二次根式培优提高训练
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《二次根式》培优
一、知识讲解
1.根式中的相关概念
⑴二次根式:形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。
⑵ n
n 次根式.其中若n 为偶数,则必须满足0a ≥。 ⑶最简二次根式:满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含有能开方的因数或因式。
⑷同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式之后,如果被开方数相同,则这几个根式叫做同类二次根式。
时,a c +=+ 2. 二次根式的性质 (1
)
()2
0a a =≥. (2
00 0 0a a a a a a >??
===??-
当时,当时,当时.
3.二次根式的运算法则:
对于二次更是的加减,先把二次根式化为最简二次根式,然后再合并同类二次根式即可. (1
)(
a b =+ (2
)0,0a b ≥≥
(3
))0,0a b =≥> (4
)
)0m
a =≥
(5)若0a b >>
>4. 分母有理化
(1)把分母中的根号化去叫做分母有理化.
(2)互为有理数因式:两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不含有根式,则这两个代数式互为有理化因式
.
互为有理数因式。分母有理化时,一定要保证有理化因式的值不为0.
二、习题讲解
基础巩固
1.化简:
(1
) (2
(3
(4
)
(5
(6
) 解:(1
). (2
3. (3
)
(4
3
. (5
)
2
32
-
.
(6
)
2. 设y =
,求使y 有意义的x 的取值范围.
解:由题知2102010x x x -≥??
-≥??->?,解得1221
x x x ?≥??
≤??>?
?,所以x 的取值范围为12
2x ≤≤.
3.(1)已知最简二次根式b
a = ,
b = . (2)已知
0=,则2mn n +-的倒数的算术平方根为 .
解:(1)由题知:2
322b a b b a -
=??=-+?,解得02a b =??=?.
(2)因为0
≥,2160m -≥0=
所以2
210
16040
n m m m -+=??-=??->?
,解得49m n =-??=-?.
所以
1
5=
==.
所以2mn n +-的倒数的算术平方根为1
5
.
4. (
1)若m
=,试确定m 的值.
(
2)已知x 、y
为实数,1
3
y x =
-,求56x y +.
解:(1)因为1990
1990x y x y -+≥??--≥?,即199199x y x y +≥??+≤?,所以199x y
+=①.
所以0
=.
又因为0
≥0≥,所以3520 230 x y m x y m +--=??+-=?②
③.
由①,②,③可得:2001
m =.
5.
在
、
1999
有多少个?
解:由题知:
==19个.
6.
计算:
(1
)(
(16
17
解:(1
)原式(
(16
=??
??
(
)(16
=12
11-
(2
)(
5
+
解:原式(
(
)=5555256+-
(3
)
2
2
-
解:原式
2
2
=??+-??
=??+??
=
=
=
(4
)计算:(
1111x x +++
解:原式(
(
1111x x ????=++-????
()(
)()()2
22
311111x x x x x x ??=-+-
=-++=-???
?
(5
)(
解:原式
{
}
{}
????=????
(
)()523235????=--+-?
??
?
=24=.
7.
化简:
=
.
.
A
. B
C
D
解:
(
)(
)
?
?=
?
?+?
?
(
)()
2
2
2+=
-
=
212
=
=12=+
8.
计算:
.
解:原式(
)
()
41
72
x x --=
(
))(
))41
72
4
7
x x x x --=
--
-)
12=
-
3=-.
9.
设x =
,y =,n 为自然数,如果22219721993x xy y ++=成立,求n
的值.
解:由题知:()2
222197221931993x xy y x y xy ++=++=
x y +=
2
2
+=
=
42n =+
.
1xy =
=.
当x y +==-1xy =时,()2
24219311993n ++?=,即()2
42
900n +=
. 因为n 为自然数,所以42
30n +=,解得7n =.
10. 若正整数a 、m 、n
=
,则a 、m 、n 的值依次是 . 解:因为
0≥
0≥,即m n ≥.
由题知:
2
2
=
,即2a m n -=+-所以2a m n =+
=.故有8mn
=.
因为a 、m
、n 为正整数,所以8m =,1n =,3a =. 11.(1)
)
)
)
2012
2011
2010
1
2
1
4
1
2010--+= .
解:原式)
)
)
2010
2
1
12
142010?
?=
--+???
?
)
2010
1
51242010??=
+--+??
2010=.
(2
)化简:
解:原式=
=
3
=
3
=
3
=
=
3
=
==.
二、拓展提高
1.
已知x=,y=,求
22
y x
x y
+的值.
解:由题知:
原式
()()()
()
()()
()
2 22
33
2223
x y x y xy x y x xy y
y x
xy xy
xy
??++-
+-+
+??===
x y
+=
2
2
+
=10
=
,1
xy==. 当10
x y
+=,1
xy=时,原式
()
2
2
10103
1
?-
=970
=.
2.(1
))
. 5
A-
1
B-. 5
C. 1
D
(2
)代数式
.
解:(
1)
=)
21
=
2
=,
=
=
3
=-.
所以231
=+-=,故答案选D.
(2
)
2
2
2
=+
82818=++=
因为0≥
==
3.
若1x =,则54322171816x x x x x +--+-的值为 .
解:因为1x =,所以(
)2
2
1x -=
,化简的22160x x --=.
原式543322216216216x x x x x x x x =+---+++-()()222161x x x x =+--+()201x x =?-+
0=
4. 已知非零实数a 、b 满足等式542
b a a b ab b a ++=+
的值. 解:由542b a a b ab b a
++=+可得:22542b a a b ++=+,即()()22
120b a -+-=,
解得2a =,1b =.
所以原式1==
=.
5.22006= 解:令2006x =,由题知: 原式
2x =
2x =
2x =
2x =
221x x x =+--
1200612005x =-=
-=.
6. 已知2
=
的值为 .
解:令
m =n 22
2
10m n m n -=??-=?
. 所以()()()22210x y x y x y x y -
=+-=+
=5m n =+=.
7.
化简:.
解:原式
=
-
=
=
2
=
=5
=.
8.
计算:
???+.
解:
原式
=
=+???+
45
1
2025
=-
1
1
45
=-
44
45
=.
9.
???+
解:原式
=
3713
2612
=++???
1111
1111
12233420102011
????????
=++++++??++
? ? ? ?
????
????????
111
2010
122320102011
=+++??+
???
11111
20101
22320102011
=+-+-+??+-
1
20101
2011
=+-
2010
2010
2011
=
《二次根式》培优试题及答案
1 《二次根式》提高测试 (一)判断题:(每小题1分,共5分) 1.ab 2)2(-=-2ab .…………………( )【提示】 2 )2(-=|-2|=2.【答案】×. 2.3-2的倒数是3+2. ( )【提示】 231-=432 3-+=-(3+2).【答案】×. 3. 2 )1(-x =2)1( -x .…( )【提示】 2 )1(-x =|x -1|,2)1( -x =x -1(x ≥1) .两式相等,必须x ≥1.但等式左边x 可取任何数.【答案】×. 4. ab 、 3 1 b a 3、b a x 2- 是同类二次根式.…( )【提示】 3 1 b a 3、b a x 2- 化成最 简二次根式后再判断.【答案】√. 5. x 8, 3 1,2 9x +都不是最简二次根式.( ) 2 9x +是最简二次根式.【答案】×. (二)填空题:(每小题2分,共20分) 6.当x __________时,式子 3 1 -x 有意义.【提示】x 何时有意义?x ≥0.分式何时有意义?分母不等于零.【答案】x ≥0且x ≠9. 7.化简- 8 15 27102 ÷3 1225a =_.【答案】-2a a . 【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用. 8.a - 12-a 的有理化因式是____________. 【提示】(a -12 -a )(________)=a 2-22)1(-a .a +12-a .【答案】a +12 -a . 9.当1<x <4时,|x -4|+122 +-x x =________________. 【提示】x 2-2x +1=( )2,x -1.当1<x <4时,x -4,x -1是正数还是负数? x -4是负数,x -1是正数.【答案】3. 10.方程 2(x -1)=x +1的解是____________.【提示】把方程整理成ax =b 的形式后,a 、b 分别是多少?12-,12+.【答案】x =3+22. 11.已知a 、b 、c 为正数,d 为负数,化简2222d c ab d c ab +-=______.【提示】2 2d c =|cd |=-cd . 【答案】ab +cd .【点评】∵ ab =2 )(ab (ab >0),∴ ab -c 2d 2=(cd ab +)(cd ab -). 12.比较大小:-721_________-3 41 .【提示】27=28,43=48. 【答案】<.【点评】先比较28,48的大小,再比较281,481的大小,最后比较- 28 1 与-48 1的大小. 13.化简:(7-52)2000·(-7-52)2001=______________. 【提示】(-7-52)2001=(-7-52)2000·(_________)[-7-52.] (7-52)·(-7-52)=?[1.]【答案】-7-52. 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式. 14.若1+x +3-y =0,则(x -1)2+(y +3)2=____________. 【答案】40. 【点评】 1+x ≥0,3-y ≥0.当1+x +3-y =0时,x +1=0,y -3=0. 15.x ,y 分别为8- 11的整数部分和小数部分,则2xy -y 2=____________.
《二次根式》培优专题一精编版
二次根式培优专题 、【基础知识精讲】 1. 二次根式:形如...a (其中a ______ )的式子叫做二次根式。 2. 最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ;⑵被开方数中不含______ ;⑶分母中不含______ 。 3. 同类二次根式: 二次根式化成______________ 后,若 ___________ 相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质: (1)G.-/a )= ____ (其中a ___ )( 2)a2 = _______ (其中a ___ ) 5. 二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式 的符号;如果被开方数是代数和的形式,则先分解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面。 (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数。 JOb= _________ (其中a^_ b ______ );J a= ______________ (其中a—一b ____ ). \ b (4)分母有理化:把分母中的根号化去,就叫分母有理化,方法是分子分母都乘以分母的有理化因 式,两个根式相乘后不再含有根式,这样的两个根式就叫互为有理化因式,如,3的有理化因式就是,3 , .8的有理化因式可以是8也可以是2 , ,b 的有理化因式就是需- Ub . (5)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式,都适用于二次根式的运算. (6)二次根式的加减乘除运算,最后的结果都要化为最简二次根式. 6. 双重二次根式的化简: 二次根号里又含有二次根式,称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是: 设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b,贝U a 2、 b = (x y) 2、_ xy = C、x)2(、._ y)22 xy = (、x .. y)2
二次根式培优习题
《二次根式》复习 班级: 姓名: 一、 二次根式的有关概念 1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数a ≥0. 2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 例:二次根式 b a x x ++22,40,2,30,12,2 1 中,是最简二次根式的有____________________ ________. 下列各式中是最简二次根式的是 ( ) (A )a 18 (B ) 2 x (C )22n m + (D )y x 2 3 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 例:下面与2是同类二次根式的是 ( ) (A )3 (B )12 (C )8 (D )12- 下列根式中与a 是同类二次根式的是 ( ) (A )a 2 (B )23a (C ) a 1 (D )4a 二、 二次根式的性质 1. 非负性:二次根式a 中被开方数a ≥0,且a ≥0. 2. () =2 a (a ≥0). 3. ==a a 2 . 三、 二次根式的运算 1. 乘法公式: =?b a (a ≥0,b ≥0). 2. 积的算术平方根: =ab (a ≥0,b ≥0). (a ≥0) (a ﹤0)
3. 除法公式: == ÷b a b a (a ≥0,b ﹥0). 4. 商的算术平方根: =b a (a ≥0,b ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并. 四、 典例研习 【例1】 x 取怎样的数时,下列二次根式有意义? ; . 【变式探究】 1. 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 . 2.使式子x -4无意义的x 的取值是 . 3.使式子有意义的x 的取值范围是 . 4.能使式子 x x -+ -412有意义的x 的取值范围是 . 5.若()0312 =++-+y y x ,则y x -的值为______________. 6. ()2 11y x x x +=---,则y x -的值为 ( ) (A )1- (B )1 (C )2 (D )3 【例2】若a <1,化简 ()112 --a 等于 ( ) (A )2-a (B )a -2 (C )a (D )a - 【变式探究】 7.计算: ( ) =+-32 32 =+3 . 8.已知a 二次根式培优提高训练
《二次根式》培优 一、知识讲解 1.根式中的相关概念 ⑴二次根式:形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。 ⑵ n n 次根式.其中若n 为偶数,则必须满足0a ≥。 ⑶最简二次根式:满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含有能开方的因数或因式。 ⑷同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式之后,如果被开方数相同,则这几个根式叫做同类二次根式。 时,a c +=+ 2. 二次根式的性质 (1 ) ()2 0a a =≥. (2 00 0 0a a a a a a >?? ===??- 当时,当时,当时. 3.二次根式的运算法则: 对于二次更是的加减,先把二次根式化为最简二次根式,然后再合并同类二次根式即可. (1 )( a b =+ (2 )0,0a b ≥≥ (3 ))0,0a b =≥> (4 ) )0m a =≥ (5)若0a b >> >4. 分母有理化 (1)把分母中的根号化去叫做分母有理化. (2)互为有理数因式:两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不含有根式,则这两个代数式互为有理化因式 . 互为有理数因式。分母有理化时,一定要保证有理化因式的值不为0. 二、习题讲解
基础巩固 1.化简: (1 ) (2 (3 (4 ) (5 (6 ) 解:(1 ). (2 3. (3 ) (4 3 . (5 ) 2 32 - . (6 ) 2. 设y = ,求使y 有意义的x 的取值范围. 解:由题知2102010x x x -≥?? -≥??->?,解得1221 x x x ?≥?? ≤??>? ?,所以x 的取值范围为12 2x ≤≤. 3.(1)已知最简二次根式b a = , b = . (2)已知 0=,则2mn n +-的倒数的算术平方根为 . 解:(1)由题知:2 322b a b b a - =??=-+?,解得02a b =??=?. (2)因为0 ≥,2160m -≥0=
培优专题:二次根式
二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地,我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式,其中0 a≥。 根据二次根式的定义,我们知道:被开方数a的取值范围是0 a≥,由此我们判断下列式子有意义的条件: 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出: (0) a a =≥,在此我们可将其拓展为: a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () (1)、根据二次根式的这个性质进行化简: ①数轴上表示数a 的点在原点的左边,化简 2a ②化简求值: 1 a a= 1 5 ③已知, 1 3 2 m -<< ,化简2m ④______ =; ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. (2)、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-,则x的取值范围是___________. ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二.二次根式a的双重非负性质:①被开方数a是非负数,即0 ≥ a
②二次根式a 是非负数,即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义,则x 应满足( ). A .21≤x ≤3 B .x ≤3且x ≠21 C .21<x <3 D .2 1 <x ≤3 例2(1)化简x x -+-11=_______. (2) x +y )2,则x -y 的值为( ) (A)-1. (B)1. (C)2. (D)3. 例3(1)若a 、b 为实数,且满足│a -2│+2b -=0,则b -a 的值为( ) A .2 B .0 C .-2 D .以上都不是 (2)已知y x ,是实数,且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数,求实数x y 的倒数。 三,如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时,有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识,这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值,可将其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数,根号前的符号不会发生改变;如果根号外的式子为负值,那么要先将根号前的符号变号,再将其其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数。 (1)、 根据上述法则,我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内: ①- ②(a -(2)、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四,拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分,应先判断已知实数的取值范围,从而确定其整数部分,再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例:(1)1的整数部分为a ,小数部分为b ,试求ab —b 2的值。 (2)若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 (3 a ,小数部分为 b ,求a 2+b 2 的值。 (4)若________a a b a b ==是的小数部分,则。 5a a b -(的整数部分为a ,小数部分为b ,求的值。 2、巧变已知,求多项式的值。 32351 x x x x = +-+(1)、若的值。
二次根式提高培优
二次根式小结与提高 一、基本概念 (一)二次根式 下列式子,哪些是二次根式,、 1x x>0) -1x y +x ≥0,y?≥0). (二)最简二次根式 1(y>0)化为最简二次根式结果是( ). A (y>0) B y>0) C (y>0) D .以上都不对 2.(x ≥0) 3._________. (三)同类二次根式 1.以下二次根式:;是同类二次根式的是( ). A .①和② B .②和③ C .①和④ D .③和④ 2.在、、是同类二次根式的有______ 3.若最简根式3a a 、b 的值. (四) “分母有理化” 1.把下列各式的分母有理化 (1 (2; (3; (4. 二、二次根式有意义的条件:
1.(1)当x 在实数范围内有意义? (2)当x 是多少时, 11x +在实数范围内有意义? (3)当x 是多少时, x +x 2在实数范围内有意义? (4)当__________ (5)当__________时, 有意义。 2. x 有( )个. A .0 B .1 C .2 D .无数 3.已知,求x y 的值. 4. 11m +有意义,则m 的取值范围是 。 5 ). A .2 B .3 C .4 D .1 6.已知111-的整数部分为a ,小数部分为b ,试求()()111++b a 的值 三、二次根式的非负数性 1,求x y 的 2.2440y y -+=,求xy 的值。
四、?????-==a a a a 02 a=0 的应用 1. a ≥0 ). A C .2.先化简再求值:当a=9时,求的值,甲乙两人的解答如下: 甲的解答为:原式(1-a )=1; 乙的解答为:原式(a-1)=2a-1=17. 两种解答中,_______的解答是错误的,错误的原因是__________. 3.化简 ). A ..4.把(a-1a-1)移入根号内得( ). A ..5. 若-3≤x ≤2时,试化简│x-2│ 五、求值问题: 1.当y 求x 2-xy+y 2的值 2.已知a 2b-ab 2 =_________. 3. 已知2310x x -+= a>0 a <0
《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)
《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式,则一定有a ≥0;当a ≥0时,必有a ≥0; 2、当a ≥0时,a 表示a 的算术平方根,因此有 ()a a =2;反过来,也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式; 3、()2a 表示a 2的算术平方根,因此有a a =2,a 可以是任意实数; 4、区别()a a =2和a a =2 的不同: ( 2a 中的可以取任意实数,()2a 中的a 只能是一个非负数,否则a 无意义. 5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径: (1)因式的内移:因式内移时,若m <0,则将负号留在根号外.即: x m x m 2-=(m <0). (2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即: 6、二次根式的比较: (1)若,则有;(2)若,则有. 说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小. < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算