DSP09离散时间信号-Z变换与拉氏变换关系
离散时间系统与z变换简介
离散时间系统与z变换简介离散时间系统是一种在时间轴上以离散方式运行的系统。
在这种系统中，信号的取样是在特定的时间间隔内进行的，而不是连续地采样。
离散时间系统可以用于模拟实际世界中的许多系统，如数字信号处理、数字滤波器和控制系统等。
离散时间系统的数学表达通常使用z变换。
z变换是一种将离散时间信号转换为复平面上的函数的变换。
它与连续时间系统中的拉普拉斯变换类似，但在z变换中，时间是用离散的步长表示的。
z变换将离散时间系统中的差分方程转换为复平面上的代数表达式，从而方便了对系统的分析和设计。
在离散时间系统中，信号和系统的运算通常使用差分方程进行描述。
差分方程是一种递推关系，它将当前时间步的输入和输出与其之前的时间步的输入和输出之间建立起关联。
z变换提供了一种将这些差分方程转换为代数方程的方法，从而可以更方便地分析系统的特性。
使用z变换，可以计算离散时间系统的频率响应、稳定性和传输函数等重要性质。
频率响应描述了系统对不同频率输入的响应。
稳定性判断了系统是否能够产生有界的输出，而传输函数则表示系统输入和输出之间的关系。
总结来说，离散时间系统是一种以离散方式运行的系统，可以使用z变换进行数学建模和分析。
z变换将离散时间信号和系统转换为复平面上的函数，方便了对系统的频率响应、稳定性和传输函数等特性进行研究。
离散时间系统和z变换在数字信号处理和控制系统等领域具有广泛的应用。
离散时间系统是现代通信、信号处理、控制系统等领域中的核心概念之一。
离散时间系统可以通过对输入信号进行离散采样，以特定的时间间隔获取信号的采样值，从而实现在离散时间点上对信号进行处理和操作。
与连续时间系统不同，离散时间系统的输入和输出信号在时间上都是离散的。
离散时间系统的分析和设计常常采用差分方程描述。
差分方程是一种递推关系，它表达了当前时间步的输入和输出与之前时间步的输入和输出之间的关系。
在离散时间系统中，z变换是一种非常重要的数学工具。
z变换将离散时间信号转换为复平面上的函数，从而方便了对离散时间系统进行数学建模和分析。
DSP第二章Z变换与拉氏变换傅氏变换的关系.
n
nT )e
nsT
st
dt
理想抽样后的信号的 Z变换与L变换的关系
令抽样序列为：
其z变换为：
x(n) xa (nT )
X ( z)
sT
n
x ( n) z
n
由此看出：当z e 时，抽样序列的z变换 等于其理想抽样信号的拉氏变换。
引言
上节我们讨论了连续信号的理想抽样， 这节我们利用它来讨论离散信号的z变换 与连续信号的拉普拉斯变换、付里叶变 换的关系。
理想抽样后的信号的拉氏变换
ˆa (t )， 设连续信号xa (t ), 理想抽样后的抽样信号x 它们的拉氏变换为：
st ˆ ˆ a (t )e dt X a (s) x a
ˆ ( s) X ( z ) z e sT X (e ) X a
sT
Z平面与S平面的映射关系
z平面与s平面的映射关系 z e z平面用极坐标表示：
sT
s平面用直角坐标表示： s j
z re
T
jw
则可得 因而
z re e e e T re w T
1 jw
n
x ( n )e
jw
jwn
X (e )e dw
jwn
单位圆上的序列的z变换即为序 列的付里叶变换
X ( z ) z e jw 1 w 2k X (e ) X a ( j ) T k T
jw jw
序列的付里叶变换（即离散序列的频谱）为：
DTFT [ x(n)] X (e )
1 DTFT [ X (e )] x(n) 2
Z变换及离散时间系统.
1 zN
, z 0
1 z 1
三、S、Z复平面间的映射关系 S平面到Z平面的映射是非单一的。
四、频率轴的定标
2.2 Z变换的定义域ROC
X (z) x[n]zn n
令 z re jω, z r.
z 变换收敛意味着:
X (z) x[n]zn x[n] z n
n
n
x[n] r n
例2. 左边序列：x[n] a nu[n 1],
1
X (z) a n z n n a 1 z n n1
ROC : a 1z 1,
i.e. z a .
X
(z)
1
1 az
1
.
唯一性问题
Z变换与F变换的关系
• DTFT : 在 z e j 的z 变换, i.e., z 1。 • DTFT : 在单位圆上的 z 变换。 • DTFT 存在 (i.e. 序列稳定 ) ROC 含单位圆。
(b) 再用观察法求x[n].
• 例1. X (z) e z1 , z 0.
(b) 时移 : x[n d ] z d X (z)
(c)
指数相乘:
z
n 0
x[n]
X(z /
z0 ),
ROC z0 ROCx
(d ) 微分 : nx[n] z dX (z) , ROC不变 dz
(e) 反序 : x[n] X (z 1 ), ROC 1/ ROC
( f ) 共轭 : x[n] X (z ), ROC 不变
Z变换是F变换的一般化、推广， 序列的F变换是在单位圆周（|Z|＝1）上 的Z变换。
(1) [n] 1, z C
(2)
u[n]
1
1 z
离散时间系统的z域分析
离散时间系统的z域分析本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第7章 离散时间系统的z 域分析1．z 变换是如何提出的它的作用是什么z 变换是为分析离散时间系统而提出的一种工程分析方法，它在离散时间系统分析中的地位和作用等价于连续时间系统分析中的拉氏变换。
它可以看作为拉氏变换的推广。
z 变换定义为：()[]nn X z x n z∞-=-∞=∑ ---- 双边z 变换 （1）()[]n n X z x n z ∞-==∑---- 单边z 变换 （2）其中z 是复变量，Re Im j z z j z re Ω=+=。
而对于取样信号的拉氏变换为()()()() ()() ()stst s s n st n snTn X s x t e dt x nT t nT e dtx nT e t nT dt x nT eδδ∞∞∞---∞-∞=-∞∞∞--∞=-∞∞-=-∞⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=∑⎰⎰∑⎰∑ （3）如果 [](),x n x nT =令sT z e =，可以发现式（1）和式（3）相同。
2．双边z 变换和单边z 变换时如何定义的它们的定义域是如何确定的收敛域的意义是什么z 变换定义为：()[]nn X z x n z∞-=-∞=∑ ---- 双边z 变换 （1）()[]n n X z x n z ∞-==∑---- 单边z 变换 （2）z 变换收敛域就是使上述级数收敛的所有z 的取值的集合。
根据级数收敛理论，一般我们用根值判别法或比值判别法来确定z 变换收敛域， 其作用是建立序列和z 变换之间的一一对应关系。
根据序列的不同性质，序列z 变换的收敛域各不相同，具体参阅教材Page 297-298 表7-1。
3．z 变换和拉氏变换之间有什么样的关系具体分析见问题1中的式（1）和（3），根据两式，可以建立分析连续时间系统的拉氏变换的变量s 和分析离散时间系统的z 变换的变量z 之间的映射关系：sT z e =令, j z re s j σωΩ==+， 则有, T r e T σω=Ω=， 具体见教材Page 300 表7-2 。
离散时间信号z变换
*即满足均匀性与叠加性； *收敛域为两者重叠部分。
例3-8 已知 x(n) cos( 0 n)u (n)
,求其z变换。
1 j 0 n j 0 n e ]u (n) 解： cos( 0 n)u (n) [e 2 1 n Z [a u (n)] ,z a 1 1 az 1 j 0 n j 0 Z [e u (n)] , z e 1 j 0 1 1 e z 1 j 0 n j 0 Z [e u (n)] ,z e 1 j 0 1 1 e z 1 1 1 因此，Z [cos( 0 n)u (n)] [ ], z 1 j 0 1 j 0 1 2 1 e z 1 e z
X ( z) 4 A ]z 2 1 [( z 2) z 3 X ( z) 1 A2 [( z 0.5) ] z 0.5 z 3 4 z 1 z X ( z) 3 z2 3 z 0.5
又 z 2, 4 n 1 n 2 ( 0 . 5 ) ,n 0 x ( n) 3 3 ,n 0 0
n 0
n
三．对z变换式的理解
X (z)
n n x ( n ) z
x( 2) z 2 x( 1) z 1
z的 正 幂
x(0) z 0 x(1) z 1 x( 2) z 2 x( n) z n
3.幂级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即
X ( z)
n
x ( n) z
n
x(2) z x(1) z
2
x(0) z 0 x(1) z 1 x(2) z 2
DSP_09离散时间信号-Z变换与拉氏变换关系
有w ，因此，W从
S平面到Z平面的映射
由上述讨论总结得出从Z平面到S平面的映射关系如下
2 1 S平面上宽度为 的水平带映射成整个 Z平面，左半带 T 映射成单位园内部，右 半带映射成单位园外部 ，长度为 2 的虚轴映射成单位圆周 。 T 2 2 由于S平面可被分成无限条宽 度为 的水平带，所以 S T 平面可被映射成无限多 个Z平面。
也就是说，因果系统稳定的充要条件是系统函数 H z 的所有
极点都在单位圆内。
2016/6/25
16
由系统函数判断系统的稳定性
例2.21 设一个线性非移变系统的系统函数为
1 1 1 z 2 H z 3 1 1 2 1 z z 4 8
试画出零极点分布图，并确定 H z 的收敛域和稳定性。
n
xa nT e nTs
而 xn xa nT 的Z变换为
X z
n
xn z
n
n
n x nT z a
由此可知 X z
2016/6/25
z e sT
X s s
3
S平面到Z平面的映射
关系式 X z
用MATLAB函数求系统的频率响应并画出响应曲线
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由系统函数判断系统的稳定性
例2.22 解（续）
因为在 所以
z 1 处有零点，
H e j 0 0
H e jw
1 e jw H e 1 0.81e j 2w
jw
在
z 0.9 j 处有极点，
这就是Z平面到S平面的映射关系。
z变换与拉普拉斯变换的关系
z变换与拉普拉斯变换的关系在信号处理领域中，z变换和拉普拉斯变换是两个非常重要的数学工具。
它们在数字信号处理和模拟信号处理中都有广泛的应用。
虽然它们看起来非常不同，但它们之间有着密切的联系。
本文将介绍z 变换和拉普拉斯变换的定义、性质以及它们之间的关系。
一、z变换z变换是一种离散时间信号的变换方法，它将一个离散时间信号转换成一个复变量函数。
z变换定义如下：$$X(z)=sum_{n=-infty}^{infty}x(n)z^{-n}$$其中，$x(n)$是一个离散时间信号，$z$是一个复变量。
$X(z)$是一个复变量函数，称为$x(n)$的z变换。
可以看出，z变换是将离散时间信号$x(n)$映射到复平面上。
它的收敛域是一圆形或一个环形区域。
z变换具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、频移性、共轭对称性等。
这些性质使得z变换在信号处理中有着广泛的应用。
二、拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种连续时间信号的变换方法，它将一个连续时间信号转换成一个复变量函数。
拉普拉斯变换定义如下：$$X(s)=int_{0}^{infty}x(t)e^{-st}dt$$其中，$x(t)$是一个连续时间信号，$s$是一个复变量。
$X(s)$是一个复变量函数，称为$x(t)$的拉普拉斯变换。
可以看出，拉普拉斯变换是将连续时间信号$x(t)$映射到复平面上。
它的收敛域是一条垂直于虚轴的带状区域。
与z变换类似，拉普拉斯变换也具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、频移性、共轭对称性等。
这些性质使得拉普拉斯变换在信号处理中有着广泛的应用。
三、z变换与拉普拉斯变换的关系虽然z变换和拉普拉斯变换看起来非常不同，但它们之间有着密切的联系。
实际上，z变换可以看作是拉普拉斯变换在离散时间上的推广。
具体来说，我们可以通过将拉普拉斯变换中的$s$替换成$z$来得到z变换：$$s=frac{1}{T}ln z$$其中，$T$是采样周期。
这个公式告诉我们，如果我们将连续时间信号$x(t)$采样成离散时间信号$x(n)$，并且采样周期为$T$，那么我们就可以通过拉普拉斯变换得到$x(t)$的拉普拉斯变换$X(s)$，然后将$s$替换成上面的公式，得到$x(n)$的z变换$X(z)$。
离散时间信号及其Z变换
离散时间信号及其Z变换离散时间信号是指在离散时间点上取值的信号。
它可以用一个数列来表示，其中每个数代表了在相应时间点上的信号取值。
离散时间信号在数字信号处理中起着重要的作用，因为它们可以通过数字系统来表示和处理。
离散时间信号的定义可以表示为x(n)，其中n是离散时间点的索引。
离散时间信号可以是有限长度的，也可以是无限长度的。
有限长度的离散时间信号可以表示为x(n)，其中n取值范围在0到N-1之间，N为信号的长度。
而无限长度的离散时间信号可以表示为x(n)，其中n取遍整个整数集。
离散时间信号的Z变换是一种重要的信号变换方法，它将离散时间信号转换为复变量的函数。
Z变换是一种在数字信号处理中常用的工具，它将离散时间信号从时域转换到复频域，从而可以进行频谱分析和系统设计等操作。
离散时间信号x(n)的Z变换可以表示为X(z)，其中z为复变量。
Z变换的定义可以表示为：X(z) = Σ(x(n) * z^(-n))其中Σ表示求和符号，x(n)表示离散时间信号的取值，z^(-n)表示z的负幂次方。
Z变换的性质和连续时间信号的拉普拉斯变换类似，具有线性性、平移性、卷积性、频率抽样等性质。
Z变换将离散时间信号映射到复平面上的点，其中每个点对应离散时间信号在不同频率上的幅度和相位信息。
Z变换在信号处理中有广泛的应用。
它可以用于系统的频域分析，比如计算系统的频率响应、幅频特性和相频特性等。
Z变换还可以用于信号的滤波和等级控制，用于设计数字滤波器和控制器，从而实现对信号的调制和解调。
此外，Z变换还可以用于信号的压缩和编码，用于提取信号中的相关特征和压缩信号的数据量。
总而言之，离散时间信号及其Z变换是数字信号处理中的重要概念和工具。
离散时间信号可以用一个数列来表示，在离散时间点上取值。
而Z变换则将离散时间信号从时域转换到复频域，从而实现对信号的频谱分析和系统设计等操作。
离散时间信号及其Z变换的应用广泛，包括系统分析、信号滤波、信号压缩等领域。
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T
T
有w ，因此，W从 增加到 时，w由 增加到
T
T
即辐角旋转一周，或将整个Z平面映射一次。当W再增加
2 时(一个取样频率)时，则w相应地又增加2，即辐角
T 再旋转一周，或将整个Z平面再映射一次。
2020/3/30
6
S平面到Z平面的映射
由上述讨论总结得出从Z平面到S平面的映射关系如下
1 S平面上宽度为2 的水平带映射成整个Z平面，左半带
变换，系统函数定义为
H z
Y z X z
hn zn
n
即系统函数是单位取样响应 hn 的Z变换。
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由差分方程求系统函数
设一个线性非移变系统的输入和输出满足下列差分方程
N
M
ak yn k br xn r
k 0
r0
对上式两边求Z变换得
N
M
ak zkY z br zr X z
系统的稳定性与系统函数 H z 的收敛域有密切的关系。我
们知道，为了使 hn 的Z变换存在，就要求
hnzn
n
当
z 1
时，上式变成
hn
n
这就是系统稳定的充要条件。因此，若系统函数在单位圆上收 敛，则系统是稳定的。或者说，系统稳定的充要条件是系统函
数 H z 的收敛域包括单位圆。
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n
T n
所以
n
X s
s
xs t
estdt
xa t
1
e j nWs t e stdt
T n
1
T n
xa
t
es j nWs t
dt
1 T
Xa
n
s
j n Ws
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9
连续时间信号的拉氏变换与对应的离散时间信号 的Z变换之间的关系
所以有
X z
Z变换与拉普拉斯变换的关系
符号的使用
本小节我们要了解连续时间信号的拉普拉斯变换与对应的 离散时间信号的Z变换之间的关系 我们首先介绍所使用的符号
连续时间信号 xa t
对应的拉普拉斯变换 X a s
离散时间信号 xn xa nT
对应的Z变换 X z
取样信号 xs t xnT t nT 对应的拉普拉斯变换 X s s
z e sT
X s s
1 T
X a s
n
j nWs
1 T
n
X
a
s
jn
2
T
由该式看出，映射 z esT 确定的不是 X a s 本身直接 与 X z 的关系，而是 X a s 的周期延拓与 X z 的
关系。这种非直接关系将给设计IIR数字滤波器的冲激不
变法带来不利影响。
2020/3/30
n
2020/3/30
2
S平面到Z平面的映射
由于
xs t xa nT t nT
n
所以
Xs s L
xs t L
n
xa
nT
t
nT
n
xa
nT
L
t nT
xa nT enTs n
而 xn xa nT 的Z变换为
X z xn zn xa nT zn
n
T
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8
连续时间信号的拉氏变换与对应的离散时间信号 的Z变换之间的关系
下面我们回头来讨论连续时间信号的拉氏变换与对应的离 散时间信号的Z变换之间的关系
前面以及推导出 X z zesT X s s
另一方面，根据傅立叶级数展开有
t nT 1
e jnWs t
而
xs t xa nT t nT
15
由系统函数判断系统的稳定性
显然，一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域应该是 Rx z 0 Rx 1
也就是说，因果系统稳定的充要条件是系统函数 H z 的所有
极点都在单位圆内。
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由系统函数判断系统的稳定性
例2.21 设一个线性非移变系统的系统函数为
1 1 z1
10
系统函数
System Function
系统函数的定义及与单位取样响应的关系
线性非移变系统除了可以用线性常系数差分方程、单位取 样响应和频率响应来描述外，还可以用系统函数来描述。
设 xn, yn 和 hn 分别是线性非移变系统的输入、输
出和单位取样响应， X z, Y z 和 H z 分别表示相应的Z
k 0
r0
因此
M
H z
Y z X z
br
r N
ak
zr z k
k 0
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13
由差分方程求系统函数
由此看出，系统函数是 z1 的有理函数，将分子分母进行因
式分解得
M
M
H z
Y z Xz
br z r A 1 cr z 1
r N
r1 N
ak zk
1 dk z1
r ea T
w W T
这就是Z平面到S平面的映射关系。
其中r和w分别是Z平面的模和相角，而a和W是S平面的实
轴和虚轴，T为取样周期。
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4
S平面到Z平面的映射
从Z平面到S平面的映射关系 r ea T
看出：
w W T
1当a 0时，有r 1，即S平面的虚轴jW映射成Z平面
的单位园；
k 0
k 1
式中， dk 和cr 分别表示系统函数 H z 在Z平面上的极点
和零点。这样，系统函数可以用Z平面上的极点、零点和常数
来确定。上式没有指出 H z 的收敛域，收敛域有多种选择
方案。不同的收敛域，对应于不同的单位取样响应，但它们都
满足同一差分方程。
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由系统函数判断系统的稳定性
T 映射成单位园内部，右半带映射成单位园外部，长度为
2 的虚轴映射成单位圆周。
T
2由于S平面可被分成无限条宽度为2 的水平带，所以S
T 平面可被映射成无限多个Z平面。
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S平面到Z平面的映射
Z平面到S平面的映射关系可以用下图来表示
3
jW
s 平面
T
Im z 平面
单位圆
T
a
R，有r 1，即S平面的左半平面映射成Z平
面的单位园内部；
3当a 0时，有r 1，即S平面的右半平面映射成Z平
面的单位园外部；
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S平面到Z平面的映射
从Z平面到S平面的映射关系 r ea T
还可以得出：
w W T
当W 时，有w ，W 0时，有w 0，W 时，
n
由此可知 X z zesT X s s
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3
S平面到Z平面的映射
关系式 X z zesT X s s 说明，在 z esT 的条件下，
离散时间信号的Z变换等于取样信号的拉普拉斯变换。
若令 s a j W 和 z re jw ，则由 z esT 得到
因此
re jw ea j WT ea T e j W T