初二数学《二次根式》竞赛培优精选题 含解析

所以
=
=1998×1999﹣1
=3994001．
故选：A．
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【点评】此题考查了二次根式的化简求值，考查了换元的思想，本题 的技巧性比较强，要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点，同 时注意利用凑项的方法构造满足公式的特征，以及注意二次根式的 化简公式 =|a|的运用．
2．计算：
11 ． 设 M= +
+
6+┉+1993﹣1994，则
+┉+ =﹣ ．
， N=1 ﹣ 2+3 ﹣ 4+5 ﹣
【分析】首先将 M 式中各个分式进行分母有理化，再求出 N 式的值， 代入代数式求值即可解答．
【解答】解：将 M 分母有理化可得 M=（ ﹣1）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）= ﹣1．
所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．
4．
A．
B．
的值是（ ）
C．1
D．
【分析】认真观察式子的特点，总结规律，可发现
，
，
，据此作答．
【解答】解：由题意可知第 k 项是
∴原式=（
+
+
=1﹣ =1﹣ = ．
故选：B．
【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是审清题意，找准规律
答题．
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定要先化简再代入求值．也考查了阅读理解能力．
17．若 u、v 满足 v=
，则 u2﹣uv+v2=
．
【分析】根号里面的式子大于等于 0，从而可得 从而能得出 u 和 v 的值，继而可得出答案．
【解答】解：由题意得： ≥0，﹣ ≥0， 从而 =0，2u﹣v=0，u= v， 又 v= ， ∴u= ， ∴u2﹣uv+v2= ．
递性解题．
10．方程
的解是 x= 2011
【分析】将各分式中的分母有理化，再通分，注意观察抵消规律．
【解答】解：原方程化为： + + +…+
=，
通分得 = ，
解得 x=2011． 故答案为：2011． 【点评】本题考查了二次根式的化简在解方程中的运用．关键是将各
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分式的分母有理化，寻找抵消规律．
若 S1+S2+S3+…+Sn＞10，则 n 的最小值为
．
10．方程
的解是 x=
11 ． 设 M= +
+
6+┉+1993﹣1994，则
+┉+
=
．
， N=1 ﹣ 2+3 ﹣ 4+5 ﹣
12．计算：
=
（其中 a＞0）
13．
的值为
．
14．已知：对于正整数 n，有 满足
，若某个正整数 k
，则 k=
．
15．若 n 为整数，且
把互为相反数的项结合，可使运算简便． 【解答】解：∵
∴
+
，
即 1﹣
，
∴
，
解得 k=8． 故答案为：8． 【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．
的形式， ，
15．若 n 为整数，且
是自然数，则 n= ﹣14 或﹣7 或﹣2 或 5 ．
【分析】设
=p，再把等式两边同时乘以 4，利用平方差公式把
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等式左边化为两个因式积的形式，列出关于 p、n 的方程组，求出 n
的值即可．
【解答】解：∵设
=p（P 为非负整数），则 n2+9n+30=p2，
∴4n2+36n+120=4p2，
∴（2n+9）2+39=4p2，
∴（2p+2n+9）（2p﹣2n﹣9）=39，
∴
或
或
或
，
解得 或 或 或 ，
N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994=（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+┉+ （1993﹣1994）=﹣1×997=﹣997，
∴ = =﹣ ． 故答案为﹣ ．
【点评】本题主要考查分母有理化的方法，正确选择两个二次根式， 使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
12．计算：
= 4 （其中 a＞0）
二次根式竞赛培优题（含解析）
一．选择题（共 5 小题）
1．计算：
=（ ）
A．3994001
2．计算：
B．3994002
C．3994003
D．3994000
=（ ）
A．
B．
3．
C．
D．
的结果是（ ）
A．
B．
4．
C．
D．
的值是（ ）
A．
B．
C．1
D．
5．在
这 1000 个二次根式中，与 是同类二
次根式的个数共有（ ）
方公式化简，接着三项合并后提取 2a，整体再利用完全平方公式化 简，从而得到被开方数为一个数的完全平方，利用化简公式 =|a|
及 a 大于 0 即可得到最后结果．
【解答】解：设 1998=a，
则 1997×1998×1999×2000+1
=（a﹣1）a（a+1）（a+2）+1 =a4+2a3+a2﹣a2﹣a2﹣2a+1 =a2（a+1）2﹣2a（a+1）+1 =[a（a+1）﹣1]2，
A．
B．
=（ ）
C．
D．
【分析】根据每个加数的特点，推出一般规律为
，
将所得式子化简，分别取 n=1，2，3，…，40，寻找抵消规律，得
出结论． 【解答】解：∵
=（
பைடு நூலகம்
）
=（
）
=（ =（
） ﹣）
∴分别取 n=1，2，3，…，40 得 原式= [（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）] = （1﹣ ）= ．
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≥0，﹣
≥0，
故答案为 ． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，注意掌握根号里面的式子
大于等于 0 这个知识点比较关键．
18．已知 a 为实数，且 与 都是整数，则 a 的值是
或
．
【分析】由 是正整数可得，a 是含﹣2 的代数式；再由 是整 数，可得化简后为﹣2 的代数式 分母有理化后，是 1 或﹣1，据此
【分析】仔细观察会发现有以下规律：第 1 项加上第 8 项等于 1，第 2 项加上第 7 项等于 1，依此类推最后求得的结果 4．
【解答】解：第一项与最后一项相加得：
+
，
第 12页（共 26页）
=
+
，
=
，
=1， 同理可得：第二项与倒数第二项的和也是 1；第三项与倒数第三项的和
也是 1； 所以原式=1+1+1+1=4． 故应填：4． 【点评】本题考查了二次根式的加减运算，同时也考查了学生的逻辑
故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，观察式子的特点，得出一
般规律，将一般规律化简代值，再观察抵消规律是解题的关键．
第 6页（共 26页）
3．
A．
B．
的结果是（ ）
C．
D．
【分析】把每个加数分母有理化，然后通分计算即可． 【解答】解：
=（
）
=
．
故选：D．
【点评】主要考查二次根式的分母有理化．主要利用了平方差公式，
思维能力，是一道不错的规律型问题．
13．
的值为 1998999.5 ．
【分析】本题涉及数字大且数字之间有联系，可用换元法解题，设 k=2000，将所求算式转化为关于 k 的算式，将被开方数配成完全平 方式，开平方，再将 k 的值代入即可．
【解答】解：设 k=2000， 原式= =
=
=
第 13页（共 26页）
是自然数，则 n=
．
16．如果
，并且 表示为 时的值，即
，
第 2页（共 26页）
表示当
时的值，即
，那么
的值为
．
17．若 u、v 满足 v=
，则 u2﹣uv+v2=
．
18．已知 a 为实数，且 与 都是整数，则 a 的值是
．
19 ． 使 得
+
+
=1 的一组正整数（a，b，c）
为：
．
20．计算
﹣20062 的结果是
．
21．设
=
．
22．若
，
，则 x6+y6 的值是
．
23．当
时，
的值为
．
24．已知，
，则 k=
．
第 3页（共 26页）
25．当 1≤x≤2 时，经化简 26．计算
等于
．
=
．
27．已知 x= ，那么
+1 的值是
．
28．化简：
，得到
．
29．
三．解答题（共 1 小题）
30．计算：
（1）
；
（2）
（3）
；
（4）
．
=
．
；
第 4页（共 26页）
二次根式竞赛培优题（含解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 5 小题） 1．计算：
A．3994001 B．3994002
=（ ） C．3994003 D．3994000