高中数学-复数的运算
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in in1 in2 in3 0
练习： ( 1 )i1 i 2 i 2003 ( 2 )i1i 2 i 2003
( 2 )：此处特指1的虚数立方根
3 1, 2 1 0
12
2
,
2 2
1 ,1
2 ,2
1
1 2 1,12 1
n n1 n2 0
共轭复数的运算
z z是实数，z z是纯虚数或0
zz
z2
2
z
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
z1 z2
z1 z2
zn zn
复数加法的几何意义
yZ
Z2
Z1
O
x
复数减法的几何意义
y
Z
O
Z1
x
两个复数的差z z1
即OZ OZ1 与连结
两个向量终点并指向
被减数的向量对应。
点Z1、Z2的距离等于 z2 z1
零向量：向量OZ缩为一个点。它的方向 是任 意的，长度为0。
2.辐角与辐角主值：以 x轴的正半轴为始边，
向量OZ所在的射线为终边的角 叫z的辐角，
用Argz 表示。
适合于0 2的辐角的值叫做辐
角主值, 记做 arg z。
复数三角形式的运算
复数三角形式的乘除法
设z1 r1cos1 i sin1 ,z2 r2 cos2 i sin2
复数的三角形式
z a bi rcos i sin
r a2 b2 ,tg b 的终边过点a,b
a
说明： （1）模r 0 （2）同一个角 （3）实部为余弦，虚部为 正弦
（4）用加号连结 : cos sin cos sin
（5）0向量的模为0，辐角为任意角。
复数的模与辐角
1.模：向量OZ长度 a2 b2叫做z的模,记做 z。
则：z1 z2 r1r2cos1 2 i sin1 2
z1 z2
r1 r2
cos1
2 i sin1
2 z2
0
复数乘法的几何意义
两个复数z1, z2相乘时，可以先画出分 别与
z, z对应的向量OZ1,OZ
逆时针方向旋转角 2
2
,然后Z 把向y量OZ1按
（若2 0,则顺时针旋
转）,再把它的模变为原
n r cos 2k sin 2k k 0,1,2, n 1
n
n
复数的nn N 次方根是n个复数，它们的
模都等于这个复数的模 的n次算术根，它
们的辐角分别等于这个 复数的辐角与2
的0,1,, n 1倍的和的n分之一。
复数开方的几何意义
方程xn z0 z0 C 的根的几何意义是：
复平面内的n个点，
复数的运算
复数的代数形式的运算
四则运算
(1)加减：a bi c di a c b d i
( 2 )乘除：a bic di ac bd bc ad i
a c
bi di
a c
bi di
c c
di di
ac
bd c
2
bc
d2
ad
i
复数的乘方与开方
常见的特殊复数
(1 )i : i4n 1,i4n1 i,i4n2 1,i4n3 i
y
这些点均匀分布在
x2
x1
以原点为圆心、以 n z0 为半径的圆上。
n z0
O
xn x
来的r2倍,所得的向量OP 就表示积z1z2.
r
Z 2 Z1
r2 r1
1 2 1 2
O
x
复数除法的几何意义
向量OZ1与OZ 2的长度之比为复数 z2与z1的模之比。
向量OZ1到OZ 2的角为z2与z1的 辐角的差。
重要结论
z1 z2
是纯虚数
OZ1
OZ
2
z1 z2
是实数
z1、z2对应的向量
互相平行。
运算与模
z1 z2 z1 Байду номын сангаасz2 z1 z2
z1z2 z1 z2
z1 z2
z1 z2
z2
0
zn z n
复数的乘方
• 棣美佛定理：
rcos sin n rn cos n sin n
说明：公式对r 0及cos i sin同样适用.
复数的开方
复数rcos sin 的n次方根是
练习： ( 1 )i1 i 2 i 2003 ( 2 )i1i 2 i 2003
( 2 )：此处特指1的虚数立方根
3 1, 2 1 0
12
2
,
2 2
1 ,1
2 ,2
1
1 2 1,12 1
n n1 n2 0
共轭复数的运算
z z是实数，z z是纯虚数或0
zz
z2
2
z
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
z1 z2
z1 z2
zn zn
复数加法的几何意义
yZ
Z2
Z1
O
x
复数减法的几何意义
y
Z
O
Z1
x
两个复数的差z z1
即OZ OZ1 与连结
两个向量终点并指向
被减数的向量对应。
点Z1、Z2的距离等于 z2 z1
零向量：向量OZ缩为一个点。它的方向 是任 意的，长度为0。
2.辐角与辐角主值：以 x轴的正半轴为始边，
向量OZ所在的射线为终边的角 叫z的辐角，
用Argz 表示。
适合于0 2的辐角的值叫做辐
角主值, 记做 arg z。
复数三角形式的运算
复数三角形式的乘除法
设z1 r1cos1 i sin1 ,z2 r2 cos2 i sin2
复数的三角形式
z a bi rcos i sin
r a2 b2 ,tg b 的终边过点a,b
a
说明： （1）模r 0 （2）同一个角 （3）实部为余弦，虚部为 正弦
（4）用加号连结 : cos sin cos sin
（5）0向量的模为0，辐角为任意角。
复数的模与辐角
1.模：向量OZ长度 a2 b2叫做z的模,记做 z。
则：z1 z2 r1r2cos1 2 i sin1 2
z1 z2
r1 r2
cos1
2 i sin1
2 z2
0
复数乘法的几何意义
两个复数z1, z2相乘时，可以先画出分 别与
z, z对应的向量OZ1,OZ
逆时针方向旋转角 2
2
,然后Z 把向y量OZ1按
（若2 0,则顺时针旋
转）,再把它的模变为原
n r cos 2k sin 2k k 0,1,2, n 1
n
n
复数的nn N 次方根是n个复数，它们的
模都等于这个复数的模 的n次算术根，它
们的辐角分别等于这个 复数的辐角与2
的0,1,, n 1倍的和的n分之一。
复数开方的几何意义
方程xn z0 z0 C 的根的几何意义是：
复平面内的n个点，
复数的运算
复数的代数形式的运算
四则运算
(1)加减：a bi c di a c b d i
( 2 )乘除：a bic di ac bd bc ad i
a c
bi di
a c
bi di
c c
di di
ac
bd c
2
bc
d2
ad
i
复数的乘方与开方
常见的特殊复数
(1 )i : i4n 1,i4n1 i,i4n2 1,i4n3 i
y
这些点均匀分布在
x2
x1
以原点为圆心、以 n z0 为半径的圆上。
n z0
O
xn x
来的r2倍,所得的向量OP 就表示积z1z2.
r
Z 2 Z1
r2 r1
1 2 1 2
O
x
复数除法的几何意义
向量OZ1与OZ 2的长度之比为复数 z2与z1的模之比。
向量OZ1到OZ 2的角为z2与z1的 辐角的差。
重要结论
z1 z2
是纯虚数
OZ1
OZ
2
z1 z2
是实数
z1、z2对应的向量
互相平行。
运算与模
z1 z2 z1 Байду номын сангаасz2 z1 z2
z1z2 z1 z2
z1 z2
z1 z2
z2
0
zn z n
复数的乘方
• 棣美佛定理：
rcos sin n rn cos n sin n
说明：公式对r 0及cos i sin同样适用.
复数的开方
复数rcos sin 的n次方根是