高中数学-复数的运算
高中数学复数运算法则及应用解析
高中数学复数运算法则及应用解析复数是数学中的一个重要概念，它由实部和虚部组成，可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
复数运算法则是学习复数的基础，掌握了这些法则，我们就能更好地理解和应用复数。
一、复数的加法和减法复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的原则。
例如，要计算(2+3i)+(4-2i)，我们只需将实部2和4相加，虚部3i和-2i相加，得到结果6+i。
在解题过程中，我们常常会遇到需要进行复数的加法和减法的情况。
例如，已知复数z1=3+2i，z2=5-4i，求z1+z2的值。
根据复数加法法则，我们将实部3和5相加，虚部2i和-4i相加，得到结果8-2i。
二、复数的乘法复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1的原则。
例如，要计算(2+3i)(4-2i)，我们可以使用分配律展开计算，得到结果14+8i。
在解题过程中，我们常常会遇到需要进行复数的乘法的情况。
例如，已知复数z1=3+2i，z2=5-4i，求z1*z2的值。
根据复数乘法法则，我们将z1展开，得到(3+2i)(5-4i)=15+10i-12i-8i^2，然后利用虚数单位i的平方等于-1，化简得到结果23+22i。
三、复数的除法复数的除法需要将除数和被除数都乘以共轭复数的形式。
例如，要计算(2+3i)/(4-2i)，我们将除数和被除数都乘以共轭复数4+2i，得到结果(2+3i)(4+2i)/(4^2-(-2i)^2)=(8+4i+12i+6i^2)/(16+4)=(8+16i+6(-1))/(20)=(-2+16i)/20=(-1/10)+4i/5。
在解题过程中，我们常常会遇到需要进行复数的除法的情况。
例如，已知复数z1=3+2i，z2=5-4i，求z1/z2的值。
根据复数除法法则，我们将z1和z2都乘以z2的共轭复数5+4i，得到结果(3+2i)(5+4i)/(5^2-(-4i)^2)=(15+12i+10i+8i^2)/(25+16)=(15+22i+8(-1))/(41)=7/41+(22/41)i。
高中数学教案复数的运算与复数平面
高中数学教案复数的运算与复数平面教案：复数的运算与复数平面引言：高中数学中，学生首次接触到复数的概念和运算。
复数广泛应用于科学和工程领域，因此对于学生来说，掌握复数的运算和理解复数平面是非常重要的。
本教案旨在通过系统性的教学活动和讨论，帮助学生全面理解复数的运算规则和在复数平面中的几何意义。
一、复数的引入与定义1. 引入复数概念在解决方程$x^2 + 1 = 0$时，我们发现实数范围内无法找到解。
为了解决这个问题，引入了虚数单位$i$，定义为$i^2 = -1$，从而引入了复数的概念。
2. 复数的定义复数由实部和虚部组成，通常记作$z = a + bi$，其中$a$为实部，$b$为虚部。
实部和虚部均为实数。
二、复数的运算规则1. 加法与减法复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如：$(2+3i) + (1+2i) = 3 + 5i$。
复数相减时，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如：$(2+3i) - (1+2i) = 1 + i$。
2. 乘法与除法复数相乘时，可按照分配律和虚数单位的定义进行计算。
例如：$(2+3i) \cdot (1+i) = -1 + 5i$。
复数相除时，需要将除数的共轭复数作为分母的乘法因子。
例如：$\frac{(2+3i)}{(1+i)} = \frac{-1+5i}{2}$。
3. 模长与共轭复数复数$z = a + bi$的模长定义为$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。
共轭复数定义为实部不变，虚部的符号取反的结果。
例如：$z = 2 + 3i$的共轭复数为$\overline{z} = 2 - 3i$。
三、复数平面与复数的几何意义1. 复数的表示将复数$z = a + bi$表示在复数平面上，实部对应$X$轴上的点，虚部对应$Y$轴上的点。
因此，复数可以用有序对$(a, b)$表示在平面上的一个点。
2. 复数的模长复数的模长表示复数到原点的距离，可通过勾股定理计算。
复数的四则运算——高中数学湘教版(2019)必修二
2.两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.
微思考
in(n∈N+)有什么规律?
提示 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+),即in(n∈N+)是以4为周期的.
微练习
(1)(4-i)(3+2i)=
(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.
探究二
复数的乘法与除法运算
例 2 计算下列各题:
(1)(1-2i)(3+6i);(2)(5-2i)
6
(4)( 3-i) ;(5)
4+4i
2
(2-i)
;(6)
2-i
;(3)-4-3i ;
2
1+i 8
.
1-i
分析按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.
母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部
与虚部要完全分开的形式.
变式训练 2 计算下列各题:
(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
(2)
1
2
+
3
i
2
3
2
+
1
i
2
(1+i);
(3)(-2+3i)÷(1+2i);
3+2i
(4)
2-3i
第3章
3.2
复数的四则运算
任何两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,
复数的世界高中数学复数运算与极坐标法
复数的世界高中数学复数运算与极坐标法复数的世界：高中数学复数运算与极坐标法在高中数学中，复数是一个重要的概念，用来描述实数范围之外的数。
与实数不同，复数包含实部和虚部，可以用 a+bi 的形式表示，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位。
复数运算是一项基础而重要的数学技能，它涉及到复数的加、减、乘、除以及共轭等操作。
在本文中，我们将讨论这些复数运算，并介绍将复数表示为极坐标的方法。
一、复数的加减运算复数的加减运算规则与实数类似，只需要将实部和虚部分别相加或相减即可。
例如，对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的和为 (a+c)+(b+d)i，差为 (a-c)+(b-d)i。
二、复数的乘法运算复数的乘法运算需要使用分配律和虚数单位的性质。
对于两个复数a+bi 和 c+di，它们的乘积为 (ac-bd)+(ad+bc)i。
这个结果可以通过 FOIL 方法（先算外积，再算内积）得到。
三、复数的除法运算复数的除法运算需要先将除数分子进行共轭，并将分母的共轭与分子相乘，然后按照乘法运算规则计算。
具体地，对于两个复数 a+bi 和c+di，它们的除法结果为 [(ac+bd)/(c^2+d^2)]+[(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
四、复数的共轭运算复数的共轭是指保持实部不变而虚部取相反数的操作。
对于一个复数 a+bi，它的共轭为 a-bi。
复数的共轭可以用来求解复数的模或者进行除法运算等。
五、复数的模运算复数的模是指复数与原点之间的距离，也叫绝对值。
对于一个复数a+bi，它的模可以通过计算√(a^2+b^2) 得到。
复数的模运算常常用于求解复数的相等关系或者进行除法运算。
六、复数的极坐标表示法复数可以用极坐标的方式表示，其中模表示为 r，辐角表示为θ。
通过极坐标表示法，复数可以写成r(cosθ+isinθ) 的形式。
极坐标法使得复数的乘除法运算更加简洁。
七、复数的极坐标与直角坐标的相互转换复数的极坐标可以通过直角坐标转换得到，也可以通过极坐标转换得到。
高中数学复数的性质与运算总结
高中数学复数的性质与运算总结在高中数学中，复数是一个重要的概念。
它不仅可以用来解决实数范围内无解的方程，还可以应用于电路分析、信号处理等领域。
复数的性质和运算是我们学习复数的基础，下面我将对其进行总结。
一、复数的定义与表示复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数可以用平面上的点表示，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
二、复数的性质1. 复数的相等性：两个复数a+bi和c+di相等，当且仅当实部相等且虚部相等，即a=c且b=d。
2. 复数的加法性：两个复数a+bi和c+di相加，结果为(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的减法性：两个复数a+bi和c+di相减，结果为(a-c)+(b-d)i。
4. 复数的乘法性：两个复数a+bi和c+di相乘，结果为(ac-bd)+(ad+bc)i。
5. 复数的除法性：两个非零复数a+bi和c+di相除，结果为[(ac+bd)/(c^2+d^2)]+[(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
6. 复数的共轭性：一个复数a+bi的共轭复数为a-bi，记作a+bi的上横线。
7. 复数的模：一个复数a+bi的模为√(a^2+b^2)，表示复数到原点的距离。
8. 复数的幂运算：一个复数a+bi的n次幂为[(a+bi)^n]，可以通过展开运算得到。
三、复数的运算规则1. 加法和减法满足交换律和结合律，即(a+bi)+(c+di)=(c+di)+(a+bi)，(a+bi)+(c+di)+(e+fi)=a+bi+c+di+e+fi。
2. 乘法满足交换律和结合律，即(a+bi)(c+di)=(c+di)(a+bi)，[(a+bi)(c+di)](e+fi)=(a+bi)[(c+di)(e+fi)]。
3. 除法不满足交换律和结合律，即(a+bi)/(c+di)≠(c+di)/(a+bi)，[(a+bi)/(c+di)]/(e+fi)≠(a+bi)/[(c+di)/(e+fi)]。
高中数学-5.2复数的四则运算
2、复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的 分配律。 （1）z1z2=z2z1 (交换律) （2）(z1z2)z3=z1(z2z3) (结合律) （3）z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (分配律)
3、复数中正整数指数幂的运算律(其中m,n为正整数)
5.2 复数的四则运算
知识回顾
我们一起来回顾一下上一节课所学知识: i2 1
数
复数代数式 Z a bi(a,b R)
系 的
数
复数分类条件 b 0和b 0
扩 充
复数相等条件
与 复
实部 实部且虚部 虚部
数 的
形
复数的模长(绝对值)的计算
引
入
Z a bi a2 b2
两个复数能比较大小,则一定均为实数
新课讲解
三、复数的除法
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数
a+bi 除以复数c+di的商,
记做(a bi) (c
di
)或
a
bi
.
c di
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
4 i2 2
25
i 2i2
i 1i
2 2
31 2i
2 3i 1 2i 2 3i
2 3i 2 3i
1
2i2
4 9i2
3i
2 7i 6i2 13
4 7i 4 7 i
13
13 13
试一试
(1)
高中数学复数的运算
高中数学复数的运算复数是数学中一个重要的概念，它由实部和虚部构成，可以用来描述平面上的向量、电路中的电压和电流等等。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法等，下面将详细讨论这些运算的规则。
一、复数的表示形式复数可以用代数形式和三角形式表示。
代数形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i表示虚数单位。
三角形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
二、复数的加法两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
三、复数的减法两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
四、复数的乘法两个复数相乘，按照分配律，实部和虚部相互乘。
例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
五、复数的除法两个复数相除，可以通过乘以共轭复数来进行。
即，对于复数a+bi 来说，它的共轭复数为a-bi。
将两个复数相乘再除以共轭复数的模的平方。
例如：(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[c^2+d^2]=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
六、复数的运算性质复数的运算满足交换律、结合律和分配律。
七、复数的乘方和开方运算复数的乘方运算可以通过将其转化为三角形式来进行。
例如：(a+bi)^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中r为模长，θ为辐角。
复数的开方运算可以通过将其转化为代数形式，并利用公式进行计算。
综上所述，高中数学中涉及到复数的运算，包括加法、减法、乘法和除法等。
我们可以使用代数形式或者三角形式来表示复数，并利用相应的运算规则进行计算。
熟练掌握复数的运算规则，将有助于解决实际问题和应用到其他数学领域中。
《复数的四则运算》专题精讲课件
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=
.③
= −.
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+
= , −
= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +
= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=
−
−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习： ( 1 )i1 i 2 i 2003 ( 2 )i1i 2 i 2003
( 2 )：此处特指1的虚数立方根
3 1, 2 1 0
12
2
,
2 2
1 ,1
2 ,2
1
1 2 1,12 1
n n1 n2 0
共轭复数的运算
来的r2倍,所得的向量OP 就表示积z1z2.
r
Z 2 Z1
r2 r1
1 2 1 2
O
x
复数除法的几何意义
向量OZ1与OZ 2的长度之比为复数 z2与z1的模之比。
向量OZ1到OZ 2的角为z2与z1的 辐角的差。
重要结论
z1 z2
是纯虚数
OZ1
OZ
2
z1 z2
是实数
z1、z2对应的向量
互相平行。
零向量：向量OZ缩为一个点。它的方向 是任 意的，长度为0。
2.辐角与辐角主值：以 x轴的正半轴为始边，
向量OZ所在的射线为终边的角 叫z的辐角，
用Argz 表示。
适合于0 2的辐角的值叫做辐
角主值, 记做 arg z。
复数三角形式的运算
复数三角形式的乘除法
设z1 r1cos1 i sin1 ,z2 r2 cos2 i sin2
运算与模
z1 z2 z1 z2 z1 z2
z1z2 z1 z2
z1 z2
z1 z2
z2
0
zn z n
复数的乘方
• 棣美佛定理：
rcos sin n rn cos n sin n
说明：公式对r 0及cos i sin同样适用.
复数的开方
复数rcos sin 的n次方根是
则：z1 z2 r1r2cos1 2 i sin1 2
z1 z2
r1 r2
cos1
2 i sin1
2 z2
0
复数乘法的几何意义
两个复数z1, z2相乘时，可以先画出分 别与
z, z对应的向量OZ1,OZ
逆时针方向旋转角 2
2
,然后Z 把向y量OZ1按
（若2 0,则顺时针旋
转）,再把它的模变为原
复数的三角形式
z a bi rcos i sin
r a2 b2 ,tg b 的终边过点a,b
a
说明： （1）模r 0 （2）同一个角 （3）实部为余弦，虚部为 正弦
（4）用加号连结 : cos sin cos sin
（5）0向量的模为0，辐角为任意角。
复数的模与辐角
1.模：向量OZ长度 a2 b2叫做z的模,记做 z。
z z是实数，z z是纯虚数或0
zz
z2
2
z
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
z1 z2
z1 z2
zn zn
复数加法的几何意义
yZ
Z2
Z1
O
x
复数减法的几何意义
y
Z
O
Z1
x
两个复数的差z z1
即OZ OZ1 与连结
两个向量终点并指向
被减数的向量对应。
点Z1、Z2的距离等于 z2 z1
n r cos 2k sin 2k k 0,1,2, n 1
n
n
复数的nn N 次方根是n个复数，它们的
模都等于这个复数的模 的n次算术根，它
们的辐角分别等于这个 复数的辐角与2
的0,1,, n 1倍的和的n分之一。
复数开方的几何意义
方程xn z0 z0 C 的根的几何意义是：
复平面内的n个点，
y
这些点均匀分布在
x2
x1
以原点为圆心、以 n z0 为半径的圆上。
n z0
O
xn x
复数的运算
复数的代数形式的运算
四则运算
(1)加减：a bi c di a c b d i
( 2 )乘除：a bic di ac bd bc ad i
a c
bi di
a c
bi di
c c
di di
ac
bd c
2
bc
d2
ad
i
复数的乘方与开方
常见的特殊复数
(1 )i : i4n 1,i4n1 i,i4n2 1,i4n3 i