弹塑性力学第三章
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岩土弹塑性力学教学课件(共13章)第3章_应变状态
§3.1 应变状态11
• 三个刚性转动分量及6个应变分量合在一起，才全 面反映了物体变形
xyz x y z xy yz zx
B
B’’ 刚性转动
B’’’
B’
变形
A 刚性平动 A`
§3.1 应变状态12
• 工程应变： ln l0
l0
变形后长度 原始长度
不适用于大变形
• 自然应变/对数应变：
在塑性变形较大时，用-曲线不能真正代表加载和变形的状态。
x y z
• ——弹性体一点的体积改变量
• 引入体积应变有助于简化公式。
• 大于零表示体积膨胀，小于零体积压缩。
• 注意：土力学中塑性体应变符号约定相反。
§3.2 主应变与应变主方向8
应变Lode参数: 为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数：
22 3 1 3
1
(1.66)
如果两种应变状态με 相等，表明它们所对应的应变莫尔圆 相似，也即偏应变张量的形式相同。
Vz y
;
zx
Vz x
Vx z
;
§3.3 应变率张量 2
小变形情况下，应变速率分量与应变分量间存在如下关系:
x
Vx x
du x dt
d dt
u x
x
u x
y
Vy y
dv y dt
d v
dt
y
y
v y
z
Vz z
z
dw dt
d w dt z
z
w z
线应变速率
j
Vj,i )
(1.56)
§3.3 主应变与应变主方向 4
由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因
弹塑性力学课件第三章
zx C61x C62 y C63z C64 xy C65 yz C66 zx
C ij
ijkl kl
Cijkl Cijlk
2021/1/10
4
第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——具有一个弹性对称面的线
性弹性体
x
y
C11
C12 C22
C13 C23
C14 C24
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10
第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
x
1 E
x
( y
z ) ,
xy
1 G
xy
y
1 E
y
( x
z ) ,
yz
1 G
yz
z
1 E
z
( x
y ) ,
zx
1 G
zx
ij 1Eij Ekkij
2021/1/10
11
第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
0 x
0
y
z xy
C33 0 0
对
C44 0
0 z
0
xy
yz
zx
称
C55
0 C66
yz zx
2021/1/10
6
第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——正交各向异性弹性体
x y z xy
1 Ex
xy
1 Ey
对
xz
yz
弹塑性力学课件第三章
第三章 本构关系
本章学习要点：
掌握各项同性材料的广义Hooke定律 掌握弹性应变能密度函数的概念及计算 理解初始屈服、后继屈服以及加卸载的概 念 掌握几个常用的屈服条件 理解弹塑性材料的增量和全量本构关系的 基本概念
工程弹塑性力学-第三章_应力-应变关系
11 C1 C2 11 C2 22 C1 C2 22 C2 33 C1 C2 33 C2 23 2C3 23 31 2C3 31 12 2C312
JUST
C33 C44 C55
弹性矩阵
C11 C 22 D
则广义胡克定律又可写为：
C33 C44 C55
D
由于弹性举证为对称矩阵， 即使各向异性材料其常数 也为21个。
JUST
3.2 广义胡克定律 Jiangsu University of Science and Technology 江苏科技大学
C11 C11 C33 C1 C12 C23 C31 C2 C C C C 55 66 3 44
应力与应变关系
C1 C2 C 1 D
C2 C2 C1
0 0 0 C3
0 0 0 0 0 0 0 C3 0 C3 0
dA dK ij dV ij V dt dt
绝热过程
du dA dK dQ ij ij dV , 0 V dt dt dt dt
对于单位体积的内能： 存在势函数：
dui* ij ij dt
dW ij d ij
dW
W d ij ij
得： ij 由
ij 1i j , ij 0i j
1 ij 11 22 33 ij E 1
1 1 11 22 33 11 11 11 22 33 E 1 E 1 22 22 11 33 12 1 12 , 13 1 13 , 23 1 23 E 2G 2G 2G 1 33 33 11 22 E
第三章 屈服准则
• 这一章研究材料的屈服. 我们已经知道,对于单向拉伸情况比 较简单,只有一个应力,实验可以得到应力应变的曲线, 应力应 变关系是一目了然. 但对于复杂应力状态, 材料在什么情况下 屈服这就不太好说了.这章的Tresca屈服条件和Mises屈服条件 就是解决这个问题的.
• 下一章来解决材料屈服后的应力应变的本构关系.
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
1. 屈服
物体受到荷载作用后，
随着荷载增大，由弹性状
态到塑性状态的这种过渡，
叫做屈服。
加载路径
2. 屈服条件
屈服点
物体内某一点开始产 生塑性应变时，应力或应 变所必需满足的条件，叫 做屈服条件。
only twist
Twist and extension
著名的Taylor和Quinney铜管拉扭 屈服试验(1931)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
3. 屈服函数
一般情况下，屈服条件 与应力、应变、时间、温度 等有关，而且是它们的函数， 这个函数F称为屈服函数。
在不考虑时间效应(如应 变率)和温度的条件下：
在不考虑应力主轴旋转 情况下，可以用三个主应力 分量或应力不变量表示：
F( ij ,ij ,t,T ) 0
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
第三章 屈服准则
(yield criteria)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
弹塑性计算分 析的首要条件
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
这条曲线如图所示的红色曲线. 如果一个应力状态在这条曲线
• 下一章来解决材料屈服后的应力应变的本构关系.
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
1. 屈服
物体受到荷载作用后，
随着荷载增大，由弹性状
态到塑性状态的这种过渡，
叫做屈服。
加载路径
2. 屈服条件
屈服点
物体内某一点开始产 生塑性应变时，应力或应 变所必需满足的条件，叫 做屈服条件。
only twist
Twist and extension
著名的Taylor和Quinney铜管拉扭 屈服试验(1931)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
3. 屈服函数
一般情况下，屈服条件 与应力、应变、时间、温度 等有关，而且是它们的函数， 这个函数F称为屈服函数。
在不考虑时间效应(如应 变率)和温度的条件下：
在不考虑应力主轴旋转 情况下，可以用三个主应力 分量或应力不变量表示：
F( ij ,ij ,t,T ) 0
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
第三章 屈服准则
(yield criteria)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
弹塑性计算分 析的首要条件
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
这条曲线如图所示的红色曲线. 如果一个应力状态在这条曲线
弹塑性力学第三章
2019/8/31
6
§3-2 应变张量和转动张量
2.1 相对位移矢量和相对位移张量
PQ 平 移P'Q'' 伸 长 ＋ 转 P'Q 动 '
Q ''Q ' du dr'dr x3
dr
Q
u+du
——相对位移矢量
P
P
u
r
o
x2
x1
Q’’ Q’
P’
P’ dr
2019/8/31
2
§3-1 位移和（工程）应变
1.1位移
x3
P
P
u
P’
o r x2
x1
变形体任意点P的位移矢量 uuiei
u有三个分量。
2019/8/31
3
§3-1 位移和（工程）应变
1.2 (工程)应变
工程应变是通常工程中描述物体局部几何 变化，分为正应变和剪应变。
夹角的l l，改（变角量变。形）＝两微元线段 （工程）正应变：11、22、33 ， （工程）剪应变：12=xy、23=yz、31=zx
211(233112 )
x2x3 x1 x1 x2 x3
2019/8/31
26
§3-5 变形协调条件（相容条件）
211(233112 )
x2x3 x1 x1 x2 x3
222(311223 )
x3x1 x2 x2 x3 x1
2019/8/31
19
§3-4 主应变、应变方向应变张量的三个不
变量
Ⅰ ＝ 1 1 2 2 3 3 1 2 3 e
——体积应变
第三章-弹塑性断裂力学PPT课件
（20）
对弹塑性情况， δ可由弹性的δe和塑性的δp两部分
组成，即：
.
27
e P
（21）
式中， δe为对应于载荷P的裂纹尖端弹性张开位移，
（1）D-B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹线两边 延伸呈尖劈带状；塑性区的材料为理想塑性状态，整 个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围；塑性
区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力σs 。
.
9
于是，可以认为模型在远场均匀拉应力σ作用下
裂纹长度从2a延长到2c，塑性区尺寸R=c-a，当以带 状塑性区尖端点c为“裂尖”点时，原裂纹（2a）的 端点的张开量就是裂纹尖端张开位移。
按等效原则，令非贯穿裂纹的等于无限大板中心穿透裂纹
的，则等效穿透裂纹长度为：. a*= α2 a
（17）
22
（c）材料加工硬化修正
考虑材料的加工硬化修正，可用流变应力σf代替 屈服点，对于σs =200~400MPa的低碳钢，一般取：
σf =0.5（ σs + σb）
(18)
式中σb为材料的抗拉强度。
δ与应变e、裂纹几何和材料性能之间的关系，即引入 应变这一物理量。
由含中心穿透裂纹的宽板拉伸试验，可绘出无量 钢COD即/2esa 与标称应变 e / e s 之间的关系曲线 。
.
16
其中es是相应于材料屈服点σs的屈服应变，a是裂 纹尺寸，标称应变e是指一标长下的平均应变，通常 两个标点取在通过裂纹中心而与裂纹垂直的线上。
R
a
sec
2
s
1
若将 s e c 按级数展开，则 2 s
12 54 sec2s 122s242s
2
当
塑性力学第三章
•
弹性应变增量偏张量与应力增量偏张量成线 性关系： dee 1 dS ij ij 2G
且：
e deij deijp deij
•
1 dSij d Sij 所以有：deij 2G
3 塑性本构关系_3.7
Levy-Mises 流动 法则和Prandtl-Reuss流动法则
Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则
3 塑性本构关系_3.7
Levy-Mises 流动 法则和Prandtl-Reuss流动法则
Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则
•
（1）1924年，L.Prandtl将Levy-Mises关系 式推广应用于塑性平面应变问题。
－－－（i）：考虑塑性状态下的弹性变形部 分，并认为弹性变形服从Hooke定律。
－－－（ii）：假定塑性应变增量张量和应力 偏张量相似且同轴线。
3 塑性本构关系_3.7
Levy-Mises 流动 法则和Prandtl-Reuss流动法则
Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则
•
（2）1930年，A.Reuss把L.Prandtl应用在 平面应变的这个假设推广到一般三维问题。
边界条件：
•
按位移求解和按应力求解。
•在弹性和塑性交界处还要满足连续条件。
3 塑性本构关系_3.5
•
•
全量理论的适用 范围简单加载定律
全量理论适用于： （1）小变形＋（2）简单加载
简单加载：在加载过程中物体内每一点的各个应力分 量按比例增长的。即在简单加载时，各应力分量与一个 共同的参数成比例，即：
3 塑性本构关系_3.2
达为：
广义Hooke定律
考博弹塑性力学,第三章
M
h/2 h/2
M
x
y
l ( l >>h)
第三章
平面问题的直角坐标解答
本题属于平面应力问题,且为单连体， Φ 若按 Φ 求解， 应满足相容方程及 S = Sσ 上的应力边界条件。 求解步骤： ⑴ 由逆解法得出，可取 Φ = ay ，且满足 4 ∇ Φ=0 ⑵ 求出应力分量 σ x = 6ay, σ y = τ xy = 0 (a)
3Ah 3Ah
o
3Ah
h/2 h/2 l 3Ah (a)
x
y
第三章
平面问题的直角坐标解答
（2）对于坐标轴不同，可以解决不同的问 题。对于图(b)所示的坐标系，可解决矩形截 面梁的偏心受拉问题；对于图(c)所示的坐标 系，则可解决偏心受压问题。
o h 6Ah y l (b) 6Ah y x 6Ah o h l (c) x 6Ah
3
第三章
平面问题的直角坐标解答
⑶ 检验应力边界条件，原则是: a.先校核主要边界（大边界），必须 精确满足应力边界条件。 b.后校核次要边界（小边界），若不 能精确满足应力边界条件，则应用圣维南 原理，用积分的应力边界条件代替。
第三章
平面问题的直角坐标解答
对于主要边界 y = ± h / 2
(σ y ) y=± h/2 = 0, (τ xy ) y =± h / 2 = 0
(a)
( lσ
x
+ mτ xy ) = f x ,
S
( lτ
xy
+ mσ y ) = f y
S
(b )
⑶ 多连体中的位移单值条件。
(c)
第三章
平面问题的直角坐标解答
对于单连体，(c)是自动满足的。只 须满足条件(a)和(b)。 由 Φ 求应力分量的公式：
h/2 h/2
M
x
y
l ( l >>h)
第三章
平面问题的直角坐标解答
本题属于平面应力问题,且为单连体， Φ 若按 Φ 求解， 应满足相容方程及 S = Sσ 上的应力边界条件。 求解步骤： ⑴ 由逆解法得出，可取 Φ = ay ，且满足 4 ∇ Φ=0 ⑵ 求出应力分量 σ x = 6ay, σ y = τ xy = 0 (a)
3Ah 3Ah
o
3Ah
h/2 h/2 l 3Ah (a)
x
y
第三章
平面问题的直角坐标解答
（2）对于坐标轴不同，可以解决不同的问 题。对于图(b)所示的坐标系，可解决矩形截 面梁的偏心受拉问题；对于图(c)所示的坐标 系，则可解决偏心受压问题。
o h 6Ah y l (b) 6Ah y x 6Ah o h l (c) x 6Ah
3
第三章
平面问题的直角坐标解答
⑶ 检验应力边界条件，原则是: a.先校核主要边界（大边界），必须 精确满足应力边界条件。 b.后校核次要边界（小边界），若不 能精确满足应力边界条件，则应用圣维南 原理，用积分的应力边界条件代替。
第三章
平面问题的直角坐标解答
对于主要边界 y = ± h / 2
(σ y ) y=± h/2 = 0, (τ xy ) y =± h / 2 = 0
(a)
( lσ
x
+ mτ xy ) = f x ,
S
( lτ
xy
+ mσ y ) = f y
S
(b )
⑶ 多连体中的位移单值条件。
(c)
第三章
平面问题的直角坐标解答
对于单连体，(c)是自动满足的。只 须满足条件(a)和(b)。 由 Φ 求应力分量的公式：
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33
2
x1
2
11
2
x3
2
2
31
2
x3 x1
33
u3 x3
22
u2 x2
31
1 u3 u1 ( ) 2 x1 x3
2012-9-28
25
§3-5 变形协调条件（相容条件）
23 x1
2
31 x2
PQ P Q P Q
' '' ' 平移 伸长＋转动 '
' Q Q du dr dr
'' '
x3
dr
P
Q P
u+du u
Q’’ Q’ P’
P’
——相对位移矢量
o
x1
r
dr
x2
2012-9-28
7
§3-2 应变张量和转动张量
2.1 相对位移矢量和相对位移张量
11 21 31
12 22 32
23 33
13
11 2 21 2 31
2 12
22
2 32
2 13 2 23 33
2012-9-28
17
§3-3 应变张量和转动张量的坐 标变换式
U ij ui , j 1 2 (ui , j u j ,i ) 1 2 (ui , j u j ,i )
或
U ij ui , j ij ij
10
2012-9-28
§3-2 应变张量和转动张量
其中
ij
1 2
(ui , j u j ,i )
ij
29
§3-5 变形协调条件（相容条件）
对于多连域附加补 充条件办法为： 假想通过适当截断， 使域为单连域.
a
u
-
u+
b
在截断面 ab 两侧 u+i = u -i即为补充条件。
2012-9-28
30
作业：
1. 给定位移分量 u1= cx1(x2+x3)2, u2=cx2(x1+x3)2,u3=cx3(x1+x2)2 此处c为一个很小的常数，求应变张量ij 和转 动张量 ij 。 2. 将直角坐标系绕x3轴转动角，求新坐标系 应变分量的转换关系。
2012-9-28 28
§3-5 变形协调条件（相容条件）
结论： 应变张量 ij 满足变形协调方程是保证 单连域的位移单值连续解存在的必要和充 分条件。 对于复连域还需附加补充条件——位移单值 条件。 单连域：变形体内的任何一条封闭线当缩小时 均能变为一点，当不满足时为多连域。
2012-9-28
第三章 应变分析
§3-1 位移和（工程）应变 §3-2 应变张量和转动张量 §3-3 应变张量和转动张量的坐标变换式 §3-4 主应变、主应变方向、应变张量
的三个不变量
§3-5 变形协调条件（相容条件）
2012-9-28 1
§3-1 位移和（工程）应变
在第二章我们研究了应力张量本身和 体力、面力之间的关系式，即平衡规律。 本章将讨论变形体研究的另一个基本关系： 变形与位移之间的关系。当然要以小变形 假设为基础，位移和形变相对于变形体几 何尺寸是微小的。
2
12 x3
u3
2
(
u2 x1x3
u3 x1x2
x1x2
u1
2
x2 x3
u1
2
x2 x3
u2
2
x1x3 2
)
1
u1
2
x2 x3
11
2
x2 x3
x1
(
23 x1
31 x2
12 x3
，（角变形）＝两微元线段 l 夹角的改变量。
l
（工程）正应变：11、22、33 ， （工程）剪应变：12=xy、23=yz、31=zx
2012-9-28
4
§3-1 位移和（工程）应变
工程应变共有六个分量：
三个正应变，正应变以伸长为正，
三个剪应变，剪应变以使直角变小为正。
x3
dx1 dx3 P x1
根据商法则 令
du U dr
U ui , j ei e j U ij ei e j
为一个二阶张量——相对位移张量
2012-9-28
9
§3-2 应变张量和转动张量
2.2 应变张量和转动张量 相对位移张量 ui,j 包含了变形和刚体转动， 为了将两者分开，对 ui,j 进行整理，张量分成 对称和反对称张量之和。
2012-9-28
dx2 x2
x3
22dx2
x1
P
x2
23
5
§3-2 应变张量和转动张量
应变张量和转动张量是描述一点变形 和刚体转动的两个非常重要的物理量，本 节将讨论一下它们与位移之间关系，在讨 论之前，先介绍一下相对位移矢量和张量.
2012-9-28
6
§3-2 应变张量和转动张量
2.1 相对位移矢量和相对位移张量
类似可得，其它两个坐标平面转动矢量， 2 e2 1e1
2012-9-28 15
§3-2 应变张量和转动张量
综合三个坐标面的转动矢量 ： 1 k ek eijkijek 2
为转动张量的对偶矢量。
2012-9-28
16
§3-2 应变张量和转动张量
比较工程应变定义和应变张量，可得：
)
x1x2
(
12 x3
23 x1
)
2012-9-28
27
§3-5 变形协调条件（相容条件）
用指标符号表示：
ij ,kl kl ,ij ik , jl jl ,ik 0
或 用张量表示：
emij enkl ik , jl 0
0
u i du ei dx j x j
u ui ei
r x je j
——（ a）
而
dx j e j dr ——(b)
dr dx j e j
将（b）式代入（a）式，得
2012-9-28 8
§3-2 应变张量和转动张量
du ui , j ei e j dr
2012-9-28
2
§3-1 位移和（工程）应变
1.1位移
x3
P
P
u
P’
o x1
r
x2
变形体任意点P的位移矢量 u ui ei
u 有三个分量。
2012-9-28
3
§3-1 位移和（工程）应变
1.2 (工程)应变
工程应变是通常工程中描述物体局部几何 变化，分为正应变和剪应变。
21
§3-5 变形协调条件（相容条件）
ij
1 2 (u i , j u j ,i )
因为ij 仅包含形变，由其求出位移时，刚体位 移是无法确定的，因此，位移 u 无法确定。
ij 分量之间必须满足一定的条件（方程），才 能由几何方程积分求出单值连续的位移场ui、
ij的分量必须满足的方程称为变形协调方程
在 xk 坐标系中，已知变形体内任一点应 变张量 kl 和转动张量 kl ，则在新笛卡尔坐 标系x’i中此点应变张量’ij和 ’ij 均可以通
过二阶张量的坐标转换式求出它们。 即：
Q
' ij
ik
'
Q
kl jl
'
ij Q
'
ik
'
Q
kl jl
'
Qi 'k
' ei ek Qki '
11，12= 21，22 纯变形
12= -21 纯转动
2012-9- 转动张量的对偶矢量
由纯刚体转动可见，12= -21，正好相当 于一个沿 x3 轴方向的转动矢量3e3，方向 e3 为 ，其大小 3:
3
1 2 (12 21 ) 1 2 (e12312 e213 21 )
§3-4 主应变、应变方向应变张量的三个不 变量 Ⅰ＝ 11 22 33 1 2 3 e
——体积应变
Ⅱ ＝ 1 2 2 3 31
Ⅲ 1 2 3
当 1 2 3 时（三个主应变不相等）， 三个主方向相互垂直。
x2
R dx2=1 P
dx1=1
Q
x1
2012-9-28
12
§3-2 应变张量和转动张量
x2 u 2 ,1 R’
u2 , 2
x2
R’’
u1,1 u1, 2 u2,1 u 2 , 2
Q’
dx2=1
R P’
相对位移
u1 , 2 x1
Q’’
dx2=1 P u1 、 u2 dx1=1 Q
dx1=1 u , 1 1 x1
或相容方程。
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22
§3-5 变形协调条件（相容条件）
变形协调方程共有六个，可由几何方程直 接导出。即：
11
2
x2
2
22
2
x1
2
2
12
2
x2 x1
11
2
x1
2
11
2
x3
2
2
31
2
x3 x1
33
u3 x3
22
u2 x2
31
1 u3 u1 ( ) 2 x1 x3
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25
§3-5 变形协调条件（相容条件）
23 x1
2
31 x2
PQ P Q P Q
' '' ' 平移 伸长＋转动 '
' Q Q du dr dr
'' '
x3
dr
P
Q P
u+du u
Q’’ Q’ P’
P’
——相对位移矢量
o
x1
r
dr
x2
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7
§3-2 应变张量和转动张量
2.1 相对位移矢量和相对位移张量
11 21 31
12 22 32
23 33
13
11 2 21 2 31
2 12
22
2 32
2 13 2 23 33
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17
§3-3 应变张量和转动张量的坐 标变换式
U ij ui , j 1 2 (ui , j u j ,i ) 1 2 (ui , j u j ,i )
或
U ij ui , j ij ij
10
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§3-2 应变张量和转动张量
其中
ij
1 2
(ui , j u j ,i )
ij
29
§3-5 变形协调条件（相容条件）
对于多连域附加补 充条件办法为： 假想通过适当截断， 使域为单连域.
a
u
-
u+
b
在截断面 ab 两侧 u+i = u -i即为补充条件。
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30
作业：
1. 给定位移分量 u1= cx1(x2+x3)2, u2=cx2(x1+x3)2,u3=cx3(x1+x2)2 此处c为一个很小的常数，求应变张量ij 和转 动张量 ij 。 2. 将直角坐标系绕x3轴转动角，求新坐标系 应变分量的转换关系。
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
结论： 应变张量 ij 满足变形协调方程是保证 单连域的位移单值连续解存在的必要和充 分条件。 对于复连域还需附加补充条件——位移单值 条件。 单连域：变形体内的任何一条封闭线当缩小时 均能变为一点，当不满足时为多连域。
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第三章 应变分析
§3-1 位移和（工程）应变 §3-2 应变张量和转动张量 §3-3 应变张量和转动张量的坐标变换式 §3-4 主应变、主应变方向、应变张量
的三个不变量
§3-5 变形协调条件（相容条件）
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§3-1 位移和（工程）应变
在第二章我们研究了应力张量本身和 体力、面力之间的关系式，即平衡规律。 本章将讨论变形体研究的另一个基本关系： 变形与位移之间的关系。当然要以小变形 假设为基础，位移和形变相对于变形体几 何尺寸是微小的。
2
12 x3
u3
2
(
u2 x1x3
u3 x1x2
x1x2
u1
2
x2 x3
u1
2
x2 x3
u2
2
x1x3 2
)
1
u1
2
x2 x3
11
2
x2 x3
x1
(
23 x1
31 x2
12 x3
，（角变形）＝两微元线段 l 夹角的改变量。
l
（工程）正应变：11、22、33 ， （工程）剪应变：12=xy、23=yz、31=zx
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4
§3-1 位移和（工程）应变
工程应变共有六个分量：
三个正应变，正应变以伸长为正，
三个剪应变，剪应变以使直角变小为正。
x3
dx1 dx3 P x1
根据商法则 令
du U dr
U ui , j ei e j U ij ei e j
为一个二阶张量——相对位移张量
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9
§3-2 应变张量和转动张量
2.2 应变张量和转动张量 相对位移张量 ui,j 包含了变形和刚体转动， 为了将两者分开，对 ui,j 进行整理，张量分成 对称和反对称张量之和。
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dx2 x2
x3
22dx2
x1
P
x2
23
5
§3-2 应变张量和转动张量
应变张量和转动张量是描述一点变形 和刚体转动的两个非常重要的物理量，本 节将讨论一下它们与位移之间关系，在讨 论之前，先介绍一下相对位移矢量和张量.
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6
§3-2 应变张量和转动张量
2.1 相对位移矢量和相对位移张量
类似可得，其它两个坐标平面转动矢量， 2 e2 1e1
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§3-2 应变张量和转动张量
综合三个坐标面的转动矢量 ： 1 k ek eijkijek 2
为转动张量的对偶矢量。
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16
§3-2 应变张量和转动张量
比较工程应变定义和应变张量，可得：
)
x1x2
(
12 x3
23 x1
)
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
用指标符号表示：
ij ,kl kl ,ij ik , jl jl ,ik 0
或 用张量表示：
emij enkl ik , jl 0
0
u i du ei dx j x j
u ui ei
r x je j
——（ a）
而
dx j e j dr ——(b)
dr dx j e j
将（b）式代入（a）式，得
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§3-2 应变张量和转动张量
du ui , j ei e j dr
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2
§3-1 位移和（工程）应变
1.1位移
x3
P
P
u
P’
o x1
r
x2
变形体任意点P的位移矢量 u ui ei
u 有三个分量。
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3
§3-1 位移和（工程）应变
1.2 (工程)应变
工程应变是通常工程中描述物体局部几何 变化，分为正应变和剪应变。
21
§3-5 变形协调条件（相容条件）
ij
1 2 (u i , j u j ,i )
因为ij 仅包含形变，由其求出位移时，刚体位 移是无法确定的，因此，位移 u 无法确定。
ij 分量之间必须满足一定的条件（方程），才 能由几何方程积分求出单值连续的位移场ui、
ij的分量必须满足的方程称为变形协调方程
在 xk 坐标系中，已知变形体内任一点应 变张量 kl 和转动张量 kl ，则在新笛卡尔坐 标系x’i中此点应变张量’ij和 ’ij 均可以通
过二阶张量的坐标转换式求出它们。 即：
Q
' ij
ik
'
Q
kl jl
'
ij Q
'
ik
'
Q
kl jl
'
Qi 'k
' ei ek Qki '
11，12= 21，22 纯变形
12= -21 纯转动
2012-9- 转动张量的对偶矢量
由纯刚体转动可见，12= -21，正好相当 于一个沿 x3 轴方向的转动矢量3e3，方向 e3 为 ，其大小 3:
3
1 2 (12 21 ) 1 2 (e12312 e213 21 )
§3-4 主应变、应变方向应变张量的三个不 变量 Ⅰ＝ 11 22 33 1 2 3 e
——体积应变
Ⅱ ＝ 1 2 2 3 31
Ⅲ 1 2 3
当 1 2 3 时（三个主应变不相等）， 三个主方向相互垂直。
x2
R dx2=1 P
dx1=1
Q
x1
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§3-2 应变张量和转动张量
x2 u 2 ,1 R’
u2 , 2
x2
R’’
u1,1 u1, 2 u2,1 u 2 , 2
Q’
dx2=1
R P’
相对位移
u1 , 2 x1
Q’’
dx2=1 P u1 、 u2 dx1=1 Q
dx1=1 u , 1 1 x1
或相容方程。
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
变形协调方程共有六个，可由几何方程直 接导出。即：
11
2
x2
2
22
2
x1
2
2
12
2
x2 x1
11