1998年大学生数学建模优秀论文投资收益和风险问题
毕业论文 投资风险和收益数学模型之探析
本科毕业论文论文题目：投资风险和收益数学模型之探析目录摘要 (4)关键字：数学建模建模方法建模示例 (4)Abstract (5)一. 数学模型的基本概念和基本特点 (6)原型和模型 (6)1.2模型分类 (6)1.3与数学模型相关的技术 (6)二．投资风险和收益的建模过程 (7)2.1基本方法 (7)2.2 投资风险和收益模型 (7)问题提出 (7)模型假设 (7)符号设定 (8)模型建立 (9)模型求解 (10)模型分析： (11)2.3 总结 (11)三．结语 (12)参考文献 (13)摘要数学模型（Mathematical Model），是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学，并在现实生活当中具有很大的应用价值。
因此本文介绍了数学模型的基本概念和基本特点，并结合投资风险和收益模型着重介绍了建立数学模型的一般方法和过程，从而更为形象和全面地体现数学建模的一般过程及其魅力所在。
关键字：数学建模建模方法建模示例AbstractMathematical Model, which has developed in recent years, is a new subject that has combined math theory and practical problems of science, and thus in real life has a great value. Therefore, this paper introduces the basic concepts and fundamental characteristics of the mathematical model, and then uses a model for investment risk and benefit as a specific example to highlight the general methods and processes of the establishment a mathematical model, and thus vividly and fully reflects the general course and the charm of mathematical modeling。
11539-数学建模-1998年A题《资产投资收益与风险》题目、论文、点评
1998年A题《资产投资收益与风险》题目、论文、点评投资组合与模糊规划模型王正方,赵文明,倪德娟本文讨论了投资的风险与收益的问题,首先我们给出了一个比较完整的模型,然后,考虑投资数额相当大时的一个近似处理模型,并分别用偏好系数加权法和模糊线性规划法进行了求解,接下来,我们又考虑了如何处理投资额相对较小的情况下的最优投资组合情况,引入了绝对收益率进行了较为有效的解决。
投资组合与模糊规划模型.pdf (275.8 KB)投资组合模型伍仕刚,孟宪丽,胡子昂本文建立了考虑交易费用情况下的市场资产组合投资模型,并采用偏好系数加权法对资产的预期收益和总风险进行评价,给出在不同偏好系数下的模型最优解,然后模型讨论了一般情况下的最优投资求解方法,给出定理,在总金额大于某一量值时,可化为线性规划求解。
投资组合模型.pdf (134.92 KB)风险投资分析程文鑫,苑青,骆文润本文主要研究多种资产的组合投资问题,根据题目所给信息,建立了在一定简化条件下的多目标规划模型和单目标风险约束模型,并对问题一与问题二分别使用上述两模型进行求解得到多种投资组合方案,同时对一般情况进行了讨论,最后模型进行了相应的灵敏度分析,讨论了简化条件的适用情况,结果表明模型是较为符合实际的风险投资分析.pdf (241.54 KB)资产投资收益与风险模型陈定涛,蒋浩,肖红英本文应用多目标决策方法建立模型,并通过简化,成为一个单目标线性规划问题。
计算后得到了一个合乎公司要求的、净收益尽可能大,而总体风险尽可能小的最优方案,如下所示: 问题1的最佳投资方案对表二中的数据进行同样的计算和分析,也获得了一个理想的投资方案;从而证明了我们的模型具有一般性。
资产投资收益与风险模型.pdf (298.22 KB)资本市场的最佳投资组合闫珺,王璐,韩嘉睿市场上有多种可提供投资者选择的资产。
本文试图对各种收益和风险进行分析,在一定的标准下给出全部资产组合的效益前沿,即有效资产组合,为投资者提供参考。
1998年全国大学生数学建模竞赛题目--投资的收益和风险(1)
1998年全国大学生数学建模竞赛题目
A题投资的收益和风险
市场上有n种资产（如股票、债券、…）S i( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买S i的平均收益率为r i，并预测出购买S i的风险损失率为q i。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的S i中最大的一个风险来度量。
购买S i要付交易费，费率为p i，并且当购买额不超过给定值u i 时，交易费按购买u i计算（不买当然无须付费）。
另外，假定同期银行存款利率是r0, 且既无交易费又无风险。
（r0=5%）
1．已知n = 4时的相关数据如下：
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
2．试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。
数学建模—投资的收益和风险问题
数学建模—投资的收益和风险问题投资一直是人们追逐财富增值的方式之一。
然而，投资市场的不确定性和风险给人们带来了很大的挑战。
数学建模作为一种解决问题的工具，可以帮助我们分析和评估投资的收益和风险。
本文将从数学建模的角度探讨投资的收益和风险问题。
一、投资收益的数学建模投资收益是投资者最关心的问题之一，通过数学建模我们可以对投资收益进行评估和预测。
常用的数学模型之一是股票价格的随机过程模型，其中最经典的是布朗运动模型。
布朗运动模型假设股票价格的波动符合随机游走过程，即无论是股票的上涨还是下跌都服从正态分布。
在这个模型中，我们可以通过计算出股票价格的期望回报和标准差，来评估投资的收益和风险。
除了布朗运动模型，我们还可以利用时间序列分析来预测股票价格的变动趋势。
时间序列分析是一种利用历史数据来分析未来走势的方法，通过建立股票价格与时间的数学模型，可以得到股票价格的预测值。
然而，需要注意的是，时间序列分析并不能完全预测未来的变动，因为股票价格受到很多因素的影响，例如市场供求关系、公司业绩等。
二、投资风险的数学建模除了投资收益，投资风险也是投资者非常关注的问题。
投资风险是指投资在市场变动中可能遭受的损失和波动程度，通过数学建模我们可以对投资风险进行量化评估。
常用的风险评估方法之一是价值-at-风险（Value at Risk，VaR）模型。
VaR模型以一定的概率来评估投资可能遭受的最大损失。
该模型通过构建投资组合的收益分布函数，计算出投资组合在给定概率下可能遭受的最大损失。
VaR模型可以帮助投资者合理地控制风险，制定适当的投资策略。
除了VaR模型，我们还可以利用随机模拟方法来评估投资风险。
随机模拟方法通过生成一系列符合规定分布的随机数，来模拟投资组合的收益分布。
通过模拟大量的随机数，我们可以得到投资组合可能的收益和风险情况，进而评估投资的风险。
三、数学建模在投资决策中的应用数学建模在投资决策中有着广泛的应用。
数学建模—投资的收益和风险问题
数学建模二学号：姓名：班级：投资的收益和风险问题摘要：某投资公司现有一大笔资金（8000万），可用作今后一段时间的市场投资，假设可供选择的四种资产在这一段时间的平均收益率分别为r，风险iq。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金损失率分别为i购买若干种资产时，总体风险可用所投资的资产中最大的一个风险来度量。
另外，r =5%。
具体数据如下表：假定同期银行存款利率是对于第一问，我建立了一个优化的线性规划模型，得到了不错的结果。
假设5年的投资时间，我认为五年末所得利润最大可为：37.94亿。
具体如何安排未来一段时间内的投资，请看下面的详细解答。
如果可供选择的资产有如下15种，可任意选定投资组合方式，就一般情况对以上问题进行讨论，结果又如何？对于第二问，考虑独立投资各个项目的到期利润率，通过分析，发现数据中存在着相互的联系。
由此，我建立了一个统计回归模型: x5=a0+a1*x4+a2*x3+a3*x2+a4*x1+a5*x1^2+a6*x2^2+a7*x3^2+a8*x4^2通过这个模型，我预测了今后5年各个项目的到期利润率。
如第一个项目今后五年的到期利润率为：第一年：0.1431 第二年：0.1601 第三年：0.0605 第四年：0.1816 第五年： 0.1572。
（其他几个项目的预测祥见下面的解答）考虑风险损失率时，定义计算式为：f=d*p;d为该项目5年内的到期利润率的标准差，p为到期利润率；考虑相互影响各个项目的到期利润率时，我们在第一个模型的基础上建立一新的模型：x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*x5(两个项目互相影响的模型)x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5+a16*z5y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*z5+a26*x5z5=a30+a31*z4+a32*z3+a33*z2+a34*z1+a35*x5+a37*y5(三个项目互相影响的模型)通过解方程组，我们可以预测出今后五年的到期利润率。
大学生数学资料建模优秀论文之投资收益与风险问题
现要求给出一种投资组合方案，使净收益尽可能大，而总风险尽可能小。
符号说明及定义
M：公司可以投资的总资金 Si(i=1,2… n)：表示各种可投资的资产 S0：银行 Xi：购买 Si 的资金份额，以百分比表示 ε： 表示设定的风险。 Ri: 购买 Si 的平均收益率 qi： Si 的风险 Q：投资组合总风险 pi：购买 Si 的费率 ui： 投资界限
满意度评判标准：当两种方案拥有相同的净收益率时，如果其中一个的风险 比另一个小时， 我们就称前者的满意度较高；当两种方案拥有相同的风险时，如果其中一个的净收益率比另一个小时， 我们就称后者的满意度较高；当两种方案一个的净收益率比另一个高，同时风险比后者低时 ，我们称 前者的满意度较高；在其他情况下，二者满意度无法比较。
问题分析
根据题中所给条件，公司的财务分析人员对 n 种资产进行了评估，估算出了 这一时期内购买 Si 的平均收益率 ri 和风险损失率 qi 。根据投资理论，衡量某种 资产的优劣需要依靠两个统计指标：平均收益率和围绕平均收益率的波动程度。
前者用于衡量资产的收益状况，其定义式为：
n∑ ri= pij × r Nhomakorabeaj j=1
条件完善的模型
为解决基本模型中的一些不符合实际的情况，我们需要给投资总风险重新定
义。考虑到当同时投资两种资产时，根据风险的定义式，其总风险应为：
qp=E[rpj−rp]²=E[(X1 × r1j+X2 × r2j)−(X1 × r1p+ X2×r2p)]²
? , 模型假设：由问题分析可知，在问题 1 的情况下，风险值只能是 2.5%， 1.5%，5.5%，2.6%，0%中的某一个。
建模示例——投资的收益和风险
三、模型的建立与分析
1. 总体风险用所投资的 i中最大的一个风险来衡量 即 总体风险用所投资的S 中最大的一个风险来衡量,即 max{ qixi|i=1，2,…n} ， 2．购买Si所付交易费是一个分段函数 即交易费 pimax{ui, xi}; ．购买 所付交易费是一个分段函数, 即交易费= 3．要使净收益尽可能大 总体风险尽可能小 这是一个多目标规 ．要使净收益尽可能大,总体风险尽可能小 这是一个多目标规 净收益尽可能大 总体风险尽可能小, n 划模型: 划模型
m Q( x) = ∑(ri − pi )xi ax
n
s.t. qi xi ≤ a0 M, i = 1,2,Ln
i =0
∑(1+ p )x
i =0 i
n
i
=M
xi ≥ 0, i = 1,2,L, n
如取风险水平a 如取风险水平 0＝0:0.001:0.1，可看出净收益的变 ， 化情况如图。 化情况如图。 0.3
m sα − (1− s)∑(ri − pi ) xi in
i =0
n
s.t. qi xi ≤ α, i = 1,2,Ln
∑(1+ p )x
i =0 i
n
i
=M
xi ≥ 0, i = 1,2,L, n
4
2)使就一般情况对以上问题进行讨论，并利用下表数据进 使就一般情况对以上问题进行讨论，
行计算: 行计算
Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元) 元 S1 9.6 42 2.1 181 S2 18.5 54 3.2 407 S3 49.4 60 6.0 428 S4 23.9 42 1.5 549 S5 8.1 1.2 7.6 270 S6 14 39 3.4 397 S7 40.7 68 5.6 178 S8 31.2 33.4 3.1 220 S9 33.6 53.3 2.7 457 S10 36.8 40 2.9 248 Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元) 元 S11 11.8 31 5.1) 195 S12 9 5.5 5.7 320 S13 S14 S15 35 9.4 15 46 5.3 23 2.7 4.5 7.6 267 328 131
1998年数学建模a题
1998年数学建模a题
1998年A题数学建模题目为：研究与投资有关的经济发展问题。
该题要求研究者对影响投资环境的各种因素进行分析，并进行投
资经济学的建模。
研究的内容包括：投资回报、投资项目的净现值、
投资风险、投资成本、投资价值、投资结构、投资综合评价等。
首先，研究者应该对影响投资环境的各种因素进行全面分析，包
括民族国家的政治环境、经济环境、金融环境、法律环境以及社会文
化环境等，以确定背景和方向。
其次，研究者应采用投资回报模型，分析投资市场的现状，如投
资回报率、投资成本、投资风险等，进而判断投资环境的优劣。
此外，研究还可以运用净现值模型，根据投资价值的不同，以及
价格水平的变化，来判断投资项目的合理性。
最后，研究者还可以使用投资结构分析技术来进行投资综合评价，以了解投资环境中的优势和劣势，并给出相应的经济发展建议。
综上所述，1998年A题数学建模题目主要是要求研究者对影响投
资环境的各种因素进行全面分析，并运用投资回报模型、净现值模型
以及投资结构分析技术等，对投资市场进行分析，以便给出相应的经
济发展建议。
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0.4 18.07683 26.899
28.613
7.508 15.849
21.131
0.6 21.01571 33.026
34.949
9.189 19.383
3.453
0.8 22.74902 48.258
29.419
7.180 15.142
0.000
1.0 23.60735 58.654
24.359
其中 rij 表示资产 Si 的第 j 个收益率，pij 表示资产 Si 的第 j 个收益率出现的概 率。
后者用于衡量证券的风险状况，关于风险的定义，我们查找了有关资料： （1） 指资产未来的实际报酬低于预期报酬的机率，或是可能发生损失的机
率。 [1] （2） 指投资者不能获得预期投资收益或遭受损失的可能性。[2] 故此，我们按参考书[2]来定义“风险”，即：
5.420
11.567
0.000
1.5 25.05522 76.127
16.112
2.512
5.204
0.000
2.0 26.12382 89.114
9.822
0.329
0.735
0.000
2.4 26.83735 97.967
2.033
0.000
0.000
0.000
2.5 27.00000 100.00
购买 Si 应付的交易费费率为 pi，并且当购买量不超过定值 ui 时，交易费按购买额 为 ui 来计算。另外，同期银行的存款利率为 5%，且交易费和风险均为零。
现要求给出一种投资组合方案，使净收益尽可能大，而总风险尽可能小。
符号说明及定义
M：公司可以投资的总资金 Si(i=1,2… n)：表示各种可投资的资产 S0：银行 Xi：购买 Si 的资金份额，以百分比表示 ε： 表示设定的风险。 Ri: 购买 Si 的平均收益率 qi： Si 的风险 Q：投资组合总风险 pi：购买 Si 的费率 ui： 投资界限
×
qi
≤ε
i=0
n
∑ Xi i=1
i =0
1≥Xi≥０
模型求解：我们使用规划软件 Gino 求解问题一，结果见表一。（程序见附录 ２．２）
ε (%) Rj(%)
S1(%)
S2(%)
S3(%)
S4(%)
银行存款(%)
0.2 14.24679 19.036
20.181
5.256
11.288
44.238
基本假设
一， 投资行为只能发生在开始阶段，中途不得撤资或追加投资。 二， 任一资产可购买量足够多，足以吸纳全部投资资金。 三，几种资产相互之间不会产生影响，例如股市的涨跌不会影响到债券的 涨跌。 四，财务分析人员对平均收益率和风险的预测值是可信的。 五，M 值足够大，大至可忽略 ui 的影响。（因为一般情况下企业的投资动辄 成百上千万元，而 ui 仅为数百元，故可忽略其影响） 六，公司总会选择满意度高的方案。
条件完善的模型
为解决基本模型中的一些不符合实际的情况，我们需要给投资总风险重新定
义。考虑到当同时投资两种资产时，根据风险的定义式，其总风险应为：
qp=E[rpj−rp]²=E[(X1 × r1j+X2 × r2j)−(X1 × r1p+ X2×r2p)]²
=X1²×q1+X2²×q2+2×X1×X2×δ12 式中的δ12 为协方差,表示两种资产之间的关联程度,其值越大,表明其关联程 度越大。由基本假设可知各资产之间没有联系，因此δ12 的值为零。故 qp 可表示 为：
0.000
0.000
0.000
0.000
2.6 27.00000 100.00
0.000
3.0 27.00000 100.00
0.000
0.000
0.000
0.000
4.0 27.00000 100.00
0.000
0.000
0.000
0.000.
5.5 27.00000 100.00
当购买 Ｓｉ 费用低于 ｕｉ 时，交易费为 ｕｉ×ｐｉ
Rj：投资方案总的净收益率 Rji：Si 的平均净收益率，其值为 ri−pi Rjs：投资方案总的净收益 Rjsi：投资 Si 的净收益 Rjp：某一时期内的市场平均收益率 Ai：Si 所占市场份额 Hi：Si 的市场价格 Gi：Si 的上市量 Sat：投资方案满意度
0.000
0.000
0.000
0.000
表一: 限险求利表
＊表格说明：对于问题一，表中给出：当 Ｑ 在一定范围内（Ｑ≤ε）时， Ｒｊ 的最大值及此时各资产的
配额。
模型三 图形模拟
在前两个模型中，我们给出了风险一定，收益最高和收益一定，风险最低的 方案，并给出了一些数据进行对比。但是在实际投资情况下，由于投资公司的人
满意度评判标准：当两种方案拥有相同的净收益率时，如果其中一个的风险 比另一个小时， 我们就称前者的满意度较高；当两种方案拥有相同的风险时，如果其中一个的净收益率比另一个小时， 我们就称后者的满意度较高；当两种方案一个的净收益率比另一个高，同时风险比后者低时 ，我们称 前者的满意度较高；在其他情况下，二者满意度无法比较。
qp= X1²×q1+X2²×q2
投资组合的这种特性可以推广到两种以上资产的情况。当有 n 种资产时，如
每一种资产 Si 的投资比例为 Xi，故有:
定义 :
n
∑ Q=
X
2 i
×
qi
i=0
这样一来，我们就可得到新的模型。
模型一 稳利降险
? , 模型假设：在投资收益和投资风险的矛盾权衡中，有许多投资者并不追 求收益率最大或是风险最小，而是追求在收益率不低于市场平均收益率 的情况下，使其投资的组合风险最小。
模型二 限险求利
一，模型假设：激烈的市场竞争使得企业不得不重视风险的存在。为此我
们提出“限险求利”模型，即在风险一定（不大于ε）的情况下，给出可使总收
益率 Rj 最大的投资方案。
二，模型建立：根据条件，我们可得如下模型：
n
max Rj= ∑ Xi × rji i=0
n
S.t.
Q=∑
X
2 i
n
∑ Rp= Ai × rji i=0 n
Ai=（Hi×Gi）/（ ∑ Hi × Gi ） i =0
由于基本假设中已设定各种资产都足够多，则不妨设各种资产所 占市场份额均相同。即 A1=A2=A3=A4=A5=1/5，这样一来：
Rp=（rj1+rj2+rj3+rj4+rj0）/5=17.6% 就可以得到模型: min 2.5%×X1²+1.5%×X2²+5.5%×X3²+2.6% ×X4²+5% ×X0² St. 27%×X1+19%×X2+18.5%×X3+18.5%×X4+5%×X0≥17.6% 1≥Xi≥０ X1+ X2+X3+X4+X0=1 三，模型求解：所得模型是一个线性条件约束下的非线性规划模型，我们 可以通过 0.618 法运用迭代来求得最优解。但我们考虑到这类问题的解 法较为复杂，因此使用计算机进行计算。 我们利用 Gino 软件进行计算，最后算得当： X1=0%，X2=23.6%，X3=18.6%，X4=13.1%, X0=44.7%时，有最小 风险值 0.32%。(程序见附录 2.1)
? , 模型假设：由问题分析可知，在问题 1 的情况下，风险值只能是 2.5%， 1.5%，5.5%，2.6%，0%中的某一个。
? , 模型的建立与求解： 当风险为 2.5%时，此时购买 S1 的资金超过了 M 的一半。剩余的资金为了追 求最大收益，都将会购买净收益率最大的资产。最后发现所有的资金全部购买 了 S1。净收益率为 27%。 当风险为 1.5%时，可得购买 S1 和 S2 的资金大约各占一半，S2 所耗资金略多 一点。净收益率约为 23%。 当风险为 5.5%时，可得购买 S1 和 S3 的资金大约各占一半，S3 所耗资金略多 一点。净收益率约为 22.5%。 当风险为 2.6%时，可得购买 S1 和 S4 的资金大约各占一半，S4 所耗资金略多 一点。净收益率约为 22.5%。 当风险为 0%时，可得购买 S1 和 S0 的资金大约各占一半，S0 所耗资金略多一 点。净收益率约为 16%。 通过对以上结果的分析，我们发现模型中未体现出总风险随投资的分散而减 小，另外当有某种投资所耗资金超过 M 的一半时，无论其余的资金作何种投资， 总风险都不会发生变化。这些显然都是不符合实际情况的，因此我们需要对条 件进行完善。
风险低收益 。 2、保守型（如图二）。此方案追求的是风险低，而不在意收益较低。 3、激进型（如图三）。此方案追求的是收益高，而不在意风险相当高。
稳妥投资方案图
保守投资方案图
激进投资方案图
*图形说明： 同一条曲线上的点对投资公司而言没有区别，满意度一样， 故称为无差别曲线。每一种投资类型为 曲线族（两两曲线不相交）。曲线与 Y 轴截距越大，说明投资者的满意度越高。
见附录 2.5）
图四 收益风险遍历图
图五 ＊＊图形说明：图五上的闭合曲线为图四中所有白点的包络线．依据实际情况，我们可知： Ａ 点坐标为（０，５），
其对应的投资方案是将全部资金都存入银行；Ｂ 点坐标为（２．５，２７），其对应的投资方案是将所有的资金 都购买了资产 Ｓ１。
n
∑ qi= pij × (rij − ri )2 j=1
即实际收益与平均收益的均方差。 题中提出当资金用于购买若干种资产时,总体风险可用所投资的 Si 中最大的 一个风险来度量.这里我们认为总风险在数值上与所投资的 Si 中投资量最大的 一个资产的风险相等。