第三章-弹塑性断裂力学讲课稿
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弹塑性力学(应变状态理论)讲稿
当体积不变时：
ij e ij
应变偏张量
三、应变参量及计算公式
1. 主切应变
2
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2
xy
2
sin 2
sin 2
xy
2
cos 2
1 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 3 ( 1 2 )
1 2 3
2. 八面体切应变 与三个应变主轴方向具有相同倾角平面上的应变
m ax 1 3
1 8 (1 2 3 ) m 3 2 2 2 2 8 1 2 2 3 3 1
du u d x dt x x dv v d y dt y y dw w d z dt z z
d xy d yz d zx
u v dt dt y x v w dt dt z z w u dt dt x z
zx
u w z x
4. 应变张量与应变参量
一、应变张量
引入符号：
xy
yz
zx
1 1 v u xy x y 2 2 1 1 w v yz y z 2 2 1 1 u w zx 2 2 z x
v
dy B y
P
A B
u x x v y y
xy
v u x y
v v dy y
u u dy y
三维状态下的几何方程
x
y
几 何 方 程
工程断裂力学课件3弹塑性断裂力学(EPFM)简要
第三章弹塑性断裂力学（EPFM）简要§3-1 Dugdale方法（D－M模型）§3-2 裂纹尖端张开位移CTOD（COD）定义及准则§3-3 COD 与K1的一致性§3-4 COD准则的应用34COD§3-5 J 积分的定义及守恒性§3-5-1 J 积分的定义§3-5-2 J 积分的守恒性§3-6 线弹性条件下J 与K的关系§3-7 在弹塑性条件下J 与CTOD的关系常见的定义有以下几种：（1）弹塑性交界线与裂纹表面的交界点处的张开位移看作CTOD。
对D－M模型描述的裂纹，经Paris等人的工作，Well 在1965年用大量试验得出，可以用裂纹尖端的CTOD （）作为表征裂纹δ弹塑性应力应变场的单一参数，当此参数值达到材料的临界值，材料就会发生开裂。
即为开裂准则。
使用这一准则必须解决两个问题：（1）使用小试样能方便准确地测量出材料稳定（与外载荷裂纹尺寸及裂纹几何的关系（即cδδ=的开裂参数；（2）建立裂纹尖端的与外载荷、裂纹尺寸及裂纹几何的关系（即的表达式）。
c δδ(,,)f p a Y δ=试验表明用TPB 、CT 等小试样可以实现，试验证明开裂点的是材料常数，但失稳扩展点的不是常数！换句话说，CTOD 只是开裂判据，不是破坏判据！c δc δδGB/T 2358-1994对的测试方法做了详尽的说明，本课不讲实验测试（大家要c c δ用时，严格按标准的要求技术细节做即可，不用讲了就忘了）。
CTOD 方法在中低强度钢压力容器和管道，即焊接结构等方面在工程上有广泛应用它的优点是方法简单直观易测缺点是定义不明确理论依据不足用。
它的优点是方法简单、直观，易测，缺点是定义不明确，理论依据不足。
§3-5 J 积分的定义及守恒性3-5JJ 积分是J.R .Rice在1968年提出的，并由此建立了弹塑性断裂力学的另一个方法。
弹塑性力学课件第三章
zx C61x C62 y C63z C64 xy C65 yz C66 zx
C ij
ijkl kl
Cijkl Cijlk
2021/1/10
4
第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——具有一个弹性对称面的线
性弹性体
x
y
C11
C12 C22
C13 C23
C14 C24
2021/1/10
10
第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
x
1 E
x
( y
z ) ,
xy
1 G
xy
y
1 E
y
( x
z ) ,
yz
1 G
yz
z
1 E
z
( x
y ) ,
zx
1 G
zx
ij 1Eij Ekkij
2021/1/10
11
第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
0 x
0
y
z xy
C33 0 0
对
C44 0
0 z
0
xy
yz
zx
称
C55
0 C66
yz zx
2021/1/10
6
第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——正交各向异性弹性体
x y z xy
1 Ex
xy
1 Ey
对
xz
yz
弹塑性力学课件第三章
第三章 本构关系
本章学习要点：
掌握各项同性材料的广义Hooke定律 掌握弹性应变能密度函数的概念及计算 理解初始屈服、后继屈服以及加卸载的概 念 掌握几个常用的屈服条件 理解弹塑性材料的增量和全量本构关系的 基本概念
弹塑性断裂力学讲解
cos2
2
1
3sin
2
2
r
/
K
2 I
2π
2 s
1.0 平面应力
0.5 平面应变
2)平面应变状态下[ 3 (1 2) ]
r
K
2 I
2π
2 s
cos2
2
(1
2
)2
3 sin2
2
3)裂纹延长线上
0.5
1.0
r
/
COD准则和J积分准则均为弹塑性裂纹起裂准则，从1970s起着力建立裂纹稳定扩 展准则。
最早将断裂力学应用于研究混凝土的是Kaplan,他在1960年首先开展了断裂韧度 的研究，从此混凝土断裂力学就逐步展开。
5 断裂力学的分类
断裂力学根据裂纹尖端塑性区域的范围，分为两大类： （1）线弹性断裂力学---当裂纹尖端塑性区的尺寸远小于裂纹长度，可根据线弹性理 论来分析裂纹扩展行为。 （2）弹塑性断裂力学---当裂纹尖端塑性区尺寸不限于小范围屈服，而是呈现适量的 塑性，以弹塑性理论来处理。
ys
s
平面应力
ys
s 1 2
平面应变
r
/
K
2 I
2π
2 s
1.0 平面应力
0.5 平面应变
0.5
1.0
r
/
K
2 I
2π
2 s
r0’
r0
5)厚板 马鞍形塑性区。外为平面应力，中间平面应 变，由于裂尖钝化效应导致平面应变的塑性 约束降低，实际区域要大于上述解。
清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学PPT课件
III型裂纹的复变函数表示方法 为了统一
应力场 位移场
32 i 31 ZIII
u3 Im ZIII
III型中心裂纹承受远场均匀剪切
lim
r0
2
r
22 12
r,0
r,
0
32
r
,
0
KI,II,III与G之间的关系?
George Rankine Irwin
G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal3of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).
a
0 i2
x1,
0
ui
a
x1,
dx1
wtip a
5
如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？
可由能量平衡来理解
F
裂纹扩展
Gda dU Fd
逐渐放松保持力过程
wtip da dU Fd
F
这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。
x2
x2
σ
x1
首先假设固定位移加载
针对III型裂纹
x2
A
B
σ
x1
a
x2
u
u
x1
a
KIII
lim
x1 0
2 x1 32 x1, 0
32 x1, 0
KIII
2 x1
u3 u3+ a x1, u3- a x1, =2u3+ a x1, =
弹塑性断裂力学讲义(ABAQUS)
from
SMA c 2000 MIT
This relationship can be used to infer an equivalent
KIc value
Fatigue and Fracture
9
J
Derivation
Integral
Continued
Consider two different paths around the crack tip:
SMA c 2000 MIT
0 0
n
Fatigue and Fracture
12
ntinued
HRR eld
With these assumptions, the crack tip elds (HRR eld) can be
derived. (Ref: J.W. Hutchinson, JMPS, 1968 and J.R. Rice and
SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture
8
J
Derivation
Integral
Continued
For the special case of a linear elastic solid,
,dUM J G, da
K 2 ,1 , 2 E
d PE da
JIc measurements in high toughness, ductile solids in which valid KIc testing will require unreasonably large test specimens.
SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture
SMA c 2000 MIT
This relationship can be used to infer an equivalent
KIc value
Fatigue and Fracture
9
J
Derivation
Integral
Continued
Consider two different paths around the crack tip:
SMA c 2000 MIT
0 0
n
Fatigue and Fracture
12
ntinued
HRR eld
With these assumptions, the crack tip elds (HRR eld) can be
derived. (Ref: J.W. Hutchinson, JMPS, 1968 and J.R. Rice and
SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture
8
J
Derivation
Integral
Continued
For the special case of a linear elastic solid,
,dUM J G, da
K 2 ,1 , 2 E
d PE da
JIc measurements in high toughness, ductile solids in which valid KIc testing will require unreasonably large test specimens.
SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture
第三章-弹塑性断裂力学PPT课件
（20）
对弹塑性情况， δ可由弹性的δe和塑性的δp两部分
组成，即：
.
27
e P
（21）
式中， δe为对应于载荷P的裂纹尖端弹性张开位移，
（1）D-B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹线两边 延伸呈尖劈带状；塑性区的材料为理想塑性状态，整 个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围；塑性
区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力σs 。
.
9
于是，可以认为模型在远场均匀拉应力σ作用下
裂纹长度从2a延长到2c，塑性区尺寸R=c-a，当以带 状塑性区尖端点c为“裂尖”点时，原裂纹（2a）的 端点的张开量就是裂纹尖端张开位移。
按等效原则，令非贯穿裂纹的等于无限大板中心穿透裂纹
的，则等效穿透裂纹长度为：. a*= α2 a
（17）
22
（c）材料加工硬化修正
考虑材料的加工硬化修正，可用流变应力σf代替 屈服点，对于σs =200~400MPa的低碳钢，一般取：
σf =0.5（ σs + σb）
(18)
式中σb为材料的抗拉强度。
δ与应变e、裂纹几何和材料性能之间的关系，即引入 应变这一物理量。
由含中心穿透裂纹的宽板拉伸试验，可绘出无量 钢COD即/2esa 与标称应变 e / e s 之间的关系曲线 。
.
16
其中es是相应于材料屈服点σs的屈服应变，a是裂 纹尺寸，标称应变e是指一标长下的平均应变，通常 两个标点取在通过裂纹中心而与裂纹垂直的线上。
R
a
sec
2
s
1
若将 s e c 按级数展开，则 2 s
12 54 sec2s 122s242s
2
当
断裂力学 弹塑性断裂力学
和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围。塑性区与弹性区 交界面上作用有均匀分布的屈服应力 s .
假想：挖去塑性区 在弹性区与塑性区的界面上加上均 匀拉应力 s 线弹性问题 裂纹尖端的应力强度因子
K Ic K I(1) K I( 2) c 2 s a c
c arccos
又
K I2 1 GI ' ' ( K IP K IF ) 2 E E
虚力Ｆ在裂纹尖端产生的应力强度因子
外力Ｐ在裂纹尖端产生的应力强度因子
10
U 0 1 U 2 lim lim[ ( K K ) ]da IP IF F F F E ' F 0 F 0 0 U K 2 lim( 0 ) lim ( K IP K IF ) IF da F F F 0 F 0 0 E '
4 K I ry v E 2 1 KI 2 ry ( ) 2 s
4 K I2 4GI 2v E s s
—小范围屈服时的COD计算公式
5
§4.2
D－B带状塑性区模型的COD
D－B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹尖端两端延 伸呈尖劈带状。塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹
弹塑性断裂力学
1
线弹性断裂力学 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸 弹塑性断裂力学 大范围屈服:端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸，
如：中低强度钢制成的构件． 全面屈服：材料处于全面屈服阶段，如：压力容器的 接管部位.
2
弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定 量描述裂纹尖端区域弹塑性应力，应变场强度的参量．以
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4）D-B带状塑性区模型的COD
Dugdale通过拉伸试验，提出裂纹尖端塑性区呈 现尖劈带状特征的假设，从而得到一个类似于 Barrenblett的模型。该模型称为D-B模型，这是一个对 小范屈服和大范围屈服都适用的模型，可以用来处理 含中心穿透裂纹的无限大薄板在均匀拉伸应力作用下 的弹塑性断裂问题。
3）弹塑性断裂力学的提出 （1）解决如何通过小试样在全面屈服条件下断裂韧度 的测试去确定中、低强度重型构件的平面应变断裂韧 度KIC。
因为用线弹性断裂力学方法测定中、低强度钢的 断而裂且韧还度 由于KIC大，锻不件仅不需同用部大位型的试K件IC差和别大很吨大位，的用试大验试机， 样位所的测KIC得值的。KIC只是一个平均值，得不出各个具体部
R
a
sec
2
s
1
若将 s e c 按级数展开，则 2 s
12 54 sec2s 122s242sLL
2
当
/
s 较小时，
sec
2s
1 1 22s
（6）
代入式（6），得R的近似表达式为：
R
a
2
2
s
2
（7）
考虑到无限大平板有中心穿透裂纹时， a KI，有：
R8KsI
2
但是由于裂纹尖端的钝化，很难确切地指出原 裂纹尖端的位置，因而亦难确定裂纹尖端的张开位移。
目前，有人用2AB作为理解纹张开位移（从变形 后的裂纹顶端测量）；有人用2CD作为裂纹张开位移 （在D点测量，D为线弹性的直线与非线性的曲线的 交点）；有人用2EF作为裂纹张开位移（从裂纹尖端 作450线与裂纹面相交处F的分离的大小）。
3）Irwin小范围屈服条件下的COD
在讨论小范围屈服的塑性区修正时，曾引入有效 裂纹长度a a ry 的概念，这意味着为考虑塑性区的影 响假想地把原裂纹O移至O’，O O ry 。这样一来当以 假想的有效裂纹尖端点作为“裂尖”时，原裂纹点O 发生了张开位移，这个位移就是张开位移，简称为
COD，简写为δ 。
（1）D-B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹线两边 延伸呈尖劈带状；塑性区的材料为理想塑性状态，整 个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围；塑性
区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力σs 。
于是，可以认为模型在远场均匀拉应力σ作用下
裂纹长度从2a延长到2c，塑性区尺寸R=c-a，当以带 状塑性区尖端点c为“裂尖”点时，原裂纹（2a）的 端点的张开量就是裂纹尖端张开位移。
第三章 弹塑性断裂力学
第一节 弹塑性断裂力学概述 第二节 COD理论 第三节 J积分理论
第一节 弹塑性断裂力学概述
1）线弹性断裂力学的适用范围 （1）脆性材料，如玻璃、陶瓷、岩石，及高强度钢 等材料。 （2）小范围屈服的金属材料，可用小范围屈服的塑 性修正断裂准则来计算。
2）实际中的问题 （1）大范围屈服：对中、低强度构件，其塑性区尺 寸超过了裂纹尺寸。（低温、厚截面和高应变速率 下除外） （2）全面屈服：焊接件等由于局部应力和残余应力 的作用，使局部地区的应力超过屈服应力。
（2）在大范围屈服条件下，确定出能定量描述裂纹尖 端区域弹塑性应力、应变场强度的参量，以便既能用 理论建立起这些参量与裂纹几何特征、外加载荷之间 的关系，又易于通过实验来测定它们，并最后建立便 于工程应用的断裂准则。
第二节 COD理论
1）COD定义
1961年Wells提出COD理论。COD是英文（Crack Opening Displaement）的缩写，其意是“裂纹张开位 移”。指裂纹体受载后，裂纹尖端垂直于裂纹方向上 产生的张开量，就称主裂纹（尖端）张开位移，通常 用δ表示。
（2）带状塑性区的大小R
假想地把塑性区挖去，在弹性区与塑性区界面上
加上均匀拉应力σs ，于是得到如图2b所示的裂纹长度 为2c，在远场应力σ和界面应力σs作用下的线弹性问
题。
此时裂纹尖端点c的应力
成：一是由远场均匀拉应力σ产生的
K
，1 另一个是由
I
塑性区部位的“裂纹表面”所作用的均匀应力σs所产
裂纹张开位移的定义
2）COD判据
Wells认为；当裂纹张开位移δ达到材料的临界值δC 时，裂纹即发生失稳扩展，这就是弹塑性断裂的COD 准则，表示为：
δ =δC
（1）
件尺δC寸是改材变料的弹材塑料性常断数裂。的韧性指标，是一个不随试
对于COD准则，要解决三个方面的问题：（a） 找出裂纹尖端张开位移δ与裂纹几何尺寸、外加载荷 之间的关系式，即δ的计算公式。（2）实验测定材料 的应裂用纹。张开位移的临界值δC 。（3）COD准则的工程
生的
： K
2
I
KI1 c
KI2
2s
ccos1ac
从而有： K I C K I 1 K I 2 c 2s cc o s 1 a c （4）
由于c点是塑性区的端点，应无奇性，故其K
C I
=0，
于是代入式（4）得
ca/cos agsec
2s
2s
（5）
由于塑性区尺寸R=c-a ，将式（5）代入并化简得
由平面应力条件下的位移公式并代入k3/1 推演得：
VKI E
2 rsin221cos22
（2）
当以O’点为裂尖时，O点处(即 沿y方向的张开位移则为：
， r
ry
1 2
KI s
)2 ，
2V
r ry
1 2
KI s
2
4
K
2 I
E s
4GI
s
（3）
此即为Irwin提出的小范围屈服下的COD计算公式。 式中σs为材料的屈服极限，GI为裂纹扩展能量释放率。
0.39KsI
2
（8）
将式（8）与Irwin小范围屈服下平面应力的塑性
区尺寸比较 R1 KsI
2
0.318 KsI
2，可见
D-B模型
的塑性区尺寸稍大一些。
（3）δ的计算公式
经计算可得：
8sa E
lnsec
2s
（9）
由式（9）可见，D-B模型不适用于全面屈服（即 σ= σs ）的情况。有限元计算表明，对小范围屈服或 大范围屈服，当σ/σs ≤0.6时，按式（9）所作的预测是 令人满意的。
D-B模型是一个无限大板含中心穿透裂纹的平面 应力模型。由于它消除了裂纹尖端点的奇异性，实质 上是一个线弹性化的模型。因此，当塑性区较小时， COD参量δ与线弹性参量K之间存在一致性。由式 （9），将函数展开为幂级数得：