复数讲义
复数讲义(含知识点和例题及解析)
数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。
若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。
2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。
(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。
3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。
(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。
复数及其运算-讲义(学生版)
复数及其运算一、课堂目标1．熟练掌握复数的相关概念及其几何意义并能熟练运用在解题中．2．熟练掌握复数代数形式的四则运算并会运用在解题中．3．掌握实系数一元二次方程两根的关系并会应用在解题中．4．理解复数的三角形式并能进行相关运算．二、知识讲解1. 复数的概念知识精讲（1）复数的概念形如的数叫复数.其中叫做虚数单位.（）规定：①复数中，把称为实部，称为虚部.②全体复数所形成的集合叫做复数集.一般用字母表示.即.③复数通常可以用字母表示，记作，这一表示形式称为复数的代数形式.（2）复数的分类已知复数①当时，则，为实数；特别地，当，且时，为实数.②当时，为虚数；特别地，当，且时，为纯虚数.（3）复数的相等规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.若..知识点睛（1）复数的分类归纳：（2）且（3）一般地，两个复数只能判断是否相等，不能比较大小（只有两复数均为实数时才比较大小）复数实数虚数纯虚数非纯虚数经典例题1.的实部是，虚部是．A.B.或C.D.2.复数与复数相等，则实数的值为（）巩固练习3.已知，则，．经典例题（1）（2）（3）4.已知复数，当实数为何值时，为实数．为虚数．为纯虚数．A.或B.或C.D.5.若复数，则实数的值是（）巩固练习6.设（），当时，为实数；当时，为纯虚数．2. 复数的几何意义知识精讲（1）几何意义（一）——复平面内容：复数复平面内的点对几何意义（一）的解释，如下图：一方面，根据复数相等的定义，复数被它的实部与虚部唯一确定，即复数被有序实数对唯一确定；另一方面，有序实数对在平面直角坐标系中对应着唯一的点.因此，可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即：复数复平面内的点.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．（2）共轭复数①概念：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复数的共轭复数记为，因此，当时，有.②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.知识点睛要注意的地方：（1）“虚轴上的点都表示纯虚数”这种说法是错误的，原点必须除外；（2）复平面内各象限内的点均表示虚数；（3）复平面内点的坐标是，而不是.经典例题A. B.C. D.7.已知复数，则复平面内对应的点的坐标为（）．A. B.C.D.8.已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）．巩固练习A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.复数，则在复平面内对应的点所在象限为（ ）．A. B.C.D.10.在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）．经典例题A.B.C.D.11.若复数的共轭复数是（）．A. B.C.D.12.在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数（ ）．巩固练习A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限13.设，则在复平面内对应的点位于（ ）．经典例题14.满足下列条件的复数对应的点的集合分别是什么图形？．巩固练习15.满足下列条件的复数对应的点的集合分别是什么图形？．知识精讲（2）几何意义（二）——复数的向量表示内容：复数平面向量对几何意义（二）的解释，如下图：因为平面直角坐标系中的点能唯一确定一个以原点为始点、为终点的向量，所以复数也可用向量来表示，这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中，以为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即：复数平面向量.知识精讲（3）复数的模一般地，向量的长度称为复数的模（或绝对值），复数的模长用表示，因此.特别地：①当时，②一般地，两个互为共轭复数的模相等，即经典例题A.B. C. D.16.已知为虚数单位，则（）．巩固练习A. B. C. D.17.设为虚数单位，则复数的模（）．经典例题18.若复数满足，则的最大值是．巩固练习19.设复数满足条件，那么的最大值是．3. 复数的运算——加减法知识精讲（1）复数的加法运算法则设，是任意两个复数，则有：．（2）复数的减法运算法则①复数的相反数：一般地复数记作，并规定②设，是任意两个复数，则有：知识点睛（1）加法的运算规律：交换律：结合律：（2）关于复数的模的结论经典例题20.若（，是虚数单位），则的值为．21.设为虚数单位，复数，，则．巩固练习22.复数，其中是虚数单位，则复数的虚部是．23.已知复数，满足：，则的值为．4. 复数的运算——乘除法知识精讲复数的乘法运算法则①乘法运算法则：设，是任意两个复数，则有：②的次方：个相同的复数相乘时，称为的次方（或的次幂），并记作.知识点睛（1）复数的乘法运算律对于任意的，有==（2）复数的乘方运算律即对于任何复数及正整数、，有、、经典例题24.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为．25.若，，其中为虚数单位，且，则．巩固练习26.设复数满足行，且是纯虚数，则．经典例题A. B.C.D.27.复数等于（）．巩固练习28.复数．知识精讲复数的除法运算法则①除法运算法则：设，是任意两个复数②复数的倒数：一般地，给定复数，称为的倒数.除以的商也可以看成与的倒数之积.知识点睛同实数类似，可以定义非零复数的次幂与负整数次幂，即当为非零复数且是正整数时，规定：经典例题A. B.C. D.29.若(其中为虚数单位)，则复数的虚部是（）．30.已知复数（为虚数单位），则．巩固练习31.设复数满足（是虚数单位），则复数的虚部为．5. 实数系一元二次方程在复数范围内的解集知识精讲设一元二次方程为.当时，方程有两个不相等的实数根当时，方程有两个相等的实数根引入复数后，当时，方程有两个不相等的虚数根可以发现这两个虚数根是一对共轭复数.、、且知识点睛一元二次方程的两个共轭虚数根同样满足一元二次方程中根与系数的关系，即引入复数后，在复数集中，实系数的二次三项式总可以分解成两个一次因式的乘积，即经典例题A. B.C. D.32.若关于的实系数一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程可以是（ ）．巩固练习33.若是实系数一元二次方程的一个根，则．6.复数三角形式知识精讲（1）复数的三角形式复数可表示为，称为复数的三角形式．是复数的模．是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，称作复数的辐角.显然，任何一个非零复数的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差的整数倍，并且在范围内的辐角的值称为复数的辐角主值，记作．经典例题A.B.C.D.34.已知，则复数的三角形式为（）．巩固练习（1）（2）（3）35.将下列复数表示为三角形式：知识精讲（2）复数乘法运算的三角表示及其几何意义①乘法运算的三角表示设，，．即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．②几何意义两个复数相乘时，如下图，先分别画出对应的向量，然后把向量绕点按逆时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义.知识点睛（1）复数乘法的几何意义可归纳为：模相乘，辐角相加（2）根据上述两个复数三角形式的乘法几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘，特别的，如果，则知识精讲（3）复数除法运算的三角表示及其几何意义①除法运算的三角表示设，，．即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．②几何意义与乘法类似，还能得到两个复数相除的几何意义，例如，任意一个复数除以，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转.经典例题36.设，，则．巩固练习37.计算．11三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、出门测A.B. C. D.38.在复平面内，若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）．A.的虚部为B.的共轭复数为C.D.在复平面内对应的点在第三象限内39.已知复数，则下列说法正确的是（ ）．40.已知复满足（其中为虚数单位），则 ．。
复数-解析版(一轮复习讲义)
复数复数的概念和基本运算【知识精讲】 1 复数的定义1） 概念：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除运算，便产生形如bi a +(,a b R ∈)的数叫做复数，全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(,a b R ∈)，其中a 称作实部记作()Re z ，b 称为虚部记作()Im z ，bi a z +=(,a b R ∈)称为代数形式，它是由实部、虚部和虚数单位三部分组成. 2）虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：① i 可与实数进行四则运算；② 12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=3）复数的定义要注意以下几点：○1bi a z +=(,a b R ∈)被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘○2数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 4）复数相等复数a bi +与c di +(),,,a b c d R ∈相等，当且仅当a cb d=⎧⎨=⎩，记作a bi c di +=+.2 复数的分类对于复数a bi +(,a b R ∈)，当且仅当0b =时，它是实数；当且仅当0a b ==时，它是实数0；当0b ≠时，它叫做虚数，当0a =且0b ≠时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R ,是复数集C 的真子集，即C R ≠⊂.3 复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量(,)OZ a b =),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数 4 复数的模向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=-5.复数的其他形式(1)复数的三角形式：设z 对应复平面内的点Z ，连接OZ ，设xOZ θ∠=，OZ r =，则cos ,sin a r b r θθ==，所以()cos sin z r i θθ=+，这种形式称为三角形式.则θ称为的辐角.若02θπ≤<，则θ称为z 的辐角主值，记作()arg z θ=，r 称为z 的模，也记作z ，由勾股定理可知z =(2)复数的指数形式：,0,i z e r R θθ=≥∈(3)复数的向量形式：()(),,z a b a b R =∈，复数的向量形式可以很好体现复数的几何意义. 6.共轭复数：若bi a z +=(,a b R ∈)，则z a bi =-称为z 的共轭复数. 性质：(1)1212z z z z ±=± (2) 1212z z z z ⋅=⋅ (3)22z z z z ⋅==(4)1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(5)1212z z z z ⋅=⋅(6)1122z z z z = (7)121212z z z z z z -≤±≤+ (8)222212121222z z z z z z ++-=+(9)若1,z =则1z z=.7.复数的运算(1)加法运算：两个复数,a bi c di ++的和定义为()()()()a bi c di a c b d i +++=+++两个复数相加，实部和实部相加的结果为实部，虚部和虚部相加的结果为虚部. (2)乘法运算：两个复数,a bi c di ++的和定义为()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++两个复数相加乘，可以参照多项式乘法相乘，最后合并同类项.(3)减法运算：给定两个复数12,z z ，满足条件12z z z +=的复数z 叫做复数2z 减去1z 的差，记作21z z z =-.(4)除法运算：给定两个复数12,z z ，且10z ≠，满足条件12z z z =的复数z 叫做复数2z 除以去1z 的商，记作21z z z =. 设()12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad iz a bi z z c di c di c di c d+-++-+====++-+ (5)开方运算：给定复数1z ，满足条件1nz z =的复数z 叫做复数1z 的n 次方根. 注解：一个不为0的复数z ，有n 个不同的n 次方根.任意一元n 次方程有n 个复数根.(6)按向量形式，加减法满足平行四边形和三角形法则.(7)按照三角形式，若()()11112222cos sin ,cos sin z r z r θθθθ=+=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ⋅=+++⎡⎤⎣⎦如20z ≠，则()()11121222cos sin z r i z r θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦ 8. 隶莫弗定理：()()cos sin cos sin nnr i rn i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦9.开方：若()cos sin nz r i θθ=+，则22cos sin k k z i n n θπθπ++⎫=+⎪⎭，其中()0,1,2,,1k n =⋅⋅⋅-.10.实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z a bi =+是方程的一个根，则z a bi =-也是一个根.11.几个常用结论在复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 对应的复数分别为1234,,,z z z z ，则 (1)()()1233212cos sin Z Z Z z z z z r i θθθ∠=⇔-=-⋅± (2)()43123421//z z Z Z Z Z k k R z z -⇔=∈-(3)()43123421z z Z Z Z Z ki k R z z -⊥⇔=∈-(4) 123,,Z Z Z 三点共线3121z z R z z -⇔∈- (5)123Z Z Z 的重心对应的复数为1233z z z ++ 12.复数表示的轨迹方程在复平面上的点12,Z Z 对应的复数分别为12,z z ，则 (1)1221Z Z z z =-表示复平面上12,Z Z 两点之间的距离； (2) 1z z r -=表示以1Z 为圆心，r 为半径的圆的方程； (3) ()1212+22z z z z a z z a --=-<表示椭圆； (4) ()1212+22z z z z a z z a --=-=表示线段； (5) ()121222z z z z a z z a ---=->表示双曲线； (6) ()121222z z z z a z z a ---=-=表示两条射线； (4) 12=z z z z --表示垂直平分线方程；13. 在复平面上的点123,,Z Z Z 对应的复数分别为123,,z z z ，则123Z Z Z 的面积为()1231223311Im 2Z Z Z Sz z z z z z =++ 【典型例题】 例1．已知复数i1iz =+，则它的共轭复数z =（ ） A ．1i2+ B ．1i2- C ．1i + D ．1i -【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，再由共轭复数的定义即可求解.【解】因为i i(1i)1i =1i (1i)(1i)2z -+==++-，所以1i 2z -=，故选：B. 例2．已知复数z 满足()()2i 2i 1i z +=+-，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】本题首先可根据复数的乘法运算得出33i z =-，然后根据复数z 在复平面内对应的点为()3,3-即可得出结果.【解】()()2i 2i 1i z +=+-，即()()22i 1i 2i 22i i i 2i 33i z =+-=-+-=---，则复数z 在复平面内对应的点为()3,3-，在第四象限，故选：D.例3．欧拉恒等式：π10i e +=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e 、圆周率π、虚数单位i 、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：()cos sin i e i R θθθθ=+∈中，令πθ=得到的．根据欧拉公式，4i e 复平面内对应的点在（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】直接利用欧拉公式化简求解，结合三角函数值的符号，即可判定复数对应的点所在的象限，得到答案.【解】由题意，欧拉公式()cos sin i e i R θθθθ=+∈，可得4cos 4sin 4i e i =+，因为cos 40,sin 40<<，所以4i e 复平面内对应的点(cos 4,sin 4)在第三象限.故选：C.【变式3-1】（不定项选择题）欧拉公式i cos isin x e x x =+其中i 为虚数单位，)x R ∈是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A ．i422e π=- B ．i2e π为纯虚数C ．复数i x e 的模长等于1D ．i3e π的共轭复数为12-i【答案】BCD【分析】由i cos isin x e x x =+，将所求复数化为()i ,z a b a R b R =+∈∈的形式，进而逐项判断可得其正误．【解】对A ，因为icos isin x e x x =+（其中i 为虚数单位，x ∈R ），所以i4e π=，故A 错；对B ，i 2i e π=为纯虚数，故B 正确；对C ，复数i x e 1=，故C 正确；对D ，i312e π=+其共轭复数为12-，故D 正确． 故选：BCD ．【变式3-2】欧拉公式i cos isin x x x e =+（其中i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当π3x =时，πi 3πcos isin 3π3e ⋅=+，根据欧拉公式，若将2021πi e ⋅所表示的复数记为z ，则将复数1iz+表示成三角形式为________．3π3πcos sin 44i ⎫+⎪⎝⎭【分析】根据欧拉公式i cos isin x x x e =+，先求出2021πi e ⋅，再进行复数的除法运算，最后再表示为三角形式.【解】因为2021πi e cos 2021πsin 2021π1i =+=-，所以13π3πcos sin 1+1244z i i i -⎫==+⎪+⎝⎭.故答案为：3π3πcos sin 244i ⎫+⎪⎝⎭【变式3-3】已知i cos isin x x x e =+，则2022i e 对应的点位于复平面的第________象限． 【答案】四【分析】根据题意得2022i cos 2022isin 2022e =+，结合2022是第四象限角，判断出cos 20220,sin 20220><，即可求出结果.【解】由题意得2022i cos 2022isin 2022e =+，因为2022是第四象限角，所以cos 20220,sin 20220><，而2022i cos 2022isin 2022e =+对应的点是()cos2022,sin 2022在第四象限，故答案为：四.例4.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则复数12z z -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先根据图形求出,OA OB ，进而得到122i,i z z =--=，结合复数的减法运算即可求出12z z -，从而求得所对应的点所在的象限.【解】由图可知()()2,1,0,1OA OB =--=，所以122i,i z z =--=，因此122i i=22i z z -=-----，所以12z z -在复平面内所对应的点为()2,2--，在第三象限，故选：C.例5.已知z 是关于x 的方程20x x a ++=的根，且z =则实数a =（ ）A ．B ．5-C ．5D 【答案】C【分析】根据共轭复数的性质得出25z z z ⋅==，结合根与系数的关系得出实数a 的值. 【解】实系数一元二次方程的虚根共轭成对出现，25z z z ⋅==，∴5a =．故选：C【变式5-1】若1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则c =______. 【答案】2【分析】根据实系数方程的虚数根成对出现的性质得出另一根，然后由韦达定理得结论． 【解】因为1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，所以1i -也是方程的根，所以(1i)(1i)2c =+-=．故答案为：2．例6.若复数z 满足1i 3z -+=，则复数z 对应的点的轨迹围成图形的面积等于（ ） A ．3 B ．9C ．6πD ．9π【答案】D【分析】利用复数的几何意义，即可判断轨迹图形，再求面积.【解】复数z 满足()13z i --=，表示复数z 对应的点的轨迹是以点()1,1-为圆心，半径为3的圆，所以围成图形的面积等于239S ππ=⨯=.故选：D【变式6-1】已知复数z 1，z 2满足|z 1|=1，|z 2|=5，则|z 1-z 2|的最小值是________． 【答案】4【分析】由题意画出图形，数形结合得答案． 【解】由1||1z =，2||5z =，可得1z ，2z 所对应点的轨迹分别为以原点为圆心，以1和5为半径的圆，12||z z -的几何意义为两圆上点的距离，由图可知，最小值为514-=．故答案为：4．【变式6-2】复数012i z =-，3z =，则0z z -的最大值是_____.【答案】【分析】设()i ,z a b a b R =+∈根据已知条件可得复数z 对应的点的轨迹，再利用复数模的几何意义即可求解.【解】设()i ,z a b a b R =+∈，则229a b +=，所以复数z 对应的点(),Z a b 的轨迹为以()0,0为圆心，3r =为半径的圆，即圆229x y +=，()()012i z z a b -=-++，0z z -=表示点(),a b 到点()1,2M -的距离，所以0z z -的最大值是33r OM +=+=+.故答案为：【变式6-3】18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如||||z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足||1z =，i 为虚数单位，则|34i |z --的最小值为________． 【答案】4【分析】令i z x y =+且,x y R ∈，根据复数模的几何意义可知|34i |z --表示(3,4)与圆221x y +=上的点的距离，即可求其最小值.【解】若i z x y =+且,x y R ∈，由题意知：221x y +=即为圆心为(0,0)半径为1的圆， ∵|34i |z --的几何意义：圆221x y +=上的点到点(3,4)的距离， ∴|34i |z --的最小值为圆心(0,0)与(3,4)的距离减去半径1，∴min |34i |14z --==. 故答案为：4【变式6-4】若z C ∈且11z -=，则z 最大值是_______________. 【答案】3【分析】先分析出z 的轨迹可看成圆()(212:11O x y -+=，根据几何法可以得到z 表示圆上的点到原点的距离，即可求出z 最大值.【解】11z -=的几何意义为复平面动点到定点(距离为1的点的轨迹，可看成圆()(212:11O x y -+=，z 表示圆上的点到原点的距离，所以z 最大值为圆O 1到原点距离加上半径1，即 max 1=3z .故答案为：3.【变式6-5】若复数z 满足11z i +-≤，则z 的最大值是___________．1【分析】设z a bi =+，可求得其轨迹为以()1,1-为圆心，1为半径的圆及其内部，根据z 的几何意义可确定所求最大值为圆心到原点距离与半径之和.【解】设z a bi =+，则()1111z i a b i +-=++-=，()()22111a b ∴++-≤，z ∴对应点的轨迹为以()1,1-为圆心，1为半径的圆及其内部，z表示z 对应的点到原点的距离，max 11z ∴==.1.例7.已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z =__________.【分析】本题首先可根据复数的除法运算得出2i z =--，然后根据共轭复数以及复数的模的相关性质即可得出结果.【解】()212i i 12i 2i2i i i 1z -⨯-+====---，则2i z =-+，z ==例8.已知复数()2236i z m m m m =-+-为纯虚数，则实数m =______. 【答案】3【分析】根据纯虚数满足的条件，得223060m m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解方程即可求出结果.【解】因为复数()2236i z m m m m =-+-为纯虚数，所以223060m m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得3m =，故答案为：3例9．已知i 为虚数单位，复数z 满足()20212i i z -=，则复数z 的虚部为______.【答案】25【分析】根据复数的运算性质得到()2i i z -=，再结合复数的除法运算和复数的概念，即可求解.【解】由题意，复数z 满足()2021505412i ii i z ⨯+=-==，可得()()()i 2i i 12=i 2i 2i 2i 55z ⋅+==-+--+， 所以复数z 的虚部为25. 故答案为：25. 例10. 若复数1z 2cos isin33ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21cos isin 244z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12z z 的辐角的主值为______． 【答案】712π. 【分析】首先求出12z z ，然后根据复数三角形式下的几何意义即可求出辐角主值. 【解】1212cosisincos isin 33244z z ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= cos isin cos isin 3344ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2coscosicossinisincosi sinsin34343434ππππππππ=+++cos cos sin sin cos sin sin cos i 34343434ππππππππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎭⎝=⎪⎝⎭1277cossin i 12ππ+=， 所以12z z 的辐角的主值为712π. 故答案为：712π. 例11.如果向量OZ 对应复数2i,OZ -绕原点O 按顺时针方向旋转4π后再把模变为原来的32倍得到向量1OZ ，则1OZ 对应的复数是___________.【答案】22-- 【分析】先求出复数2i -的三角形式，然后利用三角形式变换求解1OZ 对应的复数【解】因为332i 2cos isin 22ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以由题意可得1OZ 对应的复数为3332cos isincos isin 22244ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦333cos isin 2424ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦553cos isin44ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭322⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭22=--，故答案为：i 22--例12. 设1z 、2z C ∈，若121z z ==，则2212z z -的最大值为______. 【答案】2【分析】根据已知条件，结合不等式，即可求解．【解】12||||1z z ==，∴22221211||||||112z z z z -+=+=．故答案为：2．例13.已知复数1z ，2z 满足121z z ==，12z z +=，则12z z -=______.【分析】令1cos isin z A A =+，2cos isin z B B =+，由12||z z +=22(cos cos )(sin sin )2A B A B +++=，从而2cos cos 2sin sin 0A B A B +=，由此能求出12||z z -．【解】复数1z ，2z 满足12||||1z z ==，∴令1cos isin z A A =+，2cos isin z B B =+12||z z +=，22(cos cos )(sin sin )2A B A B ∴+++=，整理得2cos cos 2sin sin 0A B A B +=， 又22212||(cos cos )(sin sin )22cos cos 2sin sin 2z z A B A B A B A B -=-+-=--=，12||z z ∴-=例14.i 是虚数单位，则202111i 1i kk =-⎛⎫=⎪+⎝⎭∑______．【答案】i -【分析】利用复数的运算法则、复数的周期性、数列求和公式即可得出． 【解】21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2---===-++-，4(i)1-=，20214505(i)[(i)](i)i -=-⨯-=-， ∴()202120212021111i i [1(i)]i[1(i)]i i 1i 1(i)1(i)kk k k ==--⋅-----⎛⎫=-===- ⎪+----⎝⎭∑∑，故答案为：i -． 例15.已知复数()()2281543i,z m m m m m R =-++-+∈. （1）若z 是实数，求实数m 的值； （2）若z 是纯虚数，求实数m 的值：（3）若z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，求实数m 的值. 【答案】（1）1m =或3；（2）5m =；（3）3m =.【分析】（1）结合z 是实数，得到2430m m -+=，解之即可求出结果；（2）结合z 是纯虚数，得到228150430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解之即可求出结果；（3）先求出复数z 所对应的点为()22815,43m m m m -+-+，根据z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，得到2281543m m m m -+=-+，解之即可求出结果. 【解】（1）因为z 是实数，所以2430m m -+=，解得1m =或3；（2）因为z 是纯虚数，所以228150430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得5m =；（3）复数z 所对应的点为()22815,43m m m m -+-+，又因为z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，所以2281543m m m m -+=-+，解得3m =. 例16．已知复数32i23iz +=-. （1）求12i z --；（2）计算：234z z z z ++++……2021z +．【答案】（1（2）i .【分析】（1）根据复数除法法则化简z ，再由模的定义计算； （2）由i 的幂的性质分组计算得出结论．【解】化简 232i (32i)(23i)69i 4i 5i i 23i (23i)(23i)13z ++++++====--+（1）12i 1i z --=--，∴12i 1i z --=--=（2）计算22345i.i 1,i,1,i,z z z z z ===-=-==有44142431,,1,k k k k z z i z z i +++===-=-()k ∈Z ，且显然44142430k k k k z z z z ++++++=∴234z z z z ++++……20215050z z i +=⨯+=．43．已知复数22cossincos isin 9999z i ππππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求z 的共轭复数； （2）若复数0z =，求0z 在复平面内对应的点的坐标．【答案】（1）12-；（2）17⎛- ⎝⎭． 【分析】（1）利用复数的乘法运算法则及两角和正余弦公式得到结果； （2）利用复数的除法运算法则及几何意义得到结果. 【详解】（1）因为2222coscossin sin i sin cos cos sin 99999999z ππππππππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以221cos isin i 999922z ππππ⎛⎫⎛⎫=+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故z 的共轭复数为12；（2）因为017z ====-+，所以0z 在复平面内对应的点的坐标为17⎛- ⎝⎭.。
复数精品讲义
复数的引入<教师备案>（一）复数的诞生1545年，意大利数学家卡丹（或“卡丹诺”1501-1576）发表重要数学著作《伟大的艺术》，在书中提出了三次方根的求根公式．同时，提出了另一个问题，有没有两个数的和是10，乘积是40？在实数范围内，我们可以这么思考：这两个数必须都是正数，但两个正数的和一定时，积有最大值，和为10时，积的最大值为25，故这样两个数一定不存在．从另一个角度，由韦达定理知这样的两个数是一元二次方程210400x x -+=的两个根，这个方程的判别式小于零，故没有实数解．卡丹给出答案：515+-与515--，但并不清楚这有什么意义． 于是引发了一个重要问题，1-是什么？ （二）复数与虚数．笛卡尔并不承认，并起名为“imaginary number”，于是大家称1-为“虚数i”．莱布尼兹说：“上帝在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，介于存在与不存在之间”．欧拉说：“它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们是纯属虚幻”． （三）复数的意义引入1-后，所有的二次方程都有根，由此可以得到所有的n 次方程都有根，且必有n 个根．（重根重复计算）一、复数的概念1．虚数单位i ：2i 1i 1=-=-，； 2．复数：所有形如i()a b a b +∈R ，的数就称为复数（complex number ），复数通常用小写字母z 表示，即z 的实部，z 的虚部．<教师备案>注意虚部是一个实数．如34i +3，虚部为4；的虚部为4-． 3．复数的分类：i z a b =+（a b ∈R ，） z 为实数（real number ）；z 为虚数（imaginary number ）；0a =，0b ≠时，z 称为纯虚数．<4i +是一个虚数，但不是一个纯虚数；i -是一个纯虚数．可以举例：若(1)(1)i z m m =++-，问z 是实数、虚数、纯虚数时，m 分别为多少？ z 是实数1m ⇔=；z 是虚数1m ⇔≠；z 是纯虚数1m ⇔=-．4．复数集：全体复数所构成的集合，也称复数系，常用C 表示，即{}|i z z a b a b ==+∈∈C R R ，，． <教师备案>常见数集的关系为：*N NZQRC ．数系都用黑粗体的字母表示，区别于普通的集合C R ，等．手写时有时习惯多加一道竖线加上区别．5．复数相等与比较大小：6.1 数系扩充知识点睛⑴相等的复数：i i a b c d +=+⇔a c =且b d =；⑵比较大小：虚数不能比较大小，只有实数可以比较大小．<教师备案> 注意：如果题目中出现12z z >，则一定有12z z ∈R ，；如果出现0z >，则一定有z ∈R ．复数能比较大小的说法是错误的，复数不能比较大小的说法也是错误的． 两个复数能比较大小当且仅当它们都是实数．例：21(3)i z n m =+-，2(2)(3)i z m n m =-+-，若12z z >，求m n ，的取值范围．只有实数比较大小，故3m =，2232n m n n >-=-，解得1n >或3n <-．讲完这些知识点可以先讲例1．6．对所有的实系数一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠，若240b ac ∆=-<，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根24i 22b ac b x a a-=-±互为共轭复数，故实系数方程的虚根成对出现．（讲完这个知识点再讲例2）考点1：复数的概念【例1】 复数的概念⑴ x ∈R ，当x 取何值时，22(2)(32)i x x x x +-+-+是实数？虚数？纯虚数？⑵ 已知两个复数1()(4)i z x y xy =+-+()x y ∈R ，和2520i z =-+，当实数x y ，取何值时，1z 和2z 相等？【解析】 ⑴ 2320x x -+=时为实数1x ⇒=或者2x =；2320x x -+≠时为虚数1x ⇒≠且2x ≠；220x x +-=且2320x x -+≠时为纯虚数2x ⇒=-．⑵ 两个复数相等意味着实部和虚部都对应相等，所以： 5x y +=-，(4)20xy -+=解这个方程可得83x y =-⎧⎨=⎩或38x y =⎧⎨=-⎩．<教师备案>例2⑴是解实系数的一元二次方程；第⑵小题涉及到复系数的一元二次方程．易知实系数的一元二次方程与复系数的一元二次方程都有韦达定理成立，但实系数一元二次方程的判别式的相关结论对复系数的一元二次方程不正确．见易错门诊．解复系数的一元二次方程目前可以用的方法是设出解的形式，代入方程，利用复数相等得到两个等式，解得结果．这里先看一些最简单的情形，如例2⑵有实根存在的情形与易错门诊已知一根的情形．【例2】 解一元二次方程⑴ 在复数集内解方程：①2450x x ++=；②210x x ++=；③42230x x --=． ⑵ 若方程22i 1i x mx x m ++=--有实根，求出实数m 的值，并求出此实根．【解析】 ⑴ ①2(2)1x +=-，故2i x +=±，2i x =-±；②因为1430∆=-=-<，所以原方程没有实根，只有两复根：1211313i 2x -±∆-±-===-±，．③22(3)(1)0x x -+=，故23x =或21x =-，故此方程的根有3x =±与i x =±；经典精讲⑵方程有实根，x ∈R ，利用复数相等的定义有 22212112x mx x x x x m⎧+=-⇒-=-⇒=±⎨=-⎩；而22m x m =-⇒=， 即2m =-时，有实根1；2m =时，有实根1-．尖子班学案1【拓2】已知2i 0x kx +-=有一个根是i ，求另一个根及k 的值． 【解析】 因i 是其根，代入原方程为2i i i 0k +-=，由此得1i k =-，设0x 是另一根，则由根与系数的关系得0i i x =-，从而得01x =-．目标班学案1【拓3】解方程410x +=．【解析】 将方程变形得：4222120x x x ++-=，即222(1)(2)0x x +-=，因式分解得22(21)(21)0x x x x ++-+=，2210x x ++=无实根，两个虚根为22i2x -±=； 2210x x -+=无实根，两个虚根为22i2x ±=；故原方程的解有四个，为2(1i)2(1i)2(1i)2(1i)2222+--+--，，，．<教师备案>我们习惯用处理实系数一元二次方程的方法来处理复系数的一元二次方程，但复系数的一元二次方程有些结论是不成立的，比如判别式非负时有实根存在（见题2）；并且我们在解方程时，会默认未知数为实数，从而导致一些比较明显的错误（见引入），这些都是在解决复数问题中经常遇到的．引入：解方程23i 0x x +=，求x ． 【解析】 (3i)00x x x +=⇒=或3i x =-．关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围． 【解析】 误解：∵方程有实根，∴22(2i)4(1i)450a a a ∆=---=-≥．解得5a ≥或5a -≤． 分析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2i a -与1i a -并非实数．正解：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =±．二、复数的几何意义知识点睛<教师备案> 如何引出复平面与复数的几何意义，下面提供一个参考：实数的几何意义：实数与数轴上的点一一对应．如1表示数轴上一个点，1-表示数轴上另一个点，它们关于0对称，也可以理解成1绕着原点O 逆时针旋转180︒，得到1-，如图．这相当于两次逆时针旋转90︒：1i i 1⨯⨯=-，故虚数i 就是1绕原点逆时针旋转90︒，故i 在如图所求的位置，它不在数轴上，在与数轴垂直的直线上．由此得到启发，可以建立一个平面直角坐标系来表示复数，这就是复平面．用平面来理解复数是高斯在1831年提出的，这对复数被承认起到了很大的推动作用，建立复平面后，复数从一个抽象的概念变得具体，并与平面向量建立起了联系． 这里的引入我们会在复数乘法的几何意义中进一步阐述，这个内容我们会放在同步讲解复数时，那时我们会进一步介绍复数的三角形式及乘除法的几何意义．1．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ．实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0．复数i z a b =+ ←−−→有序实数对()a b ， ←−−→点()Z a b ，←−−→向量OZ ． 2．复数的模：设i()OZ a b a b =+∈R ，，则向量OZ 的长度叫做复数i a b +的模（或绝对值），记作|i |a b +，22|i |a b a b +=+．【挑战五分钟】求下列复数的模①34i -=_____；②1i +=______；③13i 2--=_______；④26i +=_____． 答案：①5；②2；③1；④22．经典精讲考点2：复数的几何意义【例3】复数的几何意义⑴ 设(3)(21)i z m m =++-，若z 对应的点在第四象限，求m 的范围．⑵ 设i z a b =+∈C ，在复平面内，满足条件0a >，0b >，24z <<的复数z 对应的点的集合是什么图形？⑶ 在复平面内，点A ，点B 所对应的复数分别为2i -+，15i +，那么AB 的中点C 对应的复数为____________．【解析】 ⑴由题意知30210m m +>⎧⎨-<⎩，解得132m -<<．⑵ 0a >，0b >表示第一象限的点，24z <<表示以原点O 半径为2和4的两圆所夹的圆环，综合起来是如右图所示的阴影部分（不包括边界）． ⑶ 13i 2-+；点A 的平面直角坐标是(21)-，，点B 的平面直角坐标是(15)，，中点C 的坐标是132⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以C 所对应的复数为13i 2-+． 【点评】 学习复数加减法的几何意义之后，111()(2i 15i)3i 222C A B z z z =+=-+++=-+．提高班学案1【拓1】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ）A ．z 的对应点Z 在第一象限B ．z 的对应点Z 在第四象限C ．z 不是纯虚数D ．z 是虚数【解析】 D ；2222(1)10t t t -+=-+≠．数系扩充的历史<教师备案> 考虑到复数的引入时间较长，所以数系的扩充可以讲完上面这些例题再讲．数系的扩充中有很多生动的例子与故事，下面的文字中会陈述其中的一部分供老师上课时参考．（一）正整数人类最早认识的是正整数．中国的《周易》中就有结绳记事的说法，而结绳计事不仅在中国，也在希腊、波斯等各地出现，从结绳计数（事）慢慢发展出各种不同的计数方法，其中最重要和最美妙的记数法是十进制位置制计数法．（除了十进制外还有很多其它进制，如计算机中的二进制，角度中的60进制（巴比伦人曾经就用60进制位置定位数系）；除了位置制计数法也还其它计数方法，如古埃及的象形文字中有10进制非位置计数，罗马数字中的含加减运算的计数方法，也许这在法语中还在延续，在法语中79就是60109++，80就是420⨯，99用得上三则运算了，是420109⨯++，心算不好的千万别学法语！） （二）0的诞生0一开始是用空位表示的，后来用点⋅，再后来用句点，最后才成为0，是从印度诞生的，通过阿拉伯在13世纪引入欧洲（这是斐波那契的功劳，由于数字是从阿拉伯引入欧洲的，故被称为阿拉伯数字，虽然是由印度人发明的）．0的书写方法正好对应中文的“零”．（汉字中很早就有零，在《孙子算经》中有除百零伍便得之．但汉字中的零原义是加法，并不是真正的零）． （三）负数42y O x负数来源自减法运算，解出负数根．欧洲在16-17世纪普遍不承认负数的存在，包括帕斯卡、莱布尼兹、卡丹（认为仅仅是记号）、韦达、笛卡尔（负根叫做假根）．最开始的负数被认为没有意义，仅可以作为一个符号出现，但不能在结果中出现．负数比分数出现的更晚． （四）分数欧洲15世纪形成分数的真正算法，中国在春秋时期（公元前770年-前476年）就有了分数运算的法则．《九章算术》章一：方田，分数加法“田以乘子，并以为实，田相乘为法，实如法而一”，“其田同有，直相从之”．其中田指分母，子指分子． 分数系对加、乘、除封闭，有了负数与分数，有理数系就形成了． （五）无理数无理数的发现与毕达哥拉斯学派以及第一次数学危机有关．毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，这个数最开始是最完美的整数，后来扩展成整数及整数之间的比，即分数．但毕达哥拉斯学派推出了著名的毕达哥拉斯定理，即中国的勾股定理，于是无理数的出现不可阻挡．比如边长为1的等腰直角三角形的斜边长无法表示成两个整数的比． 我们会在证明题三大方法中用反证法证明这个结论． 无理数的被承认也经过了很长的时间，毕达哥拉斯学派弟子希伯斯也因为发现或是传播无理数藏身大海，这也是“无理数”这个名字的由来．达芬奇（15世纪，意大利）称为“没有道理的数”、开普勒（17世纪，德国）说“不可名状的数”．在中国称无理数为算而不求其本质．有了无理数实数系就形成了． （六）复数系——完备的数系的形成复数系对加、减、乘、除是封闭的，对加法与乘法都满足交换律与结合律，加法与乘法之间满足分配律，满足这些性质的称为数系．到复数系，数系就完备了．想再将数系进行扩充，就会牺牲一些数系中的好的性质．三、复数的运算<教师备案>复数的运算是很自然的，但它是人为定义出来的，要求是与实数运算一定是相融的，不必深究这里的运算规律，直接按照常理运算即可．讲完运算可以接着做后面的练习．1．复数的加法定义：设1i z a b =+()a b ∈R ，，2i z c d =+()c d ∈R ，，定义12()()i z z a c b d +=+++．复数的加法运算满足交换律、结合律．几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． 2定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-．几何意义：复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． 3定义：(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++ 4．共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z i z a b =+时，i z a b =-．z z =．共轭的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且共轭复数的模相等．一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数模的平方．即2z z z ⋅=．<教师备案>“轭”字本意：拉犁的两头牛牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对．通俗点说就是孪生．知识点睛有共轭双曲线的概念，22221x y a b -=与22221y x b a-=称为共轭双曲线，它们共渐近线．引出共轭复数后，就可以对复数进行实数化，即利用2z z z ⋅=．复数的除法就是上下同乘分母的共轭复数．<教师备案>讲完共轭复数，可以先讲下面的例子加深对共轭复数的理解．例：在下列命题中，正确命题的有______．①对任意复数z ，有z z -为纯虚数．②对任意复数z ，有z z +∈R ．③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；④z ∈R 的一个充要条件是z z =．答案：②④；①错误，z z -可以为0；③错误，z 为实数时，也有z z +∈R ．5．复数的除法22i (i)(i)(i)(i)i a b a b c d a b c d c d c d ++-+÷+==++， 22211i i i (i)(i)||a b a b z z a b a b a b a b z --====++-+，1z称为复数z （0z ≠）的倒数． <教师备案> 复数的乘法与除法也有几何意义，我们会在春季同步时进行介绍，春季还会介绍复数的三角形式与棣莫佛定理，i n 与k ω的性质及与此相关的较复杂的复数的计算．复数乘法可以看成旋转加上模长的伸缩，这时复数首先要用模长与角度表示出来，如1i +表示模长为2，角度为45︒（称为幅角）的向量，一个复数乘以1i +即表示这个复数逆时针旋转45︒，模长再伸长到原来的2倍，如 (34i)(1i)17i ++=-+，如下图．这样(1i)(1i)2i ++=就非常好理解了． 这些内容我们会在春季同步时稍微展开，可以在假期有同学发问时适当引导，但不建议假期时展开．【挑战十分钟】计算下列各小题：⑴(32i)2(1i)(5i 1)--+++；⑵2(1i)-；⑶(2i)(3i)+-；⑷(34i)(43i)+-；⑸1i i +；⑹1i 1i -+；⑺43i 43i43i 43i -+++-；⑻2(1i)3(1i)2i ++-+；⑼213i ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 【解析】 ⑴2i +；⑵2i -；⑶7i +；⑷247i +；⑸1i -；⑹i -；⑺1425；⑻2i 33i 3i (3i)(2i)55i 1i 2i 2i 55+-----====-++； ⑼213i 223i 13i 3i ⎛⎫-----===-+ ⎪ ⎪⎝⎭．经典精讲考点3：复数的运算【铺垫】⑴已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．⑵已知复数z 满足1i 1zz-=+，则1z +等于______．【解析】 ⑴1-；注意a 是实数，复数为纯虚数，则实部为0，22(i)12i 2i a a a -=--=，则21a =且221a a =-⇒=-；⑵2；1i1i(1)i i i 1iz z z z --=+=+⇒==-+，故11i 2z +=-=．【例4】 复数的运算⑴ 设复数11i z =+，22i z x =+()x ∈R ，若12z z 为实数，则x 等于 ．⑵ 若复数3i()12ia a +∈+R 为纯虚数，则实数a =_____．⑶如果复数2i12ib z -=+的实部与虚部互为相反数，则3zz z z ++=_______．【解析】⑴ 2-； 复数为实数，虚部为0，而()()()()121i 2i 22i z z x x x =++=-++，所以20x +=，2x =-．⑵6-；3i (3i)(12i)(6)(32)i12i 55a a a a ++-++-==+为纯虚数，故606a a +=⇒=-； ⑶4；2i 12i b -+(2i)(12i)(12i)(12i)b --=+-224i 55b b -+=-，又实部与虚部互为相反数，即22455b b -+=， 解得23b =-，故2(1i)3z =-，2(1i)3z =+，222233(1i)(1i)(1i)(1i)3333zz z z ++=⋅⋅-++-++84433=+=．提高班学案2【拓1】若复数1i z =+，求实数a b ，使22(2)az bz a z +=+．（其中z 为z 的共轭复数） 【解析】 由1i z =+，可知1i z =-，代入22(2)az bz a z +=+得：(1i)2(1i)a b ++-[]22(1i)a =++，即2(2)i a b a b ++-()22a =+44(2)i a -++则()222424(2)a b a a b a ⎧+=+-⎪⎨-=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．尖子班学案2【拓2】已知221i 1z x x =++22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．【解析】 ∵12z z >，∴42221()x x x a ++>+，∴22(12)(1)0a x a -+->对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式恒成立；当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩． 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．证明：分成直接证明与间接证明，直接证明的主要方法有综合法与分析法，间接证明主要是反证法． ⑴ 直接证明：①综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理出发，经过逐步推理，最后达到待证结论．是从原因推导到结果的思维方法；②分析法：最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法．<教师备案>在书写过程中用得比较多．比较复杂的问题往往需要同时从条件与结论入手，同时使用综合法与分析法得到结果．讲完直接证明可以先讲例题5及其拓展．⑵ 间接证明：常用的有反证法．反证法：先否定结论（假设原命题不成立），在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，说明假设错误，从而肯定结论的真实性．事实、原命题中的已知条件矛盾等．<教师备案>反证法是由p q ⇒转向证明：q r t ⌝⇒⇒⇒，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q ⌝为假，推出为真的方法．它的本质是：结论不成立是不行的！基础的二元论——非真即假． 考虑使用反证法的情况有： ①条件太少；②一些典型的问题，包括否定性命题，唯一性命题，必然性命题，至少至多类命题，涉及无限结论的命题等．<教师备案>反证法首先需要正确的进行反设．例：用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（ ）A ．假设三个内角都大于60︒B ．假设三个内角都不大于60︒C ．假设三个内角至多有一个大于60︒D ．假设三个内角至多有两个大于60︒ 答案：A ．<教师备案>反证法的小例子：①伽利略在比萨斜塔上扔铁球，推翻亚里士多德的理论（即物体下落速度和重量成比例的学说，据传说是在1589年，实际上是假的） ②线面平行的判定定理和性质定理的证明． （判定定理：a b a b a ααα⊄⊂⇒∥，，∥． 简单证明：如果a 与α不平行，则a A α=；a b ，确定平面β，则b α⊂，b β⊂，A A αβ⊂⊂，，于是A b ∈，从而a b A =，这与条件中a b ∥矛盾．性质定理的证明即假设线线不平行，则线线相交，从而线面相交，与已知矛盾，具体略去） ③证明质数有无限多个．（古希腊经典证明，欧几里得《几何原本》的命题20，原文“预先给定几个质数，那么有比它们更多的质数．”）简单证明：如果结论不成立，即质数只有有限多个，记为12n p p p ，，，，则121n N p p p =⋅⋅+不是质数，故它一定有质因子，即存在某个i p ，i N p M =⋅，即12i i 12i 1i 11()1n n p p p p M p M p p p p p -+⋅⋅+=⇒-⋅=，这不可能．6.2 证明题三大方法知识点睛故假设错误，即质数有无穷多个． ④证明2是无理数．简单证明：如果结论不成立，即2是有理数，则∃m n ∈Z ，，m n ，互素，使得2mn=， 故2m n =，两边平方得222m n =．从而2是m 的因子，从而4是2m 的因子，故2是2n 的因子，故m n ，有公因子2，它与m n ，互素矛盾．上面这些例子可以选讲，讲完这些例子后，可以接着讲后面的例6及拓展．考点4：分析法与综合法【例5】分析法与综合法 已知a b c ∈R ，，，0a b c ++=， ⑴求证：0ab bc ac ++≤．⑵若0abc >，求证：1110a b c++<．⑶若a b c >>，求证：0a >，且2ca>-；⑷若a b c >>，求证：23b ac-<．【解析】 ⑴由0a b c ++=得a b c =--；∴()()()ab bc ac a b c bc b c b c bc ++=++=--++22223024c b bc c b c ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭≤．⑵111bc ac ab a b c abc++++=， 由⑴知0ab bc ac ++≤，当且仅当002cc b =+=，，即0a b c ===时取等号，∵0abc >，故等号取不到，即0ab bc ac ++<，又∵0abc >，∴1110bc ac aba b c abc++++=<．⑶ ∵a b c >>，所以30a a b c >++=，即0a >； 又∵b a c =--，a b >，所以a a c >--，所以2a c >-，又0a >，所以2c a >-，所以2ca>-．⑷法一：分析法因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，要证明原不等式成立，只需证明23b ac a -<， 即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<， 即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->， 所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立． 法二：综合法因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，22221324b ac a ac c c a -++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 而1012c b c b a a a a ++=⇒=-->-，又0ca<， 经典精讲11故(20)c a ∈-，，故213324c a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭提高班学案3【拓1】已知：00a b >>，【解析】 法一：综合法∵00a b >>，，=+法二：分析法∵00a b >>，，移项整理得即证明(0a b -≥，即证明20≥， 这显然成立，故原不等式得证．目标班学案2【拓3】求证：223)a b ab a b +++≥． 【解析】 法一：∵2222a b ab ab +≥≥，23a +≥≥，23b +≥≥，将此三式相加得222(3)2a b ab ++++≥∴223)a b ab a b +++≥． 法二：要证223)a b ab a b ++++≥，即证222[3)]0a b ab a b ++-+≥，左边可以写成：222()((0a b a b -++≥，此不等式显然成立，且在a b == 法三：把原式视作关于变量a的不等式，即证：(()2230a b a b -++≥；①那么该不等式恒成立等价于其判别式(()22430b b ∆=+-+≤恒成立；整理∆得(223930b b ∆=-+-=-≤恒成立，所以不等式①即原不等式成立．考点5：反证法【铺垫】已知a b c d ∈R ，，，，且1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证：a b c d ，，，中至少有一个是负数．【解析】 假设a b c d ，，，都是非负数，∵1a b c d +=+=，∴()()1a b c d ++=．又∵()()1a b c d ac bd ad bc ac bd ++=++++>≥，即11>，矛盾； ∴a b c d ，，，中至少有一个是负数．12第6讲·提高-尖子-目标·教师版【例6】 反证法已知非零实数a b c ，，成等差数列，且公差0d ≠，求证：111a b c，，不可能是等差数列．【解析】 假设111a b c ，，是等差数列，则211b a c=+，又2b a c =+，两式联立消去b 得411a c a c =++，化简得：2()0a c -=，故a c =，这与0d ≠矛盾，故111a b c，，不可能是等差数列．【点评】 本题结论还可以推广：a b c ，，与111a b c，，均不可能构成等比数列．尖子班学案3【拓2】证明：238，，不可能是同一等差数列中的三项．【解析】 假设结论不成立，即存在一个等差数列{}n a ，公差为d ，使得238，，是其中三项，不妨记12(1)k a a k d ==+-，13(1)m a a m d ==+-，18(1)n a a n d ==+-． 于是32()m k a a m k d -=-=-，83()n m a a n m d -=-=-， 将这两个式子相除得83(223)(32)1632m k n m --==-+=+--， 由*m n k ∈N ，，知m kn m-∈-Q ，故16+∈Q ，这不可能，故假设错误，238，，不可能是同一等差数列中的三项．目标班学案3 【拓3】实数a b c ，，满足000a b c ab bc ac abc ++>++>>，，，求证：a b c ，，均大于零． 【解析】 假设结论不成立，即a b c ，，中存在不大于零的数，不妨设0a ≤，由0abc >知，0a <，且0bc <，不妨设00b c <>，， 由0a b c ++>知0c a b >-->，0a b +<．于是22()()()ab bc ac ab a b c ab a b a b a ab b ++=++<++--=---223024b a b ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭，这与已知中0ab bc ac ++>矛盾，故假设不正确，即a b c ，，均大于零．【演练1】已知(32)(5)i 1910i a b a b ++-=+()a b ∈R ，，则a = ，b = ． 【解析】 35，；32193510a b a a b +=⎧⇒=⎨-=⎩，5b =．【演练2】若3i z =-，则2z 的共轭复数是 ．【解析】223i +； 22(3i)223i z =-=-，2223i z =+．实战演练13【演练3】实数m 分别取什么数值时？复数22(56)(215)i z m m m m =+++--⑴ 与复数212i -相等；⑵ 与复数1216i +互为共轭；⑶ 对应的点在x 轴上方．【解析】 ⑴ 根据复数相等的充要条件得2256221512m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解得1m =-．⑵ 根据共轭复数的定义得22561221516m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解得1m =．⑶ 根据复数z 对应点在x 轴上方可得22150m m -->，解之得3m <-或5m >． ∴(3)(5)m ∈-∞-+∞，，．【演练4】若复数3i1ia ++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．4 C ．3- D ．6【解析】 C由3i (3i)(1i)3(3)i 33i 1i (1i)(1i)222a a a a a a ++-++-+-===+++-． 因为复数3i 1i a ++是纯虚数，所以302a +=且302a-≠．解得3a =-．【演练5】若1x <，1y <，证明：11x yxy-<-． 【解析】 用分析法证明：要证明11x yxy-<-，即证明1x y xy -<-，即证明2222212x y xy xy x y +-<-+， 不等式移项得即证明2222221(1)(1)0x y x y x y +--=-->． 由11x y <<，知，2211x y <<，，故此不等式成立，原命题得证．【演练6】已知非零实数a b c ，，成等差数列，且公差0d ≠，求证：a b c ，，不可能是等比数列． 【解析】 假设结论不成立，即a b c ，，构成等比数列，则2b ac =．又2b a c =+，故222a c b ac +⎛⎫== ⎪⎝⎭，整理得：2()0a c -=，故a c b ==，这与已知中的公差0d ≠矛盾，故假设不成立，所以a b c ，，不可能是等比数列．。
高中数学竞赛第十五章 复数【讲义】
第十五章 复数 一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。
若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。
若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。
模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。
高中数学复数讲义.教师版
知识内容一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于，即；1-21i =-（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系:i 就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i ．1-21x =-21x =-（4）i 的周期性：， ， ， ．41n i i +=421n i +=-43n i i +=-41n i =2．数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数3．复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做i()a b a b +∈R ，a b 复数集，用字母表示C 4．复数的代数形式:通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．z ()z a bi a b R =+∈，a bi +5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：0对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数()a bi a b R +∈，0b =()a bi a b R +∈，a 0b ≠叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数z a bi =+0a =0b ≠z bi =0a b ==z 0复数h i n6．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C ÜÜÜÜ7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，a ， ，，那么，a b d ，，c d ∈R i ia b c d +=+⇔a c =b d =二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横i()z a b a b =+∈R ，()a b ，Z 坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来a b i()z a b a b =+∈R ，()Z a b ，表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表x y 示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是()00，表示是实数．00i 0z =+=除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数复平面内的点z a bi =+←−−−→一一对应()Z a b ，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数与的和的定义：1z 2z 12z z +=()()i i a b c d +++=()()ia cb d +++2．复数与的差的定义：1z 2z 12z z -=()()i i a b c d +-+=()()ia cb d -+-3．复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4．复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++5．乘法运算规则：设，(、、、)是任意两个复数，1i z a b =+2i z c d =+a b c d ∈R 那么它们的积()()()()12i i izz a b c dac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与2i 1-虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z =（2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()1231213z z z z z z z +=+7．复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：()()()i i i c d x y a b ++=+x yi +x y ∈R a bi +c di +或者()()a bi c di +÷+a bi c di++8．除法运算规则：设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，i a b +a b ∈R i c d +c d ∈R i x y +x y ∈R 即∵()(i)i i a b c d x y +÷+=+()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++∴()()i icx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知解这个方程组，得cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adic d c d +-=+++②利用于是将的分母有理化得：()()22i i c d c d c d +-=+iia b c d ++原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+．222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d++-+-==++++∴(()(i)i a b c d +÷+=2222iac bd bc adc d c d +-+++点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，它们之积i c d +i c d --为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分1()()22c di c di c d +-=+母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
数学基础讲义-第九章复数
第九章复数复数是对实数域拓展得到的新的数域，然而复数其实并不算是全新的概念，它与已经学习的实数和向量都有直接联系。
根据实数的运算进一步推广即可得到复数的性质和运算规律；复数与向量在形式上具有诸多相同点并能建立起对应关系。
复数也具有显著的“数形结合”的特点，通过虚数单位i将“数”与“形”更加直接地结合了起来。
高中阶段对复数的学习和考察的内容较为基本，可以将学习本章当作对代数运算与向量知识的复习。
一、虚数与复数从用于计数的自然数开始，先根据加法和减法拓展到整数，再根据乘法和除法拓展到有理数，又根据乘方和开方拓展到实数，现在进一步拓展到复数。
1.1 实数与虚数解一元二次方程时，根据各项系数可以判断方程根的情况。
对于一元二次方程20ax bx c（0a ）配方得：2224 (24b b ac xa a等式左边是完全平方数，恒大于等于0，由此可得：若240b ac，则方程有2个不同的实根。
若240b ac，则方程有2个相同的实根，或称只有1个实根。
若240b ac，则方程有没有实根。
为了令一元二次方程总是有解，现在规定根号内也可为负数，即：虚数。
现在只简单生硬地规定：对于虚数的具体含义，接下来将根据该规定，结合具体运算进行推导。
为方便地表示虚数，再引入一个新的单位：虚数单位，一般用符号i 表示。
其定义式为：i将实数的乘法运算作用于虚数单位i 。
任意虚数都可以用一个实数与虚数单位i 的乘积表示：5i根据虚数单位的定义i ，可得到关于i 的一系列运算规律：221i321i i i i i4242()(1)1i i即：对于任意k Z ，都有：41k i ，41k i i ，421k i ，43k i i 虚数的表示方式也适用于实数，只是通常被省略了。
若将“1”看作“实数单位”，即：1 。
“实数单位”“1”1 。
可以将实数和虚数看作分别属于两个不同“空间”的数，实数以1）为单位，在“实在”的空间内；i ）为单位，在“虚拟”的空间内。
2025届高考数学一轮复习——复数讲义
2025届高考数学一轮复习——复数讲义【高考考情分析】复数是高考的必考内容，多出现在选择题中，近几年多选题、填空题形式也有考查，试题较为简单，属于送分题，主要考查复数的概念和复数的四则运算.【基础知识复习】1.复数的有关概念（1）复数相等：i i a b c d a c +=+⇔=且b d =(,,,)a b c d ∈R .（2）共轭复数：i a b +与i c d +共轭a c ⇔=且b d =-(,,,)a b c d ∈R .（3）复数的模：复数i(,)z a b a b =+∈R 对应的向量OZ 的模叫做z 的模，记作||z 或|i |a b +，即|||i |z a b =+=2.复数的几何意义（1）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应复平面内的点(,)Z a b . （2）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应平面向量((0,0),(,))OZ O Z a b . 3.复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则（1）加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；（2）减法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-；（3）乘法：12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++；（4）除法：122222i (i)(i)i(i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d c d++-+-===++≠++-++. 4.复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何123,,z z z ∈C ，有1221z z z z +=+，123123()()z z z z z z ++=++.5.复数加、减法的几何意义（1）复数加法的几何意义若复数12,z z 对应的向量12,OZ OZ 不共线，则复数12z z +是以12,OZ OZ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数.（2）复数减法的几何意义复数12z z -是1221OZ OZ Z Z -=所对应的复数.6.复数乘法的运算律：对于任意123z z z ∈C ，，，有交换律：1221z z z z =；结合律：123123()()z z z z z z =；乘法对加法的分配律：1231213()z z z z z z z +=+.【重点难点复习】1.复数的模的运算性质（1）1212z z z z ⋅=⋅；（2）()112220z z z z z =≠； （3）()11n n z z n *=∈N .2.共轭复数的相关运算（1）z z z =⇔为实数，0z z +=且0z z ≠⇔为纯虚数；（2）2222||||zz z z a b ===+；（3）2z z a +=，2i z z b -=；（4）1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，()112220z z z z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【基本方法与技能复习】求解复数相关问题的技巧（1）复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需先把所给复数化为i()a b a b +∈，R 的形式，再根据题意列方程（组）求解.（2）求复数的模时，直接根据复数的模的公式和性质进行计算.（3）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的方法.（4）在复数的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，把含有虚数单位i 的项看作一类同类项，不含i 的项看作另一类同类项；除法运算则需要分母实数化，解题中注意要把i 的幂化成最简形式.（5）由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【典型例题复习】1i =+，则z =( ) A.1i -- B.1i -+C.1i -D.1i + 2.【2024年新课标Ⅰ卷】已知1i z =--，则||z =( )3.【2023年新课标Ⅰ卷】已知1i 22i z -=+，则z z -=( ) A.i - B.i C.0 D.14.【2023年新课标Ⅰ卷】在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.【2022年新高考Ⅰ卷】若()i 11z -=，则z z +=( )A.-2B.-1C.1D.26.【2022年新高考Ⅰ卷】(22i)(12i)+-=( )A.24i -+B.24i --C.62i +D.62i - 答案以及解析1.答案：C1i =+，所以(1)(1i)z z =-+，即1i i z z z =-+-，即i 1i z =+，所以1i (1i)(i)1i i i(i)z ++-===--，故选C.1=+=11i 11i (1i)(1i)22z --==-+-11i 22=+=所以z =21i 1i=-+，故选C. 2.答案：C解析：|||1i |z =--==3.答案：A解析：因为1i(1i)(1i)2i1i22i2(1i)(1i)42z----====-++-，所以1i2z=，即iz z-=-.故选A.4.答案：A解析：(13i)(3i)3i9i368i+-=-++=+，在复平面内对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限，故选A.5.答案：D解析：因为i(1)1z-=，所以111iiz=-=+，所以1iz=-，所以(1i)(1i)2z z+=++-=.故选D.6.答案：D解析：(22i)(12i)24i2i462i+-=-++=-，故选D.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．【知识梳理】一、复数基本概念1.虚数单位：复数的单位为i ，它的平方等于1-，即12-=i .2.复数：形如bi a +的数（b a ,R ∈），复数通常有小写字母z 表示，即bi a z +=，其中a 叫做复数的实部、b 叫做复数的虚部，i 称做虚数单位.3.复数相等：如果两个复数bi a +与di c +的实部与虚部分别相等，即,a c b d ==，那么这两个复数相等，记作：bi a +=di c +.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．4.共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭．复数z 的共轭复数用z ，也就是当i z a b =+时，i z a b =-．a a =，i i b b =-．5.分类：复数bi a +(b a ,R ∈)中，当0=b 时，就是实数；除了实数以外的数，即当0≠b 时，bi a +叫做虚数；当0=a ,0≠b 时，叫做纯虚数.正整数有理数,Q Z q p q p ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭零（0a b ==） 实数R ：（0b =） 负整数复数C 无理数i(,)R z a b a b =+∈纯虚数（0a =） 虚数（0b ≠）非纯虚数（0a ≠）6.复平面：在直角坐标系里，点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．7.复数的坐标表示：一个复数i z a b =+对应了一个有序实数对(,)a b ；反之一个有序实数对(,)a b 对应了一个复数i a b +．在复平面内，复数i z a b =+与复平面内的点(,)Z a b 是一一对应的．我们常把复数i a b +看作点(,)Z a b ．8.复数的向量表示：在复平面内，复数i z a b =+与点(,)Z a b 是一一对应的，而点(,)Z a b 与向量OZ （O 为原点）又成一一对应，因此复数i z a b =+与向量OZ 也是一一对应的，即复数i a b +可由向量OZ 表示，并且规定相等的向量表示同一个复数．我们也把复数i a b +看作向量OZ ．9.复数的模：在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，z =．特别地，如果0b =，则z a =就是一个实数，它的模就等于a ，故模是实数中绝对值概念在复数中的推广．二、复数的运算：1.加法：设1i z a b =+，2i z c d =+是任意两个复数，则它们的和是(i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．注：（1）1221z z z z +=+（交换律），123123()()z z z z z z ++=++（结合律）；（2）设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2.减法：设1i z a b =+，2i z c d =+是任意两个复数，则它们的差是(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．注：设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．3.乘法： 2(i)(i)i i i ()()i a b c d ac bc ad bd ac bd bc ad ++=++-=-++．注：1221z z z z ⋅=⋅（交换律），123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（结合律），1231213()z z z z z z z ⋅+=+（分配律）；mnm nz z z +⋅=；()m n mn z z =；1212()n n nz z z z ⋅=⋅. 4.除法：i dc adbc d c bd ac d c i ad bc bd ac i d c bdi bci adi ac di c di c di c bi a di c bi a 2222222222)())(())((+-+++=+-++=--+-=-+-+=++．一般通过“分母实数化”进行除法运算，即11212222222(0)z z z z z z z z z z ⋅⋅==≠⋅． 【精讲精练】[例1]两个共扼复数的差是（ ）A .实数B .纯虚数C .零D .零或纯虚数错解:当得到bi z z 2=-时就错误的选B ，忽略了b 可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为bi a z +=及),(R b a bi a z ∈-=则bi z z 2=- 或bi z z 2=-当0≠b 时，z z -，z z -为纯虚数当0=b 时，0=-z z ，0=-z z ，因此应选D.注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记 忆有关概念性质.[例2]实数a 分别取什么值时，复数i a a a a a z )152(3622--++--=是： （1）实数；(2)虚数；(3)纯虚数.解：实部3)3)(2(362+-+=+--a a a a a a ，虚部)5)(3(1522-+=--a a a a .（1）当时，z 是实数；（2）当 ，且 时，z 是虚数； （3） 当或时是纯虚数．[例3] 设i z R m i m m m m z 35),()34()32(2221+=∈+-+--=，当m 取何值时： (1) 21z z =；(2)01≠z .分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值．解：(1)由可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--33453222m m m m 解之得4=m ，即：当 时(2)当可得：或 ，即时01≠z .[例4] 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是（ ）A.椭圆B.直线C.线段D.圆错解：选A 或B.错因：如果把i z 2-看作动点Z 到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数5∴动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.正解： 点（0，2）与（-1，0）间的距离为5， ∴动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C 评注：加强对概念的理解加深，认真审题. [例5] 求值：.)1()1(6nn i i --⋅+错解：原式=1368)2()11()1(+=⋅-=-+-n n ni i i ii i 82-==时，原式当n 83==时，原式当n错因：上面的解答错在没有真正理解Z n ∈的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位i 的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位i 整数幂的运算结果的周期性.正解：原式=nii i )11()1(6-+- =138)2(+=⋅-n n i i i=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-+=-).4(8,348)(),24(8),14(8k n ik n k k n ik n ）（为非负整数 评注：虚数单位i 整数幂的值具有以4为周期的特点，根据时，求ni n 必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论. [例6]已知iz 312+-=，求200021zz z +++ 的值.分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式qq a S n n --=1)1(1，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简. ω=+-=--=+-=i i iz 23214)31(2312 原式=01111111667*32001=--=--=--ωωωz z 评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.【随堂练习】1.z ＝i m m m m )2()23(22-+++-是纯虚数，实数m 的值是( ) (A)1 (B)2 (C)－2 (D)1和22. 当m <1时，复数z m i =+-21()在复平面上对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限3. 如果复数21bii-+(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，则b=( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4. 下列四个命题： ①满足zz 1=的复数有i ±±,1；②若a ，b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数； ③复数R z ∈的充要条件是z z =；④复平面内x 轴即实轴，y 轴即虚轴. 其中正确的有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 5. 设复数z 满足关系i z z +=+2||，那么z 等于（ ）． A ．B ．C ．D ．6. 23100123100i i i i +++++ ＝( )(A)i 5051- (B)i 5050- (C)i 5050+(D)i 5049-7. 211i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的值等于( )(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i 8.复数2(i -的虚部是 .9. 在复平面内，O 是原点，OA ，OC ，AB 表示的复数分别为-+++23215i i i ，，，那么BC 表示的复数为____________.10. 已知复数z 对应的点(,)a b 在圆22(1)1x y ++=上移动,并且1iz -是纯虚数,则复数z 的值为________. 11.______)11(1993=-+ii 12．计算13. 实数m 取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限．14.已知z z z f -+=1)(且,310)(i z f +=-求复数z . 15.计算.【真题汇编】（2010湖南文数）复数等于 A. 1+I B. 1-i C. -1+i D. -1-i（2010浙江理数）对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（A ） （B ）21i-()i ,R z x y x y =+∈i 2z z y -=222z x y =+（C ） （D ）（2010全国卷2理数）复数（A ） （B ） （C ） （D ） （2010陕西文数）复数z=在复平面上对应的点位于 [A](A)第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2010辽宁理数）设a,b 为实数，若复数，则 （A ） (B) (C) (D)（2010江西理数）已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y分别为（ ）A.x=-1，y=1B. x=-1，y=2C. x=1，y=1 D. x=1，y=2（2010安徽文数）(2)已知，则i()=(C)(D) （2010浙江文数）设i 为虚数单位，则(A)-2-3i (B)-2+3i (C)2-3i (D)2+3i（2010山东文数）（2）已知，其中为虚数单位，则 A. B. 1 C. 2 D. 3（2010北京文数）⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i（2010四川理数）（1）i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝（A ）－1 （B ）1 （C ） （D ） （2010天津文数）(1)i 是虚数单位，复数= (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i （2010天津理数）（1）i 是虚数单位，复数(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i（2010广东理数）2.若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，则z 1·z 2=（ ）A ．4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3 （2010福建文数）4．是虚数单位,等于 ( ) A ．iB ．-iC ．1D ．-12z z x -≥z x y ≤+231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭34i --34i -+34i -34i +1ii+11+2ii a bi=++31,22a b ==3,1a b ==13,22a b ==1,3a b ==21i =-1i i i i 51ii-=+()2,a ib i a b R i+=+∈i a b +=1-i -i 31ii +-1312ii-+=+i 41i ()1-i+（2010全国卷1理数）(1)复数 (A)i (B) (C)12-13 (D) 12+13（2010山东理数）(2) 已知（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3 （2010安徽理数）1、A 、B 、C 、D、(2009年广东卷文)下列n 的取值中，使=1(i 是虚数单位）的是（ ）A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5（2009广东卷理）设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2 （2009浙江卷理）设（是虚数单位），则( )A ．B ．C ．D ． （2009浙江卷文）设（是虚数单位），则（ ） A ． B ． C ． D ． 5.（2009北京卷理）在复平面内，复数对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限(2009山东卷理)复数等于 （ ）A ． B. C. D.(2009山东卷文)复数等于（ ）A ． B. C. D. （2009全国卷Ⅰ理）已知=2+i,则复数z= （ ）3223ii+=-i -i i 2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+i =141412+12ni z ()a z 1nz =n i ()a i =1z i =+i 22z z+=1i --1i -+1i -1i +1z i =+i 22z z+=1i +1i -+1i -1i --(12)z i i =+31ii--i 21+12i -2i +2i -31ii--i 21+12i -2i +2i -1iZ＋（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i （2009安徽卷理）i 是虚数单位，若，则乘积的值是( ) （A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15 （2009安徽卷文）i 是虚数单位，i(1+i)等于（ ）A ．1+i B. -1-i C.1-i D. -1+i（2009江西卷理）若复数为纯虚数，则实数的值为 （ ）A ．B ．C ．D ．或 （2009全国卷Ⅱ理）（ ）A.B.C.D. （2009辽宁卷理）已知复数，那么=（）（A ）（B ） （C ） （D ）（2009宁夏海南卷理）复数（ ）（A ）0 （B ）2 （C ）-2i (D)2 16.（2009辽宁卷文）已知复数，那么＝ （ ）（A（B（C ）（D ）（2009天津卷文）是虚数单位，=（ ）A B C D（2009宁夏海南卷文）复数（ ）（A ） （B ） （C ） (D) （2009天津卷理）i 是虚数单位，= （ ）（A ）1+2i （B ）-1-2i （C ）1-2i （D ）-1+2i（2009四川卷理）复数的值是（ ）Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－ Ｄ. （2009重庆卷理）已知复数的实部为，虚部为2，则= （ ）17(,)2ia bi ab R i+=+∈-ab 2(1)(1)z x x i =-+-x 1-011-110i2-i=-2+4i -2-4i 2+4i 2-4i 12z i =-1z55+55-1255i +1255i -32322323i ii i+--=-+12z i =-1z1255i +1255i -i ii-25i 21+i 21--i 21-i 21+-3223ii+=-11-i i -52i i-2(12)34i i+-i i z 1-5i zA ．B ．C ．D ．（2009江苏卷）若复数其中是虚数单位，则复数的实部为 。