微电子器件 (1)

P区
NA
N区
ND
分析方法：将 PN 结分为三个区，在每个区中分别对半导体 器件基本方程进行简化和求解。
突变结：P 区与 N 区的杂质浓
度都是均匀的 ，杂质浓度在冶金结 面（x = 0）处发生突变。当一侧的 浓度远大于另一侧时 ，称为 单边突 变结 ，分别记为 PN+ 单边突变结和 P+N 单边突变结。 线性缓变结：冶金结面两侧的 杂质浓度随距离作线性变化，杂质 浓度梯度 a 为常数。
可见，
空穴扩散：P 区 电子扩散：P 区
nn 0 ni np0
N区 N区 扩散电流方向为，P 区 N区
P 区留下 NA- ，N 区留下 ND+ ，形成 空间电荷区。空间电
荷区产生的电场称为 内建电场，方向为由 N 区指向 P 区。电场 的存在会引起漂移电流，方向为由 N 区指向 P 区。
若在 P 型耗尽区中，则得
（1-14）
dE q NA dx s
例 1.2 对于方程（1-10），
dn J n qn nE qDn dx
当载流子浓度和电场很小而载流子浓度的梯度很大时，则
漂移电流密度远小于扩散电流密度，可以忽略漂移电流密度，
方程（1-10）简化为
dn J n qDn dx
条件下加以简化后再求解。本课程将讨论第二条途径。
1.2 基本方程的简化与应用举例
例 1.1 对于方程 ( 1-9 )
dE q p n ND NA dx s
在耗尽区中，可假设 p = n = 0 ，又若在 N 型耗尽区中，则还可
忽略 NA ，得
dE q ND dx s
dQp dt

Qp
p
（1-28）
定态时，
Ip
Qp
p
（1-29）
方程 (1-26) ~ (1-29) 是电荷控制模型中的常用公式 ，只是具 体形式或符号视不同情况而可能有所不同 。
分析半导体器件时，应先将整个器件分为若干个区，然后
在各个区中视具体情况对基本方程做相应的简化后进行求解。
V
D
N A dv
（1-6）
连续性方程的积分形式称为 电荷控制方程。
在用基本方程分析半导体器件时，有两条途径，一条是用 计算机求 数值解。这就是通常所说的半导体器件的数值模拟； 另一条是求基本方程的 解析解，得到解的封闭形式的表达式。 但求解析解是非常困难的。一般需先 对基本方程在一定的近似
E ( x)
q
s
x x N
p
A
x
N
p
x 0
（2-5b）
P
E Emax
xp
0
xn
x
以上求得的 E(x) 就是 PN 结的内建电场。
3、耗尽区宽度 在 x = 0 处，内建电场达到最大值，
E (0) Emax
q
s
xn N D
q
s
xp N A
由上式可求出 N 区与 P 区的耗尽区宽度 及 总的耗尽区宽度，
dp J p qDp qp pE 0 dx
从上式可解出内建电场，
Dp 1 dp kT d ln p E ( x) p p dx q dx
并可进一步求出内建电势为
kT Vbi E ( x)dx xp q
xn
kT pp0 kT pn 0 d ln p q ln pp0 ln pn0 q ln pn 0
n 1 Jn Un t q x p 1 Jp Up t q x
（1-12） （1-13）
式中的 Un 和 Up 分别代表电子和空穴的 净复合率。当 U > 0 时表示净复合，当 U < 0 时表示净产生。 所谓连续性是指载流子浓度在时空上的连续性，即：造成 某体积内载流子增加的原因，一定是载流子对该体积有净流入
2.1.1 空间电荷区的形成
平衡多子 P 区： pp0 N A ni N 区： nn0 N D ni P区 N区 NA-，pp0 ND+，nn0
利用 n0 p0 = ni2 的关系，可得
平衡少子
ni2 ni2 P 区： np0 ni pp0 N A ni2 ni2 N 区： pn 0 ni nn0 N D pp0 ni pn 0
分析半导体器件的基本方程包含三组方程。
1.1.1 泊松方程
d 2 q p n ND NA 2 dx s s
式中 为静电势，它与电场强度 E 之间有如下关系：
d E dx
所以泊松方程又可写成
dE q p n ND NA dx s
dE q ND dx s
积分一次，得
E ( x)
q
s
ND x C
由边界条件： 在 x xn 处，E ( x) 0
可求得常数 C 为
于是可得
C
E ( x) q
q
s
N D xn
（2-5a）
s
x xn N D 0 x xn
同理，在 P 区耗尽区中求解泊松方程，得
xn
E
xp 0
Emax 2qN D Vbi s
1 2
0
xn
x
对于 PN+ 单边突变结，
ND NA
N0 NA
以上各式又可简化为
P
N
xn 0
2 s xp xd Vbi qN A
全耗尽，空间电荷完全由电离杂质提供。这时空间电荷区又可 称为“耗尽区”。 中性近似：假设耗尽区以外多子浓度等于电离杂质浓度 ， 因而保持电中性。这时这部分区域又可称为“中性区”。 P区 NApp0 N区 ND+ nn0
NA-
ND+
2、内建电场 对于突变结，由第一章例 1.1的式（1-14a），当采用耗尽 近似后，在 N 区的耗尽区中，泊松方程为
2Vbi 2 s xd xn xp Vbi Emax qN 0
1 2
1 2
1 2
Emax
2qN 0 Vbi s
1 2
5、单边突变结的情形
对于 P+N 单边突变结，
NA ND
N0 ND
则以上各式可简化为
1 2
P

N
0
2 s xn xd Vbi qN D
和载流子在该体积内有净产生。
1.1.4 方程的积分形式
以上各方程均为微分形式。其中泊松方程和连续性方程可 根据场论中的积分变换公式而变为积分形式。 泊松方程
dE q p n ND NA dx s
的积分形式就是著名的 高斯定理，

A
q E dA
s
pn N
（1-16）
反之，则可以忽略扩散电流密度，方程（1-10）简化为
J n qn nE
例 1.3 对于方程 ( 1-12 ) 、( 1-13 )
n 1 Jn Un t q x p 1 Jp Up t q x
其中的净复合率 U 可表为
np ni2 U n p 2ni
（1-17）
式中， 代表载流子寿命，n n0 n, p p0 p, n0 p0 ni2
在 P 型区和 N 型区中，净复合率 U 可分别作如下简化。 在 P 型区中，电子的净复合率为
Un
n
n
（1-18）
在 N 型区中，空穴的净复合率为
Up
p
p
（1-19）
例 1.4 将电子的扩散电流密度方程 (1-16)
dQn Qn In dt n
（1-26）
式中，Qn q ndv， Qn q ndv ，分别代表体积 V
V V


内的电子总电荷量和非平衡电子总电荷量。
dQn 0 ，上式可再简化为 定态时， dt Qn In
n
（1-27）
空穴的电荷控制方程为
Ip
pp0
ni2 ni2 由于 pp0 N A ，pn0 ，故得 nn0 N D
kT N A N D Vbi ln q ni2
（2-13）
Vbi 与掺杂浓度、温度及半导体的种类有关。在通常的掺杂 范围和室温下，硅的 Vbi 约为 0.75V，锗的 Vbi 约为 0.35V。
最后可得
2 s s NA xn Emax Vbi qN D q ND ( NA ND ) 2 s s ND xp Emax Vbi qN A q NA ( NA ND )
（1-9）
1.1.2 输运方程
输运方程又称为电流密度方程。 电子电流密度 Jn 和空穴电流密度 Jp 都由是漂移电流密度 和扩散电流密度两部分所构成，即
dn J n qn nE qDn dx dp J p qp pE qDp dx
（1-10） （1-11）
1.1.3 连续性方程
微电子器件
电子科技大学 微电子与固体电子学院
张庆中
第 1 章 半导体器件基本方程
1.1 半导体器件基本方程的形式
半导体器件内的载流子在外电场作用下的运动规律可以用 一套 基本方程 来加以描述，这套基本方程是分析一切半导体 器件的基本数学工具。 半导体器件基本方程是由 麦克斯韦方程组 结合 半导体的 固体物理特性 推导出来的。
扩散电流： P 区 N区
漂移电流： P 区
N区
达到平衡时，净电流 = 0 。于是就形成一个稳定的有一定 宽度的空间电荷区。