河北省五校联盟12—13学年高三上期调研考试(数学理)
河北省邯郸市2024届高三上学期第一次调研监测数学试题(解析版)
邯郸市2024届高三年级第一次调研监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh=（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）.棱台的体积公式()13V h S S'=+（其中S '，S 分别为棱台的上､下底面面积，h 为棱台的高）.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1A =<，{}220B x xx =+≤，则A B ⋃=（）A.(]1,2- B.{}0 C.[)2,1- D.(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】先求一元二次不等式得{20}B xx =-≤≤∣，再根据集合运算法则求解A B ⋃即可.【详解】{}{}2{1}{01},2020A x x B x x x x x =<=≤<=+≤=-≤≤∣∣∣，则{21}A B xx ⋃=-≤<∣.故选：C.2.已知命题p ：[)0,x ∞∀∈+，e 1x ≥，则p ⌝为（）A.(),0x ∃∈-∞，e 1x ≥B.[)0,x ∃∈+∞，e 1x <C.(),0x ∀∈-∞，e 1x <D.[)0,x ∞∀∈+，e 1x <【答案】B 【解析】【分析】利用含有全称量词的命题的否定判断.【详解】因为命题:[0,),e 1x p x ∞∀∈+≥，所以:[0,),e 1x p x ⌝∃∈+∞<.故选：B.3.已知i 是虚数单位，若复数z 满足：()31i 1i z -=-，则z z +=（）A.0B.2C.2iD.2i-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得i z=-，得到i z =，即可求解.【详解】由复数()31i 1i z -=-，可得()()()231i 1i 1i i 1i 1i 1i 1i z ---====--++-，则iz =，所以i i 0z z +=-+=.故选：A.4.设函数()()ln f x x a =+在1x =处的切线与直线12xy =+平行，则=a （）A.2- B.2C.1- D.1【答案】D 【解析】【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求a .【详解】函数()()ln f x x a =+的定义域为(),a -+∞，由已知1a >-，故1a >-，函数()()ln f x x a =+的导函数()1f x x a'=+，所以()111f a'=+，因为函数()()ln f x x a =+在1x =处的切线与直线12xy =+平行，所以1112a =+，所以1a =，经验证，此时满足题意.故选：D .5.设1F ，2F 是双曲线()222104x y b b-=>的左､右焦点，过1F 的直线l 交双曲线的左支于A ，B 两点，若直线2y x =为双曲线的一条渐近线，22AB b =，则22AF BF +的值为（）A.11B.12C.14D.16【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得2a =,再由双曲线的定义可得212124,24AF AF a BF BF a -==-==，得到()22118AF BF AF BF +-+=,再根据||6AB =得到答案.【详解】根据双曲线的标准方程2221(0)4x y b b -=>，得2a =,由直线2y x =为双曲线的一条渐近线，得2b a =,解得b =,得2||26AB b ==.由双曲线的定义可得2124AF AF a -==①，2124BF BF a -==②，①+②可得()22118AF BF AF BF +-+=,因为过双曲线的左焦点1F 的直线l 交双曲线的左支于A ,B 两点,所以11||6AF BF AB +==,得22||86814AF BF AB +=+=+=.故选：C.6.有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm ､底面边长为2cm 的正六棱锥，后段是高为1cm 的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（）A.()33cm π B.()33cm πC.)33cm π+ D.33cm 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据棱锥和圆柱的体积公式即可得到答案.【详解】由题意，钻头的前段正六棱锥的体积)311133226cm 322V =⨯⨯⨯⨯⨯=，因为圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，作出以下图形，所以圆柱的底面圆的半径2sin 60r ︒==，所以圆柱的体积()2321π3πcm V =⨯⨯=，所以此钻头的体积为()3123πcm V V +=.故选：B.7.甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以1A ，2A 表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以B 表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则()2P A B =（）A.823B.623 C.1740D.58【答案】A 【解析】【分析】分别求出()2P A ，()2P B A ，再根据全概率公式求出()P B ，再根据条件概率公式即可得解.【详解】()()()()()1122352423585840P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=，()225P A =，()24182P B A ==，()()()()()()222221852232340P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====.故选：A.8.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()e x f x =-，A.()31f =-B.()21f -=-C.()6f x +为奇函数D.()()228f x f x =+【答案】D 【解析】【分析】由题意可得()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=+，结合()1,1x ∈-时，()e xf x =-，可判断AB ；求出函数的周期，进而可判断CD .【详解】因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x --=--，即()()2f x f x =---，则()()11f f -=--，所以()10f -=，因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x -+=+，即()()2f x f x =-+，则()()310f f =-=，故A 错误；由当()1,1x ∈-时，()e xf x =-，得()01f =-，则()()201f f -=-=，故B 错误；()()22f x f x -+=---，则()()4f x f x +=-，所以()()()84f x f x f x +=-+=，所以()()228f x f x =+，故D 正确；对于C ，由()()8f x f x +=，得()()62f x f x +=-，若()6f x +为奇函数，则()2f x -也为奇函数，令()()2g x f x =-，则()g x 为奇函数，则()00g =，又()()0210g f =-=≠，矛盾，所以()()2g x f x =-不是奇函数，即()6f x +不是奇函数，故C 错误.故选：D .【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数()f x 的图象关于直线x a =和x b =对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（2）若函数()f x 的图象关于点(),0a 和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（3）若函数()f x 的图象关于直线x a =和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4T a b =-.二､选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设a ，b是两个非零向量，且a b a b +<+ ，则下列结论中正确的是（）A.a b a b-≤+ B.a b a b-<+ C.a ，b的夹角为钝角 D.若实数λ使得a b λ=成立，则λ为负数【答案】AD 【解析】【分析】根据平面向量的模、线性运算的概念即可判断.【详解】对A ，当,a b 不共线时，根据向量减法的三角形法则知||||||a b a b -<+，当,a b 反向共线时，||||||a b a b -=+r r r r ，故a b a b -≤+，A 正确；对B ，若a b ⊥，则以,a b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b + 和a b - 是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，故B 错误；对C ，若,a b 的夹角范围为π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，根据向量加法的平行四边形法则知：||||||a b a b +<+r r r r ，故C 错误；对D ，若存在实数λ，使得a b λ=成立，则,a b 共线，由于||||||a b a b +<+r r r r ，则,a b反向共线，所以λ为负数，故D 正确.故选：AD.10.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，则（）A.数列{}n a 为递减数列B.22n S n n=-C.43n a n =- D.数列{}n n a S +是等差数列【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的通项即可判断B ；根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项，即可判断C ；由1n n a a +-的符号即可判断A ；根据等差数列的定义即可判断D.【详解】由题意21nS n n=-，所以22n S n n =-，故B 正确；当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，当1n =时，上式也成立，所以43n a n =-，故C 正确；因为140n n a a +-=>，所以数列{}n a 为递增数列，故A 错误；2233n n n a S n =++-，因为()22119a S a S +-+=，()332213a S a S +-+=，所以数列{}n n a S +不是等差数列，故D 错误.故选：BC .11.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1，最小正周期为π2，则（）A.()f x 在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为偶函数C.函数()f x 在()0,π上有且仅有4个零点D.函数()f x 在区间π5π,412⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，求出ω与ϕ，再逐项分析求解，判断作答.【详解】依题意，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=，而π2ϕ<，则()ππ,2sin 66f x x ϕω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.由最小正周期为2π，得22T ππω==，得4ω=，则()π2sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由π5π,66x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得π5π7π4,662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，A 不正确；对于B ，()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得函数()πππ2sin 42sin 42cos 4662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是偶函数，B 正确；对于C ，当0πx <<时，πππ44666x π<+<+，则π4π,2π,3π,4π6x +=，则5π11π17π23π,,,24242424x =，可得()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，C 正确；对于D ，当π5π412x <<时，7ππ11π4666x <+<，当π3π462x +=，解得π3x =时，()f x 取得最小值2-，无最大值，D 正确.故选：BCD.12.已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，R ，E ，F 分别是AB ，11AD ，1CC 的中点，连接RE ，EF ，RF ，记R ，E ，F 所在的平面为α，则（）A.a 截正方体所得的截面为五边形 B.1B D α⊥C.点D 到平面αD.α截正方体所得的截面面积为【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面的性质先做出截面可判定A 、D ，再利用线线垂直可判定线面垂直得B 项正误，由正六棱锥的体积判定C .【详解】如上左图所示取111AA BC C D 、、中点分别为H G J 、、，连接EH HR RG GF FJ JE 、、、、、，易知HR FJ RG EJ GF HE ，，，HR FJ RG EJ GF HE ===，，，即六边形HRGFJE 为正六边形，平面HRGFJE 即过R ，E ，F 三点的平面α，故A 错误；由正方体的棱长为2，可得截面HRGFJE 的面积为2364S =⨯⨯=D 正确；如上右图所示，连接11AC BD BC B C 、、、，由正方体的性质可得1,AC BD BB ⊥⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以1,BB AC ⊥又11,BD BB B BD BB ⋂=⊂、面1BDB ，所以AC ⊥面1BDB ，1DB ⊂面1BDB ，所以1AC DB ⊥，而AC RG ，所以1RG DB ⊥，同理可得1FG DB ⊥，,FG RG G FG RG α⋂=⊂、，故1DB α⊥，即B 正确；分别连接1D B ，与截面HRGFJE 的六个顶点可得两个正六棱锥，设点D 到平面α的距离为h ，易知211128862162323D HRGFJE A HRD HRGFJE V V V h S h --=-=-⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⇒=正方体六边形，故C 正确.故选：BCD.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.()841x x-的展开式的常数项是___________.【答案】70【解析】【分析】利用通项公式求解，84(1)x x-的展开式中常数项由8(1)x -的展开式的4次方项确定，求解即可.【详解】8(1)x -的展开式的通项公式为818C (1)r rr r T x-+=-，当84r -=时，44584,C r T x ==，所以84(1)x x-的展开式的常数项为48C 70=.故答案：70.14.写出函数()cos 1sin xf x x=-的一个对称中心：___________.【答案】π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】首先化简函数得()πtan 24x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,再根据正切函数的对称中心公式求解.【详解】222cos sin cos sincos 2222()1sin cos sinsin cos 2222x x x x x f x x x x x x -+===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭π1tantan tan π224tan π241tan 1tan tan 224x x x x x ++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭--，令1ππ24x k +=或()212ππ,242x k k k π+=+∈Z ，则1π2π2x k =-+或()212π2π,2x k k k =+∈Z ，令20k =，则π2x =，所以函数()f x 的一个对称中心是π,02⎛⎫⎪⎝⎭.故答案：π,02⎛⎫⎪⎝⎭(答案不唯一，横坐标符合π2π2x k =±(k ∈Z )即可)15.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线W ：214y x =+.若等腰直角三角形ABC 三个顶点均在W 上且直角顶点B 与抛物线顶点重合，则ABC 的面积为___________.【答案】1【解析】【分析】根据等腰直角三角形与二次函数的性质，建立不等式，可得答案.【详解】由题意可作图如下：设()()11221,,0,,,4A x y B C x y ⎛⎫⎪⎝⎭，其中120x x <<，则直线AB 与直线BC 的斜率分别为1114y x -，2214y x -，由AB BC ⊥，则121211441y y x x --⋅=-，由AB BC =，则222211221144x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将21114y x =+，22214y x =+代入121211441y y x x --⋅=-，可得121x x =-，将21114y x =+，22214y x =+代入222211221144x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得24241122x x x x +=+，将121x x =-代入24241122x x x x +=+，可得()()6222110x x -+=，解得21x =，则5151,,0,,1,444A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，==AB BC ，112ABC S AB BC =⋅⋅=V .故答案为：1.16.过圆O ：222x y +=上一点P 作圆C ：()()22442x y -+-=的两切线，切点分别为Q ，R ，设两切线的夹角为θ，当PQ PR +取最小值时，sin θ=___________.【答案】9【解析】【分析】易得,,,2PQ PR CPQ CPR CQ PQ CR PR θ=∠=∠=⊥⊥，从而可得2P PQ P Q R ==+，求出PC 取得最小值时，sin θ的值即可.【详解】由题意可得,,,2PQ PR CPQ CPR CQ PQ CR PR θ=∠=∠=⊥⊥，圆O 的圆心()0,0O ，半径1r =，圆C 的圆心()4,4C ，半径2r =则2PQ Q R P P ===+，当PQ PR +取最小值时，则PC 取得最小值，1min PC OC r =-=此时1sinsin23CPQ θ=∠==，又2θ为锐角，所以22cos 23θ=，所以12242sin 2339θ=⨯⨯=，即当PQ PR +取最小值时，sin 9θ=.故答案为：429.【点睛】关键点点睛：由圆的切线的性质将所求转化为求PC 的最小值是解决本题的关键.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，且满足126a a +=，430S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()1n n b n a =-⋅，{}n b 的前n 项和为n T ，求使196n T ≤成立的n 的最大值.【答案】（1）2n n a =（2）5【解析】【分析】（1）求首项、公比，从而求得n a ；（2）利用错位相减求和法求得n T ，解不等式196n T ≤.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，0n a >，则0q >.1246,30a a S +==，则12346,24a a a a +=+=，得234122446a a q a a +===+，所以2q =，所以116a aq +=，所以12a =，所以2n n a =.【小问2详解】由（1）得(1)(1)2nn n b n a n =-⋅=-⋅，得231222(1)2n n T n =⨯+⨯++-⋅ ，得34121222(1)2n n T n +=⨯+⨯++-⋅ ，两式相减得23412222(1)2nn n T n +-=++++--⋅ ()112122(1)2(2)2412n n n n n ++-=-+--⋅=--⋅--，所以1(2)24n n T n +=-⋅+.由196n T ≤，得11(2)24196(2)2192n n n n ++-⋅+≤⇒-⋅≤，当5n =时，左边632192=⨯=，当5n >时，1(2)2192n n +->，所以n 的最大值为5.18.暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；（2）在这100名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在[)40,50，[)50,60，[)60,70的三组中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[)50,60的人数，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）79.3（2）分布列见解析，()1E ξ=【解析】【分析】（1）根据在频率分布直方图中中位数的求法计算即可；（2）写出随机变量ξ的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.【小问1详解】因为()100.0040.0080.0120.24⨯++=，0.24100.0280.52+⨯=，所以中位数在区间[)70,80内，设为x ，则()()100.0040.0080.0120.028700.5x ⨯+++-=，解得79.3x ≈，即估计这100名居民成绩的中位数为79.3；【小问2详解】成绩在[)40,50有0.0041220.0040.0080.012⨯=++人，成绩在[)50,60有0.0081240.0040.0080.012⨯=++人，成绩在[)60,70有0.0121260.0040.0080.012⨯=++人，则ξ可取0,1,2,3，()38312C 140C 55P ξ===，()1248312C C 281C 55P ξ===，()2148312C C 122C 55P ξ===，()34312C 11C 55P ξ===，所以分布列为ξ123P145528551255155所以()14281210123155555555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 2cos c a C c A =-.（1）求sin 2A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）34（2）273+【解析】【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得sin co 1s 2A A -=，平方进而求得sin 2A ；（2）利用余弦定理表示出22b c +，根据三角形面积公式和基本不等式求得最值.【小问1详解】因为2sin 2cos c a C c A =-，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin 2sin sin 2sin cos C A C C A =-，因为()0,,sin 0C C ∈π∴≠，所以sin co 1s 2A A -=，所以21(sin cos )4A A -=，得1312sin cos 2sin cos 44A A A A -=⇒=，即3sin 24A =.【小问2详解】由（1）知13sin cos ,2sin cos 24A A A A -==，()0,A π∈，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin 0,cos 0A A >>，与22sin cos 1A A +=联立，有221sin cos 2sin cos 1A A A A ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得17sin 471cos 4A A ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得1117sin 224ABC S bc A ==⨯ ，由余弦定理得，22271cos 24b c a A bc+-==，所以227142b c bc -+=+，得2271422b c bc bc -+=+≥，当且仅当b c =时等号成立，即4(59bc ≤=+，得1142(52493ABC S +≤⨯⨯+=，得最大值为23+.20.如图，几何体由四棱锥B AEFC -和三棱台EFG ACD -组合而成，四边形ABCD 为梯形，//AD BC 且2AD BC =，AD CD ⊥，2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC ==，平面EBC 与平面ABCD 的夹角为45°.（1）求证：平面BCE ⊥平面CDGF ；（2）求三棱台EFG ACD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）73【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质和平行的性质得BC CD ⊥，再利用面面垂直的判定即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，设DG h =，求出相关平面法向量，利用面面角的空间向量求法得到方程，解出h ，再利用棱台体积公式即可得到答案.【小问1详解】因为DG ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以DG BC ⊥，因为//,AD BC AD CD ⊥，所以BC CD ⊥，由GD CD D = ，,GD CD ⊂平面CDGF ，得BC ⊥平面CDGF ，由BC ⊂平面BCE ，得平面BCE ⊥平面CDGF .【小问2详解】因为DG ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以,DG AD DG CD ⊥⊥，又因为AD CD ⊥，所以,,DG AD CD 两两互相垂直，所以以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DG 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图.设DG h =，由题可知，(0,0,0),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(1,0,),(0,1,),(0,0,)D A B C E h F h G h ，易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,)DG h = ，设平面EBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,0,0),(0,2,)CB BE h ==- ，故得0n CB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y zh =⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则20,1,,cos ,2||||DG n n n DG h DG n ⋅⎛⎫=〈〉==⎪⎝⎭ ，解得2h =，所以三棱台EFG ACD -的体积为1117222113223V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.21.已知函数()2ln 2xf x a x =⋅-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，证明：不等式()12ln f x a a≤+有实数解.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，再分0a ≤和0a >两种情况讨论即可；（2）要证不等式()12ln f x a a ≤+有实数解，只需证明()min 12ln f x a a≤+即可，由（1）求出()min f x ，进而得证.【小问1详解】()()ln 22ln 2ln 221x x f x a a '=⋅-=⋅-，当0a ≤时，()0f x '<，则函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，当0a >时，21log x a <时，()0f x '<，21log x a>时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在21,log a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在21log ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0a >时，函数()f x 在21,log a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在21log ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】要证不等式()12ln f x a a ≤+有实数解，只需证明()min12ln f x a a≤+即可，由（1）得()21log 22min11log 2ln 2log 1ln a f x f a a a a ⎛⎫==⋅-⨯=+ ⎪⎝⎭，则只要证明11ln 2ln a a a+≤+即可，即证1ln 10a a+-≥，令()()1ln 10h a a a a =+->，则()22111a h a a a a-'=-=，当01a <<时，()0h a '<，当1a >时，()0h a '>，所以函数()h a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10h a h ≥=，即1ln 10a a+-≥，所以当0a >时，不等式()12ln f x a a≤+有实数解.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦点分别为()11,0F -和()21,0F ，离心率为12.不过2F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，M 两个不同的点，直线2AF 与椭圆的另一交点为点B .（1）求椭圆E 的方程；（2）①若直线MB 交x 轴于点N ，求以ON 为直径的圆的方程；②若过2F 与AB 垂直的直线交椭圆E 于D ，G 两个不同的点，当22AB DG +取最小值时，求直线AB 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）①22(2)4x y -+=；②1y x =-或1y x =-+.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，可求其方程；（2）①联立直线AB 与椭圆方程，表示出直线BM 的方程，再由根与系数的关系求出N 点坐标，即可求出圆的方程；②根据弦长公式可求AB 长度,进而得DG 长度，根据不等式即可求解最值，得直线AB 的方程.【小问1详解】由题意可知，11,2c c e a ===，得2a =，由222a b c =+，得23b =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】①显然直线AB 的斜率必存在，且0AB k ≠，则设直线AB 的方程为()()1122(1)(0),,,,y k x k A x y B x y =-≠，则()11,M x y -，联立有22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()22224384120k x k x k +-+-=，所以221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，直线BM 的方程为()211121,y y y y x x x x ++=-- 令0y =可得N 点的横坐标为()()()()1211212211112112121222N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=+=+=++-+-22222241282434348243k k k k kk -⨯-++==-+.所以N 为一个定点，其坐标为(4,0)，则圆心坐标为()2,0，半径为2，则以ON 为直径的圆的方程为22(2)4x y -+=.②根据①可进一步求得:21||AB x =-=()2212143k k +=+，第21页/共21页因为AB DG ⊥,所以1DG k k =-,则()22121||34k DG k +=+,由()()()()()22222222221211212881||2243344334k k k AB DG AB DG k k k k ++++≥⋅=⨯⨯=++++()22222288111524943342k k k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当224334k k +=+时取等号，即1k =±时，22||||AB DG +取得最小值115249，此时直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线AB的方程为(1)(0)y k x k =-≠，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再去计算出N 点的横坐标为定值，则可得到圆的方程，再利用弦长公式和基本不等式则可得到22||||AB DG +的最小值.。
高中数学 2023-2024学年河北省邯郸市高三(上)第一次调研数学试卷
2023-2024学年河北省邯郸市高三（上）第一次调研数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A ．（-1，2]B ．{0}C ．[-2，1）D ．（-∞，1）1．（5分）设集合A ={x |x <1}，B ={x |x 2+2x ≤0}，则A ∪B =（ ）√A ．∃x ∈（-∞，0），e x ≥1B ．∃x ∈[0，+∞），e x <1C ．∀x ∈（-∞，0），e x <1D ．∀x ∈[0，+∞），e x <12．（5分）已知命题p ：∀x ∈[0，+∞），e x ≥1，则￢p 为（ ）A ．0B ．2C ．2iD ．-2i3．（5分）已知i 是虚数单位，若复数z 满足：z （1-i 3）=1-i ,则z +z =（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．14．（5分）设函数f （x ）=ln （x +a ）在x =1处的切线与直线y =x2+1平行，则a =（ ）A ．11B ．12C ．14D ．165．（5分）设F 1，F 2是双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 交双曲线的左支于A ，B 两点，若直线y =32x 为双曲线的一条渐近线，|AB |=2b 2，则|AF 2|+|BF 2|的值为（ ）√A ．(33+3π)cm 3B ．(63+3π)cm 3C ．(3+3π)cm 3D ．(63+32π)cm 36．（5分）有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm 、底面边长为2cm 的正六棱锥，后段是高为1cm 的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（ ）√√√√A ．823B ．623C ．1740D ．587．（5分）甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以A 1，A 2表示从甲口袋取出的球是红球、白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以B 表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则P （A 2|B ）=（ ）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）A ．f （3）=-1B ．f （-2）=-1C ．f （x +6）为奇函数D ．f （2x ）=f （2x +8）8．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，f （x -1）为奇函数，f （x +1）为偶函数，当x ∈（-1，1）时，f （x ）=-e x ，则（ ）A ．|a −b |≤|a |+|b |B ．|a −b |<|a +b |C ．a ，b 的夹角为钝角D ．若实数λ使得a =λb 成立，则λ为负数9．（5分）设a ，b 是两个非零向量，且|a +b |<|a |+|b |，则下列结论中正确的是（ ）→→→→→→→→→→→→→→→→→→A ．数列{a n }为递减数列B ．S n =2n 2−n C ．a n =4n -3D ．数列{a n +S n }是等差数列10．（5分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，若数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列，则（ ）A ．f （x ）在(π6，5π6)上单调递减B ．f （x ）的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为偶函数C ．函数f （x ）在（0，π）上有且仅有4个零点D ．函数f （x ）在区间(π4，5π12)上有最小值无最大值11．（5分）已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象过点（0，1），最小正周期为π2，则（ ）A ．α截正方体所得的截面为五边形B ．B 1D ⊥αC ．点D 到平面α的距离为3D ．α截正方体所得的截面面积为3312．（5分）已知棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，R ，E ，F 分别是AB ，A 1D 1，CC 1的中点，连接RE ，EF ，RF ，记R ，E ，F 所在的平面为α，则（ ）√√四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（5分）(x −1)8x 4的展开式的常数项是 ．14．（5分）写出函数f (x )=cosx1−sinx 的一个对称中心： ．15．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线W ：y =x 2+14．若等腰直角三角形ABC 三个顶点均在W 上且直角顶点B 与抛物线顶点重合，则△ABC 的面积为 ．16．（5分）过圆O ：x 2+y 2=2上一点P 作圆C ：（x -4）2+（y -4）2=2的两切线，切点分别为Q ，R ，设两切线的夹角为θ，当|PQ |+|PR |取最小值时，sinθ= ．17．（10分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，且满足a 1+a 2=6，S 4=30．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =（n -1）•a n ，{b n }的前n 项和为T n ，求使T n ≤196成立的n 的最大值．18．（12分）暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要．现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；（2）在这100名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在[40，50），[50，60），[60，70）的三组中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[50，60）的人数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知c =2asinC -2ccosA ．（1）求sin 2A ；（2）若a =2，求△ABC 面积的最大值．20．（12分）如图，几何体由四棱锥B -AEFC 和三棱台EFG -ACD 组合而成，四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC且AD =2BC ，AD ⊥CD ，CD =2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA =DC =2，平面EBC 与平面ABCD 的夹角为45°．（1）求证：平面BCE ⊥平面CDGF ；（2）求三棱台EFG -ACD 的体积．21．（12分）已知函数f （x ）=a ⋅2x -xln 2．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a >0时，证明：不等式f (x )≤2lna +1a 有实数解．22．（12分）已知椭圆E ：x2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1（-1，0）和F 2（1，0），离心率为12．不过F 2且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，M 两个不同的点，直线AF 2与椭圆的另一交点为点B ．（1）求椭圆E 的方程；（2）①若直线MB 交x 轴于点N ，求以ON 为直径的圆的方程；②若过F 2与AB 垂直的直线交椭圆E 于D ，G 两个不同的点，当|AB |2+|DG |2取最小值时，求直线AB 的方程．。
河北省2025届高三上学期大数据应用调研联合测评(I)数学含答案
绝密★启用前河北省2025届高三年级大数据应用调研联合测评（I ）（答案在最后）数学班级__________姓名__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集是实数集{},3,{369}M x x N x x ==+<R ∣∣ ，则()N M ⋂=R ð（）A.{}3xx -∣ B.{}13xx ∣ C.{3}x x <-∣ D.{31}xx -<∣ 2.设i 为虚数单位，复数z 满足()12i 42i z +=+，则z =（）A.2C.4D.3.已知向量()()4,2,1,a b ==x ，且()2a b - ∥b ，则x =（）A.2B.-2C.12D.12-4.已知正项等比数列{}n a 满足354664,256a a a a ⋅=⋅=，则数列{}n a 前10项和为（）A.255B.511C.1023D.20475.已知()()sin 2cos ,tan tan 1αβαβαβ+=-+=，则()tan αβ+=（）A.23B.23-C.32D.32-6.已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，若某一球的体积与该圆台体积相同，则该球的表面积为（）A.7πB.14πC.28πD.56π7.现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到,,A B C 三所学校参加公益演讲活动，则甲､乙2名教师不能到A 学校，且丙教师不能到B 学校的概率为（）A.310B.25C.715D.17308.给定函数()()(0),ln xf x x xg x x x a =>=+，用()M x 表示()(),f x g x 中的最大者，记作()()(){}max ,M x f x g x =，若()()M x f x =，则实数a 的最大值为（）A.1eB.1C.eD.e11ee-+二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已为随机变量,X Y ，且()()221122,,,X N Y N μσμσ~~，其中1212,,,μμσσ+∈∈R R ，则下列命题正确的是（）A.若12μμ=，则()()E X E Y =B.若12μμ=，则()()D X D Y =C.若12μ=，则()()131P X P X += D.若122,3σσ==，则()()1211P X P Y μμ->- 10.设函数()()2()(),1f x x a x b a b x =--<=为函数()f x 的极大值点，则下列结论正确的是（）A.1a =B.若3x =为函数()f x 的极小值点，则4b =C.若()40f x +=有三个解，则b 的取值范围为()4,∞+D.当01x <<时，()()2f x f x<11.已知曲线C（如图所示）过坐标原点O ，且C 上的点(),P x y 满足到两个定点()1,0F a ，()2,0(0)F a a ->的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A.2a =B.x -C.12PF F 周长的最小值为8D.12PF F 的面积最大值为2三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是12F F ､，若双曲线右支上点32P ⎫⎪⎭满足12113PF PF =，则该双曲线的离心率为__________.13.若M 为函数2ln 1y x x =-+图象上的一点，()0,1N ，则MN 的最小值为__________.14.已知,,P M N 是三个集合，且满足{}1,2,3,4,5,,P M P N P =⊆⊆，则满足条件的有序集合对(),M N 的总数是__________.（用数字作答）四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）设ABC 的内角A B C ､､的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 2C A B +=.（1）求角C 的大小；（2）若c =，且ABC 的面积为()22416b a +，求ABC 的周长.16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，点F 在棱BP 上，且,2DF BP PD CD ⊥==.（1）证明：BP EF ⊥；（2）若二面角F DE B --的余弦值为13，求BC .17.（本小题满分15分）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为3，对称轴为坐标轴，且经过点23⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆E 的方程；（2）若过()0,1P 的直线交椭圆E 于C D ､两点，求CP DP的取值范围.18.（本小题满分17分）已知函数()()e 20xf x x x =- .（1）求证()exf x - ；（2）求方程()f x x =解的个数；（3）设*2,n n ∈Nln n ++> .19.（本小题满分17分）定义二元数(),22(,,)pqa p q p q p q =+<∈N ，将所有的二元数按照从小到大排列后构成数列{}n a .（1）求1346,,,a a a a ；（2）对于给定的,(1,,)p q p q p q +<∈N ，是否存在()r r ∈N ，使得()()1,,,1a p q a p q ++，(),1a r r +成等差数列？若存在求出r 满足的条件；若不存在，请说明理由；（3）若()()(),,,2024a p q a r s a s +=，求,,,p q r s .河北省2025届高三年级大数据应用调研联合测评（I ）数学参考答案及解析题号1234567891011答案BACCACDBACDABCABD1.B 【解析】因为{1}N x x =<∣，所以{}1N x x =R ∣ ð，又因为{}33M x x =-∣ ，所以(){}13N M xx ⋂=R∣ ð，故选B.2.A 【解析】因为()12i 42i z +=+，所以()()42i 12i 42i 86i12i 55z +-+-===+，所以1025z ==，故选A.3.C 【解析】因为()22,22a b x -=-，又因为()2a b - ∥b ，所以222x x -=，所以12x =，故选C.3.C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由354664,256a a a a ⋅=⋅=，得242564,256,a a ⎧=⎨=⎩又因为各项均为正数，所以458,16,a a =⎧⎨=⎩所以()10111012, 1.10231a q q a S q-====-.故选C.5.A【解析】()()sin 2cos ,sin cos cos sin 2cos cos 2sin sin αβαβαβαβαβαβ+=-∴+=+ ，等号两边同时除以cos cosαβ，得到tan tan 22tan tan αβαβ+=+，即()tan tan 1tan tan 12tantan 1,tan 1221tan tan 312αβαβαβαβαβ++=-=-∴+==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选A.6.C 【解析】由已知圆台的体积为()22π242433++⨯⨯=，设该球的半径为R ，则34π33R =，R ∴=24π28πS R ==，故选C.7.D 【解析】6名教师选出3人分别到,A B ，C 三所学校的方法共有36A 120=种.甲､乙2名教师不能到A 学校，且丙教师不能到B 学校的第一种情况：若丙去A 校，有25A 20=种选法；第二种情况，若丙不去A 校，则A 校有13C 种选法，B 校有14C 种选法，C 校有14C 种选法，共有111344C C C 48=种，所以一共有204868+=种.所以概率681712030P ==，故选D.8.B 【解析】()()M x f x =，即()()f x g x 恒成立，设()()()ln 0xh x f x g x x x x a =-=-- 恒成立，设()ln eln x xh x x x a =--，令ln t x x =，则()ln 10t x x =+='，解得()()11,0,,0,e e x x t x t x ⎛⎫=∈< ⎝'⎪⎭单调递减，()e,x ∞∈+时，()()0,t x t x '>单调递增，()11e et x t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.()ln e ln e x x t h x x x a t a =--=--，令()()1e ,e 10,0,e t t s t t a t s t t ⎛⎫=---=-=∴= ⎪⎝⎭' 1,0e t ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()s t 单调递减，()0,t ∞∈+时，()s t 单调递增，()()010,1s t s a a ∴=-∴ .所以实数a 的最大值为1.故选B.9.ACD【解析】对于A ，由正态分布的期望公式得，()E X μ=，故A 正确；对于B ，由正态分布的方差公式得，()21D X σ=，故B 错误；对于C ，由正态分布的对称性得，()()13P X P X = ，所以()()()()13331P X P X P X P X +=+= ，故C 正确；对于D ，由122,3σσ==，则22124,9σσ==，根据方差的性质知，X 分布更集中，所以()()1211P X P Y μμ->- ，故D 正确.故选ACD.10.ABC 【解析】因为,x a x b ==为函数()f x 的零点，且x a =为函数()f x 的不变号零点，由数轴标根法可得1a =，故A 正确.()()()()()2(1),13210f x x x b f x x x b ∴=--=--'-=，1221211,,3,433b b x x b ++∴==∴=∴=，所以B 正确.由以上分析可得当213b x +=时取得极小值，且3214(1)327b b f +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 的大致图象如图，由()40f x +=有三个解，则34(1)427b --<-，解得4b >，故C 正确.由以上分析可得()211,,13b x ∞+>∴∈-时，()f x 单调递增，因为01x <<时，2x x >，所以()()2f x f x>，所以D 错误.故选ABC.11.ABD【解析】由题意，已知C 过坐标原点O ，将()0,0O4，得2a =，所以A 正确.由图象，令0y =，得0x =，或±，所以B 正确.由124PF PF + ，当且仅当122PF PF ==时等号成立，12PF F 周长的最小值为12128PF PF F F ++=，而此时()0,0P ，不能构成三角形，即最小值不是8，所以C 错误.因为124PF PF =，则4=，则2222(2)(2)16x y x y ⎡⎤⎡⎤++⋅-+=⎣⎦⎣⎦，即()222241616x y x ++-=，得22244y x x =-=-[]()1,3t t =∈，所以2243y t t =--，则当2t =时，2y 有最大值1，所以12PF F S 有最大值为14122⨯⨯=，所以122PF F S ，所以D 正确.故选ABD.12.【答案】2【解析】c =，所以2212331111,,2232b PF PF PF a ====，又因为221211342,2,3,7,22PF PF a a b c c -=-==∴====，所以离心率e 2c a ==.13.【解析】21y x '=-，设()00,M x y ，所以曲线2ln 1y x x =-+在点()00,M x y 处的切线的斜率为021x -，直线MN 的斜率为0000000012ln 112ln y x x x x k x x x --+--===，当曲线在点()00,M x y 处的切线与直线MN 垂直时，MN 最小，即00002ln 211x x x x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()2000022ln 0x x x x --+=，设()()()222ln ,g x x x x x =--+因为()g 10,=()()44442ln 442142220g x x x x x x x x x=-+---'+-=+--> ，()g x ∴在()0,∞+上单调递增，()01,1,2x M ∴=时MN 最小，=.所以答案为.14.【答案】1024【解析】考虑,M N 将集合{}1,2,3,4,5P =划分为4个集合，()1234,,,A P M N A M N A N M A MN =-+=-=-=，接下来将集合P 中的元素逐一安排到集合1234,,,A A A A 中即可得所求总数为510421024==.故答案为1024.15.【解】（1）由()2sin sin 2C A B C +==，22sincos 222C C C∴=，又π0π,0,sin 0222C CC <<<<∴>，πtan,2326C C ∴=∴=，所以π3C =.（2）由已知可得，()221sin 4216S ab C b a ==+，可得222440,(2)0,2b a ab b a a b +-=∴-=∴=.又由余弦定理可得222π32cos 3c b a ab ==+-，化简得，223b a ab +-=，联立解得1,2b a ==，所以ABC的周长为316.【解】（1）证明：因为PD ⊥底面,ABCD BC ⊂底面ABCD ，所以PD BC ⊥.因为四边形ABCD 为矩形，所以DC BC ⊥.因为PD DC D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD .因为DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥.在PCD 中，,PD CD E =是PC 的中点，则DE PC ⊥.因为BC PC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC .因为PB ⊂平面PBC ，所以DE PB ⊥.又因为,DF BP DF DE D ⊥⋂=，所以BP ⊥平面DEF .因为EF ⊂平面DEF ，所以BP EF ⊥.（2）方法一：以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，设BC x =，则()()()()()0,0,0,,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1D B x E P E ，所以()()(),2,0,0,1,1,,2,2DB x DE BP x ===--，由（1）知(),2,2BP x =--为平面DEF 的一个法向量，设平面DBE 的一个法向量为(),,n a b c =，则0,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,0,xa b b c +=⎧⎨+=⎩令2a =，则,b x c x =-=，所以2,,)n x x =-，所以1cos ,3n BP n BP n BP⋅==⋅，解得2x =，即2BC =.方法二：由（1）可得DE ⊥平面,PBC 因为EF ⊂平面,PBC EB ⊂平面PBC ，所以,DE EF DE EB ⊥⊥.所以BEF ∠为二面角F DE B --的平面角.所以1123EF PE PC BEF BE ∠====，设BC x =，则12BC PC BE EF PB ⋅===所以13EF BE ==，解得2x =，2BC =.17.【解】（1）依题意，可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由,35c a c a =⇒=又因为222a b c =+，所以5b c =，222219455x y c c ∴+=，椭圆经过点23⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入上述方程解得25c =，则229,4a b ==，∴椭圆E 的方程为22194x y +=.（2）由（1）可知：()()0,2,0,2A B -，当斜率不存在时，若点C 与A 重合，D 与B 重合.此时13CP AP DPBP==.若点D 与A 重合，B 与C 重合，则3CP BP DPAP==.当直线斜率存在时，设直线()()1122:1,,,,CD y kx C x y D x y =+，联立得221,1,94y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()224918270k x kx ++-=，显然Δ0>，则1212221827,4949k x x x x k k+=-=-++，可得()2222122122181249274949k x x k k x x k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭==-+-+，整理可得212222112442149349x x k x x k k ⎛⎫++=-=-- ⎪++⎝⎭，因为2449k + ，可得24441,03493k ⎛⎫⎛⎤--∈- ⎪ ⎥+⎝⎭⎝⎦，令12(0)x t t x =<，则41203t t -<++ ，解得133t -<<-，即1213,3x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以11221,33CPx x DP x x ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭.综上，CP DP 的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.【解】（1）令()()()ee 2e 0x x x g xf x x x --=-=-- ，所以()()()()1e 2e 0,e 20e xx x x g x x f x x -='=+'-+- ，所以()e 2e 220x xg x -'=-+-= ，当且仅当1e ,e 1e x x x==，即0x =时，等号成立，所以当[)0,x ∞∈+时，()()0,g x g x ' 单调递增，所以()()00g x g = ，所以()ex f x - 得证.（2）由()f x x =得()e 20x x x x -= ，即()e 300x x x -= ，令()()e 30xg x x x =- ，所以函数()g x 的零点个数，即为方程()f x x =解的个数，()()e 30x g x x =-' ，令()0g x '=，即e 3x =，解得ln3x =，x [0,ln 3)ln3(ln 3,)∞+()g x '-0+()g x 单调递减33ln3-单调递增因为()()010,ln333ln30g g =>=-<，所以()g x 在[)0,ln3上有唯一一个零点，又()555e 15215170g =->-=>，所以()g x 在()ln3,∞+上有唯一一个零点.综上所述，方程()f x x =有两个解.（3）由（1）知，()e2e 0,0,x x x x ∞--->∈+，令ln (1)x s s =>，则12ln 0s s s --->，即12ln (1)s s s s ->>，设*2,s n n =∈N ，则满足1s >>，即111ln 11nn ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭，()ln ln ln 1,1n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭()ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln ,n n n ++-+-++--= ln n ++ .19.【解】（1）令1,0q p ==，得13a =，令2,0q p ==，得25a =，令2,1q p ==，得36a =，令3,0q p ==，得49a =，令3,1q p ==，得510a =，令3,2q p ==，得612a =.（2）若()()()1,,,1,,1a p q a p q a r r +++成等差数列，则()1112222222p q r r p q ++++++=+，即122222q r r q ++++=.当q r <时，121222r q r q --+++=，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；当q r >时，22122q r q r --+++=，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；当q r =时，122222q q q q ++++=成立.所以r q =.（3）()()(),,,2024a p q a r s a s += ，2024222222p q r s s ∴+++=+，即20242222,p q r ++=当p r <时，20241222q p r p p ---++=，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；当p r >时，20242212p r q r r ---++=，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；当p r =时，20242222p q p ++=，即12024222p q ++=，12023,2023p q + ，120232023202422222p q +∴++= ，当且仅当12023p q +==即2022,2023p r q ===时取等号，又因为2024,r s s <<∈N ，2023s ∴=.。
河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷(含解析)
河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知数列满足,则( )2．已知是第四象限角且,则的值为( )A.1B.C.3．函数处的切线的倾斜角为( )4．如图,平行四边形ABCD中,,,若,,则( )C.5．已知等差数列的公差小于0,前n项和为,若,则的最大值为( )A.45B.52C.60D.906．设内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知,若的周长为1.则( )D.2{}na12na+=11=-4a=αsinα=cos0ββ-=tan()αβ-1--()f x=())0,0f2AE EB=DF FC=CB m=CE n=AF=32+12n-1322m-+32n-{}nanS2a=844=nS ABC△2sin sin sinABCS A B C=△ABCsin sin sinA B C++=7．设函数,若函数在区间上有且仅有1个零点,则的取值范围为( )A. B. C. D.8．已知,在R 上单调递增,则a 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题9．以下正确的选项是( )A.若,,则 B.若,C.若,则D.若,10．设正项等比数列的公比为q ,前n 项和为,前n 项积为,则下列选项正确的是( )A.B.若,则C.若,则当取得最小值时,D.若,则11．以下不等式成立的是( )A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,三、填空题()()3ππ40,0,3πππ4tan ,4k x f x k k x x ωωωω⎧+⎪=⎪⎪=>∈⎨⎪+⎛⎫⎪--≠ ⎪⎪⎝⎭⎩Z ()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦20,3⎛⎤⎥⎝⎦210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]0,211e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=>()a ∈R []2,1-[]2,1--(],1-∞[)2,-+∞a b >c d <a c b d ->-a b >c d <bd >22ac bc >33a b >a b >m >ba>{}n a n S n T 4945S S q S =+20252020T T =20231a =194a a =2246a a +1a =21()n n n a T +>11a <(0,1)x ∈1e ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞1e ln 2x x x x+>-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >,,13．已知函数的最小正周期为,则在区间上所有零点之和为________.14．若定义在上的函数满足:对任意的x ,,都有:,当时,还满足:,则不等式的解集为________.四、解答题15．已知函数.（1）求函数的单调区间;（2）函数在上恒成立,求最小的整数a .16．已知数列的前n 项和为,,.（1）证明:数列为等比数列;（2）若,求n 的值.17．凸函数是数学中一个值得研究的分支,它包括数学中大多数重要的函数,如,等.记为的导数.现有如下定理:在区间I 上为凸函数的充要条件为.（1）证明:函数上的凸函数;（2）已知函数.①若为上的凸函数,求a 的最小值;②在①的条件下,当a 取最小值时,证明:,在上恒成立.18．如图,在平面直角坐标系中,质点A 与B 沿单位圆周运动,点A 与B 初始位置如图所示,A 点坐标为,的速度运动,点A 逆时针24a b ⋅=λ∈R +()()2sin πcos (0)f x x x x ωωωω=->π()f x []2024π,2024π-()(),00,-∞+∞ () f x ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1f x x ≤-()()2e 1x f x x x =-+()f x ()f x a ≤[]2,1-{}n a n S 113a =18,3,nn na n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}2112n a --21161469n S n +=+2x e x ()f x ''()y f x '=()f x ()()0f x x I ''≥∈()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()g x [)1,+∞()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞()1,0AOB ∠=//s运动,点B 顺时针运动,问:（1）ls 后,扇形AOB 的面积及的值.（2）质点A 与质点B 的每一次相遇的位置记为点,连接一系列点,,构成一个封闭多边形,求该多边形的面积.19．已知函数,（1）讨论的单调性;（2）当时,恒成立,求m 的取值范围;（3）当时,若的最小值是0,求的最大值.sin AOB ∠n P 1P 2P 3P ⋅⋅⋅()e x f x mx =-()g x =()f x 0x ≥()()f x g x ≥0x ≥()()f x ng x -m +参考答案1．答案：C 解析：因为当,;当,,故选:C.2．答案：C解析：因为是第四象限角且因为,所以所以,故选:C.3．答案：D解析：因为时,即故选:D.4．答案：D解析：因为四边形ABCD 为平行四边形,且,,所以,即①,又,即②,由①②得到,又,,所以.故选:D.5．答案：A12n a +=1n =21123a a =-=2n =3212a a =-=3=4312a a =-=αsin α=α=α=2sin cos 0ββ-=tan β=tan tan tan()211tan tan 31421234αβαβαβ--===-+⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭---()f x =()15f x x ='0=()15f x x ='()f x =0x =2AE EB =DF FC =12AF AD DF AD DC =+=+ 22AF AD DC =+ 13CE CB BE CB BA =+=+ 33CE CB BA =+ +23AF CE CB += CB m = CE n =1322A m n F =-解析：设等差数列的首项为,公差为,由①,由,得到②,由①②得到,,又,,由,解得,,所以,,,又因为,所以当或时,的值最大,最大值为45,故选:A.6．答案：B（R 为的外接圆半径）,可得,,,且A ,B ,,则,,均为正数,因为,可得,又因为的周长为,所以故选:B.7．答案：A解析：因为,由正切型函数可知:的最小正周期且,显然在区间内至少有1个零点,在区间内至少有2个零点,若函数在区间上有且仅有1个零点,{}n a 1a (0)d d <2a =272713a a a ++=1888()442a a S +==1811a a +=2724a a =182711a a a a +=+=0d <27272411a a a a =⎧⎨+=⎩28a =73a =72381725a a d --===--19a =2(1)1199222n n n S n n n -=-=-+n *∈N 9n =10n =n S 2sin sin b cR B C===ABC △2sin a R A =2sin b R B =2sin c R C =()0,πC ∈sin A sin B sin C 11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22ABC S ab C R A R B C A B C ==⨯⨯⨯=△1R =ABC △()2sin 2sin 2sin 2sin sin sin 1a b c R A R B R C A B C ++=++=++=sin sin sin A B C ++=0ω>()f x T =(f x ∈Z ()f x (),x x T +3,2x x T ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭,若,因为,则,且,即则,结合题意可知:,由题意可知:或,,所以的取值范围为.故选:A.8．答案：A解析：因为,当时,,所以时,,即上单调递增,当时,,所以,由题知在上恒成立,在上恒成立,3ππ88⎛⎫>--= ⎪⎝⎭πω=>3ω<<03ω<<π3π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ3ππ,48484x ωωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭5ππππ3ππ7π8844848ωω-<--<-<-<5ππππ3ππ884484x ωωω-<--<-<-<ππ5π7π,0,,2288⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ3ππ,8484ωω⎫---⎪⎭π3ππ0284πππ842ωω⎧-<-≤⎪⎪⎨⎪--<-⎪⎩3πππ0842πππ0284ωω⎧<-≤⎪⎪⎨⎪-≤--<⎪⎩2ω<≤ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦11e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=⎨>1x >()f x =()f x '==1x >()0f x '>()f x =)+∞1x ≤11e e ()2x x f x ax ---=-11e e ()2x x f x a --+'=-11e e ()02x x f x a --+'=-≥(,1]-∞a ≥,当且仅当,即时取等号,所以,,得到,所以,故选:A.9．答案：AC解析：对于选项A,由,得到,又,所以,故选项A 正确,对于选项B,取,显然有,,不满足对于选项C,由,得到,又,所以,即,所以,故选项C 正确,对于选项D,取,,,显然有,,所以选项D 错误,故选:AC.10．答案：AB解析：因为数列为正项等比数列,则,,,对于选项A:因为,所以,故A 正确;对于选项B:若,所以,故B 正确;对于选项C:因为,则,当且仅当时,等号成立,若取得最小值,则,即,解得,故C 错误;112≥⨯=11e e x x --=1x =1a ≤13211a +≤=+2a ≥-21a -≤≤c d <c d ->-ab >ac bd ->-3,2,3,2a b c d ===-=-a b >c d <1,1bd=-=-a c >22ac bc >2()0a b c ->20c >0a b ->a b >33a b >3a =-4b =-5m =a b >m >4514435233b a-+-==<==-+-{}n a 10a >0q >0n T >9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()4441234545S q a a a a a S q S =+++++=+4945S S q S =+20252020T T =52021202220232024202520231a a a a a a =⋅⋅⋅⋅==20231a =19464a a a a ==22446628a a a a +≥=462a a ==2246a a +462a a ==34156122a a q a a q ⎧==⎨==⎩121a q =⎧⎨=⎩对于选项D:例如,,则,可得,,因为,则,可得,即,符合题意,但,故D 错误;故选:AB.11．答案：ABC解析：A 选项,令,,则恒成立,故在上单调递增,则,令,则,故在上单调递增,故,所以,A 正确;B 选项,由A 选项知,时,单调递增,单调递减,则,所以,B 正确;C 选项,令,,则,,,11a =2q =12n n a -=011121122222n n n n T a a a -++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==()21()22nn n n n a +==()2212222n n n n n T --⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭*n ∈N 22n n n >-2222n n n ->21()n n n a T +>11a =()e 1x f x x =--(0,1)x ∈()e 10x f x ='->()f x (0,1)x ∈()()00f x f >=()1ln g x x =-(0,1)x ∈()221110xg x x x x='-=-+>()g x (0,1)x ∈()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞()f x ()g x ()()1e 2f x f >=-()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()πe sin cos 1e sin 14x x w x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444x ⎛+∈ ⎝(π4x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又在上恒成立,故在恒成立,故在上单调递增,又,故,即当时,,C 正确;D 选项,令,则当时,,当时,,在上单调递增,在上单调递减,其中,在上单调递增,在上单调递减,且,,画出两函数图象如下:时,不满足存在,使得当时,,D 错误.故选:ABC 12．答案：4e 1x >π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()πe sin 104x w x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00w =e sin 0x x x ->π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >()t x =()0,π∈()t x ='()10e x x t x -'=>()1,πx ∈()10exxt x -'=<()ex xt x =()1,πx ∈π2ππ122et ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()πt =()sin q x x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π12q ⎛⎫= ⎪⎝⎭()π0q =π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin x >1π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,πx x ∈sin x <sin x x x <,,,当且仅当时,等号成立,故答案为:4.13．答案：解析：因为且,则的最小正周期为,解得,所以令,解得,令,可得可知在,内有2个零点,且这2个零点关于直线对称,即这2个零点和为,所以所有零点之和为.故答案为:.14．答案：解析：因为对任意的x ,,都有:令,可知24a b ⋅=()2222224432164421616a a b b b λλλλλλ=+⋅+=++=+++≥ 2λ=-+ +10120π3-()21cos 2()sin πcos sin cos 2xf x x x x x x ωωωωωω-=-=1πsin 22sin 223x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x 2ππ2T ω==1ω=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π22π3x k +=+∈Z πx k =∈Z ()πsin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x ()π,1πk k +⎡⎤⎣⎦k ∈Z πx k =∈Z 2πx k =∈Z ()()π101202202420232023π4048π63-+-+⋅⋅⋅++⨯=-⎡⎤⎣⎦10120π3-(][),11,-∞-+∞ ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1x y ==()()()12110f f f =⇒=令,可知令,得故函数为偶函数,令要使则显然函数为偶函数;因为当时,得所以当时函数单调递减,此时也单调递减因为需要故因为为偶函数所以当时,的解为故不等式的解集为故答案为:15．答案：（1）单调增区间为,,单调减区间为（2）3解析：（1）因为,则,因为恒成立,由,得到或,由,得到,所以函数的单调增区间为,,减区间为.（2）由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递1x y ==-()()()12110f f f =-⇒-=1y =-()()()()()1f x f x f f x f x -=+-⇒-=() f x ()()1g x f x x =-+()1f x x ≤-()0g x ≤()()1g x f x x =-+,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110f f x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0x >()f x ()()1g x f x x =-+()()11110g f =-+=()0g x ≤1x ≥()()1g x f x x =-+0x <()0g x ≤1x ≤-()1f x x ≤-(][),11,-∞-+∞ (][),11,-∞-+∞ (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+()()2e (1)e x x f x x x x x '=+=+e 0x >()0f x '>1x <-0x >()0f x '<10x -<<()f x (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+[)2,1--(1,0)-减,在区间上单调递增,又,,显然有,所以在区间上最大值为,又函数在上恒成立,所以,得到最小的整数.16．答案：（1）证明见解析（2）6解析：（1）因为,所以当,时,,即,时,,又时,,所以数列为首项为1,公比为3的等比数列.（2）由（1）知,所以,又由,可得,,,所以,又,所以,整理得到,解得,所以n 的值为6.17．答案：（1）证明见解析解析：（1）因为因为,又,所以,(]0,1()31ef -=()1e f =(1)(1)f f -<()()2e 1x f x x x =-+[]2,1-e ()f x a ≤[]2,1-e a ≥3a =18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数2n ≥n *∈N 212(1)122(23)1232312123123123(8)123(12)n n n n n n a a a a a a --+--+---=-=-=-=--=-2n ≥n *∈N 212(1)112336n n a a ----=-1n =11213121a -=-={}2112n a --121123n n a ---=121312n n a --=+18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数22234n n a --=+2n ≥n *∈N 211232211321242()()n n n n n S a a a a a a a a a a a +++=+++++=+++++++ 1011313[33312(1)](3334)16122316111313n nnn n n n n n +---=++++++++++=+++=⨯++-- 21161469n S n +=+231611161469n n n ++⨯+=3729n =6n =()f x =()f x '=()f x ''=4222156316(048x x x -+=-+>()1,x ∈+∞63(1)0x x ->故在区间上恒成立,即函数上的凸函数.（2）①因为,所以由题知在区间上恒成立,即上恒成立,,则在区间上恒成立,令,对称轴为,所以当时,取到最大值,最大值为1,所以,得到.②由（1）知,令,则令在区间恒成立,当且仅当时取等号,所以上单调递增,得到,当且仅当时取等号,即在区间恒成立,当且仅当时取等号,即在区间上单调递增,所以令,令,得到,则在区间上恒成立,即在区间上单调递减,()42632(631)0(1)x x f x x x -+''=>-()1,+∞()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()22ln 2g x ax x '=---2()2g x a x ''=-221()20g x a x x ''=-+≥[)1,+∞22a x ≥-)1,+∞(]0,1t =∈222a t t ≥-(]0,122y t t =-1t =1t =22y t t =-21a ≥a ≥()21()2ln ln 2g x x x x x a =--∈R 21()()22ln ln 22H x g x x x x x x x =+=--+1()2ln 222ln H x x x x x x '=---+=-()2ln m x x x =--222222121(1)()10x x x x x x x x-+-'=-+==≥[)1,+∞1x =()2ln m x x x =--)1,+∞()(1)0m x m ≥=1x =1()2ln 0H x x x x'=--≥[)1,+∞1x =21()2ln ln 22H x x x x x x =--+[)1,+∞1()(1)22H x H ≥=+=()()31()23231x x xF x -=+-+312x t =-≥2(1)(2)t y t t =+-+22220(2)t y t t --'=<+-[2,)+∞2(1)(2)t y t t =+-+[2,)+∞所以即当,时取等号,所以,在上恒成立.（2）2解析：（1）由题意可知:,,且点,若,则所以扇形AOB 的面积且（2）若质点A 与质点B 的每一次相遇,,,解得,,的周期为4,即交点有4个,当时,;当时,;当时,;当时,;22(21)(22)y ≤+=-+[)1,x ∞∈+()()31()23231x xxF x -=+≤-+1x =()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞AOB ∠=s t π12t -ππcos ,sin 44A t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭1t =πππ4412AOB ⎛⎫∠=+--=⎪⎝⎭217π1212S =⨯⨯=ππππππ1sin sin sin cos cos sin 4343432AOB ⎛⎫∠=+=+=+= ⎪⎝⎭ππ2π124t k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭k ∈N 6t k =∈N 3π2k =∈N 3π2k =∈N 1k =13π2θ=-()111cos ,sin P θθ2k =23π3ππ16θ=-=()222cos ,sin θθ3k =39π3ππ2162θ=-=-()333cos ,sin θθ4k =43π6π16θ=-=()444cos ,sin P θθ可得即,O ,以及,O ,均三点共线,且,,.19．答案：（1）答案见解析（2）（3）解析：（1）由函数,可得,若时,可得,所以在R 上单调递增;若时,令,解得,当时,,函数在上单调递减;当时,,函数在上单调递增.综上可得:当时,在R 上单调递增;若时,在上单调递减,在上单调递增.（2）令函数因为当时,恒成立,所以在上恒成立,又因为,要使得在上恒成立,则恒成立,令可得,即在上为单调递增函数,所以,解得,即实数m 的取值范围为.（3）当时,若的最小值是0,即在上恒成立,34θθ-=23θ-=12θ-=1P 3P 2P 4P 1324PP P P ⊥13242PPP P ==132412222PP P P ⋅=⨯⨯=(,1]-∞177e()e x f x mx =-()e x f x m '=-0m ≤()0f x '>()fx 0m >()0f x '=ln x m =ln x m <()0f x '<()f x (,ln )m -∞ln x m >()0f x '>()f x (ln ,)m +∞0m ≤()f x 0m >()f x (,ln )m -∞(ln ,)m +∞()()()e x h x f x x g x m =-=-()e x x m '-=0x ≥()()f x g x ≥()0h x ≥[0,)+∞()00h =()0h x ≥[0,)+∞()0h x '≥()()e x x h x m ϕ-'==()e e e 0xx x x ϕ'==--=>()h x [0,)+∞()()min 010h x h m ''==-≥1m ≤(,1]-∞0x ≥()()f x ng x -()()()e 0x m x f x n mx g x ---=≥=[0,)+∞即在上恒成立,显然相切时取得等号,由函数,可得所以切线方程为即因为切线过原点,则解得,,所以,令,其中,可得,令,解得当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以可得则,e x mx -≥[0,)+∞e x y -=00,e x x -e x y -'=00e |x x x y ='=00e ()x y x x ⎛=-- ⎝000e (1)e x x y x x ⎛=+-- ⎝00e 0(1)e x x m x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩00(1e x n x =-0002000e (1)e (1)e x x x m x x x =--=-+02000(1(1e )x m x x x +=-++-02000(1(1e x x x x =-++-⋅()2(1(1e x F x x x x =-++-⋅0x >()(1)F x x x '=+-()0F x '=x =10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0F x '>()F x 1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0F x '<()F x ()177F x F ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭4349==()1743e e 49xm x x =-()1743e e 49xm x -'-=107⎛⎫'= ⎪⎝⎭只需证明:当时,,当时,,令因为和为增函数,所以,所以为增函数,因为,所以当时,,当时,,所以即的最大值为10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>()()7143e e 49xn x m x '=--=()e x x =-'e xy =y =()x '()()010n x n ''>=>()m x 107m ⎛⎫'= ⎪⎝⎭10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>7m +≤4349==m +7。
河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高三上学期12月期末联考数学答案
河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级联考（2022.12）数学试卷命题单位：石家庄市第一中学（满分：150分，测试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}122,xA x x R =-<<∈，集合{}21log 2,B x x x R =-<<∈，则集合A B = （）A.{}01x x << B.{}1x x < C.112xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D.{}4x x <答案：C.2.已知(3)4i z i +=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是（）A.1310B.110-C.1310i D.110i -答案：B.3.已知:3p x ≠或7y ≠，:21q xy ≠，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B.4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，左、右焦点分别为12F F 、，O 为坐标原点，P 为右支上一点,且OP ,O 到直线2PF 的距离为b ，则双曲线C 的离心率为（）A.2 C.D.答案：B.5.已知0,0x y >>，且1xy =，则33241x y x y+++的最小值为（）A.2+ B.4C.4+D.4+答案：D.6.设异面直线,a b 所成的角为50，经过空间一定点O 有且只有四条直线与直线,a b 所成的角均为θ，则θ可以是下列选项中的（）A.6πB.3π C.512π D.2π答案：C.7.设1213a =，7ln 4b =，4sin 3c =，那么以下正确的是（）A.a b c >> B.c a b >> C.a c b >> D.c b a>>答案：B.8.已知点列n P 在△ABC 内部，△n ABP 的面积与△n ACP 的面积比为13，在数列{}n a 中，11a =，若存在数列{}n λ使得对*n N ∀∈，13(43)n n n n n n AP a AB a AC λλλ-=++ 都成立，那么4a =（）A.15 B.31C.63D.127答案：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.甲乙丙丁四个人排队，事件A ：甲不在排头，事件B ：乙不在排尾，那么7()9P B A =；B.若随机变量ξ服从二项分布(100,0.6)B ，则(0)P ξ==1000.6；C.若随机变量ξ服从正态分布(100,64)N ，则100,8E D ξξ==；D.(41)4()1E X E X +=+，(41)16()1D X D X +=+.答案：BCD10.已知函数()2sin(2)1(0)f x x θθπ=++<<，其一个对称中心为点(,1)6π，那么以下正确的是（）A.函数()f x 的图像向右平移12π个单位后，关于y 轴对称；B.函数()f x 的最小正周期为2π；C.不等式()0f x ≤的解集是7,412x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；D.当,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，36()0f x x π+≥恒成立.答案：ACD.11.已知,,x y z 均为正数，a =b =，c =，则三元数组(,,)a b c 可以是以下（）A.(1,2,3) B.(3,4,9)C.(5,6,10)D.(7,8,13)答案：CD.12.已知等腰三角形ABC ，3AC BC ==，AB =D 为边AB 上一点，且AD =沿CD 把△ADC 向上折起，A 到达点P 位置，使得二面角P CD B --的大小为23π，在几何体PBCD 中，若其外接球半径为R ，其外接球表面积为S ，那么以下正确的是（）A.CD =B.2PB =C.3R =D.39S π=答案：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分.13.在921()x x-的展开式中，常数项是第项.答案：4.14.已知函数2()lg(65)f x ax x =-+的值域为R ，那么a 的取值范围是.答案：90,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.已知椭圆221105x y +=上有不同的三点,,A B C ，那么△ABC 面积最大值是.答案：4.16.对(0,)x ∀∈+∞，都有32()(2)(ln 1)0xf x x e m x x e e x =+-++-+≥恒成立，那么m 的取值范围是.答案：(,1]2e-∞+四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a ，其前n 项和261n S n n =-+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .解析：（1）由题意可知，261n S n n =-+，21(1)6(1)1(2)n S n n n -=---+≥................................................................................2分两式作差，可得27(2)n a n n =-≥，当1n =时，114a S ==-，所以27(2)4(1)n n n a n -≥⎧=⎨-=⎩..............................................................................................4分（2）由题意可知，(27)2(2)nn n a b n n =-⋅≥，118(1)a b n =-=那么22338......n n n T a b a b a b =-++++，......................................................................6分可知：232(5)2(3)2(1)2......(27)2n n T n -=-⋅+-⋅+-⋅++-⋅，两边乘以2，可得：23412(2)(5)2(3)2(1)2......(27)2n n T n +-=-⋅+-⋅+-⋅++-⋅，......................8分两式作差可得：所以21(2)1028(27)2n n n T n ++--=-+---⋅，即：1(29)220n n T n +=-⋅+....................................................................................10分18.已知在如图所示的三棱锥A BCD -中，4,BD BA BC ===2BAD BCD π∠=∠=，面BAD ⊥面BCD ，（1）求棱AC 的长度；（2）求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值.解析：由题意，取BD 中点设为O ，在面BAD 内做Oz BD ⊥，以O 为坐标原点，,,OC OD Oz 分别为,,x y z 轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系，...........................................1分（1）在直角三角形ABD 内，过A 做AE BD ⊥于E ，可求2AD =，那么AB ADAE BD⋅==21AD DE BD ==，...................2分所以1OE =，那么A ，(2,0,0)C ，所以AC =.....................................................................4分（2）由题意，(0,2,0)B -，(0,2,0)D ，那么BA = ，(2,2,0)BC =，...........................................................................6分设平面ABC 的法向量为(,,)m x y z =，那么：BA m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，整理可得30220y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令y=1，那么(1,1,m =-，......................................................................................8分而(2,2,0)CD =-，...........................................................................................................9分直线CD 与平面ABC 所成角的正弦即为CD 与m所成角的余弦，所以cos ,5CD m CD m CD m⋅<>==⋅所以直线CD 与平面ABC所成角的正弦为5.........................................................12分19.在三角形ABC中，若222sin sin sin sin sin A B C A B C ++=，（1）求角A 的大小；（2）如图所示，若2DB =，4DC =，求DA 长度的最大值.解析：由题意可知，由正弦定理可得：222sin a b c A ++=，再由余弦定理可得：22222cos sin b c bc A b c A +-++=，.......................................................................................................2分即：22sin cos b c A bc A +=+，整理可得：cos 2sin()6b c A A A c b π+=+=+， (3)分可知左边2b cc b+≥，当且仅当b c =时，cos 2sin()26A A A π+=+≤，当且仅当3A π=，左右相等只有两边都等于2时，即同时取得等号，所以，3A π=.............................................................................................................5分（2）由（1）可知：b c =,所以三角形ABC 是正三角形.设BDC θ∠=，BCD α∠=，那么由余弦定理可得：2416224cos 2016cos BC θθ=+-⋅⋅=-，即：BC =，同样CA =...........................................7分在三角形BDC 中，由正弦定理可得：2sin sin θα=，整理得：sinα=，.............................................................................................9分因为BD CD <，所以α为锐角，那么cosα=，........................10分那么1cos()cos322πααα+=-=2162016cos 8(2cos )2016sin()366DA πθθθθ=+----=+-≤，当且仅当23πθ=时取得等号，所以DA 最大值为6............................................12分20.甲、乙两人进行一次乒乓球比赛，约定先胜4局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局比赛中，甲、乙获胜的概率均为0.5，且各局比赛结果相互独立，已知前两局比赛均为甲获胜，（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望.解析：用i A 表示事件：第i 局甲获胜（3,4,5,6,7i =），用i B 表示事件：第i 局乙获胜（3,4,5,6,7i =），.............................................................1分（1）记A 表示事件：甲获得这次比赛的胜利，记B 表示事件：乙获得这次比赛的胜利，那么34563456734567()1()1()()()P A P B P B B B B P A B B B B P B A B B B =-=---4143456734567411113()()1()()22216P B B A B B P B B B A B C --=--=.......................4分（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由题意ξ可取2，3，4，5，那么23411(2)()()24P P A A ξ====，123453452111(3)()()()224P P B A A P A B A C ξ==+==，.......................7分234345634563456345631111(4)()()()()()()2224P P B B B B P A B B A P B A B A P B B A A C ξ==+++=+=1(5)1(2)(3)(4)4P P P P ξξξξ==-=-=-==.......................................................10分所以11117234544442E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.....................................................12分21.已知函数()e xf x =，2()g x x =-.（1）若()1f x ax ≥+恒成立，求a .（2）若直线l 与函数()f x 的图像切于11(,)A x y ，与函数()g x 的图像切于22(,)B x y ，求证：1214x x +<.解：（1）设函数01)(≥--=ax e x h x ，发现0)0(=h ，所以)0(1)(h ax e x h x ≥--=恒成立，那么0=x 是函数)(x h 的最小值点，也就是极小值点，所以0)0('=h ，求导：a e x h x -=)('，把0=x 代入得：1=a .....................................................................2分证明：当1=a 时，1)(--=x e x h x ，求导：1)('-=x e x h ，当0<x 时，0)('<x h ，)(x h 单调递减；当0>x ，0)('>x h ，)(x h 单调递增.所以0)0()(=≥h x h .所以1=a ..................................................................................................................................4分（2）由题意可知：x x f e )('=，x x g 2)('-=，那么：21222)(211x x x e x e x x ---=-=..........................................................................................6分解之可得：212222)(22x x x x x ----=-，即2212-=x x ，所以1x 满足)22(211--=x e x ，即044)22(21111=-+=-+x e x e x x ..............................8分令44)(-+=x e x m x，可知)(x m 单调递增，且02)21(<-=e m ，0143(43>-=e m ，所以43211<<x ，..........................................................................................................10分而212212-<-=x x ，所以4121<+x x ，命题得证.........................................................................................12分22.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，左、右顶点分别为B A 、，若T 为椭圆上一点，12FTF ∠的最大值为3π，点P 在直线4=x 上，直线P A 与椭圆C 的另一个交点为M ，直线PB 与椭圆C 的另一个交点为N ，其中N M 、不与左右顶点重合.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）从点A 向直线MN 做垂线，垂足为Q ，证明：存在点D ，使得DQ 为定值.解：（1）由题意可得：1c =，设11PF r =，22PF r =，那么22222111211212124()24cos 22r r c r r r r c FTF r r r r +-+--∠==2211212424122b r r b r r r r -==-，....................................................................................................1分可知2212122r r r r a +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12r r =取得等号，所以上式222242112b b a a ≥-=-，即12cos FTF ∠的最小值为2221b a -，又12FTF ∠的最大值为3π，所以2212cos 132b a π==-，...........................................2分所以2234b a =，又1c =，所以解得2,a b ==，所以椭圆C 的标准方程为13422=+y x ............................................................................................................................................4分（2）由题意可知，直线MN 斜率为0时，显然不成立；设直线:MN x my t =+，点),(),,(2211y x N y x M ，联立直线MN 与椭圆C ：⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x tmy x ，整理可得：01236)43(222=-+++t mty y m ，43123,4362221221+-=+-=+m t y y m mt y y ，...........................................5分由上，设直线)2(2:11++=x x y y MA ，直线22:(2)2y NB y x x =--，两直线联立可知交点为P ，解之：)24(2)24(22211--=++x y x y ，所以：31)2()2(1221=+-x y x y ，即：31)2()2(122221=+-x y x y y ..........................................7分而)2)(2(43)41(3222222+--=-=x x x y ，代入上式，31)2)(2(342121=++-x x y y ，高三年级五校联考数学试卷第11页（共11页）即：31)2)(2(342121=++++-t my t my y y ，..........................................................9分然后韦达定理代入可得:31)2(41233422=+--t t ，解之可得：1t =或2-（舍）...........................................11分可知直线MN 过定点)0,1(E ，又由条件：EQ AQ ⊥，所以Q 在以AE 为直径的圆上，圆心即为)0,21(-D ，DQ 为定值23.....................................................................12分。
河北省衡水中学2023届高三上学期三调数学试题 Word版含解析
【答案】A
【解析】
【分析】由导数几何意义得 ，然后由基本不等式得最小值．
【详解】由已知 ，所以 ，
，当且仅当 时等号成立．
故选：A．
4.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，则 的值可以是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于 的等式，即可得出结果.
【详解】因为 ，
将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，
由题意可得 ，可得 ，当 时， ，
故选：D.
5.已知函数 部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点 对称
C. 在区间 上的最小值为 D. 的图象关于直线 对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，结合“五点法“作图，求出函数 的解析式，再逐项判断作答.
详解】观察图象知， ，而 ，解得 或 ，
函数 周期 ，由图象知 ，即 ，因此 ，
解得 ，由五点作图法知， ，当 时， ；当 时， ，不符合题意，
所以 ， ， ，
的最小正周期为 ，A不正确；
因为 ，即 的图象关于点 不对称，B不正确；
当 时， ，则 ， 在区间 上的最小值为 ，C不正确；
因为 ，因此 的图象关于直线 对称，D正确.
河北省衡水中学2023届上学期高三年级三调考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
河北省衡水中学2023届高三上学期一调考试数学试卷含答案
河北省衡水中学2023届上学期高三年级一调考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}03|{2<-=x x x A ，}33|{≥=xx B ，则=B A A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,21C ．)2,0(D ．(1，3)2．若1.05=a ，3log 212=b ，8.0log 3=c ，则c b a ,,的大小关系为A ．cb a >>B ．ca b >>C ．ab c >>D ．ba c >>3．设Rb a ∈,，则使b a >成立的一个充分不必要条件是A ．33ba >B ．0)(log 2>-b a C ．22ba >D ．ba 11>4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得223.045ln ,693.02ln ≈≈，由此可知2.0ln 的近似值为A ．-1.519B ．-1.726C ．-1.609D ．-1.3165．已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数y x ,满足的关系式可以是A ．01log |1|3=--yx B ．yx x312=-C ．02|1|=--y x D ．1||ln -=y x 6．已知函数)(x f 是定义在R 上的单调函数．若对任意R x ∈，都有3]2)([=-xx f f ，则=)4(fA ．9B ．15C ．17D ．337．已知函数1||16)(+++=x mxe xf x的最大值为M ，最小值为N ，则=+N M A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关8．已知正实数y x ,满足y y x x =-+++)11)(142(22，则y x 2+的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省部分学校2025届高三上学期质量检测二数学试题(含答案)
河北省部分学校2025届高三上学期质量检测二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|x 2−9x +20≤0}，B ={x|log 2(x−3)<1}，则A ∪B =( )A. (−∞,5)B. [4,5)C. (−∞,5]D. (3,5]2.设复数z 满足(1−i)z =3−i 3，则z =( )A. 2+iB. 2−iC. 1−2iD. 1+2i3.已知非负实数x ，y 满足x +y =1，则12x +11+y 的最小值为( )A. 3+222B. 3+224C. 2D. 434.已知非零向量a ,b 满足|a +b |=|a|−|b |，则( )A. |a +b |>|b | B. |a−b |<|a |C. |a +b |>|a−b |D. (a +b )⋅(a−b )≥05.已知函数f(x)=cos ωx− 3sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( )A. 函数f(x)的图象关于点(7π12,0)中心对称B. 函数f(x)的单调增区间为[kπ−2π3,kπ−π6](k ∈Z)C. 函数f(x)的图象可由y =2sin ωx 的图象向左平移5π6个单位长度得到D. 函数g(x)=f(tωx),(t >0)在(0,π)上有2个零点，则实数t 的取值范围为(724,1324]6.对于一个函数：当自变量x 取a 时，其函数值等于2a ，则称a 为这个函数的H 数．若二次函数y =ax 2+4x +c(a,c 为常数且a ≠0)有且只有一个H 数1，且当0≤x ≤m 时，函数y =ax 2+4x +c−2的最小值为−3，最大值为1，则m 的取值范围是( )A. 0≤m ≤2B. 1≤m ≤3C. 2≤m ≤3D. 2≤m ≤47.若e x 1⋅x 3=ln x 2⋅x 3=1，则下列不等关系一定不成立的是( )A. x 3>x 2>x 1B. x 3>x 1>x 2C. x 2>x 1=x 3D. x 2>x 1>x 38.在ΔABC 中，B =π4,C =5π12,AC =26，AC 的中点为D ，若长度为3的线段PQ(P 在Q 的左侧)在直线BC 上移动，则AP +DQ 的最小值为( )A.30+2 102B.30+3 102C.30+4 102D.30+5 102二、多选题：本题共3小题，共18分。
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设平面PBC的法向量为=(x′,y′,z′),平面PBD的法向量为=(x,y,z),=(a,0,a),=(0,a,0),=(2a,a,0)
由⊥，⊥,⊥，⊥得：ax′+az′=0,y′=0,ax+az=0,2ax+ay=0
（2）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：
利用时间充分
利用时间不充分
总计
走读生
50
25
75
住宿生
10
15
25
总计
60
40
100
是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？
参考公式：
参考列表：
0.50
0.40
0.25
0.15
B． 是假命题;
C． 是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ命题;
D. 是真命题;
7.在 中， （）
A.10 B.-10 C.-4 D.4
8.等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ,则 的虚轴为（）
A. B. C.4 D.8
9.已知公比不为1的等比数列 的首项为1，若 成等差数列，则数列 的前5项和为()
∴P(X=0)===,P(X=1)====,P(X=2)====,P(X=3)====
∴X的分布列为：
P
0
1
2
3
X
EX=0×+1×+2×+3×===
(或由X服从20，5，3的超几何分布，∴EX=3×=)…………………12分
20.解：（I）由 知
设 ， ，解得 ，
在 上，且椭圆 的半焦距 ，于是 ，
消去 并整理得 ，解得 （ 不合题意，舍去）。
A.B.C. 121D. 31
10.点A、B、C、D均在同一球面上，其中 是正三角形， ，
,则该球的体积为（）
A． B． C． D．
11.求形如 的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得： ,再两边同时求导得 ，于是得到： ，运用此方法求得函数 的一个单调递增区间是()
A．(e,4) B．(3,6) C．(0,e) D．(2,3)
求 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
在四棱锥 中， 底面 ， ,
.
(1)求证：面 ⊥面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
19.（本小题满分12分）
某校高二年级共有学生1000名,
其中走读生750名,住宿生250名,现从该年级采用
分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调
查.根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时
故椭圆 的方程为 .-------- 6分
（II）由 知四边形 是平行四边形，其中心为坐标原点 ，
因为 ，所以 与 的斜率相同，故 的斜率 。
设 。由
设 ，所以
因为 ，所以 ，
解得
，
故所求直线 的方程为 或 .------------- 14分
21．解：（1） 的定义域为（0，+∞），
2分
当 时， ＞0，故 在（0，+∞）单调递增；
（2）平面上的点 满足 ，直线 ，且与 交于 两点，若 ，求直线 的方程.
21.（本小题满分12分）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）证明： .
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
（1）求曲线 , 的方程；
（2） 是曲线 上的两点，求 的值.
24.（本小题满分10分）选修4- 5：不等式选讲
已知函数
（1）若 恒成立，求 的取值范围；
（2）解不等式 .
河北省五校联盟2012—2013学年度第一学期调研考试
高三年级数学答案（理科）
1-5CDDDC 6-10DBBAA 11-12CA
13.15 14.1080 15.4 16.
17.解：（1）
……………………………………3分
………………………………………………………..4分
单调递增区间为：
解得：
故单调递增区间为： ……..6分
（2）由正弦定理得：
B为三角形的内角 B= ………………………. 8分
+1
又 …………………10分
故 2，3]…….. 12分
12． 是双曲线 的左焦点, 是抛物线 上一点,直线 与圆 相切于点 ，且 ，若双曲线的焦距为 ,则双曲线的实轴长为( )
A.4B.2C. D.
卷Ⅱ(非选择题共90分)
二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）
13． 的展开式中 的系数等于
14.将6位志愿者分成4组，其中有2个组各2人，另两个组各1人，分赴2012年伦敦奥运会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种.（用数字作答）
0.10
0.05
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
（3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望；
20.（本小题满分12分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，其中 也是抛物线 的焦点，点 为 与 在第一象限的交点，且 .（1）求 的方程；
15.设实数 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为8，则 的最小值为
16.已知 ,数列 的前n项和为 ，数列 的通项公式为 ,则 的最小值为
三.解答题（本大题共6小题，共70分；解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
已知 ，且
（1）求 的最小正周期及单调递增区间.
（2）在△ABC中，a,b,c,分别是A,B,C的对边，若 成立，
18.（1）证明：设PA=AB=BC=CD=a,连接AC，在RT△ABC中，AC=a,在直角梯形ABCD中易求得AD=a，所以在△DAC中有：AD2+AC2=CD2，∴AC⊥AD
又∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥AC∴AC⊥平面PAD
∵AC平面PAC∴面PAD⊥面PAC……………6分
（2）以B为原点，BA，BC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示坐标系，则：
间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组
①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),
⑤[120,150),⑥[150,180),⑦[180,210),⑧[210,240),
得到频率分布直方图如下.已知抽取的学生中每天晚上
有效学习时间少于60分钟的人数为5人；
（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；
则由图可知：P1=×30=,P2=×30=
∴学习时间少于60钟的频率为：P1+P2=由题n×=5∴n=100…(2分)
又P3=×30=, P5=×30=, P6=×30=, P7=×30=, P8=×30=,
∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)=1-=1-=
第④组的高度h=×==
河北省五校联盟2012—2013学年度第一学期调研考试
说明：
1．考试时间120分钟，满分150分。2．将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。
卷Ⅰ(选择题共60分)
一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
频率分布直方图如图：（未标明高度1/120扣1分）……4分
（2）
K2=≈5.556
由于K2>3.841,所以有95%的把握认为
学生利用时间是否充分与走读、住宿
有关………8分
（3）由（1）知：第①组1人，
第②组4人，第⑦组15人，第⑧组10人，总计20人。则X的所有可能取值为0，1，2，3
P（X=i)=(i=0，1，2，3)
记下号码 后放回袋中，再由乙摸出一个小球，
记下号码 ，若 就称甲乙两人“有默契”，
则甲乙两人“有默契”的概率为（）
A． B． C． D．
5.如图，一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长2的正三角形和正方形，则其体积是（）
A. B. C. D.
6．已知 ，命题 ，则( )
A． 是假命题; （第5题）
1.若集合 =（）
A. B. C. D.
2.复数 ，则 在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为（）
A.5 B.9 C.17 D.33
4.袋中有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，
甲乙两人玩游戏，先由甲从袋中任意摸出一个小球，
∴z′=-x′,y′=0,y=-2x,z=-x∴=(1,0,-1),=(1,-2,-1)
∴cos<,>==
设二面角D-PB-C的平面角θ，由图形易知θ为锐角
∴cosθ=|cos<,>|=……………………………12分
(以B为原点，AD，AC所在直线为x轴y轴建立平面直角坐标系参照给分）
19.解：（1）设第i组的频率为Pi（i=1,2,…,8),
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一个圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上。