复数法讲义
复数讲义绝对经典
复数一、复数的概念1． 虚数单位i:（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ．（4）i 的周期性：41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =．2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示4． 复数的代数形式:通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式．5． 复数与实数、虚数、纯虚数与0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C7． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =二、复数的几何意义1． 复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点()Z a b ，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1． 复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++2． 复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6． 乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+7． 复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者a bi c di++8． 除法运算规则：设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adi c dc d+-=+++②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得：原式22i (i)(i)[i (i)]()ii(i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d ++-+-==++++．∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d+-+++ 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法．9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
《复数的概念》 讲义
《复数的概念》讲义一、什么是复数在我们的数学世界中，数的概念不断发展和扩充。
从最初的自然数，到整数、有理数，再到实数。
而复数的出现，则为数学的领域打开了一扇新的大门。
那么，究竟什么是复数呢？简单来说，复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，并且满足 i²＝－1。
这里的 a 被称为复数的实部，b 被称为复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 就变成了实数 a；当 a ＝ 0 且b ≠ 0 时，复数就变成了纯虚数 bi。
二、复数的表示方法1、代数形式正如前面所提到的，复数的代数形式就是 a ＋ bi，这是我们最常见也是最常用的表示方法。
2、几何形式在平面直角坐标系中，我们可以用点（a, b）来表示复数 a ＋ bi。
其中，横坐标 a 表示实部，纵坐标 b 表示虚部。
这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。
这个平面我们称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。
3、三角形式复数还可以表示为 r（cosθ ＋isinθ）的形式，其中 r ＝√（a²＋ b²) 称为复数的模，θ 称为复数的辐角。
这种表示方法在涉及复数的乘除运算时非常有用。
三、复数的运算1、加法和减法两个复数相加（或相减），就是实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。
例如：（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i2、乘法复数的乘法按照多项式乘法的法则进行，同时要记住 i²＝－1。
例如：（a ＋ bi)×（c ＋ di) ＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi²＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i3、除法为了进行复数的除法运算，我们通常先将分母实数化。
例如：（a ＋ bi)÷（c ＋ di) ＝（a ＋ bi)（c di)÷（c ＋ di)（c di)＝ ac ＋ bd ＋（bc ad)i÷（c²＋ d²)＝（ac ＋ bd)÷（c²＋ d²) ＋（bc ad)÷（c²＋ d²)i四、复数的应用1、在物理学中的应用在电学中，交流电路中的电压、电流等都可以用复数来表示，从而方便计算和分析。
复数讲义(含知识点和例题及解析)
数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。
若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。
2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。
(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。
3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。
(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。
【数学讲义】7.1复数的概念-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册讲义
高中数学必修第二册第七章复数（人教A 版2019）7.1复数的概念【基础梳理】 要点一、复数的概念我们把形如a bi +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位. 全体复数梭构成的集合C={}R b a bi a ∈+,|叫做复数集，其中.1i 2-= 复数的分类对于复数a bi +【a ，b R ∈】，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=0时，它是实数0；当b ≠0时，它叫做虚数，当a ＝0且b ≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R,是复数集C 的真子集，即CR ≠⊂.复数相等的充要条件在复数集C={}R b a |bi a ∈+，中任取两个数a bi +，c di +【a ，b ，c ，d ∈R 】，规定：a bi +与c di +相等当且仅当a=c 且b=d ，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。
要点二、复数的几何意义 复数z=a+bi()b a Z ,复平面内的点一一对应−−−→←.这是复数的一种几何意义.复数的几何意义---与向量对应 复数z=a+bi→−−−→←OZ平面向量一一对应,这是复数的另一种几何意义.复数的模和共轭复数 1.向量→OZ模叫做复数z=a bi +,的模或绝对值，记作z或bia +.即z=bia +=22b a +，其中a,b ∈R ，z表示复平面内的点Z ()b a ,到原点的距离。
2.如果b=0，那么z=a bi+是一个实数a，它的模就等于a()的绝对值a.共轭复数的定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复.虚部不等于 0的两个共轭复数，也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用-z表示，即如果z=a+bi,那么-z=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.共轭复数的几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.【课堂探究】例1.以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（）A. 2﹣2iB. 2+iC. ﹣+D. + i【答案】A【解析】解：的虚部为2，以=﹣2+ i的实部为﹣2，∴要求的新复数是2﹣2i，故选：A．【分析】利用实部与虚部的定义即可得出．例2已知z∈C，满足不等式的点Z的集合用阴影表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设z=x+yi（x，y∈R），则，化为x2+y2+xi﹣y﹣xi﹣y=x2+y2﹣2y=x2+（y﹣1）2﹣1＜0，即x2+（y﹣1）2＜1，故选：C．【分析】设z=x+yi（x，y∈R），代入，化简即可得出．【课后练习】1.已知复数是纯虚数，则实数（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】 D【解析】，因为为纯虚数且为实数，故，故，故答案为：D【分析】由题意利用纯虚数的定义，求得m的值。
高中数学竞赛第十五章 复数【讲义】
第十五章 复数 一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。
若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。
若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。
模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。
高一《复数》经典习题讲义
高一《复数》经典习题讲义复数的运算1．i 是虚数单位，复数42i1i+=-．2．i 是复数单位，化简278i32i-+的结果为．3．已知i 是虚数单位，化简5i12i+的结果为.4．i 是虚数单位，复数z 满足()i 12z +=，则z =.复数的概念、复数的运算5．i 是虚数单位，则()32ii ,1ia b a b -=+∈+R ，则a b +的值为．6．i 是虚数单位，复数43i34iz -=+，则z 的虚部为复数的模、复数的运算7．若复数z 满足()1i =1+z -，则z =（）A ．1i-B ．1i +C ．22i -D ．22i+8．i 是虚数单位，复数34i 12i+=-.9．设i 为虚数单位，若复数z 满足i 12i z =+.则1z -=.10．i 为虚数单位，复数1i z =+则3i z +=.复数课后练习（一）一、单选题1．已知复数z 满足236i z z -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知(13i)(i)()z a a =-+∈R 为纯虚数，则=a （）A ．3B ．3-C ．13D ．13-3．已知复数202313i1i z +=+，i 为虚数单位，则在复平面内复数z 所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若复数z 满足1ii z-=，则z =（）A B ．2CD ．15．下列有关复数1z ，2z 的等式中错误的是（）A ．1212z z z z +=+B ．1212z z z z +=+C ．1212z z z z ⋅=⋅D ．1212z z z z ⋅=6．设24(1i)z =+，则||z =（）A ．2B ．1C ．4D ．37．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则z z ⋅=（）A ．3-B ．3C ．4D ．58．设i z a b =+，其中,R a b ∈，若()i i 2i a b +=-，则z =（）A ．12i --B ．12i-+C ．2i--D ．2i -+二、多选题9．已知z 满足23i i z z +-=，且z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（）A ．10x y --=B ．10x y ++=C ．z D ．z 的最小值为1210．已知复数12z =-+，则（）A ．1+=z z B ．1z z -=C ．21z =D ．31z =11．已知复数,z w 均不为0，则（）A ．2z zz=B ．z w z w+=+C ．z z w w ⎛⎫=⎪⎝⎭D ．若1R z∈，则Rz ∈三、填空题12．已知复数z 满足：23i 1iz=-+，则z =．13．若()2(i)2i R x x +=∈，则x =.复数课后练习（二）一、选择题1．已知3i2ia z +=+为实数,则a =()A.1B.32C.2D.32-2．若()12i i 1i a b +=-,其中a ,b ∈R ,则i a b +=()A.12C.2D.53．已知复数()()12i z a a a =--∈R ,且5z =,若z 在复平面内对应的点位于第二象限,则=a ()A.-2B.125-C.2D.1254．已知i 为虚数单位，倍数112i z =+，22i z =-，则()A.1z 的共轭复数为12i -+B.1z 的虚部是2iC.12z z +为实数D.1243iz z =+5．若()()1i i 0,a a a +->∈R ,则()A.1a =B.1a =± C.1a ≤-或1a ≥ D.1a ≥6．已知复数72i i 13iZ -=+-，则复数Z 在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8．已知复数()i ,z a b a b =+∈R ,若20232i ia b +=+,则z 的虚部是()A.2- B.2i- C.2D.2i二、多项选择题9．复数z 满足()()()23i 23i 32i z -⋅=++,则下列说法正确的是()A.z 的实部为3B.z 的虚部为2C.32iz=-+ D.z =10．下面四个命题中的真命题为()A.复数z 是实数的充要条件是z z =B.若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈RC.复数1z ,2z 满足1212z z z z = D.若复数1z ,2z 满足12z z ∈R ,则12z z =11．设复数12i z =-,22i z =（i 为虚数单位）,则下列结论正确的为()A.2z 是纯虚数B.12z z -对应的点位于第二象限C.123z z += D.12iz=+12．已知复数ππsin i cos 66z =+,则()A.z 的虚部为3i 2B.z 在复平面内对应的点在第四象限C.z z z +=D.z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根三、填空题13．如果21i 1im =+-（m ∈R ,i 表示虚数单位）,那么m =_____________.14．已知复数z 的虚部为在复平面内它对应的向量的模为2,且相应的点在第一象限,则这个复数为____________.15．复数1z ,2z 满足:13z =,24z =,125z z +=,则12z z -=______.16．设a ∈R ,复数i 12ia +-（i 是虚数单位）的共轭复数是25i -,则a =______________.。
第五章复数（讲义+典型例题）（原卷板）
第五章复数（讲义+典型例题）一．数系的扩充和复数的概念1.复数的定义：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，形如()a bi a b R +∈、的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩例1（1）．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知a ∈R ，若复数2i z a a a =++（i 是虚数单位）是纯虚数，则=a （ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2（2）．（2021·全国·模拟预测）设i 是虚数单位，则下列是虚数的是（ ） A ．fB ．gC ．hD ．i举一反三（1）．（2021·广东佛山·模拟预测）在复数范围内方程230x +=的解为（ ） A ．3i -B 3iC ．3i ±D ．3（2）．（2021·福建泉州·一模）已知i 是虚数单位，则“i a =”是“21a =-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二．复数的几何意义1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2.复数的坐标表示 点(,)Z a b3.复数的向量表示 向量OZ ．4.复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，22z a b =+．例2（1）．（2021·四川自贡·一模（理））复数(3)i z a a =+-（a ∈R ，i 为虚数单位），在复平面内所对应的点在2y x =上，则||z =（ ） A ．3B ．5C ．7D ．10（2）．（2021·全国·模拟预测）已知i 是虚数单位，复数3i2iz -=+的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限举一反三（1）．（山东省大教育联盟学校2021-2022学年高三下学期收心考试（开学考试）数学试题）已知a ∈R ，若在复平面内复数185i z =+与24i z a =+对应的两点之间的距离为4，则=a （ ）． A ．4B ．5C ．6D ．81（2）．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知复数z 满足34i z z =+，则=z （ ） A ．1B 5C 10D ．5复数bia z +=复平面 内的点 Z （a,b ）平面向量OZ（3）．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）若复数(2)(2)i,(R)z m m m =++-∈在复平面上对应的点在第四象限，则m 的取值范围是__．(4)．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知复数()()226832i z m m m m =-++-+，其中i 是虚数单位，m 为实数．(1)当复数z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数i z ⋅在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围．三． 两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d =（其中a b c d R ∈，，，，）特别地，00a bi a b +=⇔==.例3（2022·浙江·模拟预测）设2,1i i a R a a ∈+=+（i 为虚数单位），则a ＝（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．1或－1举一反三(1)．（2021江苏无锡·模拟预测）已知,x y R ∈，且32x i yi +=+，则,x y 的值分别为（ ） A ．21,3B ．3,1C ．2,13D ．1,3（2）（2021·河南·模拟预测（文））已知a 、R b ∈，()()()12i 131i a a b -+=-+-，则（ ）A ．2b a =-B ．2b a =C ．2a b =-D ．2a b =四．共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】若z=a+bi ，则z a bi =+的共轭复数记作z a bi =-；例4.（2019·全国·高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限举一反三(1)．（2021·浙江·模拟预测）复数1i +（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)．（2021·黑龙江·哈九中模拟预测（理））满足条件34z i i -=+的复数z 的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四五．复数的加减运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．例5（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________举一反三（1）．（2022·全国·高一课时练习）已知复数1234i,34i z z =+=-，则12z z +等于( ) A ．8i B ．6 C ．68i + D ．68i -（2）．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数111i z a b =+，()2221122i ,,,z a b a b a b R =+∈所对应的向量()11,OA a b =，()22,OB a b =，它们的和为向量OC ．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．2212()()i ()()z z a c b d a c b d -=-+-=-+-表示1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．例6（1）（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -（2）（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在复平面内，O 为原点，四边形OABC 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若131,2i ==-+z z ，则z 2=（ ） A ．1+iB ．1－iC ．－1+iD ．－1－i举一反三（1）．（2022·河南·模拟预测（理））已知3225i z z -=-，则z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+（2）．（2021·山东章丘·模拟预测）复数z 1，z 2满足z 1∈R ，2121,2z i z z =+-z 1＝（ ） A ．1B ．2C ．0或2D ．1或2六、复数的乘除运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ ， 特别22z z a b ⋅=+；例7（1）．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +（2）．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z =2+i ，则z z ⋅= A 3B 5C ．3D ．5举一反三（1）．（2022·浙江·模拟预测）复数()i 2i z =-（i 为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．（2022·山西临汾·一模（理））已知a ，R b ∈，i 是虚数单位.若i 3i a b +=-，则()2i b a -（ ） A ．106i +B ．86i -+C ．96i -D ．86i -（3）．（2022·四川攀枝花·二模（理））若复数()()2i 1i z b b R =+∈的实部与虚部相等，则b 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2）除法c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b++-++-==⋅=++-+； （3四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
复数知识点讲义范文
复数知识点讲义范文复数是英语中名词的一种形式，用于表示多于一个的数量。
在复数形式中，名词通常会改变其拼写或者加上特定的后缀。
本文将介绍一些英语中的复数知识点。
1.一般规则大多数英语名词的复数形式是在末尾加上-s，比如book-books、cat-cats、dog-dogs等。
例外情况：- 如果名词以s、x、ch、sh、o结尾，复数形式则在末尾加上-es，比如bus-buses、box-boxes、watch-watches、dish-dishes、potato-potatoes等。
- 如果名词以辅音字母+y结尾，则应把y改成i，再加上-es，比如baby-babies、party-parties等。
- 如果名词以元音字母+y结尾，则直接加上-s，比如day-days、key-keys等。
2.不规则复数形式有一些名词的复数形式不按照一般规则进行变化，需要记住其特殊形式。
- 以-f或-fe 结尾的名词，复数形式中f或fe变为v再加上-es，比如wife-wives、leaf-leaves等。
- 以-us结尾的名词，复数形式中-us变为-i，比如bus-buses、focus-foci等。
- 有些名词的复数形式和单数形式相同，比如sheep-sheep、deer-deer等。
3.复数形式与动词一致在英语句子中，名词的复数形式与相应的动词一致。
主语是复数形式，谓语动词也需要用复数形式。
例如：- The cats are playing in the garden.- The students are studying for their exams.4.不可数名词一些名词是不可数名词，表示不可分割的事物或者抽象的概念，没有复数形式。
这些名词不可以用于不定冠词a/an和只用于不可数名词的量词如many、a few等。
例如：- water（水）：We need some water.- information（信息）: The information is useful.5.复数形式在固定搭配中的应用有一些英语短语或固定搭配中使用了特殊的复数形式。
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高中平面几何
(叶中豪)
知识要点
几何变换及相似理论
位似及其应用
复数与几何
（1） 复数的意义及运算
（2） 复数与复平面上的点一一对应 （3） 复数与向量 （4） 定比分点
（5） 重心和加权重心，三角形的特殊点 （6） 面积
（7） 90°旋转与正方形
（8） 相似与复数乘法的几何解释 （9） 三次单位根与正三角形
例题和习题
1．（Sylvester ）已知P 是△ABC 所在平面上任一点。
求证：3PA PB PC PG ++=，其中G 是△ABC 的重心。
2．（Lami 定理）已知P 是△ABC 所在平面上任一点，P 点对于△ABC 的重心坐标为
123::μμμ。
求证：12
3
0PA
PB
PC 。
3．（Gergonne ）(1)四边形的两组对边中点连线及两条对角的中点连线共点；（2）六边形相间
的两组中点所构成的三角形的重心重合。
4．（von Aubel ）以任意四边形的各边向形外作正方形，则相对两正方形的中心连线互相垂
直。
5．以△ABC 的AB 、AC 两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD 和ACE ，使∠ABD
＝∠ACE ＝90°。
求证线段DE 的中点的位置与顶点A 的位置无关。
6．已知△ABC ，在给定线段MN 的同侧作三个彼此相似的三角形，使得
△A ′MN ∽△NB ′M ∽△MN C ′∽△ABC 。
求证：△A ′B ′C ′∽△ABC 。
7．（1）如图，在已知△ABC 的周围作三个相似三角形：△DBC ∽△ECA ∽△FAB 。
求证：
AFDE 是平行四边形。
E
B
（2）如图，在四边形ABCD 周围作四个相似三角形：△EAB ∽△FCB ∽△GCD ∽△HAD 。
求证：EFGH 是平行四边形。
G
8．在△ABC 的外围作三个相似三角形：△DCB ∽△EAC ∽△FBA 。
求证：△DEF 的重心是
定点。
9．若在四边形ABCD 内存在一点P ，使得△PAB 、△PBC 都是以P 为直角顶点的等腰直角
三角形。
求证：必存在另一点Q ，使得△QBC 、△QDA 也都是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形。
10．（上海市高中竞赛）设△ABC 是锐角三角形。
在△ABC 外分别作等腰直角三角形：
△BCD 、△ABE 、△CAF ，这三个三角形中，∠BDC 、∠BAE 、∠CFA
是直角。
又在
四边形BCFE 形外作等腰直角三角形△EFG ，∠EFG 是直角。
求证：（1）GA AD ；（2）∠GAD ＝135°。
11．（第17届IMO ）已知任意△ABC ，在其外部作△ABR 、△BCP 、△CAQ ，使得
∠PBC ＝∠CAQ ＝45°， ∠BCP ＝∠QCA ＝30°， ∠RBA ＝∠RAB ＝15°。
求证：（1）∠QRP ＝90°；（2）QR ＝RP 。
12．在复平面上，△ABC 是正三角形的充要条件： （1）2
0A B C 或2
0A B C ；
（2）2
2
2
A
B C BC CA
AB ；
（3）
111
0 A B B C C A。
13．（拿破仑定理）（1）在任意三角形周围同时向外或向内作正三角形，则三个正三角形的中心仍构成正三角形；（2）外、内两正三角形的面积差等于原三角形的面积。
14．（1941年匈牙利数学竞赛题）六边形ABCDEF内接于一圆，它的边AB，CD，EF等于圆的半径。
求证：六边形ABCDEF的其它三边的中点是正三角形的顶点。
15．已知四边形ABCD中，∠B=∠D=30°，自A作AM⊥BC于M，自A作AN⊥CD于N，且L是BD中点。
求证：△LMN是正三角形。
16．如图，已知△ABC是正三角形，D是形内任意一点，作等腰Rt△BDE和等腰Rt△CDF，并以EF为底向下方作底角为30°的等腰三角形GEF。
求证：A、G、D三点共线。
17．设D是△ABC内的一点，满足∠DAC＝∠DCA＝30°，∠DBA＝60°，E是BC边的中点，F是AC边的三等分点，满足AF＝2FC．求证：DE⊥EF。
（2007年女子竞赛）
18．在△ABC的外围作三个正三角形：△DBC、△ECA、△FAB。
若△DEF是正三角形，求证△ABC也是正三角形。
19．在△ABC的外围作三个相似三角形：△DCB∽△EAC∽△FBA。
若△DEF是正三角形，
求证：要么△ABC 是正三角形，要么△DCB 、△EAC 、△FBA 同时是以120°为顶角的等腰三角形。
20．设点P 是正奇数边形A 1A 2…A 2n+1。
的外接圆的弧121n A A 上。
求证：
21
20
n
n
k
k k k PA PA 。
21．在平面上任意给定n 个点P 1，P 2，…，P n 。
求证：在单位圆上存在一点A ，满足：
1
1n
k
k AP 。