数列的概念与表示法(一轮复习学案)

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高考数学第一轮复习数列的概念学案

广东饶平二中2011高考第一轮学案：数列的概念一、知识归纳：1．数列的定义：数列是一类离散函数，是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。

在直角坐标系中，其图象是一些离散的点，数列的能项公式就是相应函数的解析式。

2．数列的分类：（1）按数列的项数分是有限数列还是无限数列；（2）按数列的任意相邻两项之间的大小关系分类：有递增数列（n n a a ≥+1）；递减数列（n n a a ≤+1）；摆动数列；常数数列（各项都相等） 3．数列的通项公式：如果数列}{n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

数列的通项公式)(n f a n =揭示了数列}{n a 的第n 项n a 与n 的函数关系。

4．数列的递推公式：如果已知数列}{n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式叫这个数列的递推公式。

递推公式是数列特有的表示法，它包含两个部分：一是递推关系，二是初始条件。

两者缺一不可。

5．数列}{n a 的前n 项和n S 与通项n a 的关系：设数列}{n a 的前n 项和为n S ，即n n a a a S +++= 21，那么n S 与n a 有如下关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 二、学习要点：1．通过对数列前几项的观察、分析，可以寻找第n 项n a 与n 的函数关系，归纳出数列的一个通项公式，这种方法叫不完全归纳法，用这种法求数列的通项时通常要联系到一些基本数列，如})1{(n-、}2{n、{21}n -等。

2．数列是一种特殊的函数，其图象是由离散的点组成，用函数观点证明数列的单调性只要比较1+n a 与n a 的大小关系则可。

3．理解数列}{n a 的前n 项和n S 的定义，正确掌握n S 与n a 的关系。

2022版高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案理北师大版

2022版高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案理北师大版第一节数列的概念与简单表示法[考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的有关概念概念数列数列的项数列的通项通项公式前n项和2.数列的表示方法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法．3．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，含义按照一定顺序排列的一列数数列中的每一个数数列{an}的第n项an数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n 项和Sn－Sn－1，n≥2.4．数列的分分类标准项数类型有穷数列无穷数列递增数列项与项间的大小关系[常用结论]an≥an－1，求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即用an≥an＋1.an≤an－1，或an≤an＋1满足条件项数有限项数无限an＋1＞anan＋1＜anan＋1＝an其中n∈N某递减数列常数列(n≥2，n∈N)某(n≥2，n∈N)求解，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解．[基础自测]某1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“某”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(2)一个数列中的数是不可以重复的．(3)所有数列的第n项都能使用公式表达．(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．[答案](1)某(2)某(3)某(4)√1112．已知数列，，，…，1某22某33某4nA.n＋，…，下列各数中是此数列中的项的是()()()()()1111B．C.D．35424854nn＋2B[该数列的通项an＝，结合选项可知B正确．]3．设数列{an}的前n项和Sn＝n，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64A[a8＝S8－S7＝8－7＝15.故选A.]4．(教材改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋3582A.B．C.D．2353D[∵a1＝1，∴a2＝1＋－222－nan－1(n≥2)，则a5等于()a1＝1＋1＝2；a3＝1－＝1－＝；a222a4＝1＋＝1＋2＝3；a3a5＝1－＝1－＝.]a4335．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.21115n－4[{an}是以1为首项，5为公差的等差数列，∴an＝1＋(n－1)某5＝5n－4.]由an与Sn的关系求通项公式1221．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n＋n＋3，则数列{an}的通项公式an＝________.434712，n＝1152n＋12，n≥21247[当n＝1时，a1＝S1＝＋＋3＝.4312又当n≥2时，an＝Sn－Sn－11221n－＝n＋n＋3－43415＝n＋.2124712，n＝1，∴a＝15n＋212，n≥2.n22＋n－3＋3]212．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.33(－2)n－121[由Sn＝an＋得3321当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，331212∴an＝Sn－Sn－1＝an＋－an－1＋333322＝an－an－1.33即an＝－2an－1，(n≥2)．21又a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.33∴数列{an}是以首项为1，公比为－2的等比数列，∴an＝(－2) n－1.]23．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n－2n＋1，求an.[解]设a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn，当n＝1时，a1＝T1＝3某1－2某1＋1＝2，当n≥2时，2nan＝Tn－Tn－1＝3n－2n＋1－[3(n－1)－2(n－1)＋1]＝6n－5，226n－5因此an＝，n显然当n＝1时，不满足上式．2，n＝1，故数列的通项公式为an＝6n－5，n≥2.n[规律方法]已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得出Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段的形式．易错警示：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误．由递推关系式求数列的通项公式【例1】分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N)；(2)a1＝1，an＝某nn－1an－1(n≥2，n∈N某)；某(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N)．[解](1)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝nn＋2(n≥2)．当n＝1时，a1＝某(3某1＋1)＝2符合公式，232n∴an＝n＋.22(2)当n≥2，n∈N时，某a2a3anan＝a1某某某…某a1a2an－123n－2n－1n＝1某某某…某某某＝n，12n－3n－2n－1当n＝1时，也符合上式，∴该数列的通项公式为an＝n.(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3－1.[规律方法]由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a1≠0)，且an＝f(n)，可用“累乘法”求an.an－1(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an ＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列．易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式．1(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋，则an等于() nA．2＋lnnC．2＋nlnn(2)若a1＝1，an＋1＝3an＋3(1)A(2)n·3－2·3nn－1n＋1B．2＋(n－1)lnnD．1＋n＋lnn，则an＝________.1n＋1，[(1)∵an＋1－an＝ln1＋＝lnnn23n，n≥2，∴a2－a1＝ln，a3－a2＝ln，…，an－an－1＝ln12n－1∴a2－a1＋a3－a2＋…＋an－an－1＝ln某某…某＝lnn，n－112∴an－a1＝lnnan＝2＋lnn(n≥2)．将n＝1代入检验有a1＝2＋ln1＝2与已知符合，故an＝2＋lnn.(2)因为an＋1＝3an＋3n＋1，所以n＋1＝n＋1，33an＋1anan＋1ana11所以n＋1－n＝1，又＝，3333an1所以数列n是以为首项，1为公差的等差数列．33an12所以n＝＋(n－1)＝n－，333所以an＝n·3－2·3数列的性质nn－1.]。

高三数学一轮复习精品学案5：§6.1数列的概念及简单表示法

§6.1数列的概念及简单表示法命题趋势基础知识知识点数列的概念1.数列的定义按照排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式.4.数列的通项公式如果数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.5.递推公式如果已知数列{a n}的(或)，且任何一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n＝f(a n－1)或a n＝f(a n－1，a n－2)，那么这个式子叫做数列{a n}的递推公式.6.数列的前n项和S n与通项a n的关系(1)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ；巧学妙用两个易错点：单调性；最值.数列是自变量为正整数的特殊函数，利用函数思想求解数列问题应注意定义域的限制』 (1)已知数列{a n }的通项公式a n ＝7－3n ，则数列{a n }有最大值为________. (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，则S n 的最小值为________. 数列的两种表示方法：通项公式；递推公式.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.(3)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5…的一个通项公式a n ＝________.(4)数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，且a 1＝1，a 2＝2，则a 4＝________. 方法1·由数列递推关系式求通项公式的方法突破方法归纳由递推公式求数列通项的常用方法(1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，常用累加法.即利用恒等式a n ＝a 1＋ (a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)求通项公式.(2)形如a n ＋1＝a n f (n )，常可采用累乘法，即利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1求通项公式.(3)形如a n ＋1＝ba n ＋d (其中b ，d 为常数，b ≠0，1)的数列，常用构造法.其基本思路是：构造a n ＋1＋x ＝b (a n ＋x )(其中x ＝db －1)，则{a n ＋x }是公比为b 的等比数列，利用它即可求出a n .(4)形如a n ＋1＝pa n qa n ＋r (p ，q ，r 是常数)的数列，将其变形为1a n ＋1＝r p ·1a n ＋qp.若p ＝r ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为qp ，可用公式求通项；若p ≠r ，则采用(3)的办法来求.(5)形如a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n (p ，q 是常数，且p ＋q ＝1)的数列，构造等比数列.将其变形为a n ＋2－a n ＋1＝(－q )·(a n ＋1－a n )，则{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)是等比数列，且公比为－q ，可以求得a n －a n －1＝f (n )，然后用累加法求得通项. 典例考向例1 (1)已知数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.方法2·根据S n 求a n 的解题方略方法归纳已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.例2 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝3S n ，则a n ＝________. 素养培养利用数列通项公式求数列最大(小)项示例已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，试问数列{a n }中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.——★ 参考答案 ★——基础知识知识点数列的概念 1.一定顺序 2. 有限无限 5.第一项前几项巧学妙用 (1)4『解析』因为{a n }是递减数列，当n ＝1时a n 有最大值为7－3×1＝4. (2)－12『解析』S n ＝⎝⎛⎭⎫n －722－494，所以当n ＝3或n ＝4时S n 取得最小值为14－494＝－12. (3) (－1)n ·1n （n ＋1）『解析』数列奇数项为负，偶数项为正，可得一个通项公式 a n ＝(－1)n ·1n （n ＋1）.(4) －1『解析』由a 2＝a 1＋a 3得a 3＝a 2－a 1＝1，由a 3＝a 2＋a 4得a 4＝a 3－a 2＝1－2＝－1. 典例考向例1 (1)n (2)3·2n －1－2『解析』(1)由(n ＋1)a n ＝na n ＋1，可得a n ＋1a n ＝n ＋1n .∴当n ≥2时，a n a n －1＝nn －1，a n －1a n －2＝n －1n －2，…，a 3a 2＝32，a 2a 1＝2. 将以上各式累乘求得a na 1＝n ，∴a n ＝n ，而n ＝1也适合. ∴数列的通项公式为a n ＝n .(2)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3·2n －1，∴n ≥2时，a n －a n －1＝3·2n －2，…，a 3－a 2＝3·2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加得a n －a 1＝3·2n －2＋…＋3·2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3·2n －1－2(当n ＝1时，也满足). 方法2·根据S n 求a n 的解题方略例2(1)2n －1 (2)⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2. 『解析』(1)∵S n ＝2a n －1，∴n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1(n ≥2).∵n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，∴a 1＝1. ∴数列{a n }是1为首项，2为公比的等比数列. ∴a n ＝2n －1.(2)∵a n ＋1＝3S n ，∴n ≥2时，a n ＝3S n －1，两式相减得，a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n ， ∴a n ＋1＝4a n ，∵a 1＝1，a 2＝3S 1＝3≠4a 1. 数列{a n }从第二项起为等比数列， ∴a n ＝a 2q n －2＝3×4n －2(n ≥2)，a 1＝1.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2. 素养培养利用数列通项公式求数列最大(小)项示例解法一 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－()n ＋1⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.法二根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，即⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n≥n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1，（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n ≥（n ＋2）⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10. 又n ∈N *，∴n ＝9或n ＝10，∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.。

高三数学一轮复习讲义数列的概念与简单表示法教案新人教A版

自主梳理1．数列的定义按照________________着的一列数叫数列，数列中的______________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是________________________的函数，数列的一般形式为：______________________，简记为{a n }，其中a n 是数列的第____项．1．一定顺序排列每一个数定义域为N *(或它的子集)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… n 2．通项公式：如果数列{a n }的______与____之间的关系可以____________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的．2.第n 项 n 用一个公式3．数列有三种表示法：它们分别是_________、________、________. .解析法(通项公式或递推公式) 列表法图象法 4．数列的分类：数列按项数来分，分为____________、__________；按项的增减规律分为________、________、__________和__________．递增数列⇔a n ＋1______a n ；递减数列⇔a n ＋1______a n ；常数列⇔a n ＋1______a n . 按其他标准分类有界数列存在正数M ，使|a n |≤M摆动数列 a n 的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…4.有穷数列无穷数列递增数列递减数列摆动数列常数列 > < ＝ 5．a n 与S n 的关系：已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，n ＝1，，n ≥2.S 1 S n －S n －11.对数列概念的理解(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性.因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列. (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现.(3)数列的项与项数：数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号. 2.数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N *).自我检测1．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大 ( ) A ．10 B ．11 C ．10或11 D ．122.已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋156n(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是 ( )A.a 12B.a 13 C .a 12或a 13 D.不存在3.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 100等于 ( )A.1B .－1C.5D.－54．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于 ( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21 5．已知数列－1，85，－157，249，…按此规律，则这个数列的通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ·n 2＋n 2n ＋1 B ．a n ＝(－1)n·n n ＋32n ＋1C ．a n ＝(－1)n ·n ＋12－12n ＋1D ．a n ＝(－1)n·n n ＋22n ＋36．下列对数列的理解：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是 ( )A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①②③④7.已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为__ a n ＝2n－1 (n ∈N *)________.8.已知数列2，5，22，…，根据数列的规律，25应该是该数列的第___7_____项. 9.若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝___.2n －11_______；数列{na n }中数值最小的项是第________项.10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2 (n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝___1n___.题型一由数列的前几项归纳数列的通项公式探究点一由数列前几项求数列通项例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (4)32，1，710，917，…； (5)0,1,0,1，…. (6)23，415，635，863，1099，…；解题导引根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，要使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求；解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5). (2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n－32n .(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数1 n 为偶数或a n ＝1＋－1n2或a n ＝1＋cos n π2.(6)原数列为222－1，2×242－1，2×362－1，2×482－1，2×5102－1，…，∴a n ＝2n (2n )2－1＝2n4n 2－1.探究提高 (1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的各部分特征； ④各项符号特征等，并对此应多进行对比分析、从整体到局部多角度观察、归纳、联想..(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整.变式训练1 写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)2，5，22，11，…；(4)3,5,7,9，…；(5)12，34，78，1516，3132，…；(6)－1，32，－13，34，－15，36，…；(7)3,33,333,3 333，…. 解 (1)∵a 1＝3＝21＋1，a 2＝5＝22＋1，a 3＝9＝23＋1，…，∴a n ＝2n＋1.(2)将数列中各项统一成分母为2的分数，得 12，42，92，162，252，…，观察知，各项的分子是对应项数的平方， ∴数列通项公式是a n ＝n 22.(3)将数列各项统一成f (n )的形式得 2，5，8，11，…；观察知，数列各项的被开方数逐个增加3，且被开方数加1后，又变为3,6,9,12，…，所以数列的通项公式是a n ＝3n －1.(4)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(5)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(6)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1nn 为正奇数3nn 为正偶数.(7)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n－1).题型二已知数列的递推公式求通项公式例2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式. (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ；(2)a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，(3)a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1 (n ≥2)．(4)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)；(5)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；解 (1)当n ＝1,2,3，…，n －1时，可得n －1个等式，a n －a n －1＝n －1，a n －1－a n －2＝n －2，…，a 2－a 1＝1，将其相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)．∴a n ＝a 1＋(1＋n －1)(n －1)2＝2＋n (n －1)2.(2)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1 (n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋12(n ≥2).当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n2.(3)方法一 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2＋…＋(n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n －1)2， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n －1)2. 方法二由2n －1a n ＝a n －1，得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1a n －1.∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1a n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2a n －2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫121a 1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n －1)2 (4)∵a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .(5)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.探究提高已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解. 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解. 变式训练2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式.(1) a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n .(2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ；(3) 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1；(4)在数列{a n }中，a n ＋1＝3a 2n ，a 1＝3； (5) 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1；(6) 在数列{a n }中，a 1＝8，a 2＝2，且满足a n ＋2－4a n ＋1＋3a n ＝0.(7) 数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n0≤a n <12，2a n－112≤a n <1，若a 1＝67，则a 2 010的值为__37__．解 (1) ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n.∴a n －a n －1＝lnnn －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，……a 2－a 1＝ln 21，累加可得，a n －a 1＝ln nn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1 ＝ln n .又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2.(2)∵a n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1a n＝n ＋1. ∴a n a n －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1， ……a 3a 2＝3， a 2a 1＝2， a 1＝1.累乘可得，a n ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1＝n ！. 故a n ＝n ！. (3) 将a n ＋1＝a n2a n ＋1取倒数得： 1a n ＋1＝2＋1a n，∴1a n ＋1－1a n＝2，又1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列.∴1a n ＝1＋2(n －1)，∴a n ＝12n －1.(4)由已知a n >0，在递推关系式两边取对数. 有lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 3，令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 3， ∴b n ＋1＋lg 3＝2(b n ＋lg 3)， ∴{b n ＋lg 3}是等比数列， ∴b n ＋lg 3＝2n －1·2lg 3＝2nlg 3，∴b n ＝2nlg 3－lg 3＝(2n－1)lg 3＝lg a n ， ∴a n ＝32n－1.(5) 由a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，又a 1－1＝1，所以数列{a n －n }是首项为1，且公比为4的等比数列，∴a n －n ＝(a 1－1)4n －1，∴a n ＝4n －1＋n .(6) 将a n ＋2－4a n ＋1＋3a n ＝0变形为a n ＋2－a n ＋1＝3(a n ＋1－a n )，则数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝－6为首项，3为公比的等比数列，则a n ＋1－a n ＝－6·3n－1，利用累加法可得a n ＝11－3n.题型三由a n 与S n 的关系求通项a n例3 （1）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋1，求{a n }的通项公式．解当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＋1＝0；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n ＋1)－2(n －1)2＋3(n －1)－1＝4n －5；又n ＝1时，a n ＝4×1－5＝－1≠a 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝1，4n －5， n ≥2.（2）已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *.求{a n }的通项公式.解由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1>1，因此a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去. 因此a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项为a n ＝3n －1.探究提高 (1)已知{a n }的前n 项和S n ，求a n 时应注意以下三点：① a n 与S n 的关系式a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，求a n 时切勿漏掉n ＝1，即a 1＝S 1的情况．②由S n －S n －1＝a n 推得的a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写”. ③由S n －S n －1＝a n 推得的a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1，S n －S n －1 n ≥2.(2)利用S n 与a n 的关系求通项是一个重要内容，应注意S n 与a n 间关系的灵活运用. 变式训练3 (1)已知{a n }的前n 项和S n ＝3n＋b ，求{a n }的通项公式．(2)已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，求a n . 解 (1)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式；当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b (n ＝1)2·3n －1(n ≥2). (2)由2S n ＝a n ＋1，得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋122，当n ＝1时，a 1＝S 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋122，得a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋122，整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵数列{a n }各项为正，∴a n ＋a n －1>0. ∴a n －a n －1－2＝0.∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)×2＝2n －1.(3) 设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S nn＋2 (n －1) (n ∈N *). ①求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式；②是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝2 013？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由.解 ①由a n ＝S n n＋2(n －1)，得S n ＝na n －2n (n －1) (n ∈N *).当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)·a n －1－4(n －1)，即a n －a n －1＝4，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，4为公差的等差数列. 于是，a n ＝4n －3，S n ＝a 1＋a n n2＝2n 2－n (n ∈N *).②由S n ＝na n －2n (n －1)，得S nn＝2n －1 (n ∈N *)，∴S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)－(n －1)2＝n 2－(n －1)2＝2n －1.令2n －1＝2 013，得n ＝1 007，即存在满足条件的自然数n ＝1 007.题型四用函数的思想方法解决数列问题数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性. 例4已知数列{a n }. (1)若a n ＝n 2－5n ＋4， ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值.(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立.求实数k 的取值范围. (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值.(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N *上单调递增，但自变量不连续. 解 (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N *上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决. (2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取. (3)易错分析：本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.(3)已知数列{a n }的通项a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n (n ∈N *)，试问该数列{a n}有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由．解方法一令⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧10n ＋10≥11n 11n ＋11≥10n ＋20⇔⎩⎪⎨⎪⎧n ≤10n ≥9，∴n ＝9或n ＝10时，a n 最大，即数列{a n }有最大项，此时n ＝9或n ＝10. 方法二 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ·9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，∴数列{a n }中有最大项，为第9、10项．有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用①作差法，②作商法，③图象法．求最大项时也可用a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1a n≥a n －1；若求最小项，则用a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1.数列实质就是一种特殊的函数，所以本题就是用函数的思想求最值．方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1S n －S n －1 n ≥2.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；(3)逐差累加或累乘法.数列的概念与简单表示法一、选择题1.下列说法正确的是( )A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C .数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D.数列0,2,4,6，…可记为{2n } 2.数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n 对所有正整数n 都成立，则a 10等于( ) A.34B .55C.89D.1003.如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )A.a n ＝2(n 2＋n ＋1) B.a n ＝3·2nC.a n ＝3n ＋1 D .a n ＝2·3n二、填空题4.已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，a 36＝__4______.5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1<S k <9 (k ∈N *)，则a 1的值为___－1_____，k 的值为__4____.6.已知a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ＋1 (n ∈N *)，则a n ＝_ n 2＋1_______. 三、解答题7.数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项.(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍).∴从第7项起各项都是正数. 一、选择题1.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则a 1·a 2·…·a 2 011的值为 ( )A.－3B.1C.2D .32.数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12 (n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A.5B .72C.92D.1323.数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A .6116B.259C.2516D.31151．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为 ( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．642．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1，那么这个数列是 ( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列 3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于 ( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2 4．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1，则a 6等于 ( ) A ．13B.113C ．11D.1115．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5B .72 C.92 D.132二、填空题4.已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 16＝__12______.5.数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )是______⎝ ⎛⎭⎪⎫412，－112________.6.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫nn ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝__4______.7．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项a n ＝__________⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)2n －1 (n ≥2，n ∈N *)________. 8．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是__n 2－n ＋62__________．三、解答题7.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围. 7.解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9. 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性.可知1>a 1>a 2>a 3>a 4； a 5>a 6>a 7>…>a n >1 (n ∈N *). ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，并结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，∴5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.9．写出下列各数列的一个通项公式．(1)112，223，334，445，…； (2)－1，32，－13，34，－15，36.9．解 (1)∵a 1＝1＋12，a 2＝2＋23，a 3＝3＋34，…，∴a n ＝n ＋n n ＋1(n ∈N *)．(2)∵a 1＝－2－11，a 2＝2＋12，a 3＝－2－13， a 4＝2＋14，…，∴a n ＝(－1)n ·2＋(－1)nn(n ∈N *)10．由下列数列{a n }递推公式求数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)； (2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n(n ≥2)；(3)a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2)．10．解 (1)由题意得，a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2. 将上述各式等号两边累加得， a n －a 1＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2，即a n ＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n (n ＋1)2，故a n ＝n (n ＋1)2.(2)由题意得，a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 3a 2＝23，a 2a 1＝12.将上述各式累乘得，a n a 1＝1n，故a n ＝1n(3)由a n ＝2a n －1＋1，得a n ＋1＝2(a n －1＋1)，又a 1＋1＝2≠0，所以a n ＋1a n －1＋1＝2，即数列{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n－111．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n . (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n . 11．(1)解 a 1＝S 1＝4对于n ≥2有a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n .a 1也适合， ∴{a n }的通项公式a n ＝4n将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，故T 1＝b 1＝1 (求b n 方法一)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1， T n ＝2－b n ，得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，∴b n ＝12b n －1，b n ＝21－n(求b n 方法二)对于n ≥2，由T n ＝2－b n 得 T n ＝2－(T n －T n －1)，2T n ＝2＋T n －1，T n －2＝12(T n －1－2)，T n －2＝21－n(T 1－2)＝－21－n ， T n ＝2－21－n ， b n ＝T n －T n －1＝(2－21－n )－(2－22－n )＝21－n . b 1＝1也适合综上，{b n }的通项公式b n ＝21－n . (2)证明方法一由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n，得c n ＋1c n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43<2，∴c n ＋1c n <12·(2)2＝1，又c n ＝n 2·25－n >0，即c n ＋1<c n 方法二由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n，得c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2] ＝24－n [－(n －1)2＋2]．当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n <0，即c n ＋1< c n .。

《数列的概念与简单表示法》(高三一轮复习学案)

数列的概念与简单表示法1．了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；2．理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系； 3．能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前n 项和的问题。

1．以数列的前几项为背景，考查“归纳—推理”思想． 2．考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项．3．考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知S n 与a n 的关系求a n 等．1．数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类3.数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．n S 与n a 的关系：若123n n S a a a a =++++ ，则n a =11,(1),,(2).n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩．6．数列是特殊的函数：在数列{}n a 中，对于每一个正整数n 都有一个数n a 与之对应，因此，数列可以看成定义域为自然数集或自然数集的子集，当自变量照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数()y f x =，如果(),(1,2,3,)f i i = 有意义，那么我们可以得到一个数列(1)f ，(2)f ，(3)f ，．．．，()f n ，．．．．（强调有序性)．1. 已知数列{a n }的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{a n }的通项公式的是( )．A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝2sin n π2 C ．a n ＝1－cos n π D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数0，n 为偶数解析根据数列的前4项验证．答案 B2. 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于 ( )A ．1B ．9C ．10D ．55【解析】∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，∴S 1＋S 9＝S 10，整理得S 10－S 9＝a 10＝S 1＝a 1＝1.故选A.3.已知数列{a n }的前n 项和a n ＝n 2+kn ，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，则实数k 的取值范围是________．答案 k>-3.4. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________．解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.5. 已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =3-。

高三数学一轮复习精品学案4：§6.1数列的概念及简单表示法

§6.1数列的概念及简单表示法知识清单 1.数列的相关概念2.数列的表示方法{列表法:列表格表示n 与a n 的对应关系图象法:把点(n ,a n )画在平面直角坐标系中公式法{通项公式法:用公式表示数列的通项递推公式法:利用数列第n 项与它前一项或几项的关系表示数列 3.数列通项a n 与S n 之间的关系 (1)S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =∑i=1na i ;(2)a n ={a 1 (n =1),S n -S n -1 (n ≥2).4.数列的两个常用性质(1)单调性①递增数列:若∀n∈N*,a n+1>a n,则{a n}为;②递减数列:若∀n∈N*,a n+1<a n,则{a n}为;③常数列:若∀n∈N*,a n+1=a n,则{a n}为常数列;④摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.(2)周期性若a n+k=a n(n∈N*,k为正整数常数),则{a n}为,k为{a n}的一个周期.5.数列的函数特征数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2,3,4,…,n})的函数a n=f(n),当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数,数列的通项公式是相应函数的解析式,它的图象是_____________________.6.常用的数学方法与思想分类讨论思想、等价转化思想、函数与方程思想.基础自测1.已知数列的通项公式a n=n2-3n-1,n∈N*,则:(1)这个数列的首项是;(2)17是这个数列的第项;(3)这个数列的第项最小;(4)这个数列是不是一个等差数列(填“是”或“否”).2.数列√3,-2,√5,-√6,…的第10项为()A.-2√3B.2√3C.√11D.-√133.设等差数列{a n}的公差为d,若数列{2a1a n}为递减数列,则()A.d>0B.d<0C.a1d>0D.a1d<04.设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n=.考点1由数列的前几项归纳出数列的通项公式典例1根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…(2)0.7,0.77,0.777,… (3)1,0,13,0,15,0,17,0,… (4)32,1,710,917,…考点2 数列通项a n 与S n 之间的关系典例2 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2(a n +1),则a 5= ( )A .-16B .-32C .32D .-64(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,Snn )(n ∈N *)均在函数y=12x+12的图象上,则a 2016= ( )A .2016B .2014C .1013D .1012考点3 由递推公式求通项公式典例3 (1)数列{a n }的首项为3,{b n }为等差数列且b n =a n+1-a n (n ∈N *).若b 3=-2,b 10=12,则a 8= ( ) A.0B.3C.8D.11(2)数列{a n }满足:a 1=1,且当n ≥2时,a n =n -1na n -1,则a 5=( )A.15B.16C.5D.6考点4 数列的性质典例4 (1)已知函数f (x )={(4-a2)x +4 (x ≤6),a x -5 (x >6)(a>0,a ≠1),数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N *),且{a n }是单调递增数列,则实数a 的取值范围是 ( )A.『7,8)B.(1,8)C.(4,8)D.(4,7)(2)数列{a n}满足:a1=3,a n-a n a n+1=1,A n表示{a n}前n项之积,则A2016=.数列的函数特性的应用,其中a,b,c均为正数,那么a n与a n+1的大小是典例1已知数列{a n}的通项公式为a n=anbn+c()A.a n>a n+1B.a n<a n+1C.a n=a n+1D.与n的取值有关——★参考答案★——知识清单4. (1) ①递增数列(2)周期数列5.一群孤立的点基础自测1.(1)-3 (2)6 (3)1或2 (4)否2.A『解析』观察得数列的通项公式为a n=(−1)n+1√n+2,当n=10时,a10=(−1)10+1√10+2=−2√3.3.D『解析』由数列{2a1a n}为递减数列可知:2a1a n+1<2a1a n⇒a1a n+1-a1a n<0⇒a1(a n+1-a n)<0,又等差数列{a n}的公差为d,所以a n+1-a n=d,从而有a1d<0.4.-1n『解析』因为a n+1=S n+1−S n,所以S n+1−S n=S n+1·S n,所以1S n+1−1S n=−1,即数列{1S n}是以−1为公差的等差数列,又1S1=1a1=−1,故1S n=−1+(n−1)(−1)=−n,所以S n=−1n.考点1由数列的前几项归纳出数列的通项公式典例1解观察数列各项与对应项号的关系,可从符号、分子、分母、平方关系等方面考查.(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为a n=(-1)n(6n-5).(2)将数列变形为79(1−0.1),79(1−0.01),…,∴a n=79(1-110n).(3)把数列改写成11,2,13,4,15,6,17,8,…,分母依次为1,2,3,…,而分子1,0,1,0,…周期性出现,因此数列的通项可表示为an=1+(-1)n+12n.(4)将数列统一为32,55,710,917,…,对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为b n=2n+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的通项公式为可得它的一个通项公式为a n=2n+1n2+1.考点2数列通项a n与S n之间的关系典例2(1)B『解析』利用a n={S1(n=1),S n-S n-1(n≥2)关系求解.当n=1时,a1=S1=2(a1+1)⇒a1=-2,当n≥2时,由S n=2(a n+1),得S n-1=2(a n-1+1),两式相减得a n=2a n-2a n-1⇒a n=2a n-1,所以数列{a n}是首项为-2,公比为2的等比数列,所以a n=-2×2n-1=-2n,因此a5=-32.(2)A『解题思路』利用点在函数的曲线上构造关系式.由题可知S nn =12n+12,且S11=12+12=1,所以{S nn}是以1为首项,12为公差的等差数列,因此S n=12n2+12n,当n=1,a1=S1=1,当n≥2时,S n−1=12(n−1)2+12(n-1),两式相减得a n=n,从而得a2016=2016.考点3由递推公式求通项公式典例3(1)B『解析』∵{b n}为等差数列且b3=-2,b10=12,则b10-b3=7d=14,∴d=2,∴b n=b3+(n-3)d=2n-8,∴a n+1-a n=2n-8,故a8-a7=6,a7-a6=4,…,a2-a1=-6,把这7个式子进行累加得a8-a1=7(6-6)2=0,∴a8=a1=3.(2)A『解析』因为a1=1,且当n≥2时,a n=n-1n a n−1,则a na n-1=n-1n,所以a5=a5a4·a4a3·a3a2·a2a1·a1.即a5=45×34×23×12×1=15.考点4数列的性质典例4(1)C『解析』∵{a n }是单调递增数列, ∴{4-a2>0,a >1,f (6)=6(4-a2)+4<a 2,解得4<a<8.(2) 1『解析』利用关系式a n -a n a n +1=1求出前几项,观察找出周期再求解.由题意a 1=3,a n -a n a n +1=1得a 2=23,a 3=−12,a4=3,所以数列{a n }是以3为周期的数列,且a 1a 2a 3=-1,又2016=3×672,所以A 2016=(-1)672=1.数列的函数特性的应用典例1 B 『解析』由a n =an bn+c,可联想到函数f (x )=axbx+c的单调性来求解.由函数f (x )=axbx+c(a ,b ,c>0),当x>0时,f (x )可转化为f (x )=ab+cx,因为函数g (x )=cx (c>0)在(0,+∞)上单调递减,所以f (x )=a b+c x在区间(0,+∞)上单调递增,即函数f (x )=ax bx+c在区间(0,+∞)上单调递增,因此f (n+1)>f (n ),从而a n+1>a n .。

高考文科数学一轮复习学案数列的概念与简单表示法

第6章数列第一节数列的概念与简单表示法[最新考纲] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法． 2．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列 a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1<a n 常数列 a n ＋1＝a n ＝c (常数)摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．5．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2.[常用结论]1．数列{a n }是递增数列⇔a n ＋1＞a n 恒成立．2．数列{a n }是递减数列⇔a n ＋1＜a n 恒成立．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(2)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )(4)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)√ 二、教材改编1．数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝±1nB ．a n ＝(－1)n·1nC ．a n ＝(－1)n ＋11nD ．a n ＝1nB [由a 1＝－1，代入检验可知选B.]2．在数列{a n }中，已知a 1＝－14，a n ＋1＝1－1a n ，则a 3＝( )A ．－3 B.23 C ．5 D.45D [a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝1－15＝45.]3．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第6个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29D ．30B [由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ＞2)给出，则a 5＝________.8 [a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝8.] ⊙考点1 由数列的前n 项归纳数列的通项公式解答具体策略：①相邻项的变化规律；②各项的符号规律和其绝对值的变化规律；③分式中分子、分母的变化规律，分子与分母之间的关系；④合理拆项；⑤结构不同的项，化异为同．根据下面各数列前n 项的值，写出数列的一个通项公式． (1)12，－34，78，－1516，3132，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)5,55,555,5555，…； (4)1,3,1,3，…；(5)23，415，635，863，1099，…； (6)－1,1，－2,2，－3,3，…. [解](1)数列中各项的符号可通过(－1)n ＋1表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝(－1)n ＋12n－12n . (2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (3)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n－1)．(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是3，所以数列的一个通项公式为a n ＝2＋(－1)n.(5)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n －12n ＋1.(6)数列的奇数项为－1，－2，－3，…可用－n ＋12表示，数列的偶数项为1,2,3，…可用n2表示．因此a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋12n 为奇数，n2n 为偶数.(1)记住常见数列的通项公式，有些数列可用常见数列表示，如T (3)．(2)对于奇数项和偶数项不能用同一表达式表示的数列，可用分段函数表示，如T (6)． ⊙考点2 由a n 与S n 的关系求通项公式已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1，求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. (3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，则a n ＝________.(1)⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2 (2)－63 (3)⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －1n，n ≥2 [(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由S n ＝2a n ＋1得S 1＝2a 1＋1，即a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 又S n －1＝2a n －1＋1(n ≥2)，所以a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.所以数列{a n }是首项为－1，公比为2的等比数列，所以S 6＝－1×1－261－2＝1－26＝－63.(3)当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2，∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n， ① 故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，②由①－②得na n ＝2n－2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n(n ≥2)．显然当n ＝1时不满足上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n，n ≥2.]a n ＝S n －S n －1只适用于n ≥2的情形，易忽略求a 1，造成错解，如T (1)，T (3)． 1.(2019·郑州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n，n ≥2 [由log 2(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＋1＝2n ＋1，即S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1－1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n，显然a 1＝3不满足上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.]2．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有2S n ＝a 2n ＋a n ，则a n ＝________.n [由2S n ＝a 2n ＋a n 得2S n －1＝a 2n －1＋a n －1， ∴2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，即a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，又a n ＞0， ∴a n －a n －1＝1，又2S 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .]⊙考点3 由递推公式求数列的通项公式由数列的递推公式求通项公式的常用方法 (1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，可用累加法求a n . (2)形如a n ＋1＝a n f (n )，可用累乘法求a n .(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，可构造等比数列求a n . (4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C，可通过两边同时取倒数，构造新数列求解．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． [解] ∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(3n －1)＋(3n －4)＋…＋8＋5＋2 ＝n 3n ＋12，∴a n ＝32n 2＋n 2.求解时，易错误地认为a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)造成错解．形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝nn ＋2a n ，求数列{a n }的通项公式．[解] 由a n ＋1＝nn ＋2a n 得a n ＋1a n ＝n n ＋2， ∴a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·4 ＝1n ＋1×1n ×2×1×4＝8nn ＋1，即a n ＝8nn ＋1. 求解时易错误地认为a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1，造成错解．形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． [解] ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，因此a n ＝2·3n －1－1.a n ＋1＝Aa n ＋B 可转化为a n ＋1＋k ＝A (a n ＋k )的形式，其中k 可用待定系数法求出．1.(2019·泰安模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1，则a n ＝________.2n －1＋n [由a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1得a n ＋1－a n ＝2n －1＋1，∴a n －a n －1＝2n －2＋1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －2＋2n －3＋…＋2＋1＋(n －1)＋2＝1－2n －11－2＋n ＋1＝2n －1＋n ，即a n ＝2n －1＋n .]2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，则a n ＝________. 2 [∵a n ＋1＝2na n ，∴a n ＋1a n ＝2n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2，即a n ＝2.]3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则a n ＝________. 2n ＋1－3 [由a n ＋1＝2a n ＋3得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．又a 1＝1，∴a 1＋3＝4.故数列{a n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.]⊙考点4 数列的周期性先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值．(1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第 2 020项为________．(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n，则S 2 020＝________.(1)45 (2)0 [(1)因为a 1＝35，故a 2＝2a 1－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，a 7＝2a 6＝25，…，故数列{a n }是周期数列且周期为4，故a 2 020＝a 505×4＝a 4＝45.(2)∵a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n ，∴a 2＝31＝3，a 3＝3＋31－3×3＝23－2＝－3， a 4＝3－31＋3×3＝0，即数列{a n }是周期为3的周期数列，且a 1＋a 2＋a 3＝0，则S2 020＝S3×673＋1＝a1＝0.]求解时，易算错数列的周期，可计算数列的前几项，直至找到和a1相同的项a k，则数列的周期为k－1.n1n＋1n n 2 0200 [∵a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋1＝(a n－1)2，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{a n}是以2为周期的周期数列，∴a2 020＝a2＝0.]2．(2019·青岛模拟)已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 020项之和S2 020＝________.2 010 [由题意知a1＝2 008，a2＝2 009，a3＝1，a4＝－2 008，a5＝－2 009，a6＝－1，a7＝2 008，a8＝2 009，…，因此数列是以6为周期的周期数列，且a1＋a2＋…＋a6＝0，∴S2 020＝S6×336＋4＝336×0＋a1＋a2＋a3＋a4＝2 010.]。

高三数学第一轮复习数列的概念与简单表示法教案(学生)

城东蜊市阳光实验学校教案57数列的概念与简单表示法〔1〕一、课前检测〔5m 〕1.〔2021年东城期末5〕在ABC ∆中，假设sin A C =， 30B =，那么角A等于〔〕A ．30B ．45C ．60D ．120考点：正、余弦定理〔处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于180︒,一般用正、余弦定理施行边角互化〕 ⑴正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===〔R 2是ABC ∆外接圆直径〕注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。

⑵余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=等三个；bca cb A 2cos 222-+=等三个。

考点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.考点：同角三角函数的根本关系1cos sin 22=+αα，αααcos sin tan =，1cot tan =αα考点：特殊角的三角函数值考点：等边对等角〔初中几何定理〕略解：方法1由于sin A C =， 30B =，所以A)-sin(1503sinA =所以，A=120 方法2由sinC c sinA a =得c 3a 3sinCsinAc a =⇒==故22222222c 3c -4c cos30c c 32-c 3c 2accosB -c a b ==⨯⨯⨯+=+=即 120A 30C B c b=⇒==⇒=〔或者者用余弦定理求21-cosB =也行〕。

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6.1 数列的概念与简单表示法
一、考纲导读
1.学习目标
①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）。

②了解数列是自变量为正整数的一类函数。

2.教学重点：数列的定义和通项公式。

3.教学难点：正确运用数列的递推关系解答数列问题。

二、回归教材
1.知识建构：
2.课本典例：
【典例1】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数，如他们研究过右图1中的1，3，6，10，，由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称右图2中的1，4，9，16 这样的数为正方形数，则除1外，最小的既是三角形数又是正方形数的是 .
【典例2】下图中的三角形图案称为谢宾斯基（Sierpinski ）三角形.在下图四个三角形图案中,未着色的小三角形个数依次构成一个数列的前4项,这个数列的一个通项公式为 .
三、学习活动
【学习活动一】：已知数列的前几项求数列的通项公式
1.写出下列数列的一个通项公式：
（1）1,3,5,7，… （2）1,2,4,8, … （3）1,3,6,10, …
（4）9,99,999,9999, … （5）-1,1,-1,1, …
1n =3n =（13
个未着色）4n =（40
个未着色）
【巩固训练1】写出下列数列的一个通项公式：
（1）3,5,9,17,33，… （2）2，5，22，11，… （3）23，415，635，863
，…（4）12，－2，92，－8，252
，（5）3,33,333,3333, … （6）1,0,1,0，…. 【小结1】
【学习活动二】：已知数列的递推关系求数列的通项公式
2. (2010年新课标理科17) 设数列{}n a 满足121123,2-+∙+==n n n a a a
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。

3.设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n ，
求数列{}n a 的通项公式。

4.（2007年山东理科17）设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设n n
n b a =
，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
5.已知数列{}n a 满足,)1(2
321+=n a a a a n 求数列{}n a 的通项公式。

6. 已知数列{}n a 满足11=a ，231+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。

7. 已知数列{}n a 中，232,3111+==
+n n n a a a a ，求n a
【小结2】
四、反馈训练
8. (2008年江苏10)将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10。

。

按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为
9. (2010年辽宁理科16)已知数列{}n a 满足331=a ，,21n a a n n =-+则n
a n 的最小值为________________
五、高考预测
10. (2013安徽，理14)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…
和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且
所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则
数列{a n }的通项公式是__________．
六、课后提升
1.（2012年大纲卷文科18）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和23
n n n S a +=
．（Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．
2.（2009年湖北文科19）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足5563=a a ，1672=+a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）若数列{a n }和数列{b n }满足等式： )(2...222n 33221为正整数n b b b b a n
n +++=
，求数列{bn}的前n 项和Sn 。

3.（2014年新课标2理科17）已知数列{}n a 满足11=a ，131+=+n n a a （1）证明⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
+21n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式（2）证明2
31111321<+++n a a a a
.
4.已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．（Ⅰ）证明：数列1{1}n a -是等比数列；（Ⅱ）数列{
}n
n a 的前n 项和n S ．。