《二次根式》复习
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一、 二次根式的有关概念
1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数a ≥0.
2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式.
例:二次根式
b a x x ++22,40,2,30,12,2
1
中,是最简二次根式的有____________________ ________.
下列各式中是最简二次根式的是 ( )
(A )a 18 (B )
2
x (C )22n m + (D )y x 2
3 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
例:下面与2是同类二次根式的是 ( ) (A )3 (B )12 (C )8 (D )12- 下列根式中与a 是同类二次根式的是 ( ) (A )a 2 (B )23a (C )
a
1
(D )4a 二、 二次根式的性质
1. 非负性：二次根式a 中被开方数a ≥0，且a ≥0.
2.
()
=2
a (a ≥0).
3. ==a a 2 .
三、 二次根式的运算
1. 乘法公式: =?b a (a ≥0,b ≥0).
2. 积的算术平方根: =ab (a ≥0,b ≥0).
(a ≥0) (a ﹤0)
3. 除法公式: ==
÷b
a b a (a ≥0,b ﹥0).
4. 商的算术平方根:
=b
a
(a ≥0,b ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并.
四、 典例研习
【例1】 x 取怎样的数时,下列二次根式有意义?
；
.
【变式探究】 1.
1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 .
2.使式子x -4无意义的x 的取值是 .
3.使式子有意义的x 的取值范围是 .
4.能使式子
x
x -+
-412有意义的x 的取值范围是 .
5.若()0312
=++-+y y x ,则y x -的值为______________. 6.
()2
11y x x x +=---,则y x -的值为 ( )
(A )1- (B )1 (C )2 (D )3 【例2】若a <1,化简
()112
--a 等于 ( )
(A )2-a (B )a -2 (C )a (D )a - 【变式探究】 7.计算:
(
)
=+-32
32
=+3 .
8.已知a
()0222
=-+-a a ,则a 的取值范围为_____________________.
10.实数c b a ,,在数轴上的点如图所示, 化简()()=--
-++
2
2
2
c b c b a a _____________.
12)1(+x 1
1
)2(-x
11.若,03442
=-++-b a a 则=b
a 2
_____________. 【例3】计算(1)12183127--
； (2)??
? ??--1223246132. 【变式探究】
12.下列计算中:①632=?,②
2
2
2
1=
,③12223=-,④27714=?, ⑤552332=+,⑥32560=÷,⑦a a a 8259=+
,⑧39±=,正确的
是_____________________________________.(填写序号即可) 13.计算=?a a 82 (a ≥0). 14.化简: (1)312- (2) (3)(
)3515+
÷
(4)
(5)29328+
-
(6)28182122--???? ?
?+?
15.计算: (1)12233
-+ (2)???? ??-÷1213115 (3)27124148÷???
??+
2
8
18-m
m 1
-
【综合训练】
1. 实数c b a ,,在数轴上的点如图所示, 化简()=--
-
2
22
b a b a _____________.
2.如图所示,数轴上表示2、5的对应点分别是C 、B , 点C 是AB 的中点，则点A 表示的数是 （ ）
(A )5- (B )52- (C )54- (D )25-
3.已知6的整数部分为a ,小数部分为b ,则代数式的 值为____________.
4.如果123+-=+a a a a 那么实数a 的取值范围是 ( ) (A )1-a (C )0≤a ≤1 (D )1-≤a ≤0
6.已知
,求
的值. 5.化简: (1)
(
)
2
2244x x x -+
+- (2)2510322+-+
++-x x x x
(其中2-≤x ≤2)
6.设c b a ,,是△ABC 三边的长,化简()()2
2
c a b c b a --+
++的结果.
2
222b
ab ab
a ++3
21
+=a a
a a a a a a -+--
-+-22
2121
21
《二次根式》培优试题及答案
1 《二次根式》提高测试 （一）判断题：（每小题1分，共5分） 1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ）【提示】 2 )2(-＝|－2|＝2．【答案】×． 2．3－2的倒数是3＋2． （ ）【提示】 231-＝432 3-+＝－（3＋2）．【答案】×． 3． 2 )1(-x ＝2)1( -x ．…（ ）【提示】 2 )1(-x ＝|x －1|，2)1( -x ＝x －1（x ≥1） ．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4． ab 、 3 1 b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ）【提示】 3 1 b a 3、b a x 2- 化成最 简二次根式后再判断．【答案】√． 5． x 8， 3 1，2 9x +都不是最简二次根式．（ ） 2 9x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x __________时，式子 3 1 -x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－ 8 15 27102 ÷3 1225a ＝_．【答案】－2a a ． 【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a － 12-a 的有理化因式是____________． 【提示】（a －12 -a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12 -a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122 +-x x ＝________________． 【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3． 10．方程 2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】2 2d c ＝|cd |＝－cd ． 【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2 )(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）． 12．比较大小：－721_________－3 41 ．【提示】27＝28，43＝48． 【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－ 28 1 与－48 1的大小． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 【答案】40． 【点评】 1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0． 15．x ，y 分别为8－ 11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．
二次根式培优习题
《二次根式》复习 班级: 姓名: 一、 二次根式的有关概念 1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数a ≥0. 2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 例:二次根式 b a x x ++22,40,2,30,12,2 1 中,是最简二次根式的有____________________ ________. 下列各式中是最简二次根式的是 ( ) (A )a 18 (B ) 2 x (C )22n m + (D )y x 2 3 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 例:下面与2是同类二次根式的是 ( ) (A )3 (B )12 (C )8 (D )12- 下列根式中与a 是同类二次根式的是 ( ) (A )a 2 (B )23a (C ) a 1 (D )4a 二、 二次根式的性质 1. 非负性：二次根式a 中被开方数a ≥0，且a ≥0. 2. () =2 a (a ≥0). 3. ==a a 2 . 三、 二次根式的运算 1. 乘法公式: =?b a (a ≥0,b ≥0). 2. 积的算术平方根: =ab (a ≥0,b ≥0). (a ≥0) (a ﹤0)
3. 除法公式: == ÷b a b a (a ≥0,b ﹥0). 4. 商的算术平方根: =b a (a ≥0,b ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并. 四、 典例研习 【例1】 x 取怎样的数时,下列二次根式有意义? ； . 【变式探究】 1. 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 . 2.使式子x -4无意义的x 的取值是 . 3.使式子有意义的x 的取值范围是 . 4.能使式子 x x -+ -412有意义的x 的取值范围是 . 5.若()0312 =++-+y y x ,则y x -的值为______________. 6. ()2 11y x x x +=---,则y x -的值为 ( ) (A )1- (B )1 (C )2 (D )3 【例2】若a <1,化简 ()112 --a 等于 ( ) (A )2-a (B )a -2 (C )a (D )a - 【变式探究】 7.计算: ( ) =+-32 32 =+3 . 8.已知a 数学二次根式的专项培优练习题(含答案
数学二次根式的专项培优练习题(含答案 一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A ．916916+=+ B ．2222-= C ．() 2 23 6 = D ． 1515533 == 2．若3x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3 B ．x ＞－3 C ．x≥－3 D ．x≤－3 3．下列各式中，正确的是（ ） A ．42=± B ．822-= C ． () 2 33-=- D ．342= 4．要使2020x -有意义，x 的取值范围是（ ） A ．x≥2020 B ．x≤2020 C ．x> 2020 D ．x< 2020 5．下列各式中正确的是（ ） A ．36＝±6 B ．2(2)2--=- C ．8＝4 D ．2(7)-＝7 6．下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A ． 1 2 B ．7 C ．4 D ．48 7．已知( )( ) 4 4 2 2 0,24,180x y x y x y x y >+=++-=、.则xy=（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）. A ．2xy B ． 2 ab C ． 12 D ．422x x y + 9．关于代数式1 2 a a + +，有以下几种说法， ①当3a =-时，则1 2 a a ++的值为-4. ②若1 2 a a + +值为2，则3a =. ③若2a >-，则1 2 a a + +存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（ ） A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 10．若a 、b 、c 为有理数，且等式 成立，则2a ＋999b ＋1001c 的 值是（ ） A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．不能确定
培优专题：二次根式
二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式，其中0 a≥。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0 a≥，由此我们判断下列式子有意义的条件： 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出： (0) a a =≥，在此我们可将其拓展为： a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () （1）、根据二次根式的这个性质进行化简： ①数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简 2a ②化简求值： 1 a a= 1 5 ③已知， 1 3 2 m -<< ，化简2m ④______ =； ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. （2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二．二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即0 ≥ a
②二次根式a 是非负数，即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1 ＜x ≤3 例2（1）化简x x -+-11＝_______． (2) x ＋y )2，则x －y 的值为( ) (A)－1． (B)1． (C)2． (D)3． 例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 （1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四，拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。 （2）若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 （3 a ，小数部分为 b ，求a 2+b 2 的值。 （4）若________a a b a b ==是的小数部分，则。 5a a b -（的整数部分为a ，小数部分为b ，求的值。 2、巧变已知，求多项式的值。 32351 x x x x = +-+（1）、若的值。
(完整版)二次根式培优题
二次根式培优题 1. 若02=+a a ，则a 的取值范围是___________. 2. 若代数式1681222+-++-x x x x 的结果是5-2x ，则x 的取值范围是__________. 3. 已知ABC ?的边长为c b a 、、(c b a 、、为整数),且满足04412=+-+-b b a ，求ABC ?的周长。 4. 若x 满足23)31(2x x --=-，则x 的整数解的个数有_____个. 5. 在实数范围内分解因式： (1) 32-a ; (2)742-a ; (3))0,0(2>>++y x y xy x . 6. 已知实数a 满足()a a a =-+ -2 20072006，那么 2006-a 的值是_______. 7. 若m 满足等式 y x y x m y x m y x --?+-=-++--+19919932253， 试确定m 的值。 8. 要使代数式2 113----x x 有意义，实数x 的取值范围是 _______________. 9. 比较大小：25 , 32 , 23---. 10.化简： (1) )0(48342>+-y y y ;(2)()( )()02 2 2222 >--+ab b a b a (2) 161213b - ; (4)2 3322-; (5)b a 3--; (6) )0(12122>>+-b a b ab a a ;(7)32416++?. 11.把下列各式中根号外的因式移到根式内： (1) x y xy -; (2)a a --?-11)1(. 12.计算：(1)3232245-;(2)3 612-;(3))5131(15-÷ (3)()( ) 2012 2011 2 323-? +;(4)? ?? ? ? ?-?÷7225283212; (5) ()( ) ( )( ) 131 32 13132 2 +--++ - (6) ( )( ) 6326 32+ --+ (7) b a b a ab a b a a a +----;(8) ( )() 2 33623346++++ 13.等式3 223 22+=成立吗？8 3 38 33+=呢？由此可猜想 出的规律请用字母n(n 为大于1的自然数)的等式表示并验证. 14. 若0,0>>b a ，且有)5(3)(b a b b a a +=+，求ab b a ab b a + -++32的值。 15. 已知,347,347-=+=y x 求x y y x +的值。 16. 若523,253-=--=+y x y x ，求xy 的值。 17. 已知,1,2=-=+ab b a 求a b b a +的值。 18. 设t t t t y t t t t x -+++=++-+= 11,11，当t 为何值时，代数式22204120y xy x ++的值为2001？ 20.是否存在正整数)(b a b a <、,使其满足1404=+b a ？ 若存在，试求出a,b 的值；若不存在，请说明理由。 21. 化简： 15 106232+++ +. 22.计算：3232++-
最新二次根式化简练习题含答案(培优)
基础巩固： 1、二次根式的性质 ①二次根式.a中被开方数一定是非负数，并且二次根式a_0 ; ②(柘 f =a(a^0)； a(a 色0) ③+'a = |a| = 0(a = 0) -a(a 乞0) 2、最简二次根式与同类二次根式： 一个二次根式满足被开方数不含有分母，且不含有能开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根式(simplest quadratic radical ). 几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式. 3、移因式到根号内、外的方法： ①把根号外的数移到根号内：当根号外的数是负数时，把负号留在根号外面，然后把这个数的平方移到根号内，即 a.b二- a2b (a<0)；当根号外的数是正 数时，直接把它平方后移到根号内，即 b = a 2b (a>0); ②把根号内的数移到根号外：当根号内的数是正数时，直接开方移到根号外，即a2b二a b (a>0)；当根号内的数是负数时，开方移到根号外后要添上负号，即,a2b = -a b (a<0). 4、a2与 a $的联系与区别 ①存，(需2都是非负数； a(a 色0) ②Q a j =a(a 王0)，M a2=|a| = 0(a = 0)结果不同； —a(a 兰0) ③、.a中a的取值范围是a 一0，a2中a的取值范围是全体实数.
练习： 1、有这样一类题目：将詐±2扁化简，如果你能找到两个数m n, 使m2 且mn = . b ,则将将变成m+n2士2mn,即变成(m± n)2开方, 从而使得a二2 .. b化简. 请根据提示化简下列根式： (1) Q-2.6 ⑵.4 23 2、数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 3、计算: _ 1 0.25 2 2 -3 厂一j.-3 2 2什気一』2 ° 4、已知m是2的小数部分，则.m2-2m ■ 1的值是(). 5、对任意不相等的两个数a、b,定义一种运算※如下：b二'a+ b a - b 则代※4= _____ . 答案与解析：
《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)
《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式，则一定有a ≥0；当a ≥0时，必有a ≥0； 2、当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，因此有 ()a a =2；反过来，也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式； 3、()2a 表示a 2的算术平方根，因此有a a =2，a 可以是任意实数； 4、区别()a a =2和a a =2 的不同： ( 2a 中的可以取任意实数，()2a 中的a 只能是一个非负数，否则a 无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若m ＜0，则将负号留在根号外．即： x m x m 2-=(m ＜0)． （2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 6、二次根式的比较： （1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算
例1. 化简a a 1-的结果是（ ） A ．a - B ．a C ．-a - D ．-a 分析：本题是同学们在做题时常感困惑,容易糊涂的问题.很多同学觉得选项B 形式最简单, 所以选B;还有的同学觉得应有一个负号和原式对应,所以选A 或D;这些都是错误的.本 题对概念的要求是较高的,题中隐含着0a <这个条件,因此原式的结果应该是负值,并 且被开方数必须为非负值. 解：C. 理由如下: { ∵二次根式有意义的条件是1 0a -≥,即0a <， ∴原式= 211 ()()()a a a a a ---=--?-=--.故选C. 例2. 把（a －b ）－1 a － b 化成最简二次根式 解： — 例3、先化简，再求值： 11()b a b b a a b ++++，其中a=51+，b=51 -． 3、在实数范围内分解因式 例. 在实数范围内分解因式。（1）； （2） ! 4、比较数值 （1）、根式变形法 当0,0a b >>时，①如果a b >a b >a b 八年级初二数学 数学二次根式的专项培优练习题(附解析
一、选择题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（） A．9B．1 3 C．20D．7 2．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（） A．（8﹣3cm2B．（4﹣3cm2 C．（16﹣3cm2D．（﹣3）cm2 32的倒数是（） A2B． 2 2 C．2 -D． 2 2 - 4．下列各式是二次根式的是（） A3B1-C35D4 π- 5．已知：x3，y31，求x2﹣y2的值（） A．1 B．2 C3D．3 6．设a3535 +-b633633 +- 21 b a -的值为（） A621 +B621 +C621D621 7．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是 0.0133 23 )＝5；④如果点P（3－2n，1）到两坐标轴的距离相等，那么n＝1，其中假命题的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 8．以下运算错误的是（） A3535 ?=B．2222 ?=C169 +169 D23 42 a b ab b =a＞0） 9．使式子 21 2 4 x x + - x的取值范围是（） A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠2
10．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A ．3x + B ． 1 3 x - C ． 1 3 x + D ．3x - 二、填空题 11．已知2216422x x ---=，则22164x x -+-=________． 12．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……． ⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为 234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值； ⑵根据以上规律写出n a 的表达式． 13．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则 2b c +=________． 14．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 [2]=1，类似地，只需进行3次操作 后变为1的所有正整数中，最大的是________． 15．已知72 x = -，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______ 16．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.
《二次根式》培优试题及答案
《二次根式》提高测试 4. . ab 、1 . a 3b ' 次根式?…（ 3 xF b 简二次根式后再判断.［答案】". = _.［答案】—2a Ji .［点评】注意除法法则和积的算术平方根性 12a 3 质的运用. 8 . a — .. a 2 -1 的有理化因式是 (a 2 —1) . a + Ja —1 .【答案】a + 9 .当 1 o, . y — 3 > 0.当.x 1 + y — 3 = 0 时，x +1 = 0, y — 3 = 0. 1 < x v 4时，x — 4, x — 1是正数还是负数? （一）判断 题: （每小题1分，共5 分） 1. .(-2) ab = — 2 Jab . 2. )【提示】 (-2)2 =| — 2|= 2.【答案】X . = 73 + 2 = .3-2 3 - 4 .(x-1)2 = ("-1)2 .-( )【提示】 (x-1)2 = x — 1|， .3 — 2的倒数是.、3 + 2 .（ ）【提 示】 (y ［3 + 2).【答案】 X. 3. 式相等，必须x > 1?但等式左边x 可取任何数.【答案】X. (? x -1)2 =x — 1 (x > 1).两 5 . 8x ，、.. 3， （二）填空题：（每小题 9 x 2都不是最简二次根式.（ ） 9 x 2是最简二次根式.【答案】x. 6.当x 不等于零. 2分，共20分） 时，式子——1 有意义.【提示】?、x 何时有意义？ x > 0.分式何时有意义？分母 Vx -3 【答案】x > 0且X K 9 . J2 (x —1 )= X + 1的解是 ______________ .【提示】把方程整理成 ax = b 的形式后，a 、b 分别 ,2 -1， :. 2 1.［答案】x = 3+ 22 . ab -c 2d 2 a 、 b 、 c 为正数， d 为负数，化简 ----------------- J0E&c 2d 2 _ 【答案】I ab + cd .［点评】T ab = ( , ab)2 (ab >0)，二 ab — c 2d 2= ( 、. ab cd ) ( , ab - cd ). —— 尸.［提示】2空7 = J 28，4^3 = v 48 . 4”3 10?方程 是多少？ 11.已知 1 12.比较大小：— ------- 2J7 .【提示】c 2 d 2 = |cd|=— cd . ）【提示】 —v a 3b 、— — f a 化成最 3 x '\ b 7?化简一 )=a 2
数学二次根式的专项培优练习题(附解析
数学二次根式的专项培优练习题(附解析 一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A = B = C = D =2．下列各式计算正确的是（ ） A B ． C =3 D ． 3．下列运算正确的是（ ） A = B ． 3 C ＝﹣2 D =4．下列各式中，正确的是（ ） A 2=± B = C 3=- D 2= 5．下列计算正确的是（ ） A = B 3= C = D ．21= 6．下列式子中，是二次根式的是( ) A B C D ．x 7．若化简的结果为2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数 B ．1≤x ≤4 C ．x ≥1 D ． x ≤4 8．已知a ( ) A ．0 B ．3 C ． D ．9 9．如果a ，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0= B ．a 1= C ．a 1≤ D ．a=0a=1或 10．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是 0.01 )＝5；④如果点P （3－2n ，1）到两坐标轴的距离相等，那 么n ＝1，其中假命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 11．若|x 2 ﹣4x+4|x+y 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9 12．230x -=成立的x 的值为（ ） A ．-2 B ．3 C ．-2或3 D ．以上都不对 二、填空题 13．使函数2 1 2y x x =+有意义的自变量x 的取值范围为_____________ 14．已知实数,x y 满足(2008x y =，则
2232332007x y x y -+--的值为______. 15．已知x=3+1，y=3-1，则x 2+xy +y 2=_____． 16．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____． 17．)230m m --≤，若整数a 满足52m a +=a =__________． 18．()()2 2 2 2 3310x y x y ++-+=，则22 2516 x y +=______. 19．已知4a 2(3)|2|a a +--=_____． 20．化简：3222＝_____． 三、解答题 21．阅读下面问题： 阅读理解： 2221(21)(21) ==++-1； 32 3232(32)(32)==++- (55252 (52)(52) = =-++-． 应用计算：（176 + （21 1n n ++（n 为正整数）的值． 归纳拓展：（3122334 989999100 + +++++ 【答案】应用计算：（17621n n + 归纳拓展：（3）9． 【分析】 由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（17-6分母利用平方差公式计算即可，（2n 1-n +（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可． 【详解】
八年级初二数学 数学二次根式的专项培优易错试卷练习题及答案
八年级初二数学 数学二次根式的专项培优易错试卷练习题及答案 一、选择题 1．若 3x - 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x > B ．3x ≥ C ．3x ≤ D ．x 是非负数 2．下列各式中，无意义的是（ ） A ．23- B ．()3 33- C ． () 2 3- D ．310- 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A ．12 B ．0.1 C ． 12 D ．21a + 4．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A ．4 B ．3 C ．12 D ．20 5．要使2020x -有意义，x 的取值范围是（ ） A ．x≥2020 B ．x≤2020 C ．x> 2020 D ．x< 2020 6．下列各式中正确的是（ ） A ．36＝±6 B ．2(2)2--=- C ．8＝4 D ．2(7)-＝7 7．对于已知三角形的三条边长分别为a ,b ,c ，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式： ()()()S p p a p b p c =---，其中2 a b c p ++= ,若一个三角形的三边长分别为2,3,4，则其面积（ ） A ．3154 B ．3152 C ．352 D ． 354 8．设,n k 为正整数，()()1314A n n = +-+，()2154A n A =++， ()3274A n A = ++，()4394A n A =++，…()1214k k A n k A -=+++，….，已知 1002005A =，则n =( ). A ．1806 B ．2005 C ．3612 D ．4011 9．已知2225152x x ---=，则222515x x -+-的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 10．下列计算不正确的是 （ ） A ．35525-= B ．236?= C 77 4= D 363693=+== 11．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A 6 B 18 C 27 D 12
人教版八年级下册数学 第16章 二次根式 专项培优训练
人教版八年级下册数学 第16章二次根式专项培优训练 一．选择题 1．已知x＝+1，y＝﹣1，则x2+2xy+y2的值为（） A．20 B．16 C．2D．4 2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≤1 B．x＜1 C．x＞1 D．x≥1 3．下列二次根式是最简二次根式的为（） A．B．C．D． 4．下列计算正确的是（） A．﹣＝ B．＝ C．＝ D．﹣＝6 5．已知﹣1＜a＜0，化简的结果为（） A．2a B．﹣2a C．﹣ D． 6．化简，结果是（） A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．4 7．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简+|a+b|的结果为（） A．2a+b B．﹣2a﹣b C．b D．2a﹣b 8．要使有意义，x必须满足（） A．x≥﹣ B．x≤﹣ C．x为任何实数 D．x为非负数 9．若，，则x与y关系是（） A．xy＝1 B．x＞y C．x＜y D．x＝y 10．在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为192cm2的正方形，则原长方形纸片的面积为（） A．18cm2B．20cm2C．36cm2D．48cm2 二．填空题 11．已知x，y都是实数，且y＝+﹣2，则y x＝． 12．当1＜x＜2时，化简+＝．已 13．已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是． 14．知，．则代数式x2+y2﹣2xy的值为． 三．解答题 15．计算 （1）．（2）．
16．琪琪同学在作业本上做了这么一道题：“当a＝■时，试求a+的值”，其中■是被墨水弄污的，琪琪同学所求得的答案为． （1）请你计算当a＝5时，代数式a+的值； （2）是否存在数a，使得a+的值为； （3）请直接判断琪琪同学的答案是否正确． 17．已知a＝1+，b＝1﹣，求：（1）求a2﹣2a﹣1的值；（2）求a2﹣2ab+b2的值． 18．点A为数轴上的任意点，若将点A表示的数乘以﹣1，再把所得数对应的点向右平移2个单位长度，得到点A的对应点A'． （1）若点A表示的数是﹣2，则点A′表示的数x＝； （2）若点A′表示的数是+2，则点A表示的数y＝； （3）在（1），（2）的条件下，求代数式﹣（y+）的值． 19．人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦﹣秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝， 那么这个三角形的面积S＝．如图，在△ABC中，a＝8，b＝4，c＝6． （1）求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，BC边上的高为h3，求h1+h2+h3的值．
八年级初二数学数学二次根式的专项培优易错试卷练习题及答案
一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A ．()2 22a b a b -=- B ．()3 22x x 8x ÷=+ C ．1a a a a ÷? = D 4=- 2．下列运算错误的是（ ） A = B ．= C ． ) 2 16 = D ． ) 2 23= 3 ．化简 ） A B C D 4．关于代数式1 2 a a + +，有以下几种说法， ①当3a =-时，则1 2 a a ++的值为-4. ②若1 2 a a + + 值为2，则a = ③若2a >-，则1 2 a a ++存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（ ） A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 5．如果关于x 的不等式组0,2 223 x m x x -?>???-?-<-??的解集为2x >则符合条件的所有整数m 的个数是（ ）． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 6．x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1 B ．x >1 C ．x ≤1 D ．x <1 7．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 8．使式子21 4 x -x 的取值范围是（ ） A ．x≥﹣2 B ．x ＞﹣2 C ．x ＞﹣2，且x ≠2 D ．x≥﹣2，且x ≠2
9．下列属于最简二次根式的是( ) A ．8 B ．5 C ．4 D ． 13 10．下列各式计算正确的是（ ） A ． () 2 3 3= B ． () 2 55-=± C ．523-= D ．3223-= 二、填空题 11．设42-的整数部分为 a,小数部分为 b.则1 a b - = __________________________. 12．已知() 2 117932x x x y ---+ -=-，则2x ﹣18y 2＝_____． 13．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2 2b a b + -﹣|a +b |的结果是 _____． 14．观察下列等式： 第1个等式：a 12112=+， 第2个等式：a 23223 =+， 第3个等式：a 332 +3， 第4个等式：a 45225 =+， … 按上述规律,回答以下问题： (1)请写出第n 个等式：a n =__________. (2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________ 15．甲容器中装有浓度为a 40kg ，乙容器中装有浓度为b 90kg ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________． 16．)230m m --≤，若整数a 满足52m a +=a =__________． 17．若2x ﹣3x 2﹣x=_____． 18．( 623÷=________________ . 19．把1 a -
中考数学数学二次根式的专项培优练习题(及答案
一、选择题 1．下列运算中，正确的是 ( ) A ．53－23=3 B ．22×32=6 C ．33÷3=3 D ．23＋32=55 2．下列各式计算正确的是（ ） A ．6 23 212 6()b a b a b a ---?= B ．（3xy ）2÷（xy ）=3xy C ．23a a a += D ．2x ?3x 5=6x 6 3．下列运算中，正确的是( ) A ．1333?? + ? ?? =3 B ．(12-7)÷3=-1 C ．32÷ 1 22 =2 D ．(2+3)×3=63+ 4．对于已知三角形的三条边长分别为a ,b ,c ，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式： ()()()S p p a p b p c =---，其中2 a b c p ++= ,若一个三角形的三边长分别为2,3,4，则其面积（ ） A ．3154 B ．3152 C ．352 D ． 354 5．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）. A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 6．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： 23(23)(23) 74323(23)(23) +++==+--+3535+-3535x =+-3535+>-，故0x >，由 22(3535)35352(35)(35)2x =+-=-+-=，解得2x 35352+-=32 63363332 -++结果为（ ） A ．536+B ．56+ C ．56 D ．536- 7．下列计算正确的是（ ）
A ． B C ． D ．3+ 8．a 的值是（ ） A ．2 B ．-1 C ．3 D ．-1或3 9．下列运算正确的是（ ） A = B 2= C = D 9= 10．下列根式中是最简二次根式的是（ ） A B C D 二、填空题 11．2==________． 12．设a ﹣b=2b ﹣c=2a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____． 13．已知 x = ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______ 14．若6x ，小数部分为y ，则(2x y 的值是___. 15．已知|a ﹣2007=a ，则a ﹣20072的值是_____． 16．若a 、b 为实数，且b +4，则a+b ＝_____． 17_____． 18．化简：＝_____． 19．如果0xy >． 20．已知2x =243x x --的值为_______． 三、解答题 21．先阅读材料，再回答问题： 因为 ) 1 11=1 =；因为1=，所以 =1== （1 = ，= ； （2 ???+的值． 【答案】（12）9 【分析】
二次根式培优专题(一)
二次根式培优专题 （一） 一、基础知识回顾 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1 ）2a =（a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． 0,0)a b =≥≥0,0)a b =>≥ （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 二、精典考题 类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围） 1、下列各式中，不是二次根式的是（ ） A ． 2、二次根式4 122--x x 有意义时的x 的取值范围是 。 3、已知： 122+--++=x x y ，则2001)(y x += 。 类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简） 4、代数式243x --的最大值是 。 5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简1a -= 。 6、把34-的根号外的因式移到根号内得 ；625-的平方根是 。 （图1） a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）；
八年级数学二次根式提高题常考题与培优题含解析
二次根式提高题与常考题型压轴题(含解析) 一．选择题（共13小题） 1．二次根式中x的取值范围是（） A．x＞3 B．x≤3且x≠0 C．x≤3 D．x＜3且x≠0 2．计算：﹣，正确的是（） A．4 B．C．2 D． 3．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2． A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣2 4．若1＜x＜2，则的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 5．下列计算正确的是（） A．=2B．= C．=x D．=x 6．下列各式变形中，正确的是（） A．x2?x3=x6B．=|x| C．（x2﹣）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣）2+ 7．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（） A． B．C． D． 8．化简+﹣的结果为（） A．0 B．2 C．﹣2D．2 9．已知，ab＞0，化简二次根式a的正确结果是（） A．B． C．﹣D．﹣
10．设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则 ﹣的值为（） A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++1 11．把中根号外面的因式移到根号内的结果是（） A． B．C．D． 12．如果=2a﹣1，那么（） A．a B．a≤C．a D．a≥ 13．已知：a=，b=，则a与b的关系是（） A．ab=1 B．a+b=0 C．a﹣b=0 D．a2=b2 二．填空题（共17小题） 14．如果代数式有意义，那么x的取值范围为． 15．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为． 16．计算：=． 17．观察下列等式： 第1个等式：a1==﹣1， 第2个等式：a2==﹣， 第3个等式：a3==2﹣， 第4个等式：a4==﹣2， 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第n个等式：a n=； （2）a1+a2+a3+…+a n=． 18．计算2﹣的结果是． 19．计算（+）（﹣）的结果等于．
二次根式培优练习题
二次根式培优练习题 一．选择题（共14小题） 1．使代数式有意义的自变量x的取值范围是（） A．x≥3 B．x＞3且x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x＞3 2．若=3﹣a，则a与3的大小关系是（） A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3 3．如果等式（x+1）0=1和=2﹣3x同时成立，那么需要的条件是（） A．x≠﹣1 B．x＜且x≠﹣1 C．x≤或x≠1 D．x≤且x≠﹣1 4．若ab＜0，则代数式可化简为（） A．a B．a C．﹣a D．﹣a 5．已知xy＜0，则化简后为（）A．B．C．D． 6．如果实数a、b满足，那么点（a，b）在（） A．第一象限B．第二象限C．第二象限或坐标轴上D．第四象限或坐标轴上 7．化简二次根式，结果正确的是（）A．B．C．D． 8．若a+=0成立，则a的取值范围是（）A．a≥0 B．a＞0 C．a≤0 D．a＜0 9．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②×=1，③÷=﹣b，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③ 10．下列各式中正确的是（）A．B．=±3 C．（﹣）2=4 D．3﹣=2 11．在二次根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．若是一个实数，则满足这个条件的a的值有（） A．0个 B．1个 C．3个 D．无数个 13．当a＜0时，化简的结果是（）A． B．C．D． 14．下列计算正确的是（）A．
B．C．D． 二．填空题（共13小题） 15．二次根式与的和是一个二次根式，则正整数a的最小值为；其和为． 16．已知a、b满足=a﹣b+1，则ab的值为． 17．已知|a﹣2007|+=a，则a﹣20072的值是． 18．如果的值是一个整数，且是大于1的数，那么满足条件的最小的整数a=． 19．已知mn=5，m+n=．20．已知a＜0，那么|﹣2a|可化简为．21．计算：的结果为． 22．若最简二次根式与﹣是同类二次根式，则x=． 23．若，则x=；若x2=（﹣3）2，则x=；若（x﹣1）2=16，x=．24．化简a的最后结果为． 25．观察分析，探求出规律，然后填空：，2，，2，，，…，（第n个数）．26．把根号外的因式移到根号内：=﹣ 27．若a是的小数部分，则a（a+6）=． 三．解答题（共7小题） 28．阅读下列解题过程： ====﹣2； ===． 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出式子=； （2）观察上面的解题过程，请直接写出式子=； （3）利用上面所提供的解法，请求 ++++…+的值．
