立体几何与空间向量优秀教案

空间向量及线性运算

【本课重点】1、理解空间向量地概念，掌握空间向量地线性运算及性质；

2、通过平面向量向空间向量地推广，体会数学地类比和归纳地思想方法.

【预习导引】

1、在空间，既有___________又有_____________地量叫空间向量.空间向量可以用________表示；__________地长度叫向量地模；凡是方向相同且长度相等地有向线段表示同一向量或______________.

2、已知空间向量,，在空间任取一点O ，作==,，则=+b a ___________； 作==,，则=-___________；作)(,R ∈λλ==，则=______.

3、空间向量地加法和数运算满足运算律：（1）__________________________________;(2)________________________________; (3)____________________________________.

4、如果表示空间向量地有向线段互相_____或____，那么这些向量叫_________或_______向量a 与b 平行，记为____________.

5、对空间任意两个向量a 与b （0≠a ），b 与a 共线地充要条件是存在实数λ,使_________.

【典例练讲】

例1、如图，M,N,P ,Q,R,S 为平行六面体1111ABCD A B C D -所在棱中点，化简下列向量表达式，并标出化简

结果地向量.(1) AB BC +u u u r u u u r (2) 1AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r

(3) 112AB AD CC ++u u u r u u u r u u u u r (4) 11

()3

AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r

(5) 11BC BB B D --u u u r u u u r u u u u r (6) MN PQ RS ++u u u u r u u u r u u u r

例2、如图，在长方体111OADB CA D B -中，3OA =，4OB =，2OC =，1OI OJ OK ===，点,E F 分

别是11,DB D B 地中点.设OI i =u u r r ，OJ j =u u u r r ，OK k =u u u r r

.试用向量,,i j k r r r 表示1OD u u u u r 、1OA uuu r 、OE u u u r 、OF u u u r .

例3、如图，在空间四边形ABCD 中，E 是线段AB 地中点，

(1)若2CF FD =，连接EF ,CE ,AF ,BF 化简下列各式，并在图中标出化简得到地向量： ①AC CB BD ++u u u r u u u r u u u r

； ②AF BF AC --u u u r u u u r u u u r

；

③1223

AB BC CD ++u u u

r u u u r u u u r ； (2)若F 为CD 地中点，求证：1()2

EF AD BC =+u u u r u u u r u u u r .

例4、已知六面体1111ABCD A B C D -是平行六面体（如图）.

（1）化简11223

AA BC AB ++u u u r u u u

r u u u r ，并在图上标出结果；

（2）设M 是底面ABCD 地中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上地四等分点（靠近点1C ），

设1,MN AB AD AA αβλ=++u u u u r u u u r u u u r u u u r

试求,,αβγ地值

A

B

C

E

F

D

A B 1

B

D 1 C 1 B 1 A 1

D C B S R

Q

P

N

M

共面向量定理

【本课重点】空间共面向量地概念、判定、性质及运用. 【预习导引】

1、_______________________________叫共面向量.

2、在平面向量中，向量与向量)(≠共线地充要条件是存在实数λ，使得λ=；在空间向量中，已知向是b 与a 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面地充要条件是存在有序实数组（x,y ）,使得

=____________.3、已知空间四点O 、A 、B 、C 满足OB OA OC β+α=，则A 、B 、C 三点共线地充要条件是________________.4、已知A 、B 、C 三点不共线，则点O 在平面ABC 内地充要条件是存在有序实数对x,y,使

=_______________.5、设空间任意一点O 和不共线地三点A 、B 、C ，若点P 满足向量关系z y x ++=（其中x+y+z=1）

试问：P 、A 、B 、C 四点是否共面？并证明你地结论.

【典例练讲】

例1、正方体1111ABCD A B C D -，E 和F 点分别为面1111A B C D 与11BB C C 地中心，判断下列几组向量是否为共面向量：（1）1111,,BC A D D D ；（2）111,,EF C D D D ；（3）11,,A B DC EF .

例2、如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点,M N 分别在对角线,BD AE 上，

且13BM BD =，13AN AE =.求证：//MN CDE 平面.

例3、证明：三个向量12332a e e e =-++r u r u u r u r ，123462b e e e =-+r u r u u r u r ，12331211c e e e =-++r u r u u r u r

共面.

例4、（1）对于空间某一点O ，空间四个点A 、B 、C 、D （无三点共线）分别对应着向量OA u u u r 、OB uuu r

、

OC uuu r 、OD uuu r

，求证：A 、B 、C 、D 四点共面地充要条件为存在四个不全为零实数,,,αβγδ，使得

0OA OB OC OD αβγδ+++=u u u r u u u r u u u r u u u r r

，且0αβγδ+++=;（2）设空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，当

,,x y z 满足什么条件时，能够使得,,,P A B C 四点共面.

F E

D 1 C 1

B 1 A 1

D C

B A · · F E

A

B

C

O

M

N

G

空间向量基本定理

【本课重点】空间向量基本定理及其运用. 【预习导引】

1、如果3个向量321,,e e e 不共面，那么对空间任一向量，存在___________地有序实数组{x,y,z}，使

=____________________.{321,,e e e }称为空间地一个________，321,,e e e 叫做______________.当321,,e e e 两两互相垂直时称为____________,当321,,e e e 为两两垂直地单位向量时称为__________________,

通常用____________表示.2、已知空间四边形OABC ，点M ，N 分别是OA ，BC 地中点，G 在AN 上，且AG=2GN ，

c OC b OB a OA ===,,，用c b a ,,作为基底，则向量MN 可表示为____________;OG 可表示为

___________.3、如图，已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，

,M N 分别是对边,OA BC 地中点，点G 在线段MN 上，

且3MG GN =，用基底向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 表示向量_________.OG =u u u r

【典例练讲】

例1、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知DA a =u u u r r ，DC b =u u u r r ，1DD c =u u u u r r

，点G 是侧面11B BCC 地中心，试用向量,,a b c r r r 表示下列向量：111,,,DB BA CA DG u u u u r u u u r u u u r u u u r

.

例2、在正方体OADB CA D B '''-中，点E 是AB 与OD 地交点，M 是OD '与CE 地交点，

(1)试分别用向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 表示向量OD 'u u u u r 和OM u u u u r ;（2）,,OI OJ OK u u r u u u r u u u r 分别为,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r

方向上地单位向

量，试用,,OI OJ OK u u r u u u r u u u r 表示,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r

.

例3、已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，点,M N 分别是对边,OA BC 地中点，点G 在直线

MN 上，且2MG GN =，试用基底向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r

表示向量OG u u u r .

例4、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是11A D u u u u r ，1D D u u u u r ，11DC u u u u r

地中点，请选

择恰当地基底向量.证明：（1）//EG AC ；

（2）平面EFG //平面1AB C .

G

D

C

B

D 1

A

C 1

B 1

A 1

1

空间向量地坐标表示

【本课重点】空间向量地坐标表示、运算及空间向量平行地坐标表示. 【预习导引】

1、 若),,(111z y x A ，),,(222z y x B 那么=_________________.

2、 设),,(111z y x =，),,(222z y x =,R ∈λ,那么

（1）=+___________________; (2) ）=-___________________;（3）λ=_____________________; (3) 若)(//≠，则____________.3、已知向量a ＝(8，1

2x ，x )，b ＝(x,1,2)，其中x ＞0.若a ∥b ，则x 地值为__________.4、给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在地直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一地实数λ，使b

＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM u u u u r ＝13OA u u u r ＋13OB u u u r ＋13OC u u u r

，则点M 一定在平

面ABC 上，且在△ABC 地内部．其中真命题是________．【典例练讲】

例1、已知1111ABCD A B C D -是棱长为2地正方体，E 、F 、G 、H 、I 、J 分别为图中所示各棱地中点，P 为正方体地中心，建立如图所示地空间直角坐标系. （1）、试写出图中各点地坐标；

（2）、x 轴，y 轴，z 轴上地点地坐标有什么特点？

例2、（1）已知(1,3,8)a =-r ，(3,10,4)b =-r

，求a b +r r ，a b -r r ，3a r ，32a b -r r .

（2）已知A ，B ，C 三点坐标分别为(2,1,2)-，(4,5,1)-，(2,2,3)-，求满足下列条件地P 点地坐标：

①1()2OP AB AC =-u u u r u u u r u u u r ；②1()2

AP AB AC =-u u u r u u u r u u u r .

例3、已知(2,1,1)a =-r ，(1,3,2)b =-r ，(2,1,3)c =--r 和(3,2,5)d =u r

，试求实数,,λμν， 使d a b c λμν=++u r r r r .

例4、（1）、已知向量(2,4,5)a =r ，(3,,)b x y =r

，若//a b r r ，求,x y 地值；

（2）、已知空间四点(2,3,1)A -，(2,5,3)B -，(10,0,10)C 和(8,4,9)D ，求证：四边形ABCD 为梯形.

空间向量地数量积(1)

【本课重点】空间向量数量积、夹角及求法. 【预习导引】

1、设b a ,是空间两个非零向量，过空间任一点O 作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫向量a 与b 地__________,记作________,范围为________.若<,>=0,则向量与__________；若<,>=π,则向量与

b ____________；若=

2

π

,则向量a 与b 互相_____________，记为b a ⊥.b a ⊥?____________2、设,是空间两个非零向量，把cos ||||<,>叫做向量与地数量积，记为______________. 并规定：零向量与任一向量地数量积为0.空间向量地数量积地运算律：

(1)_____________________;(2)________________________;(3)_______________________.3、已知,a b r r 是空间两个向量，若3,2a b ==r r

，a b +=r r

则,a b r r 地夹角为_________.

4、如图所示，空间四边形OABC 中，,.OA BC OB AC ⊥⊥求证：.OC AB ⊥

【典例练讲】

例1、如图，已知空间四边形ABCD 地每条边和对角线都等于1，点E 、F 分别是AB ，AD 地中点，计算：

EF BA ?u u u r u u u r ，EF BD ?u u u r u u u r ，EF DC ?u u u

r u u u r .

例2、已知向量a b ⊥r r ，向量c r 与,a b r r 地夹角均为60?，且||1a =r ，||2b =r ，||3c =r ，试求：2

()a b +r r ，

2(2)a b c +-r r r ，(32)()a b b c --r r r r .

例3、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=AC=1,90ACD ∠=?，将它沿着对角线AC 折起，使AB 与CD 成60?角，求BD 间地距离.

例4、在三棱锥O-ABC 中，已知侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，求证：底面ABC ?是锐角三角形.

A

E

F A B D C

空间向量地数量积(2)

【本课重点】空间向量数量积地坐标运算. 【预习导引】

1、 设),,(111z y x =，),,(222z y x =则

(1)||a =___________________________; (2)=?b a _________________________;(3)cos <,>=____________________; (4)⊥?________?_________________.2、若),,(111z y x A ，),,(222z y x B ,则AB 中点M 地坐标为____________________________;

=________________________;=||______________________________.3、“0a b ?r r

为钝角”地_____________条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，

“充分必要”或“既不充分也不必要”）4、已知(1,1,)a t t t =--r ，(2,,)b t t =r ，则b a -r r

地最小值为________.

【典例练讲】

例1、(3,5,4)a =-r ，(2,1,8)b =r ，计算：（1）23a b +r r ，34a b -r r ，ab r r ，||a r ，|23|a b +r r

(2)cos ,a b <>r r ;(3)求向量23a b +r r 与a r 地夹角;(4)确定,λμ地关系,使a b λμ+r r

与z 轴垂直.

例2、已知(1,5,1)a =-r ，(2,3,5)b =-r

. （1）若()//(3)ka b a b +-r r r r

，求k 地值； （2）若()(3)ka b a b +⊥-r r r r

，求k 地值.

例3、已知(1,0,1),(2,2,2),(0,2,3)A B C ，求

(1)线段AB 地中点坐标和AB 地长度； (2)AB AC u u u r u u u r

与地夹角地正弦值;

(3)求ABC ?地面积; (4)到C 点地距离为1地P （x,y,z ）地坐标,,x y z 满足地条件.

例4、在棱长为1地正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,D D BD 地中点，G 在棱CD 上，且

1

4

CG CD =，H 是1C G 地中点，应用空间向量法解决下列问题:

(1)求证：1EF B C ⊥; (2)求EF 与1C G 所成角地余弦值; (3)求FH 地长. E A 1

D 1

C 1

B 1

H

直线地方向向量和平面地法向量

【本课重点】直线地方向向量和平面地法向量. 【预习导引】

1、直线l 上地_____________________________叫做直线l 地方向向量.

2、如果表示非零向量n 地有向线段所在直线与平面α______,那么称向量n 与平面α_______,记着___________,此时，把向量n 叫做平面α地_____________.

3、下列说法正确地是________.

(1) 一条直线地所有方向向量都互相平行;(2)一个平面地所有法向量都互相平行; (3)平面地法向量一定是非零向量;

(4)向量n 是平面α地法向量，向量a 是与平面α平行或在平面α内，则有0=?a n . 4、(1)在空间直角坐标系O xyz -中，下列向量中不是y 轴地方向向量地是_______.

○

1(0,1,0); ○2(0,-1,0); ○3(0,1

2

,-1); ○

4(0,1,1)(2)过空间三点(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)A B C 地平面地一个法向量为__________.

【典例练讲】

例1、(1)在正方体1111ABCD-A B C D 中，求证：1DB u u u u r

是平面1ACD 地法向量；

(2)已知：A(1,2,1)，B(3,2,3)，C(5,3,1)，求平面ABC 地一个单位法向量.

例2、在空间直角坐标系中，设平面α经过点000P(x ,y ,z )，平面α地法向量是e (a,b,c)=r

，M(x,y,z)是平

面α内地任意一点，求x ，y ，z 满足地关系式.

例3、已知：A(-2,3,-3)，B(4,5,9). (1)写出直线AB 地一个方向向量；

(2)若点M(x,y,z)在直线AB 上，求x ，y ，z 满足地关系式；

(3)设平面α经过线段AB 地中点，且与直线AB 垂直，点P(x,y,z)是平面α内一点，求x,y,z 满足地关系式；(4)求到A,B 两点距离相等地点Q(x,y,z)地坐标x,y,z 满足地关系式.

例4、在棱长为1地正方体1111ABCD-A B C D 中，,E F 分别是棱,AB BC 地中点，则在棱1BB 上是否存在点M ，使得11D M EFB ⊥平面？若存在，指出点M 地位置；若不存在，请说明理由.

空间线面关系地判定(1)

【本课重点】用向量语言表述线线、线面、面面地平行和垂直关系；用向量方法判定空间线面地平行和

垂直关系.

【预习导引】

1、设两直线21,l l 地方向向量分别为21,e e ；平面21,αα地法向量分别为21,n n ,那么： （1）?21//l l __________________; ?⊥21l l __________________; (2)?α11//l __________________; ?α⊥11l __________________; (3)?αα21//________________; ?α⊥α21__________________.

2、设b a ,分别是直线21,l l 地方向向量,根据下列条件,判断21,l l 地位置关系：

(1))6,3,6(),2,1,2(--=--= __________; (2))2,3,2(),2,2,1(-=-= __________; 3、设v u ,分别是平面βα,地法向量,根据下列条件,判断βα,地位置关系：

(1))4,4,6(),5,2,2(-=-=v u __________; (2))4,4,2(),2,2,1(--=-=v u __________; (3))4,1,3(),5,3,2(--=-= __________.

4、已知直线l 地方向向量(1,0,2)a =--r ，平面α地一个法向量为(4,0,)e m =r

，若直线l 与平面α垂

直，则实数____.m =

【典例练讲】

例1、证明：在平面内地一条直线，如果它和这个平面地一条斜线地射影垂直，那么它和这条斜线也垂直. (三垂线定理)

例2、证明：如果一条直线和平面内地两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.(直线与平面垂直地判定定理)

例3、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，30BAC ∠=o ，

BC=1,1AA =是棱CC 1地中点，求证：A 1B ⊥AM.

例4、已知正方体1111ABCD A B C D -中，E,F 分别为BB 1、CD 地中点，求证：D 1F ⊥面ADE.

B

A

C

D

A 1

C 1

D 1

F

E

C

A

B

A 1

B 1

C 1 M

l

n

m

α

空间线面关系地判定(2)

【本课重点】用向量方法判定空间线面地平行和垂直关系. 【预习导引】

1、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1，AB=2AD ，点E 是线段C 1D 1地中点，则DE 与平面EBC 地位置关系是_________.

2、正三棱柱ABC-A 1B 1C 1地各棱长均相等，点D 是BC 上一点，AD D C 1⊥，则平面ADC 1与平面BCC 1B 1地位置关系____________.

3、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱AA 1地中点，点O 是BD 1地中点，则OM 是异面直线AA 1与BD 1地____________.

4、已知(1,5,2),(3,1,),AB BC z =-=u u u r u u u r 若,(1,,3),AB BC BP x y ⊥=--u u u r u u u r u u u r 且BP ABC ⊥平面，则实数x,y,z

分别为_________________.

【典例练讲】

例1、在四棱椎P-ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，90BAD ∠=?，AD ∥BC ，AB=BC=a ，

AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30o 角，AE ⊥PD ，E 为垂足，试建立恰当地空间直角坐标系：(1)

求证：BE ⊥PD ；(2)设(1,,)n p q =r ，满足PCD n ⊥r 平面，求n r

地坐标.

例2：在棱长为1地正方体1111ABCD A B C D —中.

（1）若E 、F 分别为棱AB 和BC 地中点，试在1BB 上找一点M ，使得11D M EFB ⊥平面; （2）若PQ 是AC 与C 1D 地公垂线段，试确定点P 在AC 上及点Q 在C 1D 上地位置.

例3、如图，平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1地底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=θ=∠BCD . （1）求证：BD C C ⊥1；（2）当

C

C CD

1地值为多少时，能使A 1C BD C 1⊥平面，请给出证明.

例4、如图所示，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，,AB BC kPA ==，点,O D 分别是,AC PC 地中点，OP ABC ⊥平面.(1)求证：//OD BA 平面P ；（2）当k 为何值时，O 在平面PBC 内地射影恰好为

PBC ?地重心? D

C

B

D 1

A

C 1

B 1

A 1

空间角地计算(1)

【本课重点】向量方法解决线线、线面、面面地夹角地计算. 【预习导引】

1、两条异面直线所成地角与它们地方向向量地夹角_______________.

2、斜线与平面所成角是斜线与平面法向量地夹角_________________.

3、两个平面所成地二面角与两个平面地法向量地夹角_____________.

4、设,分别是两条异面直线21,l l 地方向向量，且2

1,cos ->=<，则异面直线21,l l 所成角为______. 5、正方体1111ABCD A B C D —中，M 是AB 地中点，则DB 1与CM 所成角地余弦值为_____.

【典例练讲】

例1、在正方体1111ABCD A B C D —中，E 1、F 1分别在A 1B 1、C 1D 1上，且11111

E B A B 4

=

, 11111

D F C D 4

=,P 为BC 中点.

(1)求BE 1与DF 1所成角地大小;

(2)求直线1F P 和平面1D AC 所成角地大小;

(3)求二面角11A BD C --地大小.

例2、如图，在直三棱柱111ABO A B O —中，1OO 4=，OA 4=，OB 3=，AOB 90∠=?，D 是线段A 1B 1地中点，P 是侧棱BB 1上地一点，若OP BD ⊥，求OP 与底面AOB 所成角地余弦值.

例3、如图，ABCD 是直角梯形，ABC 90∠=?，AD BC ∥，SA ABCD ⊥平面，SA AB

= BC 2==，AD 1=，求面SCD 与面SBA 所成二面角地大小.

例4、已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 地中点.(1)证明：AE ⊥PD ;

(2)若H 为PD 上地动点，EH 与平面PAD

E —A

F —C 地余弦值. O

A

B A 1

B 1 O 1

D P

D 1

D

C

A

B

C 1

B 1

A 1

A

D

C

B S

空间角地计算(2)

【本课重点】向量方法解决线线、线面、面面地夹角地计算. 【预习导引】

1．若0

60CPA BPC APB =∠=∠=∠，则PA 与面PBC 所成角为_________________； 若0

120CPA BPC APB =∠=∠=∠，则PA 与面PBC 所成角为_________________.

2．若0

90CPA BPC APB =∠=∠=∠，Q 为异于P 地一点，PQ 与平面PAB 、平面PBC 、平面PAC 所成角分别为α、β、γ，则γ+β+α2

2

2

cos cos cos ＝_________________.3．共点地三条直线PA 、PB 、PC 两两垂直，它们与平面ABC 所成角为γβα、、，则

=++γβα222sin sin sin _____.

4．在直二面角-αl β-中，A α∈，B β∈，A 、B 都不在l 上， AB 与α所成角为x ，AB 与β所成角为y ，AB 与l 所成角为z ，则cos 2x+cos 2y -cos 2z 地值为_________________.【典例练讲】

例1、如图(1)所示，已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6

地等腰梯形，将它沿对称轴1OO 折成直二面角，如图(2)所示，(1)求证：1AC BO ⊥；(2)求二面角1O AC O ——地大小.

例2、在直三棱柱111ABC A B C —中，底面ABC 是等腰直角三角形，ACB 90∠=?，侧棱1AA 2=，D 、E 分别是1CC 与1A B 地中点，点E 在平面ABD 上地射影是ABD ?地重心G ，求1A B 与平面ABD 所成角地大小.

例3、在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥面ABCD ，PA=AB ， (1)求证：面PAC ⊥面PBD ；(2)求二面角P-BD-C 地大小； (3)在PC 上是否存在点E ，使得PB ⊥面ADE.

例4、如图所示，四棱锥P ABCD -地底面ABCD 是半径为R 地圆地内接四边形，其中BD 是圆地直

径，60ABD ∠=o ，45BDC ∠=o

，PD 垂直底面ABCD

，PD =，E F ，分别是PB CD ，上地

点，且PE DF

EB FC

=，过点E 作BC 地平行线交PC 于G ．

(1)求BD 与平面ABP 所成角θ地正弦值； (2)证明：EFG △是直角三角形；

(3)当

1

2

PE EB =时，求EFG △地面积．

C

A B

D

O

O 1

C

D

O 1

（1（2

A

E

P

D

C B A

B

A 1

B 1

C 1

C

E

G D

F P

G E

A B

D

本章复习

【本课重点】向量方法解决了有关空间直线、平面地平行、垂直和夹角等问题. 【预习导引】

1、已知空间四边形ABCD ，,M N 分别是,AD BC 地中点，那么下列等式正确地是( )

A 、2MA A

B D

C =+u u u r u u u r u u u r B 、112

2

MN AC DB =+u u r u u r u u r

C 、2MN A

D DB DC +=+u u u u r u u u r u u u r u u u r D 、MB BC BA BD =--u u u r u u u r u u u r u u u r

2、如果三点(1,5,2)A -，(2,4,1)B ，(,3,2)C a b +在同一直线上，那么a=______,b=______.

3、在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 地交点，若11A B a =u u u u r r ，11A D b =u u u u r r ，1A A c =u u u r r

，则向量1B M u u u u r

可表示为_____________.

4、设A 、B 、C 、D 是空间不共面地四点，且满足AB AC 0?=u u u r u u u r ，AC AD 0?=u u u r u u u r ，AB AD 0?=u u u r u u u r

，则BCD ?为___________三角形.

【典例练讲】

例1、在正四面体PABC （四个面都是全等地等边三角形地四面体）中，若E 、F 分别在棱PC 、AB 上，且

1

3

CE AF PC

AB

==.⑴设PA a =u u u r r ,PB b =u u u r r ,PC c =u u u r r ,试用a b c r r r 、

、表示uuu r u u u r ⑵求异面直线PF 与BE 所成地角地余弦值.

例2、在如图所示地空间直角坐标系中，正方体AC 1地棱长为2，P 、Q 分别是BC 、CD 上地动点，且

||PQ =，

(1)确定点P 、Q 地位置，使得11B Q D P ⊥； (2)当11B Q D P ⊥时，求二面角C 1-PQ-A 地大小.

例3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB ，E 、F 分别 为PC 、CD 地中点，(1)试证：CD BEF ⊥面；

(2)设PA k AB =?，且二面角E-BD-C 地平面角大于30o ，求k 地取值范围.

例4、如图，在棱长为1地正方体ABCD A B C D ''''-中，AP=BQ=b （0

(1)证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；

(2)证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；

(3)若D E '与平面PQEF 所成地角为45o

，求D E '与平面PQGH 所成角地正弦值．

B

A

A

B

C D E F P

Q

H

G D

′

C ′

A ′

B ′