八年级数学二次根式提高培优复习过程
人教版八年级数学(下册)导学案：第16章《二次根式》复习总结提升(无答案)
二次根式总结提升【本章知识框架】【教学过程】类型之一确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围根据二次根式的定义，式子a中，被开方数a必须是非负数，即a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围．例1x为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？(1)13x＋2；(2)x2＋2；(3)x＋1x－2；(4)x＋53－x.[归纳总结] 在确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围时，常常从以下三个方面来考虑：①被开方数大于或等于0；②分母不等于0；③零次幂的底数不能为0.针对训练1．要使3－x＋12x－1有意义，则x应满足()A.12≤x≤3 B．x≤3且x≠12C.12<x<3 D.12<x≤32．若y＝2x－2015＋2015－2x－1，则2x＝______，y＝______.类型之二二次根式性质的应用对于形如a2的二次根式的化简，用公式a2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a（a≥0），－a（a<0）.例2计算：－2x×x2.[归纳总结] 在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先要判断字母的符号．对于形如a2的式子的化简，首先应化成|a|的形式，再根据a的取值进行计算．针对训练3．已知x<1，则化简x2－2x＋1的结果是()A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．1－x4．实数a，b在数轴上的位置如图16－T－1所示，那么化简|a－b|－a2的结果是()图16-T-1A．2a－b B．b C．－b D．－2a＋b类型之三二次根式的非负性的应用由a≥0，b≥0且a＋b＝0得到a＝b＝0，这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一．这类题目的一般形式有如下几种：x＋y＝0；x＋|y|＝0；x＋y2＋|z|＝0等．例3已知△ABC的三边a，b，c满足(a－5)2＋b－5＋|c－1－2|＝0，则△ABC为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[归纳总结] 在一个方程里有几个未知数，需利用非负数的性质确定各未知数的大小．针对训练5．若实数a，b满足|a＋2|＋b－4＝0，则a2b＝________．6．若a2－3a＋1＋b2＋2b＋1＝0，则a2＋1a2－||b＝________．类型之四 二次根式的混合运算二次根式混合运算的顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．实数运算中的运算律(分配律、结合律、交换律等)，所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)在二次根式的运算中仍然适用．例4 计算：(1)3220×(－15)÷⎝⎛⎭⎫－1348； (2)18－92－3＋63＋(3－2)0＋（1－2）2.例5 计算：(－3)0－27＋||1－2＋13＋2.针对训练7．化简：3(2－3)－24－︱6－3︱＝________.类型之五 与二次根式有关的化简求值将包含二次根式的代数式化简求值时，可以先把原式化简后再代入求值，也可以把已知式子适当变形，整体代入求值．例6 先化简，再求值：a 2－b 2a ÷⎝⎛⎭⎫2ab －b 2a －a ，其中a ＝1＋2，b ＝1－ 2.[归纳总结] 分式的化简离不开因式分解，将分式的分子、分母分别分解因式，便于约分与通分．在分式的混合运算中常常将分式的除法转化为乘法运算．针对训练8．已知x ＝2－10，试求代数式x 2－4x －6的值．类型之六 二次根式在实际生活中的应用与二次根式有关的实际生活的应用题主要表现在两个方面：一是用二次根式或含二次根式的式子表示未知量，二是通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简．例7 如图16－T －2，Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1 cm /s 的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2 cm /s 的速度向点C 移动(△ABC 的边足够长)．问：几秒后△PBQ 的面积为35 cm 2？(结果用最简二次根式表示)图16－T －2[归纳总结] 本题将直角三角形的边长用含有t 的式子表示出来，然后利用直角三角形的面积解决．本题的易错点是求三角形的面积时忘记除以2.针对训练9．根据爱因斯坦的相对论，当地面上经过1秒钟时，宇宙飞船内只经过1－⎝⎛⎭⎫v c 2秒，公式内的v 是指宇宙飞船的速度，c 是指光速(约30万千米/秒)．假定有一对亲兄弟，哥哥23岁，弟弟20岁，哥哥乘着以光速0.98倍的速度飞行的宇宙飞船在宇宙旅行5年后回来了，这个5年是指地面上的5年，所以弟弟的年龄为25岁，可是哥哥的年龄在这段时间里只长了一岁，只有24岁，就这样，宇宙旅行后弟弟比哥哥反而大了1岁，请你用以上公式验证一下这个结论．学习二次根式六注意1．注意被开方数是非负数因为任何实数的平方都大于或等于零，所以二次根式的被开方数也应大于或等于零．例1已知1－x2y3有意义，试求x，y的取值范围．2．注意合并被开方数相同的二次根式例2计算：2 2＋27－8－31 3.3．注意化去分母中的根号例3化简：12－1＋23＋1.4．注意乘法公式的巧妙运用例4已知m＝1＋2，n＝1－2，求代数式m2＋n2－3mn的值．5．注意运算顺序例5计算：（1－3）2－24×12＋12－3.6．注意隐含条件的挖掘例6把(a－b)－1a－b化成最简二次根式，正确的结果是()A.b－aB.a－b C．－a－b D．－b－a练习1．下列四个数中，是负数的是()A.||－2B．(－2)2 C．－ 2 D.（－2）22．若x<0，则x－x2x的结果是()A．0 B．－2 C．0或－2 D．23．若最简二次根式524x2＋1与(x＋1)6x2－1能合并，则x的值为()A．1 B．0 C．－1 D．1或－14.5－12________12(填“>” “<”或“＝”)．5．化简：18＋2－12＋1－418.。
初二数学培优学案4二次根式及其化简
（1） （ <0）；（2） ；
（3） （ > ）；（4） （ <7）
3.最简根式 与 能是同类根式吗？若能，求出 、 的值；若不能，请说明理由。
五、二次根式的混合运算
混合运算法则：
练习：1.已知m，n是有理数，且 ，求m，n的值。
2.化简：（1）
A. -1 B.1 C. ±1 D. 2n+1
5.求χ的值：
6.（1）
（2）
（3）
7.若 和 互为相反数，求 的值。
二、平方根有一重非负性：被开方数非负
1.平方根的定义：如果一个数的平方等于 ，那么这个数就叫做 的平方根。
即 ， 叫做 的平方根。
2.平方根的性质：⑴表示：正数 的平方根用 表示， 叫做正平方根，也称为算术平方根， 叫做 的负平方根。
练习：1. _______; 的平方根是
2.如果 有意义，则x可以取的最小整数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
3.
4.判断下列说法是否正确
（1） 的算术平方根是-3；（2） 的平方根是±15.
（3）当x=0或2时， （4） 是分数
5.已知 ，求x的个位数字。
6.已知实数 。
7.化简
四、最简二次根式
（a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
（三）练习
1.当x= _________时， 有意义；
2.若 ，则x=_________；若 ，则n= ________。
3.若 ，则x= __________； 若 ，则x =__________；
4.若n为正整数，则 等于（ ）
初二上数学培优讲义三AB二次根式单元复习与巩固及勾股定理提高训练
初二上数学培优讲义三A-B-二次根式单元复习与巩固及勾股定理提高训练初二上数学培优讲义三 B 二次根式单元复习与巩固及勾股定理提高训练一、基础知识梳理：1．二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式。
2．二次根式的性质：(1)=2)(a （a≥0）；(2)a0(a≥0)；(3)⎪⎩⎪⎨⎧<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a3．二次根式的乘除：(1)计算：{⎪⎩⎪⎨⎧>≥=≥≥=⋅)0,0___()0,0___(b a b ab a b a 除法运算：乘法运算： (2)化简：⎪⎩⎪⎨⎧>≥=≥≥=⋅)0,0___()0,0___(b a b ab a b a4．二次根式的加减：(1)法则： . (2)概念：⎩⎨⎧同类二次根式：最简二次根式：.2.1 二、考点与题型训练：（一）考点一：二次根式的概念与性质经典训练 【例1】填空题：（1）()23-的平方根是 ；16的算术平方根是 ；25-的算术平方根是 ；38的立方根是 。
（2）若x21-有意义，则x ；若321-x 有意义，则x 。
（3）若x -2有意义，则()22x -＝ 。
（4）若a ＜0，则a a -2＝ ；若b ＜0，化简ba b ab a 32+＝ 。
巩固练习： 1、式子1313--=--x xx x 成立的条件是（ ）A 、x ≥3B 、x ≤1C 、1≤x ≤3D 、1＜x ≤32、下列等式不成立的是（ ） A 、()aa =2B 、aa =2 C 、33aa -=- D 、a aa -=-13、若x ＜2，化简()xx -+-322的正确结果是（ ）A 、－1B 、1C 、52-xD 、x 25- 4、式子3ax --（a ＞0）化简的结果是（ ） A 、axx - B 、axx-- C 、axxD 、axx-（5）若2=+m m ，则m ；若()13312-=-a a ，则a；若12-=aa ，则a ；若()111--+x 有意义，则x 的取值范围是 ；（二）考点二、同类二次根式与二次根式的化简： 【例2】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？213，75，–11116，3，x 2x y，332xy ，x 33，13x 3y【例3】计算 ： (1)(212–1575)–(0.8–127) (2)43–118+13–7198巩固练习：计算： (1)1210·(315–56)(2)(x 3y –3xy+xy 3)÷xy(3) 12–3÷(2+3) (4)(26–5)(2+3)2（三）．考点三、思想方法： 1.整体思想：利用平方差公式找有理化因式化简【例4】化简下列各式：(1)m –n m –n (m>0,n>0)(2)a+b+2ab a+b –a b –b a ab(a>0,b>0)2.分类思想：【例5】化简：x 2+x 2–2x+13.二次根式的非负性：【例6】(1)已知y=2x –1+1–2x+3，求x y 的值.(2)已知：△ABC 的三边长a 、b 、c ，a 、b 满足b 2+a –1+4=4b 求c 的取值范围. 跟踪训练：1、()221-的平方根是 ；8149的算术平方根是 ； 2、当a 时，23-a 无意义；322xx +-有意义的条件是 。
初二上数学培优讲义三A-B-二次根式单元复习与巩固及勾股定理提高训练
（三）．考点三、思想方法： 差公式找有理化因式化简
1.整体思想：利用平方
【 例 4 】 化 简 下 列 各 式 ： (1)m–n(m>0,n>0)
(2)
–
a + b + 2–a–b(a>0,b>0) +
2.分类思想：【例 5】化简： x2+ x2–2x + 1
4
优秀是训练出来的
初二上数学培优三 AB
.
3. 2 的相反数是
值是
.
4. 3 7 的相反数是
, 1 的立方根是 27
, 9的
, 倒数是
, -3 6 的绝对
是
。
3、如果 a 的平方根是±2，那么a ＝
。
4、把根号外的因式移到根号内： 3 a ＝
；当
b ＞0 时， b x ＝
；
x
5、若 m 0.04 ，则 2m ＝ m2
。
6、若 m ＜0，化简： 2m m ＝ m2 3 m3
。
7、 ＝ 9 45 3 1 3 2 2 52 3
；8、
＝ (5)2 2 20 ( 3 )1 3 1 0.2 3
A、 x ≥3
B、 x ≤1
C、1≤Hale Waihona Puke x ≤3D、1＜ x ≤3
2、下列等式不成立的是（ ）
A、
2
a
a
B、 a2 a
C、 3 a 3 a
D、
a 1 a a
3、若 x ＜2，化简 x 22 3 x 的正确结果是（ ）
A、－1
B、1
C、 2x 5
D、 5 2x
4、式子 ax3 （ a ＞0）化简的结果是（ ）
初二(上)知识复习提升(二次根式)教学案
二次根式（二） 姓名_________【知识储备】1、基本概念： 定义：形如a 0)(a ≥的式子叫二次根式。
→二次根式的实质是a 的算术平方根。
最简二次根式：被开方数中不含分母、被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2的不能再继续化简的二次根式叫做最简二次根式。
二次根式的运算目标就是要化为最简二次根式。
同类二次根式：化为最简后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式。
有理化因式：两个二次根式相乘，根号被去掉，这两个二次根式由无理数变为了有理数，那么这两个二次根式叫做互为有理化因式。
2、核心运算：分母有理化把分母中的根号化去，使分母由无理数变为有理数的过程叫做分母有理化。
分母有理化的关键是找准有理化因式：①分母为单项式：不管系数；②分母为多项式：要管系数（配成平方差）。
4、运算法则：（1）乘法法则：)0,0(≥≥=∙b a ab b a ; （2）除法法则： ）0,0(b a>≥=b a ba ; （3）加减法法则：二次根式的加减就是合并同类二次根式。
5、四个重要公式：①a )a (33=; ②a a 33=； ③()a a 2=; ④a a 2=。
6、常用模型：一个代数式中同时存在两个二次根式且其被开方数互为相反数，必然是“0和0”和组合。
【专题讲解】1、有理化因式：转化为和、差、积运算。
例1、设2323+-=x ，2323-+=y ，求22y x x y +。
【提示：立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+】1、已知25+=a ，25-=b ，求722++b a 的平方根。
2、已知21+=m ，21-=n ，求代数式mn n m 322-+的值。
3、计算：20132012)7574()7574(+-例2、（2014.全国初中数学竞赛初三初赛）已知6x y -=9=，则-的值是 。
练习：（2015.全国初中数学联赛初三初赛）已知2241622=---x x ，则=-+-22416x x _________。
初二数学培优学案3实数 二次根式及运算 最简二次根式
初二数学培优学案（3）-----实数 二次根式及运算 最简二次根式一、 实数（一）典型例题1. 已知22(4)0,()y x y xz -+++求的平方根。
2. a 2，小数部分为b ，求-16ab-8b 的立方根。
3. 已知m ，n 是有理数，且2)(370m n +-+=，求m ，n 的值。
4. △ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 2440b b -+=，求c 的取值范围。
（二）练习1.已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为 米。
2. 2(1)0,b -= 。
3. 已知x y y +=则= 。
4. 已知实数a 满足21999,1999a a a -+=-=则 。
5. 已知x 、y 是有理数，且x 、y 满足22323x y ++=-，则x+y= 。
6. 已知实数a 满足0,11a a a =-++=那么 。
7. 设A B =则A 、B 中数值较小的是 。
二、 二次根式及其运算（一） 典型例题例1.（1）44162+⋅-=-x x x 成立的条件是（2）x x -=-2)2(2成立的条件是（3）2121+-=+-x x x x 成立的条件是例2（1）化简： =24 . =⨯1259 . =-222129 =c b a 324 . =499 =944 =224cb a =⋅1510 . =⋅x xy 1312 =÷65321 （2）判断题：下列运算是否正确.（ ）（1）ππ-=-14.3)14.3(2 （ ）（2）767372=⨯ （ ）（3）636)9()4(94==-⨯-=-- （ ）（4）5125432516925169=⨯=⋅= （ ）（5）5.045.16= （ ）（6）73434342222=+=+=+（ ）（7）228= （ ）（8）32123= 例3. （1）)2732(3+ （2）24)654(- (3) )82(2+ (4) a a a 5)5320(+ (5) ab abb a a b ab ⋅--+)12( （6）21223222330÷⨯ （7）)23(62325b a a b b a ab b -⨯÷（二）练习计算324213-+⋅-三、 最简二次根式及有理化 什么是最简二次根式（1）被开方数因数是整数，因式是整式．（2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.方法:①单项二次根式：利用a =来确定．②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定．如: a a同类二次根式(1)定义:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
八年级数学 暑假同步讲义 第5讲 二次根式单元复习(培优讲义)
二次根式单元复习内容分析二次根式是中考中的重点内容，主要是性质的运用和二次根式的运算，其中掌握二次根式的运算是重点，理解二次根式的性质是关键．二次根式的性质包括二次根式的有理化因式和分母有理化以及最简二次根式和同类二次根式；二次根式的运算包括二次根式的加减和二次根式的乘除以及它们的混合运算．把二次根式化为最简二次根式，不仅是简明表达的需要，而且是研究那些表示形式不同但实质一样的二次根式的需要，明确了同类二次根式和有理化因式的意义，那么，实施二次根式的加减运算，归结为合并同类二次根式；实施二次根式的除法运算，归结为分母有理化，从二次根式运算的全过程来看，就是按照一定的法则，把二次根式的运算转化为类似于整式、分式的运算，体现了化归的数学思想．知识结构班假暑级年八2 / 121. 二次根式的概念代数式a （0a ≥）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数． 2. 最简二次根式的概念：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 3. 同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类 二次根式． 4. 有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．【例1】求下列各式有意义的所有x 的取值范围： （1）32x -； （2）21x x --；（3）245x x --；（4）12x x +-； （5）311x x++-．【例2】已知222112210x x y z z -++++-+=，求19971998x y z ++的值．模块一：二次根式的相关概念例题解析知识精讲【例3】已知：x 、y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+．【例4】已知1213123y x x =-+-+求代数式y y x y x y--+的值．【例5】已知实数a 满足：20162017a a a -+-=，求22016a -的值．1、二次根式的性质： 性质1()20a a a =≥；2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；性质2 ()2()0a a a =≥；知识精讲师生总结1、 二次根式有意义的条件是什么？2、 如何判断同类二次根式与最简二次根式？模块二：二次根式的性质班假暑级年八4 / 12性质3ab a b =⋅ ()0,0a b ≥≥；性质4a ab b= ()0,0a b ≥>．【例6】设a b c 、、分别是三角形三边的长，化简： 222()()()a b c b c a c b a --+-++--．【例7】化简二次根式：21b b b +-= ．【例8】 化简．（1）()()332900x y x y x y +≥，≥；（2）2322442b a a b ab a b b+++（3）()2222790a a b a +≥；（4）()3223244202y x y x y xy x y x y y -+>>-【例9】m 是2的小数部分，求2212m m +-的值．例题解析【例10】 已知：22425a b a b ++-=-，求b aa b-+-的值．【例11】已知10x x --=，求221144x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【例12】 化简：（1）9214-；（2）16415-．【例13】 已知2225152x x ---=．则222515x x -+-的值为__________．．1、二次根式的加减法实质为将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式． 2、最简二次根式的乘除法：知识精讲模块三：二次根式的运算师生总结1、 二次根式有哪些性质？班假暑级年八6 / 12（1）(0,0)a b a b a b ⋅=⋅≥≥； （2）(0,0)a aa b bb=≥>． 3、分母有理化：将分子分母同时乘以同一个适当的代数式，使分母不含根式；()()a b a b a b +-=-(0,0)a b ≥≥．4、二次根式的混合运算：实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用．【例14】 将下列式子分母有理化： （1）23102310+-；（2）2244x x x x +---； （3）221111x xx x+++-+．【例15】 计算下列各式：（1）；（2）()4442a b a ab b a b-÷++-；（3）a b bab ab a b a b ⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪++⎝⎭．11x y y x y x ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例题解析【例16】已知：1223x=-，1223y=+，求223x y xy++的值．【例17】已知：223a=-，求：2211a aaa-+-的值．【例18】已知15aa-=，求1aa-的值．【习题1】化简：随堂检测（1； （2【习题2】 化简下列各式．（1（2）2--；（3）1(102(0)3m m >；（4()370,0a m ⎛<< ⎝．【习题3】 把下列各式分母有理化： （1)a b ≠；（2；（3-．【习题4】 已知：a b ，求225a ab b -+的值．【习题5】 a=，求1x x+的值．【习题6】 化简下列各式．（1）2(a a b ÷（2÷【习题7】 x ，小数部分为y ，试求1x y y++的值= ．班假暑级年八10 / 12【习题8】 已知02x <<，化简：22442222x x xx++++-．【作业1】 已知a 、b 分别为等腰三角形的两条边长，且a 、b 满足43632b a a =+-+-，求此三角形的周长．【作业2】 计算．（1）333y x xy x y xy x y+-+；（2）11(30.54 1.5)(0.244)22+--．课后作业【作业3】 计算．（1（2）⎛ ⎝．【作业4】 计算．（1；（24-÷．【作业5】 化简求值：22222a ab b a b ++-，其中a ，b =【作业6】 化简：（1（2【作业7】已知a =．【作业8】 已知11327m n ==，+的值．【作业9】设x =，y =，n 为自然数，如果22219721993x xy y ++=成立，求n 值.。
专题一对一八年级数学二次根式培优教案学案含练习答案
2. 已知实数 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为（ ）
A．1B． C． D．
3.使代数式 有意义的x的取值范围是（ ）
A. x>3B. x≥3C. x>4D. x≥3且x≠4
4.要使式子 有意义， 的取值范围是（）
A． B． C． D．
5.函数y＝ ＋ 中自变量x的取值范围是（）
教学内容
一、 知识框架
二、知识概要
1. 二次根式的概念
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
注意：（1）二次根式必须含有二次根号“ ”.如： 、 、 等都是二次根式，虽然“ ”，但3不是二次根式，因为它不含有二次根号.
（2）二次根式的被开方数 既可以表示一个数，也可以表示一个含有字母的式子，但前提是必须保证 有意义，即 .
解：（1）（3）（4）是二次根式.
变式练习1.判断下列各式是否为二次根式?
（1） ;（2） ;（3） ;（4） .
例2当 取什么实数时，下列各式有意义？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
分析：判断带有二次根号的式子 是否有意义，就要看根号下面的被开方数是不是非负数，是非负数它就有意义，就是二次根式；不是非负数，它就没有意义，也就不是二次根式.若有分母，则分母不等于0.
参考答案：
变式练习：1.（1）∵m2≥0, ∴m2+1>0 ∴ 是二次根式.（2）∵ 2≥0, ∴ 是二次根式;（3）∵n2≥0,∴-n2≤0,∴当n=0时 才是二次根式；（4）当 -2≥0时是二次根式,当 -2<0时不是二次根式；即当 ≥2是二次根式,当 <0时不是二次根式.2.（1） ；（ 2） .3.A4.（1）1；（2） 2 .
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二次根式典型习题训练
一、概念
（一）二次根式
下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式
、1x x>0）1x y +x ≥0，y•≥0）．
（二）最简二次根式
1（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）．
A （y>0）
B y>0）
C （y>0）
D ．以上都不对
2．（x ≥0）
3．_________．
4. 已知〉xy 0，化简二次根式_________． （三）同类二次根式
1．以下二次根式：；是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④
2是同类二次根式的有______
（四） “分母有理化”与“有理化因式”
1.的有理化因式是________； _________．
_______．
2.把下列各式的分母有理化
（1
（2； （3； （4．
二、二次根式有意义的条件：
1．（1）当x
在实数范围内有意义？
（2）当x是多少时，
1
1
x+
在实数范围内有意义？
（3）当x
是多少时，
x
+x2在实数范围内有意义？
（4）当__________
2.
有意义的未知数x有（）个．
3.
A．0 B．1 C．2 D．无数
3．已知
y=
，求
x
y
的值．
4
．
5.
1
1
m+
有意义，则m的取值范围是。
6．要是下列式子有意义求字母的取值范围
（1
(2) (3) (4)
(5)
(6)
三、二次根式的非负数性
1
，求a 2004+b 2004的值．
2
，求x y 的
3.
2440y y -+=，求xy 的值。
四、⎪⎩⎪⎨⎧-==a a
a a 2
的应用
1． a ≥0 ）．
A B C D ．2．先化简再求值：当a=9时，求
甲的解答为：原式（1-a ）=1；
乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
3．若│1995-a │=a ，求a-19952的值．
4. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│
a ≥0
a ＜0
5．化简 ） A B C ． D ．
6．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．
A B C ． D ．
五、求值问题:
1. 当y 求x 2-xy+y 2的值
2..已知求a 3+2a 2-a 的值
3．计算
(1)．3231+821－5051
(2)．32()625(-÷-
(3)．)321(++(321--)
4．化简(1)．22)1()4(-+-x x (1＜x ＜4) (2)．(x+y)xy
y x xy
y x 222222++-+
(x ＜y ＜0)
5.已知：x=211
- ，求代数式3－442+-x x 的值
6．已知a =231+，求41412
2-⎪⎭⎫
⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a 的值。
7.、已知：a ，b 为实数，且2
222
2+-+-=a a a b 。
求()2
22a b a b ---+-的值。
8.. 已知2310x x -+=
六、大小的比较
1.
比较
与的大小。
2.
的大小。
七、其他
1
= ）
A ．x ≥1
B ．x ≥-1
C ．-1≤x ≤1
D ．x ≥1或x ≤-1
2.
=，且x 为偶数，求（1+x
3．计算
的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4
D ．1
4.如果 , 则x 的取值范围是 。
5.如果 , 则x 的取值范围是 。
6.若
,则a 的取值范围是
7.若n 243是一个整数，则整数n 的最小值是-----。
8.已知111-的整数部分为a ，小数部分为b ，试求()()111++b a 的值
八、计算
2x =-1=-2=
观察下列等式： ①12)12)(12(121
21
-=-+-=+；②23)23)(23(23231-=-+-=
+； ③34)
34)(34(3
4341-=-+-=+；…… (1)利用你观察到的规律，化简：
11321+
(2)计算：
1031......231321211++++++++
九、 解答题
1．已知：的值。
求代数式2,211881+++
-+-=x
y y x x x y
2. 当1＜x ＜5
3.2440y y -+=，求xy 的值。
5．已知a 、b 、c 满足0235)8(2=-+-+-c b a
求：（1）a 、b 、c 的值；
（2）试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；
若不能构成三角形，请说明理由.。