2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.6空间向量及运算课件理
合集下载
2019届高三人教A版数学一轮复习课件：第七章立体几何与空间向量第7节(理)第一课时
n∥m⇔n＝λm n∥m⇔n＝λm n⊥m⇔ n· m＝0
1.直线的方向向量的确定：l 是空间一直线，A，B 是 l 上任意两 → → 点，则AB及与AB平行的非零向量均为直线 l 的方向向量． 2．平面的法向量的确定：设 a，b 是平面 α 内两不共线向量，n 为平面 α
a＝0， n· 的法向量，则求法向量的方程组为 b＝0. n·
→ → → 法一：设PB＝sFE＋tFG， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， t＝2， ∴t－s＝0， 解得 s＝t＝2. －t＝－2 → → → → → ∴PB＝2FE＋2FG，又∵FE与FG不共线， → → → ∴PB、FE与FG共面． ∵PB⊄平面 EFG，∴PB∥平面 EFG.
[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”， 错误的打“×”． (1)直线的方向向量是唯一确定的．( (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) )
(3)两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1＝(1,0，－1)，v2＝ (－2,0,2)，则 l1 与 l2 的位置关系是平行．( ) (4)若 n1，n2 分别是平面 α，β 的法向量，则 n1∥n2⇔α∥β.(
解析：B
→ → → → → ＝－3CD，∴AB与CD共线，又AB与CD没有公共点．∴AB∥CD.]
5． (导学号 14576638)若平面 α、 β 的法向量分别为 n1＝(2， －3,5)， n2＝(3,7,3)，则平面 α 与平面 β 的位置关系是 ________ .
解析：n1· n2＝2×3－3×7＋5×3＝0，即 n1⊥n2. 则平面 α⊥平面 β.
C.－ D.
)
3 3 3 ，－ ，－ 3 3 3
2019届高三数学一轮复习精品课件：第七章 第6节 空间向量及其运算
的向量
高考·导航
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
课时作业
首页
上页 下页
尾页
教材通关
2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存 在 λ∈R，使 a＝ λb (2)共面向量定理： 若两个向量 a， b 不共线， 则向量 p 与向量 a， b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)使 p＝
课时作业
首页
上页 下页
尾页
教材通关
解析：由题意得 c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)， 33 t＝ ， 7 17 ∴μ＝ ， 7 65 λ＝ . 7
7＝2t－μ， ∴5＝－t＋4μ， λ＝3t－2μ.
答案：D
高考·导航
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
教材通关
[小题诊断] 1．已知 a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若 a∥b，则 λ 与 μ 的 值可以是( 1 A．2， 2 C．－3,2 ) 1 1 B．－ ， 3 2 D．2,2
高考·导航
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
课时作业
首页
上页 下页
尾页
教材通关
解析：∵a∥b，∴b＝ka， 即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)， 6＝kλ＋1， ∴2μ－1＝0， 2λ＝2k， λ＝2， λ＝－3， 解得 或 1 1 μ＝ μ＝ . 2 2
解得 λ＝－9.
高考·导航
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
课时作业
首页
上页 下页
尾页
教材通关
3. 如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 → ＝a，AD → 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若AB → ＝c，则下列向量中与BM → 相等的向量 ＝b，AA 1 是( ) 1 1 B. a＋ b＋c 2 2 1 1 D. a－ b＋c 2 2
高三数学一轮总复习第七章立体几何7.6空间向量及其运算课件
→ (1)求AC1的长；
→
→
→
解析：(1)记AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
④不正确。
16
课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
17
考点一
空间向量的线性运算
【例1】 三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重 →→→ → →
心，用基向量OA，OB，OC表示MG，OG。
18
→ →→ 解析：MG＝MA＋AG ＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋2312O→B＋O→C－O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C。 →→ → OG＝OM＋MG ＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C。
量。
(4)共面向量：□6 _平__行__于__同__一__平__面______的向量。
4
2．空间向量中有关定理及其推论
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是 □7
_存__在__实__数__λ_，__使__a_＝__λ_b____。
→→ 推论：如图所示，点P在l上的充要条件是：OP＝OA＋ta，①
＝x
→ MA
＋y
→ MB
或对空间一点O有
→ OP
＝
□10
__O_→_M__＋__xM_→_A_＋__y_M_→_B______或O→P＝xO→M＋yO→A＋zO→B，其中□11 _x_＋__y_＋__z_＝_1___。
(3)空间向量基本定理：如果三个不共面向量a，b，c，那么对空间任一向量p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基 底。
→
→
→
解析：(1)记AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
④不正确。
16
课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
17
考点一
空间向量的线性运算
【例1】 三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重 →→→ → →
心，用基向量OA，OB，OC表示MG，OG。
18
→ →→ 解析：MG＝MA＋AG ＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋2312O→B＋O→C－O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C。 →→ → OG＝OM＋MG ＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C。
量。
(4)共面向量：□6 _平__行__于__同__一__平__面______的向量。
4
2．空间向量中有关定理及其推论
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是 □7
_存__在__实__数__λ_，__使__a_＝__λ_b____。
→→ 推论：如图所示，点P在l上的充要条件是：OP＝OA＋ta，①
＝x
→ MA
＋y
→ MB
或对空间一点O有
→ OP
＝
□10
__O_→_M__＋__xM_→_A_＋__y_M_→_B______或O→P＝xO→M＋yO→A＋zO→B，其中□11 _x_＋__y_＋__z_＝_1___。
(3)空间向量基本定理：如果三个不共面向量a，b，c，那么对空间任一向量p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基 底。
高考数学大一轮总复习 第七章 立体几何 7.6 空间向量
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)。 (1)a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) ；
(2)a－b＝ (x1－x2，y1－y2，z1－z2) ；
(3)λa＝ (λx1，λy1，λz1) (4)a·b＝ x1x2＋y1y2＋z1z2
(λ∈R)； ；
(5)|a|＝ a·a＝ ___x_21_＋__y_21＋__z_21__；
J 基础知识 自主学习
知识梳理
1．空间向量的有关概念 名称
定义
在空间中，具有 大小 和 方向 的量叫作空间向量， 空间向量
其大小叫作向量的 长度 或模
自由向量
与向量的 起点 无关的向量
长度或模为 1 的向量 单位向量
a
(非零向量 a 的单位向量 a0＝_|_a|_)
名称
定义
零向量
长度为 0 的向量
答案 A
3．(2016·西安模拟)已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心，若A→E＝A→A1＋xA→B＋yA→D，则 x，y 的值分别为( )
相等向量
方向 相同 且模 相等 的向量
相反向量
方向 相反 而 模 相等的向量
过空间任意一点 O 作向量 a，b 的相等向量O→A和O→B，则
___∠__A_O__B____叫作向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉，范
向量 a，b 的 围是[0，π]
夹角
①当〈a，b〉＝π2时，记作 a⊥b ；
②当〈a，b〉＝0 或 π 时，记作_a_∥__b___
名称
定义
如果表示空间向量的有向线段所在的直线_互__相__平__行__ 平行向量
或重合，则这些向量叫作_共__线__向__量___或_平__行___向__量___
高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.6 空间向量及其运算课件
＋2×1×cos120°)＝2，∴|E→F|＝ 2，∴EF 的长为 2.
(5)∵P，A，B，C 四点共面，∴34＋18＋t＝1，∴t＝18.
12/11/2021
第十四页，共四十七页。
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
12/11/2021
第十五页，共四十七页。
考点一 空间向量的线性运算 【例 1】 在三棱锥 O-ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中 点，G 是△ABC 的重心，用基向量O→A，O→B，O→C表示O→G，M→G.
共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝__x_a_＋__y_b___．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空
间任一向量 p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得 p＝_x_a_＋__y_b__＋__z_c．
12/11/2021
第七页，共四十七页。
知识点二
空间向量的数量积运算
∴
c
＝
m
→ BC
＝
m(
－
2
，
－
1,2)
＝
(
－
2m
，
－
m,2m)
，
∴
|c|
＝
－2m2＋－m2＋2m2＝3|m|＝3，
∴m＝±1，∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．
12/11/2021
第三十三页，共四十七页。
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，
A．－12a＋12b＋c B．12a＋12b＋c C．－12a－12b＋c D．12a－12b＋c
12/11/2021
2019高考数学(理)一轮复习课件 第七章 立体几何 第3讲 课件
____________过该点的公共直线． 公理 4：平行于同一条直线的两条直线____________．
互相平行
公理 2 的三个推论： 推论 1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类
直线 直线 a 与平面 α 在平 斜交 面外 直线 a 与平面 α 垂直
有且只有一 个公共点
(2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 图形表示 符号表示 α∥ β 公共点 没有公共点
两平 斜交 面相 交 垂直
α∩β＝l α⊥ β 且 α∩β＝a
有一条公共 直线
1．辨明三个易误点 (1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不 要理解成“不在同一个平面内”． (2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的 条件． (3)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．
②③
[解析] 经过不共线的三点可以确定一个平面，所以①不正确； 两条平行线可以确定一个平面，所以②正确；两两相交的三 条直线可以确定一个或三个平面，所以③正确；命题④中没 有说清三个点是否共线，所以④不正确．
平面的基本性质 [典例引领] 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别 是 AB 和 AA1 的中点．求证：E、C、D1、F 四点共面．
A．30° C．60°
B．45° D．90°
[解析] 连接 B1D1，D1C，则 B1D1∥EF， 故∠D1B1C 为所求，又 B1D1＝B1C＝D1C， 所以∠D1B1C＝60° .
3．(2016· 高考山东卷)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内．则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交” 的(
2019届高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第七节 立体几何中的向量方法课件 理
| n 1|| n 2|
过基础小题
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角． ( )
(2)已知 a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则 a ∥
c，a ⊥b .
()
(3)已知向量 m ，n 分别是直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量，
2，故
DF＝
2 2.
在
Rt△FDG
中，可得
FG＝
6 2.
在直角梯形 BDFE 中，由 BD＝2，BE＝ 2，DF＝ 22，
可得 EF＝322.从而 EG2＋FG2＝EF2，所以 EG⊥FG. 又 AC∩FG＝G，所以 EG⊥平面 AFC.
因为 EG⊂平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 AFC.
(2)以 G 为坐标原点，分别以―G→B ，―G→C 的方向为 x 轴，y 轴正方
[典题领悟]
(2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为
❶
菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面 ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
❷
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
❸
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
❹
[学审题] ①想到连接 BD，利用菱形的性质解题； ②想到线面垂直的性质； ③要证面面垂直，转化为证明线面垂直或证明两平面的法向 量垂直； ④想到建系，转化为求―A→E 与―C→F 的夹角的余弦值．
a ，b 分别是直线 a，b 的方向向量．
2．直线与平面所成角 如图所示，设 l 为平面 α 的斜线，l∩α＝A，
a 为 l 的方向向量，n 为平面 α 的法向量，φ |a ·n |
过基础小题
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角． ( )
(2)已知 a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则 a ∥
c，a ⊥b .
()
(3)已知向量 m ，n 分别是直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量，
2，故
DF＝
2 2.
在
Rt△FDG
中，可得
FG＝
6 2.
在直角梯形 BDFE 中，由 BD＝2，BE＝ 2，DF＝ 22，
可得 EF＝322.从而 EG2＋FG2＝EF2，所以 EG⊥FG. 又 AC∩FG＝G，所以 EG⊥平面 AFC.
因为 EG⊂平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 AFC.
(2)以 G 为坐标原点，分别以―G→B ，―G→C 的方向为 x 轴，y 轴正方
[典题领悟]
(2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为
❶
菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面 ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
❷
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
❸
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
❹
[学审题] ①想到连接 BD，利用菱形的性质解题； ②想到线面垂直的性质； ③要证面面垂直，转化为证明线面垂直或证明两平面的法向 量垂直； ④想到建系，转化为求―A→E 与―C→F 的夹角的余弦值．
a ，b 分别是直线 a，b 的方向向量．
2．直线与平面所成角 如图所示，设 l 为平面 α 的斜线，l∩α＝A，
a 为 l 的方向向量，n 为平面 α 的法向量，φ |a ·n |
高三数学一轮总复习 第七章 立体几何 7.6 空间向量及其运算课件.ppt
5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断
向量的共线与垂直。
3
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
4
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有□1 __大__小__和□2 _方__向___的量叫做空间向量。 (2)相等向量：方向□3 _相__同___且模□4 _相__等___的向量。 (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在直线互相 □5 平__行____或重合的向
8
②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a，b，则□16 _|a_|_·|_b_|c_o_s_〈__a_，__b_〉____叫 做向量a，b的数量积，记作□17 ___a_·b________，即a·b＝□18 ___|_a_||b_|_c_o_s〈__a_，__b_〉_____。
(2)空间向量数量积的运算律。
第七章
立体几何
1
第六节 空间向量及其运算
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
2
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。
2.会推导空间两点间的距离公式。
考纲 导学
3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握 空间向量的正交分解及其坐标表示。 4.掌握空间向量22_＋__a_23 ，cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
28
a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23 ________________________
。
□ →
若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|AB|＝
29
__a_1_－__a_2_2＋___b_1－__b_2_2_＋__c_1_－_c。22
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 ＝____8____.
解析 ∵P，A，B，C 四点共面，∴34＋18＋t＝1， ∴t＝18.
经典题型冲关
题型 1 空间向量的线性运算 典例 如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，设A→A1＝a，A→B＝b，A→D＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC， C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：
2．教材衍化 (1)(选修 A2－1P97A 组 T2)如图所示，在平行六面体
ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若A→B＝a， A→D＝b，A→A1＝c，则下列向量中与B→M相等的向量是( )
A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c C．－12a－12b＋c D.12a－12b＋c 解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，B→M＝ B→B1＋B→1M＝A→A1＋12(A→D－A→B)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c. 故选 A.
＝－a＋b＋12c.
(3)∵M 是 AA1 的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P＝－12a＋( a＋c＋12b ) ＝12a＋12b＋c， 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1＝12A→D＋A→A1＝12c＋a. ∴M→P＋N→C1＝12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.
①E→F＝12B→D＝12c－12a， B→A＝－a，D→C＝b－c， E→F·B→A＝12c－12a·(－a) ＝12a2－12a·c＝14. ②E→F·D→C＝12(c－a)·(b－c)＝12(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－14.
③E→G＝E→B＋B→C＋C→G
＝12a＋b－a＋12c－12b＝－12a＋12b＋12c，
提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量 用已知基向量表示出来．
冲关针对训练 (2018·郑州模拟)如图所示，已知空间四边形 OABC，其 对角线为 OB，AC，M，N 分别为 OA，BC 的中点，点 G 在 线段 MN 上，且M→G＝2G→N，若O→G＝xO→A＋yO→B＋zO→C，则 x
(2)(选修 A2－1P98T4)如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD， CD 的中点，计算：
①E→F·B→A； ②E→F·D→C； ③EG 的长．
解 设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a， b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.
方法技巧 用已知向量表示某一向量的方法
1．用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以 图形为指导是解题的关键．
2．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意 义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向 末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的 多边形法则．
3．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的 平行四边形法则在空间仍然成立．
(2)中点公式 设点 P(x，y，z)为 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，
x＝x1＋2 x2，
y＝y1＋2 y2，
则
z＝z1＋2 z2
.
2．空间向量的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 3．空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(a，b 均为非零向量)：
第7章 立体几何
7．6 空间向量及运算
基础知识过关
[知识梳理] 1．空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式 ①设点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则|AB|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22 . ②设点 P(x，y，z)，则与坐标原点 O 之间的距离为 |OP|＝ x2＋y2＋z2 .
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相 同．( × ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则 a，b，c 中至多 有一个零向量．( × )
(4)对空间任意一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若O→P ＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其中 x，y，z∈R)，则 P，A，B，C 四 点共面．( × )
|E→G|2＝14a2＋14b2＋14c2－12a·b＋12b·c－12c·a＝12，则|E→G|
＝
22.所以
EG
的长为
2 2.
3．小题热身
(1) 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， A(1,2,3) ， B( － 2 ， － 1,6) ，
C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线 AB 与 CD 的位置关系是( )
A．垂直垂直
解析 由题意得，A→B＝(－3，－3,3)，C→D＝(1,1，－1)，
∴A→B ＝－3C→D ，∴A→B 与 C→D 共线，又 AB 与 CD 没有公
共点，∴AB∥CD.故选 B.
(2)O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且O→P ＝34O→A＋18O→B＋tO→C，若 P，A，B，C 四点共面，则实数 t
(1)A→P；(2)A→1N；(3)M→P＋N→C1.
解 (1)∵P 是 C1D1 的中点，
∴A→P＝A→A1＋
A→1D1＋
→ D1P
＝
a
＋
A→D＋12
→ D1C1
＝
a＋c
＋
1 2
A→B＝a＋c＋12b.
(2)∵N 是 BC 的中点，
∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N＝－a＋b＋12B→C＝－a＋b＋12A→D
5 ＋y＋z＝__6____.
解析 设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c. 则M→N＝O→N－O→M＝12(O→B＋O→C)－12O→A ＝12b＋12c－12a， O→G＝O→M＋M→G＝12O→A＋23M→N
＝12a＋2312b＋12c－12a＝16a＋13b＋13c， 又O→G＝xO→A＋yO→B＋zO→C， 所以 x＝16，y＝13，z＝13， x＋y＋z＝16＋13＋13＝56.
解析 ∵P，A，B，C 四点共面，∴34＋18＋t＝1， ∴t＝18.
经典题型冲关
题型 1 空间向量的线性运算 典例 如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，设A→A1＝a，A→B＝b，A→D＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC， C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：
2．教材衍化 (1)(选修 A2－1P97A 组 T2)如图所示，在平行六面体
ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若A→B＝a， A→D＝b，A→A1＝c，则下列向量中与B→M相等的向量是( )
A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c C．－12a－12b＋c D.12a－12b＋c 解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，B→M＝ B→B1＋B→1M＝A→A1＋12(A→D－A→B)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c. 故选 A.
＝－a＋b＋12c.
(3)∵M 是 AA1 的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P＝－12a＋( a＋c＋12b ) ＝12a＋12b＋c， 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1＝12A→D＋A→A1＝12c＋a. ∴M→P＋N→C1＝12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.
①E→F＝12B→D＝12c－12a， B→A＝－a，D→C＝b－c， E→F·B→A＝12c－12a·(－a) ＝12a2－12a·c＝14. ②E→F·D→C＝12(c－a)·(b－c)＝12(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－14.
③E→G＝E→B＋B→C＋C→G
＝12a＋b－a＋12c－12b＝－12a＋12b＋12c，
提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量 用已知基向量表示出来．
冲关针对训练 (2018·郑州模拟)如图所示，已知空间四边形 OABC，其 对角线为 OB，AC，M，N 分别为 OA，BC 的中点，点 G 在 线段 MN 上，且M→G＝2G→N，若O→G＝xO→A＋yO→B＋zO→C，则 x
(2)(选修 A2－1P98T4)如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD， CD 的中点，计算：
①E→F·B→A； ②E→F·D→C； ③EG 的长．
解 设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a， b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.
方法技巧 用已知向量表示某一向量的方法
1．用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以 图形为指导是解题的关键．
2．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意 义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向 末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的 多边形法则．
3．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的 平行四边形法则在空间仍然成立．
(2)中点公式 设点 P(x，y，z)为 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，
x＝x1＋2 x2，
y＝y1＋2 y2，
则
z＝z1＋2 z2
.
2．空间向量的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 3．空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(a，b 均为非零向量)：
第7章 立体几何
7．6 空间向量及运算
基础知识过关
[知识梳理] 1．空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式 ①设点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则|AB|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22 . ②设点 P(x，y，z)，则与坐标原点 O 之间的距离为 |OP|＝ x2＋y2＋z2 .
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相 同．( × ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则 a，b，c 中至多 有一个零向量．( × )
(4)对空间任意一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若O→P ＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其中 x，y，z∈R)，则 P，A，B，C 四 点共面．( × )
|E→G|2＝14a2＋14b2＋14c2－12a·b＋12b·c－12c·a＝12，则|E→G|
＝
22.所以
EG
的长为
2 2.
3．小题热身
(1) 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， A(1,2,3) ， B( － 2 ， － 1,6) ，
C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线 AB 与 CD 的位置关系是( )
A．垂直垂直
解析 由题意得，A→B＝(－3，－3,3)，C→D＝(1,1，－1)，
∴A→B ＝－3C→D ，∴A→B 与 C→D 共线，又 AB 与 CD 没有公
共点，∴AB∥CD.故选 B.
(2)O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且O→P ＝34O→A＋18O→B＋tO→C，若 P，A，B，C 四点共面，则实数 t
(1)A→P；(2)A→1N；(3)M→P＋N→C1.
解 (1)∵P 是 C1D1 的中点，
∴A→P＝A→A1＋
A→1D1＋
→ D1P
＝
a
＋
A→D＋12
→ D1C1
＝
a＋c
＋
1 2
A→B＝a＋c＋12b.
(2)∵N 是 BC 的中点，
∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N＝－a＋b＋12B→C＝－a＋b＋12A→D
5 ＋y＋z＝__6____.
解析 设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c. 则M→N＝O→N－O→M＝12(O→B＋O→C)－12O→A ＝12b＋12c－12a， O→G＝O→M＋M→G＝12O→A＋23M→N
＝12a＋2312b＋12c－12a＝16a＋13b＋13c， 又O→G＝xO→A＋yO→B＋zO→C， 所以 x＝16，y＝13，z＝13， x＋y＋z＝16＋13＋13＝56.