域的特征和多项式的整除性

3、域的特征 考查映射I~F I~F内 有核N 的一个理想， 考查映射 I~F 内 ， 有核 N 是 I 的一个理想 ， 又已知整数环I是主理想环,所以核N 又已知整数环I是主理想环,所以核N是主理 设这理想由整数P 生成， 于是N= N=（ 想 ， 设这理想由整数 P 生成 ， 于是 N= （ P ） =PI， 只与域F =PI，数P只与域F 有关，称为域的特征。 有关，称为域的特征。
10、 域上同态， 或为同构， 10 、 域上同态 ， 或为同构 ， 或 所有元素对应0 所有元素对应0。 事实上体即如此（ 1） 事实上体即如此（见P233 1）
11、 任意域F ab=ba，所以b 11、 任意域F中ab=ba，所以b-1a=ab-1 即用a左乘，右乘一样。 即用a左乘，右乘一样。 所 以 ： 可定 义为 “ 分 数 ” 的形式 （ 们已验证如此“分数” b≠0）我们已验证如此“ 分数 ”运算法 则与普通分数一样（ 习题4 则与普通分数一样（p227 习题4）
证：须证I的任意理想N是主理想， 须证I的任意理想N是主理想， 若N={0}显然 N={0 现设N 中不只有一个元素， 则在N 现设 N 中不只有一个元素 ， 则在 N 中必有一个绝对 值最小的非零元素，设为a 显然a 值最小的非零元素，设为a，显然a生成的理想 =aI （a）=aIN。 另一方面，任取b 另一方面，任取b∈N，若b=aq+r,0≤r<a b=aq+r,0≤r<a < aq∈ 所以r=b aq∈ r=b绝对值最小， 因 b ，aq∈N ， 所以 r=b-aq∈N ， 但a 绝对值最小 ，只 r=0 这样b=aq aI,所以 aI,于是 N=aI， b=aq∈ 所以N 于是N=aI 能 r=0 ， 这样 b=aq∈aI, 所以 NaI, 于是 N=aI ， 是 主理想， 主理想，证毕
12、当域F特征为0 12 、 当域 F 特征为 0 时 ， 域 F 中含有的最小子域同 构于有理数域R 构于有理数域R0。 现在要把已定义的同态扩大到R 证：现在要把已定义的同态扩大到R0到F内。办 法是规定σ 法是规定σ(m/n)=(me)/(ne) 先说明规定的合理性。 (1)先说明规定的合理性。 h/k=m/n， hn=km， 设h/k=m/n，则hn=km， 所以(he)(ne)=(ke)(me) (he)(ne)=(ke)(me)， 所以(he)(ne)=(ke)(me)， (he)/(ke)=(me)/(ne)， 故(he)/(ke)=(me)/(ne)， 可见规定与有理数表示无关，即规定合理。 可见规定与有理数表示无关，即规定合理。
P=0 ne=0 n=0 4、 若P=0则ne=0n=0 P=0 N={0 证：（）P=0核N={0}, 因为ne= ne=0 因为ne=0则σ（n）=0 所以n n=0 所以n∈N， 即n=0 （）显然 这表明此时e 在加法群中周期是0 这表明此时 e 在加法群中周期是 0 （或∞ ）
P>0 ne=0 5、 若P>0则ne=0 p|n ne=0 证：（）若ne=0，即σ（n）=0， 于是n N=PI，因为PI中任意元是P PI中任意元是 于是 n∈N=PI， 因为 PI中任意元是 P 的倍 p|n。 数，故p|n。 p|n， （）若p|n，则n∈N， 所以， =ne=0 所以，σ（n）=ne=0 这表明此时e在加群的周期是 周期是P 这表明此时e在加群的周期是P。
(2)证同态性。 (2)证同态性。 证同态性 (m/n+h/k)=σ σ(m/n+h/k)=σ((km+hn)/nk) =((km+hn)e)/((nk)e) =((km)e+(hn)e)/((nk)e) =((me)(ke)+(he)(ne))/((ne)(ke)) =(me)/(ne)+(he)/(ke) (m/n)+σ =σ(m/n)+σ(h/k)
定理7 为质数或等于0 特征为p 定理 7.1.2 设 p 为质数或等于 0 ， 特征为 p 的任意 包含R 为其最小子域。 域F包含Rp为其最小子域。 本定理是在同构观点下叙述的，任意域特征为0 本定理是在同构观点下叙述的，任意域特征为0就 可以认为是有理数域的扩域，特征p就认为是模p 可以认为是有理数域的扩域，特征p就认为是模p 剩余类域的扩域。 剩余类域的扩域。 设n是整数，F是域，任取a∈F，na怎样理解呢？ 是整数， 是域，任取a na怎样理解呢？ 怎样理解呢 )n>0 na=a+…+a +a， a=0 n)a=-na。 (1)n>0，na=a+ +a，0a=0，(-n)a=-na。 现在认为R 子域，p=0 (2) 现在认为 Rp 是 F 子域 ， p=0 时 ， n 可认为是有理 于是可认为是F的元素， 是质数时， 可模p 数。于是可认为是F的元素，p是质数时，n可模p 也是F中的元素，于是na可解释为F na可解释为 看，也是F中的元素，于是na可解释为F中两元素 相乘，两种解释结果相同。 相乘，两种解释结果相同。但在无壹环中只能用 第一种解释。 第一种解释。 特征为0的域必为无限域；特征为p的域可有限， 特征为0的域必为无限域；特征为p的域可有限， 也可无限。 也可无限。
最小域或素域指没有真子域的域，特征P 定义 最小域或素域指没有真子域的域，特征P的 最小域为R (p为 或一质数) 最小域为Rp(p为0或一质数)。 是最小域, 特征为0 它与有理数域同构， 设F是最小域,当F特征为0时,它与有理数域同构， 的特征为质数p 它与模p剩余类域I/pI I/pI同 当 F 的特征为质数 p 时 ，它与模 p 剩余类域 I/pI 同 也可以说，最小域就是有理数域或模P 构 。 也可以说 ， 最小域就是有理数域或模 P 剩余 类域。 类域。 例如，p=5 I/5I={0 例如，p=5, I/5I={0 ，1，2 ，3，4}, 其中加乘对 取模。 表示1的负元素, 所以4 5 取模 。 -1 表示 1 的负元素 , 因 1+4=0, 所以 4=-1 。 指自乘得- 的元素。因为若引入记号 1 ,指自乘得-1的元素。因为-1=4， 22=32=4，所以 1 =2或3，而没有 2 。 根据以上的讨论可得： 根据以上的讨论可得：
因若不然， 可设N=f(x,y)F(x,y) N=f(x,y)F(x,y)。 因若不然 ， 可设 N=f(x,y)F(x,y) 。 因 x∈N ， y∈N ， 则必存在r,S F(x,y)使得 r,S∈ 则必存在r,S∈F(x,y)使得 x=f(x,y)r x=f(x,y) r y=f(x,y)S y=f(x,y) S 由上式得： 由上式得： r=1 r=1 r=x 或 f(x,y)=1 f(x,y)=x f(x,y)=1 f(x,y)=1 N=f(x,y)F(x,y)=F(x,y) 若 f(x,y)=1 则 N=f(x,y) F(x,y)=F(x,y) 矛 盾 。 若 y=f(x,y)S y=xS f(x,y)=x 代 入 下 式 得 y=f(x,y) S 得 y=x S 而 在 F(x,y)中找不到这样的 中找不到这样的S y=xS成立。矛盾。 F(x,y)中找不到这样的S使y=x S成立。矛盾。故 不是主理想。 N不是主理想。
6、域F中任意非零元在加群中周期也是P 中任意非零元在加群中周期也是P 见性质6 13。 见性质6.6.13。 例：{ 之特征为5 0,1,2,3,4 }之特征为5 。
因为 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0
2+2+2+2+2 = 4+4+2 = 3+2 = 0 3+3+3+3+3 = 1+1+3 = 0 4+4+4+4+4 = 3+3+4 = 1+4 = 0
第七章
多项式
有限域 素域
§7 . 1
域的特征
1、 若有壹交换无零因子环的任意理想是 主理想，则称主理想环。 主理想，则称主理想环。 试证整数环I是主理想环。 试证整数环I是主理想环。 主理想是理想，但理想未必是主理想。 （主理想是理想，但理想未必是主理想。 例如：所有两个文字的多项式， 例如：所有两个文字的多项式，按多项式加乘是 所有常数项为0多项式是理想。 环 ， 所有常数项为 0 多项式是理想 。 但不是主理 所有各项中均有文字x 想 ， 所有各项中均有文字 x 的多项式是主理想 Xf[X，Y]） Xf[X，Y]）
特征为质数p的域F的简单性质： 特征为质数p的域F的简单性质： （1） 若a，b∈F，则(a+b)P=ap+bp； 例如， 例如，在R2上，a2+b2=(a+b)2。 (a（2） (a-b)p=ap-bp； (a± （3） (a±b)pn=apn±bpn （4） (a1+a2+…+an)p=a1p+…+anp +a +a 中令a （5） 在( 4 )中令a1=a2=…=an=1。 =a =n， 此即Fermat定理。 Fermat定理 则np=n，n非0时np-1=1，此即Fermat定理。
是一个域。 求证： 多项式环F(x,y) F(x,y)中所有 3. 设 F 是一个域 。 求证 ： 多项式环 F(x,y) 中所有 常数项为0的多项同式作成一个理想， 常数项为 0 的多项同式作成一个理想 ， 不是主理 想。 证明：设所有常数项为0的多项式集合为N 证明：设所有常数项为0的多项式集合为N。 N,则 常数项仍为0 (1)若f,g ∈N,则f-g常数项仍为0，故f-g ∈N 任取g F(x,y)， f常数项仍为0 (2)取 f∈N，任取g∈F(x,y)，则gf常数项仍为0， 因而N为理想。 故gf∈N。因而N为理想。 f 现证N不是主理想， 现证N不是主理想，
σ((m/n)(h/k))=σ((mh)/(nk)) ((m/n)(h/k))=σ =((mh)e)/((nk)e) =((me)(he))/((ne)(ke)) =((me)/(ne))((he)/(ke)) (m/n)σ =σ(m/n)σ(h/k)