高一数学下期期末测试题.docx
高一数学(下)期末考试试卷(含详细答案)
高一数学 (下 )期末考试试卷 ( 含详细答案 )理科数学考试考前须知：1.本试卷分第 I 卷〔选择题〕和第 II 卷〔非选择题〕两局部，答卷前，考生务必将自己的XX、XX号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.答复第 I 卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.答复第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1. sin α＝4，α ∈ (0) ，那么 tan α等于( ) ．5A．4B．3C．±4D．±33 4 3 4 2. cos4sin 4等于〔〕8 8A ． 0 B．2C ． 1D ．－2 2 23．在△ABC中，a＝ 5，b＝15，A＝ 30°，那么c等于 ()A ． 2 5 B. 5 C ．25或5 D ．以上都不对4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、 b、 c，假设 a2＋b2＝ c2＋ ab，那么 C＝()A． 60°B． 120° C ． 45°D． 30°5．给出平面区域如以下图所示，其中A〔5，3〕，B〔1，1〕，C〔1，5〕，假设使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，那么a的值是〔〕A．2 B ．1 C ．2 D ．33 2 26．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S ＝ 2 ，那么边 BC的长为()△ABC 3A. 3 B ． 3 C. 7 D ． 71 / 8高一数学 (下 )期末考试试卷 ( 含详细答案 )7. 等差数列 a n 的首项 a 1 1 ，公差d 0 ，如果a 1、a 2、a 5 成等比数列，那么d 等于 〔 〕A ． 3B ．2C ．－ 2D． 2 8. 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，那么它的体积为〔 〕A ． 3 R 3B ．3 R 3 C ． 5 R 3 D． 5 R 3248 248D 1 C19. 如图长方体中， AB=AD=2 3 ， CC1= 2 ，那么二面角A1 1 B C 1— BD — C 的大小为〔 〕D C 〔 A〕 30 0 0 〔 C 〕 600 〔D 〕90 0 〔 B 〕45 A B 10. 直线 a,b,c 及平面α , β , γ , 以下命题正确的选项是〔〕A 、假设 a α， b α ,c ⊥a, c ⊥ b 那么 c ⊥ αB 、假设b α , a//b 那么 a// αC 、假设 a// α , α ∩ β=b 那么 a//bD 、假设 a ⊥ α , b ⊥ α那么a//b11．x 3y 2 0,那么3x27 y 1 的最小值是 〔 〕 A. 339B. 1 2 2C. 6D. 712. 数列 {an} 的通项公式 an = n2 +－ 11n － 12, 那么此数列的前 n 项和取最小值时，项数 n 等于 ( ) A. 10或 11 B.12C.11或 12 D.12 或 13第二卷本卷包括必考题和选考题两局部。
高一数学第二学期期末考试.doc
高一数学第二学期期末考试试卷说明:本试卷共三大题22小题,满分150分,考试时间为120分钟.不准用计算器.答案一律做在答题卷上,否则无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
请将所选答案代号填入题后的答题卡中。
1. 已知m =（4，2），n =（x ，－3），且m ∥n ，则x 的值为（ ） A ．6B ．－6C ．4D ．－42. 点A 分→-BC 所成的比为2，则下列结论正确的是 ( )。
A.点A 分→-CB 的比为2 B.点B 分→-AC 的比为32C.点C 分→-BA 的比为3D.点C 分→-AB 的比为31-3. 按向量→a 将点)3,2(-平移到点)2,1(-，则按向量→a 将点)3,2(-平移到 ( )。
A.)4,3(-B.)2,1(-C.)3,4(-D.)1,2(-4. 函数)3sin(2)(π+=kx x f 与函数)6tan(3)(π-=kx x g 的周期之和为π2，则正实数k 的 值为 ( )。
A.23B.2C.25 D.35. 已知]23,[,31sin ππ∈-=x x ，则x 等于 ( )。
A.)31arcsin(-B.31arcsin -πC.31arcsin +πD.31arcsin 2-π6. 已知平行四边形ABCD 满足条件0)()(=-⋅+→-→-→-→-AD AB AD AB ，则该四边形是 ( )。
A.矩形B.菱形C.正方形D.任意平行四边形 7. 已知向量)8,(),,2(x b x a ==→→，若||||→→→→⋅=⋅b a b a ，则x 的值是 ( )。
A.4-B.4C.0D.168. 与向量)8,6(-=→a 垂直的单位向量坐标为 （ ）A.)6,8(或)6,8(--B.)8,6(-或)8,6(-C.)53,54(或)53,54(--D.)54,53(-或)54,53(-9. 已知函数B x A y ++=)sin(ϕϖ的一部分图象如右图所示，如果2||,0,0πϕϖ<>>A ，则 （ ） A.4=A B.1=ϖC.6πϕ=D.4=B10. 角α满足条件0cos sin ,02sin <+>ααα，则α在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比为m 则m 的取值范围是（ ） A ．（1，2） B ．（2，+∞） C ．[3，+∞] D ．（3，+∞） 12．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题：(每小题4分，4个小题共计16分)13.函数426cos 5cos 1()cos 2x x f x x-+=的值域是 。
高一下学期数学期末试卷含答案(共5套)
高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]2.已知20.5log a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c b a <<3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．15,24,15,19B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）A ．15B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5y x π=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标伸长到原来的2倍．C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标缩短到原来的12倍． D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长到原来的2倍．6.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）A ．327 B ．5 C.307D ．4 8.已知函数()222cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．9.平面向量a r 与b r 的夹角为23π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2018f 等于（ ）A ．1-B ．2 C.()f x D ．111.设点E 、F 分别为直角ABC ∆的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ⋅u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9 C. 8 D ．712.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．300天B ．400天 C.600天 D ．800天第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=，则sin()2πθ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤⎧⎪+≤⎪=⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 ．16.关于x 的不等式232x ax >+（a为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3A π=，cos B =（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=︒，PC =10AP AC +=．（1）求sin ACP ∠的值；（2）若APB ∆的面积是，求AB 的长．20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n na c ab =⎧=⎨⋅≥⎩，求122018c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：经计算：615705i i i x y ==∑，6214140ii x ==∑，62110464i i y ==∑≈0.00174．其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．（2）求y 与x 的回归方程ˆˆˆ+a y bx =（ˆb 和ˆa 都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，①线性相关系数ni i u v nu vr -=∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很强的线性相关性．②其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-=-∑∑，ˆˆˆav u β=-；22.已知函数()2lg(a)1f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)xy =的图像公共点各数，并说明理由；（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)xy =-的图象上方，求实数a 的取值范围．答案一、选择题答案9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。
高一数学下学期期末试题(共4套,含答案)
{}{}{ }{ }x x ≥ 0 , ( aD ． a // a第二学期末检测高一数学试题第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合 A = {x -2 < x < 1}， B = {}，则 A U B = （）A ． x x > -2B ． x x ≥ 0C ． x 0 ≤ x < 1D ． x - 2 < x < 12. sin 750 sin15 0 + cos75 0 cos15 0 的值为（）A ．1B ． 0C ．1 2D ．323.已知直线 ax + y - 1 - a = 0 与直线 x - 1y = 0 平行，则 a 的值是（2A ．1B ． -1C ． 2D ． - 2）4.已知向量 a = (-1,2)b = 1,3)，则(A ． a ⊥ bB ． a // bC. a ⊥)( - b)( - b )5.某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000 辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200 辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如下图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于 90km / h 的约有()A ．100 辆B ． 200 辆 C. 300 辆D ． 400 辆6.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（）6，现在向该正方形区域A ． 2B ． 4 C. 8 D ．167.点 (2,0)关于直线 y = - x - 4 的对称点是（）A ． (- 4,-6)B ． (- 6,-4) C. (- 5,-7)D ． (- 7,-5)8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积是（）A ．12B ． 4 + 8 2 C. 8 + 4 2 D ． 4 + 4 29.如图，在 ∆ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD = 3DB ，点 E 在 AD 边上，且 AD = 3AE ，则用向量 C B, C A表示 CE 为()A ． CE = 1 2 4 2CB + CA B ． CE = CB + CA4 3 9 31 2 4 2C. CE = CB - CA D ． CE = CB - CA4 3 9 310.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与 中间的小正方向拼成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角α =πA．1-3,0⎪；⎛⎪的表达式可以改写为f(x)=cos π-2x⎪；⎛(12⎭且x,x∈⎢⎡π5π⎤⎥⎦，x1≠x2，则f x1+x2=(⎣126⎛⎪⎧内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）34-33B． C.D．224411.已知以下四个结论：①函数y=tan x图像的一个对称中心为π⎝2②函数y=sin x+1的最小正周期为π；⎫⎭③y=sin 2x+⎝π⎫⎛7⎫3⎭⎝6⎭④若A+B=4，则1+tan A)(+tan B)=2.其中，正确的结论是（）A．①③B．①④ C.②③D．②④12.已知函数f(x)=A s in(ωx+ϕ) A>0,ω>0,ϕ<⎝,()12π⎫，在一个周期内图像如图所示，若f(x)=f(x)，12)A．3B．2 C.-3D．-2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数f(x)=⎨x+1,x<0⎩e x,x≥0，则f(0)+f(-3)=．t 18. 已知函数 f (x )= 2 sin 2 x + ⎪, x ∈ R. ( , , （Ⅱ）说明函数 f (x )= 2 sin 2 x +⎪, x ∈ R 的图像可由正弦曲线 y = sin x 经过怎样的变化得到； - ⎪= ,α 是第二象限的角，求 s in 2α . 14.甲、乙两名运动员的 5 次测试成绩如图所示，以这 5 次测试成绩为判断依据，则甲、乙两名运动员成绩稳定性较差的是．（填“甲、乙”）15.若直线 y = k (x - 2)+ 4 与圆 x 2 + (y - 1)2 = 4 相切，则实数 k =．16.如图所示，摩天轮的半径为 40 米，点 O 距地面高度为 50 米，摩天轮做匀速运动，每 3 分钟转一圈，以点 O 为原点，过点O 且平行与地平线的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy ，设点 P 的起始位置在最低点（且在最低点开始时），设在时刻 t （分钟）时点 P 距地面的高度 h （米），则 h 与 t 的函数关系式h ( ) =．在摩天轮旋转一周内，点 P 到地面的距离不小于 70 米的时间长度为（分钟）三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知 A 1,0) B (0,1) C (2,5)，求：(Ⅰ) 2 A B + AC ；（Ⅱ） cos ∠BAC.⎛ π ⎫ ⎝4 ⎭（Ⅰ）求 f (x )的最小正周期和单调递增区间；⎛⎝π ⎫4 ⎭⎛ α π ⎫3 （Ⅲ）若 f⎝ 2 8 ⎭ 219.某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8 组数据作为研（Ⅱ）根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y=b x+a；参考公式和数据：b=∑x y-nxy∑x-nx2,a=y-b x.∑x=48,∑y=32,∑x2=356,∑x y=241.究对象，如下图所示（x（吨）为该商品进货量，y（天）为销售天数）：（Ⅰ）根据上表数据在下列网格中绘制散点图：∧∧∧（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的计算结果，若该商店准备一次性进货该商品24吨，预测需要销售天数；∧ni=1ni=1i i2i∧∧8i=1i888i i i ii=1i=1i=120.如图，在三棱柱ABC-A B C中，底面∆ABC是等边三角形，且AA⊥平面ABC,D为AB的中点，1111(Ⅰ)求证：直线BC//平面A CD；11(Ⅰ) 求证： f π - x ⎪ = f (x )；⎛ 7k （Ⅱ）若对任意的 x ∈ ⎢0,⎦⎪ 时，函数 g (x )= f 2(x )- 2mf (x )+ 1 有四个不同零点，求实数 m 的取值范围；⎛(Ⅱ) 若 AB = BB = 2, E 是 BB 的中点，求三棱锥 A - CDE 的体积；1 1121.已知圆心在原点的圆被直线 y = x + 1截得的弦长为 14.(Ⅰ) 求圆的方程；(Ⅱ) 设动直线 y = k (x -1)( ≠ 0)与圆C 交于 A, B 两点，问在 x 轴正半轴上是否存在定点 N ，使得直线AN 与直线 BN 关于 x 轴对称？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由；22.已知函数 f (x )= sin 2 x - cos 2 x .⎫ ⎝ 4 ⎭⎡ π ⎤ ⎣ 4 ⎥ ，使得 f (x )+ 2k- 1 = 0 有解，求实数 k 的取值范围；（Ⅲ）若 x ∈ 0,⎝ 5π ⎫ 8 ⎭cos ∠BAC = uuur 16.（1） h (t )= 50 - 40 cos t, ( 18.解：（Ⅰ）由 f (x ) = 2sin 2 x +4 ⎭⎪ 可知，函数的最小正周期为T = 4 ，则 y = 2 sin u 的增区间是 ⎢2k π -2 ,2k π + π ⎤() ⎦ 所以函数 f (x )的单调递增区间是 ⎢k π - 3π π ⎤ 88 ⎥⎦得到 y = sin 2 x + ⎪ 的图像，将 y = sin 2 x + ⎪ 的图像横坐标不变，纵坐标为原来的2 倍得π ⎫ 4 ⎭ f (x )= 2 sin 2 x + π ⎫⎪ 的图像，得到 y = sin x + ⎪ 的图像，将 y = sin x + ⎪ 纵坐标π ⎫ 4 ⎭ 得到 y = sin 2 x + ⎪ 的图像，将 y = sin 2 x + ⎪ 图像横坐标不变，纵坐标为原π ⎫ 4 ⎭试卷答案一、选择题1-5: ACDCC6-10: CACAA11、12： BA二、填空题13. -114.甲15.52π t , ( ≥ 0) ；（2） 1 123三、解答题17.解：（Ⅰ） AB = (-1,1) AC = 1,5),2 A B + AC = (-1,7)所以， 2 A B + AC = 5 2.（Ⅱ） AB = 2, AC = 2 6 AB ⋅ AC = 4uuur uuur AB ⋅ AC 4 3 = =AB ⋅ AC2 ⋅ 2 6 3⎛ ⎝π ⎫ 2π 2= π令 u = 2 x + π ⎡⎣ π 2 ⎥ k ∈ Z , 由 2k π - π 2 ≤ 2 x + π 4 ≤ 2k π + π 2 ，解得 k π - 3π π≤ x ≤ k π + , k ∈ Z .8 8⎡⎣, k π + k ∈ Z .（Ⅱ）将 y = sin x 和图像纵坐标不变， 横坐标为原来的 1倍得到 y = sin 2 x 的图像，将 y = sin 2 x 和图像2向左平移 π ⎛ ⎛π ⎫ 8 ⎝ ⎝ 4 ⎭到⎝ 4 ⎭或，将 y = sin x 和图像向左平移 π ⎛ ⎛π ⎫ 4 ⎝ ⎝ 4 ⎭不变，横坐标为原来的 1 ⎛ ⎛π ⎫ 2 ⎝ ⎝ 4 ⎭⎛⎪知，所以f -⎪=2sinα=⎛又α是第二象限的角，所以cosα=-1-sin2α=-1- 4⎭⨯ -4⎪⎭84(∑x∑x y∑x y-8xy241-8⨯6⨯449b==,x-8x-2=i=1i i∴a=4-49（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x=24时，y=49来的2倍得到f(x)=2sin 2x+⎝π⎫⎪的图像.4⎭（Ⅲ）由f(x)=2sin 2x+⎝所以sin2α=2sinαcosα=2⨯19.解：（Ⅰ）散点图如图所示：3⎛13⎫39⎪=-⎝⎛3⎫2⎪=-⎝134，（Ⅱ）依题意，x=1(2+3+4+5+6+8+9+11)=6,8y=11+2+3+4+5+6+8)=4,88i=12i=4+9+16+25+36+64+81+121=356,8i i=2+6+12+15+24+40+54+88=241,i=18∧∑82356-8⨯6268i=1i∧11⨯6=-,6834∧4911∴回归直线方程为y=x-.683411⨯24-≈17,6834即若一次性买进蔬菜24吨，则预计需要销售约17天.，由圆的性质可得 r 2 = d 2 + ⎪()⎩ y = k x -1)( t , ,yx - t x - tk (x - 1) t x 220.解：(Ⅰ)连接 AC 交于点 F ，1则 F 为 AC 的中点，又 D 为 AB 的中点，所以 BC // DF ，又 BC ⊄ 平面 A CD ，又 DF ⊂ 平面 A CD ，1 1111所以 BC // 平面 A CD .1 1（Ⅱ）三棱锥 A - CDE 的体积V 1A 1 -CDE= V C - A 1DE = 3 S1∆A 1DE ⋅ h ，其中点 C 到平面 ABB 1 A 1 的距离h = CD = 3 ，又 S ∆A 1DE 1 1 1 3 = 2 ⨯ 2 - ⨯1⨯ 2 - ⨯1⨯1 - ⨯1⨯ 2 = ， 2 2 2 2所以V A 1 -CDE = V C - A 1DE = 1 1 3 3S ⋅ h = ⨯ ⨯ 3 = .3 ∆A 1DE 3 2 221.解：（Ⅰ）圆心 (0,0)到直线 y = x + 1的距离 d =圆的方程为 x 2 + y 2 = 4 ；（Ⅱ） 设 N ( ,0) A (x , y ) B (x , y )，112 2⎧x 2 + y 2 = 4 由 ⎨ 得， k 2 + 1 x 2 - 2k 2 x + k 2 - 4 = 0 ,1 ⎛ 14 ⎫2⎪ = 4 ，所以，2 ⎝ 2 ⎭2k 2k 2 - 4所以 x + x =, x x =.k 2 + 1 1 2k 2 + 11 2若直线 AN 与直线 BN 关于 x 轴对称，则 KAN= - Ky1 +2 = 0 ， x - t x - t1 2k (x 1-1)()()9()t22.解：（Ⅰ） f π - x ⎪ = sin - 2 x ⎪ - cos - 2 x ⎪ = sin 2 x - cos 2 x所以， f π - x ⎪ = f (x )⎛ 72 sin 2 x -⎪ x ∈ ⎢0, ⎥,sin 2 x - ⎪ ∈ ⎢- , ⎡ π ⎤ ⎛ ⎛ ⎪ ∈ - 1,1] 4 ⎭ ⎣ 2 2⎦[（Ⅲ）令 t = f (x )，因为 x ∈0, 5π ⎫( ] t (( )⎩⇒所以当点 N 为 (4,0)时，直线 AN 与直线 BN 关于 x 轴对称；⎛ 7 ⎫ ⎛ 7π ⎫ ⎛ 7π ⎫ ⎝ 4 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭⎫⎝ 4 ⎭（Ⅱ） f (x )= sin 2 x - cos 2 x =⎝4 ⎭⎥, 2 sin 2 x -⎣ 4 ⎦ ⎝ ⎝π ⎫ [ 4 ⎭f (x )+ 2k- 1 = 0 ，即 k = f (x )+ 2 ∈ 1,3]⎛⎝ ⎪ ，所以， t ∈ - 1, 2 ， 8 ⎭函数 g (x )= f2 (x )- 2mf (x )+ 1 有四个不同零点等价于 h ( )= t 2 - 2mt + 1 在 t ∈ 0, 2 )有两个不的零点⎧∆ > 0⎪⎪0 < m < 2 由根的分布知识可得： ⎨h (0)> 0⎪ ⎪h 2 > 0，解得:1 < m < 3 4 2.广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120°D．60°2．不等式x﹣2y+4＞0表示的区域在直线x﹣2y+4=0的（）A．左上方B．左下方C．右上方D．右下方3．已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则cosα的值是（）A．﹣B．C．﹣D．4．不等式x2﹣3x﹣10＞0的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤5}B．{x|x≥5或x≤﹣2}C．{x|﹣2＜x＜5}D．{x|x＞5或x＜﹣2} 5．若sinα=﹣，α是第四象限角，则cos（A．B．C．D．6．若a，b∈R，下列命题正确的是（）+α）的值是（）A．若a＞|b|，则a2＞b2 C．若a≠|b|，则a2≠b2 7．要得到函数y=3sin（2x+B．若|a|＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则a﹣b＜0）图象，只需把函数y=3sin2x图象（）A．向左平移C．向左平移个单位B．向右平移个单位D．向右平移个单位个单位8．已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，则等于（）A．4B．3C．2D．9．若cos2α=，则sin4α+cos4α的值是（）A．B．C．D．+++10．已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是（）A．4B．2C．2D．11．已知点（n，an ）在函数y=2x﹣13的图象上，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为（）A．36B．﹣36C．6D．﹣612．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．[3，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13．若向量=（4，2），=（8，x），∥，则x的值为．14．若关于x的方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是．15．已知x，y满足16．设f（x）=sinxcosx+，则z=2x+y的最大值为．cos2x，则f（x）的单调递减区间是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{an }的前n项和为Sn，公比为q（q≠1），证明：Sn=．18．已知平面向量，满足||=1，||=2．（1）若与的夹角θ=120°，求|+|的值；（2）若（k+）⊥（k﹣），求实数k的值．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．（1）求A；（2）若a=2，b=c，求△ABC的面积．D B C D20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=Sn（n=1，2，3，…）．（1）证明：数列{（2）设bn=}是等比数列；，求数列{bn}的前n项和Tn．21．某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距km的C、两地（假设A、、、在同一平面上）测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？22．已知A，B，C为锐角△ABC的内角，=（sinA，sinBsinC），=（1，﹣2），⊥．（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求tanAtanBtanC的最小值．广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120°D．60°【考点】G2：终边相同的角．【分析】与﹣60°终边相同的角一定可以写成k×360°﹣60°的形式，k∈z，检验各个选项中的角是否满足此条件．【解答】解：与﹣60°终边相同的角一定可以写成k×360°﹣60°的形式，k∈z，令k=1可得，300°与﹣60°终边相同，故选：A．2．不等式x﹣2y+4＞0表示的区域在直线x﹣2y+4=0的（）A．左上方B．左下方C．右上方D．右下方【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，作出直线x﹣2y+4=0的图形，分析可得原点在直线右下方，将原点坐标（0，0）代入x﹣2y+4，分析即可得答案．【解答】解：根据题意，作出直线x﹣2y+4=0，分析可得：原点（0，0）在直线右下方，将原点坐标（0，0）代入x﹣2y+4可得，x﹣2y+4＞0，故不等式x﹣2y+4＞0表示的区域在直线x﹣2y+4=0的右下方；故选：D．3．已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则cosα的值是（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），∴x=﹣3，y=﹣4，r=|OP|=5，则cosα==﹣，故选：C．4．不等式x2﹣3x﹣10＞0的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤5}B．{x|x≥5或x≤﹣2}C．{x|﹣2＜x＜5}D．{x|x＞5或x＜﹣2}【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（x+2）（x﹣5）＞0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣x﹣2＞0可化为（x+2）（x﹣5）＞0，解得x＜﹣2或x＞5，∴不等式的解集是{x|x＜﹣2或x＞5}．故选：D．5．若sinα=﹣，α是第四象限角，则cos（+α）的值是（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，求得cos（+α）的值．【解答】解：∵sinα=﹣，α是第四象限角，∴cosα==，则cos（+α）=cos cosα﹣sin sinα=﹣•（﹣）=，故选：B．6．若a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞|b|，则a2＞b2 C．若a≠|b|，则a2≠b2B．若|a|＞b，则a2＞b2 D．若a＞b，则a﹣b＜0【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】根据题意，由不等式的性质易得A正确，利用特殊值法分析可得B、C、D错误，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、若a＞|b|，则有|a|＞|b|＞0，则a2＞b2，故A正确；对于B、当a=1，b=﹣2时，a2＜b2，故B错误；对于C、当a=﹣1，b=1时，满足a≠|b|，但有a2=b2，故C错误；对于D、若a＞b，则a﹣b＞0，故D错误；故选：A．7．要得到函数y=3sin（2x+）图象，只需把函数y=3sin2x图象（）A．向左平移C．向左平移个单位B．向右平移个单位D．向右平移个单位个单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数y=3sin2x图象向左平移的图象，故选：C．个单位，可得y=3sin2（x+）=3sin（2x+）8．已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，则+++等于（）A．4B．3C．2D．【考点】9A：向量的三角形法则．【分析】根据向量的三角形的法则和平行四边形的性质即可求出答案【解答】解：∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，∴=+，=+，=+，=+，∵M是平行四边形ABCD对角线的交点，∴∴=﹣++，+=﹣=+，++++++=4，故选：A9．若cos2α=，则sin4α+cos4α的值是（）A．B．C．D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式，求得sin2α和cos2α的值，可得sin4α+cos4α的值．【解答】解：∵cos2α=2cos2α﹣1=，∴cos2α=，∴sin2α=1﹣cos2α=，则sin4α+cos4α=+=，故选：A．10．已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是（）A．4B．2C．2D．【考点】3W：二次函数的性质；7F：基本不等式．【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．设一条直角边为 x ，则另一条为（4﹣x ），则根据三角形面积公式即可得到面积 S 和 x 之间的解析式，求最值即可．【解答】解：设该三角形的一条直角边为 x ，则另一条为（4﹣x ），则其面积 S= x （4﹣x ）=﹣ （x ﹣2）2+2，（x ＞0）分析可得：当 x=2 时，S 取得最大值，此时 S=2；故选：C ．11．已知点（n ，a n ）在函数 y=2x ﹣13 的图象上，则数列{a n }的前 n 项和 S n 的最小值为（ ）A ．36B ．﹣36C ．6D ．﹣6【考点】8E ：数列的求和．【分析】点（n ，a n ）在函数 y=2x ﹣13 的图象上，的 a n =2n ﹣13，a 1=﹣11，=n 2﹣12n由二次函数性质，求得 S n 的最小值【解答】解：∵点（n ，a n ）在函数 y=2x ﹣13 的图象上，则 a n =2n ﹣13，a 1=﹣11=n 2﹣12n∵n ∈N +，∴当 n=6 时，S n 取得最小值为﹣36．故选：B12．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 m ，则 m 的范围是（）A ．（1，2） B ．（2，+∞） C ．[3，+∞） D ．（3，+∞）【考点】HQ ：正弦定理的应用．【分析】设三个角分别为﹣A ，，+A ，由正弦定理可得 m= =，利用两角和差的正弦公式化为，利用单调性求出它的值域．【解答】解：钝角三角形三内角 A 、B 、C 的度数成等差数列，则 B=，A +C= ，可设三个角分别为﹣A，，+A．故m====．又＜A＜，∴＜tanA＜．令t=tanA，且＜t＜，则m=在[，]上是增函数，∴+∞＞m＞2，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13．若向量=（4，2），=（8，x），∥，则x的值为4．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（4，2），=（8，x），∥，∴，解得x=4．故答案为：4．14．若关于x的方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（0，4）．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】由二次函数的性质可知：＜△0，根据一元二次不等式的解法，即可求得m的取值范围．【解答】解：由方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则△＜0，∴m2﹣4m＜0，解得：0＜m＜4，∴实数m的取值范围（0，4），故答案为：（0，4）．15．已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为3．（【考点】7C ：简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x +y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是 A （﹣1，﹣1），B （ ， ），C （2，﹣1），在△ABC 中满足 z=2x +y 的最大值是点 C ，代入得最大值等于 3．故答案为：3．16．设 f （x ）=sinxcosx + cos 2x ，则 f （x ）的单调递减区间是 [kπ+ ，kπ+ ]， k ∈Z ） ．【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用．【分析】推导出 f （x ）=sin （2x +【解答】解：∵f （x ）=sinxcosx +==sin （2x +）+ ，∴f （x ）的单调递减区间满足：∴，k ∈Z ．）+cos 2x，由此能求出 f （x ）的单调递减区间．，k ∈Z ，∴f （x ）的单调递减区间是[kπ+，kπ+ ]，（k ∈Z ）．故答案为：[kπ+，kπ+ ]，（k ∈Z ）．三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，公比为 q （q ≠1），证明：S n =【考点】89：等比数列的前 n 项和．．【分析】由【解答】证明：因为所以qS n =所以（1﹣q ）S n =当 q ≠1 时，有 S n =，得，…，…，…，…． …，利用错位相减法能证明 S n = ．18．已知平面向量 ， 满足| |=1，| |=2．（1）若 与 的夹角 θ=120°，求| + |的值；（2）若（k + ）⊥（k ﹣ ），求实数 k 的值．【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角；9T ：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）利用两个向量数量积的定义，求得的值，可得| + |=的值．（2）利用两个向量垂直的性质，可得（k + ）•（k ﹣ ）=k 2•a 2﹣=0，由此求得 k 的值．【解答】解：（1）| |=1，| |=2，若 与 的夹角 θ=120°，则∴| + |== = =．（2）∵（k + ）⊥（k ﹣ ），∴（k + ）•（k ﹣ ）=k 2•∴k=±2．﹣=1•2•cos120°=﹣1，=k 2﹣4=0，（19．在△ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 c=acosB +bsinA ．（1）求 A ；（2）若 a=2，b=c ，求△ABC 的面积．【考点】HP ：正弦定理．【分析】 1）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得：tanA=1，结合范围 A ∈（0，π），可求 A 的值．（2）由三角形面积公式及余弦定理可求 b 2 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本小题满分 12 分）解：（1）由 c=acosB +bsinA 及正弦定理可得：sinC=sinAcosB +sinBsinA ．…在△ABC 中，C=π﹣A ﹣B ，所以 sinC=sin （A +B ）=sinAcosB +cosAsinB ．…由以上两式得 sinA=cosA ，即 tanA=1，…又 A ∈（0，π），所以 A=．…（2）由于 S △ABC = bcsinA=bc ，…由 a=2，及余弦定理得：4=b 2+c 2﹣2bccosB=b 2+c 2﹣因为 b=c ，，…所以 4=2b 2﹣b 2，即 b 2==4 ，…故△ABC 的面积 S=bc= b 2=． …20．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 a 1=2，a n +1= S n （n=1，2，3，…）．（1）证明：数列{（2）设 b n =}是等比数列；，求数列{b n }的前 n 项和 T n ．【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】（1）a n +1=S n +1﹣S n =S n ，整理为=2．即可证明．D B C D（2）由（1）得：=2n，即Sn=n•2n．可得bn====﹣，利用裂项求和方法即可得出．【解答】（1）证明：因为，an+1=Sn+1﹣Sn=Sn，所以故数列{=2，又a1=2，}是等比数列，首项为2，公比为2的等比数列．（2）解：由（1）得：=2n，即Sn=n•2n．所以bn====﹣，故数列{bn}的前n项和Tn=++…+=1﹣=．21．某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距km的C、两地（假设A、、、在同一平面上）测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】在△ACD中求出△AC，在BCD中求出△BC，在ABC中利用余弦定理求出AB．【解答】解：在△ACD中，∵∠ADC=30°，∠ACD=75°+45°=120°，∴∠CAD=30°，∴AC=CD=，在△BCD中，∵∠BDC=30°+45°=75°，∠BCD=45°，∴∠CBD=60°，由正弦定理得：，（∴BC== =．在△ABC 中，由余弦定理得：AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC•BC•cos ∠ACB=3+（∴AB=．）2﹣2 • • =5，故施工单位应该准备电线长为=5km ．22．已知 A ，B ，C 为锐角△ABC 的内角，=（sinA ，sinBsinC ）， =（1，﹣2）， ⊥ ． （1）tanB ，tanBtanC ，tanC 能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求 tanAtanBtanC 的最小值．【考点】9T ：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】 1）依题意有 sinA=2sinBsinC ，从而 2sinBsinC=sinBcosC +cosBsinC ，再由 cosB ＞0，cosC＞0，能推导出 tanB ，tanBtanC ，tanC 成等差数列．（2）推导出 tanAtanBtanC=tanA +tanB +tanC ，从而 tanAtanBtanC ≥8，由此能求出 tanAtanBtanC的最小值为 8．【解答】（本小题满分 12 分）解：（1）依题意有 sinA=2sinBsinC ．…在△ABC 中，A=π﹣B ﹣C ，所以 sinA=sin （B +C ）=sinBcosC +cosBsinC ，…所以 2sinBsinC=sinBcosC +cosBsinC ．…因为△ABC 为锐角三角形，所以 cosB ＞0，cosC ＞0，所以 tanB +tanC=2tanBtanC ，…所以 tanB ，tanBtanC ，tanC 成等差数列．…（2）在锐角△ABC 中，tanA=tan （π﹣B ﹣C ）=﹣tan （B +C ）=﹣即 tanAtanBtanC=tanA +tanB +tanC ，…由（1）知 tanB +tanC=2tanBtanC ，于是 tanAtanBtanC=tanA +2tanBtanC ≥整理得 tanAtanBtanC ≥8，…，…，…当且仅当tanA=4时取等号，故tanAtanBtanC的最小值为8．…广东省恵州市高一（下）期末数学试卷一.选择题1．一元二次不等式﹣x2+x+2＞0的解集是（）A．{x|x＜﹣1或x＞2}B．{x|x＜﹣2或x＞1}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣2＜x＜1} 2．已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列说法正确的是（）A．若b∥a，a⊂α，则b∥αB．若α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b⊥βC．若a⊥c，b⊥c，则a∥bD．若a∩b=A，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β3．在△ABC中，A．B．C．，AC=1，∠A=30°，则△ABC面积为（）或D．或4．设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，若l1∥l2，则k=（）A．﹣1B．1C．±1D．05．已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值是（）A．4B．5C．8D．96．若{an}为等差数列，且a2+a5+a8=39，则a1+a2+…+a9的值为（）A．114B．117C．111D．1087．如图：正四面体S﹣ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．90°B．45°C．60°D．30°8．若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．c c 9．若实数 x ，y 满足约束条件 ，则 x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．﹣9B ．﹣3C ．﹣1D ．310△．在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对边分别为 a ，b ， ，若 a ，b ， 成等比数列，且 A=60°，则（）A ．B ．C ．D ．11．由直线 y=x +2 上的一点向圆（x ﹣3）2+（y +1）2=2 引切线，则切线长的最小值（ ）A ．4B ．3C ．D ．112．已知 a n =log （n +1）（n +2）（n ∈N *）．我们把使乘积 a 1•a 2•a 3•…•a n 为整数的数 n 叫做“优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（）A ．1024B ．2003C ．2026D ．2048二.填空题13．cos45°sin15°﹣sin45°cos15°的值为．14．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的标准方程是．15．公差不为零的等差数列的第 1 项、第 6 项、第 21 项恰好构成等比数列，则它的公比为．16．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．三.解答题解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
高中数学高一下学期期末考试试卷(含答案)
高一期末测试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x <1}，B ={x|3x <1}，则( )A. B. A ∪B =R C. D. A ∩B =⌀2. 在下列区间中，函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,12) D. (12,1) 3. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为30°，且|a ⃗ |=√3，|b ⃗ |=2，则|a ⃗ −b ⃗ |等于( )A. 1B. √13C. 13D. √7−2√34. 设x ∈R ，向量a ⃗ =(3,x)，b ⃗ =(−1,1)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a⃗ |=( ) A. 6 B. 4 C. 3√2 D. 3 5. 若sinα=−513，α为第四象限角，则tanα的值等于( )A. 125B. −125C. 512D. −5126. 在△ABC 中，a =2√3，c =2√2，A =60°，则C =( ) A. 30° B. 45° C. 45°或135° D. 60°7. 已知数列{a n }中，a 1=1，且a n+1=2a n +1，则a 4=( )A. 7B. 9C. 15D. 17 8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3+a 9=16，则S 11=( )A. 88B. 48C. 96D. 176 9. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C的俯角分别为60o ，30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A. 30√3B. 30(√3−1)C. 40√3D. 40(√3−1)10. 若函数y =x 2+(2a −1)x +1在区间(−∞,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A. [−32,+∞)B. (−∞,−32]C. [32,+∞)D. (−∞,32]11. 已知f(x)是定义在上的偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递增，若实数a 满足f(2|a−1|)>f(−√2)，则a 的取值范围是( )A. (−∞,12) B. (−∞,12)∪(32,+∞) C. (12,32)D. (32,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）12. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为2π3，|a ⃗ |=√2，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为______．13. 如图，在△OAB 中，C 是AB 上一点，且AC =2CB ，设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ .(用a ⃗ ,b ⃗ 表示)14. 已知锐角α，β满足sinα=√55,sin(α−β)=−√1010，则β等于______．15. 数列{a n }前n 项和为S n =n 2+3n ，则{a n }的通项等于______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）16. 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． (Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？17. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足：|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=4，且(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =−20．(1)求证：(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ； (2)求向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且acosC +ccosA =2bcosA.(1)求角A 的值；(2)若b +c =√10,a =2,求△ABC 的面积S ．19.已知，，f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；]上的最大值和最小值．(2)求函数f(x)在区间[0,π220.已知数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，满足b1=a2=2，a5+a9=14，b4=a15+1．(1)求数列{a n}，{b n}通项公式；(2)令c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和T n．21.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2(n∈N∗).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{S n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查交集和并集的求法，考查指数不等式的解法，属于基础题．先求出集合B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}={x|x<0}，∴A∩B={x|x<0}，所以A正确，D错误，A∪B={x|x<1}，所以B和C都错误，故选A．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数零点存在性定理，属于基础题．)<0，进而根据函数零点存在性定理可知函数f(x)=e x+由函数解析式可知f(0)·f(124x−3的零点所在的区间．【解答】解：∵函数f(x)=e x+4x−3在上连续，且易知f(x)在上是增函数，∴f(x)至多只有一个零点，∵f(0)=e0−3=−2<0，)=√e+2−3=√e−1=e12−e0>0，f(12∴f(0)·f(1)<0，2).∴由函数零点存在性定理可知函数f(x)=e x+4x−3的零点所在的区间为(0,12故选C．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．由向量数量积的定义可得a⃗·b⃗ 的值，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：向量a⃗与b⃗ 的夹角为30°，且|a⃗|=√3，|b⃗ |=2，=3，可得a⃗·b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cos30°=√3×2×√32则|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗=√3+4−2×3=1．故选：A．【解析】解：∵x∈R，向量a⃗=(3,x)，b⃗ =(−1,1)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =−3+x=0，解得x=3，∴a⃗=(3,3)，∴|a⃗|=√9+9=3√2．故选：C．由a⃗⊥b⃗ ，求出x=3，从而a⃗=(3,3)，由此能求出|a⃗|.本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量垂直的性质的合理运用．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．属于基础题．利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可．【解答】解：∵sinα=−513，α为第四象限角，∴cosα=√1−sin2α=1213，即tanα=sinαcosα=−512．故选D．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．由已知即正弦定理可得sinC=csinAa =√22，利用大边对大角可得0<C<60°，即可解得C的值．【解答】解：∵a=2√3，c=2√2，A=60°，∴由正弦定理可得：sinC=csinAa =2√2×√322√3=√22，∵c<a，可得：0<C<60°，∴C=45°．故选B．7.【答案】C【解析】解：∵a1=1，且a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2(a n+1)，∴数列{a n+1}是等比数列，首项与公比都为2．∴a n+1=2n，即a n=2n−1，则a4=24−1=15．故选：C．a1=1，且a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2(a n+1)，利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】解：∵等差数列{a n}中，a3+a9=16，∴S11=a1+···+a11=11a6=11(a3+a9)=88，2故选：A．由题意、等差数列的性质、等差数列的前n项和公式，化简并求出S11的值．本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式的灵活应用，考查整体思想，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意可知∠C=30°，∠BAC=30°，∠DAB=30°，AD=60m，=40√3．∴BC=AB=60cos30∘故选：C．由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义，属于中档题．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键，属于基础题．由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+(2a−1)x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案．【解答】解：∵函数y=x2+(2a−1)x+1的图象是开口向上，以直线x=−2a−1为对称轴，2又∵函数在区间(−∞,2]上是减函数，∴2≤−2a−1，2．解得a≤−32故选B．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了指数函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．根据偶函数的对称性可知f(x)在(0,+∞)递减，故只需令2|a−1|<√2即可．【解答】解：∵f(x)是定义在上的偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递增，∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∵2|a−1|>0，f(−√2)=f(√2)，∴2|a−1|<√2=212，∴|a−1|<1，2解得12<a <32． 故选C ．12.【答案】−√22【解析】解：根据条件，a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为：|a ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=√2cos 2π3=−√22．故答案为：−√22．由条件，可得出a⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为|a ⃗ |cos 2π3，从而求出投影的值．考查向量夹角的概念，向量投影的概念及计算公式． 13.【答案】13a ⃗ +23b ⃗【解析】解：OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +23b ⃗ ． 故答案为：13a⃗ +23b ⃗ 利用向量的线性运算即可．本题考查了向量的线性运算，属于基础题．14.【答案】π4【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式，属于基础题．由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα、cos(α−β)的值，可得tanα，tan(α−β)的值，再利用两角和差的正切公式求得tanβ=tan[(α−(α−β)]的值． 【解答】解：∵锐角α，β满足sinα=√55,sin(α−β)=−√1010，∴cosα=√1−sin 2α=2√55，cos(α−β)=√1−sin 2(α−β)=3√1010， ∴tanα=sinαcosα=12，tan(α−β)=sin(α−β)cos(α−β)=−13，∴tanβ=tan[(α−(α−β)]=tanα−tan(α−β)1+tanα⋅tan(α−β)=12+131−12⋅13=1,故β=π4， 故答案为：π4．15.【答案】a n =2n +2【解析】【分析】本题考查数列的递推公式，数列的通项公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2进行计算，解题时要注意公式中对n =1的检验．【解答】解：当n =1时，a 1=S 1=1+3=4，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n 2+3n)−[(n −1)2+3(n −1)]=2n +2， 当n =1时，2×1+2=4=a 1，适合上式， ∴a n =2n +2．故答案为a n =2n +2．16.【答案】解：(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为3600−300050=12，所以这时租出了88辆车．(Ⅱ)设每辆车的月租金定为x 元， 则租赁公司的月收益为f(x)=(100−x−300050)(x −150)−x−300050×50，整理得f(x)=−x 250+162x −21000=−150(x −4050)2+307050．所以，当x =4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．【解析】(Ⅰ)严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；(Ⅱ)从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论．本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究．17.【答案】证明：(1)∵|b ⃗ |=4,(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =−20，∴a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=a ⃗ ⋅b ⃗ −16=−20， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−4，∵|a ⃗ |=2，∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ =0， ∴(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ． (2)设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a ⃗ ,b⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=−12，θ=1200.即向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°．【解析】(1)先计算a ⃗ ⋅b ⃗ ，再计算(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =0即可得出结论；(2)代入夹角公式计算即可．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．18.【答案】解：(1)在△ABC 中，∵acosC +ccosA =2bcosA ， ∴sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosA ， ∴sin(A +C)=sinB =2sinBcosA ， ∵sinB ≠0，∴cosA=12，由A∈(0,π)，可得：A=π3；(2)∵cosA=12=b2+c2−a22bc，b+c=√10 , a=2，∴b2+c2=bc+4，可得：(b+c)2=3bc+4=10，可得：bc=2，∴S=12bcsinA=√32．【解析】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，平方和公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得sinB=2sinBcosA，结合sinB≠0，可求cos A，进而可求A的值．(2)由已知及余弦定理，平方和公式可求bc的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．19.【答案】解：，，由，∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，由，得：π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z；(2)由x∈[0,π2]可得：2x+π6∈[π6,7π6],当2x+π6=7π6时，函数f(x)取得最小值为2sin7π6+1=0,当2x+π6=π2时，函数f(x)取得最大值为2sinπ2+1=3,故得函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0．【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．(1)由f(x)=a⃗⋅b⃗ ，根据向量的数量积的运用可得f(x)的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；(2)在[0,π2]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出f(x)的最大值和最小值．20.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， ∵a 2=2，a 5+a 9=14，∴a 1+d =2，2a 1+12d =14，解得a 1=d =1． ∴a n =1+(n −1)=n ．∴b 1=a 2=2，b 4=a 15+1=16=2×q 3， ∴q =2． ∴b n =2n ．(2)c n =a n ⋅b n =n ⋅2n ．∴数列{c n }的前n 项和T n =2+2×22+3×23+⋯+n ⋅2n ①， 2T n =22+2×23+⋯+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1②，∴①−②⇒−T n =2+22+⋯+2n −n ⋅2n+1=2(1−2n )1−22(2n −1)2−1−n ⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2．∴T n =(n −1)⋅2n+1+2．【解析】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．(2)利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．21.【答案】解：(Ⅰ)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2①． 则S n+1=2a n+1−2②， ②−①得a n+1=2a n ， 即a n+1a n=2，当n =1时，a 1=S 1=2a 1−2， 解得a 1=2，所以数列的通项公式为a n =2⋅2n−1=2n ， (Ⅱ)由于a n =2n ，则S n =21+22+⋯+2n ， =2(2n −1)2−1，=2n+1−2．T n =2(21+22+⋯+2n )−2−2−⋯−2， =2n+2−4−2n ．【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n 项和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n 项和的公式的应用以及分组求和．。
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高一下学期数学期末考试试卷高一下学期数学期末试卷带答案第Ⅰ卷 ( 选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 .1.不等式 >0 的解集是A.( ，)B.(4 ，)C.( ，- 3) ∪(4 ， +)D.( ，- 3) ∪( ，)2.设，向量且，则A.B.C.D.3.设，，∈ R，且 >，则A.B.C.D.4.在△ ABC中内角 A，B，C所对各边分别为，，，且，则角 =A.60°B.120°C.30°D.150°5.已知各项不为 0 的等差数列，满足，数列是等比数列，且，则A.2B.4C.8D.166.如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧所在的河岸边选定一点 C，测出 AC的距离为 50m，后，就可以计算出A、B 两点的距离为A.B.C.D.7.某个几何体的三如所示 ( 位： m)，几何体的表面( 果保留π)A.B.C.D.8.中，上的高，若，，，，，A.B.C.D.9. 已知数列，如果，，，⋯⋯，，⋯⋯，是首 1，公比的等比数列， =A.B.C.D.10.已知，，，若 >恒成立，数 m的取范是A. 或B. 或C.D.11.大衍数列，来源于《乾坤》中易“大衍之数五十”的推 . 主要用于解中国文化中的太极衍生原理 . 数列中的每一，都代表太极衍生程中，曾的两数量和 , 是中文化中藏着的世界数学史上第一道数列 . 其前 10 依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯此数列第20A.180B.200C.128D.16212.已知定在 R上的奇函数足，，数列是等差数列，若，，A.-2B.-3C.2D.3第Ⅱ卷 ( 非，共 90 分)二、填空题 : 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填在答题卷中的相应位置 .13.正项等比数列中，，则 .14.某等腰直角三角形的一条直角边长为 4，若将该三角形绕着直角边旋转一周所得的几何体的体积是，则 .15.已知的面积为，三个内角成等差数列，则 .16.如果关于的不等式和的解集分别为，和，，那么称这两个不等式为“对偶不等式” . 如果不等式与不等式为“对偶不等式”，且，，那么 =.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .17.( 本小题满分 10 分) 在等比数列中， .(1)求;(2)设，求数列的前项和 .18.( 本小题满分 12 分) 已知△ ABC的角 A，B，C所对的边分别是设向量，， .(1)若∥，试判断△ ABC的形状并证明 ;(2)若⊥，边长，∠ C=，求△ ABC的面积 .19.( 本小题满分 12 分)已知数列满足，且≥(1)求证数列是等差数列，并求数列的通项公式 ;(2)设，求数列的前项和 .20.( 本小题满分 12 分)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度： A、B、C三地位于同一水平面上，在 C处进行该器的垂直射，点地听到射声音的比在点 H的仰角30°.A、B 两地相距 100 米，∠ BAC=60°，在 AB 地晚 217 秒.A 地得器至最高(1)求 A、C两地的距离 ;(2)求器的垂直射高度 CH.( 声音的播速度 340 米/ 秒)21.( 本小分 12 分) 、函数 .(1)若于一切数恒成立，求的取范 ;(2)于，恒成立，求的取范 .22.( 本小分 12 分)已知数列的前和，函数任意的都有，数列足.(1)求数列，的通公式 ;(2)若数列足，是数列的前和，是否存在正数，使不等式于一切的恒成立 ?若存在求出的取范 ; 若不存在明理由 .数学参考答案及分意一、 ( 本共 12 小，每小 5 分，共 60 分)号 123456789101112答案 DBDABCCDACBB二、填空 ( 本共 4 小，每小 5 分，共 20 分)13.114.15.16.三、解答 ( 本共 6 小，共 70 分)17.(1) 的公比 q，依意得解得因此 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)因，所以数列的前 n 和 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分18.解： (1)ABC 等腰三角形 ;明：∵ =(a， b) ，(sinB ，sinA) ，∥，∴，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分即=，其中 R是△ ABC外接半径，∴∴△ ABC等腰三角形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)∵，由意⊥，∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分由余弦定理可知， 4=a2+b2 ab=(a+b)23ab⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分即(ab)2 3ab 4=0，∴ ab=4 或 ab= 1( 舍去)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分∴S=absinC=×4×sin=. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19.解： (1) ∵∴∴，即⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分∴数列是等差数列，首，公差1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分∴∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分(2)由(1) ，==⋯8分∴数列的前和 ==+++++⋯⋯⋯⋯ 10 分=⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分20.解： (1) 由意， AC=x，BC=x-217×340=x- 40. ⋯⋯⋯⋯⋯2分在△ABC中，由余弦定理，得BC2=BA2+AC2-×BA×AC×cos∠BAC，⋯⋯⋯⋯⋯4 分即(x-40)2=10000+x2-100x ，解得 x=420. ⋯⋯⋯⋯⋯6分∴A、 C两地的距离 420m.⋯⋯⋯⋯⋯7分(2)在 Rt△ACH中， AC=420，∠ CAH=30°，所以 CH=AC×tan ∠CAH=1403⋯⋯⋯⋯⋯. 10 分答: 器的垂直射高度 CH 1403 米. ⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21.解： (1) 解(1) 要使 mx2-mx-1<0恒成立，若m=0，然 -1<0 ，足意 ; ⋯⋯⋯⋯⋯2分若 m≠0，m<0， =m2+4m<0? -4∴ 数 m的范 -4(2) 方法 1 当 x∈[1,3] ， f(x)<-m+5恒成立，即当 x∈[1,3] ， m(x2-x+1)-6<0 恒成立 . ⋯⋯⋯⋯⋯8分∵x2-x+1=+34>0，又m(x2-x+1)-6<0 ，∴ m<6x2- x+1. ⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分∵函数 y=6x2-x+1=在[1,3] 上的最小 67，∴只需 m<67即可 .上所述， m的取范是 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分方法 2 要使 f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立.就要使 m+34m-6<0在 x∈[1,3] 上恒成立 . ⋯⋯⋯⋯⋯7分令g(x)=m+34m-6，x∈[1,3]. ⋯⋯⋯⋯⋯8分当 m>0，g(x) 在[1,3] 上是增函数，∴g(x)max=g(3)=7m -6<0 ，∴0当m=0， -6<0 恒成立 ; ⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分当m<0， g(x) 在[1,3] 上是减函数，∴g(x)max=g(1)=m -6<0 ，得 m<6，∴ m<0.⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分上所述， m的取范是 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 22.(1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分足上式，故⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∵=1∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分∵①∴②∴① +②，得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)∵，∴∴①，②①- ②得即⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分要使得不等式恒成立，恒成立于一切的恒成立，即⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分令，当且当等号成立，故所以所求 . ⋯⋯⋯⋯ 12 分高一数学下学期期末考第Ⅰ卷 ( 共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
高一数学下学期期末考试试题(含解析)
高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题(每小题5分，共50分) 1.设ABC∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且3 cos 4a C csin A =，已知ABC ∆的面积等于10，4b =，则a 的值为（ ） A.233B.283C.263D.253【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知，结合sin 0A ≠，可求4cos sin 3C C =，利用同角三角函数基本关系式可求3sin 5C =，进而利用三角形的面积公式即可解得a 的值． 【详解】解：3cos 4sin a C c A =，∴由正弦定理可得3sin cos 4sin sin A C C A =，sin 0A ≠，3cos 4sin C C ∴=，即4cos sin 3C C =，222221625sin cos sin sin sin 199C C C C C ∴+=+==，解得：3sin 5C =或3sin 5C =-（舍去） 4b =，ABC ∆的面积11310sin 4225S ab C a ===⨯⨯⨯，∴解得253a =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．2.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为32，那么b =（ ）B. 1D. 2【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得22222cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--，又面积1sin 2ABC S ac B ∆=13642ac ac ==⇒=，因为a b c ，，成等差数列，所以2a c b +=，代入上式可得22412b b =--，整理得24b =+，解得1b =，故选B ．考点：余弦定理；三角形的面积公式．3.已知数列{}n a 的前n 项和为11,2,4n n n n S a S a S +==+，则n a =（ ） A. 432n - B. 212n - C. 212n + D. 42n【答案】B 【解析】 【分析】由条件14n n n S a S +=+可得14n n a a +=，即数列{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，从而得出答案.【详解】因为14n n n S a S +=+，所以14n n n S S a +-=， 即14n n a a +=，且12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，所以121242n n n a --=⨯=，故选：B.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，属于基础题. 4.已知实数x ，y 满足1x >，1y >，且1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有（ ）A. 最大值eB.C. 最小值eD. 最小值【答案】C 【解析】试题分析：因为1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，所以可得111ln ?ln ,ln ?ln ,ln ln ln 1,4164x y x y xy x y xy e =∴=∴=+≥=≥，xy 有最小值e ，故选C.考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.5.在等差数列{}n a 中，若25215a a +=，则数列{}n a 的前7项的和7S =（ ） A. 25 B. 35C. 30D. 28【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式可得45a =，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列{}n a 满足25215a a +=， 可得112815a d a d +++=，则135a d +=. 即45a =，可得()17747273522a a a S +⨯⨯===， 故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.6.已知数列{}n a 满足1133,23n n n a a a a +==+，则2019a ＝（ ） A.32020B.20203C.20193D.20213【答案】A 【解析】 【分析】 把递推式a n +133n n a a =+两边同时取倒数,得到数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,利用等差数列通项公式求出20191a ,再取倒数即可.【详解】因为a n +133nn a a =+,两边同时取倒数可得,11113n n a a +=+，即11113n n a a +-=, 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以23为首项,13为公差的等差数列, 所以()12111333n n n a +=+-=, 所以2019120203a =,即201932020a =. 故选:A【点睛】本题考查利用数列的递推公式求通项公式和等差数列的定义;对递推公式进行灵活的变形是求解本题的关键;属于中档题.7.如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. c a c b ->-B. 11a b>C. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ln a b >【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A ； 根据幂函数的性质判断B ； 根据指数函数的性质判断C ； 根据对数函数的单调性判断D ． 【详解】解：0a b >>a b ∴-<-c a c b ∴-<-故A 错误；由于1y x -=在()0,∞+上单调递减，故11a b<即B 错误； 由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即C 错误；由于ln y x =在()0,∞+上单调递增，故lna lnb >即D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，考查对数函数的单调性，属于基础题． 8.若不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. 12a <-或12a > B. 12a >或0a < C. 12a >D. 1122a -<<【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出0a >⎧⎨∆<⎩，由此求出a 的取值范围.【详解】解：显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则00a >⎧⎨∆<⎩，即20140a a >⎧⎨-<⎩， 解得12a >， 所以实数a 的取值范围是12a >. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题，是基础题.9.在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A B ，CD 的中点，则异面直线1A F 与BE 所成角的余弦值为（ ）A.5 B. 5C.30 D.6 【答案】C 【解析】 【分析】连接CE ，则可证BEC ∠是异面直线1A F 与BE 所成角，在直角三角形BEC 中通过计算即可得结果.【详解】连接CE ，如图所示：因为112A E CF CD ==，1//A E CF ，所以四边形1A ECF 是平行四边形， 所以1//EC A F ，故BEC ∠是异面直线1A F 与BE 所成角，因为2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A B ，CD 的中点， 所以1122B E DF CD ===， 由勾股定理，得222425BE =+= 在BEC △中，90CBE ∠=，tan BC BEC BE ∴∠=5525==，则30cos BEC ∠=故选:C【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题，考查了转化与化归的思想.求异面直线所成角的步骤：1.平移，将两条异面直线平移成相交直线；2.定角，根据异面直线所成角的定义找出所成角；3.求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角；4.下结论．10.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A. []26，B. []48，C.D.⎡⎣【答案】A 【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．二、多项选择题(每小题5分，共10分，漏选得2分，选错0分)11.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A. 11B E A B ⊥B. 平面1//B CE 平面1A BDC. 三棱锥11C B CE -的体积为83D. 三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 【答案】CD 【解析】 【分析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积. 12.若直线y b =+与圆221x y +=相切，则b =（ ）A. 2-B. 2±C. 2D. 5±【答案】AC 【解析】 【分析】 根据直线3y x b =+与圆221x y +=相切，则圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】因为直线3y x b =+与圆221x y +=相切，所以131b =+，解得2b =±. 故选：AC【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、填空题(每小题5分，共20分)13.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB AA ==，则四棱锥111A B C CB -的体积是________【答案】23【解析】 【分析】利用柱体和椎体的的体积公式，分别求得正三棱柱111ABC A B C -和三棱锥1A ABC -的体积，进而求得四棱锥111A B C CB -的体积.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB AA ==，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为2132333ABC V S h ∆=⋅=⨯⨯=， 三棱锥1A ABC -的体积为22113233334ABC V S h ∆=⋅=⨯⨯⨯=， 所以四棱锥111A B C CB -的体积是1223V V V =-=.故答案为：23.【点睛】本题主要考查了柱体与锥体的体积的计算，其中解答中熟记三棱锥和三棱柱的体积公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14.如图，在正方体中，,E F 分别是1,AA AB 的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是_______.【答案】60（或π3） 【解析】 【分析】连接1A B 、1BC ，即可得出11BA C ∠为异面直线EF 与11A C 所成角，根据正方体的性质即可求解.【详解】如图，连接1A B 、1BC ，可得11BA C ∠为异面直线EF 与11A C 所成角，由正方体的性质可得11A BC 为等边三角形， 所以11BA C ∠60=或π3. 故答案为：60（或π3） 【点睛】本题考查了求异面直线所成角，解题的关键是作出平行线，属于基础题. 15.已知54x >，则函数1445y x x =+-的最小值为_______. 【答案】7 【解析】 【分析】转化函数，通过基本不等式求解即可．【详解】54x >，450x ∴->， 114(45)52574545y x x x x =+=-++≥+=--．当且仅当14545x x -=-，即，即32x =时等号成立.法二：54x >，令2440(45)y x '=-=-得1x =或32x =， 当5342x <<时'0y <函数单调递减， 当32x >时'0y >函数单调递增．所以当32x =时函数取得最大值为：314732452⨯+=⨯-. 【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n =+，则n a =__________【答案】5,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】 【分析】利用通项公式与前n 项和的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，由此即可求出结果．【详解】当1n =时，115a S ==；当2n ≥时，()()22141421n n n S S n n a n -⎡⎤-=+--+=-⎣⎦=； 所以5,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.故答案为：5,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩.【点睛】本题主要考查了数列通项公式与前n 项和的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，本题属于基础题．四、解答题(17题10分，其它题12分，共70分 17.已知不等式20x ax b ++≤的解集为{}14x x -≤≤. （1）求,a b 的值;（2）解不等式20x bx a --≤.【答案】（1）3,4a b =-=-；（2）{}31x x -≤≤-. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得1-和4为方程20x ax b ++=的两实根，利用韦达定理即可求解.（2）利用（1）解不等式2430x x ++≤即可求解.【详解】解：（1）由题意知1-和4为方程20x ax b ++=的两实根，利用韦达定理可得14,14a b -+=--⨯= 所以3,4a b =-=-.（2）由（1）知不等式20x bx a --≤为2430x x ++≤解得: 31x -≤≤-所以不等式20x bx a --≤的解集为{}31x x -≤≤-.【点睛】本题考查了根据一元二次不等式的解集求参数、解一元二次不等式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18.正方体1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，AC 与BD 交于点O .（1）求证: 1// AD 平面1DOC （2）求证:11B D AE ⊥;【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）连接1AD ，可得11//AD BC ，利用线面平面的判定定理即可证出.（2）利用线面垂直的判定定理证出11B D ⊥平面11ACC A ，再根据线面垂直的性质定理即可证出.【详解】（1）连接1AD ，1DC ，1BC ，11//AB D C ，且11AB D C =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，11//D A BC ∴1BC ⊂平面1DOC ，1AD ⊄平面1DOC ，∴1// AD 平面1DOC .（2）连接11A C ，则1111B D A C ⊥，1CC ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ， 111CC B D ∴⊥，又1111CC AC C ⋂=，所以11B D ⊥平面11ACC A ，AE ⊂平面11ACC A ， ∴11B D AE ⊥.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理，考查了考生的逻辑推理能力，属于基础题.19.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小； （2）若7b =4a c +=，求ABC∆面积S .【答案】(1) 60B =︒ (2) 33S = 【解析】【详解】分析：（1）由()2cos cos -=a c B b C，利用正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B B C -⋅=⋅，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得1cos 2B =；从而可得结果；（2）由余弦定理可得()222222cos 22a c ac b a c b B ac ac+--+-==可得3ac = ，所以1·sin 2S ac B ==详解： (1)∵()2sin sin cos sin cos A C B B C -⋅=⋅ ∴2sin cos sin cos sin cos A B B C C B ⋅=⋅+⋅()2sin cos sin sin A B B C A ⋅=+=1cos 2B =∴60B =︒ （2）∵()222222cos 22a c ac b a c b B ac ac+--+-==∴3ac =∴1·sin 2S ac B ==点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．20.已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦【解析】 【分析】（1）通过等数列中项的性质求出25a =，等比数列中项性质求出2d =，然后分别求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式（2）{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则{}n n a b 前n 项和n T 则可以考虑用错位相减的方法求和。
高一下学期期末检测数学试卷含答案
高一数学期末考试试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 与o 463-角终边相同的角为( )A ．Z k k ∈+⋅,463360o o B.Z k k ∈+⋅,103360o o C.Z k k ∈+⋅,257360o o D.Z k k ∈-⋅,257360o o 2．下列函数中，最小正周期为2π的是( ) A ．sin y x = B ．cos 4y x = C ．tan2xy = D ．sin cos y x x = 3、若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是( )A . 0=λB . 02=eC .1e ∥2eD .1e ∥2e 或0=λ5．已知a ，b 满足：||3a =，||2b =，||4a b +=，则||a b -=( )A B ．10 C ． 3 D 6．将函数y ＝sin(x ＋4π)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移4π个单位，所得到的图象解析式是( ) A ．sin 2y x = B ．sin(2)4y x π=-C.sin(2)4y x π=+ D ．1sin 2y x =7.已知a =(2，3)，b =(-4，7)，则a 在b方向上的投影为( )A .13B .513 C .565D .658.函数x x y sin sin -=的值域是( ) A ．[]2,2-B ．[]2,0C ．[]1,1-D ．[]0,2-9.若()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=，则tan tan αβ为( )A.5 B .1- C.6 1D.610、函数)32sin(2π+=x y 的图象( )A ．关于点（－6π，0）对称 B ．关于原点对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称11.如右图在平行四边形ABCD 中，a AB =，b AD =，3=，M为BC 的中点，则=( )A .2141- B .2141- C . )(41-D .)(41- 12．函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x)当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于( )A ．)2,6(-πB ．)2,6(πC ．)2,6(--πD ．)2,6(π-二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知tan θ=3,则sin 2θ -3sin θcos θ+4cos 2θ的值是________14、已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos _15．已知向量(1, 2)=a ,(3, 2)=-b ,如果k +a b 与b 垂直,那么实数k 的值为_________.16、 )(x f 为奇函数，=<+=>)(0,cos 2sin )(,0x f x x x x f x______三、解答题：（本题共6小题，共70分，17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----． (1)化简()f α (2)若31cos()25πα-=，求()f α的值18.求函数y=-x 2cos +x cos 3+45的最大值及最小值，并写出x 取何值时 函数有最大值和最小值。
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高一数学下期期末测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分．共150 分，考试时间120 分钟．第Ⅰ 卷(选择题，共60分)1．请考生将自己的学校、班级、姓名、学号填写在第Ⅱ卷密封线内．2．每小题选出答案后在第Ⅱ卷前的答题栏内用2B 铅笔把对应题目的答案代号涂黑，如需改动，必须用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.sin600 °的值是2.1133 A ．B．C． D ．22223.cos80 cos35cos10 cos554.2211 A ．B．C． D ．22225.函数 y sin x cos x6. A ．最小正周期为的奇函数 B ．最小正周期为的偶函数7.C．最小正周期为 2的奇函数 D ．最小正周期为 2的偶函数8.已知向量 a＝ (2 ， 3)， b＝ (－ 1， 2) ，若 ma＋ b 与 a－ 2b 平行，则m 等于9.A．－ 2B． 211 C． D ．－2210.设点 A(2 ，0) ， B(4 ， 2), 若点 P 在直线 AB 上，且 | AB |＝ 2| AP |，则点 P 的坐标为11.A．(3，1)B． (1，－ 1)12.C． (3， 1)或 (1，－ 1) D ．无数多个13.在△ ABC 中，若 a2＝ b2＋ c2＋ 3 bc，则A的度数为14.A．30°B． 150°C． 60° D ． 120°15.已知 tan()2，tan1，则 tan(2 ) 5216. A ．3B．3C．1D．－1 48121217.下列命题中正确的是18. A ．若 a b＝ 0，则 a＝ 0 或 b＝ 0 B ．若 a b＝0，则 a∥ b19.C．若 a∥ b，则 a 在 b 上的投影为 | a | D ．若 a⊥ b，则 a b＝ (a b)220.把点 A(1 ，1) 按向量 a 平移后得到点 A1(3， 5) ，则 a 的坐标为21.A．(4， 6)B． (－ 2，－ 4)C． (－ 4，－ 6) D ． (2， 4)22. 如图是函数y 2sin(x ) (| |) 的图2y象的一段，那么10223. A ．，61124. B ．10O x ，61125.C．2，－2626. D ．2，627. 若将向量a＝ (2 ， 1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量 b 的坐标为428. A ．(2229.32C． (2， 3 2 ) B ． (2，32)222，2)D．(3 2， 2 ) 22230. 若方程sin x－ cos x＝ a 有解，则实数 a 的取值范围是31. A ．－ 1≤ a≤ 1 B．－ 2 ＜a≤1C．－ 2 ≤a≤2 D ．｜ a｜＞2第Ⅰ卷答题栏123456789101112131415[A] [A] [A] [A] [A][A] [A][A] [A] [A][A] [A] [A] [A] [A][B] [B] [B] [B] [B][B] [B][B] [B] [B][B] [B] [B] [B] [B][C] [C] [C] [C] [C][C] [C] [C] [C] [C][C] [C] [C] [C] [C][D] [D] [D] [D] [D][D] [D] [D] [D] [D][D] [D] [D] [D] [D]高一数学下期期末测试题第Ⅱ 卷(非选择题，共90分)注意事项：第Ⅱ卷共 6 页，用黑色签字笔直接答在试题卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚．题号一二三总分181920211722得分得分评卷人二．填空题：本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16 分．将正确答案填在题中横线上．32. 已知点P 分有向线段P1P2的比为－3，那么点P1分 P2 P 的比是．33.已知 a＝ sin10 °＋ cos10°， b＝6， c＝ sin20 °＋ cos20°，则将 a、 b、 c 按由小到大2的顺序排列是．34.已知| a |＝ 1， | b |＝ 2， a、 b 的夹角为60 °，若 (3a＋ 5b)⊥ (ma－ b)，则 m 的值为．35.已知函数 y＝ 2cos x (0 ≤ x≤ 2π )的图象和直线 y＝ 2 围成一个封闭的平面图形，则其面积为．三．解答题：本大题共 6 小题，满分74 分．得分评卷人36. (本大题满分12 分)已知a＝ (cos， sin)， b＝ (cos， sin)，其中0＜＜＜．37.(1) 求证： a＋b 与 a－ b 互相垂直；38.(2)若 ka＋ b 与 a－kb 的长度相等，求－的值(k为非零的常数)．39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.得分评卷人51. (本大题满分12 分 )已知tan，cot是关于 x 的方程 x2－ kx＋ k2－ 3＝ 0 的两个实根，且 37sin 的值．，求 cos2得分评卷人52.(本大题满分12 分 ) 已知函数53.f x asinxcosx3acos2x3a b(a＞0) ( )254.(1) 写出函数的单调递减区间；55.(2) 设x[0， ] ，f (x)的最小值是－2，最大值是 3 ，求实数a、b的值．2得分评卷人20 ． (本大题满分12 分) 已知向量 a、 b 满足 | a |＝ 1， | b |＝ 1．(1) 若 | ka＋ b |＝ 3 | a－kb |(k＞0)，f (k)＝a b，求 f (k)的单调区间；(2) 若 a、 b 互相垂直，是否存在整数k，使向量 m＝ ka＋ b 与 n＝ a＋ kb的夹角为 60°，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．得分评卷人56. (本大题满分 12 分)某人在海岛上的 A 处，上午11 时测得在 A 的北偏东 60o的 C 处有一艘轮船， 12 时 20 分时测得该船航行到北偏西60o 的 B 处， 12时40 分又测得轮船到达位于 A 正西方 5 千米的港口 E 处，如果该船始终保持匀速直线运动，求：57.(1)点B到A的距离；北58.(2)船的航行速度。
C59.BE东A得分评卷人60. (本大题满分14 分 )已知a cos b sin c ，a cos b sin c (a≠0， b≠ 0，2k )，且 cos2cos221，求证： a2＋ b2＋ 2ac＝220．高一数学下期期末测试题参考答案及评分标准说明：1．本解答指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题：DAADC BDDDC BC二．填空题： 13．22316．4 14． a＜ b＜ c15．38三．解答题：17． (1)由题意得： a＋ b＝ (cos α＋ cos β， sin α＋ sin β)a－ b＝ (cos α－ cos β， sin α－ sin β) 3 分∴(a＋ b) ·(a－ b)＝ (cos α＋ cos β)(cos α－ cos β)＋ (sin α＋ sin β)(sin α－ sin β)＝cos2α－cos2β＋ sin2α－ sin2β＝ 1－ 1＝ 0∴ a＋ b 与 a－ b 互相垂直． 6 分(2) 方法一： ka＋ b＝ (kcos α＋ cos β， ksin α＋ sin β)，a－ kb＝ (cos α－ kcos β， sin α－ ksin β)8 分| ka ＋＝ k 2k) 1，| a－＝ k 22k cos() 19分b | 2 cos(kb |由题意，得4cos ( β－α)＝ 0，因为0＜α＜β＜π，所以β－α＝．12 分2方法二：由 | ka＋ b |＝ | a－ kb |得： | ka＋ b |2＝ | a－ kb |2即 (ka＋ b )2＝ ( a－ kb ) 2， k2 | a |2＋ 2ka b＋ | b |2＝ | a |2－ 2ka b＋ k2 | b |28 分由于 | a |＝ 1， | b |＝ 1∴k2＋ 2ka b＋ 1＝ 1－ 2ka b＋ k2，故 a b＝ 0，即 (cos，sin) (cos，sin)＝ 010 分cos cossin sin0cos()0因为 0＜α＜β＜π，所以β－α＝．12 分218 ．解：∵tan，cot是关于 x 的方程 x2－ kx＋ k2－ 3＝ 0 的两个实根∴△ = － 3k2＋ 12≥ 0，tan cot k ①， tan cot k 23② 2 分由②得 k2－ 3＝ 1， k＝± 2 4 分由①得：sin cos k1ksin 2218 分cos sin sin cos k∵ 372 7，，∴ 62故 sin 21， 262310 分4∴ cos sin 22212 分2219． (1)解：f ( x)a(sin x cos x 3 cos2x3) b2131 cos2x3b a sin(2x) b 4 分a ( sin 2x2)2235，k 11]∵ a＞0， x∈ R，∴ f (x)的递减区间是[k1212(2) 解：∵ x∈ [0 ，]，∴ 2x∈ [0 ，] ，2x－∈ [，22333(k∈ Z ) 6 分] 7 分∴ sin(2x) [3，1]9 分32∴函数 f (x)的最小值是3a b ，最大值是 a b10 分23 a b2，解得a＝2，b＝ 3 2由已知得312 分a b320． (1)解：∵ | ka＋ b |＝ 3 | a－kb |，∴| ka＋b |2＝3 | a－kb |2k 2a 2＋ 2k a ? b＋ b 2＝ 3(a2－ 2k a ? b＋ k2 b 2 ) 2 分(3 k 2 )a 2(3k 21) b 2k 21∴ a ? b＝8k4k∴ f (k)＝k21(k＞0) 4k121k12 1 － 4k22 1 1(k k )(11) 1设 k＞ k＞0，则 f (k )－ f (k )＝4k2412k1k24k1当 k1＞ k2≥ 1 时， f (k1 )－ f (k2)＞0，当 1≥ k1＞ k2＞ 0 时， f (k1 )－ f (k2)＜0∴ f (k)在区间 (0 ， 1]上单调递减，在区间[1， +∞ )上单调递增．(2)解：∵ | a |＝ 1， | b |＝ 1， a⊥ b∴ a ? b＝04 分6分8分m ? n＝ (ka＋ b) ? (a＋ kb) ＝ k| a |2＋ (k2＋ 1)a ? b＋ k| b |2＝2k| m |＝ | ka＋ b |＝(ka b 2k 21， | n |＝( a kb)2k 2110 分)若 cos60° = m n2k11| m ||n |k 22即 k 2－ 4k＋ 1＝ 0，解此方程得：k＝ 23Z故不存在整数 k，使 m、 n 的夹角为 60 °．12 分21． (1)解：轮船从 C 处到点 B 用了 80 分钟，从点 B 处到点 E 用了 20 分钟，轮船保持匀速直线运动∴ BC＝ 4EB，设 BE＝ x， BC＝ 4x， 2 分在△ AEC 中，由正弦定理得：AE sin EAC 5 sin15014 分sin CEC5x2xBC sin C4x143在△ ABC 中，由正弦定理得：AB2x6 分sin120sin1203(2)解：在△ ABE 中，由余弦定理得BE 2AB 2AE 2 2 AB AE cos308 分∴ BE2251625 4 3331， BE3110 分33233∴轮船船速是31÷ 20＝93（千米 /小时）12 分36022．证法一：由cos22cos21得： cos cos1① 2 分22又 a cos bsin c ， a cos bsin c∴ a(cos cos)b(sin sin )2c ， a(cos cos)b(sin sin ) 0即 b(sin sin)2c a ， b(sin sin)a(cos cos) 6 分两式相乘得 b2(sin 2sin2)a(2c a)(cos cos)8 分b2 (1cos21cos2)a(2c a)(cos cos)b 2 (cos2cos2)( 2a)(cos cos)a cb2(cos cos )( 2a)(cos cos)a c∴ a2＋ b2＋ 2ac＝ 014 分证法二：同证法一得：cos cos1①由a cos bsin c得：a 2cos2c2b2sin2 2 sinbca 2 cos2c2b 2 (1cos2)2c(c a cos)即 (a 2 b 2 ) cos22ac cos c2b20② 6 分同理可得：(a 2b2) cos22cosc2b20③8分ac由②③知， cos、cos是方程 (a 2 b 2 )t 22act c 2b20的两根10 分由①知，该方程的两根之和为－12ac1，即a2＋b2＋2ac＝014 分∴b2a2证法三：同证法二得①②③8 分将①代入②得：( a 2 b 2 )(1 cos ) 22ac(1 cos ) c 2b20( a 2 b 2 ) cos22ac cos c 2b2 a 2b22(a 2 b 2 ) cos2ac 4ac cos010 分将③代入得：a 222(2b2) cos2 4 cos0ba ac ac即 (a 2b22)(2 cos1)0ac∴ a2＋ b2＋ 2ac＝ 014 分。