【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 解三角形双基限时练13(含解析)北师大版必修5
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练13]
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双基限时练(十三)1．由曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)，x ∈[a ，b ]，x ＝a ，x ＝b 和x 轴围成的曲边梯形的面积S 等于( )A.⎠⎛ab f(x)d x ， B ．－⎠⎛ab f(x)d xC .⎠⎛ab [f (x )－a ]d x D.⎠⎛ab [f(x)－b]d x答案 B2．如图，阴影部分的面积为()A .⎠⎛ab f (x )d xB.⎠⎛a b g(x)d xC .⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x D. ⎠⎛ab [f(x)＋g(x)]d x解析 阴影部分的面积 S ＝⎠⎛ab f(x)d x ＋|⎠⎛ab g(x)d x|＝⎠⎛a b f(x)d x －⎠⎛ab g(x)d x＝⎠⎛ab [f(x)－g(x)]d x.答案 C3．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积等于( ) A .⎠⎛1－1(x －x 3)d x B.⎠⎛1－1(x 3－x)d xC ．2⎠⎛01(x －x 3)d x D ．2⎠⎛0－1(x －x 3)d x解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝x ，得交点A(－1，－1)，B(0,0)，C(1,1)，如下图所示．∴阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x.答案 C4．曲线y ＝cos x(0≤x ≤32π)与坐标轴所围成的面积为( ) A ．2 B ．3 C .52 D ．4解析 利用函数y ＝cos x 在0≤x ≤3π2的图知，所求面积为S ＝3∫π2cos x d x ＝3(sin x)⎪⎪⎪π20＝3.答案 B5．如图阴影部分面积为( )A . 2 3B . 9－2 3C .323D .353解析 S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x)d x＝(3x －13x 3－x 2)⎪⎪⎪ 1－3 ＝53＋9＝323. 答案 C6．f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1 (－1≤x<0)，cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A .32 B . 1 C . 2D .12解析 根据定积分的几何意义结合图形可得所求封闭图形的面积为S ＝12×1×1＋∫π20cos x d x ＝12＋sin x⎪⎪⎪ π20＝32.答案 A7．曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成图形的面积为________． 解析 示意图如图所示，所求面积为S ＝⎠⎛12(x －1x )d x ＝(12x 2－ln x)⎪⎪⎪ 21＝32－ln 2. 答案 32－ln 28．设函数f(x)＝3x 2＋c ，若⎠⎛01f(x)d x ＝5，则实数c 的值为________．解析 ∵⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(3x 2＋c)d x＝(x 3＋cx)⎪⎪⎪ 10＝1＋c ＝5， ∴c ＝4. 答案 49．设a>0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 依题意得，由y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积S ＝⎠⎛0a x d x ＝23x 32| a 0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49.答案 4910．求正弦曲线y ＝ sin x ，x ∈[0，3π2]和直线x ＝3π2及x 轴所围成的平面图形的面积．解 如图，当x ∈[0，π]时，曲线y ＝ sin x 位于x 轴上方，而当x ∈[π，3π2]时，曲线位于x 轴下方，因此所求面积应为两部分面积之和．∴S ＝⎠⎛0π sin x d x ＋|∫3π2π sin x d x |＝⎠⎛0π sin x d x －∫3π2π sin x d x＝－cos x⎪⎪⎪ π0＋cos x⎪⎪⎪ 32ππ ＝2＋1＝3.11．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，抛物线与x 轴所围成的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x22－x 33⎪⎪⎪1＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为0和1－k ，∴12S ＝∫1－k 0(x －x 2－kx)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33－k 2x 2⎪⎪⎪1－k 0＝16(1－k)3＝112.∴(1－k)3＝12，k ＝1－312＝1－342.12．求曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成图形(如图阴影部分)的面积的最小值．解 由定积分与微积分基本定理得S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝(t 2x －13x 3)⎪⎪⎪t0＋⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪1t＝t 3－13t 3＋13－t 2－13t 3＋t 3＝43t 3－t 2＋13，t ∈(0,1)．S ′＝4t 2－2t ＝2t(2t －1)．当0<t<12时，S ′<0；当12<t<2时S ′>0， ∴当t ＝12时，S 有最小值S min ＝14.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教b版必修1双基限时练12函数的奇偶性(第二章)(含答案)
双基限时练(十二) 函数的奇偶性基 础 强 化1．下列说法不正确的是( )A ．图象关于原点成中心对称的函数是奇函数B ．图象关于y 轴成轴对称的函数是偶函数C ．奇函数的图象过原点D ．对定义在R 上的奇函数f (x )，一定有f (0)＝0解析 函数f (x )＝1x 是奇函数，但它不过原点．答案 C2．下列函数中是偶函数的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝|3－x |C ．y ＝x 2＋2，x ∈(－3,3]D ．y ＝－3x 2解析 D 选项中函数是偶函数．答案 D3．已知定义域为R 的奇函数f (x )满足：f (x )＝f (4－x )，且当x ∈ 答案 C4．函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52解析 ∵y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴y ＝f (x )关于x ＝2对称．∵f (x )在(0,2)上是增函数，∴f (x )在(2,4)上是减函数．∵f (1)＝f (3)，且52<3<72，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.答案 D5．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝() A.12B.23C.34D ．1解析 由题意知f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12(－x －a )＝－x2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x －a )，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x ＋a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x －a )恒成立，所以a ＝12.答案 A6．若奇函数f (x )在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上是()A．增函数且最大值为－5B．增函数且最小值为－5C．减函数且最小值为－5D．减函数且最大值为－5解析根据奇函数的图象关于原点对称，且在y轴两侧单调性相同，∴f(x)在上是增函数，且有最大值－5.答案 A7．已知函数f(x)＝ax3－bx＋2，其中a，b为常数，若f(－2)＝3，则f(2)的值为________．解析令g(x)＝ax3－bx，则g(x)为奇函数，f(x)＝g(x)＋2. f(－2)＝g(－2)＋2＝3，∴g(－2)＝－8a＋2b＝1，∴g(2)＝－1.f(2)＝g(2)＋2＝－1＋2＝1.答案 18.设奇函数f(x)的定义域为，若当x∈时，f(x)的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集是________．答案 (－2,0)∪(2,5]能 力 提 升9．函数f (x )的定义域为R ，且x ≠1，已知f (x ＋1)为奇函数，当x <1时，f (x )＝2x 2－x ＋1，那么当x >1时，f (x )的递减区间是________．解析 ∵y ＝f (x ＋1)为奇函数，∴y ＝f (x )关于点(1,0)对称，如图：当x >1时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞递减．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 10．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3，x ∈R ；(2)f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈；(3)f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|；(4)f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 1－x 2，x >0，0，x ＝0，x 2－1，x <0.)解 (1)f (－x )＝3＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)∵x ∈，f (－x )＝5(－x )4－4(－x )2＋7＝5x 4－4x 2＋7＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)∵x ∈R ，f (－x )＝|－2x －1|－|－2x ＋1|＝－(|2x －1|－|2x ＋1|)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)当x >0时，f (x )＝1－x 2，此时－x <0，∴f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1，∴f (－x )＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－1，此时－x >0，f (－x )＝1－(－x )2＝1－x 2，∴f (－x )＝－f (x )；当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0.综上，对x ∈R ，总有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．11．(1)已知函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是奇函数，且f (1)＝2，求f (x )的解析式；(2)若f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在上的偶函数，求f (x )的解析式． 解 (1)∵f (x )是奇函数，且定义域为R ，∴f (0)＝0，∴b ＝0.∵f (1)＝2，∴a 1＋1＝2，∴a ＝4. ∴f (x )＝4xx 2＋1. (2)∵f (x )是上的偶函数， ∴⎩⎨⎧ a －1＋2a ＝0，b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13，b ＝0.∴f (x )＝13x 2＋1. 12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意的x ∈，不等式f (x ＋t )≤f (2x )恒成立，求实数t 的取值范围．解 由题意知f (x )＝⎩⎨⎧ x 2(x ≥0)，－x 2(x <0).所以f (x )在R 上为单调增函数．因为f (x ＋t )≤f (2x )，所以x ＋t ≤2x .所以t ≤(2－1)x .又x ∈，所以(2－1)x 的最小值为(2－1)(－2－2)＝－ 2.所以t ≤－ 2.品 味 高 考13．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 f (－1)＝－f (1)＝－2.答案 A。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练13(含解析)北师大版必修4
双基限时练(十三) 三角函数的简单应用一、选择题1．已知函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图像与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离为2π3，则ω的值为( ) A ．3 B.32 C.23D.13解析 由题可知T ＝23π，又ω>0，T ＝2πω，∴ω＝3.答案 A2．一弹簧振子做简谐振动，离开平衡位置的位移s 与时间t 的函数关系式为s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g a t ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则弹簧振子振动的周期为( ) A. 2πagB. 2π a gC.2πagD. 2πg a解析 T ＝2πg a＝2πa g.答案 B3．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90解析 ∵T ＝2π160π＝180，∴f ＝1T＝80.答案 C4．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图像大致是图中的( )解析 令AP ︵所对圆心角为θ，由|OA |＝1，则l ＝θ，sin θ2＝d2，∴d ＝2sin θ2＝2sin l 2，即d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)，它的图像为C.答案 C5．动点A (x ，y )在以坐标原点为圆心，以1为半径的圆上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (时间：s)的函数的单调增区间为( )A. [0,1]B. [1,7]C. [7,12]D. [0,1]和[7,12]解析 动点A 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t12×2π＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3由2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，又0≤t ≤12，可知t ∈[0,1]和[7,12]．答案 D6．设函数y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表所示的是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]解析 易知k ＝12，A ＝3，由周期T ＝12知，ω＝π6，由t ＝3时，y ≈15，得φ＝0，故选A.答案 A7．一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )A. gπ B. g2π C. g π2 D. g4π2 解 1＝2πg l，∴l ＝g4π2.答案 D 二、填空题8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6 (x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋A cos0＝28，a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6 12－6 ＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6 x －6 ，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝23－52＝20.5.答案 20.59．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0,60]．解析 如图所示：经历t 秒钟，秒针转过的角度为∠AOB ＝πt30，取AB 的中点C ，则∠AOC ＝πt 60， d ＝|AB |＝2|OA |sin ∠AOC ＝10sinπt 60.答案 10sin πt6010．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为________．解析 3月份最高，7月份最低，所以T ＝8，则ω＝π4，A ＝2，b ＝7.令x ＝3，得9＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4×3＋φ＋7⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.又∵|φ|<π2，∴φ＝－π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7.答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7三、解答题11．已知某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速运动，摩天轮上的一点P 自最低点A 点起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50(单位：m)．那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续多少分钟？解 依题意，得40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50≥70，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π2≥12，所以在一个周期内持续的时间为56π≥π6t －π2≥π6，解得4≤t ≤8，即持续时间为4分钟．12．在图中，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm ，周期为3 s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．(1)求物体对平衡位置的位移x (cm)和时间t (s)之间的函数关系式； (2)求该物体在t ＝5 s 时的位置．解 (1)设x 和t 之间的函数关系为x ＝3sin(ωt ＋φ)(ω>0,0≤φ<2π)． 则由T ＝2πω＝3，可得ω＝2π3.当t ＝0时，有x ＝3sin φ＝3， 即sin φ＝1.又0≤φ<2π，故可得φ＝π2.所以，所求函数关系为x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t ＋π2，即为x ＝3cos 2π3t .(2)令t ＝5，得x ＝3cos 10π3＝－1.5，故该物体在t ＝5 s 时的位置是在O 点左侧且距O 点1.5 cm 处．13．在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计，得到10次测量结果(时间近似到0.1小时)，结果如下表所示：(1)以日期在365天中的位置序号x 为横坐标，一天内存活时间y 为纵坐标，作出这些数据的散点图；(2)试选用一个形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 的函数来近似描述一年中该细菌一天内存活的时间y 与日期位置序号x 之间的函数关系；(3)用(2)中的结果估计该种细菌一年中有多少天存活时间大于15.9小时？ 解 (1)散点图如下图所示：(2)由散点图知细菌存活时间与日期位置序号之间的函数关系式满足y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t ，由图形可认为函数的最大值为19.4，最小值为5.4，所以19.4－5.4＝14，故A ＝7，由19.4＋5.4＝24.8，故t ＝12.4，又因为T ＝365，所以ω＝2π365.当x ＝172时，2πx 365＋φ＝π2，所以φ＝－323π730.故y ＝7sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π365x －323π730＋12.4(1≤x ≤365，x ∈N ＋)．(3)由y >15.9，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π365x －323730π>12，所以π6<2π365x －323730π<5π6，解得36512＋3234<x <365×512＋3234，112≤x ≤232.即这种细菌一年中大约有121天的存活时间大于15.9小时．。
2014-2015高中数学 第二章 解三角形双基限时练14北师大版必修5
双基限时练(十四)一、选择题1．在不等边△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则A 的取值范围是( ) A ．90°<A <180° B ．45°<A <90° C ．60°<A <90°D ．0°<A <90°解析 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，a 2<b 2＋c 2，知cos A >0.答案 D2．已知一个三角形三边分别为a ，b ，a 2＋b 2＋ab ，则此三角形中的最大角为( ) A ．30° B ．120° C ．60°D ．150°解析 显然a 2＋b 2＋ab 最大，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－ a 2＋b 2＋ab 2ab ＝－12.又θ为三角形的内角，所以θ＝120°. 答案 B3．三角形的两边分别是3和5，它们夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4解析 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35，由题意可得cos α＝－35.设另一边为c由余弦定理，得c 2＝9＋25－2³3³5³⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝52.∴c ＝213. 答案 B4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或56π D.π3或23π 解析 由a 2＋c 2－b 2＝3ac ，得a 2＋c 2－b 22ac ＝32＝cos B ，得B ＝π6.答案 A5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定解析 由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°，c ＝2a ，得a 2－b 2－ab ＝0，得b ＝－a ＋5a 2<a .答案 A6．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则边长a 等于( ) A ．13 B.13 C ．21D.21解析 由S △ABC ＝12bc ²sin A ＝12³32c ＝3，知c ＝4，由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc ²cos A ＝1＋16－2³4³12＝13.答案 B 二、填空题7．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若sin A :sin B :sin C ＝5:7:8，则a :b :c ＝________，B 的大小是________．解析 (1)利用正弦定理． (2)利用余弦定理． 答案 5:7:8:π38．已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2sin 2A ＋B2＋cos2C ＝1，a＝1，b ＝2，则角C ＝________，c ＝________.解析 ∵2sin2A ＋B2＋cos2C ＝1，∴cos2C ＝1－2sin2A ＋B2＝cos(A ＋B )＝－cos C .∴2cos 2C ＋cos C －1＝0，得cos C ＝12，或cos C ＝－1.∵C 为三角形的内角， ∴cos C ＝12，C ＝π3.由余弦定理得c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝ 3. 答案π339．在△ABC 中，|BC →|＝7，|AB →|＝3，|AC →|＝5，则S △ABC ＝________. 解析 由余弦定理，得cos A ＝|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|22|AB →||BC →|＝－12.∴sin A ＝32，故S △ABC ＝1534. 答案1534三、解答题10．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，且c ＝2a ，求cos B 的值．解 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－ac 2ac ＝5a 2－2a 24a 2＝34.所以cos B 的值为34. 11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b .解 由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A . 又a 2－c 2＝2b ，b ≠0， ∴b ＝2c cos A ＋2.①由正弦定理b c ＝sin Bsin C，又sin B ＝4cos A sin C ，∴b ＝4c cos A .② 由①②可知，b ＝4.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝π3.若△ABC 的面积等于3，求a ，b .解 由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.思 维 探 究13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tan C ＝37. (1)求cos C ；(2)若CB →²CA →＝52，且a ＋b ＝9，求c .解 (1)∵tan C ＝37，∴sin Ccos C ＝37.又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝±18.∵tan C >0，∴C 是锐角．∴cos C ＝18.(2)∵CB →²CA →＝52，∴ab cos C ＝52，∴ab ＝20.又∵a ＋b ＝9，∴a 2＋2ab ＋b 2＝81. ∴a 2＋b 2＝41.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36. ∴c ＝6.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量双基限时练14(含解析)新人教A版必修4
双基限时练(十四)1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的向量的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析 向量加法满足交换律， 所以五个向量均等于a ＋b ＋c . 答案 A2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( )A.CB →B.AB →C.AC →D.AM → 解析 (AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(BO →＋OM →＋MB →)＝AC →＋0＝AC →，故选C.答案 C3．向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同解析 向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则a ＋b 应与b 方向相同，因此B 错． 答案 B4．设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0B.PB →＋PC →＝0C.PC →＋PA →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0解析 由向量加法的平行四边形法则易知，BA →与BC →的和向量过AC 边的中点，且长度是AC 边中线长的2倍，结合已知条件知，P 为AC 的中点，故PA →＋PC →＝0.答案 C5．正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AC →＝c ，BC →＝b ，则|a ＋b ＋c |为( ) A ．0 B. 2 C ．3D ．2 2解析 |a ＋b ＋c |＝|2c |＝2|c |＝2 2.应选D. 答案 D6．在▱ABCD 中，若|BC →＋B A →|＝|B C →＋AB →|，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定解析 |BC →＋AB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|， |BC →＋BA →|＝|BD →|，由|BD →|＝|AC →|知四边形ABCD 为矩形．答案 B 7.根据图示填空． (1)AB →＋OA →＝________； (2)BO →＋OD →＋DO →＝________； (3)AO →＋BO →＋2OD →＝________. 解析 由三角形法则知 (1)AB →＋OA →＝OA →＋AB →＝OB →；(2)BO →＋OD →＋DO →＝BO →； (3)AO →＋BO →＋2OD →＝AD →＋BD →. 答案 (1)OB → (2)BO →(3)AD →＋BD →8．在正方形ABCD 中，边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，则|a ＋b |＝________.解析 a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，∴|a ＋b |＝|AC →|＝ 2. 答案29．若P 为△ABC 的外心，且PA →＋PB →＝PC →，则∠ACB ＝__________.解析 ∵PA →＋PB →＝PC →，则四边形APBC 是平行四边形． 又P 为△ABC 的外心， ∴|PA →|＝|PB →|＝|PC →|. 因此∠ACB ＝120°. 答案 120°10．设a 表示“向东走了2 km”，b 表示“向南走了2 km”，c 表示“向西走了2 km”，d 表示“向北走了2 km”，则(1)a ＋b ＋c 表示向________走了________km ； (2)b ＋c ＋d 表示向________走了________km ； (3)|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________． 解析 (1)如图①所示，a ＋b ＋c表示向南走了2 km.(2)如图②所示，b ＋c ＋d 表示向西走了2 km.(3)如图①所示，|a ＋b |＝22＋22＝22，a ＋b 的方向是东南． 答案 (1)南 2 km (2)西 2 km (3)2 2 东南 11.如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，试通过计算用图中有向线段表示下列向量的和： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →； (3)OA →＋FE →.解 (1)因为四边形OABC 是平行四边形，所以OA →＋OC →＝OB →. (2)因为BC ∥AD ∥FE ；BC ＝FE ＝12AD ，所以BC →＝AO →，FE →＝OD →， 所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.(3)因为|OA →|＝|FE →|，且OA →与FE →反向． 所以利用三角形法则可知OA →＋FE →＝0.12．化简：(1)AB →＋CD →＋BC →； (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)； (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →.解 (1)AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →.(2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →) ＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →) ＝MC →＋CN →＝MN →.(3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝013.如右图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →.求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 由图可知AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋PB →＋QC →.∵BP →＝QC →，又PB →与BP →模相等，方向相反， 故PB →＋QC →＝PB →＋BP →＝0. ∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练3]
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双基限时练(三)1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在B ．与x 轴垂直C ．与x 轴平行D ．与x 轴平行或重合 答案 D2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12 D .14解析 s ′＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →018(t ＋Δt )2－18t 2Δt＝lim Δt →014tΔt ＋18(Δt )2Δt＝lim Δt →0(14t ＋18Δt )＝14t . ∴当t ＝2时，s ′＝12. 答案 C3．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( )A ．h ′(a )<0B ．h ′(a )>0C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定 解析 由2x ＋y ＋1＝0，得h ′(a )＝－2<0. ∴h ′(a )<0. 答案 A4．曲线y ＝9x 在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于 ( ) A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析 k ＝y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →09x ＋Δx －9x Δx＝lim Δx →－9x (x ＋Δx )＝－9x 2.∴当x ＝3时，tan α＝－1.∴α＝135°. 答案 C5．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，14)解析 y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝14. 故所求的点是(12，14)． 答案 D6．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________．解析 k ＝f ′(2)＝lim Δx →02(2＋Δx )2－2×22Δx＝lim Δx →08Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8. 答案 87．若函数f (x )在x 0处的切线的斜率为k ，则极限lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝________.解析 lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－lim Δx →f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝－k .答案 －k8．已知函数f (x )在区间[0,3]上图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f ′(3)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)解析 由f (x )的图象及导数的几何意义知，k 1>k 2>k 3. 答案 k 1>k 2>k 39．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．解 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，k ＝－14.∴所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)， 即x ＋4y －9＝0.10．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.求：(1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程．解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x 得t ＝1，∴y ＝11－x.∴y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →011－(x ＋Δx )－11－x Δx＝lim Δx →01[1－(x ＋Δx )](1－x )＝1(1－x )2.(1)曲线在点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1；曲线在点Q 处的切线的斜率为y ′|x ＝－1＝1[1－(－1)]2＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为 y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0. 曲线在点Q 处的切线方程为 y －12＝14(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0.11．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． 解 (1)∵f ′(2)＝lim Δx →013(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－4×2＋4Δx＝0， ∴直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，∴设抛物线的方程为x 2＝2py ，则－p2＝－1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .12．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 存在． 理由如下： ∵y ＝x 2＋1，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋1－(x 2＋1)Δx＝ lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2Δx＝2x . 设切点坐标为(t ，t 2＋1)，∵y ′＝2x ，∴切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t . 于是可得切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )． 将(1，a )代入，得a －(t 2＋1)＝2t (1－t )， 即t 2－2t ＋a －1＝0.∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．故Δ＝4－4(a －1)>0.∴a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。
高中数学 第二章 解三角形双基限时练14(含解析)北师大版必修5
双基限时练(十四)一、选择题1．在不等边△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则A 的取值范围是( ) A ．90°<A <180° B ．45°<A <90° C ．60°<A <90°D ．0°<A <90°解析 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，a 2<b 2＋c 2，知cos A >0.答案 D2．已知一个三角形三边分别为a ，b ，a 2＋b 2＋ab ，则此三角形中的最大角为( ) A ．30° B ．120° C ．60°D ．150°解析 显然a 2＋b 2＋ab 最大，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋b 2＋ab 2ab ＝－12.又θ为三角形的内角，所以θ＝120°. 答案 B3．三角形的两边分别是3和5，它们夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4解析 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35，由题意可得cos α＝－35.设另一边为c由余弦定理，得c 2＝9＋25－2×3×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝52.∴c ＝213. 答案 B4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或56π D.π3或23π 解析 由a 2＋c 2－b 2＝3ac ，得a 2＋c 2－b 22ac ＝32＝cos B ，得B ＝π6.答案 A5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定解析 由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°，c ＝2a ，得a 2－b 2－ab ＝0，得b ＝－a ＋5a 2<a .答案 A6．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则边长a 等于( ) A ．13 B.13 C ．21D.21解析 由S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×32c ＝3，知c ＝4，由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝1＋16－2×4×12＝13.答案 B 二、填空题7．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若sin A :sin B :sin C ＝5:7:8，则a :b :c ＝________，B 的大小是________．解析 (1)利用正弦定理． (2)利用余弦定理． 答案 5:7:8:π38．已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2sin 2A ＋B2＋cos2C ＝1，a＝1，b ＝2，则角C ＝________，c ＝________.解析 ∵2sin2A ＋B2＋cos2C ＝1，∴cos2C ＝1－2sin2A ＋B2＝cos(A ＋B )＝－cos C .∴2cos 2C ＋cos C －1＝0，得cos C ＝12，或cos C ＝－1.∵C 为三角形的内角， ∴cos C ＝12，C ＝π3.由余弦定理得c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝ 3. 答案π339．在△ABC 中，|BC →|＝7，|AB →|＝3，|AC →|＝5，则S △ABC ＝________. 解析 由余弦定理，得cos A ＝|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|22|AB →||BC →|＝－12.∴sin A ＝32，故S △ABC ＝1534. 答案1534三、解答题10．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，且c ＝2a ，求cos B 的值．解 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－ac 2ac ＝5a 2－2a 24a 2＝34.所以cos B 的值为34. 11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b .解 由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A . 又a 2－c 2＝2b ，b ≠0， ∴b ＝2c cos A ＋2.①由正弦定理b c ＝sin Bsin C，又sin B ＝4cos A sin C ，∴b ＝4c cos A .② 由①②可知，b ＝4.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝π3.若△ABC 的面积等于3，求a ，b .解 由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.思 维 探 究13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tan C ＝37. (1)求cos C ；(2)若CB →·CA →＝52，且a ＋b ＝9，求c .解 (1)∵tan C ＝37，∴sin Ccos C ＝37.又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝±18.∵tan C >0，∴C 是锐角．∴cos C ＝18.(2)∵CB →·CA →＝52，∴ab cos C ＝52，∴ab ＝20.又∵a ＋b ＝9，∴a 2＋2ab ＋b 2＝81. ∴a 2＋b 2＝41.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36. ∴c ＝6.。
2014-2015学年高中数学 第二章 解三角形双基限时练12(含解析)北师大版必修5
双基限时练(十二)一、选择题1．正弦定理的适用范围是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形答案 D2．在△ABC 中，下列等式总能成立的是( )A ．a cos C ＝c cos AB ．b sinC ＝c sin AC ．ab cos C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A解析 由正弦定理可知．答案 D3．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，B ＝45°，则A 为( )A ．60°或120°B ．60°C ．30°或150°D ．30°解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝23×2222＝32，又a >b .故A ＝60°或120°.答案 A4．在△ABC 中，A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则△ABC 的解的个数为() A ．0个 B ．1个C ．2个D ．1或2个解析 因为BC sin A ＝AB sin C ，所以sin C ＝2×222＝1.又C 为三角形的内角，故C 只有一个解．答案 B5．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6D ．16解析 A ＝180°－B －C ＝45°，由正弦定理，得b sin B ＝a sin A ，b ＝a sin B sin A ＝8×3222＝4 6. 答案 C6．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223B.223 C ．－63 D.63 解析 ∵a ＝15，b ＝10，A ＝60°，∴B <60°.又asin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63. 答案 D二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________，△ABC 外接圆的半径为________．解析 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ＝12， 又A 为三角形的内角，且a <c ，∴A ＝π6. 由正弦定理得a sin A ＝112＝2＝2R ，∴△ABC 外接圆的半径为1. 答案 π61 8．在△ABC 中，已知b ＋c ＝m ，B ＝α，C ＝β，则a ＝________.解析 由正弦定理b ＋c sin B ＋sin C ＝a sin A所以a ＝m sin A sin B ＋sin C ＝sin α＋βm sin α＋sin β. 答案 sin α＋βm sin α＋sin β9．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则△ABC 的形状为________． 解析 由a cos A ＝b cos B ＝ccos C 及正弦定理得tan A ＝tan B ＝tan C .又A 、B 、C 为三角形的内角，得A ＝B ＝C .答案 等边三角形三、解答题10．在△ABC 中，若(b ＋c ):(c ＋a ):(a ＋b )＝4:5:6，求sin A :sin B :sin C 的值．解 设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，则a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，由正弦定理得sin A sin B sin C ＝a b c ＝75 3.11．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，c ＝1，求此三角形的最小边． 解 ∵A ＝60°，B ＝45°，∴C ＝180°－60°－45°＝75°.∴最小边即为b . 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝s in45°sin75°＝226＋24＝3－1. 12．在△ABC 中，A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．解 由正弦定理a sin A ＝csin C，得 sin C ＝62sin45°＝62×22＝32. ∵a <c ，∴C ＝60°或C ＝120°.若C ＝60°，则B ＝75°；若C ＝120°，则B ＝15°，均符合题意．当B ＝75°时， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝sin B sin A·a ＝3＋1； 当B ＝15°时， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝sin B sin A·a ＝3－1. 综上，b ＝3＋1，C ＝60°，B ＝75°，或b ＝3－1，C ＝120°，B ＝15°.思 维 探 究13．在△ABC 中，已知b ＋a a ＝sin B sin B －sin A ，且2sin A ·sin B ＝2sin 2C ，试判断其形状． 解 由正弦定理可得b ＋a a ＝sin B sin B －sin A ＝b b －a，∴b2－a2＝ab，①又∵2sin A sin B＝2sin2C，∴由正弦定理得2ab＝2c2.②由①、②得b2－a2＝c2，得b2＝a2＋c2.∴该三角形为以B为直角顶点的直角三角形．。
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双基限时练(十三)
一、选择题
1．在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝k ，R 为△ABC 外接圆半径，则k 为( )
A ．2R
B ．R
C ．4R
D.R
2
解析 由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ，
∴k ＝2R . 答案 A
2．在△ABC 中，c ＝2，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A.32
B. 3 C ．3 3
D ．3
解析 由A ＝30°，B ＝120°， ∴C ＝180°－(B ＋A )＝30°， ∴△ABC 为等腰三角形，a ＝c ， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×2×3
2＝ 3.
答案 B
3．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2×2R sin B ·cos C ，∴sin A ＝2·sin B ·cos C .∵sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C .化简、整理，得sin(B －C )＝0.∵0°<B <180°，0°<C <180°，
∴－180°<B －C <180°. ∴B －C ＝0，∴B ＝C ，故选A. 答案 A
4．若a 2b 2＝tan A
tan B
，则△ABC 的形状是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
解析 由a 2b 2＝tan A tan B ，得sin 2
A sin 2
B ＝sin A cos B
cos A sin B
，得sin2A ＝sin2B ，又A 、B 为三角形的内角，
故有A ＝B 或A ＋B ＝π
2
.
答案 D
5．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1
3，S △ABC ＝4，则b ＝( )
A ．4
B ．2
C ．1
D.12
解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝1－cos 2
C ＝223，
∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×22
3b ＝4，得b ＝2.
答案 B
6．在△OAB 中，O 为坐标原点，A (1，cos θ)，B (sin θ，1)，
θ∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，θ等于( ) A.π6 B.π4 C.π3
D.π2
解析 由S △OAB ＝12(1－sin θcos θ)＝12－1
4sin2θ，
又θ∈(0，π2]，∴当θ＝π
2时，S 取得最大值．
答案 D 二、填空题
7．方程sin A ·x 2
＋2sin B ·x ＋sin C ＝0有重根，且A ，B ，C 为△ABC 的三内角，则△ABC 的三边a ，b ，c 的关系是________．
解析 由题意得4sin 2
B －4sin A ·sin
C ＝0，由正弦定理，得b 2
＝ac . 答案 b 2
＝ac
8．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且sin A －B sin A ＋B ＝－a ＋c
c ，则
角B ＝________.
解析 由sin A －B sin A ＋B ＝－a ＋c
c
，得
sin A －B sin A ＋B ＝－sin A ＋sin C sin C .又A ＋B ＋C ＝π，
∴
sin A －B sin C ＝－sin A ＋sin A ＋B
sin C
.
∴sin(A －B )＋sin(A ＋B )＝－sin A . 即 2sin A cos B ＝－sin A . ∵sin A ≠0， ∴cos B ＝－12.
又B 为三角形的内角， ∴B ＝23π.
答案 23
π
9．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝1
2DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC 的面积
为3－3，则BC ＝________________.
解析 在△ADC 中，∵∠ADB ＝120°， ∴∠ADC ＝60°.
∴S △ADC ＝1
2AD ·DC sin60°＝3－ 3.
∴DC ＝23－2.又BD ＝1
2DC ，
∴BC ＝3
2DC ＝33－3.
答案 33－3 三、解答题
10．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，a ＝2(3＋1)，求△ABC 的面积． 解 A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋60°)＝75°. 由正弦定理a sin A ＝b
sin B
，
得b ＝a sin B sin A ＝2 3＋1 ·sin45°
sin75°＝2 3＋1 ·
2
26＋2
4＝4.
故S △ABC ＝12ab ·sin C ＝12×2(3＋1)×4×3
2
＝6＋2 3.
11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b －c ＝2a cos(60°＋C )，求角A .
解 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∵b －c ＝2a cos(60°＋C )，
∴2R sin B －2R sin C ＝2·2R sin A cos(60°＋C )． ∴sin B －sin C ＝sin A cos C －3sin A sin C . 又∵B ＝π－(A ＋C )，
∴sin B －sin C ＝sin(A ＋C )－sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C －sin C . ∴cos A sin C －sin C ＝－3sin A sin C . ∵sin C ≠0，
∴3sin A ＋cos A ＝1，即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1
2.
∴在△ABC 中，A ＝2π
3
.
12．已知△ABC 的内角A 、B 及其对边a ，b 满足a ＋b ＝a cot A ＋b cot B ，求内角C . 解 由a ＋b ＝a cot A ＋b cot B 及正弦定理，得 sin A ＋sin B ＝cos A ＋cos B ， 得sin A －cos A ＝cos B －sin B .
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－B .
又0<A ＋B <π，
∴A －π4＝π4－B ，A ＋B ＝π
2.
∴C ＝π2
.
思 维 探 究
13．已知方程x 2
－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状．
解 设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝b cos A ，x 1·x 2＝a cos B .依题意得b cos A ＝a cos B .根据正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)，∴
2R sin B cos A＝2R sin A cos B，即sin A cos B－cos A sin B＝0，∴sin(A－B)＝0.∵0<A<π，0<B<π，∴A－B＝0，即A＝B，∴该三角形为等腰三角形．。