多项式整除性

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数学中的多项式函数与整除性理论

数学中的多项式函数与整除性理论多项式函数作为基本的数学概念，在数学的各个分支中都有着广泛的应用。

而整除性理论是现代数学中的一个重要理论体系，它探究了数字之间的整除关系及其相关性质。

本文将探究多项式函数与整除性理论的关系，以及多项式函数在整除性理论中的应用。

1. 多项式函数的定义及性质多项式函数是指以自变量x为变量，系数为任意实数或复数的一次或多次幂的和。

即P(x)=a0+a1x+a2x^2+…+anxn，其中a0,a1,a2,…,an为实数或复数。

多项式函数的阶次为最高幂的次数，而且一般情况下只考虑最高幂的系数不为零的多项式函数。

多项式函数具有以下性质：（1）多项式函数加法和乘法都满足结合律、交换律和分配律。

（2）多项式函数的导数是其各项系数与下标同时减一的多项式函数。

（3）多项式函数的零点是指使其取值为零的自变量值。

每个n 次多项式函数最多有n个不同的零点。

2. 整除性理论中的多项式函数应用整除性理论探究了数字之间的整除关系及其相关性质，其应用范围覆盖了数论、代数及解析几何等许多分支。

在整除性理论中，多项式函数有着重要的应用。

（1）多项式的因式分解与整数相似，多项式也可以进行因式分解。

多项式的因式分解指的是将一个多项式表示成若干个一次或多次幂的乘积的形式，即P(x)=a(x-b1)(x-b2)…(x-bn)，其中b1，b2，…，bn为多项式的根。

（2）最大公因数和最小公倍数多项式的最大公因数是指可以整除每个给定的多项式的最高公共因式。

最小公倍数是指可以被每个给定的多项式除尽的最小公倍式。

（3）整处关系的判定多项式的整除关系也可以像整数一样判定。

如果一个多项式f(x)能够被另一个多项式g(x)整除，则在f(x)除以g(x)的余数为零的情况下，f(x)可以表示为g(x)与余数r(x)的乘积。

即f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，其中q(x)为商，r(x)为余数。

如果r(x)为零，则f(x)能够被g(x)整除。

多项式与多项式之间的关系

多项式与多项式之间的关系
多项式与多项式之间的关系可以从多个角度来探讨。

以下是一些可能的关系：
1. 整除关系：如果一个多项式 f(x) 能够被另一个多项式 g(x) 整除，即 f(x)
= g(x)q(x) + r(x)，其中 q(x) 和 r(x) 是多项式，且 r(x) 的次数小于 g(x) 的
次数，则称f(x) 能够被g(x) 整除。

这种关系是多项式之间的一种重要关系，可以用于简化多项式。

2. 相等关系：如果两个多项式 f(x) 和 g(x) 对于所有的 x 都相等，即
f(x)=g(x)，则称 f(x) 和 g(x) 相等。

这种关系表明两个多项式具有相同的数
学形式，但系数可能不同。

3. 线性相关关系：如果存在不全为零的常数 c1, c2, ..., cn，使得 c1f1(x) +
c2f2(x) + ... + cnfn(x) = 0，则称多项式 f1(x), f2(x), ..., fn(x) 线性相关。

这种关系表明这些多项式之间有一定的依赖关系。

4. 根的关系：如果一个多项式的根是另一个多项式的根，则这两个多项式之间存在根的关系。

这种关系在解决方程组、求根等问题中有重要应用。

5. 因式分解关系：如果一个多项式可以被写成其他多项式的乘积，则这些多项式之间存在因式分解关系。

这种关系在化简多项式、求值、求解不等式等问题中有重要应用。

以上是一些常见的多项式与多项式之间的关系，它们在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。

多项式的除法

多项式的除法1．带余除法定理1 （带余除法定理）设()f x 与()g x 是多项式，且()0g x ≠，那么存在惟一的一对多项式()q x 与()r x ，使得()()()()f x g x q x r x =+ ①其中()0r x =或者()()deg deg r x g x <。

()q x 叫做以()g x 除()f x 所得的商，()r x 叫做余式。

定义1：在①式中，当()0r x =时，称()g x 整除()f x ，记为()g x |()f x ，也称()g x 是()f x 的因式，或()f x 是()g x 的倍式。

若()0r x ≠，则称()g x 不整除()f x 。

定理2 （余数定理）多项式()f x 除以x a -所得余数为()f a 。

推论1 ()x a -|()()()f x f a -推论2 若()[]f x Z x ∈,a 与b 是不同的整数,则()a b -|()()()f a f b -.由余数定理还可以得到以下重要定理:定理3 (因式定理)多项式()f x 有因式x a -的充要条件是()0f a =.多项式整除的基本性质:(1) 若()f x |()g x ,()g x |()h x ,则()f x |()h x(2) 若()h x |()f x ,()h x |()g x ,则()h x |()()f x g x ±⎡⎤⎣⎦(3) 若()h x |()f x ,则()h x |()()f x g x ⋅,()g x 为任意多项式.(4) 若()f x |()g x ,()g x |()f x ,则()()f x c g x =⋅,其中c 是不等于零的常数.2．多项式的分解定义2:一个次数大于零的多项式()f x ,如果在数域F 内除形如λ和()f x μ(,λμ为非零数)的因式(称为()f x 的平凡因式)外,无其它因式,则称()f x 在F 内不可约.若()f x 在F 内除平凡因式外,还有其它因式,则称()f x 在F 内可约.不可约多项式的一些重要性质:(1) 如果多项式()p x 不可约,而()f x 是任一多项式,那么,或者()()(),1p x f x =,或者()p x |()f x .(2) 如果多项式()f x 与()g x 的乘积能被不可约多项式()p x 整除,那么()f x 与()g x 中至少有一个被()p x 整除.定理4 数域F 上的次数大于零的多项式()f x ,如果不计零次因式的差异,那么()f x 可以惟一地分解为以下形式:()()()()1212t k k k t f x ap x p x p x = ②其中a 是()f x 的最高次项的系数,()()()12,,t p x p x p x 是首项系数为1的互不相等的不可约多项式,并且()()1,2,,i p x i t = 是()f x 的i k 重因式.【注】其中数域F 是指Q ,或R ,或C .关于整系数多项式的分解问题.定义3:设整系数多项式()0mj j j f x a x ==∑各项系数的最大公约数等于1,即()012,,,,1m a a a a = ;则称()f x 为本原多项式.引理设()f x ,()g x 和()h x 都是整系数多项式并且()()()h x f x g x =⋅,如果质数p 整除多项式()h x 的所有系数,那么至少有()f x 与()g x 这两个多项式之一,其所有的系数也都能被p 整除.推论本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式.定理5 如果整系数多项式()f x 在有理系数范围内可约,那么,它在整系数范围内也可约. 以上论断的等价陈述是:如果整系数多项式()f x 在整系数范围内不可约,那么它在有理数范围内也不可约.3．最大公因式定义4:如果两个多项式()f x 与()g x 同时被()d x 整除,那么()d x 叫做()f x 与()g x 的公因式.如果()d x 是()f x 与()g x 的公因式,并且()f x 与()g x 的所有公因式都整除()d x ,则()d x 叫做()f x 与()g x 的最大公因式.【注】两个不全为零的多项式的最大公因式是不唯一的,它们之间只有常数因子的差异.这时,我们约定,最大公因式是指首项系数为1的那一个,这样,两个多项式()f x 与()g x 的最大公因式就是惟一的,记为()()(),f x g x .两个多项式的最大公因式,有以下重要定理:定理6 设多项式()f x 与()g x 的最大公因式为()d x ,那么存在多项式()u x 与()v x ,使以下等式成立:()()()()()f x u x g x v x d x += ③定义5:如果两个多项式除零次多项式外无其他的公因式,那么就称这两个多项式互素. 显然,()f x 与()g x 互素()()(),1f x g x ⇔=.定理7 两个多项式()f x 与()g x 互素的充要条件是,存在多项式()u x 与()v x ,使()()()()1f x u x g x v x += ④互素多项式的一些重要性质:(1) 若()()()()()(),1,,1f x h x g x h x ==,则()()()(),1f x g x h x -=(2) 若()h x |()()f x g x ,()()(),1h x f x =,则()h x |()g x .(3) 若()g x |()f x ,()h x |()f x ,()()(),1g x h x =,则()()g x h x |()f x .针对性训练1. 求19861x -除以()()2211x x x +++所得的余式. 解:()()32111x x x x -=-++ ()21x x ∴++|()31x -又()()()662198633111x x x p x -=-=- ()31x ∴-|()19861x -()21x x ∴++|()19861x -由此可知, 19861x -除以()()2211x x x +++所得余式()()()21r x x x ax b =+++.这里,a b R ∈,于是()()()()()198********x x x x g x x x ax b -=+++++++ 令x i =,得()20i ai b -=++,即2a bi -=-+. 比较两端的实部和虚部,得2,0a b ==. 故所求余式为()()221r x x x x =++.2. 设多项式()[]32f x x bx cx d Z x =+++∈,并且bd cd +是奇数,证明:()f x 不能分解为两个整系数多项式的乘积.证明:因为()bd cd b c d +=+是奇数,所以d 与b c +均为奇数,从而()11f b c d =+++是奇数.假设()()()()2,,f x x p x qx r p q r Z =+++∈。

多项式整除

例3．求实数 m , p, q 满足什么条件时多项式
x mx 1 整除多项式 x 3 px q.
2
附：整数上的带余除法
对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r，使 a＝qb＋r，
其中 0 r b .
q x g x r x q x g x r x
即
q x －q x g x ＝r x －r x .
若q x q x ，由g x 0, 有r x －r x 0
4 2i 5 2i
9 8i 9 8i
１有
f ( x ) g( x ) x 2 2ix 5 2i 9 8i .

例２.
把 f ( x ) x 表成 x 1的方幂和．
5
０００００１１１１１１１１１１１１= c0 2 3 4 １ 2 3 4 5= c1 １１ 1 3 6 3 6 10= c2 １１ 1 4 4 10= c3 １１ 1 1 5= c4 x 5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1) 1
g( x ) | f ( x ) h2 x 使得 f ( x ) g ( x )h2 x .
f ( x ) h1 x h2 x f ( x ).
若 f ( x ) 0,

则 g ( x )＝0,
f ( x )＝cg( x )，c P ,c 0
② g ( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g ( x ) | f ( x ).

5：域的特征和多项式的整除性

作业:253页,1,7
3. 设F是一个域。求证：多项式环F(x,y)中所有常数项为0的多项同式作成一个理想，不是主理想。证明：设所有常数项为0的多项式集合为N。 (1)若f,g N,则f-g常数项仍为0，故f-g N (2)取 fN，任取gF(x,y)，则g· f常数项仍为0，故g· fN。因而N为理想。现证N不是主理想，
第七章
多项式
有限域素域
§7.1
域的特征
1、若有壹交换无零因子环的任意理想是主理想，则称主理想环。试证整数环I是主理想环。（主理想是理想，但理想未必是主理想。例如：所有两个文字的多项式，按多项式加乘是环，所有常数项为0多项式是理想。但不是主理想，所有各项中均有文字x的多项式是主理想 Xf[X，Y]）
6、域F中任意非零元在加群中周期也是P 见性质6.6.13。
例：{ 因为
0,1, 2, 3, 4 }之特征为5
11111 0
。
22222 442 32 0 33333 113 0 44444 334 14 0
7、（定理7.1.1）任意域F的特征P是零或一质数。证：若P0，往证P是质数。若不然P=hk， 1<h<p ，1<k<p 则 (he)(ke)=(hk)e=pe=0 因域中无零因子，则（he），（ke）必有一为零，但 P 为周期，而 k<p ， h<p ，矛盾
1. 在R17中3/4等于什么？
解：在R17中4131(mod17)，故4-1=13，所以3/4=34-1=313=5。
§7.2
多项式的整除性
我们取定一个域F而研究F上面的一个文字的多项式。一个文字х是一个抽象的符号，F上面一个文字х的多项式就是呈如下形式的式子： a0хn + a1хn-1 + … + an-1х + an （1）其中n，n-1，…是非负整数，而系数a0，a1，…， an都在F内。 х的多项式可以用ƒ（х），g（х）等代表。在（1）式中，若n=0，则此多项式只有一个“常数项”a0，这时，可将其看作是F中的元素a0。多项式中，系数是0的项可以删去。另一方面，也可以添上一些系数是0的项。例如，2х2+0х-1 可以写成2х2-1，0х3+2х2-1，等等。

原题目：多项式的整除性质

原题目：多项式的整除性质
多项式的整除性质
在代数学中，多项式的整除性质是一种非常重要的属性。

它描
述了多项式之间的除法关系。

本文将介绍多项式的整除性质及其应用。

定义
设A(x)和B(x)是两个多项式，如果存在另一个多项式C(x)，
使得A(x) = B(x) * C(x)，则称B(x)可以整除A(x)，记作B(x) | A(x)。

整除定理
多项式的整除性质可以通过整除定理来描述。

整除定理指出，
当B(x)是一个一次多项式，即B(x) = ax + b，并且B(x)整除A(x)时，A(x)在x = -b/a时取值为零。

应用
多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。

一些重要的应用包括：
1. 确定多项式的公因式：如果B(x)整除A(x)，则B(x)是A(x)的一个公因式。

这可以用来简化多项式、分解多项式或找到多项式的根。

2. 带余除法：根据整除性质，可以使用带余除法来将一个多项式除以另一个多项式。

带余除法是一种有效的算法，可以用于多项式的除法运算。

3. 多项式的因式分解：利用多项式的整除性质，可以将一个多项式因式分解为较低次数的多项式乘积的形式。

这在代数学和数值计算中都是非常重要的操作。

4. 多项式的最大公因式：通过利用多项式的整除性质，可以求解多项式的最大公因式。

最大公因式是两个或多个多项式共有的最高次数的公因式。

总结
多项式的整除性质是一种重要的代数属性，它描述了多项式之间的除法关系。

整除定理提供了判断多项式整除性的方法，而多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。

2.2多项式的整除性

项式有任意多高次的因式）。 3.零次多项式只能被零次多项式整除。 4.零次多项式整除任一多项式。
2.基本性质
(a). 对f(x)∈F[x]和c∈F( c≠0),总有f(x)|0, c|f(x), c f(x)|f(x).
注：(1)任何多项式f(x)都有因式c和cf(x)(0 ≠c∈F），
它们称为f(x)的平凡因式.
2.综合除法
若 f ( x) an xn + an1xn-1 + L + a0, 则 x c 除 f ( x) 的商式 q( x) bn1xn1 b0 和余式 r(x)
可按下列计算格式求得：
c an an1 an2 L a1 a0
＋) cbn1 cbn2 L cb1 cb0
均不成立。
问题：
(1).零多项式能否整除零多项式？ (2).任意非零多项式能否整除零多项式？ (3).零多项式能否整除任意非零多项式？ (4).零次多项式能否整除任意多项式？ (5).零次多项式能否被任意多项式整除？
结论：
1.零多项式能整除且仅能整除零多项式。 2.零多项式能被任意多项式整除（即零多
此时称g(x)是f(x)的一个因式，f(x)是g(x) 的一个倍式。
否则，则称g(x)不整除f(x),记作g(x) † f(x).
注：
(1).g(x)|f(x)不能写作g(x)/f(x),以免与分式混淆; (2).整除性不是多项式的运算，它只是F[x]元素
间的一种关系; (3).若g(x) †f(x)，则对h(x)F[x], f(x)=g(x)h(x)
f ( x) c0 c1( x a) c2( x a)2 L 的形式．
例2.3 设 f ( x) x4 x2 4x 77 , g( x) x 3, 求g( x)除f ( x)所得商式q( x)和余式r,并指出是否有 g( x) f ( x).

多项式的整除性

4.3 多项式的整除性教学内容：4.3多项式的整除性教学目标：正确理解多项式的整除概念及性质。

理解和掌握带余除法。

授课时数：2学时教学重点：多项式整除的概念及基本性质教学难点：带余除法定理及证明（定理4.3.1及证明）教学过程：在][x F 中除法不是永远可以实施的，因此多项式整除性的研究在多项式理论中占有重要的地位。

一、多项式整除的概念及性质1. 定义定义 1 设][)(),(x F x g x f ∈.如果存在][)(x F x h ∈,使得)()()(x h x f x g =,则称)(x f 整除（能除尽）)(x g ,记作)(|)(x g x f 。

此时说)(x f 是)(x g 的因式，)(x g 是)(x f 的倍式。

如果满足条件的)(x h 不存在，即对任意)()()(],[)(x h x f x g x F x h ≠∈,则称)(x f 不能整除)(x g , 记作()|()f x g x .由定义1知：1︒0|)(],[)(x f x F x f ∈∀;特别地，0|0.2︒)(|,x f c F c ∈∀.3︒,c d F ∀∈,0≠c ，有d c |.如2|0。

4︒高次多项式不能整除低次多项式。

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使 f ( x) cg( x). 二.带余除法
1.实例（中学中的多项式除多项式）
例 2 f ( x) x3 2x2 x 6, g( x) x2 x 1，
求 g( x)除 f ( x)所得商式q( x)及余式r( x)。
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解
x2
x2 1 x32x2x6
x3
x
2x2 6
2x2 2
而( f (x))有限，因此在进行了有限步后，必有 fk ( x)
适合 fk ( x) 0或( fk ( x)) ( g( x))。于是可得到
一串等式：
f ( x) g( x) a0b01 xnm f1( x), f1( x) g( x) a10b01 xn1m f2( x), LLLLLLLLLLLL
3）若h( x) | f ( x),则对任意 g( x),有 h( x) | f ( x)g( x)；
4）若h( x)| fi ( x),ci ( x) F ( x),i 1,2,3,L , n,
n
则h( x) | ci ( x) fi ( x)； (整除倍式和) i 1
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5） f (x) F[x],c F,c 0 c | f (x);cf (x) | f (x). 6）若 f ( x) | g( x), g( x) | f ( x),,则存在c F ,c 0,
问题2 数域F上的多项式环中对于多项式的除法是否封闭？
例如 f(x)2x2x; g(x)2x3x2; f(x),g(x)F[x]f(x)1F[x] g(x) x
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关于一个多项式能否除尽另一个多项式的研究，即多项式整除性的研究在多项式理论中占有重要的地位。
一、多项式整除的概念及性质
由此可得前页后页返回
2.带余除法定理
定理 4.3.1 （带余除法定理）设 f ( x), g( x) F[x], g( x) 0,则有
1）在F[x]中存在一对多项式q( x),r( x),，使得 f ( x) g( x)q( x) r( x) （1）
这里r( x) 0或者(r( x)) (g( x))。 2）满足（1）的 q(x),r(x)由 f(x),g(x)唯一确定。
考 2）能被任何多项式整除的多项式是什么？？
2.整除的基本性质
将整数的整除性质推广过来得
1）若 f ( x) | g( x), g( x) | h( x),则 f ( x) | h( x);
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2）若h( x) | f ( x),h( x) | g( x),则 h( x) | ( f ( x) g( x));
对定
1 (h( x)) (g( x)).
义
2 c F ,c | f ( x).特别地，0 | 0；
的
加
3 c,d F ,c 0，有c | d .如2 | 0。
深
理
4高次多项式不能整除低次多项式。
解
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例 1 ( x 1 ) |( x 2 1 ) ( x ;1 ) |( x 2 1 ) ( x 2 ; 1 )( x 1 ); 1）能整除任何多项式的多项式是什么？思
f1(x)a1x 0n 1a1x 1n 1 1a1(n 1 1)xa1n 1 (nn 1m )
令 f2( x) f1( x) g( x) a10b01xn1m , 则 f2( x) 0，或( f2( x)) ( f1( x))。
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重复对 f1( x)的同样讨论，由于
( f ( x)) ( f1( x)) ( f2( x)) L ，
1.定义定义 1 设 f ( x), g( x) F[x] . 如果存在 h( x) F[x],使得 g( x) f ( x)h( x),则称 f ( x)整除（能除尽） g( x),记作 f ( x) | g( x)。
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此时说 f (x)是 g(x)的因式， g(x)是 f (x)的倍式。如果满足条件的 h( x) 不存在，即对任意 h( x) F[x], g( x) f ( x)h( x),则称 f ( x)不能整除 g( x), 记作 f ( x) g( x).
f1 ( x)

由中学的知识，得
4 f2(x)r(x)
f1(x) f (x) g(x) x, r(x) f2 (x) f1(x) g(x) 2, f (x) g(x) x r(x) g(x) 2 g(x)( x 2) r(x).
故 q(x) x 2, r(x) 4 ，(r( x)) (g( x))。
4.3 多项式的整除性教学内容：4.3 多项式的整除性教学目标：正确理解多项式的整除概念及性质。
理解和掌握带余除法。授课时数：2 学时教学重点：多项式整除的概念及基本性质教学难点：带余除法定理及证明教学过程：
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问题1 整数环中对于除法运算是否封闭？
例如 2,3∈Z,但2÷3 Z.
若 f1( x) 0, f ( x) g( x) a0b01xnm，则 q( x) a0b01xnm，而r( x) 0。
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若 f1( x) 0，而( f1( x)) ( g( x))，由 f ( x) g( x) a0b01xnm f1( x),
知 q( x) a0b01xnm，r( x) f1( x)。若 f1( x) 0，且( f1( x)) ( g( x))。设
证明 1）若 f ( x) 0或者o( f ( x)) o(g( x))，则有
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f(x ) g (x ) g 0 f(x ) . 2）现在设o( f ( x)) o( g( x)),记为
f ( x) a0 xn a1 xn1 L an1 x an , g( x) b0 xm b1 xm1 L bm1 x bm . 这里a0 0,b0 0,并且n m.令 f1( x) f ( x) g( x) a0b01xnm , 则 f1( x) 0，或( f1( x)) ( f ( x))。