工程断裂力学第三章new

a 当 =0 c
形状因子
从上述例子可见，强度因子总是与载荷成正比 （这里指单向加载的拉伸应力或集中力），而且在均 匀拉伸下，恒有 K = Yσ πa 的形式。这里Y是与载荷 无关，而与几何变数（裂纹长度或位置、物体形状等） 有关的量，故称为几何因子或形状因子（geometric factor）。
3-5 叠加原理及其应用
线弹性力学的本构关系是线性的，因此， 裂纹问题的应力强度因子可以利用叠加原理来 求得。下面举例介绍叠加原理在求应力强度因 子方面的几种应用。
半椭圆形表面裂纹
Fσ πa KA = Φ
a a 1.8+ c a 1.10 + 5.2× (0.5)5a / c × ( ) 当 >0 B c F = 1.12 − 0.23( a ) +10.6( a )2 − 21.71( a )3 + 30.38( a )4 B B B B
K=
2
π
σ πa
椭圆裂纹的应力强度因子
K=
σ πa
Φ
a 2 sin θ + 2 cos θ c
2 2
1/ 4
Φ为第二类椭圆积分：
Φ=∫
π /2
0
c −a 2 sin Φ dΦ 1 − 2 c
2 2
1/ 2
在短轴的端点，K有最大值。在长轴的端点，K有最小值。
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圆孔萌生的单边裂纹—工程近似解的应力强度因 子
无限大平板的圆孔萌生了一条穿 透板厚的裂纹，裂长为L。若平板受 到无穷远处的均匀拉伸，当L<<R时， 应力强度因子的上限为:
K = 1.12(3σ ) πL
若裂纹较长，则下限用 :
K = σ π ( R + L / 2)
圆孔萌生的双边裂纹—工程近似解的应力强度因 子
有限宽的长条板有中心裂纹，受到无穷远处的均 匀拉伸的应力强度因子
πa K = σ πa sec h
有限宽的长条板有单边裂纹，受到无穷远处的均 匀拉伸的应力强度因子
a K = σ πa f h a a a a a f = 1.12 − 0.23 + 10.6 − 21.71 + 30.38 h h h h h a << h K = 1.12σ πa
Kt =1+ 2
a
ρ
a为椭圆的长半轴，ρ为椭圆长轴端点的曲率半径。
应力奇异性
由于a大于ρ，所以Kt恒大于3，即椭圆应力集中的 程度比圆孔问题严重。若是短轴长趋于零，则ρ也将 趋于零，此时应力集中系数Kt 将趋于无限大。在没有 特别说明的情况下，断裂力学所指的裂纹，其裂端的 曲率半径是为零的；在不受力的情况下，上下两个裂 纹面是互相接触的。因此，裂纹即裂端曲率半径趋于 零时的椭圆孔，其裂端有无限大应力。
我们的兴趣不在于得到精确的应变场形式，而在于知道应变 分量也只由应力强度因子来确定。
I型裂纹的位移场
通过应变一位移关系，经过复杂的计算，可以得到裂端区的 位移场为：
θ θ r 2µu = KI (κ −1) + 2sin 2 cos 2 2 2π
1/ 2
θ θ r 2µv = KI (κ +1) − 2cos2 sin 2 2 2π
σx =
＋高次项
在裂端区，即r足够小的情形下，式中r的高次项比首项小得 多，因而可以忽略 。
I型裂纹的应变场
从上式可见，裂端区应力场的形式恒定，其强度完全由KI值的 大小来决定，因此就称KI为I型裂纹的应力强度因子 应力强度因子。裂端区的应 变场可以由弹性力学公式求得为：
εij =
KI fij (θ ), i, j = x, y 2πr
Griffith裂纹的应力强度因子
K = σ πa
无限大平板有中心裂纹，裂纹表面受到均匀拉伸 应力作用的应力强度因子
K = σ πa
无限大平板有中心裂纹，裂纹表面某处受到一对 集中拉力P（单位厚度集中力）作用 的应力强度 因子
P KA = πa P KB = πa a+b a −b a −b a+b
裂纹的应力强度因子
应力强度因子的值由载荷、裂纹数目、长度和位置 以及物体的几何形状等共同决定。它的单位是 [ 力 ]•[ 长 度 ]-3/2 。 常 用 单 位 为 制 的 百 万 牛 顿 • 米 3/2(MN/m3/2)或用公制的公斤力•毫米-3/2。
由于I型裂纹是最主要的裂纹型，下面介绍一些标 准裂纹问题，给出实验室常用试件和工程零构件最常 见I型裂纹的应力强度因子（用K表示）。
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这里 u和 v分别为x和y方向的位移分量，μ是剪切模量，κ与 泊松比ν的关系为：
ν 3− 4 κ = 3−ν 1+ν
平面应力 平面应变
II型和III型裂纹
对于II型和III型裂纹，裂端 区的应力场和位移场的形式也是恒 定的，而且其表达式与I型裂纹相 似。II型和III型裂纹的应力强度 因子分别用KII和KIII表示。由于II 型裂纹也是平面问题，可采用上面 的坐标系来描述，而且只有应力分 量σx 、σy 和τxy 存在。III型裂 纹问题是反平面剪切问题，位移分 量仅有z方向的w，应力分量仅有 τxz 和τyz 。
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有限宽的长条板有单边裂纹，受到无穷远处的纯 弯曲的应力强度因子
设 则
σ = 6M / h2
a K = σ πa f h
a a a a a f = 1.12 − 1.40 + 7.33 − 13.08 + 14.0 h h h h h a << h K = 1.12σ πa
1/ 2
θ θ r 2µu = KII (κ +1) + 2cos2 sin 2 2 2π θ θ r 2µv = KII − (κ −1) + 2sin 2 cos 2 2 2π
1/ 2
III型裂纹的应力场和位移场
习题
当应力奇异性是由r-n来决定时，n就称为应力奇异 性的指数。当线弹性体的裂纹端点具有指数n为1/2的 应力奇异性时，试由量纲分析着手，证明裂端区的应 变能将是有界的。若要裂端区的应变能有界，能否反 过来从数学上证明应力奇异性指数不得大于或等于1？
3-4 常见裂纹的应力强度因子
应力强度因子可以用来表征裂纹端点区应力应变场强 度的参量，因此，在工程应用前，首先要计算应力强度因 子。计算应力强度因子有解析法和数值法两种，前者包括 应力函数法、积分变换法、契合问题解法等等；后者包括 有限单元法、边界元法、边界配置法等。 从五十年代中期以来，已建立了许多的计算应力强度 因子的方法，对很多常见裂纹问题的应力强度因子已汇集 成手册。因此，可以根据手册的结果，作一定的简化和近 似后，来解决工程问题。
3-1 裂纹的基本型
一般将裂纹问题分为三种基本型，如图所示
张开型
滑移型
撕裂型
裂纹基本型
第一种称为张开型（opening mode）或拉伸型（tension mode），简称I型。其裂纹面的位移方向是在使裂纹张开的裂纹面 法线方向(y方向)。它通常发生在载荷和几何形状对称于裂纹平面 的情形，例如Griffith裂纹是I型裂纹，其裂纹的扩展方向是正前 方（x方向）。若物体是均匀厚度的平板，裂纹贯穿板厚，则问题 是二维的（平面问题）；若物体不是平板或者裂纹没有贯穿板厚， 则是三维问题。许多工程上常见的断裂都是I型裂纹的断裂，这也 是最危险的裂纹类型。
应力是看不见的，它是个抽象的概念，然 而位移过程是可以看到的。物体上个别点（无 限远处除外）具有无限大的应力并不会使该点 的位移趋于无限。因此，裂端具有无限大应力 是允许的。同时可以证明，这并不影响裂端区 应变能的有界。
三种基本裂纹型裂端区某点的应力值、应变值、 位移值和应变能密度值都由应力强度因子及其位置来 决定。因此，只要知道应力强度因子，裂端区的应力、 应变、位移和应变能密度就都能求得。由于有这一特 点，应力强度因子可以作为表征裂端应力应变场强度 的参量。近代断裂力学，就是Irwin在五十年代中期提 出了应力强度因子的概念，认识到它的意义后才开始 发展起来的。
II型裂纹的应力场和位移场
θ θ θ KII 3 sin 2 + cos cos 2 2 2 2πr KII θ θ 3 θ σy = sin cos cos 2 2 2 2πr σx = τ xy =
KII θ θ 3 θ cos 1−sin sin 2 2 2 2πr
KIII θ τ xz = − sin 2 2πr KIII θ τ zy = cos 2 2πr
θ 2KIII r w= sin µ 2π 2
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思考题
如图所示的坐标系， I型和II型裂纹的裂端 区应力场在裂纹表面有 何特点？在裂纹正前方 又分别有何特点？裂端 区位移分量在裂纹表面 和正前方又有何特点？
第三章
应力强度因子
断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此， 裂端区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。 若裂端应力应变场的强度（intensity）足够大，断裂即可 发生，反之则不发生。因此，得到裂端区应力应变场的解 析解是个关键。 近代断裂力学是用弹性力学的解析方法来完成这一工 作的，而这些解析法需要用高深的数学工具，这对于初次 接触断裂力学的读者来说，是比较困难的。因此，本章只 给出一些主要的概念和结果，并介绍一些工程近似方法。
K = σ π ( R + ( L1 + L2 ) / 2)
圆裂纹的应力强度因子
又称为钱币裂纹（pennyshaped crack），是三维的I 型裂纹问题，裂纹表面呈圆形。 假设受到垂直裂纹表面的拉伸 应力，当弹性体的体积远大于 圆裂纹尺寸，且拉伸应力为均 布时，圆周上每一点的应力强 度因子（精确解）为 ：