江苏省盐城市2020届高三上学期期中考试数学试题

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江苏省盐城市2020届高三数学上学期期中试题(含解析)

【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，属于基础题.
3.“ m >1 ”是“ m 2 ”的________条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必
要”、“既不充分也不必要”之一）【答案】必要不充分【解析】【分析】
根据充分、必要条件的判断方法，判断出正确结论.
【详解】由于 1, 包含 2, ，故“ m >1 ”是“ m 2 ”的必要不充分条件.
【答案】 [0,1]
【解析】
【分析】
根据分段函数的在 (1, ) 上是增函数列不等式组，解不等式组求得 a 的取值范围.
a 0
2 2a
1
【详解】由于 f x在 (1, ) 上是增函数，故 a 0 或 1 a a0 ，解得 a 0 或
0 a 1，所以实数 a 的取值范围是[0,1] .
思想方法，属于中档题.
二、解答题
15.若函数
f
(x)
2 sin( x
)
0, 0
2
的图象经过点
(0,
3) ，且相邻的两个零
点差的绝对值为 6．
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）若将函数 f (x) 的图象向右平移 3 个单位后得到函数 g(x) 的图象，当 x [1, 5] 时，求
g(x) 的值域．
________．
【答案】 5
【解析】【分析】
A 3π 利用正弦定理列方程组，化简后求得 4 ，利用余弦定理求得 BC 的长.
【详解】依题意 AB 2, AC 1，设 BD DC x, CAD 2BAD 2 , sin ADB sin ADC sin .则在三角形 ABD 和三角形 ACD 中，分别由正弦定理得
x

江苏省盐城市2020届高三数学上学期期中试题(1)

盐城市2020届高三年级第一学期期中考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{}1,3,6A =，{}1,2B =，则A B U = ▲ ． 2．函数2sin y x =的最小正周期为 ▲ ．3．若幂函数y x α=的图象经过点，则α的值为 ▲ ．4．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2a =，b =3B π=，则A = ▲ ．5．若命题“x R ∃∈，210x ax -+<”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．6．在等差数列}{n a 中，若2523a a +=，则数列}{n a 的前6项的和6S = ▲ ． 7．若向量(2,3)a =r ，(3,3)b =r ，(7,8)c =r ，且(,)c xa yb x y R =+∈r r r，则x y += ▲ ．8．若函数x x a x x f ln )3()(2+++=在区间(1,2)上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．9．若菱形ABCD 的对角线AC 的长为4，则AB AC ⋅=uu u r uuu r▲ ．10．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A ，ω，ϕ为常数，且0>A ，0>ω，22πϕπ<<-）的部分图象如图所示，若56)(=αf （20πα<<），则()6f πα+的值为 ▲ ．11．函数()f x 是以4为周期的奇函数，当[1,0)x ∈-时，()2x f x =，则2(log 20)f = ▲ ．12．设函数9()||()f x x a a R x=-+∈，若当(0,)x ∈+∞时，不等式()4f x …恒成立，则a 的取值范围是 ▲ ．13．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知74,3==a A π，角A 的平分线交边BC 于点D ，其中33=AD ，则ABC S ∆= ▲ ．14．设数列{}n a 共有4项，满足12340a a a a >>>…，若对任意的,(14i j i j 剟?，且*,i j N ∈），j i a a -仍是数列{}n a 中的某一项. 现有下列命题：①数列{}n a 一定是等差数列；②存在14i j <剟，使得j i ja ia =；③数列{}n a 中一定存在一项为0. 其中，真命题的序号有 ▲ ．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3a =，7cos 9B =，且7BA BC ⋅=uu r uu u r . （1）求b 的值；（2）求sin()A B -的值．16．（本小题满分14分）记函数2()lg(1)f x ax =-的定义域、值域分别为集合,A B .（1）当1a =时，求A B I ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17．（本小题满分14分）设直线6x π=-是函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴.（1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合；（2）求函数()f x 在[0,]π上的单调减区间.18．（本小题满分16分）2020年射阳县洋马镇政府投资8千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游及菊花产业项目. 规划从2020年起，在相当长的年份里，每年继续投资2千万元用于此项目. 2020年该项目的净收入为5百万元（含旅游净收入与菊花产业净收入），并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的1.5倍. 记2020年为第1年，()f n 为第1年至此后第*()n n N ∈年的累计利润（注：含第n 年，累计利润 = 累计净收入－累计投入，单位：千万元），且当()f n 为正值时，认为该项目赢利.（1）试求()f n 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由. （参考数据：43()52≈，ln 20.7≈，ln3 1.1≈）19. （本小题满分16分）已知数列}{n a 满足11a =-，21a =，且*22(1)()2n n n a a n N ++-=∈.（1）求65a a +的值；（2）设n S 为数列}{n a 的前n 项的和，求n S ；（3）设n n n a a b 212+=-，是否存正整数,,()i j k i j k <<，使得k j i b b b ,,成等差数列？若存在，求出所有满足条件的k j i ,,；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）设函数()ln ()f x m x m R =∈，()cos g x x =.（1）若函数1()()h x f x x=+在(1,)+∞上单调递增，求m 的取值范围；（2）设函数()()()x f x g x ϕ=+，若对任意的3(,)2x ππ∈，都有()0x ϕ…，求m 的取值范围；（3）设0m >，点00(,)P x y 是函数()f x 与()g x 图象的一个交点，且函数()f x 与()g x 的图象在点P 处的切线互相垂直，求证：存在唯一的0x 满足题意，且0(1,)2x π∈.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.{}1,2,3,62.π3.12 4.2π5.(,2)(2,)-∞-+∞U6.27.838.15(,6)2-- 9. 8 10. 11.45- 12. (,2]-∞ 13.14.①②③二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．解：（1）由7BA BC ⋅=uu r uu u r ，得cos 7ac B =，即7379c ⨯=，解得3c =. (3)分在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 3323349b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以2b =. ………………6分（2）因为7cos 9B =，所以B为锐角，故sin 9B =. ………………8分又由余弦定理，得2222222331cos 22233b c a A bc +-+-===⨯⨯，所以A 为锐角，且sin A =. ………………11分所以71sin()sin cos cos sin 393927A B A B A B -=-=-⨯=.………………14分16．解：（1）当1a =时，2()lg(1)f x x =-，由210x ->，得(1,1)A =-. ……………2分又2011x <-…，所以(,0]B =-∞. ……………4分故(1,0]A B =-I . ……………6分（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件⇔B A Ü. ……………8分 ①当0a =时，A R=，{}0B =，适合题意； ……………9分②当0a <时，A R=，[0,)B =+∞，适合题意； ……………11分③当0a >时，(A =，(,0]B =-∞，不适合题意. ……………13分综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞. ……………14分17．解：（1）因为直线6x π=-是函数()f x 的图象的对称轴，所以()()66f x f x ππ-+=--对x R ∈恒成立. ……………2分所以sin()cos()sin()cos()6666x a x x a x ππππ-++-+=--+--对x R ∈恒成立，即(0a x +=对x R∈恒成立，所以a =. ……………6分从而()sin 2sin()3f x x x x π==-. ……………8分故当232x k πππ-=+，即52()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值为2. ……………10分（说明：其它方法的，类似给分）（2）由322232k x k πππππ+-+剟，解得()f x 的递减区间为511[2,2]()66k k k Z ππππ++∈. …12分从而()f x 在[0,]π上的减区间为5[,]6ππ.（注：区间的形式不唯一） ……………14分18．解：（1）由题意知，第1年至此后第*()n n N ∈年的累计投入为82(1)26n n +-=+（千万元）， ……………3分第1年至此后第*()n n N ∈年的累计净收入为1211131313()()()2222222n -+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯13(()1)322()13212nn -==--（千万元）. ………7分所以33()()1(26)()2722n n f n n n =--+=--（千万元）. ……………8分（2）方法一：因为133(1)()[()2(1)7][()27]22n n f n f n n n ++-=-+----13[()4]22n =-，所以当3n …时，(1)()0f n f n +-<，故当4n …时，()f n 递减；当4n …时，(1)()0f n f n +->，故当4n …时，()f n 递增. ……………12分又15(1)02f =-<，732733(7)()215210288f =-≈⨯-=-<， 83(8)()232523202f =-≈-=>.所以，该项目将从第8年开始并持续赢利. ……………15分答：该项目将从2023年开始并持续赢利. ……………16分方法二：设3()()27(1)2xf x x x =--…，则33()()ln 222xf x '=-，令()0f x '=，得3222()532ln 3ln 2 1.10.7ln 2x==≈=--，所以4x ≈. 从而当[1,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 递减；当(4,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增. ……………12分又15(1)02f =-<，7333(7)()21028f =-≈-<， 83(8)()232523202f =-≈-=>.所以，该项目将从第8年开始并持续赢利. ……………15分答：该项目将从2023年开始并持续赢利. ……………16分 19．解：（1）由题意，当n 为奇数时，n n a a 212=+；当n 为偶数时，n n a a 232=+. …………2分又11a =-，21a =，所以49,23;41,216453==-=-=a a a a ，即265=+a a . …………4分（2）①当2n k =时，21321242()()n k k k S S a a a a a a -==++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+131(1())1(1())22131122k k -⋅-⋅-=+--312[()()]422k k =+-22312[()()]422n n =+-. ……………6分②当21n k =-时，22n k k S S a =-13132[()()]4()222k k k -=+--11312()()422k k --=⨯+-1122312()()422n n --=⨯+-. ……………8分所以，*2211*22312()2()4,,,22312()()4,,22n nn n n n n N S n n N --⎧⨯+⨯-∈⎪⎪=⎨⎪⨯+-∈⎪⎩为偶数为奇数 ……………9分（3）由（1），得1121231022n n n n n b a a ---⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…（仅10b =且{}n b 递增）. ……………10分因为k j >>，且,k j Z ∈，所以1k j +….①当2k j +…时，2k j b b +…，若k j i b b b ,,成等差数列，则 1111231312222222j j j j i j k j j b b b b b --+++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…11137104242j j --⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此与0n b …矛盾.故此时不存在这样的等差数列. ……………12分②当1k j =+时，1k j b b +=，若k j i b b b ,,成等差数列，则11131312222222j j j j i j k j j b b b b b --+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=---⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111331()()2222j j --=⨯-⨯，又因为i j <，且,i j Z ∈，所以1i j -….若2i j -…，则2i j b b -刡，得1133133131()()()()222222j j j j ----⨯-⨯-…，得3331()5()022j j --+⨯?，矛盾，所以1i j =-=.从而112j j j b b b -+=+，得11223131312222222j j j j j j ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得231j -=，解得2j ==. ……………15分从而，满足条件的k j i ,,只有唯一一组解，即1i =，2j =，3k =. ……………16分20．解：（1）由题意，知1()ln h x m x x =+，所以21()m h x x x'=-. 由题意，21()0m h x x x '=-…，即1m x…对(1,)x ∈+∞恒成立. ……………2分又当(1,)x ∈+∞时，11x<，所以1m …. ……………4分（2）因为()()()ln cos x f x g x m x x ϕ=+=+，所以()sin mx x xϕ'=-. ①当0m …时，因为3(,)2x ππ∈，所以ln 0x >，cos 0x <，故()0x ϕ<，不合题意.…6分②当0m >时，因为3(,)2x ππ∈，所以()0x ϕ'>，故()x ϕ在3(,)2ππ上单调递增. ……8分欲()0x ϕ…对任意的3(,)2x ππ∈都成立，则需()0ϕπ…，所以ln cos 0m ππ+…，解得1ln m π…. 综上所述，m的取值范围是1[,)ln π+∞. ……………10分（3）证明：因为()mf x x '=，()sing x x '=-，且函数()f x 与()g x 在点00(,)P x y 处的切线互相垂直，所以00(sin )1mx x ⋅-=-，即00sin m x x = （*）.又点00(,)P x y 是函数()f x 与()g x 的一个交点，所以00ln cos m x x = （**）.由（*）（**）消去m ，得0000ln sin cos 0x x x x -=. ……………12分 ①当0(0,1]x ∈时，因为0m >，所以0ln 0m x …，且0cos 0x >，此与（**）式矛盾. 所以在(0,1]上没有x 适合题意. ……………13分 ②当0(1,)x ∈+∞时，设()ln sin cos r x x x x x =-，(1,)x ∈+∞. 则()ln 1cos 20r x x x '=+->，即函数()r x 在(1,)+∞上单调递增，所以函数()r x 在(1,)+∞上至多有一个零点. 因为(1)ln1sin1cos1sin1cos10r =-=-<，()ln sin cos ln 02222222r πππππππ=-=>，且()r x 的图象在(1,)+∞上不间断，所以函数()r x 在(1,)2π有唯一零点.即只有唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0000ln sin cos 0x x x x -=成立，且0(1,)2x π∈.综上所述，存在唯一的0(0,)x ∈+∞，且0(1,)2x π∈. ……………16分。

2 数学-盐城市2020届高三上学期期中考试数学

盐城市2020届高三年级第一学期期中考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．若集合(,]A m =-∞，{}22B x x =-<≤，且B A ⊆，则实数m 的取值范围是 ▲ . 2．命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ 命题.（填“真”或“假”） 3.设点(P m 是角α终边上一点，若cos α=，则m = ▲ . 4．函数()xf x e x =-的单调递增区间为 ▲ .5．若函数()cos f x x x =-的零点在区间(1,)k k -（k Z ∈）内，则k = ▲ . 6．设函数()lg(f x x =是奇函数，则实数m 的值为 ▲ . 7．已知直线3x π=过函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中22ππϕ-<<）图象上的一个最高点，则5()6f π的值为 ▲ . 8．在锐角ABC ∆中，2AB =，3BC =，ABC ∆的面积为2，则AC 的长为 ▲ . 9．设向量(5cos ,4sin )OA θθ=++，(2,0)OB =，则||AB 的取值范围是 ▲ . 10．如图，在平行四边形ABCD 中，6AB =，4AD =，点P 是DC 边的中点，则PA PB ⋅的值为 ▲ .11．若函数2()ln (2)f x x ax a x =+-+在12x =处取得极大值，则正数a 的取值范围是 ▲ .12．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，且252m a a a +=，则m = ▲ .13．已知数列{}n a 的前n 项和1(1)nn S n=-⋅，若存在正整数n ，使得1()()0n n a p a p +-⋅-<成立，则实数p 的取值范围是 ▲ . 14. 设函数2()||xaf x e e=-，若()f x 在区间(1,3)a --内的图象上存在两点，在这两点处PABCD第10题图的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知函数2()cos cos f x x x x =-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()1f x =-，求2cos(2)3x π-的值.16．(本小题满分14分)设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{}|||1B x x a =+<.（1）若3a =，求A B ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17. (本小题满分14分)在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知4A π=，a =（1）若3sin 5B =，求边c 的长；（2）若||6CA CB +=CA CB ⋅的值.18．(本小题满分16分)如图，河的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB BC ⊥，EF DF ⊥，DF AB ⊥，,,C E F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得3AB km =，4BC km =，94DF km =，3FE km =，32EC km =. 若以,OA OD 所在直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则河岸DE 可看成是曲线x by x a+=+（其中,a b 为常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y kx m =+（其中,k m 为常数）的一部分. （1）求,,,a b k m 的值；（2）现准备建一座桥MN ，其中,M N 分别在,DE AC 上，且MN AC ⊥，设点M的横坐标为t . ①请写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =，并注明定义域；②当t 为何值时，l 取得最小值？最小值是多少？19. (本小题满分16分) 已知函数()ln f x x =.（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若函数()k y f x x =+在21[,)e+∞上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使得对任意的1(,)2x ∈+∞，都有函数()ky f x x=+的图象在()xe g x x=的图象的下方？若存在，请求出最大整数k 的值；若不存在，请说理由.（参考数据：ln 20.6931=，121.6487e =）.第18题图20. (本小题满分16分)设各项均为正数的数列{}n a 满足nnS pn r a =+（,p r 为常数），其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）若1p =，0r =，求证：{}n a 是等差数列；（2）若13p =，12a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）若201512015a a =，求p r ⋅的值.盐城市2020届高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. [2,)+∞ 2. 假3. 4. (0,)+∞ 5. 1 6. 17. －18.9. [4,6] 10. 7 11. (0,2) 12. 8 13. 3(1,)2-14. 11(,)22-二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）因为1c o s 2()s i n 22x f x x +=- …………2分cos 2112sin(2)2262x x x π=--=--， …………6分所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. …………8分（2）因为()f x =-，所以1s i n (2)162x π--=-，即1s i n (2)62x π-=-， …………10分所以21cos 2cos (2)sin(2)32662x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………14分16．解：（1）解不等式2230x x +-<，得31x -<<，即()3,1A =-，..............2分当3a =时，由31x +<，解得42x -<<-，即集合()4,2B =--， ..............4分所以()4,A B =-； ..............6分（2）因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. ...............8分又集合()3,1A =-，(1,1)B a a =---+， ..............10分所以1311a a --≥-⎧⎨-+<⎩或1311a a -->-⎧⎨-+≤⎩， ..............12分解得02a ≤≤，即实数a的取值范围是02a ≤≤. ...............14分17．解：（1）在ABC ∆中，因为3sin sin 52B A =<=，所以4B A π<=，所以4c o 5B =， ...............2分所以4s i 25C A =+...............4分由正弦定理sin sin a cA C=，得20=，所以c =. ...............6分（2）因6C A CB+=，得2323c o sb b C += ①，...............8分由余弦定理，有223cos b C c +-= ②，①＋②，得c =， ...............10分再由余弦定理，有223b c +=，解得b c == ...............12分所以22a b c+=，即2C π=，所以0C A C B ⋅=. ……………14分（说明：其它方法类似给分） 18．解：（1）将7(0,),(3,4)4D E 两点坐标代入到x by x a+=+中，得74343bab a ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩， ……………2分解得47a b =-⎧⎨=-⎩. …………3分再将39(,0),(,4)22A C 两点坐标代入到y kx m=+中，得302942k m k m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， …………5分解得432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. …………6分（2）①由（1）知直线AC 的方程为423y x =-，即436x y --=. …………7分设点M 的坐标分别为7(,)4t M t t --，则利用点到直线的距离公式，得7|436|19|49|54t t l t t --⨯-==+--， ……又由点,D E 向直线AC 作垂线时，垂足都在线段AC 上，所以03t ≤≤，所以19()|49|54l f t t t ==+--，03t ≤≤. …………10分② 方法一：令9()49,034g t t t t =+-≤≤-，因为2(25)(211)()(4)t t g t t --'=-，所以由()g t '=，解得52t =或112t =（舍）， …………12分所以当5(0,)2t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增；当5(,3)2t ∈时，()0g t '<，()g t 单调递减.从而当52t =时，()g t 取得最大值为5()52g =-， …………14分即当52t =时，l 取得最小值，最小值为1km . …………16分方法二：因为03t ≤≤，所以144t ≤-≤，则999494(4)77[4(4)]444t t t t t t +-=-++=--+--- …………12分77265≤-=-⨯=-，当且仅当94(4)4t t-=-，即52t =时取等号， …………14分即当52t =时，l取得最小值，最小值为1km . …………16分方法三：因为点M 在直线AC 的上方，所以94904t t +-<-，所以19()(49)54l f t t t ==-+--，03t ≤≤， …………12分以下用导数法或基本不等式求其最小值（此略，类似给分）. …………16分方法四：平移直线AC 至11A C ，使得11A C 与曲线DE 相切，则切点即为l取得最小值时的M点. …………12分由74x y x -=-，得23(4)y x '=-，则由234(4)3k t ==-，且03t ≤≤，解得52t =， …………14分故当52t =时，l 取得最小值，最小值为1km . …………16分19. 解：（1）因为1()f x x'=，所以(1)1f '=，则所求切线的斜率为1， ……………2分又(1)ln10f ==，故所求切线的方程为y x =. ................4分（2）因为()ln k kf x x x x+=+，则由题意知方程ln 0k x x +=在21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不同的根.由ln 0kx x+=，得ln k x x -=， ……………6分令()ln g x x x =，则()ln 1g x x '=+，由()0g x '=，解得1x e=.当211,x e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以当1x e=时，()g x 取为11()g e e =-. ……………8又2212()g e e=-，(1)0g =（图象如右图所示），所以212k e e-<-≤-，解得221k e e≤<. ……………10分（3）假设存在实数k 满足题意，则不等式ln x k e x x x +<对1(,)2x ∈+∞恒成立.即ln xk e x x <-对1(,)2x ∈+∞恒成立.令()ln x h x e x x =-，则(x h x e x'=--， ……………12分令()ln 1x r x e x =--，则1()xr x e x'=-，因为()r x '在1(,)2+∞上单调递增，121()202r e '=-<，(1)10r e '=->，且()r x '的图象在1(,1)2上不间断，所以存在01(,1)2x ∈，使得0()0r x '=，即0010xe x -=，则00ln x x =-，所以当01(,)2x x ∈时，()r x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()r x 单调递增，则()r x 取到最小值000001()ln 11x r x e x x x =--=+-110≥=>， ……………14分所以()0h x '>，即()h x 在区间1(,)2+∞内单调递增.所以11221111()ln ln 2 1.995252222k h e e ≤=-=+=，所以存在实数k 满足题意，且最大整数k 的值为1. ……………16分 20．解：（1）证明：由1p =，0r =，得n n S na =，所以11(1)(2)n n S n a n --=-≥，两式相减，得10(2)n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列. ……………4分（2）令1n =，得1p r +=，所以23r =， ……………5分则12()33n n S n a =+，所以1111()(2)33n n S n a n --=+≥，两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-， ……………7分所以324123134511231n n a a a a n a a a a n -+⋅⋅=⋅⋅-，化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅，所以2(2n a n =+， ……………9分又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2n a n n =+.……………10分（3）由（2）知1r p =-，所以(1)n n S pn p a =+-，得11(12)(2)n n S pn p a n --=+-≥，两式相减，得1(1)(12)(2)n n p n a pn p a n --=+-≥，易知p ≠，所以1(2)12(1)n n a a n pn p p n -=≥+--. ……………12分①当12p =时，得1(2)1n n a a n n n -=≥-，所以201520141201520141a a a ===，满足220a a =； (14)分②当12p >时，由1(1)(12)(2)n n p n a pn p a n --=+-≥，又0n a >，所以1(1)(2)n n p n a pna n --<≥，即1(2)1n n a a n n n -<≥-，所以2015120151a a<，不满足201512015a a =；③当12p <且0p ≠时，类似可以证明201512015a a =也不成立；综上所述，12p =，12r =，所以14pr =. ……………16分。

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江苏省盐城中学高三年级2020学年度上学期期中考试数学试题（第Ⅰ卷）（2020.11）一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,2}B =，则()U A B =U ð___▲____．2．已知曲线x x y -=3在点),(00y x 处的切线平行于直线x y 2=，则=0x ___▲___.3．已知直线l 经过点(2,1)P ，且与直线2310x y ++=垂直，则l 的方程是____▲___. 4．在等比数列{}n a 中，若12a =，98a =，则5a =___▲____.5．若变量,x y 满足条件30380x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则z x y =+的最大值为___▲___．6．当(0,)2x π∈时，函数sin 3cos y x x =+的值域为___▲____.7．已知a b c r r r ,,满足2a c b +=r r r ，且,||1,||2,a c a c ⊥==r r r r 则||b =r ▲ . 8．数列{}n a 满足*1111(),22n n a a n N a ++=∈=-，n S 是{}n a 的前n 项和，则2011S = _▲_ ．9．已知函数()(2)2af x x x x =+>-的图像过点(3,7)A ，则此函数的最小值是 ▲__ ．10．当钝角ABC ∆的三边,,a b c 是三个连续整数时，则ABC ∆外接圆的半径为__▲___． 11．关于x 的方程3210ax x x -++=在(0,)+∞上有且仅有一个实数解，则a 的取值范围为_ ▲ ．12．如图，在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，2AB EF ==，3CA CB ==，若7AB AE AC AF ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则EF u u u r 与BC u u ur 的夹角的余弦值等于 ▲ _．13．已知0a b c >≥>，且22112444()a ac c ab a a b ++-+=-，则a b c ++= ▲ ． 14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有11527,2n n n nn n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，, 若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为___▲___.二、解答题（本大题共6小题，计90分.） 15．（本题满分14分）已知函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，22ππϕ-<<）的图像如图所示，直线38x π=，78x π=是其两条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若6()5f α=，且388ππα<<，求()8f πα+的值． 16．（本题满分14分）设函数2()2cos[(1)]ln f x x a k x π=-- (k ∈N *，a ∈R)．(1) 若2011k =，1a =，求函数()f x 的最小值； (2) 若k 是偶数，求函数()f x 的单调区间．17．（本题满分15分）ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ．已知(2cos )m A A =u r，(cos ,2cos )n A A =-r，1m n ⋅=-u r r ．（1）若a =2c =，求ABC ∆的面积S 的大小；（2）求2cos(60)b ca C -+o 的值．18．（本题满分15分）某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用0()m m ≥万元满足31kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19．（本题满分16分）已知函数2()ln f x x a x =-，()2g x bx =-，其中a ，b R ∈且2ab =．函数()f x 在1[,1]4上是减函数，函数()g x 在1[,1]4上是增函数．（1）求函数()f x ，()g x 的表达式；（2）若不等式()()f x mg x ≥对1[,1]4x ∈恒成立，求实数m 的取值范围．（3）求函数1()()()2h x f x g x x =+-的最小值，并证明当*n N ∈，2n ≥时()()3f n g n +>．.资.源.网 20．（本题满分16分）设数列{}n a 、{}n b 满足14a =，252a =，12n n n a b a ++=，12n n n n n a b b a b +=+．（1）证明：2n a >，02n b <<（*n N ∈）；（2）设32log 2n n n a c a +=-，求数列{}n c 的通项公式；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，数列{}n n a b 的前n 项和为{}n P ，求证：83n n n S T P +<+．()2n ≥姓名………………………线………………………………………江苏省盐城中学高三年级2020学年度上学期期中考试数学附加题（第Ⅱ卷）（2020.11）一、选做题21.在A 、B 、c 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1.求⊙O 的半径．B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.求矩阵A .C ．选修4-4：坐标系与参数方程已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin a ρθ=(a 是非零常数)． (1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 若两圆的圆心距为5，求a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x ++-≥m 恒成立． (1)求m 的取值范围；(2)当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|3|2212x x m --≤-．二、必答题：本大题共2小题。

江苏省2020届高三数学上学期期中试题(含解析)

高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1．本试题由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的校名、班级、姓名、学号填写在答题纸上规定的地方． 3．所有试题的答案均书写在答题纸指定的答题位置上，否则答题无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案写在答题卷对应栏目） 1.已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，若A B A ⋃=，则m =________．【答案】0或3 【解析】【分析】由两集合的并集为A ，得到B 为A 的子集，可得出m ＝3或m m =，即可求出m 的值．【详解】∵A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ， ∴m ＝3或m m =，解得：m ＝0或3或1（舍去）．故答案为：0或3【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型，注意互异性的检验2.已知()f x 的定义域为[]1,1-，则()2log f x 的定义域为________________. 【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()f x 的定义域为[]1,1-，所以-1≤log 2x≤1，所以122x ≤≤. 故f(log 2x)的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数，若()11f -=，则满足1(3)1f x -≤-≤的x 的取值范围是________．【答案】[2,4] 【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f （﹣1）＝1，利用函数的单调性可得﹣1≤x ﹣3≤1，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）为奇函数，若f （1）＝﹣1，则f （﹣1）＝1，f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且﹣1≤f （x ﹣3）≤1，即f （1）≤f （x ﹣3）≤f （﹣1），则有﹣1≤x ﹣3≤1，解可得2≤x ≤4，即x 的取值范围是[2，4]；故答案为：[2,4]．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是将﹣1≤f （x ﹣2）≤1转化为关于x 的不等式．4.已知在等差数列{}n a 中，若34515a a a ++=，则1267a a a a ++++=________．【答案】35 【解析】【分析】根据题意和等差数列的性质求出a 4的值，代入所求的式子化简求值即可．【详解】由等差数列的性质得，3454415=35a a a a a ++=⇒=， ∴1267a a a a ++++=7a 4＝35，故答案为：35．【点睛】本题考查等差数列的性质的灵活应用，关注下角标的和是关键，属于基础题题． 5.设()f x 是周期为1的偶函数，当01x ≤≤时，()4(1)f x x x =-，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【答案】1 【解析】【分析】根据函数奇偶性和周期性之间的关系，进行转化即可得到结论．【详解】∵f （x ）是周期为1的偶函数， ∴f （92-）＝f （92-+4）＝f （12-）＝f （12）， ∵当0≤x ≤1时，f （x ）＝4x （1﹣x ），∴f （12）＝412⨯（112-）1=，故f （92-）1=，故答案为：1【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．6.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移4π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于________．【答案】8 【解析】【分析】函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【详解】f （x ）的周期T 2πω=，函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以4π=k •2πω，k ∈Z ．令k ＝1，可得ω＝8．故答案为：8．【点睛】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，由题确定平移了周期整数倍是关键，常考题型． 7.已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝3，则cos2α＝________．【解析】2＝13，∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23. ∵α为第二象限角且， ∴2kπ＋2π<α<2kπ＋34π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k∈Z)，∴2α为第三象限38.已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题： ①数列{}n a 是等比数列；②数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； ③数列(){}2lg na 是等比数列；④数列{}1nn a a+⋅是等比数列．其中正确命题的序号为________．【答案】①②④ 【解析】【分析】根据等比数列的判断方法，逐项判断检验即可判断．【详解】由{a n }是等比数列可得1nn a a -=q （q 为常数，q ≠0）， ①11n nn n a a a a --==|q |为常数，故是等比数列； 11111n n n n a a a q a --==②常数，故是等比数列；③数列a n ＝1是等比数列，但是lga n 2＝0不是等比数列；④1111n n n n n n a a a a a a ++--==q 2为常数，故是等比数列；故答案为：①②④【点睛】要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数即需要验证为常数．9.已知函数3()3()f x x x c x =-+∈R ，若函数()f x 恰有一个零点，则实数c 的取值范围是________．【答案】(,2)(2,)-∞-+∞ 【解析】【分析】求出f （x ）的导数和单调区间，以及极值，由题意可得极大值小于0或极小值大于0，解不等式即可得到c 的范围．【详解】f ′（x ）＝3x 2﹣3 ＝3（x ﹣1）（x +1），f '（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜-1；f '（x ）＜0⇒-1＜x ＜1，∴f （x ）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减， ∴()()()12()12f x f c f x f c ==-+=-=+极小极大，，函数f （x ）恰有一个零点，可得2c -+>0或2c +<0，解得c ＜-2或c 2＞．可得c 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞【点睛】本题考查导数运用：求单调区和极值，注意运用转化思想，考查函数的零点问题解法，注意运用函数的极值符号，考查运算能力，属于中档题．10.已知在正四棱锥S ABCD -中，若SA =________．【答案】【解析】【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【详解】设底面边长为a ，则高h ==，所以体积V 13=a 2h = 设y ＝24a 412-a 6，则y ′＝96a 3﹣3a 5，当y 取最值时，y ′＝96a 3﹣3a 5＝0，解得a ＝0或a＝时，当a ''0;00y a y ><<<>,则a＝此时h ==故答案为：【点睛】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法，准确计算是关键，是中档题．11.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是_____. 【答案】4π 【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式化简f （x ），由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]，结合已知条件即可求出a 的最大值．【详解】解：f （x ）＝cos x ﹣sin x ＝﹣（sin x ﹣cos x）4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]，由f （x ）在[﹣a ，a ]是减函数，得434a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，∴4a π≤．则a 的最大值是4π．故答案为：4π．【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．12.已知a ，b 为正实数，且+3a b ab +=，则2a b +的最小值为________．【答案】3- 【解析】【分析】利用(1)(+1)4a b +=结合基本不等式求解即可【详解】由题(1)(+1)4a b +=则则则()()2=211333a b a b ++++-≥=当且仅当()()()+1+1=42+1=+1a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩等号成立故答案为：3-【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题13.已知圆O 的半径为2，若PA 、PB 为该圆的两条切线，其中A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值________．【答案】12-+【解析】【分析】结合切线长定理，设出PA ，PB 的长度和夹角，并将PA •PB 表示成一个关于x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．【详解】如图所示：设OP ＝x （x ＞0），则PA ＝PB ，∠APO ＝α，则∠APB ＝2α，sinα2x=，PA •PB=|PA |•|PB |cos2α24x =-•24x -（1﹣2sin 2α）＝（x 2﹣4）（128x -）＝x 2232x+-12≥82-12， ∴当且仅当x 242=时取“＝”，故PA •PB 的最小值为82-12 故答案为：1282-+．【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力． 14.设函数()2xxf x a ax -=--（a e >且a 为常数，其中e 为自然对数的底数），则不等式1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是________．【答案】10,[,)e a⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】确定函数的奇偶性，利用单调性解不等式即可【详解】()()+2=xx f x a a x f x --=--，故函数为奇函数又()()()'ln 22ln 22ln 20x x xxfx a a a a a a a --=+-≥=->故函数()2xxf x a a x -=--为增函数，1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭等价为()1log 10a x e f x f ≥⎧⎪⎛⎫⎨-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 或()10log 10ax ef x f <<⎧⎪⎛⎫⎨-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1x e x a≥≤或0<，故不等式1()log 10a x e fx ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦故答案为：10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理转化能力，是中档题二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，且13AE EB =．（1）求证：DE 平面1A BC ；（2）求证：DE CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得1DE A B ∥即可证明（2）作CF ⊥AB ，F 为垂足，证明DE ⊥面FCD,能证明DE ⊥CD ．【详解】（1）∵几何体111ABC A B C -为直三棱柱， ∴四边形11AA B B 为矩形．设11A B AB O ⋂=，则点O 为1AB 的中点，又∵13AE EB =，∴1111142EB AB OB ==，即点E 为1OB 的中点，又∵D 为1BB 中点，∴在1B OB ∆中，由三角形中位线定理得1DE A B ∥又∵1A B ⊂平面1A BC ，DE ⊄平面1A BC ， ∴DE 平面1A BC ．（2）作CF ⊥AB ，F 垂足，因为AC BC =，故F 为中点，则1DF A B ∥直三棱柱111ABC A B C -，故面ABC ⊥面ABB 1 A 1，则CF ⊥面ABB 1 A 1，CF DE ⊥因为ABB 1 A 1为正方形，故A 1B ⊥1A B ，又1DF A B ∥，,DF DE CF FD F DE ∴⊥⋂=∴⊥，面FCD, 故DE CD ⊥【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查考查线面平行的证明，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=．（1）求边AD 的长；（2）若ABC ∆的面积为480，求角C 的值．【答案】（1）25AD =（2）90︒∠=C 【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系得4in 5s ADC ∠=，3os 1c 12B =进而求得33sin sin()65BAD ADC B ∠=∠-=，再利用正弦定理求解即可（2）由正弦定理求52AB =，利用面积求得48BC =，再利用余弦定理和勾股定理求解即可【详解】（1）由3cos 5ADC ∠=，得24sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=由3cos 5ADC ∠=，得ADC ∠为锐角，则ADB ∠为钝角，即角B 为锐角，由5sin 13B =，得212cos 1sin 13B B =-=则33sin sin()sin cos cos sin 65BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠= 在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，即335331365AD =，解得25AD =，（2）在ADB ∆中，4sin sin()sin 5ADB ADC ADC π∠=-∠=∠=，由正弦定理得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠，即33433565AB =，解得52AB = 由ABC ∆的面积为480，得1sin 4802AB BC B ⋅⋅⋅=，解得48BC =即15DC BC BD =-=由余弦定理得，20AC ==．在ADC ∆中，222625AD AC DC =+=，则由勾股定理的逆定理可知，90︒∠=C【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查同角三角函数基本关系，准确计算是关键，是中档题17.已知函数()()4232314f x ax a x x =-++．（1）当16a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的极小值12-；（2）41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：（1）当16a =时，对函数求解，由导数确定函数的单调性，进而可求得函数的极值与极值点；（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，则()()()2413310f x x ax ax +'=--≥在(1,1)-上恒成立，从而23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立，即刻求解实数a 的取值范围．试题解析：（1）()()()241331f x x ax ax '=-+-，当16a =时，()()()2221f x x x =+-'，()f x 在(),2-∞-内单调减，在()2,-+∞内单调增，在2x =-时，()f x 有极小值．所以()212f -=-是()f x 的极小值．（2）由（1）知，()()()241331f x x ax ax '=-+-，∵()f x 在()1,1-上是增函数，∴()0f x '≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立，即23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立， ①当0a =时，显然成立，②当0a >时，设()2331g x ax ax =+-，即()()10{10g g -≤≤，即10{610a -≤-≤，解得：16a ≤，又0a >，∴106a <≤， ③当0a <时，即2133x x a+≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立，即()2min 133x xa +≥，()1,1x ∈-，而当12x =-时，()2min 3334x x +=-， ∴314a -≥，解得：403a -≤<，综上所述，实数a 的取值范围是41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．考点：利用导数求解函数的极值；利用导数研究函数的单调．【方法点晴】本题主要以函数为载体考查了利用导数研究函数的极值与极值点、利用导数求解函数的单调性及其应用，解答中()f x 在(1,1)-上是增函数，转化为23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，属于中档试题．18.已知{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-．（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；（2）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）设22n nnc a b =-，记1nn ni S c==∑，证明：26n n S c ≤+<．【答案】（1）证明见解析（2）1122nn a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，1122nn b n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-两式相加减即可证明（2）由（1）解方程组得{}n a 和{}n b 的通项公式（3）利用错位相减求得1nn ni S c==∑，结合数列单调性即可证明【详解】（1）1434n n n a a b +-=+（其中*n N ∈），①1434n n n b b a +-=-（其中*n N ∈），②由①与②相加得()()1142n n n n a b a b +++=+，即1112n n n n a b a b +++=+（其中*n N ∈），又11101a b +=+=，故{}n n a b +是以1为首项12为公比的等比数列由①与②相减得()()11448n n n n a b a b ++-=-+，即()()112n n n n a b a b ++---=（其中*n N ∈），又11101a b +=+=，则数列{}n n a b -是以1为首项，以2为公差的等差数列．（2）由（1）知，1112n n n a b -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），③1(1)221n n a b n n -=+-⨯=-（其中*n N ∈），④③+④得，11121112222n nn n a n -⎛⎫⨯+- ⎪⎛⎫⎝⎭==+-⎪⎝⎭，即1111222n nn n b a n -⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（*n N ∈），（3）()()1221(21)2n n n n n n n n c a b a b a b n -⎛⎫=-=+-=-⋅ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），1221111111135(23)(21)22222n n nn n i S c n n --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑即1231111111135(23)(21)222222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由上下两式错位相减得123111111112222(21)222222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1221111111(21)22222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1111121(21)12212n nn S n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+--⋅ ⎪⎝⎭-，也即31116(21)22n n n S n --⎛⎫⎛⎫=---⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又11(21)2n n c n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即3162n n n S c -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），又因为函数31()62n n n f n S c -⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈）为单调递增函数，则31(1)662n n n f S c -⎛⎫≤+=-< ⎪⎝⎭，即26n n S c ≤+<【点睛】本题考查递推关系求数列通项公式，考查错位相减求和，考查运算能力和推理能力，是中档题19.如图，某山地车训练中心有一直角梯形森林区域ABCD ，其四条边均为道路，其中AD BC ∥，90ADC ︒∠=，10AB =千米，16BC =千米，6CD =千米．现有甲、乙两名特训队员进行野外对抗训练，要求同时从A 地出发匀速前往D 地，其中甲的行驶路线是AD ，速度为12千米/小时，乙的行驶路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两名特训队员到达D 地的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围；（2）已知甲、乙两名特训队员携带的无线通讯设备有效联系的最大距离是10千米．若乙先于甲到达D 地，且乙从A 地到D 地的整个过程中始终能用通讯设备对甲保持有效联系，求乙的速度v 的取值范围．【答案】（1）乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）（2）3916,2⎛⎤⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．分别求得甲、乙的运动时间，列不等式求解即可（2）讨论乙运动到AB,BC,CD 时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 的表达式，求函数最值，列不等式求解即可【详解】（1）如图．过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．因为四边形ABCD 为直角梯形，所以四边形EBCD 为矩形，则16BC ED ==，6EB CD ==，又在直角三角形ABE 中，228AE AB BE =-=，即24AD AE ED =+=则由题意得，甲从A 地出发匀速前往D 地所需时间为24212t ==甲（小时），乙从A 地出发匀速前往D 地所需时间为32t v=乙（小时），由题意可知14t t -≤甲乙，即32124v -≤，解得12812897v ≤≤，所求乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）．（2）设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 千米，由于乙先于甲到达D 地，所以3224012v -<，解得16v >， ①当010vt <≤时，即100t v<≤时，222296()(12)()212cos 1445f t t vt t vt BAE v v t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯∠=-+ ⎪⎝⎭因为29614405v v -+>，所以当10t v =时，()f t 取得最大值，且22max109610()1445f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意可得222max9610()144105f t v v v ⎛⎫⎛⎫=-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得152v ≥，②当1026vt <≤时，即1026t v v<≤时， 22222()(10812)6(12)3612f t vt t v t v ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪-⎝⎭，因为16v >，所以21012v v <-，则当26t v=时，()f t 取得最大值，且222max26262()(12)361012f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫==--+≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤ ③当2632vt <≤时，即2632t v v<≤时， ()2222222()(10166)(81612)(3232=1)(24441)22f t vt t vt v t t v t ⎛⎫-+- =++-+⎪⎝⎭+-=-+-，因为16v >，所以3232216t v =<=，则函数()f t 在区间2632,v v ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，即当26t v =时，()f t 取得最大值，且222max261226()(3226)2410f t f v v ⨯⎛⎫⎛⎫==-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤，由①②③同时成立可得153922v ≤≤，又因为16v >，所以39162v <≤即所求乙的速度v 的取值范围为3916,2⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题考查函数模型及应用，考查拟合函数的建立，考查分类讨论思想，正确求得每种情况的解析式是关键，是难题 20.设函数1()1x f x e=-，函数()f x '为()f x 的导函数．（1）若x ∀∈R ，都有()()f x mf x n '=+成立（其中,m n ∈R ），求m n +的值；（2）证明：当1x >-时，1()11f x x +≥+；（3）设当0x ≥时，11()(1)f x a ax a+≤+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0m n +=（2）证明见解析（3）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求导()xf x e '-=，利用对应项系数相等求即可即可（2）证明1()11f x x +≥+等价证明1x e x ≥+，构造函数求最值即可证明（3）讨论110,0,0,22a a a a =><≤>，11()(1)f x a ax a +≤+恒成立，转化为证明(1)()x x f x ≤+，构造函数()()()h x axf x f x x =+-，求导求最值，证明当0a <时不成立，当102a <≤时，利用（2）放缩证明h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数即可求解，当12a >时，构造函数，证明不成立即可求解【详解】（1）()1xf x e -=-，则()xf x e'-=因为x R ∀∈，()()f x mf x n '=+即1x x e me n ---=+恒成立（其中,m n R ∈），则1m =-，1n =，即110m n +=-+=，且()()1f x f x '=-+ （2）当1x >-时，要证1()11f x x +≥+即证1x e x ≥+，令()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x ≥时，()0g x '≥，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数，当0x ≤时，()0g x '≤，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递减函数，则当0x =时，min ()(0)0g x g ==，即当x ∈R 时，()(0)g x g ≥，也即1x e x ≥+，所以当1x >-时，1()11f x x +≥+ （3）当0a =，本题无意义，11()(1)f x a ax a+≤+显然不成立，所以0a =不合题意，当0a ≠时，11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+，由题设0x ≥，此时有()0f x ≥，当0a <时，若1x a >-，则有01x ax <+，此时()1x f x ax ≤+不成立，即11()(1)f x a ax a+≤+不成立，所以0a <不合题意，当0a >时，令()()()h x axf x f x x =+-，则11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+，即当且仅当()0≤h x ，()()()()1h x af x axf x f x '''=++-，又由（1）得()()1f x f x '=-+，即()1()f x f x '=-，代入上式得：()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-，①当102a <≤时，由（2）知1()11f x x +≥+，即(1)()x x f x ≤+，则()()()()()()(1)()()h x af x axf x ax f x af x axf x a x f x f x '=-+-≤-++-(21)()0a f x =-≤，此时函数h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数，则()(0)0h x h ≤=，即11()(1)f x a ax a+≤+恒成立，此时符合题意，②当12a >时，令()()1x r x x f x x e -=-=-+，则1()1x xxe r x e e '--=-=，又0x ≥，则1()0x xe r x e'-=≥，即函数()r x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数，即()(0)0r x r ≥=，也即()x f x ≥，则()()()()()()()()h x af x axf x ax f x af x axf x af x f x '=-+-≥-+-(21)()a ax f x =--当210a x a -<<时，有()0h x '>，即函数()h x 在区间210,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，所以()(0)0h x h >=，即11()(1)f x a ax a +>+，所以12a >不合题意，综上可得，所求实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用导数证明不等式，考查分类讨论思想，考查放缩法的合理利用，考查转化化归能力，合理构造函数是关键，是难题1、在最软入的时候，你会想起谁。

2019-2020学年江苏省盐城市高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={y|y =x 2−1,x ∈R}，B ={y|y =x 2+1,x ∈R}，则A ∩B =______．2. 角θ的始边与x 轴正半轴重合，终边上一点坐标为(−1,2)，则tanθ=______．3. “x <5”是“x <1”的__________________________条件4. 设向量a ⃗ =(1,2),b ⃗ =(2,3)，若向量λa ⃗ +b ⃗ 与向量c ⃗ =(−3,−3)共线，则λ=______．5. 函数y =lg(1−1x )+√2x −3的定义域是______ ．6. 若f(x)为奇函数，当x <0时，f(x)=log 2(2−x)，则f(2)= ______ ．7. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=−20，若S n 的最小值仅为S 6，则公差d 的取值范围是______．8. 若sin(π2+α)=35，则cos2α= ___________． 9. 已知f (x )=sin (x +7π4)+cos (x −3π4)(x ∈R)，则f(x)的最小值为________．10. 已知函数f(x)={x 2−2x ⋯x <0−x 2−2x ⋯x ≥0，若f(3−a 2)<f(2a)，则实数a 的取值范围是________． 11. 在等比数列{a n }中，若a 2=9，a 5=243，则数列{a n }的前4项和为________． 12. 已知△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 13. 在△ABC 中，已知AB =2，，若BC =3，AC 的长为________；若点D 为AC 中点，且BD =√172，sin A 的值为________．14. 已知函数f(x)=sinx −2x −a ，若f(x)在[0,π]上的最大值为−1，则实数a 的值是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 已知函数f(x)=sin(ωx +π4)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求最小正实数m ，使得f(x)图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．16. 已知命题p:∀x ∈[−12,1]，不等式m −x 2>0恒成立；q ：方程x 2m 2+y 24=1表示焦点在x 轴上的椭圆．(1)若¬p为假命题，求实数m的取值范围；(2)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．17.如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB=60m，BC=80m.公路两侧铺设水管的给用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米−α，矩形区域内铺设水管的总费用为2万元，设∠EFB=π2W．(1)求W关于α的函数关系式；(2)求W的最小值及相应的角α．18.已知向量m→=(sinA,sinB)，n→=(cosB,cosA)，m→.n→=sin2C，其中A、B、C为ΔABC的内角，所对的边分别是a，b，c．(1)求角C的大小；(2)若2c=a+b，且CA→.(AB→−AC→)=18，求AB的长．)2．19.各项均为正数的数列{a n}中，前n项和S n=(a n+12(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在正整数m，k，使得a m，a m+5，a k成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，请说明理由．−1在点(2,f(2))处的切线方程．20.求函数f(x)=lnx+x+2x-------- 答案与解析 --------1.答案：{y|y≥1}解析：【分析】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．【解答】解：∵集合A={y|y=x2−1,x∈R}={y|y≥−1}，B={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1}，∴A∩B={y|y≥1}．故答案为{y|y≥1}．2.答案：−2解析：解：∵角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为(−1,2)，=−2，∴x=−1，y=2，则tanθ=yx故答案为：−2．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，的应用，属于基础题．3.答案：必要不充分解析：【分析】本题考查必要条件，充分条件，充要条件的判断，由x<1可得x<5，反之不成立，即可判断出．【解答】解：由x<1可得x<5，反之不成立，∴x<5是x<1的必要不充分条件．故答案为必要不充分．4.答案：−1解析：【分析】本题考查向量共线的坐标形式的充要条件，属基础题．a ⃗ //b ⃗ ⇔x 1y 2−x 2y 1=0，先求出向量λa ⃗ +b ⃗ 的坐标，然后根据向量共线的坐标形式的充要条件：a ⃗ //b ⃗ ⇔x 1y 2−x 2y 1=0建立等式，解之即可．【解答】解：λa ⃗ +b ⃗ =(2+λ,3+2λ)c ⃗ =(−3,−3) ∵若向量λa ⃗ +b⃗ 与向量c ⃗ =(−3,−3)共线， ∴−3×(2+λ)−3×(3+2λ)=0解得：λ=−1 故答案为−1．5.答案：[log 23,+∞)解析：解：要使函数有意义，则{1−1x >02x −3≥0，即{x <0或x >1x ≥log 23， ∴x ≥log 23，即函数的定义域为[log 23,+∞)，故答案为：[log 23,+∞)根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．6.答案：−2解析：解：f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，当x <0时，f(x)=log 2(2−x)，则f(−2)=log 2(2+2)=2，则f(2)=−f(−2)=−2．故答案为：−2．f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，由已知得到f(−2)，再由f(2)=−f(−2)，即可得到结论．本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，注意运用定义和已知的解析式，考查运算能力，属于基础题．7.答案：(103,4)解析：解：S n=−20n+n(n−1)2d=d2n2−(20+d2)n，∵S n的最小值仅为S6，则d2>0，5.5<20+d2d<6.5，解得：103<d<4．∴公差d的取值范围是(103,4)．故答案为：(103,4)．利用等差数列的求和公式、二次函数的单调性即可得出．本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：−725解析：【分析】本题考查了三角函数的诱导公式以及余弦二倍角公式应用，属于基础题．根据诱导公式求cosα，再由二倍角公式即可求解．【解答】解：由，得cos2α=2cos2α−1=1825−1=−725．故答案为−725．9.答案：−2解析：【分析】本题考查两角和与差的三角函数公式的应用以及正弦函数的图象和性质，利用两角和与差的三角函数公式化简函数式得到f(x)=√2sinx，再根据正弦函数的性质即可求出答案，属于基础题．【解答】解：f(x)=sinxcos7π4+cosxsin7π4+cosxcos3π4+sinxsin3π4=√22sinx−√22cosx−√22cosx+√22sinx，当时，f(x)取最小值−2．故答案为−2．10.答案：(−3,1)解析：【分析】本题主要考查分段函数的单调性、二次函数的单调性、一元二次不等式的解法．判断函数的单调性，再解不等式．【解答】解：当x ≥0时，f (x )=−x 2−2x 是减函数，最小值为0，当x <0时，f (x )=x 2−2x 是减函数，且f (x )>0，所以f (x )在R 上是减函数，所以f(3−a 2)<f(2a)等价于3−a 2>2a ，解得−3<a <1，所以不等式的解集是(−3,1)．故答案为(−3,1)．11.答案：120解析：【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式．属于基础题．直接应用等比数列的通项公式和求和公式不难求解．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ,则q 3=a5a 2=27，∴q =3，∴a 1=a 2q=3，∴S 4=a 1(1−q 4)1−q=3×(1−34)1−3=120，故答案为120．12.答案：−4解析：【解答】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，∴AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°=2√2×2×(−√22)=−4 故答案为：−4 【分析】由已知得AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°，代入计算即可得到所求值．本题考查了向量的数量积运算，属于基础题。

江苏省盐城市2020期中数学参考答案

盐城市2020届高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.{}1 2.133.必要不充分4.235.[2,)+∞6.3-7.72-8.725-9.6π10.[]0,111.153412.613.14.5(,2-∞二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15.解：(1)()f x 相邻的两个零点差的绝对值为6，记()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的周期为T ，则62T=,又2T πω=，6πω∴=................................................................................2分()2sin()(0)62f x x ππϕϕ∴=+<<;()f x的图象经过点，(0)2sin )2f πϕϕ∴==<<，3πϕ∴=，..................................................4分∴函数()f x 的解析式为()2sin()63f x x ππ=+...................................................6分(2) 将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数g()x 的图象,由(1)得，()2sin()63f x x ππ=+，∴函数g()x 的解析式为g()2sin[(3)]2sin()6366x x x ππππ=-+=-；..............10分当[1,5]x ∈-时，2,6633x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，则2sin()[2]66x ππ-∈.综上，当[1,5]x ∈-时，g()x的值域为[2]...................................14分16.解：(1) p 为真命题，则max 2(sin )a x +≥,1a ∴≥-；...........................4分(2) ""p q ∨为真命题，""p q ∧为假命题,则,p q 一真一假.......................................6分若q 为真命题，则2a x x =-在[1,1]x ∈-在有解，又2,[1,1]y x x x =-∈-的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，124a ∴-≤≤......................................8分①p 真q 假,1,124a a a ≥-⎧⎪⎨<->⎪⎩或则121.4a a >-≤<-或......................................10分②p 假q 真,1,124a a <-⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩则a 无解.......................................12分综上，实数a 的取值范围是1[1,)(2,)4--+∞ .......................................14分17.解：（法一）设((0,))2ADE πθθ∠=∈，过E 作EH AD ⊥于H ，EF 垂直平分AD ，1502DH BC ∴==(米)，50cos DE θ∴=(米)，50tan EH θ=(米)，又EF 的中点是矩形ABCD 的中心，2002200100tan EF EH θ∴=-=-(米)，记这5条路总长度为()f θ(米)，则50()4200100tan ((0,))cos 2f πθθθθ=⋅+-∈，..................................6分即2sin ()200100((0,))cos 2f θπθθθ-=+⋅∈，2(2sin )cos (2sin )(cos )()100cos f θθθθθθ''---'∴=⋅，..................................8分化简得22sin 1()100cos f θθθ-'=⋅，由()0f θ'=，可得6πθ=，..................................10分列表如下：由上表可知，当6πθ=时，()f θ取最小值122()200100200632f π-=+=+(米)..................13分答：5条道路的总长度的最小值为200+(米)...................................14分（法二）过E 作EH AD ⊥于H ，设EH x =(米)(0100x <<)因EF 垂直平分AD ，故1502AH BC==(米)，又EF 的中点是矩形ABCD 的中心，2002EF x ∴=-(米)；在Rt AEH ∆中，AE =米)，由对称性可得，AE DE CF BF ====(米)；记这5条路总长度为()f x (米)，()2002,(0100)f x x x ∴=-<<................................6分'()f x ∴=...............................8分令'()0,f x =解得x =负值舍).................................10分列表如下：由上表可知，当5033x =时，()f x 取最小值200+..................................13分答：5条道路的总长度的最小值为200+米..................................14分（法三）同方法二得到()2002,(0100)f x x x =-<<，以下可用判别式法.18.解：（1）设BC a =，AC b =，AB c =，由50AB AC DB DC ⋅+⋅=，所以54cos 522cos 0A D ⋅+⋅⋅=，即cos cos A D =-，..................................2分又,A D 为三角形的内角，所以sin sin A D =，..................................4分在ABC ∆中，sin sin a b A ABC =∠，所以4sin sin a A ABC =∠，..................................6分同理2sin sin a D BCD=∠，..................................8分所以42sin sin ABC BCD =∠∠，sin 2sin ABCBCD∠∴=∠..................................10分（2）在ABC ∆中，22222225441cos 225440b c a a a A bc +-+--===⋅⋅，..................................12分同理28cos 8a D -=，..................................14分由（1）可得22418408a a --=-，解得362BC a ==...................................16分19.解：（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数1325P =+=；经第2次拓展后的项数2549P =+=；经第3次拓展后的项数39817P =+=...................................3分（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n 次拓展后的项数为n P ，则经第1n +次拓展后增加的项数为1n P -，所以1(1)21n n n n P P P P +=+-=-，..................................5分所以11222(1)n n n P P P +-=-=-，由（1）知114P -=，所以111422n n n P -+-=⋅=，121n n P +∴=+，..................................7分由1212019n n P +=+≥，即122018n +≥，解得10n ≥，所以n 的最小值为10...................................8分（3）设第n 次拓展后数列的各项为123,,,,,,m a a a a a c ，所以123n m S a a a a a c =++++++ ，因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以11112223()()()()n m m S a a a a a a a a a a a c c +=+++++++++++++ ，即11223332n m S a a a a c +=+++++ ，所以13()n n S S a c +=-+，..................................12分得1232S a b c =++，25155S a b c =++，3144514S a b c =++，因为数列{}n S 为等比数列，所以3212S S S S =，可得0a c +=，..................................14分则12323S a b c b =++=，由10S ≠得0b ≠，反之，当0a c +=且0b ≠时，13n n S S +=，0n S ≠，13n nS S +=，所以数列{}n S 为等比数列，综上，,,a b c 满足的条件为0a c +=且0b ≠....................................16分20.解：（1）当0a =时，()(1)x f x e x x =--，(0)1f =-，()1xf x xe '=-，(0)1f '=-，故所求切线的方程为1(0)y x +=--，即10x y ++=....................................2分（2）①()1x f x xe '=-，令()()1x g x f x xe '==-，则()(1)x g x x e '=+，当1x <-时()10xg x xe =-<恒成立，故()g x 在(,1)-∞-上递减，令()0g x '>得1x >-，故()g x 在(1,)-+∞上递增，又1()102g =-<，(1)10g e =->，()g x 的图象在[1,)-+∞上连续不间断，所以存在唯一实数01(,1)2x ∈使得0()0g x =，...................................4分故0x x <时()0f x '<，0x x >时()0f x '>，所以()f x 在0(,)x -∞上递减，在0(,)x +∞上递增，∴min 0()()f x f x =000(1)xe x x a =---，由0()0g x =得01x ex =，∴min 001()1()f x a x x =--+，.........................6分因为函数()f x 有两个不同的零点1x ,2x ，所以min ()0f x <，得0011()a x x >-+，由01(,1)2x ∈易得00131()(,1)2x x -+∈--，故整数1a ≥-,当1a =-时，(0)(1)0f f ==，满足题意，故整数a 的最小值为1-.（也可以用零点存在性定理给出证明）...................................10分注：由0(0,1)x ∈得0011((,1)x x -+∈-∞-，不能得到1a ≥-.②法一：当1a =时，()(1)1xf x e x x =---，由12()()f x f x =得11111xx e x +=-，22211xx e x +=-，两式相乘得121212121212(1)(1)(1)(1)2()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ex x x x +++--++==----，得1212122()1(1)(1)x xx x e x x ++=+--（※）...................................12分不妨设12x x <，由(1)20f =-<及()f x 的单调性可知121x x <<，...................................14分故12(1)(1)0x x --<，当120x x +=时（※）式成立；当120x x +>时（※）式左边大于1，右边小于1，（※）式不成立；当120x x +<时（※）式左边小于1，右边大于1，（※）式不成立；综上，120x x +=....................................16分法二：当1a =时，()(1)1xf x e x x =---，不妨设12x x <，由(1)20f =-<及()f x 的单调性可知121x x <<，...................................12分由1()0f x =得111(1)10xe x x ---=，∴111111111111(1)1()(1)110x x x x x e x x f x e x x x e e-------=--+-=+-==，...................................14分故函数()f x 有两个不同的零点1x ,1x -，又由()f x 的单调性可知()f x 有且仅有两个不同的零点1x ,2x ，∴21x x =-，∴120x x +=....................................16分。

江苏省盐城市2020届高三数学上学期期中试题(含答案)

江苏省盐城市2020届高三上学期期中试题数学(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}210A x x =-=，[0,)B =+∞，则AB = ▲ ．2.已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1,P 是其终边上一点，则cos α的值为 ▲ ．3.“1m >”是“2m >”的 ▲ 条件. （选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）4.若向量(1,)a m =，(3,2)b =，a //b ，则实数m 的值为 ▲ ．5.函数y =的定义域为 ▲ ．6.若函数()y f x =为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =+，则(7)f -的值为 ▲ ．7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =且公差0d ≠，则1a d的值为 ▲ ． 8.若4sin()5π+α=-，则cos2α的值为 ▲ ．9.若函数()sin f x x x =的图象关于直线x a =对称，则||a 的最小值是 ▲ ．10.若函数221, 0,(), 0x ax x a x f x e x ⎧++-<⎪=⎨≥⎪⎩在(1,)-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11.若数列{}n a 满足121a a ==，32a =，且数列{}1n n a a +⋅是等比数列，则数列{}n a 的前19项和的值为 ▲ ．12.如图，在ABC ∆中，AB =，AC =，23AD AB =，13AE AC =，DM ME =，BN NC =，若M N B C⊥，则c o s A的值为 ▲ ．13.在ABC ∆中，1AC =，AB =，D 为BC 的中点，2CAD BAD ∠=∠，则BC 边的长为 ▲ ．14.设函数32()23f x x x a =--，若对任意的实数a ，总存在0[0,2]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)若函数()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数g()x 的图象，当[1,5]x ∈-时，求g()x 的值域.16. (本小题满分14分)设:p “,sin 2x R x a ∀∈≤+”；:q “2()f x x x a =--在区间[1,1]-上有零点”．（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．第12题图如图所示是某社区公园的平面图，ABCD 为矩形，200AB =米，100BC =米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD 内修建5条道路,,,,AE DE EF BF CF ，道路的宽度忽略不计.考虑对称美，要求直线EF 垂直平分边AD ，且线段EF 的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值.第17题图18. (本小题满分16分)如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，点D 为ABC ∆内一点，满足2BD CD ==，且50AB AC DB DC ⋅+⋅=.（1）求sin sin ABCBCD∠∠的值；（2）求边BC 的长.第18题图在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成一个新数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展. 如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2. 设数列a ，b ，c 经过第n 次拓展后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为n S .（1）求1P ，2P ，3P ；（2）若2019n P ≥，求n 的最小值；（3）是否存在实数a ，b ，c ，使得数列{}n S 为等比数列？若存在，求a ，b ，c 满足的条件；若不存在，请说明理由.20. (本小题满分16分)设函数()(1)xf x e x x a =---,a 为常数.（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(0,(0))P f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x . ① 当a Z ∈时，求a 的最小值； ② 当1a =时，求12x x +的值.盐城市2020届高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}1 2. 13 3. 必要不充分 4. 235. [2,)+∞6. 3-7. 72-8. 725-9. 6π10.[]0,1 11. 1534 12.614. 5(,]2-∞二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.解：(1)()f x 相邻的两个零点差的绝对值为6，记()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的周期为T ，则62T=, 又2T πω=，6πω∴=. ...............................................................................2分()2sin()(0)62f x x ππϕϕ∴=+<<;()f x 的图象经过点，(0)2sin )2f πϕϕ∴==<<，3πϕ∴=， ..................................................4分 ∴函数()f x 的解析式为()2sin()63f x x ππ=+. ..................................................6分 (2)将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数g()x 的图象,由(1)得，()2sin()63f x x ππ=+，∴函数g x的解析式为g()2sin[(3)]2sin()6366x x x ππππ=-+=-； ..............10分当[1,5]x ∈-时，2,6633x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin()[2]66x ππ-∈. 综上，当[1,5]x ∈-时，g (x 的值域为[3,2]. ..................................14分16.解：(1) p为真命题，则max 2(sin )a x +≥,1a ∴≥-； ........................... 4分 (2) ""p q ∨为真命题，""p q ∧为假命题, 则,p q一真一假. ......................................6分若q 为真命题，则2a x x =-在[1,1]x ∈-在有解，又2,[1,1]y x x x =-∈-的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，124a ∴-≤≤ ......................................8分① p 真q 假,1,124a a a ≥-⎧⎪⎨<->⎪⎩或则121.4a a >-≤<-或......................................10分 ②p假q真,1,124a a <-⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩则a无解 .......................................12分综上，实数a 的取值范围是1[1,)(2,)4--+∞. (14)分17.解：（法一）设((0,))2ADE πθθ∠=∈，过E 作EH AD ⊥于H ，EF 垂直平分AD ，1502DH BC ∴==(米)，50cos DE θ∴=(米)，50tan EH θ=(米)，又EF 的中点是矩形ABCD 的中心，2002200100tan EF EH θ∴=-=-(米)，记这5条路总长度为()f θ(米)，则50()4200100tan ((0,))cos 2f πθθθθ=⋅+-∈， ..................................6分即2sin ()200100((0,))cos 2f θπθθθ-=+⋅∈，2(2sin )cos (2sin )(cos )()100cos f θθθθθθ''---'∴=⋅， ..................................8分化简得22s i n1()100c o sf θθθ-'=⋅，由()f θ'=，可得6πθ=， ..................................10分由上表可知，当6πθ=时，()f θ取最小值2()20010020062fπ-=+=+(米) ..................13分答：5条道路的总长度的最小值为200+(米). ..................................14分（法二）过E 作EH AD ⊥于H ，设EH x =(米)( 0100x <<)因EF 垂直平分AD ，故1502AH BC ==(米)，又EF 的中点是矩形ABCD 的中心，2002EF x ∴=-(米)；在Rt AEH ∆中，AE =米)，由对称性可得，AE DE CF BF ===(米)；记这5条路总长度为()f x (米)，()2002,(0100)f x x x ∴=-<<. ...............................6分'()f x ∴==. ..............................8分令'()0,f x =解得x =(负值舍). ................................10分列表如下：由上表可知，当x =时，()f x 取最小值200+. .................................13分答：5条道路的总长度的最小值为200+米. .................................14分（法三）同方法二得到()2002,(0100)f x x x =-<<，以下可用判别式法. 18.解：（1）设BC a =，AC b =，AB c =，由50AB AC DB DC ⋅+⋅=，所以54cA D ⋅+⋅⋅=，即co A D =-， ..................................2分又,A D为三角形的内角，所以sin sin A D =， (4)分在ABC∆中，s insina b AABC =∠，所以4sin sin a A ABC=∠， ..................................6分同理2s i a DB=∠， ..................................8分所以42sin sin ABC BCD=∠∠，sin 2sin ABCBCD ∠∴=∠ ..................................10分（2）在ABC ∆中，2222225441cos225440b c a aaA bc+-+--===⋅⋅， ..................................12分同理28co 8a D -=， ..................................14分由（1）可得22418408a a --=-，解得BC a ==. ..................................16分19.解：（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数1325P =+=；经第2次拓展后的项数2549P =+=；经第3次拓展后的项数39817P =+=. ..................................3分（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n 次拓展后的项数为n P ，则经第1n +次拓展后增加的项数为1n P -，所以1(n n P P +=+， ..................................5分所以11222(1)n n n P P P +-=-=-，由（1）知114P -=，所以111422n n n P -+-=⋅=，121n n P +∴=+， ..................................7分由1212019n n P +=+≥，即122018n +≥，解得10n ≥，所以n 的最小值为10. ..................................8分（3）设第n 次拓展后数列的各项为123,,,,,,m a a a a a c ，所以123n m S a a a a a c =++++++，因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以11112223()()()()n m m S a a a a a a a a a a a c c +=+++++++++++++，即11223332n m S a a a a c+=+++++，所以13()n n S S a c +=-+， ..................................10分所以13()22n n a c a cS S +++-=-， 11()322n n a c a c S S -++-=-⋅， ..................................12分又1()()232S a a b b b c c a b c =++++++=++，所以()322n n a c a cS b ++=+⋅+，为使数列{}n S 为等比数列，则0202a c a c b +⎧=⎪⎪⎨+⎪+≠⎪⎩或0202a cb ac +⎧+=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，所以，,,a b c 满足的条件为00a c b +=⎧⎨≠⎩或200b ac b ++=⎧⎨≠⎩. ...................................16分（说明：少一种情况扣2分）20.解：（1）当0a =时，()(1)x f x e x x =--，(0)1f =-，()1x f x xe '=-，(0)1f '=-，故所求切线的方程为1(0)y x +=--，即10x y ++=. ...................................2分（2）①()1x f x xe '=-，令()()1x g x f x xe '==-，则()(1)x g x x e '=+，当1x <-时()10x g x xe =-<恒成立，故()g x 在(,1)-∞-上递减，令()0g x '>得1x >-，故()g x 在(1,)-+∞上递增，又1()102g =<，(1)10g e =->，()g x 的图象在[1,)-+∞上连续不间断，所以存在唯一实数01(,1)2x ∈使得0()0g x =， ...................................4分故0x x <时()0f x '<，0x x >时()0f x '>，所以()f x 在0(,)x -∞上递减，在0(,)x +∞上递增，∴min 0()()f x f x =000(1)x e x x a =---，由0()0g x =得001x e x =， ∴min 001()1()f x a x x =--+， .........................6分因为函数()f x 有两个不同的零点1x ,2x ，所以min ()0f x <，得0011()a x x >-+，由01(,1)2x ∈易得00131()(,1)2x x -+∈--，故整数1a ≥-, 当1a =-时，(0)(1)0f f ==，满足题意，故整数a 的最小值为1-.（也可以用零点存在性定理给出证明） ...................................10分注：由0(0,1)x ∈得0011()(,1)x x -+∈-∞-，不能得到1a ≥-. ②法一：当1a =时，()(1)1x f x e x x =---，由12()()f x f x =得11111x x e x +=-，22211x x e x +=-，两式相乘得121212121212(1)(1)(1)(1)2()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x e x x x x +++--++==----，得1212122()1(1)(1)x x x x e x x ++=+--（※） ...................................12分不妨设12x x <，由(1)2f =-<及()f x 的单调性可知121x x <<， ...................................14分故12(1)(1)0x x --<，当120x x +=时（※）式成立；当120x x +>时（※）式左边大于1，右边小于1，（※）式不成立；当120x x +<时（※）式左边小于1，右边大于1，（※）式不成立；综上，120x x +=. ...................................16分法二：当1a =时，()(1)1x f x e x x =---，不妨设12x x <，由(1)2f =-<及()f x 的单调性可知121x x <<， ...................................12分由1()0f x =得111(1)10x e x x ---=， ∴111111111111(1)1()(1)110x x x x x e x x f x e x x x e e -------=--+-=+-==， ...................................14分故函数()f x 有两个不同的零点1x ,1x -，又由()f x 的单调性可知()f x 有且仅有两个不同的零点1x ,2x ，∴21x x =-，∴120x x +=. ...................................16分。

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盐城市2020届高三第一学期期中考试数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1、已知集合A ＝｛x ｜x 2－1＝0｝，B ＝［0，＋∞），则A ∩B ＝2、已知角α的始边为x 轴的正半轴，点P （1，22）是其终边上一点，则cos α的值为3、“m ＞1”是“m ＞2”的条件。

（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）4、若向量a ＝(l ，m)，b ＝(3，2)，a ∥b ，则实数m 的值为．5、函数21log y x =-+的定义域为6、若函数y ＝f （x ）为奇函数，当x ＞0时，f (x) ＝log 2(1+x)，则f （－7）的值为．7、设Sn 为等差数列｛n a ｝的前n 项和，若 S 3＝S 5，且公差d ≠0，则1a d的值为 · 8、若sin （π＋α）＝－45，则cos2α的值为 . 9、若函数f （x ）＝sinx －3cos x 的图象关于直线x ＝a 对称，则｜a ｜的最小值是．10、若函数在（－1，＋∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是11、若数列｛n a ｝淢121a a ==，3a ＝2，则数列｛1n n a a +｝是等比数列，则数列｛n a ｝的前19项和的值为12、如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，23AD AB =，13AE AC =，DM ME =，BN NC =，若MN ⊥BC ，则cosA 的值为13、在△ABC 中，AC ＝1，AB ＝2，D 为BC 的中点，∠CAD ＝2∠BAD ，则BC 的长为 14、设函数32()|23|f x x x a =--，若对任意的实数a ，总存在0x ∈［0，2］，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、（本小题满分14分）若函数的图象经过点（0，3），且相邻的两个零点差的绝对值为6。

（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，当x ∈［－1，5］时，求()g x 的值域。

16、（本小题满分14分）设在区间［－1,1］上有零点”（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p ∨q 为真命题，且p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围。

如图所示是某社区公园的平面图，ABCD为矩形，AB＝200米，BC＝100米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD内修建5条道路AE,DE，EF,BF,CF,道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF垂直平分边AD，且线段EF的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．18、（本小题满分16分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D为△ABC内一点，满足BD＝CD＝2，且（1）求的值；（2）求边BC的长。

在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展。

如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a ，b ，c 经过第n 次拓展后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为Sn 。

（1）求P 1，P 2，P 3；（2）若n P ≥2019，求n 的最小值；（3）是否存在实数a ，b ，c ，使得数列｛Sn ｝为等比数列，若存在，求a ，b ，c 满足的条件；若不存在，请说明理由。

20、（本小题满分16分）设函数为常数。

（1）当a ＝0时，求函数()f x 的图象在点P （0，f （0））处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ， ①当a Z ∈时，求a 的最小值； ②当a ＝1时，求12x x +的值。

盐城市2020届高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}12.13 3. 必要不充分 4. 23 5. [2,)+∞ 6. 3- 7. 72- 8. 725- 9. 6π10.[]0,1 11. 1534 12.66 13. 5 14.5(,]2-∞二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.解：(1)()f x 相邻的两个零点差的绝对值为6，记()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的周期为T ，则62T=, 又2T πω=，6πω∴=. ...............................................................................2分()2sin()(0)62f x x ππϕϕ∴=+<<;()f x 的图象经过点(0,3)，(0)2sin 3(0)2f πϕϕ∴==<<，3πϕ∴=， ..................................................4分∴函数()f x 的解析式为()2sin()63f x x ππ=+. ..................................................6分(2)将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数g()x 的图象,由(1)得，()2sin()63f x x ππ=+，∴函数g()x 的解析式为g()2sin[(3)]2sin()6366x x x ππππ=-+=-； ..............10分当[1,5]x ∈-时，2,6633x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin()[3,2]66x ππ-∈-. 综上，当[1,5]x ∈-时，g()x 的值域为[3,2]-. ..................................14分 16.解：(1)p 为真命题，则max 2(sin )a x +≥,1a ∴≥-； ........................... 4分(2) ""p q ∨为真命题，""p q ∧为假命题,则,p q 一真一假. ......................................6分若q 为真命题，则2a x x =-在[1,1]x ∈-在有解，又2,[1,1]y x x x =-∈-的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，124a ∴-≤≤ .....................................8分① p 真q 假,1,124a a a ≥-⎧⎪⎨<->⎪⎩或则121.4a a >-≤<-或.................................10分② p 假q 真,1,124a a <-⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩ 则a 无解 ......................................12分综上，实数a 的取值范围是1[1,)(2,)4--+∞. .....................................14分17.解：（法一）设((0,))2ADE πθθ∠=∈，过E 作EH AD ⊥于H ，EF 垂直平分AD ，1502DH BC ∴==(米)， 50cos DE θ∴=(米)，50tan EH θ=(米)，又EF 的中点是矩形ABCD 的中心，2002200100tan EF EH θ∴=-=-(米)，记这5条路总长度为()f θ(米)，则50()4200100tan ((0,))cos 2f πθθθθ=⋅+-∈， ..................................6分即2sin ()200100((0,))cos 2f θπθθθ-=+⋅∈，2(2sin )cos (2sin )(cos )()100cos f θθθθθθ''---'∴=⋅， .................................8分化简得22sin 1()100cos f θθθ-'=⋅，由()0f θ'=，可得6πθ=， .........................10分列表如下：θ(0,)6π6π ()62ππ，'()f θ -+()f θ↘2001003+↗由上表可知，当6πθ=时，()f θ取最小值122()2001002001003632f π-=+⋅=+ (米) ..................13分答：5条道路的总长度的最小值为2001003+(米). ...............................14分（法二）过E 作EH AD ⊥于H ，设EH x =(米)( 0100x <<)因EF 垂直平分AD ，故1502AH BC ==(米)，又EF 的中点是矩形ABCD 的中心，2002EF x ∴=-(米)；在Rt AEH ∆中，22500AE x =+(米)，由对称性可得，22500AE DE CF BF x ====+(米)；记这5条路总长度为()f x (米)，2()425002002,(0100)f x x x x ∴=++-<<. ...............................6分22224225002(22500)'()25002500x x x x f x xx-+-+∴==++. ..............................8分令'()0,f x =解得5033x =(负值舍). ..............................10分列表如下：x50(0,3)35033503(100)3， '()f x-+()f x↘2001003+↗由上表可知，当5033x =时，()f x 取最小值2001003+. ...........................13分答：5条道路的总长度的最小值为2001003+米. .............................14分（法三）同方法二得到2()425002002,(0100)f x x x x =++-<<，以下可用判别式法. 18.解：（1）设BC a =，AC b =，AB c =，由50AB AC DB DC ⋅+⋅=，所以54cos 522cos 0A D ⋅+⋅⋅=，即cos cos A D =-， ............................2分又,A D 为三角形的内角，所以sin sin A D =， ..............................4分在ABC ∆中，sin sin a b A ABC =∠，所以4sin sin a A ABC =∠， .........................6分同理2sin sin a D BCD=∠， ..................................8分所以42sin sin ABC BCD =∠∠，sin 2sin ABCBCD∠∴=∠ .................................10分（2）在ABC ∆中，22222225441cos 225440b c a a a A bc +-+--===⋅⋅， .......................12分同理28cos 8a D -=， ..................................14分由（1）可得22418408a a --=-，解得362BC a ==. .................................16分19.解：（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数1325P =+=；经第2次拓展后的项数2549P =+=；经第3次拓展后的项数39817P =+=. ..................................3分（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n 次拓展后的项数为n P ，则经第1n +次拓展后增加的项数为1n P -，所以1(1)21n n n n P P P P +=+-=-， ..................................5分所以11222(1)n n n P P P +-=-=-，由（1）知114P -=，所以111422n n n P -+-=⋅=，121n n P +∴=+， ...........................7分由1212019n n P +=+≥，即122018n +≥，解得10n ≥，所以n 的最小值为10. ..................................8分（3）设第n 次拓展后数列的各项为123,,,,,,m a a a a a c ，所以123n m S a a a a a c =++++++，因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以11112223()()()()n m m S a a a a a a a a a a a c c +=+++++++++++++，即11223332n m S a a a a c +=+++++，所以13()n n S S a c +=-+， .................................12分得1232S a b c =++，25155S a b c =++，3144514S a b c =++，因为数列{}n S 为等比数列，所以3212S S S S =，可得0a c +=， ...............................14分则12323S a b c b =++=，由10S ≠得0b ≠，反之，当0a c +=且0b ≠时，13n n S S +=，0n S ≠，13n nS S +=，所以数列{}n S 为等比数列，综上，,,a b c 满足的条件为0a c +=且0b ≠. .................................16分20.解：（1）当0a =时，()(1)xf x e x x =--，(0)1f =-，()1xf x xe '=-，(0)1f '=-，故所求切线的方程为1(0)y x +=--，即10x y ++=. ......................2分（2）①()1x f x xe '=-，令()()1x g x f x xe '==-，则()(1)xg x x e '=+，当1x <-时()10xg x xe =-<恒成立，故()g x 在(,1)-∞-上递减，令()0g x '>得1x >-，故()g x 在(1,)-+∞上递增，又11()1022g e =-<，(1)10g e =->，()g x 的图象在[1,)-+∞上连续不间断，所以存在唯一实数01(,1)2x ∈使得0()0g x =， ...............4分故0x x <时()0f x '<，0x x >时()0f x '>，所以()f x 在0(,)x -∞上递减，在0(,)x +∞上递增， ∴min 0()()f x f x =000(1)xe x x a =---，由0()0g x =得01x ex =， ∴min 001()1()f x a x x =--+， .........................6分因为函数()f x 有两个不同的零点1x ,2x ，所以min ()0f x <，得0011()a x x >-+，由01(,1)2x ∈易得00131()(,1)2x x -+∈--，故整数1a ≥-, 当1a =-时，(0)(1)0f f ==，满足题意，故整数a 的最小值为1-.（也可以用零点存在性定理给出证明） ....................10分注：由0(0,1)x ∈得0011()(,1)x x -+∈-∞-，不能得到1a ≥-.②法一：当1a =时，()(1)1xf x e x x =---，由12()()f x f x =得11111x x e x +=-，22211x x e x +=-，两式相乘得121212121212(1)(1)(1)(1)2()(1)(1)(1)(1)x xx x x x x x e x x x x +++--++==----，得1212122()1(1)(1)x xx x e x x ++=+--（※） .............................12分不妨设12x x <，由(1)20f =-<及()f x 的单调性可知121x x <<， ......................14分故12(1)(1)0x x --<，当120x x +=时（※）式成立；当120x x +>时（※）式左边大于1，右边小于1，（※）式不成立；当120x x +<时（※）式左边小于1，右边大于1，（※）式不成立；综上，120x x +=. ..............16分法二：当1a =时，()(1)1xf x e x x =---，不妨设12x x <，由(1)20f =-<及()f x 的单调性可知121x x <<， ...................12分由1()0f x =得111(1)10xe x x ---=，∴111111111111(1)1()(1)110x x x x x e x x f x e x x x e e -------=--+-=+-==， ..................14分故函数()f x 有两个不同的零点1x ,1x -，又由()f x 的单调性可知()f x 有且仅有两个不同的零点1x ,2x ，∴21x x =-，∴120x x +=. ...................................16分。