弹塑性力学第一章弹塑性力学绪论资料
弹塑性力学 第01-0章绪论
静力学： 物体的平衡条件--平衡微分方程和应力边界条件。 几何学： 位移与应变的关系--变形协调关系（几何方程和 位移边界条件）。 物理学： 应力与应变（或应变增量）的关系--本构关系。 如在材料力学中推导扭转切应力、弯曲正应力 时都应用了上述关系。
8、求解弹塑性力学问题的数学方法
由几何方程、物理方程、平衡方程及力和位移的边 界条件求出位移、应变、应力等函数。 精确解法：能满足弹塑性力学中全部方程的解。例 如运用分离变量法将偏微分方程组解耦并化为常微分方 程组进行求解，另外还有级数解法、复变函数解法、积 分变换等。 近似解法：根据问题的性质采用合理的简化假设而 获得近似结果；如有限元法、边界元法、有限差分法 等。
ε ≤ ε s 时，σ = Eε ε > ε s 时，σ = σ s sign ε
⎧1, 当 σ > 0 ⎪ ⎪ sign σ = ⎨0, 当 σ = 0 ⎪ ⎪ ⎩-1, 当 σ < 0
εs = σs E
4、线性强化（硬化）弹塑性模型
假设拉伸和压缩时屈服应力 的绝对值和强化模量E’都相同， 当不卸载时，应力—应变关系可 以写成
如：梁的弯曲问题
弹性力学
材料力学
当 l >> h 时，两者误差很小。
材料力学计算简单而结果往往是近似的，但不少情 况下精度可以满足工程要求的 变截面杆的分析
o
σ (x )
σ
(x )
? P
P x
τ (x )
二、弹塑性力学的基本假设
¾ 连续性假设，应力、应变和位移都可以用坐标的 连续函数表示，便于应用连续和极限的概念。 ¾ 均匀性假设，物体各部分的物理性质都相同，并 不会随坐标位置的改变而发生变化。 ¾ 各向同性假设，物体在各个方向具有相同的物理 性质，弹性常数不随坐标方向的改变而改变。
[工学]第1章 岩土弹塑性力学
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(9)传统塑性理论中，材料的弹性系数与塑性变形无关，称为弹塑 性不耦合。而岩土塑性理论中，有时要考虑弹塑性耦合，即弹性 系数随塑性变形发展而减少
岩土塑性力学的基本内容
(1)岩土类材料的塑性本构关系理论与模型 (2)岩土类材料的极限分析理论 (3)它们在岩土工程设计和施工中的应用
弹性本构关系的基本特征
岩石力学性质
弹性 塑性 粘性
体力和面 力Fi，Ti
位移ui
平衡
本构关系
相容性 （几何）
应力ij
应变ij
固体力学问题解法中各种变量的相互关系
§1-2 应力状态
1 应力张量
•应力状态——一点所有截面应力矢量的集合。
x xy xz 11 12 13
ij yx y yz 21 22 23
塑性阶段：研究材料在塑性阶段内的受力与变形，这阶 段内的应力应变关系要受到加载状态、应力水平、应力 历史与应力路径的影响。 差别：在应力与应变之间的物理关系不同，即本构关系 不同。 本质差别：在于材料是否存在不可逆的塑性变形
弹性阶段：应力与应变之间的关系是一一对应的，这种应力和 应变之间能建上一一对应关系的称全量关系
第一章 岩土弹塑性力学
弹塑性力学第01章
学习目的
弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，而 且理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要是 它的基本方程－偏微分方程边值问题数学上求解的困难。由 于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解 法是弹性力学发展中的特色。近似求解方法，如差分法和变 分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限元方法， 为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。 弹性力学课程的主要学习目的是使学生掌握分析弹性体 应力和变形的基本方法，为今后进一步的研究实际工程构件 和结构的强度、刚度、可靠性、断裂和疲劳等固体力学问题 建立必要的理论基础。
钱学森，著名科学家。我国 近代力学事业的奠基人之一。 在空气动力学、航空工程、 喷气推进、工程控制论、物 理力学等技术科学领域做出 许多开创性贡献。为我国火 箭、导弹和航天事业的创建 与发展做出了卓越贡献，是 我国系统工程理论与应用研 究的倡导人。1991年10月 16日，国务院、中央军委 授予钱学森"国家杰出贡献 科学家"荣誉称号和一级英 雄模范奖章。
粘弹性?
§1-2 弹塑性力学的研究内容
弹塑性力学是固体力学的一个重要分支， 是研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门学 科，它推理严谨，计算结果准确，是分析和 解决许多工程技术问题的基础和依据。
目录
CH1 绪论 CH2 弹性力学基本理论 CH3 弹性力学平面问题 CH4 弹性力学空间问题 CH5 薄板的小挠度弯曲 CH6 弹性力学问题的变 分解法 CH7 简单应力状态下的弹 塑性问题 CH8 应力应变分析和屈服 条件 CH9 塑性本构关系 CH10 简单弹塑性问题 CH11 理想刚塑性体的平 面应变问题 CH12 结构的塑性极限分 析
弹塑性力学 陈明祥版的 课后习题答案++汇总
七、张量概念及其基本运算（附录一）
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具 。
◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。
◆ 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的， 它们是不以人们的意志为转移的。
静力学：研究力系或物体的平衡问题，不涉及 物体运动状态的改变；如飞机停在地 面或巡航。
运动学：研究物体如何运动，不讨论运动与受 力的关系； 如飞行轨迹、速度、 加速度。
动力学：研究力与运动的关系。 如何提供加速度？
● 按研究对象分：
◆ 一般力学： 研究对象是刚体。研究力及其与
运动的关系。分支学科有理论力学，分析力学等。
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所 占有的全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内 部各点处，以及每一点处各个方向上的 物理性质相同。
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ； （B）弹塑性假设。
⑷ 几何假设——小变形条件
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定： （A）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以
◆ 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们 当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题 的求解与表述。
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明
的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。
◆ห้องสมุดไป่ตู้在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向
弹塑性力学第一章绪论
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§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
5.1 力学中常用的物理量
1.标量：
只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选择无关。 用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量无下标。
诌脱揣刻迂釜斌谬痔垫会弘猜签伞汉相驶菱慈珠妙萌惦枣肘扯撕砾络眉洋《弹塑性力学》第一章 绪论《弹塑性力学》第一章 绪论
参考书目
碉自冯冯伦瀑瓣且柄愤烯桃珊骡逆谩焰舆缀隆坯汾烂样鬼彼邱护堤狰轿讳《弹塑性力学》第一章 绪论《弹塑性力学》第一章 绪论
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§1-1 弹塑性力学的任务和对象
第一章 绪论
§1-2 基本假设和基本规律
§1-3 弹性力学的研究方法
§1-4 弹性力学的发展梗概（略）
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张 量基本知识
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§1-2 基本假设和基本规律
假设3：小变形假设。物体在外因作用下，物体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。
假设4：应力与应变关系为线性。此假设适用于线弹性理论。
墒拐疙交峨扳令毯阻仙宛零盾蹿偏由净砒辈爱孵寨碧酣剥低麻针把雷体踏《弹塑性力学》第一章 绪论《弹塑性力学》第一章 绪论
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§1-2 基本假设和基本规律
数学方法：精确解法（解析解）、近似解法、 数值解法。 实验方法：电测方法、光测方法等。
§1-4 弹性力学的发展梗概（略）
今奶椽四拌怪鳞蕉姜谷菠颁功怨宗萤驮眯澜欠绸张懒龚菇喜然烤鸯弗啡棵《弹塑性力学》第一章 绪论《弹塑性力学》第一章 绪论
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§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张 量基本知识
由 ij 定义及哑标、自由标定义，可得：
北驮藻稗热椿簇痔逛匪拎烧曲承倦彰砚滋尽孽揩轰俐碱失瓜轧搪疟贮市活《弹塑性力学》第一章 绪论《弹塑性力学》第一章 绪论
弹塑性力学第一章
1. INTRODUCTION1.1. Elasticity and plasticityEssential properties of deformable bodies subjected to external force or other external action are elastic and plastic behavior. As discussed in the discipline of mechanics of materials, that is, if the external forces producing deformation do not exceed a certain limit, that is so called yield criteria, the deformation disappears with the removal of the forces, then we consider this properties as elasticity. Otherwise, the deformation do not disappeared after removal of the forces, then we consider the property as plasticity. Another main difference between perfect elasticity and plasticity, in mathematical view, is a linear problem and a nonlinear problem, respectively.The atom forces in the material internal structure determine the mechanism of this two kind deformation. In fact, the internal structure of solid materials is always stable, on the basis of balance forces between atoms in solids. The suction force makes the atoms tend to close up to each other, and the repulsion force makes the atoms maintain some reasonable distance. In normal cases, these two forces are in Equilibrium State. Atomic structure will not be considered here. It will be interested in the macroscopically response only. When a solid body is subject to external loading, there are two different responses: elastic response and plastic response.Elastic deformation is a simple case easy to be understood. Plastic deformation is a more complex case. Figure 1.1 show the typical curve for a simple tension specimen of metal. The initial elastic region generally appears as a straight line OA, where Adefines the limit ofproportionality.On furtherstraining, the relation betweenstress and strain is no longerlinear but the material is stillelastic, and upon release of theload, the specimen reverts to itsoriginal length. The maximumstress point B at which the loadcan be applied without causingany permanent deformation Fig.1.1 Stress-strain diagram for an annealed cast-steelspecimen.(a) (b) (c) (d)Fig. 1.2 Stress-strain diagrams: (a) ductile metal, (b) cast iron and glass, (c) typical concrete or rock,(d) soils, triaxial compression. (Experimental data taken from reference [15].)defines the elastic limit . The point B is also called the yield point , for it marks the initiation of plastic or irreversible deformation. Usually, there is very little difference between the proportional limit, A, and the elastic limit, B. The behavior in the flat region BC is generally referer to as plastic flow . After C the material is exhibited strain hardening or also known as work hardening. Over some point D the material may be exhibit strain softening, as shown in figure 1.1.Now, consider the unloading from some point E beyond the yield point. The behavior is as indicated in figure 1.1. That is, when the stress is reduced, the strain decreases along an almost elastic unloading line OA .So we say that the unloading obey the elastic rule.Fig. 1.2 is the typical graph of stresses versus relative elongation (compression) for four kinds of materials.1.2. Basic hypothesisThe subject of theory of elasticity and plasticity is concerned with the deformation and motion of elastic-plastic bodies or structures under the action of applied load or other disturbances. The general assumptions employed in the study of theory of elasticity and plasticity are the same as those used in the mechanics of continuous medium. Therefore, throughout this book, we have: (a), continuum hypothesis, we shell suppose that the macroscopic behavior of the solid bodies is the same as if they were perfectly continuous in structure; and physical quantities such as the mass and momentum associated with the matter contained within a given small volume will be regarded as being spread uniformly and without any caves, cracks and discontinuous.(b), Uniform hypothesis and isotropic hypothesis, that is, the materials of elastic-plastic body is homogeneous and uniformly distributed over its volume so that the smallest element cut from the body possesses the same specific physical properties as the body. The elastic properties are the same in all directions. (c), small deformation hypothesis, in this book, we discuss small deformation only.1.3. Historical remarksBefore the engineering design of structures, one must not only know the internal force field acting on the structural material and but also know the material response. It means that we need give an analysis of the stresses, deformation and displacement of structural elements. Therefore we have to know the constitutive relation of materials. Seeking some methods to solve these problems, many researchers have continually studied for over 2000 years.The pioneering works of theory of elasticity and plasticity are given by Augustin Cauchy (1789-1857), Marie-Henri Navier (1785-1836), Leonard Euler (1707-1783), Simon Denis Poisson (1781-1840), Barre de Saint-venant (1797-1886), Nikolai Ivanobich Mushihailishibili (1691-1976),Ludwig Prandtl (1875-1858), Thomas Young (1773-1829), Richard von Mises (1883-1953), and many others.The general principles employed in the study of theory of elasticity and plasticity are the same as those used in studying the mechanics of continuous medium. Their basic formulations can be attributed primarily to the work of Euler and Cauchy. Euler first brought forward the general principles of linear and angular momentum balance for continuous media upon which rest all continuum mechanics, including theory elasticity and plasticity. Cauchy first given the concept of the stress and strain at a point and also found the general differential equations of motion or equilibrium of a continuum in term of the stress. Cauchy’s work on elasticity provided a detailedkinematical theory of strain and deformation. The extension of the mathematical theory to more general solids was first made by Navier in 1821 using special assumption concerning the molecular forces of elastic solids. Technical application began earliest in 1855, when Saint-Venant solved the problem of the twisting of prismatic bars and worked out detailed numerical results. Saint-Venant also took up the problem of plastic flow and developed two-dimensional governing equations which were subsequently generalized to three dimensions by M.Levy in 1871. In 1864 H. Tresca reported experiments to the French Academy, which suggested that the plastic yielding of a metal occured when the maximum shear stress reached to a critical value. After Tresca in 1913 R.V on Mises published his yield condition theory based on theory of distortional energy.In the last century (1901-2000) the theory of elasticity and plasticity have rapidly developed in theory and engineering practical. Many great contributors should be mentioned. Such as B.G.Galerkin, G.R.Kirchhoff, S.P.Timoshenko, grange, A.Nadai, A.A.Il’yushin, W.W.Sokolovsky, W.Prager, R.Hill, Kh.A.Rakhmatulin, G.I.Taylor, P.Perzyna, and many others.In this period, especially in last 50 years, theory of elasticity and plasticity rapidly developed in China too. Qian Xueshen, Qian Weichang, Hu Haichang ,Wang Ren, Huang Kezhi, Xu Benye,Wu Jike, Huang zhuping, Gao yuchen, Wang ziqiang, and many others developed the theory of elasticity and plasticity, specially in the engineering applications. In this period published many valuable books about elasticity and plasticity on theoretical and engineering application.。
弹塑性力学-01
材料力学的研究对象
2
弹性力学 • 研究对象－块体板壳
弹塑性力学 • 研究对象广泛 • 数学方法
3
构件的四项基本要求
•强 •刚 度：抵抗破坏（断裂或过量塑性变形）的 度：抵抗弹性变形的能力。
能力。 • 稳定性：保持其原有平衡状态的能力。
•韧
性：抵抗大塑性变形而不破裂的能力。
4
基本任务
• 研究可变形固体受到外载荷、温度变化及边界约束
1-2
弹塑性力学的基本任务
• 工程问题的对象是结构
• 结构的功能——承受载荷
• 结构的基本单元——构件
• 构件的属性 – 承受载荷、可变形、由固体材料构成
1
构件的种类——杆件、板、壳、块体
材料力学 • 研究对象－杆件
结构力学 • 研究对象－杆系
弹塑性力学 给出用材料力学和结构力学方 法无法准确求解问题的解法 给出材料力学和结构力学无法 给出的可靠性和精确度的度量
边界条件
边值问题 求解
对工程 问题作 出评价
20
1-5 弹塑性力学中的基本假设
• 按照物体的性质以及求解的范围，忽
略一些可以暂不考虑的因素，而提出 一些基本假设，使所研究的问题限制
在方便可行的范围以内。
21
一、连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。 （应力应变和位移等力学量可以用坐标的连续函数表示，可 用微积分数学工具） 二、均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。 三、各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全 相同。（这样的材料称为各项同性材料；沿各方向的力学 性质不同的材料称为各项异性材料。） 四、小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形 与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其 变形。 五、无初应力，物体原来处于一种无应力的自然状态，在外力 作用之前，物体内各点应力为零 22
弹塑性力学基础
◆ 应力：受力物体
内某点某截面上内 力的分布集度。
lim Fn A0 A
dFn dA
n
lim Fn A0 A
dFn dA
nt
应力
正应力 剪应力
必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。
2、应力状态的概念：受力物体内某点处所取
无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态
阐明了应力、应变的概念和理论； 弹性力学和弹塑性力学的基本理论框架 得以确立。
七、张量概念及其基本运算（附录一）
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具 。
◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。
◆ 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的， 它们是不以人们的意志为转移的。
◆ 表示应力的及符号规则：
正应力： xx
剪应力： xy
x
第一个字母表明该应力作 用截面的外法线方向同哪一
个坐标轴相平行。
第二个字母表明该应力的
指向同哪个坐标轴相平行。
◆ 应力的正负号规则：
3.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
运动的关系。分支学科有理论力学，分析力学等。
◆ 固体力学：研究对象是可变形固体。研究材料
变形、流动和断裂时的力学响应。其分支学科有： 材料力学、结构力学、弹性力学、 塑性力学、 弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。
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１、弹塑性本构关系
本构关系是指材料内任意一点的应力－应变之间的关 系，是材料本身的物理特性所决定的。弹性本构关系 是广义胡克定律，而塑性本构关系远比弹性本构关系 复杂。在不同的加载条件下要服从不同的塑性本构关 系。塑性本构关系有增量理论和全量理论。
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２．研究荷载作用下物体内任意一点的应力和变形 在荷载作用下，物体内会产生内力，因此通常
广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支：
各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性
弹性力学，考虑温度影响的热弹性力学，研究固体同气
体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以及粘
弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。
此外，还建立了弹性力学广义变分原理。这些新领域的
发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的
弹塑性力学
1
第一章 绪 论
§1-1 弹塑性力学基本概念和主要任务 §1-2 弹塑性力学的发展史
§1-3 基本假设及试验资料 §1-4 简化模型
2
1.1 弹塑性力学基本概念和主要任务
一、弹性（塑性）变形，弹性（塑性）阶段
可变形固体在外力作用下将发生变形。根据变形 的特点，固体在受力过程中的力学行为可分为两个明 显不同的阶段：当外力小于某一极限值（通常称为弹 性极限荷载）时，在引起变形的外力卸除后，固体能 完全恢复原来的形状，这种能恢复的变形称为弹性变 形，固体只产生弹性变形的阶段称为弹性阶段；外力 超过弹性极限荷载，这时再卸除荷载，固体将不能恢 复原状，其中有一部分不能消失的变形被保留下来， 这种保留下来的永久变形就称为塑性变形，这一阶段 称为塑性阶段。
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在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。
一方面建立了各种关于能量的定理(原理)。另一方面发
展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，
如著名的瑞利——里兹法，为直接求解泛函极值问题
开辟了道路，推动了力学、物理、工程中近似计算的
蓬勃发展。
从20世纪20年代起，弹性力学在发展经典理论的同时，
在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的 理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建
立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间
发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、 应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、 运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义 胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了 弹性力学向纵深发展的突破口。
每一点都会发生位移，都存在应力和应变．研究由 荷载产生的应力和变形有助于了解材料的强度和刚 度，使材料得到更合理的使用。
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．２ 弹塑性力学的发展史
１．２．１ 弹性力学发展史
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比 如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是 不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究 弹性力学，是从17世纪开始的。
同时，工程上有的塑性变形是需要避免的。例如，墙 体上的较大的裂缝会影响建筑物的美观，同时也会影 响强度；而有时塑性是可以利用的，如在某些金属加 工工艺中，各种型号的型钢就是利用钢材的塑性加工 而成的。
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为了避免和利用材料的塑性，需要研究材料的塑 性。工程中的大多数建筑用金属材料具有明显的塑 性（具有韧性），而大多数非金属的具有脆性（破 坏时塑性变形很小），因此本课程的研究对象是韧 性金属材料。例如，低碳钢、铝合金等。
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二、弹性与塑性
根据固体受力变形的特点，所谓弹性，是指固体
在去掉外力后恢复原来形状的性质；所谓塑性，是指 去掉外力后不能恢复原来形状的性质。弹性和塑性是 可变形固体的基本属性，两者的主要区别在于： 1）变形是否可恢复。
弹性变形是可以完全恢复的，即弹性变形过程是
一个可逆的过程；塑性变形是不可恢复的，是一个不 可逆过程。
2）应力和应变之间的关系是否一一对应。
在 弹性阶段，应力和应变之间存在一一对应的单
值关系，而且通常还假设是线性关系；在塑性阶段，
应力和应变之间通常不存在一一对应的关系，而且是
非线性关系。
4
在结构设计中，如果只考虑材料的弹性，即只是 在弹性阶段进行设计，称为弹性设计。只对材料进 行弹性设计，很显然会造成材料的浪费。例如，在纯 弯曲状态下，考虑材料的塑性后，一根矩形截面梁承 载能力比只考虑材料的弹性时的承载能力提高了 50%。因此，对某些结构，有必要考虑材料的塑性。 考虑了材料的塑性进行的设计称为弹塑性设计。对 结构进行弹塑性设计能充分挖掘材料的潜力，这是研 究材料塑性的一个重要目的。
弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过 实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国 的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形 和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿 于1687年确立了力学三定律。
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同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论
的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时 期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完 备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论 在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全 错误的。
发展。
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塑性变形现象发现较早，然而对它进行力学研究， 是从1773年库仑提出土的屈服条件开始的。
特雷斯卡于1864年对金属材料提出了最大剪应力 屈服条件。随后圣维南于1870年提出在平面情况下理 想刚塑性的应力-应变关系，他假设最大剪应力方向和 最大剪应变率方向一致，并解出柱体中发生部分塑性 变形的扭转和弯曲问题以及厚壁筒受内压的问题。莱 维于1871年将塑性应力-应变关系推广到三维情况。 1900年格斯特通过薄管的联合拉伸和内压试验，初步 证实最大剪应力屈服条件。
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第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。 这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程 问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理， 并提出了许多有效的计算方法。
1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转 和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的 论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学 的正确性提供了有力的证据；1881年德国的赫兹解 出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布； 1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时， 发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实 验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起 了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。