《流体力学》课件 4.3 普朗特边界层方程
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第四章 边界层理论基础 边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出,用于处理高 Re 数的流动问题。边界层理
y u0 u0
u0
x=0
u0 x
壁面附近速度梯度较大的流体层称为边界层。边界 层外，速度梯度接近于零的区称为外流区或主流区。
二、边界层的形成过程
层流边界层和湍流边界层
y 层流边界层 过 湍流边界层
在板前缘附近，边界层 内流速较低，为层流边界 层；而后逐渐过渡为湍流 u0
u0 u0
渡 区
u0
湍流 核心
在距壁面前缘 x 处，取 y
u0
一微元控制体
2
dV=δdx（1）
将动量守恒原理应用 δ
于微元控制体dV，得
ΣF d(mu) dθ
1
0
dx
x 方向：
ΣFx
d (mux ) dθ
（1）
3 δ dδ
4 x
一、边界层积分动量方程的推导
1-2截面：流入
δ
m1 ρuxdy(1)
0
δ
J1
ρu
2 x
dy(1)
边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程 描述。在流动的同一水平高度上，有
p ρu02 常数
2
dp dx
ρu0
du0 dx
0
u0
dp 0
dx
边界层内：p y 0
y p1
p3 δ
0
dp 0 dx
p2
p4
x
二、普朗特边界层方程的解
ux
ux x
uy
ux y
ν 2ux y 2
流函数
O(1)
（4）y ：在边界层的范围内，y 由 0→δ，y O(δ)
（5）uy：由连续性方程
ux uy 0 x y
ux O(1) , x
普朗特边界层微分方程的详细推导资料讲解
普朗特边界层微分方程的推导学校：内蒙古工业大学 专业：力 学 姓名：宗宇显首先，我们明白普朗特边界层方程就是对二维定常纳维--斯托克斯方程在一定情况下的简化。
Ⅰ 二维定常纳维--斯托克斯方程连续性方程22221v ()u u p u u u X v x y x x y ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ X 方向上的动量方程 （1.1） 2222v v 1v v v ()p u Y v x y y x yρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅱ 普朗特边界层理论相关知识2.1概念：定常绕流中流体粘性只在贴近物面极薄的一层内主宰流体运动，称这一层为边界层；边界层的流动可近似为无粘的理想流动。
2.2普朗特理论的基本思想：在大Re 数（一般在5×510～3×610）绕流中存在两个流动区域，即层流和紊流。
2.3边界层：流体流经固体壁面时，在固体壁面形成速度梯度较大的流体薄层。
2.4边界层厚度：以u =0.99U e 位置和壁面间的距离定义为边界层得厚度。
故考虑到不可压缩流体作平面层流，则质量力对流动产生的影响较小，所以由二维定常纳维--斯托克斯方程可得到去质量力的下列式子：连续性方程 22221v ()u u p u u u v x y x x yρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ X 方向上的动量方程 （1.2） v 0u x y∂∂+=∂∂v 0u x y∂∂+=∂∂2222v v 1v v v ()p u v x y y x yρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅲ 边界层中个物理量的数量级的确定 3.1边界层的厚度δ（x ）量纲分析根据实验条件分析，边界层厚度δ（x ）可能与流体微团的所在位置x ，流体速度U ，粘性系数μ，密度ρ有关。
设δ=k ·x m U n μk ρl ,根据量纲分析法可求的：m=12，n=-12，k=12，l=-12；即：δ（x ）==···(1) 又因为Re x Ux Ux v ρμ== 则关于δ的关系式(1)写成无量纲的形式如下：~x δ=··(2) 取物体的长度L 取代上式中的x 值，则公式(2)变为~Lδ··(3) （符号“~”表示数量级相同）其中Re L 称为绕流场的雷诺数。
流体力学第六章 边界层理论 (附面层理论)
x
dx
(
4
)
u y
0.
AB上 摩 擦 力 dx
2021/8/5
流体力学第六章
卡门-波尔豪森动量积分关系式的物理意义： 在定常情形下，流出所论区域边界的动量流率等于 作用在区域内流体上一切力的合力。
2021/8/5
流体力学第六章
在方程（6-2-3）中，令k=1，得到列宾森积分方程：
k
U2 U
L
2
2021/8/5
流体力学第六章
比较
p x
U2 L
p y
U2 L2
得
p x
p y
把以上数量级的分析加以整理，得普朗特边界层微分方程式
u
u x
v
u y
p x
2u y 2
p
y
0
u
x
v y
0
证明如下
(6 1 2)
2021/8/5
流体力学第六章
u
第二节 微分方程式的积分—卡门和列宾森方法 6.2.1哥路别夫积分方程
流体力学第六章
u
u x
v
u y
p x
2u y 2
已知普朗特方程组
p y
0
u
x
v y
0
uk 1
udy
ukv
udy
p
uk dy
uk
2u dy
0
x 0
y
x 0
0 y2
积分一
积分二
积分三
其中 (x)
(6 2 1)
x
0
udy
p x
0
uk
dy
k
0
uk1
流体力学流体力学基本方程PPT讲稿
a V u V v V w V t x y z
加速度的投影值：
ax
u t
u
u x
v
u y
w
u z
ay
v t
u
v x
v
v y
w
v z
az
w t
u
w x
v
w y
w
w z
作业：P52-53，第19题、第21题。
§3-1 描述流体运动的方法
二.恒定流与非恒定流：
1.恒定流（定常流动）：
流场中各点处的所有流动参数均不随时间而变化的流动。
2. 欧拉法：
研究流场空间中某个点的流动参数，并给出这些参 数的分布。
• u= u (x, y, z, t)， v = v (x, y, z, t)，
w= (x, y, z, t)
§3-1 描述流体运动的方法
2. 欧拉法：
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
而：
V1
V0
V t
t
V x
x
V y
y
V z
z
注意到： lim x u, t0 t
lim y ,
t0 t
z lim w t0 t
因此： a V u V v V w V t x y z
§3-1 描述流体运动的方法
a V u V v V w V t x y z
§3-1 描述流体运动的方法
2. 欧拉法：
• u= u (x, y, z, t)， v = v (x, y, z, t)，
w= (x, y, z, t)
由速度分布求加速度：
流体力学完整版课件全套ppt教程
阻力系数 0.4 阻力系数 0.2 阻力系数 0.137
前言
火车站台安全线
本章小结
【学习目标】 1. 理解流体力学的学科定义； 2. 了解流体力学的发展简史； 3. 熟悉流体力学的研究方法 。
工程流体力学
中国矿业大学电力学院
§1.1 流体的定义 §1.2 连续介质假说 §1.3 流体的物理性质
流体在受到外部剪切力作用时会发生变形，其内部相应会 产生对变形的抵抗，并以内摩擦力的形式表现出来。
➢ 粘性的定义
流体的粘性就是阻止发生剪切变形的一种特性，内摩擦力则 是粘性的动力表现。
§1.3 流体的物理性质
➢ 牛顿的平板实验
实验装置：2块平板，平板间充满流体。
实验过程：用力拉动液面上的平板，直 到平板匀速前进。
前言
曹冲（公元196-208年）称象
孙权 曾 致 巨 象 ， 太祖欲知其斤重， 访之群下，咸莫能 出其理。冲曰： “置象大船之上， 而刻其水痕所至， 称物以载之，则校 可知矣。”太祖悦， 即施行焉。
前言
都江堰（公元前256年，李冰父子修都江堰）
战国时期，秦国蜀郡太 守李冰和他的儿子，修建 了著名的都江堰水利工程。 都江堰的整体规划是将岷 江水流分成两条，其中一 条引入成都平原，这样既 可以分洪减灾，又可以引 水灌田、变害为利。
前言
二、流体力学的研究方法
2. 实验室模拟
➢ 作用：实验模拟能显示运动特点及其主要趋势，实验结果可 检验理论的正确性。
➢ 优点：能直接解决生产中的复杂问题，能发现流动中的新现 象和新原理，它的结果可以作为检验其他方法是否正确的依 据。
➢ 缺点：对不同情况，需作不同的实验，所得结果的普适性较 差。
前言
第四章 边界层
ux ux 1 p μ 2ux ux uy x y ρ x ρ y 2
ux u y 0 x y
B.C. (1)
y 0, ux 0 , u y 0
(2)
y δ , ux u0
(2) y , ux u 0
普朗特边界层方程
二、普朗特边界层方程的解
3. 在远离壁面的流动区 域，其速度梯度几乎为 零，可视其为理想流体 的势流。
分为两个截然不同的区域 外部流动区域
u0
u0
δ
边界层
二、边界层的形成过程
1. 平板壁面上的速度边界层 当黏性流体（高 Re）在一半无穷平板壁面上流 动时，速度边界层的形成过程见图：
二、边界层的形成过程
首先，在壁面附近 有一薄层流体 ，速度 梯度很大 ；在薄层之 外 ，速度梯度很小 ， 可视为零。
第四章 边界层理论基础
边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出，用于 处理高 Re 数的流动问题。边界层理论不但在动量传
递中非常重要，它还与传热、传质过程密切相关。
本章简要讨论边界层的概念、边界层理论的要点 以及某些简单边界层的求解等问题。
第四章 边界层理论基础
为什么要提出边界层理论？ 对于某些流动问题，其 惯性力>>黏性力。采用 理想流体理论简化处理时，流体的压力与实验结果 非常吻合；但流动阻力的结果偏差很大。Prandtl 发
考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。 边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程 描述。在流动的同一水平高度上，有 2 ρu0 p2 y p1 p 常数 2
du0 dp ρu0 0 dx dx
dp 0 dx
u0
0
ux u y 0 x y
B.C. (1)
y 0, ux 0 , u y 0
(2)
y δ , ux u0
(2) y , ux u 0
普朗特边界层方程
二、普朗特边界层方程的解
3. 在远离壁面的流动区 域，其速度梯度几乎为 零，可视其为理想流体 的势流。
分为两个截然不同的区域 外部流动区域
u0
u0
δ
边界层
二、边界层的形成过程
1. 平板壁面上的速度边界层 当黏性流体（高 Re）在一半无穷平板壁面上流 动时，速度边界层的形成过程见图：
二、边界层的形成过程
首先，在壁面附近 有一薄层流体 ，速度 梯度很大 ；在薄层之 外 ，速度梯度很小 ， 可视为零。
第四章 边界层理论基础
边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出，用于 处理高 Re 数的流动问题。边界层理论不但在动量传
递中非常重要，它还与传热、传质过程密切相关。
本章简要讨论边界层的概念、边界层理论的要点 以及某些简单边界层的求解等问题。
第四章 边界层理论基础
为什么要提出边界层理论？ 对于某些流动问题，其 惯性力>>黏性力。采用 理想流体理论简化处理时，流体的压力与实验结果 非常吻合；但流动阻力的结果偏差很大。Prandtl 发
考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。 边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程 描述。在流动的同一水平高度上，有 2 ρu0 p2 y p1 p 常数 2
du0 dp ρu0 0 dx dx
dp 0 dx
u0
0
第5章-边界层理论基础PPT课件
第五章 边界层理论
虽然对Re很小的流动，惯性力可以忽略， 但对于Re很大的流动，粘性力却不能忽略， 否则会带来很大的误差，这是何故？
如水和空气，其粘度都很小，在处理其高
速流动时，如果忽略粘性力的影响，就会
导致与实际不符的错误结果。这个矛盾在
普兰德(Plandt)提出边界层学说之后，才获
得令人满意的解答。 -
-
20
卡门边界层方程即适用于层流，也适用 于湍流。
例：流体沿平板壁面流动时层流边界层 的计算，主要目标是边界层厚度和曳力 子数的计算
大量观察和测量得知ux与y的关系与抛 物线近似，因此可假设：
uxabycy2dy3 a,b,c,d 待定
边界条件：
-
21
y 0处ux 0 a 0
dux dy
-
5
随着边界层的厚度逐渐增加，边界层内
部也会发生变化，在边界层厚度较小处，
其内部流动为层流，该区域称为层流边
界层，当其厚度达到其临界厚度δc或临
界距离xc时，其内的流动逐渐经过一过
渡区转变为湍流，此后的边界层称为湍
流边界层，即使在这区域靠近壁面极薄
的一层流体内，仍然维持层流，称为层
流内层。
-
6
临界距离xc的长度与壁面前缘的形状、粗 糙度、流体性质和流速大小有关。壁面愈 粗糙xc愈短。
-
10
但实际中流速ux接近u0到一定程度时，便 可赋予其有应用价值的边界层厚度定义：
(1)
取ux达到u0的99％时的y值，即
ux u0
0 .9 9
处，y的值即为边界层厚度。
(2)可假设一个表示边界层内速度分布的
公式，如抛物线方程，计算当ux达到
u0时的y值，即为边界层厚度。
虽然对Re很小的流动，惯性力可以忽略， 但对于Re很大的流动，粘性力却不能忽略， 否则会带来很大的误差，这是何故？
如水和空气，其粘度都很小，在处理其高
速流动时，如果忽略粘性力的影响，就会
导致与实际不符的错误结果。这个矛盾在
普兰德(Plandt)提出边界层学说之后，才获
得令人满意的解答。 -
-
20
卡门边界层方程即适用于层流，也适用 于湍流。
例：流体沿平板壁面流动时层流边界层 的计算，主要目标是边界层厚度和曳力 子数的计算
大量观察和测量得知ux与y的关系与抛 物线近似，因此可假设：
uxabycy2dy3 a,b,c,d 待定
边界条件：
-
21
y 0处ux 0 a 0
dux dy
-
5
随着边界层的厚度逐渐增加，边界层内
部也会发生变化，在边界层厚度较小处，
其内部流动为层流，该区域称为层流边
界层，当其厚度达到其临界厚度δc或临
界距离xc时，其内的流动逐渐经过一过
渡区转变为湍流，此后的边界层称为湍
流边界层，即使在这区域靠近壁面极薄
的一层流体内，仍然维持层流，称为层
流内层。
-
6
临界距离xc的长度与壁面前缘的形状、粗 糙度、流体性质和流速大小有关。壁面愈 粗糙xc愈短。
-
10
但实际中流速ux接近u0到一定程度时，便 可赋予其有应用价值的边界层厚度定义：
(1)
取ux达到u0的99％时的y值，即
ux u0
0 .9 9
处，y的值即为边界层厚度。
(2)可假设一个表示边界层内速度分布的
公式，如抛物线方程，计算当ux达到
u0时的y值，即为边界层厚度。
流体力学-第六讲,边界层理论
ux y
1
p x
(
2ux x2
2ux y 2
)
可得
u x0u
u
u
0 x
Lx0
u0yu
uu
0 x
Ly 0
1
u 2p 0
Lx0
(
u
2u
0 x
L2 x 0 2
u
2u
0 x
L2 y 0 2
)
ux
ux x
uy
ux y
1
p x
(
2u x x 2
2u x y 2
)
ux
u y x
uy
u y y
1
析计算，为此，由三种较严格的规定附面层厚度的方法。
1、 边界层的排挤厚度（流量损失厚度）1 2、 边界层动量损失厚度2 3、 边界层动损失厚度2
A、边界层的排挤厚度（流量损失厚度）
在边界中，由于存在粘性必将引起速度的下降，于是在边界层 中通过的流量必将减小，因而势必有一部分流量被排挤到主流区 (即理想流区)中去，如图所示。
边界条件为
y 0；ux 0，u y 0
y ；ux u
B: 边界层也有由层流转入紊流的现象
（1）平板前缘的一段范围内边界层的流动是层流状态， 故称为层流边界层。层流边界层的速度剖面如图所示。
在层流流动达到某种状况时，流动开始不稳定，边界或来 流的扰动可能使流动由层流状态向湍流状态过渡。我们称这 个过渡的位置为转捩点。我们称这个过渡区域为转捩区。
（2）在转捩区之后流体流动已发展为完全的湍流状态，我们 称这个区域为湍流边界层，在湍流边界层中。
u x x
粘性力与惯性力成正比
d2ux dy2
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2u 0
y 02
?
?
1
St
0
t 0
1
u0
0
x 0
0
0
y 0
假设：1. 设在我们所研究的问题中，
Eu
?
p y
0 0
1 Re
2
x 0
0 2
1
2 0
y 02
当地导数与局部导数相当（或更小）；
2. 压力梯度力作为被动力，与方程中的
惯性力或粘性力中的大者相当；
u 0 x0
0
u 0 y 0
Eu
p0 x0
1 2u0 Re x02
2u 0 y 0 2
St
0
t 0
u0
0
x0
0
0
y 0
Eu
p0 y 0
1 2 0
Re x02
2 0
y 0 2
2. 量阶的概念及一般运算法则
指某个物理量在整个区域内相对于标准小参数而言的平均水平。
取 为估阶的标准。
**U 2 uU ud y
0
uU ud y
0
U
2
0
d
y
0
1
u U
d
y
0
u 2
d
y
* , 1 u d y
0 U
动量通量损失：U 2 * u2 d y
0
理想流体通过流管ⅠⅡ动量通量为— U 2 *
粘性流体通过流管ⅠⅡ 动量通量为—
u 2
3. 在边界层内惯性力与粘性力同阶。
1
1
u 0
x
0
0
y 0
＝0
1
St
1
u 0 t 0
1
u0
1
u
0
0
x 0
1
u 0
y 0
Eu
1
p0 x 0
1 Re
1 2
2u 0
y 02
1
St
0
t 0
1
u0
0
0
x 0
1
0
y 0
Eu
p 0 y 0
1 Re
2 0
y 02
横向动量方程 中各项比流向 动量方程各项
x
～
1
O 1
O 1
y
～
1
O
O
1
二阶偏导数运算的数量级估计为：
2 x2
x
x
～
1
O 1
O11＝ O 1
2 y 2
y
y
～
1
O
O
1
＝
O
1
2
2 y x
y
x
～
O
1
O11＝
O
1
u ～ 1， u ～ 1 ， 2u ～ 1 ， u ～ 1， 2u ～ 1
y y2 2 x
u ＝0
x y
u t
u
u x
u y
1
p x
2u x 2
2u y 2
t
u
x
y
1
p y
2
x 2
2
y 2
t Tt 0
x Lx0 y Ly0 u Vu0
St
L VT
，Eu
P
V
2
V 0 p V 2 p0
Re
VL
u
0
x0
0
y 0
＝0
St
u 0 t 0
u0
L
x 0～L ， x x 0～1， 故 x 的 数 量 级 为 1， 记 为 O1；
L
y 0 ～ ， y y 0 ～ ， 故 y 的 数 量 级 记 为 O ；
L
物理量相乘、相除时物理量的量阶估计为：
O m O n O mn
O O
m n
ห้องสมุดไป่ตู้
O
mn
O 0 O1
偏导数的数量级估计为：
0
w
w
U x
y
u t
u
u x
u y
U t
U
U x
2u y 2
p 0 y 0
0
U t
U
U x
1
p
x
x2
y
u x
～1
y
d
y
y
u
d
y～
0 y
0 x
～ ， 2 ～ ， ～ 1， 2 ～ 1
x
x2
y
y2
3. 普朗特边界层方程
1
1
u 0 x 0
0
y 0
＝0
?
?
1
1
?
1
1 2
St
u 0 t 0
1
u0
u
0
0
x 0
u 0 y 0
Eu
p0 x 0
1 Re
2u 0 x 0 2
d
y
0
（4）能量损失厚度 ***
***
u
1
u
2
d
y
0 U U
***U 3 u U 2 u2 d y
0
u U 2 u2 d y
0
U
3
0
d
y
0
1
u U
d
y
0
u 3
d
y
* , 1 u d y
0 U
动能通量损失：U 3 * u3 d y
普朗特边界层方程
一、边界层的概念
1. 边界层 2. 势流区 3. 边界层厚度
（1）名义厚度
x y u 99% U
（2）位移厚度 *
,
,
*U U d y u d y
0
0
* , 1 u d y 0 U
（3）动量损失厚度
**
**
,
u
1
u
d
y
0 U U
,
0
理想流体通过流管ⅠⅡ动能通量为 — U 3 *
粘性流体通过流管ⅠⅡ 动能通量为
—
u 3
d
y
0
4. 边界层的特点 （1）边界层厚度较物体的特征长度为小量；
～ t txU
～
x
x
U
x
～
L
L
U
xL ～ 1
L
U L Re
（2）边界层内粘性力和惯性力为同阶。
二、平板二维普朗特边界层方程
1. 无量纲控制方程
小一阶
1
1
u x
0 0
0
y 0
0
1
St
1
u
0
1
u0
t 0
1
u
0
0
x 0
1
u 0
y 0
1
Eu p 0 x 0
1 Re
1 2
2u 0
y 02
Eu
p 0 y 0
0
u
x u t
＝0
y
u u
x
u y
1
p x
2u y 2
u ux, y,0
p
t0 t0 t 0
pxx,,yy,,00，uu