高中数学全套讲义 选修1-2 复数运算难 教师版

考点一复数的运算 (2)考点二复数的模 (5)课后综合巩固练习 (7)考点一 复数的运算1．复数的加法与减法⑴加法：设1i z a b =+，2i z c d =+，,,,a b c d ∈R ，定义12()()i z z a c b d +=+++． 复数的加法运算满足交换律、结合律．⑵相反数：已知复数i a b +，存在惟一的复数i a b --，使(i)(i)0a b a b ++--=，ia b --叫做i a b +的相反数．i (i)a b a b --=-+．在复平面内，互为相反数的两个复数关于原点对称． ⑶复数的减法法则：(i)(i)(i)(i)a b c d a b c d +-+=++--()()i a c b d =-+-，⑷复数加法的几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． 2．复数的乘法设1i z a b =+，2i z c d =+，a 、b 、c 、d ∈R ，定义12()()i z z ac bd ad bc =-++． 复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方．复数的乘方也就是相同复数的乘积．实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复数z 、1z 、2z 和自然数m 、，有m n m n z z z +⋅=，()m n mn z z =，1212()n n n z z z z ⋅=⋅．在复数的乘方运算中，要记住以下结果：1i i =，2i 1=-，3i i =-，4i 1=；41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =．<教师备案>记12ω=-，则12ω=-，331ωω==，210ωω++=，1ωω⋅=，1ωω+=-，2ωω=3．复数的除法已知i z a b =+，如果存在一个复数z '，使1z z '⋅=，则z '叫做z 的倒数，记作1z．222221i ||a b zz a b a b z =-=++． 两个复数除法的运算法则如下：i (i)(i)i a b a b c d c d ++÷+=+22i (i)c d a b c d -=+⋅+22()()i ac bd bc ad c d ++-=+2222i ac bd bc adc d c d +-=+++．1．（2019春•遂宁期末）设m R ∈，复数(1)()z i m i =+-在复平面内对应的点位于实轴上，又函数()f x mlnx x =+，若曲线()y f x =与直线:21l y kx =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．{}1(,]12-∞B ．(-∞，0]{1}C ．(-∞，0]{2}D ．(-∞，0)(2⋃，)+∞【分析】由已知求得m ，得到()f x ，利用导数研究单调性及过(0,1)-的切线的斜率，再画出图形，数形结合可得实数k 的取值范围． 【解答】解：(1)()(1)(1)z i m i m m i =+-=++-在复平面内对应的点位于实轴上，n10m ∴-=，即1m =．又当0x →时，()f x →-∞， 作出函数()f x lnx x =+的图象如图： 直线:21l y kx =-过(0,1)-， 设切点为0(x，00)lnx x +，把(0,1)-代入，可得00011lnx x x ---=--，即00lnx =，即01x =． 则22k =，1k =．一个公共点，]{1}时，曲线y 故选：A ．【点评】本题考查复数的基本概念，考查函数零点的判定，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．2．（2017•赣州一模）复数1z 、2z 满足12||||1z z ==，12242iz z i--=+，则12(z z = ) A ．1 B ．1-C ．iD ．i -得cos cos αβ=，sin sin 2αβ-=-，即可得出．由12||||1z z ==，设1cos sin z i αα=+，2cos sin z i ββ=+， cos cos αβ∴=，sin sin 2αβ-=-， cos cos 0αβ∴==，sin 1α=-，sin 1β=， 1z i ∴=-，2z i =，则121z z i i =-=． 故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2016春•宝山区校级月考）设11()()()(*)11n ni i f n n N i i+-=+∈-+，如果{()}A f n ⊆，则满足条件的集合A 有( ) A ．8个B ．7个C ．3个D ．无穷多个【分析】首先由复数代数形式的乘除运算化简，然后根据虚数单位i 的幂运算性质分类讨论，求出()f n 中的元素，则答案可求2,40,412,420,43n kn k n k n k =⎧⎪=+⎪=⎨-=+⎪⎪=+⎩ ()f n ∴有三个不同的值，即()2f n =-，0，2，A 是{()}f n ，它的一个子集． {2}A ∴=-，{0}，{2}，{2-，0}，{0，2}，{2-，2}，2，0，2}，{}∅．则满足条件的集合A 有8个 故选：A ．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了分类讨论的思想方法，是中档题． 4．（2016春•南阳期末）复数23420162342016i i i i i ++++⋯+的虚部是( ) A ．1008B ．1008-C ．1008iD ．1008i -【分析】利用错位相减法进行求和化简即可．【解答】解：设23420162342016S i i i i i =++++⋯+， 则234520172342016iS i i i i i =++++⋯+，两式相减得23420162017(1)2016i S i i i i i i -=++++⋯+-，则对应复数的虚部为1008-， 故选：B ．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用错位相减法进行求和化简是解决本题的关键．考点二 复数的模1．复数的概念：形如a+bi （a ，b ∈R ）的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi 为实数；若b ≠0，则a+bi 为虚数；若a=0，b ≠0，则a+bi 为纯虚数．2、复数相等：a+bi=c+di ⇔a=c ，b=d （a ，b ，c ，d ∈R ）．3、共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=c ，b+d=0（a ，b ，c ，d ∈R ）．4、复数的模：oz 的长度叫做复数z=a+bi 的模，记作|z|或|a+bi|，即【分析】由题意画出图形，再由|1||(1)|z i z i -+=--的几何意义，即动点Z 到定点(1,1)P -的距离求解．【解答】解：|1||(1)|z i z i -+=--，其几何意义为动点Z 到定点(1,1)P -的距离， 又||1z =，如图：故选：C ．【点评】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6．（2017春•广东期中）如果复数z 满足|1|2z i +-=，那么|2|z i -+的最大值是( )A 2B ．2+C D 4+【分析】复数z 满足|1|2z i +-=，表示以(1,1)C -为圆心，2为半径的圆．|2|z i -+表示圆上的点与点(2,1)M -的距离． 求出||CM 即可得出．【解答】解：复数z 满足|1|2z i +-=，表示以(1,1)C -为圆心，2为半径的圆． |2|z i -+表示圆上的点与点(2,1)M -的距离． ||CM =故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2014•浦东新区二模）（理)已知z x yi =+，x ，y R ∈，i 是虚数单位．若复数1zi i++是实数，则||z 的最小值为( )A ．0B ．52C ．5 D【分析】利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得2x y =+，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出． 解：复数22，当且仅当故选：D ．【点评】本题考查了复数的运算法则和复数为实数的充要条件、复数模的计算公式和二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．课后综合巩固练习8．（2019春•杨浦区校级期末）若复数z 满足|1||1|2z z -+=，则||z 的最小值为 1 【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式放缩后解不等式即可得出． 【解答】解：设z a bi =+；|1||1|2z z -+=， 2222222(1)[()(12)][()(12)]]a b a b a a b a ++=++-+++令||z t =．(0)t >， 则222t a b =+，因为20a ，所以42421t t ++， 所以42230t t +-，解得：21t 或者23t -（舍)， 所以1t ， 故答案为：1．【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，复数求模，属中档题．9．（2019春•闵行区期末）若复数z 满足|2||2|z Rez -=+，则|32||2|z i z --+-的最小值 5 ．为：28y x =．可得(2,0)F ，(3,2)Q ，抛物线的准线:2l x =-．过点P 作PH l ⊥，垂足为H ．可得|32||2|||||||z i z PF PQ QH --+-=+．【解答】解：设z x yi =+，x ，y R ∈．满足化为：28y x =．可得(2,0)F ，(3,2)Q ，抛物线的准线:2l x =-． 过点P 作PH l ⊥，垂足为H ． 则|32||2|||||||5z i z PF PQ QH --+-=+=，当且仅当三点Q ，P ，H 三点共线时取等号．故答案为：5．【点评】本题考查了复数的几何意义、抛物线的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．（2018秋•通州区期末）复数(1)i i +的虚部为 1 ． 【分析】化简复数为a bi +的形式，即可得到结果． 【解答】解：复数(1)1i i i +=-+． 复数的虚部为：1． 故答案为：1．【点评】本题考查复数的基本概念，考查计算能力． 11．（2018春•杨浦区校级期中）已知(1)(1(1)n z i n Z +=+⋯∈，则20172018||z z -的值是 1 ．11341(11)(1)(1)212231n n n n z n n n n+=++⋯⋯+=⨯⨯⨯⋯⋯⨯=+-．可．进而得出结论．解：11341(11)(1)(1)212231n n n n z z n n n n+=++⋯⋯+=⨯⨯⨯⋯⋯⨯=+-．。