高考数列与不等式压轴题(难题)

高考数列与不等式压轴题

1.

已知数列{}n a 为等差数列，且满足211n n n a a na +=-+，*n N ∈。

1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 求证：

12321

1111

...ln 2n n n n a a a a ++++++++<. 3)

当01λ<<时，设1

()2n n b a λ=-，(1)n n c a λ=-，数列1n n b c ??????

的前n

项和为n T ，求证：

91

43

n n T n ->

+。

2.

（2013?蓟县一模）已知数列{}n a 中，11a =，*12311

23()2

n n n a a a na a n N +++++???+=

∈ 1) 求数列{}n a 的通项n a ； 2) 求数列2

{}n n

a 的前n 项和n T ；

3) 若存在*

n N ∈，使得(1)n

a n λ≥+成立，求实数λ的取值范围．

3.

（2010?无锡模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S

，数列是公比为2的等比数列．

1) 证明：数列{}n a 成等比数列的充要条件是13a =；

2) 设*5(1)()n n

n b n a n N =--∈，若1n n b b +<对*n N ∈恒成立，求1a 的取值范围．

4.

已知数列{}n a 中，2

2(a a a =+为常数），n S 是{}n a 的前n 项和，且n S 是n na 与na 的等差中项．

1) 求数列{}n a 的通项公式；

2) 设数列{}n b 是首项为1，公比为2

3

-

的等比数列，n T 是{}n b 的前n 项和，问是否存在常数a ，使1012n a T ?<恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．

5.

已知数列{}n a 满足11a =，2*123()1

n n n n a a m

a n N a +++=∈+。

1) 若恒有1n n a a +≥，求m 的取值范围．

2) 在31m -≤<时，证明：

121111

11112

n

n a a a ++???+≥-+++

3) 设正项数列{}n a 的通项n a 满足条件：*()

10()n

n n a na n N +-=∈，求证：1

02

n a ≤≤

。

6.

（2012?资阳二模）已知数列{}n a 的前

n

项和为

n

S ，

11a =，且12n n

na S +=，数列{}n b 满足

212+1

1n n n

b a a -=

?，数列{}n b 的前n 项和为n T （其中*

n N ∈）．

1) 求n a 和n T ；

2) 若对任意的*

n N ∈，不等式8(1)n n

T n λ<+--恒成立，求实数λ的取值范围。

7.

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1

1a =，(1)n n S na n n =--，*n N ∈，令1

1

n n n b a a +=

?，且数列

{}n b 的前项和为n T ．

1) 求证：数列{}n a 为等差数列，并写出n a 关于n 的表达式； 2) 若不等式8

5

n

n T λ+<

（λ为常数）对任意正整数n 均成立，求λ的取值范围； 3) 是否存在正整数,m n （1m n <<），使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不

存在，请说明理由．

8.

已知函数

()2ln m

f x x x x

=-

-在定义域是单调函数，'()f x 是函数()f x 的导函数． 1) 求实数m 的取值范围；

2) 当m 取得最小值时，数列{}n a 满足：1

3a m =+，11

'(

)11

n n n a f na a +==-++，*n N ∈。 试证：①

2n a n >+；

② 121111

(1114)

n m a a a m ++++<++++ 9.

若数列{}n a 满足2

2

1n n

a a d

+-=，其中d 为常数，则称数列{}n a 为等方差数列．已知等方差数列{}n a 满足

0n a >，151,3a a ==。

1) 求数列{}n a 的通项公式． 2) 求数列2

1

{()}2

n n a ?的前n 项和。 3) 记2n

n b na =，则当实数k 大于4时，不等式n kb 大于(4)4n k -+能否对于一切的*

n N ∈恒成立？请

说明理由

10. （2011?河池模拟）已知正项数列{}n a 满足：1

1a =，且2211(1)n n n n n a na a a +++=-，*

n N ∈

(I) 求数列{}n a 的通项公式；

(II) 设数列1

{}n a 的前n 项积为n T ，求证：当0x >时，对任意的正整数n 都有n n x

x T e

>。

11. （2012?江苏三模）已知数列{}n a 满足1

2a =，且对任意*n N ∈，恒有12(1)n n na n a +=+。

1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 设区间1

[,]33(1)

n n a a n n ++中的整数个数为n b ，求数列{}n b 的通项公式．

12. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1

1a =，(1)n n S na n n =--，*n N ∈，令1

1n n n b a a +=

?，且数列

{}n b 的前项和为n T 。

1) 求证：数列{}n a 为等差数列，并写出n a 关于n 的表达式； 2) 若不等式8

5

n

n T λ+<

（λ为常数）对任意正整数n 均成立，求λ的取值范围； 3) 是否存在正整数,m n （1m n <<），使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不

存在，请说明理由。

13. 已知数列{}n a 满足1

21,(3a a λλλ==<≠且-2)，且*216()n n n a a a n N ++=+∈。

1) 证明：数列1{2}n n a a ++与数列1{3}n n a a +-都是等比数列； 2) 若*1

()n n a a n N +>∈恒成立，求λ的取值范围．

14. 已知数列{}n a 中，

11a =，0n a >，1n a +是函数321111

()(1)3222

n n f x x a x a x =

+--?的极小值点．（2013?烟台二模）

1) 证明数列{}n a 为等比数列，并求出通项公式n a ； 2) 设2

n

n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：16

9

n S <

。

15. 已知数列{}n a 满足1

0a =，22a =，且对任意*,m n N ∈都有22121122()m n m n a a a m n --+-+=+-

1) 求35,a a 2) 设2121n n n b a a +-=-（*n N ∈），求{}n b 的通项公式；

3) 设1

1

n

n c a +=

，n S 为数列{}n c 的前n 项和，若存在n 使n S M >，求M 的取值范围．

16. 已知函数

32()(,,)f x ax bx cx a b c R =++∈

1) 若函数

()f x 过点(1,2)-且在点(1,(1))f 处的切线方程为20y +=，求函数()f x 的解析式；

2) 当1a =时，若2(1)1,1(1)3f f -≤-≤-≤≤，试求(2)f 的取值范围；

3) [1,1]x ?∈-，都有|'()|1f x ≤，试求实数a 的最大值，并求a 取得最大值时，函数()f x 的解析式。