新课标人教A版高中数学选修4-4单元检测全套试卷及参考答案

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人教A版数学选修4人教版高中数学选修4-4综合测试卷A(含答案)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作数学选修4-4综合测试卷A （含答案）一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．将参数方程⎪⎩⎪⎨⎧θθ22sin ＝＋ 2 ＝ y x sin (θ 为参数)化为普通方程为( )．A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)2．设椭圆的参数方程为⎩⎨⎧θθsin ＝ cos ＝b y a x (a ＞0，0≤θ≤π)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭圆上两点，M ，N 对应的参数为θ 1，θ2且x 1＜x 2，则( )．A ．θ 1＜θ2B ．θ 1＞θ2C ．θ 1≥θ2D ．θ 1≤θ23．参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧2＝1＋＝y t t x (t 为参数)表示的曲线是( )． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线4．在极坐标系中，点P (ρ，θ)关于极点对称的点的一个坐标是( )． A ．(－ρ，－θ)B ．(ρ，－θ)C ．(ρ，π－θ)D ．(ρ，π＋θ)5．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换是( )． A ．⎪⎩⎪⎨⎧'y y 'x x 21＝3＝B ．⎪⎩⎪⎨⎧y 'y x'x 21＝3＝C ．⎪⎩⎪⎨⎧'y y 'x x 2＝3＝D ．⎪⎩⎪⎨⎧y 'y x'x 2＝3＝6．圆2＝ ρ(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( )． A ．⎪⎭⎫⎝⎛4π 1 ，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4π 2 ，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4π 2 ，D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛4π 22 ，7．点(ρ，θ )满足3ρ cos 2 θ ＋2ρ sin 2 θ ＝6cos θ ，则 ρ2的最大值为( )． A ．27B ．4C ．29D ．58．极坐标方程 ρ＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛θ－4π表示的曲线是( )．A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆9．两圆 ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ 的公共部分面积是( )． A ．4π－21B ．π－2C ．2π－1 D ．2π 10．直线12+=x y 的参数方程是( )．A ．⎪⎩⎪⎨⎧＋1＝＝22t y tx 2(t 为参数)B ．⎩⎨⎧1＋4＝1－2＝t y t x (t 为参数)C ．⎩⎨⎧1－2＝－＝t y t x 1(t 为参数)D ．⎩⎨⎧1＋ sin ＝sin ＝θθ2y x (t 为参数)11．已知过曲线 sin 4＝cos 3＝⎩⎨⎧θθy x (θ 为参数，0≤θ ≤π)上一点P 和原点O 的直线OP 的倾斜角为4π，则P 点坐标是( )． A ．(3，4) B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛512512－－，C ．(－3，－4)D ．⎪⎭⎫⎝⎛512512 ，12．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：y ＋k x ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ 相交，则k 的取值范围是( )．A ．k ＜－43B ．k ≥－43C ．k ∈RD ．k ∈R 但k ≠013．当θ∈R 时，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧22＝2cos 3sin 22＝2sin ＋3cos θθθθy －x y x (θ 为参数)表示的图形是( )． A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线14．参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1 －1＝1＝2t t y tx (t 为参数)所表示的曲线是( )．A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上． 15．已知点A (6，6π)和B (10，6π)，则A ，B 两点间的距离为．16．把曲线的极坐标方程 ρ＝tan θ·θcos 1化为直角坐标方程为___________________． 17．过点P (2，4π)并且与极轴垂直的直线方程是． 18．在直径为a 的圆上取一定点作为极点O ，自O 到圆心引射线作为极轴．过O 点作圆的弦OP ，并延长OP 到M 点，使|PM |＝a ，当P 点在圆周上移动时，动点M 的轨迹方程是．三、解答题：本大题共3小题,共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．在平面直角坐标系中已知点A (3，0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上一个动点，且∠AOP 的平分线交PA 于Q 点，建立适当的极坐标系求Q 点的轨迹的极坐标方程．20．点P 在椭圆1＝9＋1622x y 上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离21．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ (0＜θ＜2π)，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；x yxy xxyO OOO y(2)过点P(－2，0)作倾斜角为α 的直线l与曲线C相交于A，B两点，证明|PA|·|PB|为定值，并求倾斜角α 的取值范围．参考答案一、选择题1．C 解析：由于0≤sin 2θ ≤1，故2≤x ≤3， y 代入后移项即为y ＝x －2；从而选C ． 2．B 解析：由x 1＜x 2知a cos θ1＜a cos θ2，而余弦函数在[0，π]是减函数，故θ1＞θ2，． 3．D 解析：y ＝2表示一条平行于x 轴直线，而x ≥2，或x ≤－2，所以表示两条射线． 4．D 解析：关于极点对称即为反向延长，故其坐标为(ρ，π＋θ)． 5．B 解析：把y ＝2sin 3x 化为＝2y sin 3x ，则令y y'＝ 2，3x ＝x'即可．6．A 解析：圆方程可化为ρ＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π －θ，故圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4π1 ，．另解：其直角坐标系下的方程是x 2＋y 2－2x －2y ＝0，圆心坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222，，故极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4π1 ，．7．B 解析：由3ρ cos 2 θ ＋2ρ sin 2 θ ＝6cos θ，两边乘 ρ，化为3x 2＋2y 2＝6x ，解出 y 2＝3x －23x 2代入到x 2＋y 2，得x 2＋y 2＝－21x 2＋3x ＝－21(x 2－6x ＋9)＋29＝－21(x －3)2＋29．但因为22233 ＝ x x －y ≥0，可得0≤x ≤2，故当x = 2 时，ρ2＝x 2＋y 2的最大值为4． 8．D 解析：展开后两边同乘 ρ 即知是圆． 9．C 解析：作图可知公共部分是两个四分之一圆重叠部分，恰好是两个四分之一圆面积和减去正方形面积．即2π－1． 1O xy－1(第9题)10．C 解析：变量x ∈R ，故排除A ，D ．而B 中消去参数t 为y ＝2x ＋3，也不符合， 11．D 解析：因为OP 的倾斜角为4π，所以横坐标等于纵坐标，且在第一象限，故选D ． 12．A 解析：因曲线C 是半径为1的圆，圆心(1 ，0)到直线l ：y ＋k x ＋2＝0的距离为1＋ 2 ＋＝2k k ||d <1，解得k ＜－43．13．B 解析：把两式分别平方，再相加得1 ＝ 4＋922y x ．14．D 解析：因为变量x ，y 同号且x ≠0，故选D ．二、填空题15．4．解析：作图可知O ，A ，B 在同一直线上，且A ，B 在O 点同侧，所以|AB |＝10－6＝4．16．2x y =因为ρ＝tan θ·θcos 1＝θθ cos sin 2，ρcos 2 θ＝sin θ，ρ2cos 2 θ＝ρsin θ，故x 2＝y ． 17．ρcos θ＝2．解析：设直线与极轴交点为Q ，M (ρ，θ)为直线上任意一点，∵∠POQ ＝4π， |OP |＝2， ∴|OQ |＝2．在△MOQ 中，|OQ |＝|OM |cos θ，即 2＝ρcos θ，故所求的直线方程为 ρcos θ＝ 2． 18．ρ＝α(1＋cos θ)．解析：设动点M 的坐标为(ρ，θ)，则P 点为(ρ a ，θ)，已知圆的方程为 ρ＝a cos θ，因为P 点的圆上，∴|OP |＝a cos θ，即 ρ－a ＝a cos θ，故所求的方程为 ρ＝a (1＋cos θ)．三、解答题19．解：以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q (ρ，θ)，则P (1，2θ)． ∵S △OQA ＋S △OQP ＝S △OAP ， ∴21·3 ρsin θ＋21 ρsin θ＝21·3·1· sin 2θ，故 23＝ρcos θ．QAPO(第19题)20．解：设P (4cos θ，3sin θ)，则d ＝5－12sin － cos 1224θθ，即d ＝5－4π cos 21224⎪⎭⎫ ⎝⎛＋θ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛4π cos ＋θ＝－1时，d max ＝512(2＋2)；当⎪⎭⎫ ⎝⎛4π cos ＋θ＝1时，d min ＝512(2－2)．21．解：(1)由ρ＝4cos θ (0＜θ＜2π)得 ρ2＝4ρcos θ，且x ＞0，y ＞0．所以曲线C 的普通方程为 x 2＋y 2＝4x (y ＞0)，它表示以C (2，0)为圆心、半径为2的圆在x 轴上方的圆弧． (2)解：设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧ααsin ＝＋－t y t x ＝cos 2(t 是参数)，代人x 2＋y 2＝4x (y ＞0)，化简得t 2－8t cos α＋12＝0，则|PA ||PB |＝|t 1t 2|＝12为定值，结合曲线C 的图象可知，α 为锐角，又由∆＝16(4cos 2 α－3)＞0，则cos α＞23， ∴0＜α＜6π． (第21题)B A42OPxy。

高中数学人教版选修4-4测试题带答案(Word最新版)

中学数学人教版选修4-4测试题带答案通过整理的中学数学人教版选修4-4测试题带答案相关文档，渴望对大家有所扶植，感谢观看！中学数学人教版选修4-4经典测试题班级：姓名：一、选择题（5*12=60）1．直线，（为参数)上与点的距离等于的点的坐标是（）A．B．或C．D．或2．圆的圆心坐标是A．B．C．D．3．表示的图形是（）A．一条射线B．一条直线C．一条线段D．圆4．已知直线为参数）与曲线：交于两点，则（）A．B．C．D．5．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A．B．C．D．6．已知过曲线上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）A、（3，4）B、C、（-3，-4）D、7．曲线为参数）的对称中心（）A、在直线y=2x上B、在直线y=-2x上C、在直线y=x-1上D、在直线y=x+1上8．直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为() A．B．C．D．9．曲线的极坐标方程化为直角坐标为（）A.B. C.D. 10．曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（）A、线段B、直线C、圆D、射线11．在极坐标系中，定点，动点在直线上运动，当线段最短时，动点的极坐标是A．B．C．D．12．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.若直线与圆相切，则实数的取值个数为（）A .0B.1C.2D.3二、填空题（5*4=20）13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是________；14．在极坐标系中，点关于直线的对称点的一个极坐标为_____. 15．已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）曲线，极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴）中，直线被曲线C截得的线段长为．三、解答题17．（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程．（Ⅰ）推断直线与曲线的位置关系；（Ⅱ）设为曲线上随意一点，求的取值范围．18．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ＋）＝a，曲线C2的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π）．（1）求C1的直角坐标方程；（2）当C1与C2有两个不同公共点时，求实数a的取值范围．19．（本小题满分12分）已知曲线，直线（t为参数）．（1）写出曲线C的参数方程，直线的一般方程；（2）过曲线C上随意一点P作与夹角为30°的直线，交于点A，求|PA|的最大值与最小值．20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为．（Ⅰ）求直线的一般方程和圆的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．21．（本小题满分12分）极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线与曲线交于（不包括极点O）三点（1）求证：；（2）当时，B，C两点在曲线上，求与的值22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为．（1）写出直线的一般方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于，两点，求的值．参考答案1．D 【解析】试题分析：设直线，（为参数)上与点的距离等于的点的坐标是，则有即，所以所求点的坐标为或．故选D．考点：两点间的距离公式及直线的参数方程．2．A 【解析】试题分析：，圆心为，化为极坐标为考点：1．直角坐标与极坐标的转化；2．圆的方程3．A 【解析】试题分析：，表示一和三象限的角平分线，表示第三象限的角平分线．考点：极坐标与直角坐标的互化4．D 【解析】试题分析：将直线化为一般方程为,将曲线化为直角坐标方程为,即,所以曲线为以为圆心,半径的圆．圆心到直线的距离．依据,解得．故D正确．考点：1参数方程,极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2直线与圆的相交弦．5．B 【解析】试题分析：由直线的参数方程知直线过定点（1,2），取t=1得直线过（3，-1），由斜率公式得直线的斜率为，选 B 考点：直线的参数方程与直线的斜率公式．6．D 【解析】试题分析：直线PO的倾斜角为，则可设，代入点P可求得结果，选B。

人教A版数学选修4人教版高中数学选修4-4综合测试卷C(含答案).docx

数学选修4-4综合测试卷C （含答案）满分:150分时间：120分钟一、选择题（每小题5分，共50分）1.将点的极坐标)2,(ππ-化为直角坐标为（）A ．)0,(π B.)2,(ππ C.)0,(π- D.)0,2(π-2．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（）A ．23B ．23-C ．32D ．32-3．参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x （t 为参数）化为普通方程为（） A ．122=+y x B.122=+y x 去掉（0,1）点 C. 122=+y x 去掉（1,0）点 D.122=+y x 去掉（-1，0）点 4．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 5．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（） A ．极点 B ．极轴 C ．一条直线 D ．两条相交直线6．与参数方程为()21x tt y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数等价的普通方程为（）A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x 7．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（）A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=-8．直线112()3332x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（） A ．(3,3)- B ．(3,3)- C ．(3,3)- D ．(3,3)- 9．圆5cos 53sin ρθθ=-的圆心是（） A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π- 10.若曲线22=ρ上有n 个点到曲线2)4cos(=+πθρ的距离等于2，则n =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（每小题5分，共30分）11.设点P 的直角坐标为（1,1，2），则点P 的柱坐标是__________,球坐标是____________.12.若直线b x y +=与曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x θ(为参数，且)22πθπ≤≤-有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_________．13．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数，则此圆的半径为______________。

新课标人教版高二数学选修4-4_坐标系_练习题①②(附答案)

第一讲测试题①一、选择题1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )．A ．(4，32π)B ．(－4，32π)C ．(－4，3π)D ．(4，3π) 2．极坐标方程 ρ cos θ＝sin2θ( ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆 B ．两条射线或一个圆C ．两条直线D ．一条射线或一个圆3．极坐标方程θρcos ＋12＝化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1)B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )4．点P 在曲线 ρcos θ ＋2ρ sin θ ＝3上，其中0≤θ ≤4π，ρ＞0，则点P 的轨迹是( )．A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ．圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段5．设点P 在曲线 ρ sin θ ＝2上，点Q 在曲线 ρ＝－2cos θ上，则|PQ |的最小值为A ．2B ．1C ．3D ．06．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线D ．圆7．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ρ＝3截得的弦长为( )． A ．22B ．2C ．52D ．328．ρ＝2(cos θ －sin θ )(ρ＞0)的圆心极坐标为( )． A ．(－1，4π3) B ．(1，4π7) C ．(2，4π)D ．(1，4π5) 9．极坐标方程为lg ρ＝1＋lg cos θ，则曲线上的点(ρ，θ)的轨迹是( )． A ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆B ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆，除去极点C ．以点(5，0)为圆心，5为半径的上半圆D ．以点(5，0)为圆心，5为半径的右半圆10．方程θθρsin ＋ cos 11＝－表示的曲线是( )．A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二、填空题11．在极坐标系中，以(a ，2π)为圆心，以a 为半径的圆的极坐标方程为．12．极坐标方程 ρ2cos θ－ρ＝0表示的图形是． 13．过点(2，4π)且与极轴平行的直线的极坐标方程是． 14．曲线 ρ＝8sin θ 和 ρ＝－8cos θ(ρ＞0)的交点的极坐标是．15．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ cos θ ＝3，ρ＝4cos θ (其中0≤θ＜2π)，则C 1，C 2交点的极坐标为． 16．P 是圆 ρ＝2R cos θ上的动点，延长OP 到Q ，使|PQ |＝2|OP |，则Q 点的轨迹方程是．第一讲测试题②一．选择题1．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点M 的坐标的是（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π2．点()3,1-P ，则它的极坐标是（）A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π3．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（）A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πD ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为A ．2sin =θρB ．2cos =θρC ．4cos =θρD ．4cos -=θρ6、已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为A 、正三角形B 、直角三角形C 、锐角等腰三角形D 、直角等腰三角形 7、)0(4≤=ρπθ表示的图形是A ．一条射线B ．一条直线C ．一条线段D ．圆8、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是 A 、平行 B 、垂直 C 、相交不垂直 D 、与有关，不确定 9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是 A.214-πB.2-πC.12-πD.2π10.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二．填空题（每题5分共25分）11、曲线的θθρcos 3sin -=直角坐标方程为_ 12．极坐标方程52sin 42=θρ化为直角坐标方程是13．圆心为⎪⎭⎫⎝⎛6,3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为14．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则极点到直线的距离是 15、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫⎝⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。

高中数学人教版选修4-4测试题带答案-(1).docx

高中数学人教版选修4-4 经典测试题5．若直线的参数方程为x12t）．y2(t为参数 )，则直线的斜率为（3t班级：姓名：A．2B．2C．3D．3 3322一、选择题（ 5*12=60）6．已知过曲线x3cos为参数，0上一点 P，原点为 O，PO的倾y4sinx3t 斜角为，则 P 点坐标是（）1．直线，（ t 为参数)上与点P(3,4)的距离等于 2 的点的坐标是（）4y4tA、（3，4）B 、32，2 2 C 、（-3 ，-4 ） D 、121 225，A．(4,3)B． ( 4,5)或 (0,1)5C．(2,5)D． ( 4,3) 或 ( 2,5)7．曲线x1cos(为参数）的对称中心（）y2sin2．圆2(cos sin) 的圆心坐标是A、在直线 y=2x 上B、在直线 y=-2x 上A．1,B．1,C．2,D．2,C、在直线 y=x-1 上D、在直线 y=x+1 上424443．(0) 表示的图形是（）8．直线的参数方程为x t sin 50 001(t 为参数 ) ，则直线的倾斜为4y t cos50A．一条射线B．一条直线 C ．一条线段D．圆A．400B． 500C．1400D．13004．已知直线x2t(t 为参数）与曲线 C ：24cos30 交于 A, B 两点，9．曲线的极坐标方程4sin化为直角坐标为（）y1t则 AB（）A．1 B ．1C．2 D ．2 A. x2( y2) 24 B.x 2( y 2) 24 22C. ( x2) 2y 24D.( x 2) 2y 2410．曲线的参数方程为x 3t 22(t 是参数 ) ，则曲线是（）y t 2 1A 、线段B 、直线C 、圆D 、射线11．在极坐标系中，定点 A 1, π，动点 B 在直线cossin0 上运动，当2线段 AB 最短时，动点B 的极坐标是2 π2 3π3 π3 3π A ． (, )B ． (, )C ． ( , )D ． (, )242 4 2 42412．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为x a cos（为参数） .y sin以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin() 2. 若直线 l 与圆 C 相切，则实数 a 的取值个数为（）42A .0二、填空题（ 5*4=20）13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线 cos()2 与圆2 4的公共点个数是 ________；14．在极坐标系中，点 A(2, ) 关于直线 l : cos1 的对称点的一个极坐标为2_____.15．已知圆 M ：x 2+y 2-2x-4y+1=0 ，则圆心 M 到直线x4t 3,（t 为参数）的y 3t 1,距离为．16．（选修 4-4 ：坐标系与参数方程）曲线 C :x 2 2cos(R ) ，极坐标系（与y 2sin直角坐标系 xOy 取相同的单位长度，以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴）中，直线(R ) 被曲线 C 截得的线段长为．6三、解答题17．（本小题满分 10 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是x2 t2（ t 是参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标y2 2t 42系，曲线 C 的极坐标方程2cos() ．4（Ⅰ）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系；（Ⅱ）设 M 为曲线 C 上任意一点，求 x y 的取值范围．18．（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1 的极坐标方程为 ρsin （θ＋）＝2a ，曲线42C2的参数方程为x 1 cos（φ 为参数， 0≤φ≤π）．y 1 sin（1）求 C1的直角坐标方程；（2）当 C1与 C2有两个不同公共点时，求实数 a 的取值范围．19．（本小题满分 12 分）已知曲线C :x2y21，直线l :x2t（t 为参数）．49y22t（1）写出曲线 C 的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线 C 上任意一点 P 作与l夹角为 30°的直线，交l于点 A，求 |PA|的最大值与最小值．20．（本小题满分 12 分）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为x1ty2(tt 为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆 C 2的方程为 2 cos 2 3 sin．与曲线 C1交于（不包括极点O）三点A, B, C（1）求证：OB OC 2 OA ；（2）当时，，C两点在曲线 C 2上，求 m 与的值B1222．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系x y 中，直线l的x 3 2 t2（ t 为参数）．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐y5 2 t2圆 C 的方程为 2 5sin．（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）若点坐标为3, 5，圆C与直线l交于，求的值．（Ⅰ）求直线 C1的普通方程和圆 C 2的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线 C1和圆 C 2的交点为 A 、 B ，求弦AB的长．21．（本小题满分 12 分）极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，曲线 C的极坐标方程为4cos，曲线C21的参数方程为x m t cos（ t 为参数， 0），射线,,4y t sin4参考答案1．D【解析】x 3t试题分析：设直线，（t为参数)上与点P(3,4)的距离等于2y 4t的点的坐标是(3 t,4 t) ，则有(3 t 3)2(4 t 4)2 2 即t21t 1 ，所以所求点的坐标为( 4,3) 或(2,5) ．故选 D．考点：两点间的距离公式及直线的参数方程．2．A【解析】试题分析：2(cos sin )2 2 (cos sin ) x2y2 2 x 2 yx2y22x2y 0 ，圆心为 2 ,2，化为极坐标为 1,224考点： 1．直角坐标与极坐标的转化；2．圆的方程3．A【解析】试题分析：，表示一和三象限的角平分线y x ，0 表示第三4象限的角平分线．y x, x0考点：极坐标与直角坐标的互化4．D【解析】试题分析：将直线化为普通方程为x y 1 0 ,将曲线C化为直角坐标方程为 x2y22y2 1 ,所以曲线C为以2,0为圆心, 4x 3 0 ,即 x 2半径 r 1的圆．圆心根据2,0 到直线x201 2 ．y 1 0 的距离d212122d2AB2 , 解得AB 2 ．故D正确．r2考点： 1 参数方程 , 极坐标方程与直角坐标方程间的互化 ;2 直线与圆的相交弦．5．B【解析】试题分析：由直线的参数方程知直线过定点（1,2 ），取 t=1 得直线过2（3，-1 ），由斜率公式得直线的斜率为 3 ，选B考点：直线的参数方程与直线的斜率公式．6．D【解析】试题分析：直线 PO 的倾斜角为，则可设 P(x0 , y0 ) ，4x 3 cos为参数，x2y 21y 4 sin0916代入点 P可求得结果，选B。

人教A版数学选修4人教版高中数学选修4-4综合测试卷B(含答案).docx

高中数学学习材料唐玲出品数学选修4-4综合测试卷B（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线25()12x tty t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（）．A．21(0,)(,0)52、B．11(0,)(,0)52、C．(0,4)(8,0)-、D．5(0,)(8,0)9、2．把方程1xy=化为以t参数的参数方程是（）．A．1212x ty t-⎧=⎪⎨⎪=⎩B．sin1sinx tyt=⎧⎪⎨=⎪⎩C．cos1cosx tyt=⎧⎪⎨=⎪⎩D．tan1tanx tyt=⎧⎪⎨=⎪⎩3．若直线的参数方程为12()23x tty t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（）．A．23B．23-C．32D．32-4．点(1,2)在圆18cos8sinxyθθ=-+⎧⎨=⎩的（）．A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关5．参数方程为1()2x ttty⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（）．A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线6．两圆⎩⎨⎧+=+-=θθsin 24cos 23y x 与⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x 的位置关系是（）．A ．内切B ．外切C ．相离D ．内含7．与参数方程为()21x tt y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数等价的普通方程为（）． A ．2214y x += B ．221(01)4y x x +=≤≤ C ．221(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4y x x y +=≤≤≤≤ 8．曲线5cos ()5sin 3x y θπθπθ=⎧≤≤⎨=⎩的长度是（）．A ．5πB ．10πC ．35π D ．310π 9．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为（）．A ．22B ．23C ．11D ．2210．直线112()3332x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（）．A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．(3,3)-11．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则||PF 等于（）．A ．2B ．3C ．4D ．5 12．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（）．A ．98B ．1404C ．82D ．9343+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________． 14．直线22()32x tt y t⎧=--⎪⎨=+⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于2的点的坐标是_______． 15．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切，则θ=_______________．16．设()y tx t =为参数，则圆2240x y y +-=的参数方程为____________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）求直线11:()53x tl t y t=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:230l x y --=的交点P 的坐标，及点P与(1,5)Q -的距离．18．（本小题满分12分）过点10(,0)2P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ，求||||PM PN ⋅的值及相应的α的值．19．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，(2,0),(0,2),(cos ,1sin )A B C θθ--+(θ为变数)，求ABC ∆面积的最大值．20．（本小题满分12分）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程．（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积．21．（本小题满分12分）分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数．22．（本小题满分12分）已知直线l 过定点3(3,)2P --与圆C ：5cos ()5sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数相交于A 、B 两点．求：（1）若||8AB =，求直线l 的方程；（2）若点3(3,)2P --为弦AB 的中点，求弦AB 的方程．参考答案1．B 当0x =时，25t =，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1(0,)5；当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1(,0)2．2．D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制． 3．D 233122y t k x t --===--． 4．A ∵点(1,2)到圆心(1,0)-的距离为22(11)2228++=<(圆半径)∴点(1,2)在圆的内部．5．D 2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线． 6．B 两圆的圆心距为22(30)(40)5--+-=，两圆半径的和也是5，因此两圆外切．7．D 22222,11,1,0,011,0244y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得． 8．D 曲线是圆2225x y +=的一段圆弧，它所对圆心角为233πππ-=．所以曲线的长度为310π． 9．D 椭圆为22164x y +=，设(6cos ,2sin )P θθ， 26cos 4sin 22sin()22x y θθθϕ+=+=+≤．10．D 2213(1)(33)1622t t ++-+=，得2880t t --=，12128,42t t t t ++==，中点为11432333342x x y y ⎧=+⨯⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎩⎪=-+⨯⎪⎩． 11．C 抛物线为24y x =，准线为1x =-，||PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4．12．C 2222212122x t x t y t y t ⎧=-+⨯⎪=-+⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⨯⎪⎩，把直线21x t y t =-+⎧⎨=-⎩代入22(3)(1)25x y -++=，得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=，2121212||()441t t t t t t -=+-=，弦长为122||82t t -=．13．221,(2)416x y x -=≥ 22()()422222t t tt tty x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩． 14．(3,4)-,或(1,2)- 222212(2)(2)(2),,22t t t t -+===±． 15．6π，或56π 直线为tan y x θ=，圆为22(4)4x y -+=，作出图形，相切时，易知倾斜角为6π，或56π．16．2224141t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 22()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =，或241t x t =+；而y tx =，即2241t y t =+，得2224141t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩． 17．解：将153x ty t=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，代入230x y --=，得23t =，得(123,1)P +，而(1,5)Q -，得22||(23)643PQ =+=．18．解：设直线为10cos ()2sin x t t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，代入曲线并整理得223(1sin)(10cos )02t t αα+++=，则12232||||||1sin PM PN t t α⋅==+，所以当2sin 1α=时，即2πα=，||||PM PN ⋅的最小值为34，此时2πα=． 19．解：设C 点的坐标为(,)x y ，则cos 1sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩，即22(1)1x y ++=为以(0,1)-为圆心，以1为半径的圆． ∵(2,0),(0,2)A B -， ∴||4422AB =+=，且AB 的方程为122x y+=-，即20x y -+=，则圆心(0,1)-到直线AB 的距离为22|(1)2|3221(1)--+=+-． ∴点C 到直线AB 的最大距离为3122+， ∴ABC S ∆的最大值是1322(12)3222⨯⨯+=+． 20．解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（2）把直线312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入422=+y x ，得22231(1)(1)4,(31)2022t t t t +++=++-=， 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2．21．解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即1,0x y ≤=且；当0t ≠时，cos ,sin 11()()22t t t t x y e e e e θθ--==+-，而221x y +=，即2222111()()44tt t t x y e e e e --+=+-；（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2t tx e e -=±+，即1,0x y ≥=且；当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1()2t ty e e -=±-，即0x =；当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t tt t x e e ye e θθ--⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即222cos sin 222cos sin tt x y e x y e θθθθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222222()()cos sin cos sin t t x y x y e e θθθθ-⋅=+-，即22221cos sin x y θθ-=． 22．解：（1）由圆C 的参数方程225cos 255sin x x y y θθ=⎧⇒+=⎨=⎩，设直线l 的参数方程为①3cos ()3sin 2x t t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数，将参数方程①代入圆的方程2225x y += 得2412(2cos sin )550t t αα-+-=， ∴△216[9(2cos sin )55]0αα=++>，所以方程有两相异实数根1t 、2t ，∴212||||9(2cos sin )558AB t t αα=-=++=，化简有23cos 4sin cos 0ααα+=，解之cos 0α=或3tan 4α=-，从而求出直线l 的方程为30x +=或34150x y ++=．（2）若P 为AB 的中点，所以120t t +=，由（1）知2cos sin 0αα+=，得tan 2α=-，故所求弦AB 的方程为2242150(25)x y x y ++=+≤．备用题：1．已知点00(,)P x y 在圆38cos 28sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩上，则0x 、0y 的取值范围是（）．A ．0033,22x y -≤≤-≤≤B ．0038,28x y ≤≤-≤≤C ．00511,106x y -≤≤-≤≤D ．以上都不对1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C ． 2．直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（）．A ．125 B ．1255 C ．955 D ．91052．B 21512521155x t x t y t y t ⎧=+⨯⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⨯⎪⎩，把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=，2212121281612||()4()555t t t t t t -=+-=-+=，弦长为12125||55t t -=．3．已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么||MN =_______________．3．14||p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴，即x 轴，121||2||2|2|MN p t t p t =-=．4．参数方程cos (sin cos )()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+⎧⎨=+⎩为参数表示什么曲线？4．解：显然tan y xθ=，则222222111,cos cos 1y y x x θθ+==+，2222112tan cossin cos sin 2cos cos 221tan x θθθθθθθθ=+=+=⨯++，即22222221112111y yx x x y y y x x x+=⨯+=+++，22(1)1y y x x x +=+，得21y yx x x+=+，即220x y x y +--=．5．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，（1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围．5．解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，22cos sin 15sin()1x y θθθϕ+=++=++，∴51251x y -+≤+≤+．（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥， ∴(cos sin )12sin()14a πθθθ≥-+-=-+-恒成立，即21a ≥-．。

人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案

人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案章末综合测评(一) 坐标系(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝3y 后得到曲线方程为( )A ．y ′＝3sin x ′B ．y ′＝3sin 2x ′C ．y ′＝3sin 12x ′D ．y ′＝13sin 2x ′【解析】由伸缩变换，得x ＝x ′2，y ＝y ′3. 代入y ＝sin 2x ，有y ′3＝sin x ′，即y ′＝3sin x ′. 【答案】 A2．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】如图所示，OA ＝3，OB ＝4，∠AOB ＝π6，所以S △AOB ＝12×3×4×12＝3.【答案】 C3．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θ D ．ρ＝1cos θ【答案】 C4．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6，知∠AOB ＝π3，∴△AOB 为等边三角形，因此|AB |＝2. 【答案】 B5．极坐标方程4ρ·sin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【解析】由4ρ·sin 2θ2＝4ρ·1－cos θ2＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2x 2＋y 2－2x ＝5，化简得y 2＝5x ＋254，∴该方程表示抛物线．【答案】 D6．直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x ＋2y ＝1， ∴直线x ＋2y ＝1不过第三象限．【答案】 C7．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π3 【解析】设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则⎩⎨⎧3＝r sin φcos θ，1＝r sin φsin θ，－2＝r cos φ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22，φ＝3π4，θ＝π6.【答案】 A8．在极坐标系中，直线θ＝π6(ρ∈R )截圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】化圆的极坐标方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6为直角坐标方程得⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，半径长为1，化直线θ＝π6(ρ∈R )的直角坐标方程为x －3y ＝0，由于32－3×12＝0，即直线x －3y ＝0过圆⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1的圆心，故直线θ＝π6(ρ∈R )截圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长为2.【答案】 B9．若点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，则P 到直线Oy 的距离为( ) A ．1 B ．2C. 3【解析】由于点P 的柱坐标为(ρ，⎭⎪⎫，π6，3，故点P 在平面xOy 内的射影Q 到直线Oy 的距离为ρcos π6＝3，可得P 到直线Oy 的距离为 6.【答案】 D10．设正弦曲线C 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y 后得到曲线方程为y ′＝sin x ′，则正弦曲线C 的周期为( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π【解析】由伸缩变换知3y ＝sin 12x ， ∴y ＝13sin 12x ，∴T ＝2π12＝4π.【答案】 D11．已知点A 是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A 到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是( )A ．1 B.32 C.52 D.72【解析】曲线ρ＝2cos θ即(x －1)2＋y 2＝1，表示圆心为(1,0)，半径等于1的圆，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4，即x ＋3y －8＝0，圆心(1,0)到直线的距离等于|1＋0－8|2＝72，所以点A 到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是72－1＝52.【答案】 C12．极坐标方程ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )【解析】法一圆ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4是把圆ρ＝2sin θ绕极点按顺时针方向旋转π4而得，圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，故选C.法二圆ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，半径为1，故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．在极坐标系中，经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为________．【解析】圆ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，化成标准方程得x 2＋(y －2)2＝4，表示以点(0,2)为圆心，以2为半径长的圆，点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4的直角坐标为(2,2)，由于22＋(2－2)2＝4，即点(2,2)在圆上，故过点且与圆相切的直线的方程为x ＝2，其极坐标方程为ρcos θ＝2.【答案】 ρcos θ＝214．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.【解析】由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3.【答案】 2315．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的直角坐标方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.【答案】 2216．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【解析】直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12，圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)，半径为1， ∴弦长为2× 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3.【答案】3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．【解】 ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22sin θ－42＝4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min ＝32＝322.18．(本小题满分12分)已知直线的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，求极点到直线的距离．【解】 ∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直角坐标方程为x ＋y ＝1. 又极点的直角坐标为(0,0)， ∴极点到直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22. 19．(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C 的方程； (2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程．【解】 (1)设M (ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C 过极点O ，∠COM＝θ－1，作CK ⊥OM 于K ，则ρ＝|OM |＝2|OK |＝2cos(θ－1)， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．(2)将圆C ：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转π2得到圆D ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－1－π2，即ρ＝－2sin(1－θ)．20．(本小题满分12分)如图1，正方体OABC D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C 、B ′、P 的柱坐标．图1【解】设点C 的柱坐标为(ρ1，θ1，z 1)，则ρ1＝|OC |＝3，θ1＝∠COA ＝π2，z 1＝0， ∴C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，0；设点B ′的柱坐标为(ρ2，θ2，z 2)，则ρ2＝|OB |＝|OA |2＋|AB |2＝32＋32＝32， θ2＝∠BOA ＝π4，z 2＝3， ∴B ′的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，3；如图，取OB 的中点E ，连接PE ，设点P 的柱坐标为(ρ3，θ3，z 3)，则ρ3＝|OE |＝12|OB |＝322，θ3＝∠AOE ＝π4，z 3＝3，点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，π4，3.21．(本小题满分12分)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系．【解】将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程得： C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32＞2，∴曲线C 1与C 2相离．22．(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于不同的两点A ，B .(1)求|AB |的值；(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程．【解】 (1)∵ρ＝2，∴x 2＋y 2＝4. 又∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，∴y ＝x ＋2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2 2. (2)∵曲线C 2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，∴直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1，即ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.章末综合测评(二) 参数方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列点不在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22ty ＝2＋22t (t 为参数)上的是( )A ．(－1,2)B ．(2，－1)C ．(3，－2)D ．(－3,2)【解析】直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，因此点(－3,2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 【答案】 D2．圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q (－2,23)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )A.π3B.23πC.43πD.53π 【解析】 ∵点Q (－2,23)在圆上， ∴⎩⎨⎧－2＝4cos θ，23＝4sin θ且0≤θ<2π，∴θ＝23π.【答案】 B3．直线⎩⎨⎧x ＝3＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)斜率为( )A ．2B ．－2 C.32D ．－32【解析】直线的普通方程为2x ＋y －8＝0， ∴斜率k ＝－2. 【答案】 B4．已知O 为原点，当θ＝－π6时，参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝9sin θ(θ为参数)上的点为A ，则直线OA 倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6【解析】当θ＝－π6时，x ＝332，y ＝－92， ∴k OA ＝tan α＝yx ＝－3，且0≤α<π，因此α＝2π3. 【答案】 C5．已知A (4sin θ，6cos θ)，B (－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【解析】设线段AB 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3sin θ＋3cos θ(θ为参数)， ∴⎩⎨⎧3x ＋2y ＝12sin θ，3x －2y ＝－12cos θ. ∴(3x ＋2y )2＋(3x －2y )2＝144，整理得x 28＋y 218＝1，表示椭圆．【答案】 C6．椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率是( )A.74 B.73 C.72D.75【解析】椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ的标准方程为x 29＋y 216＝1，∴e ＝74.故选A.【答案】 A7．已知圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝10，则圆心M 到直线⎩⎨⎧x ＝4t ＋3，y ＝3t ＋1(t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由题意易知圆的圆心M (1,2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x －4y －5＝0，所以圆心到直线的距离为d2.【答案】 B8．若直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3D ．－π6或－5π6 【解析】直线的普通方程为y ＝tan α·x ，圆的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4，由于直线与圆相切，则|4tan α|tan 2x ＋1＝2.∴tan α＝±33，∴α＝π6或5π6.故选A. 【答案】 A9．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θθ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)【解析】由⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*)将y ＝x －b 代入(*)，化简得 2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0，依题意，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0，解得2－2<b <2＋ 2. 【答案】 D10．实数x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，则x 2＋y 2的最大值是( ) A ．2 B ．4 C.92D ．5【解析】由3x 2＋2y 2＝6x ，得3(x －1)2＋2y 2＝3，令x ＝1＋cos θ，y ＝62sin θ，代入x 2＋y 2，得x 2＋y 2＝(1＋cos θ)2＋32sin 2θ＝－12(cos θ－2)2＋92，∴当cos θ＝1时，(x 2＋y 2)max ＝4. 【答案】 B11．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 D ．抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12【解析】由y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ2＝1＋sin θ2，可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ 得x 2－1＝sin θ， ∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y . 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]，故选D. 【答案】 D12．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t (t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋3【解析】将直线l 参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32t ′y(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，得t ′2＋4(2＋3)t ′＋16＝0，设其两根为t 1′、t 2′＋t 2′＝－4(2＋3)，t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2＋3)．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．双曲线⎩⎨⎧x ＝tan φ，y ＝sec φ(φ是参数)的渐近线方程为________．【解析】化参数方程为普通方程，得y 2－x 2＝1.故其渐近线为y ＝±x ，即x ±y ＝0. 【答案】 x ±y ＝014．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线极坐标方程为________．【解析】由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线是过点(1,0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化为极坐标方程ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)，化简得2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1.【答案】 2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1或2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1或ρcos θ＋3ρsin θ＝115．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2可化为y ＝(x －2)2，射线θ＝π4可化为y ＝x (x ≥0)，联立这两个方程得：x 2－5x ＋4＝0，点A ，B 的横坐标就是此方程的根，线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5216．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．【解析】由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m .又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 右焦点(c,0)，则得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)．整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 离心率为e ＝63.【答案】 63三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知圆O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．(1)求圆心和半径；(2)若圆O 上点M 对应的参数θ＝5π3，求点M 的坐标．【解】 (1)由⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(0≤θ<2π)，平方得x 2＋y 2＝4， ∴圆心O (0,0)，半径r ＝2.(2)当θ＝5π3时，x ＝2cos θ＝1，y ＝2sin θ＝－3， ∴点M 的坐标为(1，－3)．18．(本小题满分12分)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．(1)将C 的方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )是曲线C 上的动点，求2x ＋y 的取值范围．【解】 (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝1即x 216＋y 29＝1.(2)2x ＋y ＝8cos φ＋3sin φ＝73sin(φ＋θ)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ由tan θ＝83确定， ∴2x ＋y ∈[－73，73]，∴2x ＋y 的取值范围是[－73，73]．19．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】 (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ得x 2＋y 2＝16，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t代入x 2＋y 2＝16，整理，得t 2＋33t －9＝0. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9.|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝37.20．(本小题满分12分)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)， Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．【解】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，所以C ：x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入C ：x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，则有⎩⎨⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1·t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又α∈[0，π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，t 1<0，t 2<0. 而|PM |＋|PN |＝(4＋t 1cos α－4)2＋(2＋t 1sin α－2)2＋ (4＋t 2cos α－4)2＋(2＋t 2sin α－2)2＝|t 1|＋|t 2| ＝－t 1－t 2＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，所以|PM |＋|PN |的取值范围为(4,42]．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2 B 1的面积．【解】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和x29＋y2＝1.当α＝π4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝22，与C2交点B1的横坐标为x′＝31010.当α＝－π4时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为(2x′＋2x)(x′－x)2＝25.模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程cos θ＝32(ρ∈R)表示的曲线是()A．两条相交直线B．两条射线C．一条直线D．一条射线【解析】由cos θ＝32，解得θ＝π6或θ＝116π，又ρ∈R，故为两条过极点直线．【答案】A2．极坐标系中，过点P(1，π)且倾斜角为π4直线方程为() A．ρ＝sin θ＋cos θB．ρ＝sin θ－cos θC．ρ＝1sin θ＋cos θD．ρ＝1sin θ－cos θ【解析】设M(ρ，θ) 为直线上任意一点，则在△OPM 中，由正弦定理得ρsin π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴ρ＝1sin θ－cos θ.【答案】 D3．已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θy ＝bt ＋λsin θ(a 、b 、λ均不为零，0≤θ≤2π)，分别取①t 为参数；②λ为参数；③θ为参数，则下列结论中成立的是( )A ．①、②、③均是直线B ．只有②是直线C ．①、②是直线，③是圆D ．②是直线，①③是圆【解析】 ①t 为参数，原方程可化为：y －λsin θ＝ba (x －λcos θ)，②λ为参数，原方程可化为：y －bt ＝(x －at )·tan θ，③θ为参数，原方程可化为： (x －at )2＋(y －bt )2＝λ2，即①、②是直线，③是圆．【答案】 C4．将曲线x 23＋y 22＝1按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 变换后的曲线的参数方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ B.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13cos θy ＝12sin θD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θy ＝22sin θ【解析】 x 23＋y 22＝1→(3x ′)23＋(2y ′)22＝1→(3x ′)2＋(2y ′)2＝1→⎩⎨⎧3x ′＝cos θ，2y ′＝sin θ→⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝33cos θ，y ′＝22sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θ，y ＝22sin θ，故选D.【答案】 D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1【解析】由ρ2cos θ－ρ＝0，得ρ(ρcos θ－1)＝0，又ρ＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝0或x ＝1. 【答案】 C6．柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( )A ．(3，－1,1)B ．(3，1,1)C ．(1，3，1)D ．(－1，3，1)【解析】由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θz ＝z，可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1，故应选C.【答案】 C7．直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)的公共点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定【解析】圆C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心C (－1,2)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42＝75，因此d <r ，直线与圆C 相交于两点．【答案】 C8．双曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θy ＝2tan θ(θ为参数)上，当θ＝2π3时对应的点为P ，O 为原点，则OP 的斜率为( )A.34B.32C.3D ．2【解析】 ∵x ＝4sec θ＝4cos 2π3＝－8， y ＝2tan θ＝2tan 2π3＝－23， ∴k OP ＝y x ＝34. 【答案】 A9．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0，∵圆心C 到直线l 的距离 d ＝|0－2×3＋1|12＋(－2)2＝5，∴直线l 与圆C 相交所得弦长为 2r 2－d 2＝29－5＝4.【答案】 D10．直线⎩⎨⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【解析】直线⎩⎨⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝1＝r ，所以直线与圆的位置关系为相切．故选B.【答案】 B11．已知曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2，y ＝12sin α(α为参数)，若以此曲线所在的直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为( )A ．ρ＝sin θB ．ρ＝2sin θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝cos θ【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2＝12＋12cos α，y ＝12sin α(α为参数)得普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径r ＝12，所以极坐标方程为ρ＝cos θ. 【答案】 D12．若动点(x ，y )在曲线x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上变化，则x 2＋2y 的最大值为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ b 24＋4 (0<b ≤4)2b (b >4) B.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4 (0<b <2)2b (b ≥2)C.b 24＋4D ．2b【解析】设动点的坐标为(2cos θ，b sin θ)，代入x 2＋2y ＝4cos 2θ＋2b sin θ ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ－b 22＋4＋b 24，当0<b ≤4时，(x 2＋2y )max ＝b 24＋4；当b >4时，(x 2＋2y )max ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 22＋4＋b 24＝2b .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)；当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)．所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5214．极坐标系中，曲线ρ＝－4cos θ上的点到直线ρ()cos θ＋3sin θ＝8的距离的最大值是________．【解析】曲线方程化为：ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＋4x ＝0，化为：(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－2,0)，半径为r ＝2，直线方程化为：x ＋3y －8＝0，圆心到直线距离为：d ＝|－2－8|2＝5，所以最大距离为：5＋2＝7.【答案】 715．直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α(α为参数)交点个数为________．【解析】直线与曲线的普通方程分别为 x ＋y －1＝0， ① x 2＋y 2＝9, ②②表示圆心为O (0,0)，半径为3的圆，设O 到直线的距离为d ，则d ＝|－1|2＝22，∵22<3，∴直线与圆有2个交点．【答案】 216．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．【解析】由sin 2t ＋cos 2t ＝1得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为－1，所以切线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的方程可得ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0，化简得ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.【答案】 ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．【解】由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2，所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1，所以直线l 与圆C 相交．19．(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜．【解】 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4. (1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．【解】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3. 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)法一将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ，⎝⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3. 法二由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与圆C 2交点的直角坐标分别为(1，－3)或(1，3)．故圆C 1与C 2公共弦的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t ，(－3≤t ≤3)． 21．(本小题满分12分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．【解】 (1)曲线C ：y 2＝2ax ，直线l ：x －y －2＝0. (2)将直线的参数表达式代入抛物线得 12t 2－(42＋2a )t ＋16＋4a ＝0，所以t 1＋t 2＝82＋22a ，t 1t 2＝32＋8a . 因为|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|，由题意知，|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|⇒(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2，代入得a ＝1.22．(本小题满分12分)如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．图1(1)求证：1|F A |＋1|FB |为定值； (2)求AB 的中点M 的轨迹方程．【解】设直线AB 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α≠0)，代入y 2＝2px 整理，得t 2sin 2α－2pt cos α－p 2＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则由根与系数的关系，得 t 1＋t 2＝2p cos αsin 2α，t 1t 2＝－p 2sin 2α. (1)1|F A |＋1|FB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p cos αsin 2α2＋4p 2sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2sin 2α＝2p (定值)．(2)设AB 的中点M (x ，y )，则M 对应参数为t ＝t 1＋t 22＝p cos αsin 2α，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2＋p cos 2αsin 2α，y ＝p cos αsin α(α为参数)，消去α，得y 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2为所求轨迹方程．。

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选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1 已知集合，则等于（）
A、B、C、D、
2．在中，有命题①；②；③若，则为等腰三角形；④若，则为锐角三角形.上述命题正确的是（）
A、①②
B、①④
C、②③
D、②③④
3．设是函数的反函数,若 ,则的值为（） A、 1 B、2 C、3 D、 4．已知
数列满足，若，则 = （） A．B．C．
D． 5．已知定义在R上的奇函数满足为偶函数，对于函数有下列几种描述，其中描述正确的是( ) (1) 是周期函数 (2) 是它的一条对称轴 (3) 是它图象的一个对称中心 (4)当时，它一定取最大值A．(2)(4) B．(2)(3) C．(1)(2) D．(1)(3) 6．把函数的图象按向量平移后，得到的图象
关于y轴对称，则的最小值为（） A、B、C、D、 7．若命题p:不等式
的解集为0<x<1；命题q:在中，“A>B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分条件，则（） A、p真q假
B、“p且q”为真
C、“p或q”为假
D、p假q真 8．已知| |＝2 ,| |＝3, , 夹角为，则以
＝5 ＋2 ,＝－3 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 A．B． 14 C．15 D．16 9．点O在内部且满足，则面积与面积之比为
A. 2
B.
C. 3
D. 5
10．设定义域为的函数，若关于的方程有
3个不同的整数解，则等于（）
A．5 B． C．13 D．
第II卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知为锐角，且，则 .
12．函数的定义域是 .
13．在直角坐标平面内，已知点列，，，，…，，，……如果为正偶数，则向量的坐标（用表示）
为________14．在中，，，则面积最大值为
15．有如下四个命题：①已知函数 ( 为实常数，是自然对数的底数),若在区间内为减函数，则的取值范围是．
②已知点是函数图象上的两个不同点，则一定有；③已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足： ,则数列一定为等差数列④已知O是所在平面上一定点，动点P满足:
．则P点的轨迹一定通过的重心其中正确命题的序号为
三解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤）
16 （本题满分12分）函数的一段图象过点，如图所示
⑴求函数的解析式；
⑵将函数的图象按向量平移，得到函数，求的单调递增区间
17．（本小题满分12分）已知向量，且与向量所成角为，其中、、是△ABC的内角.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
18. （本小题满分12分）设是数列（）的前项和，，且，，．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）求数列的通项公式．
19．（本小题满分13分）设a＞0，函数（1）讨论f（x）的单调性（2）求f（x）在区间[a，2a]上的最小值.
20．（本小题满分13分）我校现有教职员工500人，为了开展迎2008奥运全民健身活动，增强教职员工体质，学校工会鼓励大家积极参加晨练与晚练，每天清晨与晚上定时开放运动场、健身房和乒乓球室，约有30%的教职员工坚持每天锻炼. 据调查统计，每次去户外锻炼的人有10%下次去室内锻炼，而在室内锻炼
的人有20%下次去户外锻炼. 请问，随着时间的推移，去户外锻炼的人数能否趋于稳定？稳定在多少人左右？
21. （本小题满分13分）已知函数是在（0,+∞）上每一点处可导的函数，若在x＞0上恒成立.
（1）求证：函数（0,+∞）上是增函数；
（2）当时，证明：；
（3）已知不等式在且时恒成立，求证：
…+ N+).
周南中学08届高三第一次月考
数学（理）参考解答及评分标准
1．A．2．C．3．B．4．B． 5．D．6．B．7．A．8．C．9．D．10．A．
11． 12． . 13．， 14． 15．②③. 三解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤）
16 （本题满分12分）函数的一段图象过点，如图所示
⑴求函数的解析式；
⑵将函数的图象按向量平移，得到函数，求的单调递增区间
并求此时自变量的集合
解：⑴由图知：，于是
将函数的图象向左平移，得的图象，则
将代入得故，………………………………………………………………6分⑵依题意：
故，
解法一：画图得函数的单调递增区间为……………12分
解法二：解不等式得单调递增区间为
17．（本小题满分12分）已知向量，且与向量
所成角为，其中、、是△ABC的内角.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
17．解：(1)∵，且与向量所成角为，
∴，∴ .又∵
∴ ,∴ .…………………………………………………6分
(2) 由（1）可得 ,
∴
∵∴ ,
∴ …………………………………………………12分
18. （本小题满分12分）设是数列（）的前项和，，且，，．（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）求数列的通项公式．
18．解：（I）当时，由已知得．
因为，所以．…………………………①
于是．…………………………………………………②
由②－①得：．……………………………………………③
于是．……………………………………………………④
由④－③得：．…………………………………………………⑤
即数列（）是常数数列．…………………………………………………6分
（II）由①有，所以．
所以，
．……………………10分
．…………………………………12分
19．（本小题满分13分）设a＞0，函数（1）讨论f（x）的单调性（2）求f（x）在区间[a，2a]上的最小值. 19．（本小题满分13分）（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞） (1)
分对求导数，得（a＞0）………………3分解不等式＞0，得0＜x＜e………………………………4分解
不等式＜0，得x＞e……………………………………………5分故f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，
+∞）上单调递减………………………6分（2）解：①当2a≤e时，即时，由（1）知f（x）在（0，e）上
单调递增，所以……………………………………………………………7分②当a≥e时，由（1）知f（x）（e，+∞）上单调递减，所以………… ……………………………………………8分③当的大小因
为……………10分所以，若若综上，当……………13分 20．（本小题满分13分）我校现有教职员工500人，为了开展迎2008奥运全民健身活动，增强教职员工体质，学校工会鼓励大家积极参加晨练与晚练，每天清晨与晚上定时开放运动场、健身房和乒乓球室，约有30%的教职员工坚持每天锻炼. 据调查统计，
每次去户外锻炼的人有10%下次去室内锻炼，而在室内锻炼的人有20%下次去户外锻炼. 请问，随着时间
的推移，去户外锻炼的人数能否趋于稳定？稳定在多少人左右？
.20．解：设第n次去户外锻炼的人数为，去室内锻炼的人为，…………1分则有：
…………5分…………7分…………9分
…………11分∴随着时间的推移，去户外锻炼的人数将稳定在100人左右…………13分21. （本小题满分13分）已知函数是在（0,+∞）上每一点处可导的函数，若在x＞0上恒成立.
（1）求证：函数（0,+∞）上是增函数；
（2）当时，证明：；
（3）已知不等式在且时恒成立，求证：
…+ N+).
21.（1）证明：由g(x)= ′(x)=
由xf′（x）＞f(x)可知：g′(x) ＞0在x＞0上恒成立.
从而g(x)= ………………………………3分
（2）由（1）知g(x)=
在x1＞0,x2＞0时，
于是f(x1)＜
两式相加得到：f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2) ………………………………………………7分（3）由（2）中可知：
g(x)=
由数学归纳法可知：xi＞0(i=1,2,3,…,n)时,
有f(x1)+f(x2)+f(x3)+… +f(xn)＜f(x1+x2+x3+…+xn) (n≥2)恒成立. ……………9分
设f(x)=xlnx，则在xi＞0(i=1,2,3,…,n)时
有x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)（n≥2）……（*）恒成立.令…+ = …+
由＜…+
＞…+ ………………………………10分
(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)<(x1+x2+…+xn)ln(1- …+xn)
(∵ln(1+x)＜x)
＜- (**)……………………………………12分
由（**）代入（*）中，可知：
…+
于是：…+ …………………13分。