高考压轴题瓶颈系列—浙江卷数列50例
浙江省普通高校招生学考科目考试2021年高考数学高考数学压轴题 数列多选题分类精编附答案
浙江省普通高校招生学考科目考试2021年高考数学高考数学压轴题 数列多选题分类精编附答案一、数列多选题1．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 【答案】BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.2．已知数列{}n a 的首项1a m =且满足()()14751221nn a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，其中n *∈N ，则下列说法中正确的是（ ）A ．当1m =时，有3n n a a +=恒成立B ．当21m =时，有47n n a a ++=恒成立C ．当27m =时，有108111n n a a ++=恒成立D ．当()2km k N *=∈时，有2n kn k aa +++=恒成立【答案】AC 【分析】题设中的递推关系等价为1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，根据首项可找到{}n a 的局部周期性，从而可得正确的选项. 【详解】因为()()14751221nna a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，故1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，当1m =即11a =时，24a =，32a =，41a =，故{}n a 为周期数列且3n n a a +=，故A 正确.当21m =即121a =时，264a =，同理416a =，58a =，64a =，72a =，81a =，故58a a ≠，故B 错误.当2k m =即12ka =时，根据等比数列的通项公式可有11222k kk a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，+1+21,4k k a a ==，+32k a =， +1+3k k a a ≠，故D 错误.对于C ，当27m =时，数列{}n a 的前108项依次为：27,82,42,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484242,121,364,182,91,274，， 137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780， 890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319，958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734， 1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650， 325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16，故1098a =，1104a =，1112a =，1121a =，1134a =， 所以109112n n a a ++=对任意1n ≥总成立.（备注：因为本题为多选题，因此根据A 正确，BD 错误可判断出C 必定正确，可无需罗列出前108项） 故选：AC. 【点睛】方法点睛：对于复杂的递推关系，我们应该将其化简为相对简单的递推关系，对于数列局部周期性的研究，应该从特殊情况中总结出一般规律，另外，对于多选题，可以用排除法来确定可选项.3．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a << B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥【答案】ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b <又22234b b b <=，即2122b b =<， 所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-，当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时假设当n=k时，21)2k k ->21)k k ->， 则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.4．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，201920212020S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ） A ．20200a >B ．20210a <C ．2019202020212022a a a a ⋅>⋅D ．2019n =时，n T 取得最大值【答案】ABC 【分析】根据题设条件，得到2021202020212020201920200,0S S a S S a -=<-=>，进而求得201920220a a >->，20192020a a >20212022a a ，再结合“裂项法”求得12121112n n n T d a a a a ++⎫⎛=-⎪⎝⎭，结合0d <，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为201920212020S S S <<，可得2021202020210S S a -=<，2020201920200S S a -=>，20212019S S -=202120200a a +>，即202020210a a >->，202020210a d a d ->-->，即201920220a a >->， 所以20192020a a >20212022a a ，0d <，即数列{}n a 递减， 且10a >，20a >，…，20200a >，20210a <，又由12n n n n b a a a ++=，可得1211n n n n b a a a ++==1121112n n n n d a a a a +++⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则122323341121211111111122n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a +++⎛⎫⎛=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪⎝⎝⎭121n n a a ++⎫⎪⎭，由0d <，要使n T 取最大值，则121211n n a a a a ++⎛⎫-⎪⎝⎭取得最小值， 显然1210n n a a ++>，而23a a >34201920202021202220222023a a a a a a a a >⋅⋅⋅>><<⋅⋅⋅， 所以当2020n =时，121211n n a a a a ++⎛⎫-⎪⎝⎭取得最小值. 综上可得，正确的选项为ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项n a 和n S 的关系式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．20202020a = B ．()12n n n S += C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-< 【答案】ABD 【分析】可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12n n n S +=得出n a n =，代入212n n n n a b a a ++=中可得()112n b n n =++.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明1334n T n ≤-<.【详解】 由题意得，12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立，∴ ()12n n n S +=，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()211111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 又n T n -随着n 的增加而增加， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，C 错误，D 正确， 故选：ABD. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．6．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．6016a =B ．18128S =C ．2122k k k a -+=D ．2221kk k S k +=-- 【答案】AC 【分析】对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()12k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C由C 得到9552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得22k kS +，即前k 组数之和18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21222k k k S k ++=--结论计算即可.【详解】A.由题可将数列分组第一组：02 第二组：012,2, 第三组：0122,2,2,则前k 组一共有12++…()12k k k ++=个数 第k 组第k 个数即12k -，故2122k k k a -+=，C 对又()10101552+=，故9552a = 又()11111662+=， 60a 则为第11组第5个数第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故460216a ==，A 对对于D. 每一组的和为0122++ (1)2122121k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221k k k k k k +-+-=-=---21222k k k S k ++=--故D 错. 对于B.由D 可知，615252S =--()551152+=，()661212+=01261815222252764S S =+++=--+=故B 错 故选：AC 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．7．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的几个命题，其中正确的有（ ） A ．数列{}n a 递增B ．n S 为{}n a 的前n 项和,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列C ．若n a n =，n S 为{}n a 的前n 项和，且n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，则0cD ．若70a =，n S 为{}n a 的前n 项和，则方程0n S =有唯一的根13n = 【答案】ABD 【分析】选项A. 由题意10n n a a d +-=>可判断；选项B.先求出112n S n a d n -=+⨯，根据1012n n S S dn n +-=>+可判断；选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则0c 或1c =时n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列可判断；选项D.由1602n n S dn -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭可判断. 【详解】选项A. 由题意10n n a a d +-=>，则1n n a a +>，所以数列{}n a 递增，故A 正确. 选项B. ()112n n n S na d -=+⨯,则112n S n a d n -=+⨯ 所以1012n n S S d n n +-=>+，则11n n S S n n +>+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列. 故B 正确. 选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则()()12n n n S n c n c =+++当0c时，12+n S n c n =+为等差数列. 当1c =时，2n S n c n=+为等差数列.所以选项C 不正确.选项D. 70a =,即7160a a d =+=，则16a d =- 又()()1111660222n n n n n n S na d dn d dn ---⎛⎫=+⨯=-+⨯=--= ⎪⎝⎭ 由0,0d n >>，所以1602n --=，得13n =，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的判定和单调性的单调，解答本题的关键是利用等差数列的定义和前n 项和公式进行判断，求出162n n S dn -⎛⎫=-+⎪⎝⎭，从而判断，属于中档题.8．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n a a +-=，21n n n b a nb ⋅+=，且11a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，则下列结论正确的有（ ）A ．m +∃∈N ，55m m a a a +=+B ．n +∀∈N ，33314n a n +≥ C ．m +∃∈N ，16m b = D ．n +∀∈N ，113n S ≤<【答案】BD 【分析】用累加法得到222n n n a -+=，代入21n n n b a nb ⋅+=，得11212n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，代入5m a +5m a a =+求出m 可判断A ；代入33n a n+求最值可判断B ； 令1121612m b m m ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭解出m 可判断C ；裂项相消后可求出n S 的范围可判断D. 【详解】因为1n n n a a +-=，所以211a a -= 322a a -=11(2)n n n a a n -=-≥-以上各式累加得1121(1)2n a a n n n =+++-=--，所以(1)12n n n a -=+，当1n =时，11a =成立， 所以2(1)2122n n n n a n --+=+=，由21n n n b a nb ⋅+=，得112112(1)1222(1)(2)12n n b a n n n n n n n n ⎛⎫====- ⎪+++++⎝-+⎭+，对于A ，()()5254922122m a m m m m ++++++==，25(1)5(51)2411222m a a m m m m -⨯--+=+++=+ ， 当55m m a a a +=+时，222492222m m m m -+++=，得15m +=∉N ，A 错误； 对于B，(1)1(13333343411)22222n n n n a n n n n n ++==+=+-≥--+， 当且仅当268n =取等号，因为n +∀∈N ，所以8n =时，8333184a +=， 所以B 正确；对于C，令1121612mbm m⎛⎫=-=⎪++⎝⎭得，215308m m++=，解得532m+-±=∉N，所以C错误；对于D，n+∀∈N，1231111112233412nS b b bn n⎛⎫=+++=-+-++-⎪++⎝⎭112211222n n⎛⎫=-=-<⎪++⎝⎭，可以看出n S是关于n递增的，所以1n=时有最小值13，所以113nS≤<，D正确.故选：BD.【点睛】本题考查了由递推数列求通项公式、裂项相消求数列和，关键点是用累加法求出n a，然后代入求出n b，考查了学生的推理能力、计算能力.9．将2n个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中0m>).已知112a=，13611a a=+，记这2n个数的和为S.下列结论正确的有（）A．3m=B．18181103354kkia=⨯+=∑C．(31)3ijja i=-⨯D．()1(31)314nS n n=+-【答案】ABD【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a，列式即可求出m，从而求出通项ija，进而可得ii a，根据错位相减法可求得181kkia=∑，再按照分组求和法，每一行求和可得S，由此可以判断各选项的真假．【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去），A 正确； ∴()()11113213313j j j ij i a a i m i ---⎡⎤=⋅=+-⨯⋅=-⋅⎣⎦，C 错误； ∴()1313i ii a i -=-⋅， 0171811223318182353533S a a a a =+++⋯+=⨯+⨯+⋯+⨯① 12181832353533S =⨯+⨯+⋯+⨯②,①-②化简计算可得：1818103354S ⨯+=,B 正确； S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn ) ()()()11211131313131313n n n n a a a ---=+++--- ()()231131.22n n n +-=- ()1=(31)314n n n +-，D 正确； 故选：ABD.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值【答案】AC【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-. 所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况： （1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定； （2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；。
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分)已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34a =-时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na =+*,ab ∈N ，求223a b -的值.四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。
(1)设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；(2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；(3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．已知函数l (n )f x x =.（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln2f x f x +>-； （Ⅱ）若34ln2a <-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018年高考数学江苏卷：(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围；(Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N ,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).七、2017年高考数学上海卷：（本小题满分18分）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ≤. （1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，g()x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g()x 的最大值.函数()()()h x f x g x =.证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.八、2017年高考数学浙江卷：(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈. 证明：当*N n ∈时， (I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤； (III )1-21122n n n x -≤≤.高考压轴题答案一、2019年上海卷： 解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．当120,3a d π==，集合22S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭． （2）12a π=，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．∴④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，S =⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．二、2019年浙江卷：解：（1）当34a =-时，()3ln 4f x x =-()0,∞+，且：()3'4f x x =-==， 因此函数()f x 的单调递增区间是12ω=,单调递减区间是()0,3.（2）由1(1)2f a ≤，得04a ＜当0a ＜()f x 2ln 0x -≥，令1t a=，则t ≥设()22ln g t t x =，t ≥则2()2ln g t t x=-，（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()(22)2ln g x g x =，记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p x x '===∴p(x)≥p(1)=0，∴g(t)≥g(2√2)=2p(x)≥0（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q x'=+>，故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()f x ≤综上所述，所求的a 的取值范围是⎛ ⎝⎦．三、2019年江苏卷：解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．四、2018年上海卷：解：（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+， 则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈， 可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列， 可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =， 可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，， M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（）， ①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈，可得11101n n b b n n +-=->+， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意； ④若2d-，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+，11111n n n a b a +++-+， 可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．五、2018年浙江卷：解：（Ⅰ）函数()f x的导函数1()f x x'=-， 由12()()f x f x ''=1211x x -=-， 因为12x x ≠12+=．= 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x ++=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=，所以()g x 在[256,)+∞上单调递增， 故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-． （Ⅱ）令()e a k m -+=，211a n k ⎛+⎫=+ ⎪⎝⎭，则 ()?0f m km a a k k a -->+-≥，(0)f n kn a a n k n ⎫----<⎪⎭<， 所以，存在0(,)x m n ∈）使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点． 由()f x kx a =+得k =．设()h x =，则22ln 1()12()x a g x a h x x x +--+'==，其中()ln g x x =-． 由（Ⅰ）可知()(16)g x g ≥，又34ln2a -≤，故–11613420g x a g a ln a -+-+=-++（）≤（）-≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在（0，+∞）上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018江苏卷：解：（Ⅰ）由题意得||1n n a b -≤对任意1,2,3,4n =均成立 故当10a =，121q b ==时可得|01|1|2|1|24|1|38|1d d d -⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≤≤≤≤即1335227532d d d ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤所以7532d ≤≤（Ⅱ）因为110a b =>，1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…均能成立把n a ，n b 代入可得1111|(1)|(2,3,1n b n d b q b n m -+--=+≤…,) 化简后可得11111112(22)(222)0(2,3,1)111n n n m b q b b b q n n n m n n n ----=-+=-+=+---≤…, 因为q ∈，所以122n m -≤，22(2,3,1)n n m -=+≤…,而110(2,3,,11nb q n m n->=+-…） 所以存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立 当1m =时，112)b d ≤当2m ≥时，设111n n b q c n -=-，则111111(1)(2,3,)1(1)n n n n n b q b q q n q c c b q n m nn n n --+---=-==--… 设()(1)f n q n q =--，因为10q ->，所以()f n 单调递增，又因为q ∈所以11()(1)(1)2(1)2111m m m f m q m q m m m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫=----=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭≤ 设111,0,2x x x m m ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，且设1()21x g x x =+-，那么'21()2ln 2(1)x g x x =-- 因为2ln 22ln 2x ≤，214(1)x -≥所以'21(x)2ln 20(1)x g x =-<-在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即()f x 单调递增。
浙江省历年高考数列大题总汇(题目及答案)
浙江省历年高考数列大题总汇（题目及答案）1已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f?(x)?6x?2。
数列项和为Sn，点(n,Sn)(n?N 求数列*?an?的前n)均在函数y?f(x)的图像上。
?an?的通项公式；m3*，Tn是数列?bn?的前n项和,求使得Tn?对所有n?N都成立的最小20anan?1设bn正整数m。
?2. 己知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．求数列{an}的通项公式；设Tn为数列?小值． 3. 设数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1，a2?6，a3?11，且?1?*对?n?N恒成立，求实数?的最?的前n项和，若Tn≤?an?1¨?anan?1?(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B，n?1,2,3,?，其中A、B 为常数．(Ⅰ) 求A与B的值；(Ⅱ)证明数列?an?为等差数列；(Ⅲ) 证明不等式5amn?aman?1对任何正整数m、n都成立． 4. 已知数列?an?，?bn?满足a1?3，anbn?2，bn?1?an(bn?求证：数列{2)，n?N*．1?an1}是等差数列，并求数列?bn?的通项公式；bn111，，成等差数列？若存在，试用p 表示q，r；若不crcqcp设数列?cn?满足cn?2an?5，对于任意给定的正整数p，是否存在正整数q，r(p?q?r)，使得存在，说明理． 5. 已知函数f(x)?x?a?lnx (a?0). (1)若a?1，求f(x)的单调区间及f(x)的最小值；(2)若a?0,求f(x)的单调区间；ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)*?2???2与(3)试比较的大小(n?N且n?2),并证明22(n?1)23n你的结论.6已知f(x)?(x?1)2,g(x)?10(x?1)，数列{an}满足(an?1?an)g(an)?f(an)?0，9(n?2)(an?1) 10a1?2，bn?求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求数列{bn}中最大项.7. 设k?R，函数f(x)?ex?(1?x?kx2)(x?0).若k?1，试求函数f(x)的导函数f?(x)的极小值；若对任意的t?0，存在s?0，使得当x?(0，s)时，都有取值范围. f(x)?tx2，求实数k的8. 已知等差数列{an}的公差不为零，且a3 =5, a1 , 成等比数列(I)求数列{an}的通项公式：(II)若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2nbn=an且数列{bn}的前n项和Tn 试比较Tn与-1 3n?1的大小n?19. 已知函数f(x)?12x?(2a?2)x?(2a?1)lnx 2(I )求f(x)的单调区间；(II)对任意的a?[,],x1,x2?[1,2]，恒有|f(x1)|?f(x2)??|数?的取值范围. 352211?|，求正实x1x2 1. 解：依题意可设f(x)?ax2?bx(a?0),则f`(x)?2ax?b f`(x)?6x?2 得a?3,b??2,所以f(x)?3x2?2x. 又点(n,Sn)(n?N*) 均在函数y?f(x)的图像上得Sn22?3n2?2n 当n?2时an?Sn?Sn?1?3n?2n???3(n?1)?2(n?1)???6n ?5 当n?1时a1所以an?S1?3?12?2?1?6?1?5 ?6n?5(n?N*)?33111??(?), anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?26n?56n?1得bn 故，Tn?111?11111??(1?). =(1?)?(?)?????(?)??26n?12?77136n?56n?1 ?1m11m,即m?10 (1?)?(n?N*)成立的m必须且必须满足?22026n?120因此使得故满足最小的正整数m为10 ?4a1?6d?142. 设公差为d.已知得?....................................3分2?(a1?2d)?a1(a1?6d)解得d?1或d?0(舍去），所以a1?2,故an?n?1 (6)分?1111???，anan?1(n?1)(n?2)n?1n?211n1111?? (9)分?Tn?????…?n?1n?22(n?2)2334n≤?(n+ 2)对?n?N?恒成立?Tn≤?an?1对?n?N?恒成立，即2(n?2)n111?≤?又242(n?2)2(n??4)2(4?4)16n1∴?的最小值为……………………………………………………………12分163. 解：(Ⅰ)a1?1，a2?6，a3?11，得S1?1，S2?2，S3?18．把n?1,2分别代入(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B，得?解得，A??20，B??8．(Ⅱ)(Ⅰ)知，5n(Sn?1?Sn)?8Sn?1?2Sn??20n?8，即?A?B??28, 2A?B??48?5nan?1?8Sn?1?2Sn??20n?8，①又5(n?1)an?2?8Sn?2?2Sn?1??20(n?1)?8．②②-①得，5(n?1)an?2?5nan?1?8an?2?2an?1??20，即(5n?3)an?2?(5n?2)an?1??20．又(5n?2)an?3?(5n?7)an?2??20．③④④-③得，(5n?2)(an?3?2an?2?an?1)?0，∴an?3?2an?2?an?1?0，∴an?3?an?2?an?2?an?1???a3?a2?5，又a2?a1?5，因此，数列?an?是首项为1，公差为5的等差数列．(Ⅲ)(Ⅱ)知，an?5n?4,(n?N?)．考虑5amn?5(5mn?4)?25mn?20．(aman?1)2?aman?2aman?1?aman?am?an?1?25mn?15(m?n)?9．∴5amn?(aman?1)2厖15(m?n)?2915?2?29?1?0．即5amn?(aman?1)2，∴5amn?aman?1．因此，5amn?aman?1． 4. 因为anbn?2，所以an?2，bn42anb2bn4则bn?1?anbn?， (2)分?2?n?2??21?anbn?2bn?21?bn所以111??，bn?1bn2又a1?3，所以b1?即?1?231，故??是首项为，公差为的等差数列，……4分322?bn?131n?22??(n?1)??，所以bn?．………………………6分bn222n?2知an?n?2，所以cn?2an?5?2n?1，①当p?1时，cp?c1?1，cq?2q?1，cr?2r?1，若12111?1?，，成等差数列，则，2q?12r?1crcqcp21?1，1??1，2q?12r?1因为p?q?r，所以q≥2，r≥3，所以不成立．………………………...9分②当p≥2时，若则111，，成等差数列，crcqcp2111214p?2q?1?????，所以，2q?12p?12r?12r?12q?12p?1(2p?1)(2q?1)( 2p?1)(2q?1)2pq?p?2q，所以r?，...........................12分4p?2q?14p?2q?1222即2r?1?欲满足题设条件，只需q?2p?1，此时r?4p?5p?2，..................14分因为p≥2，所以q?2p?1?p，r?q?4p?7p?3?4(p?1)?p?1?0，即r?q．..............................15分综上所述，当p?1时，不存在q，r满足题设条件；当p≥2时，存在q?2p?1，r?4p?5p?2，满足题设条件． (16)分 5. (1) 当x?1时,f(x)?x?1?lnx ，f(x)?1?,,21?(x)在?1,???上是递增. x1?(x)在?0,1?上是递减. x故a?1时, f(x)的增区间为?1,???,减区间为?0,1?,f(x)min?f(1)?0. ………4分当0?x?1时,f(x)?x?1?lnx,f(x)??1?(2)○1若a?1, 当x?a时,f(x)?x?a?lnx,f(x)?1?是递增的; 当0?x?a时,f(x)?a?x?lnx, f(x)??1?,, 1x?1??0,则f(x)在区间?a,???上xx1?0,则f(x)在区间?0,a?上是递x减的 (6)分2若0?a?1, ○当x?a时, f(x)?x?a?lnx, f(x)?1?,1x?1,?,x?1,f(x)?0 ; xxa?x?1,f,(x)?0. 则f(x)在?1,???上是递增的, f(x)在?a,1?上是递减的; 当0?x?a时,f(x)?a?x?lnx, f(x)??1?,f(x)在区间?0,a?上是递减的,而f(x)在x?a处有意义;则1?0 x f?x?在区间1,???上是递增的,在区间?0,1?上是递减的 (8)分??a,???,递减区间是?0,a?; 当0?a?1,f(x)的递增区间是?1,???,递减区间是?0,1?综上: 当a?1时, f(x)的递增区间是………9分lnx1?1? (3)(1)可知,当a?1,x?1时,有x?1?lnx?0,即xxln22ln32lnn2?2???2 则有223n?1?111111?1????1??n?1?(????)…………12分22222223n23n ?n?1?(111????2?33?4n(n?1)111111?n?1?(???????)2334nn?111(n?1)(2n?1)?n?1?(?)=2n?12(n?1)ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)?2??? 2?故：.............15分2(n?1)223n 6. 题意：(an?1?an)?10(an?1)?(an?1)2?0 ?1)(1 0an?1?9an?1)?0.........3分经化简变形得：(an?an?1,?10an?1变形得：?9an?1?0 (5)分an?1?19? an?1109为公比的等比数列。
高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ；（2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分)已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +>(Ⅰ)当34a =-时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤求a 的取值范围.注： 2.71828e =L 为自然对数的底数.设2*012(1),4,nnn x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值.四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。
(1)设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；(2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；(3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在2132201200,,,b b b b b b L ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．已知函数l (n )f x x -=.（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln2f x f x +>-；（Ⅱ）若34ln2a <-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018年高考数学江苏卷：(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列.(Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围；(Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N ,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).七、2017年高考数学上海卷：（本小题满分18分）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，g()x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g()x 的最大值.函数()()()h x f x g x =.证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.八、2017年高考数学浙江卷：(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈.证明：当*N n ∈时，(I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤；(III )1-21122n n n x -≤.高考压轴题答案一、2019年上海卷：解：（1） 等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==，集合S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭．（2）12a π= ，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴=当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，22S =⎨⎬⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件．当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件．当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3,4,5,6T =．二、2019年浙江卷：解：（1）当34a =-时，()3ln 4f x x =-+，函数的定义域为()0,∞+，且：()3'4f x x -+=-+，因此函数()f x 的单调递增区间是12ω=,单调递减区间是()0,3.（2）由1(1)2f a ≤，得04a ＜≤，当204a ＜时，()f x ，等价于2ln 0x ≥，令1t a=，则t ≥，设()22ln g t t x =--，t ≥，则2()2ln g t t x=--，（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤则()2ln g x g x =-- ，记1()ln ,7p x x x =--≥，则1()p x x '==列表讨论：x17117⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(1,)+∞()'p x ﹣0+()P x 17P ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减极小值()1P 单调递增∴p(x)≥p(1)=0，∴g(t)≥g(2√2)=2p(x)≥0（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q x'=+>，故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=-，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a≤，综上所述，所求的a 的取值范围是4⎛ ⎝⎦．三、2019年江苏卷：解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥ ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,ab ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．四、2018年上海卷：解：（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+，则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈，可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，，M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（），①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意；②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈，可得11101n n b b n n +-=->+，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意；③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意；④若2d - ，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+ ，11111n n n a b a +++-+ ，可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+ ，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．五、2018年浙江卷：解：（Ⅰ）函数()f x的导函数1()f x x'=-，由12()()f x f x ''=1211x x -，因为12x x ≠，所以12+=．=+．因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=-+-=．设()ln g x x =-，则1()4)4g x x'=-，所以()g x 在[256,)+∞上单调递增，故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-．（Ⅱ）令()e a k m -+=，211a n k ⎛+⎫=+ ⎪⎝⎭，则()–0f m km a a k k a -->+-≥，(0)f n kn a a n k n ⎫----<⎪⎭<，所以，存在0(,)x m n ∈）使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点．由()f x kx a =+得k =．设ln ()x x a h x x --=，则22ln 1()12()x a g x a h x x x --+--+'==，其中()ln 2x g x x =-．由（Ⅰ）可知()(16)g x g ≥，又34ln2a -≤，故–11613420g x a g a ln a -+-+=-++（）≤（）-≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在（0，+∞）上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018江苏卷：解：（Ⅰ）由题意得||1n n a b -≤对任意1,2,3,4n =均成立故当10a =，121q b ==时可得|01|1|2|1|24|1|38|1d d d -⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≤≤≤≤即1335227532d d d ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤所以7532d ≤≤（Ⅱ）因为110a b =>，1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…均能成立把n a ，n b 代入可得1111|(1)|(2,3,1n b n d b q b n m -+--=+ ≤…,)化简后可得11111112(22)(222)0(2,3,1)111n n n m b q b b b q n n n m n n n ----=-+=-+=+--- ≤…,因为q ∈，所以122n m -≤，22(2,3,1)n n m -=+≤…,而110(2,3,,11n b q n m n ->=+- …）所以存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立当1m =时，112)b d ≤当2m ≥时，设111n n b q c n -=- ，则111111(1)(2,3,)1(1)n n n n n b q b q q n q c c b q n m n n n n --+---=-==-- …设()(1)f n q n q =--，因为10q ->，所以()f n单调递增，又因为q ∈所以11()(1)(1)(1)2111m m f m q m q m m m m ⎛⎫ ⎪⎫=---=-- ⎪⎪-⎭ ⎪-⎝⎭ ≤设111,0,2x x x m m ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，且设1()21x g x x =+-，那么'21()2ln 2(1)x g x x =--因为2ln 2ln 2x ，214(1)x -≥所以'21(x)2ln 20(1)x g x =-<- 在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即()f x 单调递增。
浙江高考数列经典例题汇总
浙江高考数列经典例题汇总1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221Λ.若{}na 为等比数列，且.6,2231b ba +==(Ⅰ)求na 与nb ；(Ⅱ)设()*∈-=N n b a c nn n 11。
记数列{}n c 的前n 项和为n S .（i ）求nS ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有nk S S ≥．2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a=(a R ∈),设数列的前n 项和为n S，且11a ，21a ，41a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及nS（Ⅱ）记1231111...n n A S S S S =++++，212221111...n nB a a a a =++++，当2n ≥时，试比较n A 与nB 的大小.3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，22111()n n n a a a n N •+++-=∈．nn a a a S +++=Λ21)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=ΛΛ．求证：当•∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。
4. 【2007年.浙江卷.理21】（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项21,2k ka a -是关于x 的方程的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=L（Ⅰ）求1,357,,a a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的前2n 项的和2nS ；（Ⅲ）记1|sin |()(3)2sin n f n n =+，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++L 求证：*15()624n T n N ≤≤∈5. 【2005年.浙江卷.理20】设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x2＋an x ＋bn(n∈N*)，其中an ＝－2－4n －112n -，n x由以下方法得到： x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y ＝x2＋a1x ＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线nC ：y ＝x2＋an x ＋bn 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C上点的最短距离．(Ⅰ)求x2及C1的方程．(Ⅱ)证明{nx }是等差数列．6. 【2015高考浙江，理20】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2na 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）7.【2016高考浙江理数】设数列{}n a满足112n n a a +-≤，n *∈N ．（I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ． 例1．（浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考）已知数列{}n a 满足a 1=3，a n+1=a n 2+2a n ，n ∈N* ， 设b n =log 2(a n +1).（I ）求{a n }的通项公式；（II ）求证：1+<n(n≥2)；（III ）若2n c =b n ，求证：2≤1()nn nc c +<3. 例2．（浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟）正项数列{}n a 满足221132n n n n a a a a +++=+，11a =．（Ⅰ）求2a 的值；（Ⅱ）证明：对任意的n N *∈，12n n a a +≤；（Ⅲ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的n N *∈，11232n n S --≤<． 例3．（浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 满足21111,8n n a a a m +==+，(1)若数列{}n a 是常数列，求m 的值；（2）当1m >时，求证：1n n a a +<；（3）求最大的正数m ，使得4n a <对一切整数n 恒成立，并证明你的结论。
浙江省学军中学2024年高考押题金卷(全国卷Ⅰ)数学试题试卷
浙江省学军中学2024年高考押题金卷（全国卷Ⅰ）数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．22．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知圆锥的高为33体积的比值为( ) A ．53B ．329C ．43D ．2594．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．86．已知函数2()sin 3sincos444f x x x x πππ=-，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ）A ．2018B ．1009C ．1010D ．20207．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为22y x =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9 B ．5 C ．2或9D ．1或59．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±11．已知函数()sin()(0,0)3f x x πωφωφ=+><<满足()(),()12f x f x f ππ+==1，则()12f π-等于（ ）A ．-22B ．22C ．-12 D ．1212．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ） A ．25B ．1325C ．35D ．1925二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷：已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。
1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。
2.2019年高考数学浙江卷：已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\ln x+x+1$，$x>0$。
1) 当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。
3.2019年高考数学江苏卷：设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\in N^*$，已知$a_3=2a_2a_4$。
1) 求$n$的值；2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\in N^*$，求$a^2-3b^2$的值。
4.2018年高考数学上海卷：给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。
1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为：$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个数$m$；3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in N^*$，判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数，求$d$的取值范围。
【强烈推荐】数列压轴题训练50道(精华,含答案)
数列大题训练50题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++ . 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数xab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。
4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++ 的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值； （II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。
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高考压轴题瓶颈系列之——浙江卷数列【见证高考卷之特仑苏】1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b ()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +==(Ⅰ)求na 与nb ；(Ⅱ)设()*∈-=N n b a c nn n 11。
记数列{}n c 的前n 项和为n S .（i ）求nS ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥．2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a=(a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及nS（Ⅱ）记1231111...n n A S S S S =++++，212221111...n nB a a a a =++++，当2n ≥时，试比较nA 与nB 的大3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，22111()n n n a a a n N •+++-=∈．nn a a a S +++= 21)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=．求证：当•∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。
4. 【2007年.浙江卷.理21】（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项21,2k ka a -是关于x 的方程2(32)320kkx k x k -++=的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=（Ⅰ）求1,357,,a a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的前2n 项的和2nS ；（Ⅲ）记1|sin |()(3)2sin n f n n =+，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++求证：*15()624n T n N ≤≤∈5. （2015年浙江卷第20题） 2*111,()2n n n a a a a n N +==-∈ （1）求证：112nn a a +≤≤ （2）设数列2{}n a 的前n 项和为n S ，证明：*11()2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++6.【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ．（I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．【例题讲解之伊利奶粉】例1．（浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考）已知数列{}n a 满足a 1=3，2*12,n n n a a a n N +=+∈ ， 设2log (1)n n b a =+.（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求证：1111++++(2)231n n n b <≥-； （III ）若2nc n b =，求证：2≤1()nn nc c +<3.例2．（浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟）正项数列{}n a 满足221132n n n n a a a a +++=+，11a =．（Ⅰ）求2a 的值；（Ⅱ）证明：对任意的n N *∈，12nn a a +≤；（Ⅲ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的n N *∈，11232n n S --≤<．例3．（浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 满足21111,8n n a a a m +==+， (1)若数列{}n a 是常数列，求m 的值； （2）当1m >时，求证：1n n a a +<；（3）求最大的正数m ，使得4n a <对一切整数n 恒成立，并证明你的结论。
例4．（浙江省温州市2017届高三下学期返校联考）设数列{}{},n n a b 均为正项数列，其中1122,1,3a b b ===，且满足： ,11,n n n a b a ++成等比数列，,1,n n n b a b +成等差数列。
（Ⅰ）（1）证明数列是等差数列；（2）求通项公式n a ，nb 。
（Ⅱ）设1(2)n n x n a =+，数列{}n x 的前n 项和记为n S ，证明：12n S <。
例5．（浙江省台州市2017届高三上学期期末质量评估）已知数列{}n a 满足112a =，212016n n n a a a +=+，n N *∈(1) 求证1n na a +>(2) 求证20171a <(3) 若证1k a >，求证整数k 的最小值。
例6.（浙江省杭州高级中学2017届高三2月高考模拟考试）数列{}n a 定义为10a >，11a a =，2112n n na a a +=+，n N *∈ （1）若1(0)12aa a a=>+，求1210111222a a a ++⋅⋅⋅++++的值； （2）当0a >时，定义数列{}n b ，1(12)k b a k =≥，11n b +=-数,()i j i j ≤，使得2112i j b b a a +=++。
如果存在，求出一组(,)i j ，如果不存在，说明理由。
例7．（2017年浙江名校协作体高三下学期）函数4()415f x x =+，（Ⅰ）求方程()f x x =的实数解；（Ⅱ）如果数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=（n N *∈），是否存在实数c ，使得221n n a c a -<<对所有的n N *∈都成立？证明你的结论．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：1214n n a a a n <+++≤．例8．（2017年4月湖州、衢州、丽水三地教学质量检测）数列{}n a 满足112a =，2121n n n n a a a a +=-+n +∈N （）（1）证明：n n a a <+1；（2）设}{n a 的前n 项的和为n S ，证明：1n S <.例9．（2017年4月浙江金华十校联考）数列{}n a 满足11a =，11n n a a n+=n +∈N （）(1) 求证：21n n a an n +=+； (2)求证：3421111....23(1)）n n a a n a +≤+++≤+例10.（2017年4月高二期中考试）数列{}n a 满足11a =，11n n na a a +=+n +∈N （），其中1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为nS ，其中21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T (1) 求证：1n n a a +<； (2)求证：2121n n T a n +=-- (3)1n S -<<例11．（2017年4月稽阳联谊高三联考）已知数列{}n a 满足013a =，n a =n +∈N ），22n n n b a a =-， 其中{}n b 的前n 项和为n S ， (1) 求证：11n n a a -<<； (2)求证：()1022n S n n <<-≥例12．（2017年4月温州市普通高中模拟考试）已知数列{}n a 的各项都是正数，121n n na a a +=+-， 其中{}n a 的前n 项和为n S ， 若数列{}n a 为递增数列求1a 的取值范围例13：（2016浙江高考样卷20题） 已知数列{}n a 满足11a =，*11()21n n a n N a +=∈+．（Ⅰ） 证明：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为单调递减数列； （Ⅱ） 记n S 为数列{}1n n a a +-的前n 项和，证明：*5()3n S n N <∈．例14：（2016杭州市第一次模拟质量检测）已知数列{}n a 满足112a =，2*11()n n n a a a n N +=++∈．（1） 证明：13n na a +≥； （2） 证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项的和为n s ，那么3n S <例15：（2016宁波市第一次模拟质量检测）对任意正整数n,设n a 是方程21xx n+=的正根， 求证：(1) 1a a n n>+ (2) 11111112323123a a na n n++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+-例16：（2016温州市第一次模拟质量检测）数列错误!未找到引用源。
满足1102a <<，nn n a a a 611+=+ （Ⅰ） 证明：2121(N )2n n a a n -+<<∈； （Ⅱ）若113a =，求证：213214||||||(N )3n n a a a a a a n ++-+-++-<∈．（本题与例13的题型一样）例17：（2016年金华市模拟）已知数列{}n a 的首项为11a =,且141n n n a a a ++=+，()*n ∈N ． （Ⅰ）求证：21212n n a a -+<<； （Ⅱ）令212n n b a -=-，12n n S b b b =+++．求证:9171896nn S ⎡⎤⎛⎫-≤<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．例18：（2016名校联盟第一次模拟20）设数列{}n a 满足2*11,1()n n n a a a a a n N +=-=∈.（Ⅰ）若352a =，求实数a 的值； （Ⅱ）若1a =，求证：*2,)n a n n N <≥∈.例19.(2016嘉兴一模)数列{}n a 各项均为正数，112a =，且对任意的*n N ∈，有21(0)n n n a a ca c +=+>．（Ⅰ）求123111c c ca ca a ++++的值；（Ⅱ）若12016c =,是否存在*n N ∈，使得1n a >，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由． （本题就是例5，不过要判断出11,1n n a a -<>的界限）例20.（2016浙江六校联考20）已知数列{}n a 满足：114()2n n na a a +=+； （Ⅰ）若34120a =，求1a 的值； （II ）若14a =，记2n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：83n S <例21（2016丽水一模20）已知数列{}n a 满足：2*12()n n a a n N +=-∈，且11(01)a a a a=+<<．（Ⅰ）证明：1n n a a +>； （Ⅱ）若不等式112123123111112na a a a a a a a a a ++++<对任意*n N ∈都成立， 求实数a 的取值范围．例22.（2016十二校联考20）．已知各项为正的数列{}n a 满足22*11112,()233n n n a a a a n N +==+∈． （I ）证明：*101()n n a a n N +<<<∈；（II ）求证：*129()4n a a a n n N +++>-∈.例23. （2016宁波十校20）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. （Ⅰ）若1=2a ，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+.例24. (2016桐乡一模20)设函数2(),f x ax bx a b R =+∈、．若231()62x f x x --≤≤+对任意的x R ∈恒成立．数列{}n a 满足*111,()()3n n a a f a n N +==∈. （Ⅰ）确定()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：1132n a ≤<； （Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求证：14213n nS n ≥-+.例25.（2016大联考 20）.已知数列{}n a 满足2*11,n n a ca c n N +=+-∈，其中常数1(0,)2c ∈. (1)若21a a >，求1a 的取值范围；(2)若1(0,1)a ∈，求证：对任意*n N ∈，都有01n a <<；(3)若1(0,1)a ∈，设数列{}2n a 的前n 项和为n S .求证：212n S n c>--.例26.（2016宁波二模）已知数列{}n a 中，11a =，212nn n a a ta +=+.（Ⅰ）若t=0,求数列{}n a 的通项公式。