多项式
多项式及整式的概念
多项式及整式的概念
多项式是由一系列代数项通过加法运算连接起来的表达式。
每个代数项由一个系数与一个变量的乘积组成，其中系数可以是实数或复数，变量表示未知数。
一个简单的多项式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0
其中，P(x) 是多项式的名称，a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 是常数系数，x 是变量，n 是非负整数，并且a_n ≠ 0。
整式是多项式的一种特殊形式，它只包含有限个代数项，并且每个代数项的指数都是非负整数。
整式可以是常数、单项式、多项式等。
例如，下面是一些整式的例子：
1. 常数：3、-5、
2.7 等都是整式。
2. 单项式：2x、-3xy^2、4a^3b 是整式，因为它们只包含一个代数项。
3. 多项式：3x^2 + 2xy - 5、-4a^2 + 7b + 1 是整式，因为它们包含多个代数项。
整式在代数学中有广泛应用，它们可以用于建立数学模型、解方程、进行多项式运算等。
多项式的概念、系数和次数
多项式的概念、系数和次数多项式是高中数学中一个重要的概念，也是数学中的一个重要分支。
在数学中，多项式是由一个或多个变量和常数系数所组成的代数表达式，其中每个项都是这些变量的乘积，并且每个项的次数都是非负整数。
本文将从多项式的概念、系数和次数三个方面来介绍多项式的基本知识。
一、多项式的概念多项式的概念是指由各种数学符号组成的一种代数表达式。
在多项式中，只包含常数项和各种变量的乘积项，并且每个乘积项的指数只能是非负整数。
例如，下面的代数表达式就是一个多项式：P(x) = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5在这个多项式中，2x^3、3x^2、4x和5都是常数项，而x的指数分别是3、2、1和0，每个指数都是非负整数。
多项式的概念是数学中的重要概念，它在代数运算中有着广泛的应用。
二、多项式的系数多项式的系数是指每个乘积项中的数值部分，它通常表示为一个字母或数字。
例如，在上面的多项式P(x)中，2、3、4和5就是这个多项式的系数。
多项式的系数可以是实数、复数、有理数或整数，它们可以是任意的数值。
在代数运算中，多项式的系数是非常重要的，它们决定了多项式的性质和特征。
三、多项式的次数多项式的次数是指多项式中各项中最高的指数。
例如，在上面的多项式P(x)中，最高的指数是3，因此这个多项式的次数是3。
多项式的次数是一个非常重要的概念，它决定了多项式的性质和特征。
例如，如果一个多项式的次数是0，则它是一个常数项，如果一个多项式的次数是1，则它是一个一次函数，如果一个多项式的次数是2，则它是一个二次函数，以此类推。
总之，多项式是数学中的一个重要概念，它由一个或多个变量和常数系数所组成的代数表达式。
多项式的系数和次数是非常重要的概念，它们决定了多项式的性质和特征。
在代数运算中，多项式的概念、系数和次数是我们必须掌握的重要知识。
多项式的概念及运算
多项式的除法运算
定义：多项式除以 除数 与被除数的每一项 分别相除，得到商 和余数
注意事项：除数不 能为0，否则无意 义
举例说明：多项式 除以单项式的具体 运算过程
多项式的代数式展开
第三章
代数式展开的概念
代数式展开是将多项式中的代数式按照一定的顺序进行展开，得到具体的数值或表达式。 代数式展开是多项式运算中的一种基本运算，是学习数学和其他学科的基础。 通过代数式展开，可以更好地理解多项式的结构和性质，掌握代数运算的技巧和方法。 代数式展开在解决实际问题中也有广泛应用，如求解方程、不等式、函数等。
多项式是由有限个 单项式通过加减运 算得到的代数式。
多项式的次数是所 有单项式中次数最 高的那一项的次数。
多项式中每一项的 系数不能为0。
多项式中单项式的 排列顺序不影响多 项式的值。
举例说明多项式的形式
二次多项式：ax² + bx + c
四次多项式：ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
三次多项式：ax³ + bx² + cx + d
任意次多项式：a_0 + a_1x + a_2x² + ... + a_nx^n
多项式的运算
第二章
多项式的加法运算
定义：将两个多项式的同类项的系数相加，得到新的多项式 举例：如 (2x^2 + 3x + 1) + (x^2 - 2x + 3) = 3x^2 + 1 注意事项：注意合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变 运算律：满足交换律和结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)
多项式的定义是什么
多项式的定义是什么多项式函数以其简单的结构和性质在数值逼近中起到重要的作用,多项式的定义是什么?以下是小编为大家整理的关于多项式的定义，欢迎大家前来阅读!多项式的定义多项式是代中的基础概念，是由称为不定元的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。
例如X2 - 3X + 4就是一个多项式。
多项式是整式的一种。
不定元只有一个的多项式称为一元多项式;不定元不止一个的多项式称为多元多项式。
多项式在数学的很多分支中乃至许多自然以及工程学中都有重要作用。
多项式数学术语多项式 polynomial不含字母的项叫做常数项。
如：5X+6，6就是常数项。
比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。
按这个定义，多项式就是整式。
实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。
0作为多项式时，次数为正无穷大。
单项式和多项式统称为整式。
多项式几何特性多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。
泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。
多项式定理基本定理代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。
高斯引理两个本原多项式的乘积是本原多项式。
应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。
这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。
关于Q[x]中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法：对于整系数多项式，如果有一个素数p能整除αn-1，αn-2，…，α1，α0，但不能整除αn，且p2不能整除常数项α0，那么ƒ(x)在Q上是不可约的。
由此可知，对于任一自然数n，在有理数域上xn-2是不可约的。
因而，对任一自然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。
分解定理F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积，而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。
第一章多项式
二、数域P上的一元多项式的运算
设
f x an x an 1 x
n n 1
a0 ai xi .
i 0 m
j 0
n
g x bm x m bm1 x m1 b0 b j x j .
是数域P上的两个多项式且设 m n.
(1) 证：若 f ( x ) 0,
2 2
则
2
x ( g ( x ) h ( x )) f ( x ) 0,
2 2 g ( x ) h ( x ) 0. 于是 从而
( xg 2 ( x ) xh2 ( x )) ( x( g 2 ( x ) h2 ( x ))) 为奇数.
i j i 0 j 0 k 0 n m l
现证 f x g x h x f x g x h x
左边 f x g x 中s次项的系数是： ai b j
左边 f x g x h x t次项的系数是：
an x n 称为多项式f(x)的首项， an 称为首项
系数，n称为多项式f(x)的次数，记为：
f x n.
例如
f x 3x 2 2 x 1,
f x 3,
f x 2,
f x 0
注：
数域上的每一个非零多项式有一个唯一确定的次数； 首项是零次项的多项式的次数为0； 零多项式是唯一不定义次数的多项式；
f x 3 ix 5 x 2 是C上多项式。
3 1 x 3x 2 2 3 x , ax , x x 1
都不是多项式。
2 多项式相等与零多项式
多项式的基本定义及性质
多项式的基本定义及性质多项式是数学中重要的概念之一，它被广泛应用于各个领域，如代数学、数论、几何学等。
在高中数学中，学生就已经接触到了多项式的基本概念及其一些性质，本文将从基本定义和性质两个方面来介绍多项式。
一、基本定义多项式是指由若干形如cx^n（c为常数，n为自然数）的项组成的代数式。
例如：5x^3 - 7x^2 + 2x + 1其中每一项的系数和次数分别是：5和3；-7和2；2和1；1和0。
多项式中的项数是有限的，具体的项数是由多项式的系数和次数所决定。
如果对于一个多项式，它的所有系数都为0，则称该多项式为零多项式。
零多项式没有次数，也没有项数。
多项式中的常数项是指次数为0的项，它通常被记为P(0)，表示多项式在x等于0时的取值。
二、性质1. 加法性质多项式加法具有交换律和结合律，也就是说两个多项式相加的结果与它们的顺序无关，并且可以通过改变加括号的方式来改变计算顺序。
例如：(2x^2 + 3x + 1) + (x^2 + 2x - 7) = 3x^2 + 5x - 6(2x^2 + 3x + 1) + (x^2 + 2x - 7) = 2x^2 + (x^2 + 3x) + (2x - 7) + 12. 乘法性质多项式乘法具有交换律和结合律，但不满足除法交换律和结合律。
多项式的乘法也满足分配律，即a(b+c)=ab+ac。
例如：(2x^2 + 3x + 1)(x^2 + 2x - 7) = 2x^4 + 7x^3 - 11x^2 - 17x - 7(2x^2 + 3x + 1)(x + 2) = 2x^3 + 7x^2 + 8x + 23. 解方程多项式的解法通常使用代数方法，例如将多项式分解因式，找到根，并使用求根公式计算出最终的解。
此外，还可以使用逐次逼近法和二分法来逼近解的精确值。
例如：解方程x^2 + 3x - 4 = 0首先，将多项式分解为(x + 4)(x - 1)，然后得到两个根分别为-4和1。
多项式
多项式课件
高次多项式
总结词
复杂函数关系
详细描述
高次多项式的一般形式为 a_nx^n+a_(n-1)x^(n1)+...+a_1x+a_0，其中 n>2。它描 述的函数关系比一次和二次多项式更 为复杂，可以表示各种不同的数学关 系和物理现象。
04
多项式的因式分解
因式分解的定义与性质
总结词
理解因式分解的概念和性质是掌握因 式分解方法的基础。
02
多项式的表示方法
代数表示法
代数表示法是用字母和数字的组合来表示多项式，例如： $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$。这种表示方法可以清晰 地展示多项式的各项系数和指数，方便进行代数运算和解析 。
代数表示法的优点是简洁明了，易于理解和计算。它适用于 需要精确表达多项式数学关系的情况，如数学公式、定理证 明等。
表格表示法是将多项式的系数以表格的形式呈现出来，方便进行对比和查找。这 种表示方法适用于需要展示多项式系数的详细情况，如数据统计、表格报告等。
表格表示法的优点是详细全面，能够清晰地展示多项式的各项系数。它适用于需 要精确记录多项式系数的情况，如科学实验、工程设计等。
03
多项式的分类
一次多项式
总结词：线性关系
应用数学
在应用数学中，求根公式广泛 应用于物理、工程等领域。
06
多项式的应用
在数学中的应用
代数方程
多项式是代数方程的基本 组成部分，用于表示和解 决各种数学问题。
函数
多项式可以用来表示连续 函数，有助于理解函数的 性质和图像。
微积分
多项式在微积分中用于近 似复杂函数的积分和导数 。
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多项式复旦附中 肖恩利知识与方法整理：1、形如1110()(0)n n n n n f x a x a xa x a a --=++++≠的表达式称为关于x 的一元多项式，其中x R ∈或x C ∈，*n N ∈是该多项式的次数，记作deg(())f x n =，(0,1,,)i a i n =是()f x 的系数。
如果系数(0,1,,)i a i n =全是0，则称()f x 为零多项式，零多项式不定义次数。
首项系数是1的多项式，简称首1多项式。
约定：用*,,,,N Z Q R C 分别表示正整数集、整数集、有理数集、实数集、复数集。
用[],[],[],[]Z x Q x R x C x 分别表示整系数、有理系数、实系数、复系数的一元多项式的集合。
2、两个多项式相等当且仅当它们同次项的系数相等。
3、已知(),(),()()f x g x f x g x +是两个非零多项式，则deg(()())max{deg(()),deg(())}f x g x f x g x +≤，deg(()())deg(())deg(())f x g x f x g x =+。
4、（带余除法）设(),()[],()0f x g x P x g x ∈≠，则在[]P x 中存在唯一的一对(),()q x r x ，使得()()()()f x q x g x r x =+，其中()0r x =或deg(())deg(())r x g x <。
当()0r x =时，称()g x 整除()f x ，记作()|()g x f x ，()g x 又称()f x 的因式。
如果()|(),()|()f x g x g x h x ，则()|()f x h x 。
如果()|()(1,2,,)i f x g x i m =，则1()|()mi i i f x u g x =∑。
如果()|()f x g x ，则()|()()f x g x h x ，其中()h x 是任意多项式。
5、（余数定理）多项式()f x 除以x a -的余数是()f a 。
从而，多项式()f x 能被x a -整除的充要条件是()0f a =。
若n 次多项式()f x 有n +1个零点，则()f x 是零多项式。
若多项式(),()f x g x 的次数都不超过n ，而()()(1,2,,,)i i f x g x i m m n ==>，则()()f x g x =。
6、如果两个多项式(),()f x g x 能同时被()d x 整除，那么()d x 叫做(),()f x g x 的公因式。
如果()d x是(),()f x g x 的公因式，且(),()f x g x 的所有公因式都整除()d x ，则()d x 叫做(),()f x g x 的最大公因式。
约定：()(),()f x g x 表示(),()f x g x 的首项系数是1的最大公因式。
设多项式(),()f x g x 的最大公因式为()d x ，那么存在多项式(),()u x v x 满足()()()()()d x u x f x v x g x =+。
该命题的逆命题不成立。
7、如果两个多项式除零次多项式之外没有其他的公因式，则称这两个多项式互素。
(),()f x g x 互素，即()(),()f x g x =1，当且仅当存在多项式(),()u x v x 满足()()()()1u x f x v x g x +=。
若()()(),()1,(),()1f x h x g x h x ==，则()()(),()1f x g x h x =。
若()()|()(),(),()1h x f x g x h x f x =，则()|()h x g x 。
若()()|(),()|(),(),()1g x f x h x f x g x h x =，则()()|()g x h x f x 。
8、一个非零次多项式()[]f x P x ∈，如果P 中除了形如λ和()(,0)f x μλμ≠的因式外，没有其他因式，则称()f x 在P 内不可约，否则称()f x 在P 内可约。
（艾森斯坦判别法）设多项式1110()[]n n n n f x a x a xa x a Z x --=++++∈，如果能找到一个素数p ，使p 不能整除n a ，但2|(0,1,,1),i p a i n p =-不能整除0a ，那么()f x 不可约。
每个次数不小于1的复系数多项式在复数集都可以唯一分解为一次因式的乘积；每个次数不小于1的实系数多项式在实数集内都可以唯一分解为一次因式或二次因式的乘积。
n 次多项式()[]f x C x ∈的首项系数为a ，则()f x 在复数集内可唯一分解为1212()()()()t m m m t f x a x x x x x x =---，其中(1,2,,)i x i t =是互不相同的复数，且是()0f x =的i m 重根，1ti i m n ==∑。
如果1110()n n n n f x a x a xa x a --=++++有n 个零点12,,,n x x x （重根按次数计算），那么（韦达定理）11nn in i a x a -==-∑，21n i j n i j nax x a -≤<≤=∑，…………………12121(1)k k k n k i i i ni i i nax x x a -≤<<<≤=-∑，…………………1(1)nn in i a x a ==-∏。
9、（拉格朗日插值多项式）设01n x x x <<<，已知函数()f x 满足()(0,1,,)i i f x y i n ==，则多项式00()nnj k kjk j j kx x p x y x x ==≠-=-∑∏是满足deg(()),()i i p x n p x y ≤=的唯一的多项式。
多项式()p x 称为()f x 的拉格朗日插值多项式。
特别地，设()f x 为n 次多项式，则0()()nn ji i ji j j ix x f x f x x x ==≠-=-∑∏。
例1 设p 是一个质数，求证12()1p p f x x x x --=++++在整系数范围内不可约。
证明：1()1p x f x x -=-，令1y x =-，则11221(1)1()(1)p p p p p p p py g y f y y C yC y C y----+-=+==++++。
因为|(1,2,,1)jp p C j p =-，但2p 不整除1p p C p -=，所以()g y 不可约，()f x 也不可约。
例2 设r 个多项式12(),(),()r p x p x p x 的次数依次为12,,,r n n n ，且121(1)2r n n n r r +++<-， 求证：存在不全为零的实数12,,,r a a a ，使1122()()()0r r a p x a p x a p x +++=。
证明：若12(),(),()r p x p x p x 中有一个零多项式，则结论成立。
若所有的多项式都不是零多项式，则12,,,r n n n 中必有两个相等。
若不然，则设120r n n n ≤<<<，则1(1)1,2ri i i r r n i n =-≥-≥∑，矛盾。
不妨设12n n =，并设12(),()p x p x 的首项系数是,(0)a b ab ≠，令112'()()()ap x p x p x b=-，则11deg('())deg(())p x p x <。
问题转化为存在不全为零的实数12,,,r b b b ，使得1122'()()()0r r b p x b p x b p x +++=。
其中12'(),(),()r p x p x p x 的次数和小于12(),(),()r p x p x p x 的次数和。
继续上述步骤，每进行一次变化，一定有一个多项式被次数更低的一个多项式代替，因此，有限步后，某个多项式恒等于0，结论成立。
例3 设多项式2222()(((((2)2)2))2)k p x x =-----，其中有k 个括号，k 是给定的正整数，求()k p x 中2x 项的系数。
解：由题设，1(),()k k p x p x -满足21()(()2),(0)4k k k p x p x p -=-=。
若令2()4k k k p x A x B x =+++，则 2221111()(()2)(4)44k k k k k p x p x B A x B x ----=-=++++。
所以2111114,4,4,1k k k k k B B A B A B A ---==+=-=。
由这个递推关系得，21114,(44)3k k k k k B A --=-=-。
例4 试确定所有的实系数多项式()p x ，使得(1)(2)()xp x x p x -=-对所有实数x 都成立。
解：取2x =，则2(1)0,(1)0p p ==；取1x =，则(0)(1)0p p =-=。
由余数定理，()p x 有因式x 和1x -，因此，设()(1)()p x x x q x =-，其中()q x 是一个实系数多项式。
将()(1)()p x x x q x =-代入(1)(2)()xp x x p x -=-得，(1)(2)(1)(2)(1)()x x x q x x x x q x ---=--，所以，(1)(),0,1,2q x q x x -=≠。
由(1)(),0,1,2q x q x x -=≠得，当*3,x x N ≥∈时，()(1)(2)(3)q x q x q x q =-=-==，即()(3)q x q =有无数多个根，因此，()q x 只能是常数多项式，即()(3)q x q ≡。
令(3)c q =，则()(1)p x cx x =-。
例5 对任意正整数3n ≥和任意的(0,)απ∈，令()sin sin sin(1)n n p x x x n n ααα=-+-。
（1）求证存在唯一的首1二次多项式()f x ，使得()|(),3n f x p x n ≥； （2）不存在首1一次多项式()g x ，使得对任意的3n ≥，均有()|()n g x p x 。
证明：（1）21()()sin [sin(1)sin(1)]sin n n p x xp x x n x n n n αααα+-=-++-+2sin 2sin cos sin x n x n n αααα=-+ 2(sin )(2cos 1)n x x αα=-+。