数学试卷及答案

北京龙文教育摸底试卷初 三 数 学 2011年1月一、选择题（．．．．．．本题．．共．8．个．小．题，每小题．．．．．3．分，共．．．24．．分）．．下列各小题均有4个选项，其中只有一个选项是正确的，请你把正确答案的字母序号填在下表中相应的题号下面。

532x =，1．如果那么x 的值是A ．310 B ．215C ．152D ．1032．．．反比例函数．．．．．x ky =（．k ．≠．0．）的图象过点（．．．．．．．2．，．-．2．），则此．．．．函数．．的图象在直角坐标系中的．．．．．．．．．．． A ．．．第二．．、四象限．．．． B ．．．第一、三象限．．．．．． C ．．．第一、二象限．．．．．．D ．．．第三、四象限．．．．．． 3．．在．．Rt ．．△．ABC ．．．中，∠．．．C ．=90．．．°，．AB ．．=13．．．，．A ．C ．＝．12．．，则．．sin ．．．B ．的值是．．．A ．．．513B ．．．1213C ．．．512D ．．．1254．如图,点C 、O 在线段AB 上，且AC=AO=OB =5,以BC 为直径的⊙O 切线，D 为切点，则AD 的长为 A ．5 B ．6 C ．35D ．10第4题5．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个红球且摸到红球的概率为13，那么口袋中球的总数为Ａ．12个 Ｂ．9个 Ｃ．6个 Ｄ．3个6．已知点(1,)A m 与点B (3,)n 都在反比例函数xy 3=(0)x >的图象上，则m 与n 的关系是A ．m n <B ．m n >C ．m n =D ．不能确定7．如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B 、C 两点恰好落在扇形AEF 的弧EF 上时，弧BC 的长度等于FE D CBA第13题C C OC 3Ａ．π6 Ｂ．π4 Ｃ．π3 Ｄ．π28．如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点， 且BP =1，点D 为AC 上一点；若∠APD =60°，则CD 长是Ａ．43 Ｂ．23 Ｃ．21 Ｄ．32二、填空题（本题共5道小题，每小题3分，共15分）9．将二次函数1x 4x y 2-+=化为k )h x (y 2+-=的形式，结果为 y= ．10．已知两个相似三角形的周长比是1:3，它们的面积比是 ． 11．已知抛物线322--=x x y 与y 轴交于点C,则点C 的坐标是（ ）；若 点C′是点C 关于该抛物线的对称轴对称的点，则'C 点的坐标是（ ）. 12．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若 AD ：DB=1：2，AE =2，则AC = ． 13.如图，⊙O 的半径为2，1C是函数212y x =的图象， 2C 是函数212y x =-的图象，3C 是函数y 的图象，则阴影部分的面积是 ．三、解答题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）14．计算：0201132860sin 2---+︒ 解： 15．当12x -=时，求代数式)x 2(2)1x (2---的值.解：C16. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交⊙O 于点D ， 点E 在⊙O 上．（1）若52AOD ∠= ，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长． 解：17．如图，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(100)，，点B 在第一象限内，5BO =，3sin 5BOA =∠．求：（1）点B 的坐标；（2）cos BAO ∠的值． 解：（1）（2）18. 如图，在ABC △中，90C = ∠，在AB 边上取一点D ，使BD B C =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长．解：四、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分）19．小红和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张． （1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果； （2）求抽出的两张牌都是偶数的概率． 解：20. 已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且过点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （1）求二次函数的表达式，并在右面的网格中画出它的图象； （2）说明对于任意实数m ，点2()M m m -，在不在这个二次函数的图象上．解：五、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分） 21. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，CD ＝4，AB =10，32tan =∠B . 求BC 的长. 解：22. 已知：如图，AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D 过D 作DE ⊥AC 于点E . (1) 求证：DE 是⊙O 的切线；(2) 如果⊙O 的半径为2，sin ∠B =21,求BC 的长.（1）证明：六、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分） 23. 如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数)0x (xky >=的图象 经过点．．．B ．.． (1) ．．．求．k ．的值；．．．（2）将正方形OABC 分别沿直线AB ，BC 翻折，得到正方形MABC ′和NA′BC .设线段M C ′，NA′分别与函数)0x (xky >=的图象交于点F ，E . 求线段EF 所在直线的解析式. 解：E F D C B AE F D C B A E F C BA24.已知：抛物线2(1)y x b x c =+-+经过点(12)P b --，． （1）求b c +的值；（2）若3b =，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若3b >，过点P 作直线PA y ⊥轴，交y 轴于点A ，交抛物线于另一点B ，且2BP PA =，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）解：七、解答题（本题6分） 25. △ABC 中，∠BAC =90°，AB=AC ，点D 是BC 的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D 处，将三角板绕点D 旋转且使两条直角边分别交AB 、AC 于E 、F . （1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF 与BE 的数量关系并证明你的结论；（2）如图2，若连接EF ，试探索线段BE 、EF 、FC 之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；（3）如图3，若将“AB=AC ，点D 是BC 的中点”改为：“∠B =30°，AD ⊥BC 于点D ”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF 、BE 的比值.解：平谷区2010～2011学年度第一学期末初三数学试卷参考答案及评分参考 2011年1月一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分）二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）9.5)2x (2-+； 10．1:9； 11．(0,3-),)3,2(-； 12.6； 13. 53π. 三、解答题（本题共5个小题，每小题5分，共25分） 14．计算：0201132860sin 2---+︒ 解：原式=12322232-+-+⨯………………………..…………….4分 .123-=…………………………………………………………5分15．当12x -=时，求代数式)x 2(2)1x (2---的值.解：)x 2(2)1x (2---=x 241x 2x 2+-+- …………………………………………………………2分 =3x 2- …………………………………………………………………………….3分 当12x -=时，原式.223)12(2-=--=……………………………………………………..5分 16. 解：（1）OD AB ⊥ ，∴⌒AD =⌒DB . ………………………………………1分11522622DEB AOD ∴∠=∠=⨯= ………………….2分 （2）OD AB ⊥ ，AC BC ∴=. …………………………………...3分 ∵AOC △为直角三角形， OC =3，5OA =，由勾股定理,可得4AC =. ……..…………………….4分28AB AC ∴==. ……….………………………………………………………5分 17. 解：（1）如图，作BH OA ⊥，垂足为H ，…………………………………1分EDC BA在Rt OHB △中，5BO = ，3sin 5BOA ∠=，3BH ∴=．4OH ∴=．……………………………… 2分∴点B 的坐标为(43)，．……………………3分 （2） 10OA =，4OH =，6AH ∴=．在Rt AHB △中，3BH =，AB ∴=………………………………………… 4分cos AH BAO AB ∴∠==（得52不扣分）………………………………….5分 18. 解：在ABC △中，9086C AC BC === ，，∠10AB ∴==．………………………1分又6BD BC == ，4AD AB BD ∴=-=．DE AB ⊥ ，90ADE C ∴== ∠∠．又A A = ∠∠，AED ABC ∴△∽△．………………………………………….……………………3分 DE AD BC AC∴=．……………………………………………………………….………4分 .3684=⨯=⋅=∴BC AC AD DE ．……………………………..……………………5分四、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分）19．解： (1) 树状图为：…………………….…………….２分共有12种可能结果． ……………………………………………………….…….3分（2）∵ 两张牌的数字都是偶数有6种结果 ∴ P （偶数）=126=21．…………………………………..……………………….5分 20.解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为2(1)2y a x =++， 又点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，在它的图象上，可得322a =+，解得12a =-．………………………. 1分所求为21(1)22y x =-++．…………………… 2分x令0y =，得1213x x ==-，画出其图象如右．……………………………….. 3分 （2）若点M )m ,m (2-在此二次函数的图象上，则221(1)22m m -=-++．………………………4分得2230m m -+=．方程的判别式：41280-=-<，该方程无解．所以点M )m ,m (2-不在此二次函数的图象上．………………………5分 五、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分） 21. 解：作CE ⊥AB 于E, ……………………..1分∵AB ∥CD ，∠A ＝90° ∴四边形AECD 是矩形.∴AE=DC =4. …………………………………..2分 ∵AB =10， ∴BE =6. ………………………………………. 3分 在Rt △BEC 中， ∵ 32tan =∠B ，BE =6. ∴CE =4. ……………………………………………………………………………….4分 由勾股定理，得 .13222=+=CE BE BC∴ .132=BC …….………………………………………………………………5分 22. (1) 证明：连结OD ，AD . ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB =90°………………………………1分 ∴ AD ⊥BC .∵ AB=A C,∴ BD=DC . ∵ OA=OB ,∴ OD 是△ABC 的中位线. ………………………………………….…………2分. ∴ OD ∥AC .∵ DE ⊥AC , ∴ OD ⊥D E.∴ DE 是⊙O 的切线………………………………………………………………3分. (2) 解：∵sin ∠B=21, ∴∠B =30°. ∵ AB=4，∴ BD =3223430cos =⨯=︒⋅AB ………………………………………………4分 ∵ BD=DC .∴ BC =43. ……………………………………………………………………….5分 六、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分）23．．.．解：．．(1) ．．．∵． B ．（．2,2．．．），．．∴ k = 4 ………………………………………1分 (2) 由翻折可知，M （4,0）N （0,4）可求得F （4,1），E （1,4）………………….3分 设直线EF 的解析式为b kx y +=， 可求得5b ,1k =-=…………………………..…………………………………………..…..4分 所以，线段EF 所在直线的解析式为5x y +-=……………………………………5分24.解：（1）依题意得：2(1)(1)(1)2b c b -+--+=-，2b c ∴+=-．…………………………………………………..1分（2）当3b =时，5c =-，2225(1)6y x x x ∴=+-=+-∴抛物线的顶点坐标是(16)--，．……………………………2分（3）当3b >时，抛物线对称轴112b x -=-<-， ∴对称轴在点P 的左侧．因为抛物线是轴对称图形，(12)P b --，且2BP PA =． (32)B b ∴--， …………….…………………………………………………………….3分 122b -∴-=-． 5b ∴=．………………………………………………………………………………………4分 又2b c +=-，7c ∴=-．∴抛物线所对应的二次函数关系式247y x x =+-．……………………………………..5分七、解答题（本题6分） 25 .解：（1）结论：AF=BE . ………………………………………………….1分 证明：连接AD ， ∵ AB=AC ，∠BAC =90°，点D 是BC 的中点 ∴ AD=BD=DC =12BC ，∠ADB =∠ADC =90°, ∴ ∠B=∠C =∠1=∠2=45°. ∴ ∠3+∠5==90°. ∵ ∠3+∠4==90°, ∴ ∠5=∠454EFCDBA123∵ BD=AD ,∴ △BDE ≌△ADF .∴ BE=AF . ………………………………………………………………………3分（2）222EF BE FC =+…………………………………………………………4分（3）（1）中的结论BE=AF 不成立. ……………………………………… 5分 ∵ ∠B =30°，AD ⊥BC 于点D ，∠BAC =90°,∴ ∠3+∠5==90°， ∠B +∠1==90°.∵ ∠3+∠4==90°，∠1+∠2==90°∴ ∠B =∠2 ， ∠5=∠4. ∴ △BDE ∽△ADF . ∴tan 30AF AD BE BD === ………………………………………………… 6分A B C DF E 54123。