《数列的概念与简单表示法》优质课比赛教学设计
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念与简单表示法教案一、教学目标1. 了解数列的概念，理解数列的表示方法，如通项公式、项的表示等。
2. 学会用图像和数学公式表示数列。
3. 能够运用数列的性质解决实际问题。
二、教学内容1. 数列的概念：数列是按照一定的顺序排列的一列数。
2. 数列的表示方法：a) 通项公式：数列中每一项的数学表达式。
b) 项的表示：用序号表示数列中的每一项。
3. 数列的图像表示：数列的图像通常为一条直线或曲线。
4. 数列的性质：数列的项数、公差、公比等。
三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念、数列的表示方法、数列的图像表示。
2. 教学难点：数列的性质及其应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳数列的性质。
2. 利用多媒体展示数列的图像，增强学生的直观感受。
3. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学步骤1. 引入数列的概念，引导学生理解数列是按照一定顺序排列的一列数。
2. 讲解数列的表示方法，如通项公式、项的表示，让学生学会用数学公式表示数列。
3. 利用多媒体展示数列的图像，让学生了解数列的图像表示方法。
4. 分析数列的性质，如项数、公差、公比等，并引导学生运用数列的性质解决实际问题。
5. 进行课堂练习，巩固所学内容。
教案设计仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。
六、教学活动1. 课堂讲解：数列的概念与表示方法。
2. 实例分析：分析生活中常见的数列，如等差数列、等比数列。
3. 练习：求给定数列的前n项和。
七、数列的图像表示1. 讲解：数列图像的绘制方法。
2. 练习：绘制给定数列的图像。
八、数列的性质与应用1. 讲解：数列的性质及其应用。
2. 实例分析：运用数列的性质解决实际问题。
3. 练习：运用数列的性质解决给定问题。
九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结数列的概念、表示方法、图像表示和性质。
2. 强调数列在实际问题中的应用。
十、课后作业1. 习题：求给定数列的前n项和。
高中数学必修五《数列的概念与简单表示法》优秀教学设计
2．1 数列的概念与简单表示法第1课时 数列的概念与简单表示法【知识梳理】1．数列的概念及一般形式2．3.如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的表示法数列的表示法有三种，分别是列表法、图象法、解析法． 【例题导读】P 29例1.由本例学会由数列若干项归纳出该数列的通项公式． 试一试：P 31练习T 4你会吗？P 30例2.通过本例学习，理解数列是一种特殊的函数． 试一试：P 33A 组T 5你会吗？1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，1，1，…是无穷数列．( )(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．( ) (3)有些数列没有通项公式．( )解析：(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误，虽然都是由1，2，3，4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3)正确，某些数列的第n 项a n 和n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．答案：(1)√ (2)× (3)√2．下列四个数中，哪个是数列{n (n ＋1)}中的一项( ) A ．380 B ．392 C ．321 D ．232解析：选A.因为19×20＝380， 所以380是数列{n (n ＋1)}中的第19项．3．数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通项公式是a n ＝( )A.19(10n －1)B.13⎝⎛⎭⎫1－110n C.29(10n －1) D.310(10n －1) 解析：选B.1－1101＝0.9，1－1102＝0.99，…，故原数列的通项公式为a n ＝13⎝⎛⎭⎫1－110n . 4．数列{a n }满足a n ＝log 2(n 2＋3)－2，则log 23是这个数列的第________项． 解析：令a n ＝log 2(n 2＋3)－2＝log 23，解得n ＝3.答案：31．对数列概念的两点认识(1)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f (n )，而项数是指这个数在这个数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f (n )中的n .(2)次序对一个数列来说相当重要，几个不同的数由于它们的次序不相同，可构成不同的数列．显然，数列与数集有本质的区别．2．数列的项的三个性质(1)确定性：一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的数有关，而且与这些数的排列顺序有关． 3．解读数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集{1，2，3，…，n }为定义域的函数解析式．(2)和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． (3)有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．数列的概念[学生用书P 16](1)下列说法正确的是( )A ．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是同一数列C ．数列－1，3，6，－5的第三项为6D ．数列可以看成是一个定义域为正整数集N *的函数 (2)已知下列数列：①2 010，2 012，2 014，2 016，2 018；②0，12，23，…，n －1n ，…；③1，12，14，…，12n －1，…；④1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…；⑤1，0，－1，…，sinn π2，…； ⑥9，9，9，9，9，9.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上)[解析] (1)由数列定义知A ，B 不正确；D 不正确的原因是数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．故选C.(2)①是有穷递增数列；②是无穷递增数列(因为n －1n ＝1－1n )；③是无穷递减数列；④是摆动数列，也是无穷数列； ⑤是摆动数列，是无穷数列；⑥是常数列，是有穷数列．[答案] (1)C(2)①⑥ ②③④⑤ ①② ③ ⑥ ④⑤ [方法归纳](1)判断一个数列是有穷或无穷数列的关键是判断数列的项数是有穷的或是无穷的． (2)判断数列单调性的方法：①若数列{a n }满足a n <a n ＋1，则是递增数列． ②若数列{a n }满足a n >a n ＋1，则是递减数列． ③若数列{a n }满足a n ＝a n ＋1，则是常数列．1．(1)下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A ．1，18，127，164，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析：选C.对于A ，a n ＝1n3，n ∈N *，它是无穷递减数列；对于B ，a n ＝－n ，n ∈N *，它也是无穷递减数列；D 是有穷数列；对于C ，a n ＝－⎝⎛⎭⎫12n －1，它是无穷递增数列．(2)分别写出下列数列：①不大于10的自然数按从小到大的顺序组成的数列________． ②－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂…构成的数列________．解析：①0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；②－2，22，－23，24，….答案：①0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 ②－2，22，－23，24，… (3)给出以下数列：①1，－1，1，－1，…； ②2，4，6，8，…，1 000； ③8，8，8，8，…；④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810.其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.答案：②④ ①③ ② ④ ① ③由数列的前几项写出数列的通项公式[学生用书P 16]写出以下数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． (1)－1，12，－13，14；(2)112，245，3910，41617；(3)12，34，78，1516. (链接教材P 29例1)[解] (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，故有：a n ＝(－1)n ·1n .(2)112＝1＋112＋1，245＝2＋2222＋1， 3910＝3＋3232＋1， 41617＝4＋4242＋1， ……，故a n ＝n ＋n 2n 2＋1(n ∈N *)．(3)12＝21－121＝1－121， 34＝22－122＝1－122， 78＝23－123＝1－123， 1516＝24－124＝1－124， ……，故a n ＝2n －12n ＝1－12n (n ∈N *)．[方法归纳]给出数列的前几项，求通项时，注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若n 和n ＋1项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n ＋1或(－1)n －1来调控． (3)熟悉一些常见数列的通项公式．(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．2．(1)数列35，12，511，37，…的一个通项公式是________．解析：数列可写为：35，48，511，614，…，分子满足：3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，…，分母满足：5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋2，…， 故通项公式为a n ＝n ＋23n ＋2.答案：a n ＝n ＋23n ＋2(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3，7，－15，31，…； ③2，6，2，6，….解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，∴a n ＝1（n ＋1）（n ＋3）.②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，∴a n ＝(－1)n (2n ＋1－1)．③这样的摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示．a n ＝4＋(－1)n·2或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 （n 是奇数），6 （n 是偶数）.通项公式的简单应用[学生用书P 17]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项．[解] (1)a 4a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项；由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，均不合题意，所以68不是该数列的项．若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？解：(1)因为a n ＝3n 2－28n ， 所以a 3＝3×32－28×3＝－57， a 8＝3×82－28×8＝－32.(2)令3n 2－28n ＝20，解得n ＝10或n ＝－23(舍去)，所以20是该数列的第10项． [名师点评]已知数列{a n }的通项公式，判断某一个数是否是数列{a n }的项，即令通项公式等于该数，解关于n 的方程 ，若解得n 为正整数k ，则该数为数列{a n }的第k 项，若关于n 的方程无解或有解且为非正整数解则该数不是数列{a n }中的项．3．(1)600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第________项． 解析：a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，所以n ＝24. 答案：24(2)数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋n ＋30. ①问－60是否是{a n }中的一项？②当n 分别取何值时，a n ＝0，a n >0，a n <0?解：①假设－60是{a n }中的一项，则－n 2＋n ＋30＝－60.解得n ＝10或n ＝－9(舍去)．所以－60是{a n }的第10项．②令－n 2＋n ＋30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，所以n ＝6时，a n ＝0；0<n <6且n ∈N *时，a n >0；n >6(n ∈N *)时，a <0.易错警示设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－1 （x <2）.a n ＝f (n )，若数列{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C.⎝⎛⎭⎫－∞，74 D.⎣⎡⎭⎫138，2[解析] 由题意，知f (x )＝(a －2)x 在[2，＋∞)上是减函数，且a 1>a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，f （1）>f （2），即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，⎝⎛⎭⎫121－1>2（a －2）.解得a <74，故选C.[答案] C[错因与防范] (1)本题易受函数单调性的影响形成思维定式，只考虑两段与分界点，得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，⎝⎛⎭⎫122－1≥2（a －2），即a ≤138，错选B.(2)因为数列可以看作是定义域为正整数集或其子集的一类特殊的函数，所以数列具备一般函数应具备的性质．用函数的观点研究数列时不要忽视数列的特殊性，特别注意数列中的项数应为正整数的条件．4．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，3) C ．(－∞，2) D ．(－∞，3] 解析：选B.a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，又{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故只需k <3即可．1．下列说法正确的是( )A ．数列1，3，5，7，…，2n －1可以表示为1，3，5，7，…B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D ．数列0，2，4，6，8，…可记为{2n }解析：选C.A 错，数列1，3，5，7，…2n －1为有穷数列，而数列1，3，5，7，…为无穷数列；B 错，数的顺序不同就是两个不同的数列；C 正确，a k ＝1＋k k ＝1＋1k ；D 错，a n＝2n －2.2．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14解析：选C.观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13. 3．数列1，2，7，10，13，…中的第26项为________． 解析：∵a 1＝1＝1，a 2＝2＝4 a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13， ∴a n ＝3n －2，∴a 26＝3×26－2＝76＝219.答案：2194．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n，那么110是它的第________项．解析：令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)，所以110是该数列的第4项．答案：4,[学生用书单独成册])A 层 基础达标1．下列说法中不正确的是( ) A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列B ．数列{f (n )}就是定义在正整数集N *上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数值C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列解析：选B.A ，D 显然正确；对于B ，因为数列{f (n )}是定义在正整数集N *上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数a n ＝f (n )，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值，所以B 项不正确；对于C ，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．2．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．32解析：选B.因为a n ＝3n －1，所以a 2＝32－1＝3.3．已知数列12，23，34，…，nn ＋1，则0.96是该数列的( )A ．第20项B ．第22项C ．第24项D ．第26项解析：选C.由nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.4．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝ n －2n B ．a n ＝ n －1n C ．a n ＝n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2 解析：选C.已知数列化为：0，13，24，35，46，…，故a n ＝ n －1n ＋1.5．已知数列2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项． 解析：∵a 1＝2，a 2＝5，a 3＝8，a 4＝11， ∴a n ＝3n －1.由3n －1＝25⇒3n －1＝20⇒n ＝7，∴25是该数列的第7项． 答案：76．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为__________．解析：由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N *，∴n ≤9. 答案：97．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，13，…； (2)53，( )，1715，2624，3735，…； (3)2，1，( )，12，…；(4)32，94，( )，6516，…. 解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 912 812 712 ( ) 512 412于是括号内填612，而分子恰为10减序号，故括号内填12，通项公式为a n ＝10－n 12.(2)53＝4＋14－1， 1715＝16＋116－1， 2624＝25＋125－1， 3735＝36＋136－1. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故括号内填108，通项公式为a n ＝（n ＋1）2＋1（n ＋1）2－1.(3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n.(4)先将原数列变形为112，214，( )，4116，…，所以括号内应填318，数列的通项公式为a n ＝n ＋12n .B 层 能力提升 1．数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析：选B.a n ＝3n 2－28n ＝3(n －143)2－1963，当n ＝143时，a n 最小，又n ∈N *，故n ＝5时，a n ＝3n 2－28n 最小．2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15B ．5C ．6 D.log 23＋log 31325解析：选 B.a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5. 3．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________．解析：因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…， 所以a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n .答案：n 4．已知数列{a n }的前4项为11，102，1 003，10 004，…，则它的一个通项公式为________． 解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是a n ＝10n ＋n . 答案：a n ＝10n ＋n5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n 2＋3n.(1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？解：(1)a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝25，a 3＝432＋3×3＝29.(2)令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8.又n ∈N *，故n ＝－8舍去，所以110是数列{a n }的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0，解得n ＝32或n ＝－92. 又n ∈N *，所以1627不是数列{a n }的项． 6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝p n ＋q (p ，q ∈R )，且a 1＝－12，a 2＝－34. (1)求{a n }的通项公式；(2)－255256是{a n }中的第几项？ (3)该数列是递增数列还是递减数列？解：(1)∵a n ＝p n ＋q ，又a 1＝－12，a 2＝－34， ∴⎩⎨⎧p ＋q ＝－12p 2＋q ＝－34，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝－1， 因此{a n }的通项公式是a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.(2)令a n ＝－255256，即⎝⎛⎭⎫12n －1＝－255256， 所以⎝⎛⎭⎫12n ＝1256，解得n ＝8. 故－255256是{a n }中的第8项． (3)由于a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，且⎝⎛⎭⎫12n 随n 的增大而减小，因此a n 的值随n 的增大而减小，故{a n }是递减数列．C 层 拓展升华1．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第n 个图形中，火柴棒的根数为( )A ．3n －1B ．3nC ．3n ＋1D ．3(n ＋1) 解析：选C.通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，…，a n －a n －1＝3(n ≥2)，把上面的式子累加，则可得第n 个图形中，a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1(根)．2．根据下图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．解析：观察图形可知，第n 个图有n 个分支，每个分支上有(n －1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n (n －1)＋1＝n 2－n ＋1个点．答案：n 2－n ＋13．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．解：(1)设a n ＝f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝（3n －1）（3n －2）（3n －1）（3n ＋1）＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ＝N *，∴0<1－33n ＋1<1， ∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0，1)内．(4)令13<a n ＝3n －23n ＋1<23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎨⎧n >76，n <83. ∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。
《数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案一、教学目标1. 了解数列的定义及其特点2. 掌握数列的表示方法，包括通项公式和前n项和公式3. 能够运用数列的概念和表示法解决实际问题二、教学内容1. 数列的定义与特点2. 数列的表示方法a. 通项公式b. 前n项和公式三、教学重点与难点1. 重点：数列的概念、特点及表示方法2. 难点：通项公式和前n项和公式的运用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的概念、特点及表示方法2. 利用例题，引导学生运用数列的知识解决问题3. 小组讨论，探讨数列在实际问题中的应用五、教学过程1. 引入数列的概念，讲解数列的定义和特点2. 介绍数列的表示方法，包括通项公式和前n项和公式3. 举例说明数列的表示方法在实际问题中的应用4. 课堂练习，让学生巩固数列的概念和表示法教案仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课后作业：布置有关数列概念和表示法的练习题，要求学生在规定时间内完成。
2. 课堂练习：课堂上设置一些数列相关的问题，让学生现场解答，以检验他们对数列概念和表示法的掌握程度。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享他们在实际问题中运用数列知识的心得，从而提高他们的合作能力和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 数列的性质：介绍数列的单调性、周期性等性质，引导学生深入研究数列的特点。
2. 数列的分类：讲解等差数列、等比数列等常见数列的定义和性质，让学生了解数列的多样性。
八、教学反思在教学过程中，要及时关注学生的学习反馈，调整教学节奏和难度，确保学生能够跟上课程进度。
针对学生的薄弱环节，要加强针对性训练，提高他们的数列知识水平。
注重培养学生的数学思维能力和实际应用能力，使他们能够将所学知识运用到实际问题中。
九、课后作业1. 复习数列的概念和表示法，整理课堂笔记。
2. 完成课后练习题，加深对数列知识的理解。
3. 选择一个实际问题，尝试运用数列的知识解决，并将解题过程和答案提交给本节课主要讲解了数列的概念和简单表示法，学生通过学习掌握了数列的基本知识，能够运用通项公式和前n项和公式解决一些实际问题。
数列的概念与简单表示法 优秀教学设计
高中数学，普遍反映“学生学得辛苦，老师教得累”，课堂容易陷入沉闷和满堂 灌的尴尬境地，课后收效不大，如何改变这种局面，实现数学有有效教学呢？有什么 好的教学模式呢？带着这些疑问，我研读了有效教学相关理论，并精心设计了《数列 的概念与简单表示法》，探索出“学案的辅助教学+老师的启发式教学+学生的积极参与 探讨”的教学模式,很好地实现了课堂的有效教学。 一、教材分析：
学生口答，并说理。 教师归纳出：已知数 列的通项公式，可以 求出数列的任意项， 并且可以检验某数是 否是数列中的数。
例 1 体现了通 项公式的作 用。
六、例题分析 中的项？
例 2．写出下面数列的一个通项公式，
使它的前 4 项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7；
（2） 22 1; 32 1 , 42 1; 52 1; 2345
系，我们把这样的公 式称为数列的通项公 式。 学生：思考③④问， 并举例回答。
渗透函数思 想；纠正对通 项公式两点误 解。
例 1．根据数列的通项公式，完成：
（1）已知数列通项公式是
an
n n 1
，则
a1 ， a2 ， a100 . (2)已知数列的通项公式是
an 3n 2 ，试问 47 是否是数列{an}
学生通过画面，初步 认识数列
1、创设情境， 增强数列的感
性认识。 2、这些实例激 发民族自豪感 等。学生学习
的兴趣
用多媒体投影以下概念：
①按一定次序排列的一列数叫做数列。
②数列中的每一个数都叫做这个数列的 项。各项依次叫做这个数列的第 1 项 （或首 项）第 2 项, …,第 n 项, …
二、讲授新 课，数列及相 关概念
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念与简单表示法教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。
举例说明数列的组成，如自然数数列、等差数列等。
1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。
强调数列项的顺序和重复性质。
1.3 数列的通项公式引导学生了解通项公式的概念，即用公式表示数列中任意一项的方法。
举例讲解如何写出简单数列的通项公式。
第二章：数列的表示法2.1 列举法讲解如何用列举法表示数列，即直接写出数列的所有项。
练习写出几个给定数列的列举表示。
2.2 公式法解释公式法表示数列的方法，即用公式来表示数列的任意一项。
举例说明如何用公式法表示等差数列和等比数列。
2.3 图像法介绍图像法表示数列的方法，即用图形来表示数列的项。
引导学生通过观察图形来理解数列的特点。
第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的数量。
举例说明如何确定一个数列的项数。
3.2 数列的单调性引导学生理解数列的单调性，即数列项的增减规律。
举例说明如何判断一个数列的单调性。
3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中项按照一定规律重复出现。
举例说明如何判断一个数列的周期性。
第四章：数列的通项公式4.1 等差数列的通项公式讲解等差数列的定义和性质。
推导等差数列的通项公式。
4.2 等比数列的通项公式讲解等比数列的定义和性质。
推导等比数列的通项公式。
4.3 其他类型数列的通项公式引导学生了解其他类型数列的通项公式。
举例讲解如何求解其他类型数列的通项公式。
第五章：数列的前n项和5.1 等差数列的前n项和讲解等差数列的前n项和的定义和性质。
推导等差数列的前n项和的公式。
5.2 等比数列的前n项和讲解等比数列的前n项和的定义和性质。
推导等比数列的前n项和的公式。
5.3 其他类型数列的前n项和引导学生了解其他类型数列的前n项和的求法。
举例讲解如何求解其他类型数列的前n项和。
第六章：数列的求和公式6.1 数列求和的定义解释数列求和是指将数列中的所有项相加得到一个数值。
高中数学必修五《数列的概念与简单表示法》优秀教学设计
高中数学必修五《数列的概念与简单表示法》优秀教学设计数列的概念与简单表示法一、教学目标：通过日常生活中、数学史中实例的观察、分析和讨论，了解数列的概念，通过小组合作讨论，确定数列研究的内容和方向，了解数列概念的内涵和外延及几种简单的表示方法，体会数列是一种特殊的函数.在对数列抽象、观察的过程中，锻炼学生分析、探索、转化、归纳等能力，经历从特殊到一般，一般到特殊的重要数学思想方法.通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数列的本质.二、学情分析：学生学习了集合、函数的概念和性质等基本知识，初步掌握了函数的研究方法，在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面，有了一定的基础.况且，数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.三、重点难点：“数列的概念与简单表示法”是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5第2章第1课时的内容，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等.数列是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置.数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点.学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点.四、教学方法：运用“问题驱动”、小组合作的教学方法，创设有效问题情境，引导学生进行探究，借助多媒体课件等工具让学生“问题”的引领下，学会思考、大胆探索、建构知识和体会思想.五、教学过程：1.创设情境，激发探究兴趣思考：某位学生先后有四次考试成绩，每次对应的成绩忘了，但记得有66,86,76,96四个数字，该学生的学习成绩是进步还是退步？设计意图：通过学生熟悉的问题实例的思考，吸引学生的注意力，激发学习的兴趣，让学生充分感受到四个数字顺序的不同，该学生学习状态的巨大差异，从而明确学习“数列”的必要性，也为后续具体实例的给出做好铺垫.情境1：研究树枝的生长规律：树苗在第一年长出一条新枝，新枝成长一年后变为老枝，老枝每年都长出一条新枝.每一条树枝都按照这个规律成长，则每年的分枝数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，......情境2：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究的三角形数依次为：1，4，9，16，25，.......情境3：从1984年到2016年我国共参加了9次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为：15，5，16，16，28，32，51，38，26 ；情境4：2015年黄岩区1—12月份的最低气温依次为：-3，-3，3，6，13，16，19，21，18，12，1，-1；预设：追问1：①情境3中的第7次奥运会金牌总数为多少？②情境4中最低温度比较低的月份有哪些？夏季那几个月的最低温度是多少？设计意图：结合自然界、数学史和生活中的例子，进一步让学生感受数列无处不在.初步认识到可以用数字描述、刻画客观存在的自然现象和规律.让学生从中体会到为了更好地了解大自然，发现并利用大自然和生活中的规律，我们就必须去解读这些数据，并对其进行研究.同时，这几个实例又代表了数列的不同类型，为后面讲解数列的分类、通项公式等埋下伏笔.2.总结归纳，给出数列概念数列概念：①按照一定顺序排列的一列数称为数列（sequence of number ）；②数列的一般形式：123,,,,n a a a a ，简记{}n a ；③数列中的每一个数叫做这个数列的项，1a 称为该数列的第1项（通常也叫做首项），2a 称为该数列的第2项，n a 称为该数列的第n 项.问题1：请你根据数列的定义，能否举出数列的例子？预设：①1，4，9，16和1，9，4，16是不是同一数列；②1,1,1,1,1,1是不是数列？第3项和第4项分别是什么？③小牛，小马，小强，是不是数列；设计意图：通过学生举例分析，进一步检验学生对于数列概念的理解，结合教师例子的分析，明确数列讲究的一列数的顺序.3.抽象分析，开展探究活动把上述实例的背景去掉进行抽象可得：① 96,86,76,6；② 1,4,9,16,25；③ 1,1,2,3,5,8,13,21,34,5 ④ 15,5,16,16,28,32,51 ⑤ 3,3,3,6,13,16,19,21,18--- 问题2：结合上述5个数列，哪些角度可以研究数列，并形成相应结论（小组讨论）预设：让各组形成自己的结论进行展示，教师巡查进行分组指导（1）分类：①按项数：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列；②项的大小：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列；（2）表示法：在数列②中，得到2n a n =,可以求出任意项的值——通项公式，例如数列③的通项公式为()10610,14,n a n n n N *=-≤≤∈（通项公式：用一个式子来表示数列{}n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系）追问2：通项公式相当于函数的解析式，数列③④⑤如何表示？追问3：数列是不是函数，定义域是什么？能总体说说数列与函数的区别和联系吗？追问4：数列的图像为什么是离散的点？追问5：递推公式能确定数列的每一项吗？设计意图：通过追问，明确数列与函数的关系，理解数列是定义在正整数集或其有限子集{ }()n ,321 ，，，的函数，是刻画离散的一种特殊函数.辨别每一种表示的优劣，明确不是每一个数列都是有通项公式的，图像表示数列直观，但是离散的点组成，介绍数列的另一种表示方法——递推公式.（3）数列的性质：追问6：数列是否也具有单调性、奇偶性和有界性？预设：不具有奇偶性，定义域不关于原点对称.情境3有最小值，情境4、5有最小值和最大值.设计意图：让学生经历观察、分析、探索、转化、归纳，体会特殊到一般，一般到特殊的重要数学思想方法.通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数列的本质做好铺垫.（4）总结归纳：1.从项的角度分析：①项与项的大小，可以分成递增数列、递减数列、摆动数列和常数列；②从每一项与序号的关系：通项公式；③从前后几项之间的关系：递推公式；2.从概念的内涵和外延角度分析：①数列与函数、数列与数集的区别和联系；②类比函数的表示法和性质，完善数列的表示法和类似性质；类比函数的学习经历，形成思维导图：4.例题解析，深化概念理解例1：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）4131211--，，， (2) 2，0，2，0 预设：（1）()n a n n 11+-=或()n n a n π1cos -= (3)()111+-=+n n a 或=为偶数，为奇数，n n a n 02或()π1cos 2-=n a n问题3：上述数列的通项公式为什么可以写出多个？例2：图中的三角形图案称为谢宾斯基（sierpinski ）三角形.在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式和递推公式设计意图：让学生体会写数列的通项公式，主要是寻找与对应关系，具体方法为：（1）整体把握，局部考虑；（2）合理变形，探求规律.如果只知道一个数列的前几项，这个数列的通项公式可能不唯一，进一步理解数列是一种特殊的函数.课堂练习：1.根据数列的通项公式填表2.若数列{}n a 的通项公式为152-+-=n n a n ,*∈N n ,求数列{}na 的最大项.5.课堂小结，形成知识体系1、对于一个新概念你会研究哪些方面，基本思路是什么？2、对于数列，你有什么样的认识？3、下节课我们将研究一些特殊数列,例如等差数列，等比数列等.。
《数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的定义1.1 学习目标：理解数列的定义，能够识别数列的基本特征。
1.2 教学内容：1.2.1 数列的定义：按照一定的顺序排列的一列数。
1.2.2 数列的项：数列中的每一个数称为项。
1.2.3 数列的顺序：数列中项的排列顺序称为数列的顺序。
1.3 教学活动：1.3.1 引入数列的概念，让学生通过观察实际例子来理解数列的定义。
1.3.2 引导学生分析数列的基本特征，如顺序、项等。
1.3.3 进行数列的实例练习，让学生能够识别和描述不同的数列。
第二章：数列的表示法2.1 学习目标：掌握数列的常见表示法，能够正确写出数列的前几项。
2.2 教学内容：2.2.1 列举法：将数列的每一项按顺序写出来。
2.2.2 描述法：用数学公式或文字描述数列的规律。
2.2.3 数列的通项公式：用公式表示数列中任意一项的值。
2.3 教学活动：2.3.1 介绍列举法和描述法，让学生通过实际例子学会用不同的方式表示数列。
2.3.2 引导学生理解数列的通项公式，并能够根据规律写出数列的前几项。
2.3.3 进行数列表示法的练习，让学生能够灵活运用不同的表示法。
第三章：数列的性质3.1 学习目标：理解数列的性质，能够运用数列的性质进行问题的解决。
3.2 教学内容：3.2.1 数列的项数：数列中项的个数称为数列的项数。
3.2.2 数列的项的公共性质：数列中所有项都具有的性质称为数列的项的公共性质。
3.2.3 数列的性质：数列的项的公共性质称为数列的性质。
3.3 教学活动：3.3.1 引导学生通过观察和分析数列的实例，发现数列的性质。
3.3.2 让学生通过实际的例题，学会运用数列的性质进行问题的解决。
3.3.3 进行数列性质的练习，让学生能够熟练运用数列的性质。
第四章：数列的分类4.1 学习目标：了解数列的分类，能够识别不同类型的数列。
4.2 教学内容：4.2.1 数列的分类：按照数列的性质和规律，将数列分为不同的类型。
《数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。
强调数列的有序性，即数列中每个数的位置是固定的。
1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。
举例说明数列的项与数列的关系。
1.3 数列的表示方法介绍数列的表示方法，包括顺序列举法和通项公式法。
举例说明如何用通项公式表示数列。
第二章：数列的通项公式2.1 通项公式的定义引导学生理解通项公式是用来表示数列中任意一项的公式。
强调通项公式中变量的含义和作用。
2.2 常见数列的通项公式举例讲解等差数列和等比数列的通项公式。
引导学生通过观察数列的特点来确定通项公式。
2.3 通项公式的应用解释如何利用通项公式来求解数列中的特定项。
举例说明通项公式在解决数列问题中的应用。
第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的个数。
引导学生理解项数与数列的定义和表示方法的关系。
3.2 数列的单调性讲解数列的单调性，包括递增和递减。
举例说明如何判断数列的单调性。
3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中存在重复的项的模式。
举例说明如何判断数列的周期性。
第四章：数列的求和4.1 数列的求和公式引导学生理解数列的求和是指将数列中所有项相加得到的结果。
讲解数列的求和公式，包括等差数列和等比数列的求和公式。
4.2 数列的求和应用解释如何利用数列的求和公式来求解数列的和。
举例说明数列的求和公式在解决数列问题中的应用。
4.3 数列的求和性质讲解数列的求和性质，包括数列的错位相减法和分组求和法。
举例说明如何利用数列的求和性质来简化计算。
第五章：数列的综合应用5.1 数列的极限引导学生理解数列的极限是指数列项趋近于某个值的过程。
讲解数列的极限的定义和性质。
5.2 数列的极限应用解释如何利用数列的极限来解决数列问题。
举例说明数列的极限在数学分析中的应用。
5.3 数列的实际应用讲解数列在实际问题中的应用，包括数列在物理学和经济学中的例子。
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数列的概念与简单表示法
一、教材与教学分析
1．数列在教材中的地位
根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边.
作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。
教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)．
2．教学任务分析
(1)了解数列的概念
新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类．
(2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系．
3．教学重点与难点
重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．
难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系．
二、教学方法与学习方法
自主学习与合作探究相结合．
三、教学情境设计
五、教学评价与反思
新课程的编排特点和学习方式的变化，使课堂教学方法发生了重大变化.新课程提倡教学目标综合化、多元化和均衡性，知识的生活化，使学生获得对数学知识理解的同时，在思维能力、观察能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.
鉴于此,本节课的教学设计要真正体现出学生的主体地位,以学生活动、学生探究为主,把数学与生活实际联系起来,具体说来,新课程的理念有如下体现:
(1)体现“双主体”的原则,摆正了教师在教学中的位置
本节课的组织与实施,充分体现了教师的主导和学生的主体性相结合的原则;教师扮演的是组织者、引导者、参与者,学生是学习的主体,通过大量实例激发学生的学机动机和学习兴趣.
(2)注重展示知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力
本节课通过逐步引导，层层设疑，让学生经历由形到数，由实际到抽象，由具体到一般的形成概念的过程，使教材更生动，更具亲和力.。