2020年6月济南高考数学模拟试题数学(3)
2022年高考数学基础题型+重难题型突破类型三数列综合应用(原卷版)
类型三数列综合应用【典例1】[2020济南市6月模拟]已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =12n 2+12n.(1)求{a n }的通项公式; (2)设b n ={a n ,n 为奇数,2a n ,n 为偶数,求数列{b n }的前2n 项和T 2n .【典例2】.[2020全国卷Ⅲ,17,12分][理]设数列{a n }满足a 1=3,a n+1=3a n -4n. (1)计算a 2,a 3,猜想{a n }的通项公式并加以证明; (2)求数列{2na n }的前n 项和S n .【典例3】已知在等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n ＋2log 2a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .【典例4】(2020·莆田市第一联盟体学年联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－2n ，{b n }为正项等比数列，且b 1＝a 1＋3，b 3＝6a 4＋2. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n ＋1·log 2b n ＋1，求{c n }的前n 项和T n .【典例5】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n >0，且a 2n ＋1－2a n ＋1a n －3a 2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3(1＋S n )，求数列{a n b n }的前n 项和T n .【拓展训练】1 (1)已知函数f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为奇数，－n 2，n 为偶数，且a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16(2)(2020·武汉江夏一中、汉阳一中联考)若首项为23的数列{a n }满足2(2n ＋1)a n a n ＋1＋a n ＋1＝a n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 020等于( ) A.8 0804 041 B.4 0784 040 C.4 0404 041 D.4 0394 040(3)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．①求数列{a n }与{b n }的通项公式； ②记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .【典例6】 (1)(2020·日照模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，一个质点从A(a 1，a 2)出发沿图中路线依次经过B(a 3，a 4)，C(a 5，a 6)，D(a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 017＋a 2 018＋a 2 019＋a 2 020等于( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020(2)(2020·洛阳第一高级中学月考)已知数列{a n }满足a 1＋12a 2＋…＋1n a n ＝n 2＋n(n ∈N *)，设数列{b n }满足b n ＝2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n <n n ＋1λ(n ∈N *)恒成立，则λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫38，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫38，＋∞ 【拓展训练】2 (1)(2020·中国人民大学附属中学模拟)在数列{a n }中，已知a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则“a 1<a 2”是“{a n }是单调递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)设曲线y ＝2 020xn ＋1(n ∈N *)在点(1，2 020)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n＝log 2 020x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 2 019的值为( ) A ．2 020 B ．2 019 C ．1 D ．－1专题训练一、单项选择题1．[2021石家庄市重点高中模拟]已知1,a 1,a 2,3成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则a 1+a 2b 2的值为 ( )A.2B.-2C.±2D.542．[2021蓉城名校联考]已知数列{a n }对任意m,n ∈N *都满足a m+n =a m +a n ,且a 1=1,若命题“∀n ∈N *,λa n ≤a n 2+12”为真,则实数λ的最大值为 .3．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n ＝3，n ∈N *，则数列{ba n }的前10项和为( ) A.12×(310－1) B.18×(910－1) C.126×(279－1) D.126×(2710－1) 4．已知数列{a n }和{b n }的首项均为1，且a n －1≥a n (n ≥2)，a n ＋1≥a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足2S n S n ＋1＋a n b n ＋1＝0，则S 2 021等于( ) A ．2 021 B.12 021 C ．4 041 D.14 0415．定义在[0，＋∞)上的函数f(x)满足：当0≤x<2时，f(x)＝2x －x 2；当x ≥2时，f(x)＝3f(x －2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次为a 1，a 2，…，a n ，…，并记相应的极大值依次为b 1，b 2，…，b n ，…，则S 20＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a 20b 20的值为( ) A ．19×320＋1 B ．19×319＋1 C ．20×319＋1D ．20×320＋16．若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝n 2＋1 C ．a n ＝nD ．a n ＝ln nn ＋17．(2020·浙江改编)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，a 1d ≤1.记b 1＝S 2，b n ＋1＝S 2n ＋2－S 2n ，n ∈N *，下列等式可能成立的是( )A ．2a 4＝a 2＋a 6B ．2b 4＝b 2＋b 6C ．a 24＝a 2a 8 D ．b 24＝b 2b 88．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论错误的是( ) A ．S n ＝2T n B ．T n ＝2b n ＋1 C ．T n >a nD ．T n <b n ＋19.[2021南昌市高三测试]无穷数列{a n }满足:只要a p =a q (p,q ∈N *),必有a p+1=a q+1,则称{a n }为“和谐递进数列”.若{a n }为“和谐递进数列”,S n 为其前n 项和,且a 1=1,a 2=2,a 4=1,a 6+a 8=6,则a 7= ;S 2 021= . 10．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，若该数列的前k 项之和等于9，则k ＝________.11．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1a n ＝n ＋2n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前10项和为________． 12．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f(x)＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则a 5＝________，b 10＝________.13．在数列{a n }中，a 1＋a 22＋a 33＋…＋a n n ＝2n －1(n ∈N *)，且a 1＝1，若存在n ∈N *使得a n ≤n(n＋1)λ成立，则实数λ的最小值为________．14．[2021河北六校第一次联考]已知数列{a n }为正项等比数列,a 1=1,数列{b n }满足b 2=3,a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a n b n =3+(2n-3)2n. (1)求a n ; (2)求{1b n b n+1}的前n 项和T n .15．[原创题]记S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1=1,S n+1+1=2a n +n+S n ,数列{b n }满足b n =a n +n.(1)求{b n }的通项公式;(2)令c n =(1+b n )log 2b n ,求数列{c n }的前n 项和T n . 16.[2020天津,19,15分]已知{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,a 1=b 1=1,a 5=5(a 4-a 3),b 5=4(b 4-b 3). (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)记{a n }的前n 项和为S n ,求证:S n S n+2<S n+12(n ∈N *);(3)对任意的正整数n,设c n ={(3a n -2)b na na n+2,n 为奇数,a n -1b n+1,n 为偶数,求数列{c n }的前2n 项和.17.[2021湖南四校联考]等差数列{a n }(n ∈N *)中,a 1,a 2,a 3分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数,且其中的任意两个数不在表格的同一列.第一列第二列第三列第一行 5 8 2第二行 4 3 12第三行 16 6 9(1)请选择一个可能的{a1,a2,a3}组合,并求数列{a n}的通项公式.(2)记(1)中您选择的{a n}的前n项和为S n,判断是否存在正整数k,使得a1,a k,S k+2成等比数列?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.。
山东省济南市2024高三冲刺(高考数学)部编版测试(备考卷)完整试卷
山东省济南市2024高三冲刺（高考数学）部编版测试(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（ ）A．B ．1C ．D ．2第(2)题已知全集，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(3)题已知向量，，且，则A．B ．C ．D．5第(4)题的展开式中，项的系数为（ ）A ．1B ．6C ．20D ．15第(5)题在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为（ ）A ．B ．C ．D ．第(6)题在等差数列中，，则（ ）A ．9B ．11C ．13D ．15第(7)题闰月年指农历里有闰月的年份，比如2020年是闰月年，4月23日至5月22日为农历四月，5月23日至6月20日为农历闰四月.农历置闰月是为了农历年的平均长度接近回归年：农历年中的朔望月的平均长度为29.5306日，日，回归年的总长度为365.2422日，两者相差10.875日.因此，每19年相差206.625日，约等于7个朔望月.这样每19年就有7个闰月年.以下是1640年至1694年间所有的闰月年：1640164216451648165116531656165916611664166716701672167516781680 1 6831686168916911694则从2020年至2049年，这30年间闰月年的个数为A ．10B ．11C ．12D ．13第(8)题已知函数与的图象有交点，则的取值范围为（ ）A．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在数列中，（为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．是等方差数列B ．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则C ．等比数列不可能为等方差数列D ．存在数列既是等差数列，又是等方差数列第(2)题函数的部分图像如图所示，在上的极小值和极大值分别为..，，下列说法正确的是（ ）A．的最小正周期为B．C．的图像关于点对称D ．在上单调递减第(3)题甲、乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的统计折线图如下图所示，下列说法中正确的是（）A．若甲、乙两组成绩的平均数分别为，则B．若甲、乙两组成绩的方差分别为，则C．甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数D．甲成绩的极差大于乙成绩的极差三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在的展开式中，的系数为__________.第(2)题已知变量，满足约束条件，则的最大值为______.第(3)题某中学的A､B两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有__________种不同的排课方式.（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题函数，为的导函数.(1)讨论的单调性；(2)若在三个不同的极值点.（i）求的取值范围；（ii）证明.第(2)题如图，在四棱锥中，，，，，，分别为，的中点，．（1）求证：平面平面；（2）设，若三棱锥的体积，求实数．第(3)题记实数、中的较大者为，例如，．对于无穷数列，记（），若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”．（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由．①，②；（2）设首项为的等差数列的前项和为、公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围；（3）若数列满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有．第(4)题在三棱柱中，是和的公垂线段，与平面成角，，．(1)求证：平面；(2)求到平面的距离；(3)求二面角的正切值．第(5)题如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且．(1)求证：BE⊥平面；(2)求二面角的大小．。
2023高考数学济南卷数列的极限与和历年真题及答案
2023高考数学济南卷数列的极限与和历年真题及答案数列是高中数学中重要的概念之一，它在数学中扮演着重要的角色。
在2023年的高考数学济南卷中，数列的极限与和是一个常见的考点。
本文将通过讨论数列的概念与性质，分析历年真题，并给出相应的答案，以帮助考生更好地理解与应对这一考点。
1. 数列的概念与性质数列可以简单地理解为按照一定规律排列的一系列数。
常见的数列有等差数列和等比数列，它们分别具有不同的特点与性质。
1.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定。
通常用a表示首项，d表示公差，第n项可表示为an = a + (n-1)d。
对于等差数列，我们有以下性质：(1) 第n项公式：an = a + (n-1)d(2) 通项公式：an = a₁ + (n-1)d(3) 前n项和公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)1.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定。
通常用a表示首项，q表示公比，第n项可表示为an = a * q^(n-1)。
对于等比数列，我们有以下性质：(1) 第n项公式：an = a * q^(n-1)(2) 通项公式：an = a₁ * q^(n-1)(3) 前n项和公式（当q≠1时）：Sn = a * (1-q^n) / (1-q)2. 数列的极限与和历年真题与答案分析以下是几道历年高考数学济南卷中关于数列的极限与和的真题，以及相应的答案分析：2.1 2018年高考数学济南卷已知数列{an}满足a₁=1，对任意的正整数n，有aₙ₊₁ =(1+n)/(2+n) * aₙ，则数列{an}的前2018项和S₂₀₁₈等于多少？解析：根据题意，我们可以得到递推公式：aₙ₊₁ = (1+n)/(2+n) *aₙ。
观察递推关系可以发现，分子的部分形式和分母的部分形式非常相似，因此我们可以先尝试分解分式，得到aₙ₊₁ = 1-1/(2+n) * aₙ。
由此，我们可以将题目中的递推关系推广到通项公式：an = (2/3) * (1-1/(n+1))。
2020届山东省济南市高考数学一模试卷(含解析)
2020届山东省济南市高考数学一模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若复数z 满足z =，则z 对应的点位于复平面的( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 已知集合A ={x||x|≤2,x ∈Z}，B ={x|1x+1≤0,x ∈R}，则A ∩∁R B =( )A. (−1,2]B. [−1,2]C. {−1,0，1，2}D. {0,1，2}3. 已知等比数列{a n }满足a n >0，n =1.2，…，且a 5・a 2n−5=22n (n ≥2).则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+⋯+log 2a 2n−1=.A. n(2n −1)B. (n +1)2C. n 2D. (n −1)24. 在等比数列{a n }中，a 5=3，则a 1⋅a 2⋅a 3…a 9=39，若数列{b n }为等差数列，b 5=3，则数列{b n }的类似结论为( )A. b 1b 2…b 9=39B. b 1+b 2+⋯+b 9=39C. b 1b 2…b 9=3×9D. b 1+b 2+⋯+b 9=3×95. 若x ，y 为不等式组{x +y ≥12x −y ≤2y −2≤0表示的平面区域中的一点，且使得mx +y 取得最小值的点(x,y)有无数个，则m =( )A. 1B. 2C. −1D. 1或−26. 我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法有“纵式”和“横式”两种，规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式，…，以此类推，交替使用纵横两式．例如：627可以表示为“”.如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用7根小木棍的概率为( )A. 1114B. 1721C. 2021D. 79847. 执行如图所示的程序，若输入的x =3，则输出的所有x 的值的和为( )A. 243B. 363C. 729D. 10928. 下列命题中是假命题的是( ) A.; B. 使得函数是偶函数； C. 使得； D. 是幂函数，且在上递减；9. 已知四棱柱的侧棱长为2，且侧棱垂直于底面，底面是边长为2且有一个内角为60°的菱形，若该四棱柱的俯视图的面积与四棱柱的底面积相等，则该四棱柱左视图面积的最小值是( )A. 4√3B. 2√3C. 2D. √3 10. 已知点，在单位圆上， (为坐标原点)，则的取值范围是 A. B. C. D.11. a ⃗ =(8+12x,x)，b ⃗ =(x +1,2)(其中x >0)，若a ⃗ //b ⃗ ，则x 的值为( )A. 8B. 4C. 2D. 012. 下列命题中是真命题的是( )A. x ∈R ，使得sinxcosx =B. x ∈(−∞,0)，2x >1C. x ∈R ，x 2≥x +1D. x ∈(0,)，tanx >sinx二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设G 为△ABC 的重心，且sinA ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinB ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则角B 的大小为______．14.将全体正偶数排成一个三角数阵：按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为______．+x的最小值为______ ．15.已知x>3，则函数y=1x−316.已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且a3，a4+2，a5成等差数列，则数列{a n}的前5项和S5=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知3a2−4√3S=3b2+3c2．(1)求A；(2)若a=3，求△ABC周长的取值范围．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P−AC−E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．(a,b∈R)，若f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1．19.设函数f(x)=ax+bx(Ⅰ)用a表示b；(Ⅱ)设g(x)=lnx−f(x)，若g(x)≤−1对定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围．20.某社区居委会用“百分制”调查该社区居民对社区的治安满意度，现从调查的居民中随机选取14名，将他们的治安满意度分数的数据绘制成如下的茎叶图，若治安满意度不低于89分，则称该居民对社区的治安满意度为“非常好”．(1)若从这14人中任选3人，求至多有2人对社区治安满意度为“非常好”的概率；(2)若从这14人中任选2人，记X表示这2人中对社区治安满意度为“非常好”的人数，求X的分布列及数学期望．21. 已知函数f(x)=a |x|−|x|+2．(1)若x ∈[12,2]时f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a =−34时，求函数f(x)在x ∈[−2,0)上的最大值．22. 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ=2acosθ(a >0)，已知过点P(−2,−4)的直线l 的参数方程为{x =−2+t y =−4+t，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．23.已知函数f(x)=|x+2|+|2x−4|．(1)求f(x)<6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥m2−3m的解集是R，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：对应的点为，位于第二象限，故B正确．考点：复数的运算、复数的几何意义．2.答案：C解析：解：∵集合A={x||x|≤2,x∈z}={−2,−1,0，1，2}，B={x|1≤0,x∈R}={x|x<−1}，x+1∴C R B={x|x≥−1}，∴A∩∁R B={−1,0，1，2}．故选：C．先求出集合B，再求出C R B，由此利用交集定义能求出A∩∁R B.本题考查的知识点是集合的交集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．3.答案：C解析：解析：，所以a n=2n，又有log2a1+log2a3+⋯+log2a2n−1=log2(a1×a3×…×a2n−1)=log2(2n)n=n2．4.答案：D解析：等差和等比的类比时，在等比中为积在等差中为和，按此规律写出规律即可．本题考查等差和等比数列的类比、考查利用所学知识解决问题的能力．解：因为在等比数列中有a1⋅a9=a2⋅a8=a3⋅a7=a4⋅a6=a52有a1⋅a2⋅…⋅a9=a59，而等差数列中有b1+b9=b2+b8=b3+b7=b4+b6=2b5，故在等差数列{b n}中，类似地，有b1+b2+⋯+b9=9b5=3×9．故选D ．5.答案：D解析：解：作出不等式组{x +y ≥12x −y ≤2y −2≤0对应的平面区域：由题意，z =mx +y 取得最小值的最优解有无数个，最优解应在线段AC 或BC 上取到，故mx +y =0应与直线AC 或BC 平行，∴−m =−1，或−m =2即m =1或m =−2．故选：D ．由题设条件，目标函数z =x +ay ，取得最小值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数的斜率为正，最小值应在左上方边界AC 上取到，即ax +y =0应与直线AC 或BC 平行，进而计算可得a 值．本题考查线性规划最优解的判定，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：至少要用7根小木棍的对立事件为用5根小木棍和6根小木棍这两种情况， 用5根小木棍为126这一种情况的全排列，用6根小木棍为123，127，163，167这四种情况的全排列，故至少要用7根小木棍的概率为1−5A 33A 93=7984． 故选：D ．利用已知条件，推出对立事件的个数，利用古典概型概率的求法，转化求解即可．本题考查古典概型概率的求法，对立事件的概率的求法，分析题意的解题的关键，中档题． 7.答案：D解析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，分析程序的功能，以便得出正确的结论，是基础题．解：模拟程序的运行可得：当x=3时，y是整数，当x=32时，y是整数，依此类推可知当x=3n(n∈N∗)时，y是整数，则由x=3n>1000，得n≥7，所以输出的所有x的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092．故选D．8.答案：A解析：答案A当时，，所以该命题是假命题，选A．考点：全称命题与特称命题真假判断．9.答案：B解析：解：由已知四棱柱的侧棱长为2，且侧棱垂直于底面，底面是边长为2且有一个内角为60°的菱形，若该四棱锥的俯视图的面积与四棱柱的底面积相等，说明棱柱是放倒图形，如图：侧视图是菱形，侧视图的面积的最小值为：2×2sin60°=2√3．故选：B．通过题意判断四棱柱放置的形状，画出图形，然后确定侧视图的形状，即可得到结果．本题考查简单几何体的三视图的画法，视图面积是的求法．考查空间想象能力以及计算能力．10.答案：B解析：本题考查三角函数的定义、向量的数量积、三角函数的化简求值，考查计算能力．求出的表达式，结合角的范围，求出其取值范围．解：设，，则，则则，当中一个为240°，另一个为120°时，有最大值为，当中一个为60°，另一个为−60°时，有最小值为，故选B．11.答案：B解析：解：∵a ⃗ //b ⃗ ，且x >0； ∴2(8+12x)−x(x +1)=0； 解得x =4，或x =−4(舍去)． 故选：B ．根据a ⃗ //b ⃗ 即可得出2(8+12x)−x(x +1)=0，再根据x >0，即可解出x 的值． 考查向量坐标的定义，以及向量平行时的坐标关系．12.答案：D解析：当x ∈(0,)时，0<cosx <1，0<sinx <1， ∴>sinx ，即tanx >sinx ．13.答案：π3解析：解：∵G 是△ABC 的重心，∴GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∵sinA ⋅GA⃗⃗⃗⃗⃗ +sinB ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴sinA ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ −sinB ⋅(GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即(sinA −sinB)GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(sinC −sinB)GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 又∵GA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与GC⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， ∴sinA −sinB =sinC −sinB =0， ∴sinA =sinB =sinC ． ∴a =b =c ． ∴A =B =C =π3．故答案为：π3．由G 是△ABC 的重心，可得GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .又sinA ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinB ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得sinA ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ −sinB ⋅(GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即(sinA −sinB)GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(sinC −sinB)GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，由于GA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与GC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，可得sinA −sinB =sinC −sinB =0，即可得出a =b =c ．本题考查了三角形的重心性质、共面向量定理、正弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．14.答案：n2−n+6解析：解：观察三角形数阵知第n行有n个正偶数，则第n行(n≥3)前共有1+2+3+⋯+(n−1)=(n−1)n2个数，所以第n行(n≥3)从左向右的第3个数为2[(n−1)n2+3]=n2−n+6，故答案为：n2−n+6．首先找出三角形数阵的规律，求出前n−1行正偶数的个数，然后由偶数的特点求出第n行第3个偶数．本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．15.答案：5解析：解：x>3，则函数y=1x−3+x=1x−3+x−3+3≥2√(x−3)⋅1x−3+3=2+3=5，当且仅当x=4时取等号，故函数y=1x−3+x的最小值为5，故答案为：5．根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，关键掌握一正二定三相等，属于基础题．16.答案：31解析：解：由题意可得2(a4+2)=a3+a5，即2(8a1+2)=4a1+16a1，解得a1=1．∴S5=1×(1−25)1−2=31．故答案为：31．由已知列式求得等比数列的首项，再由等比数列的前n项和求解S5．本题考查等差数列和等比数列的通项与前n项和，是基础题．17.答案：解：(1)∵S=12bcsinA，∴由已知得：b2+c2−a2=−4√33S=−4√33⋅12bcsinA，∴化简得：b2+c2−a22bc =−√33sinA=cosA，∴tanA=−√3，A∈(0,π)，∴A=2π3．(2)在△ABC中，由正弦定理得：．∴b=2√3sinB，c=2√3sinC=2√3sin(π3−B)，记△ABC周长为y，∴y=a+b+c=2√3sinB+2√3sin(π3−B)+3．化解得：y=2√3sinB+2√3(√32cosB−12sinB)+3=2√3sin(B+π3)+3．∵B∈(0,π3)，∴周长y∈(6,3+2√3]综上所述：△ABC周长的取值范围(6,3+2√3].解析：本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．(1)已知等式利用面积、余弦定理化简，整理后求出A的度数即可；(2)记△ABC周长为y，y=a+b+c=2√3sinB+2√3sin(π3−B)+3=2√3sin(B+π3)+3.根据B∈(0,π3)，可得ABC周长的取值范围．18.答案：(1)见解析(2)解析：(1)∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC ． (2)如图，以点C 为原点，，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0，0)，A(1,1，0)，B(1,−1,0)，设P(0,0，a)(a >0)， 则E，=(1,1，0)，=(0,0，a)，=.取m =(1,−1,0)，则m ·=m ·=0，m 为面PAC 的法向量．设n =(x,y ，z)为面EAC 的法向量，则n ·=n ·=0，即取x =a ，y =−a ，z =−2，则n =(a,−a,−2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|===，则a =2.于是n =(2,−2,−2)，=(1,1，−2).设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sinθ=|cos 〈，n 〉|==，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为19.答案：解：(Ⅰ)函数的导数为f′(x)=a −bx 2，因为f(x)在点(1,f(x))处的切线斜率为1， 所以f′(1)=a −b =1，解得b =a −1； (Ⅱ)因为g(x)=lnx −f(x)， 所以g(x)=lnx −f(x)=lnx −(ax +a−1x)=lnx −ax −a−1x，要使g(x)≤−1恒成立，即g(x)max ≤−1． g′(x)=1x −a +a−1x =−ax 2+x+a−1x =−(ax+a−1)(x−1)x ，①当a =0时，g′(x)=x−1x 2，当x ∈(0,1)，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1,+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，则g(x)min=g(1)=1，不符题意；②当a≠0时，g′(x)=−(ax+a−1)(x−1)x2=−a[x−(−1+1a)](x−1)x2=0⇒x=1,x=−1+1a，(1)若a<0，−1+1a<0，当x∈(0,1)，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1,+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，则g(x)min=g(1)=1−2a>1>−1，不符题意；(2)若a>0，若0<a≤12，−1+1a>1，当x∈(0,1)，g′(x)<0，g(x)单调递减，这时g(−1+1a )=ln(−1+1a)+2a−1>−1，不符题意；若12<a<1，0<−1+1a<1，x∈(0,−1+1a)，g′(x)<0，g(x)单调递减，这时g(1)=1−2a>1−2=−1，不符题意；若a≥1，−1+1a≤0，x∈(0,1)，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1,+∞)，g′(x)<0，g(x)单调递减，则g(x)max=g(1)=1−2a≤−1，符合题意；综上，得g(x)≤−1恒成立，实数a的取值范围为a≥1．解析：(Ⅰ)由f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1，则得到f′(1)=1，进而可得结果；(Ⅱ)由于g(x)≤−1恒成立，等价于g(x)max≤−1.利用导数可求得函数的最大值，可验证此时满足要求，从而得到a的范围．本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值，考查转化思想，本题综合性强，运算量大，对能力要求较高．20.答案：解：(1)由茎叶图得这14人中对社区治安满意度为“非常好”的人数为5，从这14人中任选3人，基本事件总数n=C143=364，至多有2人对社区治安满意度为“非常好”包含的基本事件个数：m=C143−C53=354，∴至多有2人对社区治安满意度为“非常好”的概率p=mn =354364=177182．(2)由题意得X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C92C142=3691，P(X=1)=C91C51C142=4591，P(X=2)=C52C142=1091∴X的分布列为：E(X)=0×3691+1×4591+2×1091=6591．解析：(1)由茎叶图得这14人中对社区治安满意度为“非常好”的人数为5，从这14人中任选3人，基本事件总数n=C143=364，至多有2人对社区治安满意度为“非常好”包含的基本事件个数：m= C143−C53=354，由此能求出至多有2人对社区治安满意度为“非常好”的概率．(2)由题意得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的概率分布、数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.答案：解：(1)由x∈[12,2]时f(x)≥0恒成立，可得ax−x+2≥0恒成立，故a≥x2−2x在x∈[12,2]时恒成立，由二次函数的性质可知，x∈[12,2]，y=x2−2x∈[−1,0]，故a≥0，∴实数a的取值范围[0,+∞)，(2)当a=−34时，x∈[−2,0)，f(x)=34x+x+2，结合对勾函数的性质可知，f(x)在[−2,0)上先增后减，当x=−√32时，函数取得最大值2−√3．解析：(1)由已知进行分离参数后转化为求解二次函数的范围，即可求解a 的范围； (2)把a 的值代入后，然后结合对勾函数的性质可求．本题主要考查了由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想的应用．22.答案：解：(1)由曲线C ：ρsin 2θ=2acosθ(a >0)，可得ρ2sin 2θ=2aρcosθ，化为y 2=2ax ．由直线l 的参数方程为{x =−2+ty =−4+t ，消去参数t 可得直线l ：y =x −2．(2)联立{y =x −2y 2=2ax，化为x 2−(4+2a)x +4=0， ∵直线l 与抛物线相交于两点，∴△=(4+2a)2−16>0，解得a >0或a <−4.(∗) ∴x 1+x 2=4+2a ，x 1x 2=4．∴|MN|=√(1+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√2[(4+2a)2−16]=√8a 2+32a ． |PM|=√(x 1+2)2+(y 1+4)2=√2|x 1+2|，|PN|=√2|x 2+2|．∴|PM||PN|=2|(x 1+2)(x 2+2)|=2|x 1x 2+2(x 1+x 2)+4| =2|16+4a|∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列， ∴|MN|2=|PM||PN|，∴(√8a 2+32a)2=2|16+4a|， 化为a(4+a)=|4+a|， ∵a >0或a <−4． 解得a =1． ∴a =1．解析：(1)利用极坐标化为直角坐标方程的公式x =ρcosθ，y =ρsinθ可得曲线C 的方程；消去参数t 即可得到直线l 的方程；(2)把直线的方程代入抛物线的方程得到根与系数的关系，利用两点间的距离公式和等比数列的定义即可得出．本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交问题转化为把直线的方程与抛物线的方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式和等比数列的定义等基础知识与基本技能方法，属于难题．.23.答案：解：(1)由题设知：当x≥2时，不等式等价与x+2+2x−4<6，即2≤x<83当2>x>−2时，不等式等价与x+2+4−2x<6，即2>x>0.当x≤−2时，不等式等价于−x−2+4−2x<6，x无解．}.综上可得，满足不等式的解是{x|0<x<83(2)由函数f(x)的图象可得f(x)=|x+2|+|2x−4|的最小值为4，则由题意可得m²−3m≤4，解之得，−1≤m≤4．即m的范围为−1≤m≤4．解析：本题考查带绝对值的函数的应用，绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义是解题的关键．(1)分当x≥2时、当2>x>−2时，当x≤−2时三种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．(2)求出函数的最小值，然后求解m²−3m≤4，得到实数m的取值范围．。
2024年山东省春季高考济南市第三次模拟考试数学试题
2024年山东省春季高考济南市第三次模拟考试数学试题一、单选题1．设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{}0B ．{0,1,3,5}C ．{0,1,2,4}D ．{0,2,3,4}2．对于命题,p q 、若p q ∨⌝是假命题，则下列说法正确的是（ ） A ．p q 、都是真命题 B ．p q 、都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题3．在ΔABC 中，“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-,若当[]0,5x ∈时，函数()f x 图象如图所示，则不等式()0f x ≤的解集为A ．[][]5,22,5--UB ．[][]2,02,5-UC ．[]22-,D ．[][]5,20,2--U5．如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．31(02)2y x x =-≤≤ B ．331(02)22y x x =--≤≤ C ．31(02)2y x x =--≤≤ D ．11(02)y x x =--≤≤6．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O '''，若2O B ''=，那么原ABO V 的面积是（ ）A．1B C D ．7．已知0.150log 2,log 2a b ==，则21a b+=（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．若数列{}n a 的前n 项和(1)n S n n =+，则6a 等于（ ） A ．10B ．11C ．12D ．139．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u vA ．3144AB AC -u u u v u u u v B ．1344AB AC -u u uv u u u v C ．3144+AB AC u u uv u u u vD ．1344+AB AC u u uv u u u v10．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石11．在6(1)x x +的展开式中,含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．1012．设()tan π2α-=-，则()()()()sin πcos πsin πcos παααα-+-=+-+（ ）A ．3B ．13C ．1D ．1-13．设π3π44<<α，sin cos αα+=cos2=α（ ）A ．12-B ．12CD ．14．已知向量(,1),(1,2)a m b == ，且222||||||a b a b +=+r r r r ，则m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-215．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1257=+，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（ ）A ．121B ．221C ．321D ．42116．若直线1:20l x ay +-=与()22:2120l x a y ++-=平行，则两直线之间的距离为（ ）A B ．1 C D ．217．圆22(1)(1)4x y -++=上的点到直线34140x y +-=的距离的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．918．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1AG 与平面AEF 平行 C ．三棱锥F ABE -的体积为18D ．直线BC 与平面AEF 所成的角为45︒19．已知双曲线1C 过点(A ，且与双曲线222:31C x y -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的标准方程为（ ）A ．221124x y -=B ．221124y x -=C ．221155x y -=D ．221155y x -=20．函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．函数的周期是3π2B ．函数()y f x =的图象的过点C ．函数()y f x =在5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．当13π3π,62x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()1f x >二、填空题21．若函数2(1),0,()1,0,x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩则((1))f f -=． 22．如图，是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现，在这个伟大发现中，球的体积与圆柱的体积之比为.23．某学校有5个班级的同学一起到某工厂参加社会实践活动，该工厂有5个车间供学生选择，每个班级任选一个车间进行实践学习，则恰有2个班级选择甲车间，1个班级选择乙车间的方案有种．24．已知变量,x y 满足线性约束条件202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则212x yz +⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为.25．已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，2V POF 为正三角形，则该椭圆的离心率为.三、解答题26．已知函数()mf x x x=+，且(1)2f =. (1)求m 的值;(2)判断函数()f x 在(1,)+∞上是增函数还是减函数，并证明. 27．已知等比数列{}n a 的各项皆为正数，且351,100a a ==. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求()123100lg a a a a ⋅⋅⋅⋅L 的值.28．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B ，C ，D 三地位于同一水平面上，这种仪器在B 地进行弹射实验，,C D 两地相距100m ，60BCD ∠=︒，在C 地听到弹射声音的时间比D 地晚217秒，在C 地测得该仪器至最高点A 处的仰角为30︒．（已知声音的传播速度为340m/s ），求：(1)B ，C 两地间的距离； (2)这种仪器的垂直弹射高度AB ．29．如图所示，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，90,BAD ADC ︒∠=∠=AB AD =11,2CD ==PD =(1)若点M 为PA 的中点，证明://AC 平面MDE ； (2)求异面直线PB 与CD 所成角的大小.30．如图所示，抛物线22(0)y px p =>的准线过点(2,3)-，(1)求抛物线的标准方程;(2)若角α为锐角，以角α为倾斜角的直线经过抛物线的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点，作线段AB 的垂直平分线l 交x 轴于点P ，证明:||||cos 2α-FP FP 为定值，并求此定值.。
2023年高考数学模拟试题及参考答案
2023年高考数学模拟试题及参考答案一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不．正确的是( )A．a－d＞b－c B.ad＞bcC．a＋d＞b＋c D．ac＞bd【答案】C【解析】可利用不等式的基本性质一一验证．由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正确；由c＞d＞0，得1d＞1c＞0，又a＞b＞0，所以ad＞bc，即B正确；显然D正确．2．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝( )A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}【答案】C【解析】借助数轴可得{x|2＜x＜3}．3．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C.4．已知三个数a＝60.7，b＝0.70.8，c＝0.80.7，则三个数的大小关系是( )A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．a>c>b【答案】D【解析】a＝60.7>60＝1，c＝0.80.7>0.70.7>0.70.8＝b，且c＝0.80.7<0.80＝1，所以a>c>b.5．若等差数列{a n}的前n项和S n满足S4＝4，S6＝12，则S2＝( )A．－1 B．0 C．1 D．3【答案】B【解析】等差数列中，设S2＝a1＋a2＝x，则a3＋a4＝S4－S2＝4－x，a 5＋a 6＝S 6－S 4＝8，则S 2，S 4－S 2，S 6－S 4仍成等差数列，所以2(4－x )＝x ＋8，解得x ＝0，即S 2＝0故选B.6．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( )A. 2 B ．2－2 C.2－1D.2＋1【答案】C 【解析】由点到直线的距离公式知d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1， 得a ＝－1± 2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.7．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)【答案】B【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24. 8．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53 B ．－59 C ．59 D ．53【答案】A【解析】利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13，∵2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33＞0，∴2kα＋α2＜α＜2kα＋34α(k∈Z)，∴4kα＋α＜2α＜4kα＋32α(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53.9．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.310 B.15 C.110D.112【答案】A【解析】随机取出2个小球得到的结果数有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{}1，2，{}1，5，{}2，4，共3种，故所求答案为A.10．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 【答案】B【解析】作出满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域，如图所示，作直线l 1：2y －2x ＝t ，当l 1经过B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.故选B.11．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，若a ∥b ，则tan θ＝( ) A ．33 B ． 3 C ．－33D ．－3 【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴sin θ－3cos θ＝0，即sin θ＝3cos θ.故tan θ＝ 3.12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A ．π4B ．π－22C ．π6 D ．4－π4【答案】D【解析】如图所示，区域D 是正方形OABC ，且区域D 的面积S ＝4.又阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S 阴＝4－π，所以所求事件的概率P ＝4－π4.13．设函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为M ，则( ) A ．T ＝π，M ＝1 B ．T ＝2π，M ＝1 C ．T ＝π， M ＝2 D ．T ＝2π，M ＝2【答案】A【解析】由于三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的最小正周期T ＝2αω，最大值为A ＋B ；∴函数y ＝2sin2x －1的最小正周期T ＝2α2＝α，最大值M ＝2－1＝1.14．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 【答案】C【解析】∵n ⊥β，且α，β交于直线l .l ⊂β，∴n ⊥l .15．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均值为2，方差为1，则2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1，平均值和方差分别为( )A ．5，4B ．5，3C ．3，5D ．4，5 【答案】A【解析】一组数据x 1，x 2，x 3…，x n 的平均值为2，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均数是2×2＋1＝5；又数据x 1，x 2，x 3，…x n 的方差为1，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的方差是22×1＝4，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上)16．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．【答案】15【解析】由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.17．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是________米．【答案】1.76【解析】由小到大排列为1.69，1.72，1.75, 1.77，1.78, 1.80.中位数是1.75＋1.772＝1.76.18．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________．【答案】6766升【解析】设最上面一节的容积为a 1，公差为d ，则有⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4.即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝6766，故第5节的容积为6766升．19．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________． 【答案】4【解析】∵A ，B ，C 三点共线，∴a －35－4＝5－36－4，∴a ＝4.三、解答题(本大题共3个题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 20．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如图所示坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －α4＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2α2＝α，初相为－α4. (2)列表并描点画出图象：故函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－α2，α2上的图象是21．(12分)已知四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E是P A的中点．求证：(1)PC∥平面EBD；(2)平面PBC⊥平面PCD．解：证明：(1)连接AC交BD与O，连接EO，∵E，O分别为P A，AC的中点，∴EO∥PC.∵PC⊄平面EBD，EO⊂平面EBD，∴PC∥平面EBD.(2)∵PD⊥平面ABCDBC⊂平面ABCD∴PD⊥BC∵ABCD为正方形∴BC⊥CD又∵PD∩CD＝D∴BC⊥平面PCD∵BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PCD.22．(12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，得a 1＝13. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n . (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝ －(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)．1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n}的前n 项和为－2n n ＋1.。
山东省济南市2024年数学(高考)统编版模拟(提分卷)模拟试卷
山东省济南市2024年数学（高考）统编版模拟(提分卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值是（）A．1B．C．2D．第(2)题已知互不重合的直线，互不重合的平面，下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则第(3)题已知命题，则为（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题已知向量，那么向量可以是（）A．B．C．D．第(6)题在复平面内，设复数，对应的点分别为，，则（）A．2B．C．D．1第(7)题已知幂函数和，其中，则有下列说法：①和图象都过点；②和图象都过点；③在区间上，增长速度更快的是；④在区间上，增长速度更快的是.则其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④第(8)题某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知甲盒中有2个红球，1个蓝球，乙盒中有1个红球，2个蓝球.从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记从各盒中取得红球的概率为，从各盒中取得红球的个数为，则（）A． .B．C．D．第(2)题圆柱高为1，下底面圆的直径长为2，是圆柱的一条母线，点分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（）．A．若，则点的轨迹为圆B．若直线与直线成，则的轨迹是抛物线的一部分C．存在唯一的一组点，使得D．的取值范围是第(3)题已知函数，则下列说法正确的是（）A．为函数的一个周期B．直线是函数图象的一条对称轴C．函数在上单调递增D．函数有且仅有2个零点三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
山东省济南市2024届高三下学期高考针对性训练(5月模拟)数学试题含答案
绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。