （20，24）
二、填空题：（每题5分，共30分）
9.写出满足条件{1,3}A {1,3,5}= 的集合A 的所有可能情况是 ；
10．函数])3,2[(21∈-=x y x 的值域为 ；
11．若奇函数)0)((≠∈=x R x x f y 且，当),0(+∞∈x 时，1)(-=x x f ，那么使0)1(<-x f 的x 的取值范围为 ；
12．若函数m y x +=-2的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是 ；
13．函数22()log (34)=--f x x x 的单调增区间为 ；
14．定义R 在上的函数)(x f 满足()()()2(,),(1)2=++∈=+f f f y xy x y R f x y x 则)3(-f = ．
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题满分12分）
已知集合}73|{<≤=x x A ，}102|{<<=x x B 。
求R (A B) ?，R (A B) ?，()R A B ?，()R A B ?.
16．计算下列各题：（本题满分14分，每小题7分，共14分）
141030.753
327(1)0.064()[(2)]160.018-----+-++ 571(2)2lg lg 2lg 3lg 49342
-++ 17．（本题满分13分） 已知22()3+=+px f x x q 是奇函数，且35)2(=f ． （1）求实数q p ,的值；
（2）判断函数)(x f 在)1,(--∞上的单调性，并加以证明．
18．（本题满分14分）某企业打算购买工作服和手套，市场价为每套工作服53元，每副手套3元，该企业联系了两家商店A 和B ，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：
商店A ：买一赠一，买一套工作服，赠一副手套；
商店B ：打折，按总价的95%收款．
该企业需要工作服75套，手套x 副（75≥x ），如果工作服与手套只能在一家购买，请你帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱？
19. （本题满分13分）设函数2()log ()=-x x f x a b ，且2(1)1,(2)log 12==f f 。
（1）求,a b 的值；
（2）当[1,2]∈x 时，求()f x 的最大值．
20．（本题满分14分）已知定义域为R 的函数2()12x x a f x -+=
+是奇函数，
（1）求实数a 的值；
（2）判断该函数在定义域R 上的单调性(不要求写证明过程)；
（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围；
（4）设关于x 的方程1(4)(2)x x f b f +-+-= 0有实数根，求实数b 的取值范围.
参考答案：
1．B 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B 7.A 8.C
9.{}{}{}{}1,3,5,3,5,1,5,5 10.[-7,-3] 11.()(1,2),0- ∞ 12.
]1,(--∞ 13.()+∞4, 14.6
15. R (A B) ð{}10,2x ≥≤=x x 或……3分R (A B) ð{}7,3x ≥<=x x 或……6分 R (A)B ð{}107,32x <≤<<=x x 或……9分，
R A (B) ð{}10,73,2x ≥<≤≤=x x x 或或…………12分. 16．(1)80
143 …………7分 (2)2 …………14分 17.(1)0,2==q p ……6分
(2)利用定义证明…………13分
18．设按商店A 和B 优惠付款数分别为)(x f 和)(x g
商店A ：)75(375033)75(5375)(≥+=⨯-+⨯=x x x x f ……4分 商店B ：)75(25.377685.2%95)35375()(≥+=⨯+⨯=x x x x g ……8分
令)()(x g x f =，解得175=x 选择A 与B 是一样的 ……10分
令25.2615.0)()(-=-=x x g x f y ，
当17575<≤x 时，0<y ，选择商店A ； ……12分
当175>x 时，0>y ，选择商店B ； ……14分
19．（1）有题设得.2
412log )(log 1)(log 22222⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=-b a b a b a …………5分 （2）因为)(log )(x x x f 24
2-=，由0024>⇒>-x x x 即)(x f 的定义域为{}0>x x ……………7分
因为]2,1[∈x 为）
，（∞+0的真子集，令x t 2=，则42≤≤t ……………9分 于是，]4
1)21[(log )(log )()(2222--=-==t t t t x f ϕ，
又)(t ϕ在[2,4]上为增函数……………11分
所以)(x f 的为.12log )4()2(2==ϕf ……………13分
20．（1）由题设，需12(0)0,1a f a -+==∴=，
12()12
-∴=+x
x f x ,经验证，()f x 为奇函数，1a ∴=--------4分 （2）该函数在定义域R 上是减函数------6分
（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得22(2)(2)f t t f t k -<--，()f x 是奇函数 22(2)(2)f t t f k t ∴-<-，由（2）知()f x 是减函数
∴原问题转化为2222t t k t ->-，即2320t t k -->对任意t R ∈恒成立4120,k ∴∆=+< 得13
k <-即为所求----------------10分 （4）因为方程1(4)(2)0x x f b f +-+-=有实数根，
由（2），142x x b +-=，即方程124+-=x x b 有解--------12分
11)12(22)2(24221-≥--=⨯-=-+x x x x x ，
∴b [1,)∈-+∞ ------------14分.。