立体几何典型问题的向量解法
纵观立体几何考题感悟向量方法解题
纵观立体几何考题感悟向量方法解题在高中数学学习中，立体几何一直是学生们非常头疼的一个部分。
立体几何的主要难点是空间的复杂性，加上几何思维本来就不易理解，许多学生解题困难。
但是，通过向量方法解题是一种很好的解决立体几何问题的方法。
本文将通过纵观立体几何考题，分享一些关于向量方法解题的经验与感悟。
一、向量的基本概念及运算向量的表示法是用箭头表示。
箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
一个向量可以被表示为一个由有序数对$(x,y)$所确定的点A和另一个由有序数对$(x',y')$所确定的点B之间的向量$\vec{AB}$。
向量也可以表示为箭头的坐标，即$\vec{AB}=\begin{pmatrix}x'-x\\y'-y\end{pmatrix}$。
向量的大小表示为$|\vec{AB}|=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}$。
向量的运算有向量加法和向量数乘。
向量加法的定义是：$\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\e nd{pmatrix}$。
其中，$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$。
向量数乘的定义是：$\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$。
其中，$\lambda$是一个实数。
二、应用向量方法求解空间几何问题1.立体几何基本概念首先，我们需要掌握一些立体几何的基本概念，比如平面、线段、角等。
此外，还需要了解空间中的直线、平面、空间角、平行线等概念。
了解这些概念是建立解题基础的必要条件。
2.向量表达式的转化在解题中，我们可以通过向量的基本运算将问题转化为向量的加、减、数乘问题。
因此，我们需要能够将向量从一个表达式转化为另一个表达式，并灵活地运用向量的加、减、数乘运算法则来求解问题。
用空间向量解立体几何的问的题目方法归纳
实用标准文案精彩文档用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(1)线面平行：l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a3＋b1b3＋c1c3＝0(2)线面垂直：l⊥α?a∥u?a＝k u?a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3(3)面面平行：α∥β?u∥v?u＝kv?a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4(4)面面垂直：α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD 的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面P AB；(2)求证：平面P AD⊥平面PDC.[证明]以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E 12，1，12，F0，1，12，EF＝－12，0，0，PB＝(1,0，－1)，PD＝(0,2，－1)，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)．(1)因为EF＝－12AB，所以EF∥AB，即EF∥AB.又AB?平面P AB，EF?平面P AB，所以EF∥平面PAB.(2)因为AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，AP?平面P AD，AD?平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC?平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.。
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。
更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。
首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法 一：利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= (2)直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为|cos |___________.θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=.(3)二面角二面角的取值范围是 . 二面角的向量求法：方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小；方法二：设1n ，2n 分别是两个面的 ，则向量1n 与2n 的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。
二：利用空间向量求空间距离 （1）点面距离的向量公式平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是 ，即d =||||MP ⋅n n . （2）线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = .平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||MP ⋅n n . （3）异面直线的距离的向量公式设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||MP ⋅n n .三：利用空间向量解证平行、垂直关系1：①所谓直线的方向向量，就是指 的向量，一条直线的方向向量有 个。
向量法解决立体几何问题总结(一)
向量法解决立体几何问题总结(一)向量法解决立体几何问题前言立体几何问题在数学中起到重要的作用，理解和解决立体几何问题对于提升数学思维和解决实际问题都有着积极的影响。
传统的解决方法包括使用平面几何、几何画法等，但这些方法在处理复杂的立体几何问题时可能面临一些困难。
向量法作为一种新的解决方法，在解决立体几何问题方面具有独特的优势和应用空间。
正文1. 什么是向量法向量法是一种几何运算方法，通过定义和运算向量的方式，对立体几何问题进行求解。
向量法帮助我们将几何问题转换为向量问题，进而使用向量的性质和运算来解决。
在向量法中，我们可以通过坐标表示向量，进行向量加减法、数量乘法、点乘、叉乘等运算。
2. 向量法解决立体几何问题的优势•空间直观：向量法将立体几何问题转化为向量问题，使得问题的空间特性更加直观可见。
通过绘制向量图形，我们可以更好地理解问题，有助于从几何角度进行分析。
•简化问题：通过向量法，我们可以将复杂的立体几何问题简化为向量运算问题，减少了繁琐的计算步骤和猜测过程，提高了问题解决的效率。
•统一性：向量法具有统一的运算法则和性质，使得不同类型的立体几何问题可以采用相似的解决思路和方法。
这为解决立体几何问题提供了一种通用的框架，提升了问题解决的一致性和可重复性。
3. 向量法解决立体几何问题的应用案例•平面与直线交点：通过将平面和直线的方程转化为向量形式，可以求得它们的交点。
这样的应用可以用于计算平面与光线的交点，进而用于光线追踪、计算机图形学等领域。
•空间线段位置关系：通过向量的数量乘法和点乘运算，可以判断两个空间线段之间的位置关系，如重叠、相交、平行等。
这样的应用可以用于计算机辅助设计、机器人运动规划等领域。
•图形投影：通过向量的点乘运算，可以求得一个图形在另一个图形上的投影。
这样的应用可以用于计算机图形学、建筑设计等领域。
结尾向量法作为一种新的解决立体几何问题的方法，在数学和工程领域都有着广泛的应用。
(完整版)向量法解决立体几何问题方法复习总结,推荐文档
向量法解决立体几何问题一．知识梳理1、平行问题（1） ，其中为直线的方向向量////l m a b ⇔ ,a b ,l m （2） ，其中为直线的方向向量，为面的法向量//l a n α⇔⊥ a l n α ，其中为直线的方向向量，为面内的两不共线向量//=+l a xb yc α⇔ a l ,b c α （3），其中分别为面，的法向量12////n n αβ⇔ 12,n n αβ2、垂直问题（1），其中为直线的方向向量l m a b ⊥⇔⊥ ,a b ,l m （2），其中为直线的方向向量，为面的法向量//l a n α⊥⇔ a l n α ，其中为直线的方向向量，为面内的两不共线向量l a b a c α⊥⇔⊥⊥ 且a l ,b c α （3），其中分别为面，的法向量12n n αβ⊥⇔⊥ 12,n n αβ3、角度问题（1）线线角：，其中为两直线的方向向量cos cos ,a b θ=<> ,a b （2）线面角：，其中为直线方向向量，为面的法向量sin cos ,a n θ=<> a n （3）二面角：，其符号由图像而定12cos cos ,n n θ=<> 4、距离问题（1）点点距：AB = （2）点线距：利用向量共线转化为点点距处理 （3）点面距：，其中P 为面外某点，A 为面内任何一点，为面的法向量，所求为面PA n d n⋅= n d 外某点P 到面的距离另外，平行线的距离转化为点线距，异面直线的距离转化为点面距，线面距和面面距都可化为点面距来处理5、向量的坐标运算（1）（2）121212a b x x y y z z ⋅=++ a = （3）111222//x y z a b x y z ⇔==二、习题精练1、在正方ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别是BC与A1 D1的中点，棱长为1，求（1）直线AE与DF成角余弦值（2）直线BD1与平面A1ADD1成角正弦值（3）二面角B1-AE-B余弦值2、在正方ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别是BC与A1 D1的中点，棱长为1，求（1）A到CD1的距离（2）CF与AE的距离（3）B到面B1AC的距离（4）AA1与面BDD1B1的距离3、在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，C1C⊥平面ABCD,底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E,E1，F分别是棱AD,AA1，AB的中点证明：(1)直线EE1//平面FCC1;(2)求二面角B-FC1-C的余弦值。
空间向量法解决立体几何问题全面总结
•
A(
a 2
,0,0),B(0,
3 2
a
,0)
A1(
a 2
,0,).
C(-
a 2
,0,
2 a)
• 设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)
• 得 A B(a, 2
2 3a,0)A , 1A (0,0,
2a)
• •
a
x
3 ay0 0
由 ，解得 2 2
2az 0
取y= ,得n=(3, ,0)， 3
• 如图,设两条异面直线a、b的公 垂线的方向向量为n, 这时分别在
n a
A
a、b上任取A、B两点,则向量在n
上的正射影长就是两条异面直线
b
a、b的距离. ∴ d| AB n || ABn|,
•
|n| |n|
B
• 即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两 点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂 线的方向向量模的比值.
于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α, 这时向量n叫做平面α的法向量.
n
α
• 3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的 坐标呢?
• 如图,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内 的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直 的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话 说,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥ α.
∵n1 ·n2 = -2+0+2=0
∴平面AED⊥平面A1FD
2.求空间中的角
• (1)两异面直线的夹角 • 利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用
再把这两条异面直线平移,求出两条异面直 线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直 线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角 就行了.
高三立体几何大题专题（用空间向量解决立体几何类问题）
1【知识梳理】一、空间向量的概念及相关运算1、空间向量基本定理、空间向量基本定理如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p xa yb zc =++u r r r r,,a b c r r r称为基向量。
称为基向量。
2、空间直角坐标系的建立、空间直角坐标系的建立分别以互相垂直的三个基向量k j i ρρρ,,的方向为正方向建立三条数轴：x 轴，y 轴和z 轴。
则轴。
则a xi y j zk =++r r r r（x,y,z ）称为空间直角坐标。
）称为空间直角坐标。
注：假如没有三条互相垂直的向量，需要添加辅助线构造，在题目中找出互相垂直的两个面，通过做垂线等方法来建立即可。
建立即可。
3、空间向量运算的坐标表示、空间向量运算的坐标表示(1)若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==r r ，则：()121212,,a b x x y y z z ±=±±±r r()111,,a x y z λλλλ=r 121212a b x x y y z z ⋅=++r r 错误!未找到引用源。
121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===r r r r222111a a a x y z =⋅=++r r r ．a b ⋅r r =a rcos ,b a b 〈〉r r r ．cos ,a b a b a b ⋅〈〉=r r r r r r121212222222111222cos ,x x y y z za b a b ab x y z x y z ++⋅〈〉==++⋅++r r r r r r (2)(2)设设()()111222,,,,,A x y z B x y z ==则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---u u u r r r(3)()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则()()()222212121d x x y y z zAB =AB =-+-+-u u u r二、应用：平面的法向量的求法：1、建立恰当的直角坐标系、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n =（x ，y ，z ）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a =（a1，a2, a3） b =（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n*a =0 ②n*b =05、解方程组，取其中一组解即可。
求解立体几何问题的向量方法
求解立体几何问题的向量方法向量方法在立体几何问题中的应用十分广泛，可以用于求解点、线、面的性质和相互关系，以及计算距离、角度和体积等问题。
以下将从点、线、面以及相关性质等方面详细介绍向量方法在立体几何中的应用。
一、点与向量的关系及性质：1.点P的坐标表示：设点P在空间中的坐标为(x,y,z)，则向量OP的坐标表示为(x,y,z)，其中O为坐标原点。
2.点的向量表示：点P与原点O的连线可表示为向量OP。
3.向量的模：向量OP的模记作，OP，或，OP，表示以点O为起点，点P为终点的有向线段OP的长度。
4.两点之间的向量：设点P(x1,y1,z1)、点Q(x2,y2,z2)，则向量PQ 的坐标表示为(Q-P)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
5.向量的方向：向量OP的方向是从点O指向点P的，可以用单位向量来表示，即方向与模相等的向量。
二、线的性质及向量表示：1.直线方程的向量表示：对于直线L，设点P在直线L上，向量n为直线的方向向量，则直线L上的任意一点P的坐标表示为P=P₀+t·n，其中t为实数，P₀为直线L上一点的坐标。
2.直线的方向向量：对于直线L，若直线L的方向向量u的坐标分量为(a,b,c)，则直线L的方向向量u=(a,b,c)。
3.直线的垂直性判定：若向量u和v互相垂直，则u·v=0。
4.直线的共面性判定：设直线L₁上有两点A和B，直线L₂上有一点P，则L₁和L₂共面当且仅当向量AB和AP共面，即[AB,AP]=0，其中[AB,AP]表示向量AB和AP的叉乘。
三、平面的性质及向量表示：1.平面的方程：平面上任意一点P(x,y,z)满足Ax+By+Cz+D=0称为平面的方程，其中(A,B,C)为平面的法向量。
2.平面的法向量：平面的法向量表示平面垂直于该向量的方向，可表示为n=(A,B,C)。
3.平面的一般方程：Ax+By+Cz+D=0。
若平面上有一点P₀(x₀,y₀,z₀)，则平面的一般方程可表示为A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0。
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立体几何中几类典型问题的向量解法空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。
它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。
一、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离（1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点P 与平面内任一点M 构成的向量MP u u u r的坐标，那么P 到平面的距离cos ,n MP d MP n MP n •=•<>=r u u u r u u u r r u u u rr（2）求两点,P Q 之间距离，可转化求向量PQ uuu r的模。
（3）求点P 到直线AB 的距离，可在AB 上取一点Q ，令,AQ QB PQ AB λ=⊥u u u r u u u r u u u r u u u r或PQ u u u r 的最小值求得参数λ，以确定Q 的位置，则PQ u u u r为点P 到直线AB 的距离。
还可以在AB 上任取一点Q 先求<AB ,cos ，再转化为><,sin ，则PQ u u u r><,sin 为点P 到直线AB 的距离。
(4)求两条异面直线12,l l 之间距离，可设与公垂线段AB 平行的向量n r，,C D 分别是12,l l 上的任意两点，则12,l l 之间距离CD nAB n•=u u u r r r例1：设(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7),(5,4,8)A B C D --，求点D 到平面ABC 的距离例2：如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。
点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==)20(<<a 。
（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小； （Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNBD例3：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求异面直线11A C 与1AB 间的距离例4：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3,2,AB BC CC ===求平面11A BC 与平面1ACD 的距离。
点评：若n r是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线段，且B α∈，则点A 到平面α的距离AB nd n•=u u u r r r，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射影。
二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
（1）设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意两点，则12,l l 所成的角为arccos AB CDAB CD••u u u r u u u ru u u r u u u r（2）设AB 是平面α的斜线，且,B BC α∈是斜线AB 在平面α内的射影，则斜线AB 与平面α所成的角为arccos AB BC AB BC••u u u r u u u ru u u r u u u r 。
设n r是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则AB 与平面α所成的角为arccos 2AB n AB n AB n AB nπ••-••u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ，或者arcsin 。
x yx y（3）设12,n n u r u u r 是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则121212,cos n n n n arc n n •<>=•u r u u ru r u u r u r u u r 就是二面角的平面角或补角的大小。
例5：在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，EF 分别是'',BC A D 的中点， （1）求直线'AC DE 与所成角；（2）求直线AD 与平面'B EDF 所成的角， （3）求平面'B EDF 与平面ABCD 所成的角例6：如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD ，E ，F 分别CD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；（Ⅱ）设BC ，求AC 与平面AEF 所成角的大小.例7：如图，PA ABC ⊥平面，,1,AC BC PA AC BC ⊥===A PB C --的大小。
点评：如果,AB CD 分别是二面角l αβ--两个面内的两条直线，且,,A l C l ∈∈,AB l CD l ⊥⊥，则二面角的大小为,AB CD <>u u u r u u u rxz转化 转化 例8：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，（1）当法向量12n n u r u u r与的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量12n n u r u u r与的夹角的大小。
（2）当法向量12n n u r u u r与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量12n n u r u u r 与的夹角的补角12,n n π-<>r u u r。
三、利用向量知识解决平行与垂直问题。
例9：如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，5AB =,点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：A 1C 1C （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4π..四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。
例11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ====（1）求证1;AC BC ⊥（2）在AB 上是否存在点D 使得1?AC CD ⊥ （3）在AB 上是否存在点D 使得11//A C CDB 平面五、专题突破：1、如图：已知二面角l αβ--的大小为120o，点,,A B AC l αβ∈∈⊥于点C ，BD l D ⊥于，且1AC CD DB ===，求 （1）直线AB CD 与所成角的大小，（2）直线AB CD 与的距离。
S B A C D zxyDCBAA 1D 1C 1B 1A1C BC D1A 1B lAC BD2、如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD=DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥CD ；（Ⅱ）在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论； （Ⅲ）求DB 与平面DEF 所成角的大小.3、如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，CB=1,CA=3, AA 1=6,M 为侧棱CC 1上一点, 1AM BA ⊥．（1）求证: AM 平面1A BC ； （2）求二面角B －AM －C 的大小； （3）求点C 到平面ABM 的距离．4、如图，1111ABCD A B C D -是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。
（Ⅰ）求证：1BD 1C DE 1C DE C --1BB P CP ⊥1C DE 1C （I ）证明：AB 1⊥BC 1；（II ）求点B 到平面AB 1C 1的距离. （III ）求二面角C 1—AB 1—A 1的大小 6、( 2006年湖南卷）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD;(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.ABCA 1B 1C 1M7、（2006年全国卷II ）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点．（Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线；（Ⅱ）设AA 1＝AC ＝2AB ，求二面角A 1－AD －C 1的大小．参考答案：例1：解：设平面ABC 的法向量(,,),0,0n x y z n AB n AC =•=•=r r u u u r r u u u rQ ，所以(,,)(2,2,1)0(,,)(4,0,6)0x y z x y z •-=⎧⎨•=⎩，32202460x y z x zx z y z ⎧-+==-⎧⎪∴⎨⎨+=⎩⎪=-⎩ 2,(3,2,2)z n =-=-r 则，cos ,n AD ∴<>=r u u u r所以设D 到平面ABC 的距离为d，cos ,17d AD n AD =•<>==u u u r r u u u u u r Q P A DCB图4AB CD E A 1B 1C 1例2：解：建立如图所示空间直角坐标系.O xyz -(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1),F BC (1AM AC ==u u u u r u u u r,(1,0)BN BF AN AB AF a a ==+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,0,MN AN AM a a =-=u u u u r u u u r u u u ur MN ∴=u u u u r p(2)由MN =u u u u rmin 22a MN ==u u u u r （3）1(1,01),22a MN ==-u u u ur Q 又11(0,1,1),(0,1,1)22MA MB =--=-u u u r u u u r 所以可求得平面MNA 与平面MNB 的法向量分别为12(1,1,1),(1,1,1)n n =--=u r u u r，所以121cos ,3n n <>==-u u r u u r ，所以1arccos 3θπ=-例3：解：如图建立坐标系，则111(1,0,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)A A B C111(0,1,1),(1,1,0)AB AC ∴==-u u u r u u u u r ，设MN 是直线11A C 与1AB1111(0,,),(,,0)AN AB AM uAC u u λλλ=+==-u u u r u u u r u u u u r u u u u r则11(,,0)(0,0,1)(0,,)(,MN MA AA AN u u u λλλ=++=--++=u u u u r u u u u r u u u r u u u r11120203,21103MN A C u u MN AB u λλλ⎧=-⎪⎧•=-=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-=-•=⎩⎪⎪⎩=-⎪⎩u u u u r u u u u r u u u ur u u u r ，111(,,)333MN =-u u u ur 例4：解：111111//,,//BC AD AD ACD BC ACD ⊂∴Q 平面平面，同理11//,A B ACD 平面又11,A B BC B =∴I 111平面A BC //平面ACD ，建立直角坐标系D xyz -，14,3,2AB BC CC ===Q ，11(3,0,2),(3,4,0),(0,4,2)A B C11(0,4,2),(3,0,2)A B BC ∴=-=-u u u r u u u u r,设(,,)n x y z =r 为平面11A BC x yyA向量，则110,420,n A B n A B y z ⊥⇒•=⇒-=r u u u r r u u u r由110320n BC n BC x z ⊥⇒•=⇒-+=r u u u u r r u u u u r， 不妨设12211,,,(,,1)2332z y x n =∴==∴=r二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。