二次根式培优拔高
二次根式提高培优
知识点一：二次根式的概念【知识要点】1.二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2. ()()a aa 20=≥．3. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系。
（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2)()a 2表示一个数的算术平方根的平方,a 的范围是非负数． (3)a 2和()a 2的运算结果都是非负的．精典考题类型一:考查二次根式的概念(求自变量取值范围）1、下列各式中,不是二次根式的是（ ） A ．45 B ．3π- C ．14 D ．122、二次根式4122--x x 有意义时的x 的取值范围是 。
3、已知: 122+--++=x x y ,则2001)(y x += 。
类型二:考查二次根式的性质（非负性、化简）4、代数式243x --的最大值是 。
5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简21(2)a a -+-=。
6、把34-的根号外的因式移到根号内得 ;625-的平方根是 。
7、化简：1x x-= ；=-+-+-222)72()57(2)73( 。
（图1）8、若y=5-x +x -5+2009,则x+y= 9、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-,求xy 的值。
10、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。
112440y y -+=，求xy 的值。
12、若│1995-a │=a ，求a —19952的值．13、 若—3≤x ≤2时，试化简│x —2│已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值. 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
若17的整数部分为x ，小数部分为y,求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2。
二次根式培优提高训练
《二次根式》培优一、知识讲解1．根式中的相关概念⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。
⑵ nn 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。
⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。
⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。
⑸设a 、b 、c 、d 、m 是有理数，且m 不是完全平方数 ，则当且仅当a c =、b d =时，时，a c +=+2. 二次根式的性质 （1）()20a a =≥. （200 0 0a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩当时，当时，当时. 3.二次根式的运算法则：对于二次更是的加减，先把二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可. （1）(a b =+ （2)0,0a b =≥≥（3）)0,0a b =≥> （4）)0ma =≥（5）若0a b >>>4. 分母有理化（1）把分母中的根号化去叫做分母有理化.（2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式.互为有理数因式。
分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0.二、习题讲解基础巩固1.化简：（1） （2（3（4）（5（6） 解：（1）（2. （3）（4. （5）232-（6）. 2. 设y =，求使y 有意义的x 的取值范围.解：由题知2102010x x x -≥⎧⎪-≥⎨⎪->⎩，解得1221x x x ⎧≥⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩，所以x 的取值范围为122x ≤≤.3.（1）已知最简二次根式ba = ，b = . （2）已知0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 .解：（1）由题知：2322b a b b a -=⎧⎨=-+⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩.（2）因为0≥，2160m -≥0=所以221016040n m m m -+=⎧⎪-=⎨⎪->⎩，解得49m n =-⎧⎨=-⎩.所以15===.所以2mn n +-的倒数的算术平方根为15.4. （1）若m=试确定m 的值.（2）已知x 、y为实数，13y x =-，求56x y +.解：（1）因为19901990x y x y -+≥⎧⎨--≥⎩，即199199x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，所以199x y+=①.所以0=.又因为0≥0≥，所以3520 230 x y m x y m +--=⎧⎨+-=⎩②③.由①，②，③可得：2001m =.5.在、1999是同类二次根式的共有多少个？解：由题知：==19个. 6.计算：（1）((1617解：（1）原式((16=⎡⎤⎣⎦()(16=1211-（2）(5+解：原式(()=5555256+--（3）22-解：原式22=⎤⎤-⎦⎦=⎤⎤⎦⎦===（4）计算：(1111x x ++++解：原式((1111x x ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()()()()222311111x x x x x x ⎡⎤=-+-=-++=-⎢⎥⎣⎦（5）(解：原式{}{}⎤⎤⎡⎡=⎦⎦⎣⎣()()523235⎡⎤⎡⎤=--+-⎣⎦⎣⎦=24=.7.化简：=..A. BCD解：()()⎣⎦=⎡⎡-+⎣⎣=-=212+==12=+8.计算：. 解：原式()()4172x x --=())())417247x x x x --=---)12=-3=-.9.设x =，y =，n 为自然数，如果22219721993x xy y ++=成立，求n的值.解：由题知：()2222197221931993x xy y x y xy ++=++=x y +=+22+==42n =+.1xy ==.当x y +==-1xy =时，()224219311993n ++⨯=，即()242900n +=. 因为n 为自然数，所以4230n +=，解得7n =.10. 若正整数a 、m 、n=a 、m 、n 的值依次是 . 解：因为0≥，即m n ≥.由题知：22=，即2a m n -=+-.所以2a m n =+=.故有8mn=.因为a 、m 、n 为正整数，所以8m =，1n =，3a =. 11.（1）)))201220112010121412010--+= .解：原式)))20102112142010⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦)2010151242010⎡⎤=+--+⎣⎦2010=.（2）化简：解：原式==3=3=3==3===.二、拓展提高1.已知x=，y=，求22y xx y+的值.解：由题知：原式()()()()()()()2 22332223x y xy xyx y x xy yy xxyxy xy⎡⎤++-+-++⎣⎦===x y+=22+=10=，1xy==. 当10x y+=，1xy=时，原式()22101031⨯-=970=.2.（1））. 5A-1B. 5C. 1D（2）代数式.解:（1）=)21=2=，==3=-所以231=+-=，故答案选D.（2）222=+82818=+=因为0≥==3.若1x =，则54322171816x x x x x +--+-的值为 .解：因为1x =，所以()221x -=，化简的22160xx --=.原式543322216216216x x x x x x x x =+---+++-()()222161x x x x =+--+()201x x =⨯-+0=4. 已知非零实数a 、b 满足等式542b a a b ab b a ++=+. 解：由542b a a b ab b a++=+可得：22542b a a b ++=+，即()()22120b a -+-=，解得2a =，1b =.所以原式1===.5.22006= 解：令2006x =，由题知： 原式2x =2x =2x =2x =221x x x =+--1200612005x =-=-=.6. 已知2=的值为 .解：令m =n =22210m n m n -=⎧⎨-=⎩. 所以()()()22210x y x y x y x y -=+-=+=5m n =+=.7.化简：.解：原式===2=51-=-5=.8.计算：⋅⋅⋅+.解：原式=+⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅4512025=-1145=-4445=.9.⋅⋅⋅+解：原式=37132612=++⋅⋅⋅1111111112233420102011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112010122320102011=+++⋅⋅+⨯⨯⨯111112010122320102011=+-+-+⋅⋅+-1201012011=+-201020102011=。
二次根式培优专题之一难点指导及典型例题包括答案及解析
《二次根式》培优专题之一——难点指导及典型例题【难点指导】1、假如 a 是二次根式，则必定有a≥0；当 a≥0 时，必有 a ≥0；2、当 a≥ 0 时， a 表示a的算术平方根，所以有2aa ；反过来，也能够将一个非负数写成 a 2的形式；2表示 a2的算术平方根，所以有a2 a ，a能够是随意实数；3、 a2a 和 a2 a 的不一样：4、差别 aa 2 2a 无心义．中的能够取随意实数， a 中的a只好是一个非负数，不然5、简化二次根式的被开方数，主要有两个门路：（ 1）因式的内移：因式内移时，若m＜ 0，则将负号留在根号外．即：m x m2 x (m＜0)．（ 2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行议论．即：6、二次根式的比较：（ 1）若，则有；（2）若，则有．说明：一般状况下，可将根号外的因式都移到根号里面去此后再比较大小．【典型例题】1、观点与性质2、二次根式的化简与计算例 1. 化简a 1 的结果是（）aA．a B． a C．- a D．- a剖析：此题是同学们在做题常常感疑惑, 简单糊涂的问题 . 好多同学感觉选项 B 形式最简单 , 所以选 B; 还有的同学感觉应有一个负号和原式对应, 所以选 A 或 D; 这些都是错误的 . 本题对观点的要求是较高的 , 题中隐含着 a 0 这个条件,所以原式的结果应当是负值, 并且被开方数一定为非负值 .解： C. 原因以下 :∵二次根式存心义的条件是10 ,即a 0 ，a∴原式 =1 ( a)2 ( 1 ) . 应选 C.( a) aa a1例2. 把（ a－b）－a－b化成最简二次根式解：例3、先化简，再求值：1 1 b ，此中 a= 5 1， b=5 1．a b b a( a b) 2 23、在实数范围内分解因式例 . 在实数范围内分解因式。
（1）；（2）4、比较数值（ 1）、根式变形法当 a 0, b 0 时，①假如a b ，则a b ；②假如a b ，则a b 。
八年级数学二次根式提高培优
二次根式典型习题训练一、概念（一）二次根式下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式、1x x>0）1x y +（x ≥0，y•≥0）．（二）最简二次根式1（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）．A （y>0）B y>0）C （y>0）D ．以上都不对2．（x ≥0）3．_________．4. 已知〉xy 0，化简二次根式_________． （三）同类二次根式1．以下二次根式：；是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④2．在、、是同类二次根式的有______（四） “分母有理化”与“有理化因式”的有理化因式是________；_________．_______．2.把下列各式的分母有理化（1（2； （3； （4．二、二次根式有意义的条件：1．（1）当x在实数范围内有意义（2）当x是多少时，11x+在实数范围内有意义（3）当x是多少时，x+x2在实数范围内有意义（4）当__________2.有意义的未知数x有（）个．3.A．0 B．1 C．2 D．无数3．已知，求xy的值．4．5.11m+有意义，则m的取值范围是。
6．要是下列式子有意义求字母的取值范围（1）(2) (3) (4) (5) (6)三、二次根式的非负数性1，求a 2004+b 2004的值．2，求x y 的3.2440y y -+=，求xy 的值。
四、⎪⎩⎪⎨⎧-==a a a a 2的应用1． a ≥0 ）．A C ．2．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式（1-a ）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．3．若│1995-a │=a ，求a-19952的值．4. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│a ≥0a ＜05．化简 ） A ． D ．6．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）．A ．．五、求值问题:1. 当y 求x 2-xy+y 2的值2..已知求a 3+2a 2-a 的值3．计算(1)．3231+821－5051(2)．32()625(-÷-(3)．)321(++(321--)4．化简(1)．22)1()4(-+-x x (1＜x ＜4) (2)．(x+y)xyy x xyy x 222222++-+ (x＜y ＜0)5.已知：x=211- ，求代数式3－442+-x x 的值6．已知a =231+，求414122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a 的值。
二次根式解答题经典题型拔高30题(5)
二次根式经典题型拔高专项练习30题1．把下列各式化成最简二次根式：（1）；（2）x2；（3）；（4）；（5）；（6）．2．（1）；（2）．（a＞0，b＞0）3．观察下列分母有理化的计算：，，，，…在计算结果中找出规律，用含有字母n（n表示大于0的自然数）表示；再利用这一规律计算以下列式子的值：（）（）的值．4．阅读下面问题：；；．试求：（1）的值；（2）的值；（3）试计算（n为正整数）的值．5．若最简二次根式和是同类二次根式．求x、y的值．6．已知最简根式和最简根式是同类根式，求a2002﹣b2001的值．7．化简：（a＞0）8．计算：．9．化简：．10．已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．11．先化简，再求值：（+）2﹣（﹣）2，其中a=1+，b=﹣1．12．化简：．13．计算：+．14．化简求值：（+）÷（其中a=3﹣2）．15．若a、b都是实数，且b=，试求的值．16．先化简，再求值．（）÷，其中，．17．若a＞0，b＞0，且，求的值．18．若，．求的值．19．化简（1）（2）（3）20．已知，x、y满足，求（x+y）+（x2+2y）+（x3+3y）+…+（x199+199y）的值．21．设的整数部分为x，小数部分为y，试求的值．22．已知，，求的值．23．已知m＞0，n＞0，且，求的值．24．在直角△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且△ABC的周长为2+5，斜边c=4，求△ABC的面积及斜边上的高h．25．因为，即2，所以的整数部分为2，小数部分为（）．（1）如果的整数部分为a，那a=_________．如果，其中b是整数，且0＜c＜1，那么b=_________，c=_________．（2）将（1）中的a、b作为直角三角形的两条边长，请你计算第三边的长度．27．已知a，b，c为三角形的三边，化简．28．如果的整数部分是a，小数部分是b，求的值．29．已知：（0＜a＜1），求代数式的值．30．解方程：…+=．。
《二次根式》培优试题及答案
《二次根式》提高测试(一）判断题:（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（)【提示】2)2(-＝｜－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．（ )【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2)．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（）【提示】2)1(-x ＝|x －1｜,2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…（ ）【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．( ）29x +是最简二次根式．【答案】×．（二)填空题:（每小题2分，共20分)6．当x __________时,式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义?分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】(a －12-a )(________)＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数? x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2（x －1)＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少?12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd ｜＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0)，∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）(cd ab -）．12．比较大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小．13．化简：（7－52）2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52）2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．］ （7－52）·（－7－52）＝？［1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则（x －1)2＋（y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4,∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？［x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． (三）选择题:（每小题3分,共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ )（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 (C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件,（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C)－2x (D)－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0,∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y ｜＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝｜x ＋y ｜＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝｜a ｜．18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（）（A ）x 2 （B)－x 2(C ）－2x （D ）2x【提示】（x －x 1）2＋4＝(x ＋x 1）2，(x ＋x 1）2－4＝（x －x 1）2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0．19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ）(A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D)a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ )（A)2)(b a + （B ）－2)(b a - （C)2)(b a -+- （D)2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0)和完全平方公式．注意（A ）、(B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时,a 、b 都没有意义．（四）在实数范围内因式分解:（每小题3分,共6分）21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】（3x ＋5y ）（3x －5y ）． 22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式,再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2（2x －1)2．（五）计算题：(每小题6分，共24分）23．（235+-）（235--); 【提示】将35-看成一个整体,先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-）2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．(a 2m n －m ab mn ＋m n n m ）÷a 2b 2mn； 【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开,最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2m n－mab mn ＋mn n m ）·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab 1n m m n ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221ba ab a +-． 26．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）(a ≠b ）． 【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． (六)求值：(每小题7分，共14分）27．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26）2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后,根据解题的需要,先分别求出“x ＋y ”、“x －y "、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +,∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x22a x +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1． 七、解答题:（每小题8分，共16分）29．计算(25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．【提示】先将每个部分分母有理化后,再计算． 【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）［（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）］ ＝（25＋1）（1100-） ＝9（25＋1）． 【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差,然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗?].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x -＝|xy y x +|－|xy y x -｜∵ x ＝41，y ＝21,∴ y x ＜x y ．∴ 原式＝x y y x+－y x xy+＝2yx 当x ＝41,y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
2023年上学期人教版八年级下册《二次根式》培优资料
2023年上学期人教版八年级下册二次根式培优资料一、单选题1．当a 为实数时，下列各式10a +、a 、2a 、21a -、21a +、()21a -是二次根式的有多少个（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．已知52a =-，25b =-，则a 与b 的大小关系是（ ） A ．a b <B ．a b >C ．a b =D ．无法确定3．下列各式的计算正确的是（ ） A ．44229339---===--- B ．2142293= C ．3234= D ．323113311311311÷=÷= 4．已知a ，b ，c 分别是ABC 的三边，则22()()a b c a b c ---+-的值为（ ） A ．2bB ．2- bC ．a ＋2cD ．22c a -5．已知0ab >，化简二次根式2ba a -的正确结果为（ ） A ．bB ．b -C ．b -D ．b --6．已知226a b ab +=，且0a b >>，则a ba b+-的值为（ ） A ．2 B ．±2C ．2D ．2±7．已知15(1)x x x +=>，则1x x+的值为（ ） A ．5B ．3C ．5D ．78．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则2||()a c b c a ++--的化简结果是（ ）A ．2b c -B ．2b a -C ．2a b --D ．2c b -9．如图，在矩形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12 cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A ．2(843)cm - B ．2(423)cm -C ．2(1683)cm -D ．2(8312)cm -10．已知120212020x =-，则65432220202202122021x x x x x x --+-+-的值为（ ）A ．0B ．1C ．2020D ．2021二、填空题 1123x-x 的取值范围是___________． 1223_____________．（不与原数相等） 13．如图实数a ，b ，c ()2323b a c c b c --+=_______．14．已知x 322-y 322+4x yy x +-= _____．15．已知a ，b ，c 2()a b c --－|b －a ＋c |的结果是_____． 162(1)2x x --化简的结果为23x -，则x 的取值范围是___________．17．满足等式2022202220222022x y xy x y xy 的正整数对(),x y 的个数有_____个． 三、解答题18．阅读下列材料，并回答问题： 91116<3114<<，113113． (1)40(2)5a ，小数部分为b ，求()()a b a b +-的值．19．计算： 353； (2)559525 (3)2322+(4)62|21||36+-； (5)1(26)18332748(23)(23)3+； (7)()20120229253π-⎛⎫+- ⎪⎝⎭．11241124823 148312242(10)4246543223⨯；20．计算： (1)332(49)a ba b ab b a a； (y x y xy xy x y x y +-21．阅读材料：像()()65651+-=，a a a ⨯=（0a ≥），这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．解答下列问题：(1)7的有理化因式是___________；72+的有理化因式是___________； (2)观察下面的变形规律，请你猜想：12121=-+，13232=-+，14343=-+，……，11n n=++___________．(3)利用上面的方法，请化简：111121324310099++++=++++___________．22．小明家装修，电视背景墙长BC 为27m ，宽AB 为8m ，中间要镶一个长为23m ，宽为2m 的大理石图案（图中阴影部分）．(1)长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为6元2/m ，大理石的造价为200元2/m ，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）23．（1）先化简；再求值：2(23)(2)(2)2x y x y x y y ⎡⎤--+-÷⎣⎦，其中，16x =，15y =． （2）先化简，再求值：21(1)x x x x -⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭，其中21x =-+．24．材料：2(0a b a ±>，0b >，0)a b ±>化简呢？如能找到两个数m ，(0,0)n m n >>，使得22(()m n a +=，即m n a +=m n b m n b ⋅=，那么222()()()a b m n m n m n ±=+±=2a b m n ±=，双重二次根式得以化简．322± 因为312=+且212=⨯，22322(1)(2)212322|12∴±+±±，2a b ±且能找到m ，(0,0)n m n >>使得m n a +=，且m n b ⋅=，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1)526±12235±； (2)962± (3)35-23±25．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如(232212+，善于思考的小明进行了以下探索：若设(22222222a m m n mn ++=++（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有222a m n =+，2b mn =．这样小明就找到了一种把类似2a b + (1)若(277a m +=+，当a 、b 、m 、n 均为整数时，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：=a ______，b =______；(2)若(233a m +=+，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值； (3)化简下列格式： 526+7210-4102541025-+++。
八年级数学二次根式培优专题
《二次根式》培优习题训练 【知识要点】1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2. ()()a aa 20=≥．3. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系.（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．4、性质：（1）非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）.()()a aa 20=≥性质既可正用，也可反用， 反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式：a a a =≥()()20（3） a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．5、（1）最简二次根式：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．（2）同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
6、（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们 的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有 理化因式确定方法如下：①单项二次根式：a =来确定，如：，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a +与a -，，分别互为有理化因式。
（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式 7、二次根式的运算：（1）二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积， 等于这两个因式积的算术平方根。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.若y=5-x +x -5+2009，则x+y=
2若
0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
3.已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2
－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿
＿＿＿＿＿. 4.若
1
a b -+与
24a b ++互为相反数，则()
2005
_____________
a b -=。
5、已知0a <，化简求值：
2
2
114()4()a a a
a -+
-+-
6．已知，求的值。
7．求的值．
8．已知、是实数，且，求的值．
9. 若1
1
m m -+
+有意义，则m 的取值范围是 。
10．若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值 。
．
11．若│1995-a │+2000a -=a ，求a-19952的值
12.当x=
15+7,y =15-7,求x 2-xy+y 2的值_____．
13．已知a=3+22，b=3-22，则a 2b-ab 2=_________．
14．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求x 、y 的值 。
15.已知2310x x -+=，求221
2x x
+
-的值 。
16.若n 243是一个整数，则整数n 的最小值是 。
17.已知
111-的整数部分为a ，小数部分为b ，试求()()111++b a 的值
18已知2
310x x -+=，求
221
2x x +
-的值。
19. 已知：625+=+b a ，625-=-b a ，求2004
2212⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--b a 的值。
20. 设2004
200314313
21211+
+
++
+
++
+
=
s
t = 1－2＋3－4＋5－6＋…＋2003－2004，求
()
2
1+s t
的值。
21.计算：
2004
2003200320041
3
2231221++
+++
+
比较3
5与53的大小。
比较
231
-与121
-的大小。
比较76-与65-的大小。
比较73+与873-的大小
比较1514-与1413-的大小。
25.化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________．
26.若
1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．
27.．计算（25＋1）（211
+＋
321
+
＋
431
+＋…＋
100991
+）＝_________．
28.已知x +x 1=10 ，求x -
x
1
的值____________． 29..当x= 时，二次根式
1+x 取最小值，其最小值为 .
30若
3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 .
31.已知：
.22,211881的值求代数式-+-
+++-+-=x y
y x x y
y x x x y
32. 若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋2
1
．
求x y y x ++2－x
y
y x +-2的值 ．
33.计算：20062007)56()56(
-⨯+.的值 ．
34.已知x 为奇数，且18
721,96962
2+-+⋅++--=--x x x x x x
x x x 求的值.
35.已知,a b 为实数，且()1110a b b +---=，求20052006a b -的值。
36已知x=
2 +1
2 －1 ,y=
3 －13 +1
，求x 2－y 2
的值。
已知：24
20-=
x ，求2
21x x +的值． 已知
ab a b ab b
ab ab
a -
-+
++
，其中32,32-=+=b a。
37、已知1110a a +=-+，求2
21a a
+的值。
38、已知m 是2的小数部分，求
221
2m m
+-的值。
39．已知，求的值。
40．求
的值 .．
41．已知：，求
的值．
4
知识点根式比较大小：
1、根式变形法 当0,0a b >>时， ①如果a b >，则
a b >
；如果a
b <，则
a b <。
2、平方法 当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22
a b <，则a b <。
3、分母有理化法 分子有理化法 倒数法
4、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
5、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①0a b a b
->⇔
>；②0a b a b -<⇔<
6、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①1a
a b
b >⇔>； ②1a
a b
b
<⇔<
7、逆用可将根号外的非负因式移到括号内，
；
；
；﹙a>0﹚
﹙a<0﹚。