代数系统习题
代数系统基础习题及答案
习题71.有理数集Q 和Q 上定义的下列运算*是否构成一个代数系统。
(1)()1*2a b a b =+ (2)()2*a b a b =-(3)2*2a b b =+(4)*10a ba b +=解答：（1）是。
（2）否。
运算不封闭（3）否。
运算不封闭（4）是2.设集合{1,2,3,,10}A = ，判断下面定义的运算关于集合A 是否封闭。
(1)*max{,}x y x y = (2)*min{,}x y x y = (3)*gcd{,}x y x y =，即x y ，的最大公约数(4)*{,}x y lcm x y = ，即x y ，的最小公倍数解答：(1)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为10，零元为1。
(2)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为1，零元为10。
(3)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元不存在，零元为1。
(4)不封闭。
3.设{1,2,3,4,6,12}A =，A 上的运算*定义为:*=a b a b - （1）写出二元运算*的运算表。
（2）A 和*能构成代数系统吗？为什么？解答：（1）运算表如下*12346121012351121012410321013943210286543206121110986（2）不能。
0,5,8,9,10,11不是A 中的元素，运算不封闭。
4.考虑有理数集Q ，设*是如下定义的Q 上的运算：*a b a b ab=+-(1)求3*4,2*(-5)和7*1/2。
(2)*在Q 上可结合吗？*在Q 上可交换吗？(3)求Q 上关于运算*的单位元。
(4)集合Q 上所有元素都有逆元吗？若有逆元，请求出。
解答：(1)3434125*=+-=-，2(5)25107*-=-+=，71271721*=+-=。
(2)()()a b c a b ab c a b c ab ac bc abc**=+-*=++---+()()a b c a b c bc a b c ab ac bc abc **=*+-=++---+即()()a b c a b c **=**。
第7章 代数系统
习题71．在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）A.a*b=a-bB.a*b=max{a,b}C.a*b=a+2bD.a*b=|a-b|解：B2.设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。
解：2，63．设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；解：9，34．设〈G,*〉是一个群，(1)若a,b,x∈G，a*x=b，则x=( )；(2)若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。
解：（1）a-1*b （2）b5.在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
解：k(a-1)k = a-1×k = a k×(-1) = (a k)-1 = e-1 = e，故a-1的阶是k。
6.下列哪个偏序集构成有界格（）A.<N,≤>B.<Z,≥>C.<{2,3,4,6,12},|（整除关系）>D.<P(A),⊆>解：D7．设*是集合A上可结合的二元运算，且∀a,b∈A,若a*b=b*a，则a=b。
试证明：（1）∀a∈A,a*a=a；（2）∀a,b∈A,a*b*a=a;（3）∀a,b,c∈A,a*b*c=a*c。
证明：（1）∀a∈A,记b=a*a。
因为*是可结合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。
由已知条件可得a=a*a。
（2）∀a,b∈A,因为由（1），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a),(a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。
故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，从而a*b*a=a。
（3）∀a,b,c∈A,（a*b*c）*（a*c）=（（a*b*c）*a）*c=(a*(b*c)*a)*c且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b*c))=a*(c*(a*b)*c))。
离散数学代数系统部分练习题2018春
《离散数学》代数结构部分练习题2018年6月班级学号姓名一、填空题1.在代数系统（N ，+）中，其单位元是0，仅有有逆元.2.设A 是非空集合，集合代数),),(( A P 中，)(A P 对运算 的单位元是，零元是.)(A P 对运算 的单位元是.3.设Z 为整数集，若1,,-+=∈∀b a b a Z b a ，则Z a ∈∀，a 的逆元=-1a .4.设}3,2,1,0{4=Z ，⊗为模4乘法，即4mod )(xy y x =⊗，4,Z y x ∈∀.则4Z 上运算⊗的运算表为.二、选择题1.设集合{}10,...,3,2,1=A ,在集合A 上定义运算,不是封闭的为()(A){}b a lcm b a A b a ,,,=∙∈∀(最小公倍数)(B){}b a ged b a A b a ,,,=∙∈∀(最大公约数)(C){}b a b a A b a ,max ,,=∙∈∀(D){}b a b a A b a ,min ,,=∙∈∀2.在自然数集N 上定义的二元运算∙,满足结合律的是()(A)b a b a -=∙(B)b a b a 2+=∙(C){}b a b a ,max =∙(D)ba b a -=∙三、计算题1.通常数的乘法运算是否可以看成是下列集合上的二元运算，说明理由.（1）{}2,1=A （2）{}是质数x x B =（3）{}是偶数x x C =（4）{}N n D n ∈=22.实数集R 上的下列二元运算是否满足结合律与交换律？（1）212121r r r r r r -+=*（2）2/)(2121r r r r += 3.实数集R 上的二元关系212121r r r r r r -+=*中，运算*是否有单位元，零元和幂等元？若有单位元的话，那些元素有逆元？4.给定正整数,m 令{}Z k km G ∈=，(1)判断普通加法在G 上是否满足结合律，并说明理由；(2)求普通加法运算的单位元、所有可逆元素的逆元.5.设>< ,Z 中运算 为2,,-+=∈∀b a b a Z b a ，(1)判断普通加法在G 上是否满足结合律，并说明理由；(2)求普通加法运算的单位元、所有可逆元素的逆元.。
第8章习题答案
习题81.设S＝{a，b}，试问S上总共可定义多少个二元运算？解由于S是n元集，则S×S应有n2个元素，S上的一个二元运算就是S×S到S的函数，这样的函数有个2n n，因此S＝{a，b}上的二元运算有222＝16个。
2.分别给出满足下列条件的代数系统。
(1)有幺元。
(2)有零元。
(3)同时有幺元和零元(代数系统元素个数大于1)。
(4)有幺元，但无零元。
(5)有零元，但无幺元。
(6)运算不可交换。
(7)运算不可结合。
(8)有左零元，无右零元。
(9)有右幺元，无左幺元。
(10)有幺元，每个元素有逆元。
解给出的例子如下所示：(1)、(2)、(10) (3) (4) (5)、3.S＝Q×Q S<a，b b>。
(1)运算*是否满足交换律和结合律？是否满足幂等律？(2)关于运算*是否有幺元和零元？如果有，请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。
解 (1)因为<0，0>*<1，1>＝<0，0>，<1，1>*<0，0>＝<0，1>，则有<0，0>*<1，1>≠<1，1>*<0，0>，所以运算*不满足交换律。
因为(<a，b>*<x，y>)*<u，w>＝<ax，ay＋b>*<u，w>＝<axu，axw＋ay＋b>，<a，b>*(<x，y>*<u，w>)＝<a，b>*<xu，xw＋y>＝<axu，axw＋ay＋b>，所运算*满足结合律。
因为<1，1>*<1，1>＝<1，2>≠<1，1>，所以运算*不满足幂等律。
(2)因为<a，b>*<1，0>＝<a，b>，<1，0>*<a，b>＝<a，b>，所以关于运算*存在幺元<1，0>。
代数系统
代数系统一、选择题：1、下列正整数集的子集在普通加法运算下封闭的是（ D ）A 、{30x x ≤}B 、{x x 与30互质}C 、{x x 是30的因子}D 、{x x 是30的倍数}2、设S={1，2，…，10 }，则下面定义的运算*关于S 非封闭的有（ D ）A 、x*y=max(x ,y)B 、x*y=min(x ,y)C 、x*y=取其最大公约数D 、x*y= 取其最小公倍数3、设集合A 的幂集为()A ρ，-⨯I U 、、、为集合的交、并、差、笛卡尔乘积运算，则下列系统中是代数系统的为（ D ）A 、()A ρI ,B 、()A ρU ,C 、(),A ρ-D 、(),A ρ⨯4、在自然数集上定义的下列四种运算，其中满足结合律的是（C ）A 、a b a b *=-B 、||a b a b *=-C 、max{,}a b a b *=D 、2a b a b *=+5、设Z +为正整数集，*表示求两数的最小公倍数，对代数系统*A Z +=,，有（ A ）A 、1是么元，无零元B 、1是零元，无么元C 、无零元，无么元D 、无等幂元6、设非空有限集S 的幂集为()S ρ，对代数系统()A S ρ=I ,，有（ B ）A 、Φ是么元，S 是零元B 、Φ是零元，S 是么元C 、唯一等幂元D 、无等幂元7、在有理数集Q 上定义的二元运算*： xy y x y x -+=*，则Q 中元素满足（ C ）A 、都有逆元B 、只有唯一逆元C 、1x ≠时，有逆元D 、都无逆元8、设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 一定不是（ D ）A 、半群B 、独异点C 、可交换的独异点D 、循环独异点9、设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >（ B ）A 、是半群，但非独异点B 、是独异点，但非群C 、是群，但非阿贝尔群D 、是阿贝尔群10、任意具有多个等幂元的半群，它（A ）A 、不能构成群B 、不一定能构成群C 、能构成群D 、能构成阿贝尔群二、填充题：1、下表中的运算均定义在实数集上，请在相应的空格中打“√”或填上具体实数（不满足2、设(6)。
代数系统练习
一、填空1.下列集合中， 对普通加法和普通乘法都封闭。
（ ）（A ）{}1,0 （B ）{}2,1 （C ）{}N n n ∈2 （D ）{}N n n ∈22、在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的？ （ ） （A ）b a - （B ）),max(b a （C ）b a 2+ （D ）b a -3、有理数集Q 关于下列哪个运算能构成代数系统？（ ） （A ）b a b a =* （B ）()1ln 22++=*b a b a（C ）()b a b a +=*sin （D ）ab b a b a -+=*4、下列运算中，哪种运算关于整数集I 不能构成半群？（ ） （A ）()b a b a ,max =* （B ）b b a =* （C ）ab b a 2=* （D ）b a b a -=*5．设代数系统〈A ，·〉，则（ ）成立.A ．如果〈A ，·〉是群，则〈A ，·〉是阿贝尔群B ．如果〈A ，·〉是阿贝尔群，则〈A ，·〉是循环群C ．如果〈A ，·〉是循环群，则〈A ，·〉是阿贝尔群D ．如果〈A ，·〉是阿贝尔群，则〈A ，·〉必不是循环群6．设〈L ,∧∨,〉是格，〈L ，≤〉是由这个格诱导的偏序集，则（ ）不成立.A ．对任意a L b a ,,∈≤b b a b =∨↔B ．∧∨对是可分配C ．∧∨,都满足幂等律D ．〈L,≤〉的每对元素都有最小上界与最大下界7．在下列四个哈斯图表示的偏序集中（ ）是格.8. 已知偏序集的哈斯图，如图所示，是格的为( )9. 6阶有限群的任何子群一定不是（）。
(A) 2阶(B) 3 阶(C) 4 阶(D) 6 阶10. 下列哪个偏序集构成有界格（）(1) （N,≤）(2) （Z,≥）(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系））(4) (P(A),⊆)11. 下面代数系统中（G、＊）中（）不是群A、G为整数集合＊为加法B、G为偶数集合＊为加法C、G为有理数集合＊为加法D、G为有理数集合＊为乘法12. 设<G、＊> 是阶大于1的群，则下列命题中（）不真。
上海大学代数系统练习题实用课件
所以a –1= f(x)–1=f(x–1)f(A)。 因此<f(A),∘>是群。
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【例7.16】设Q,＋是有理数加法群， Q-0, ·是非零有 理数乘法群，试证明群Q,＋和群Q-0,·不同构。
由于群g中有幺元且每一个元素都有逆元所以可以定义g中元素的0次幂和负整数次幂
【例7.1】设R是实数集，定义R上的二元运算*为： x, yR，x*y=x|y|
其中x|y|为实数x与实数y的绝对值的乘法运算，证明<R,*>是 一个半群。
证明：显然，x, yR，则x|y|R，故运算*在R上封闭。 接下来只需验证*满足结合律。x, y, zR，有
f(x)=a, f(y)=b 因为<A,*>是半群，必有x*yA，于是
a∘b=f(x)∘f(y)=f(x*y)f(A)，即∘在f(A)上封闭。 a,b,cf(A)，必有x,y,zA，使得f(x)=a，f(y)=b，f(z)=c
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(a∘b)∘c=(f(x)∘f(y))∘f(z)=f(x*y)∘f(z)=f((x*y)*z)=f(x*(y*z)) =f(x)∘f (y*z)=f(x)∘(f(y)∘f(z))=a∘(b的单位元。 ⑵ *运算是可交换的。
bbcea ccbae
⑶ G中每个元素的逆元都是自己。
⑷ a,b,c三个元素中任何两个元素的*运算结果都等于第
三个元素。
由于群G中有幺元且每一个元素都有逆元，所以可以定
义G中元素的0次幂和负整数次幂。定义x0=e，xG，nI+， 定义x–n＝(x–1)n
代数系统
代数系统一、单项选择题：1．设集合A={1,2,…,10}，在集合A上定义的运算，不是封闭的为（）。
（A）∀a, b∈A，a*b=lcm{a, b}（最小公倍数）（B）∀a, b∈A，a*b=gcd{a, b}（最大公约数）（C）∀a, b∈A，a*b=max{a, b}（D）∀a, b∈A，a*b=min{a, b}2．下列代数系统<G, *>（其中*是普通加法运算）中，（）不是群。
（A）G为整数集合（B）G为偶数集合（C）G为有理数集合（D）G为自然数集合3．在自然数N上定义的二元运算◦，满足结合律的是（）。
（A）a◦b=a- b（B）a◦b=a+4b（C）a◦b= min{a, b} （D）a◦b=| a- b|4．在布尔代数L中，表达是(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是（）。
（A）b∧(a∨c) （B）(a∧c)∨(a∧b)（C）(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) （D）(b∨c)∧(a∨c)5．设集合A={a, b, c}，代数系统G=<{∅, A}, ⋃>和H=<{{a, b}, A}, ⋃>同构的映射是（）。
（A）f : G→H, f (A)=∅, f ({a, b})=A（B）f : G→H, f (∅)=A, f (A)={a, b}（C）f : G→H, f ({a, b})=∅, f (A)=A（D）f : G→H, f (∅)={a, b}, f (A)=A6．同类型的代数系统不具有的特征是（）。
（A）子代数的个数相同（B）运算的个数相同（C）相同的构成成分（D）相同元数的运算个数相同7．下列图表示的偏序集中，是格的为（）。
（A）（B）（C）（D）8．下列各代数系统中不含有零元素的是（）。
（A）<Q, *>，Q是全体有理数集，*是普通乘法运算（B）<M n(R), *>，M n(R)是全体阶n实矩阵集合，*是矩阵乘法运算（C）<Z, *>，Z是整数集，*定义为x*y=xy, x, y∈Z（D）<Z, +>，Z是整数集，+是普通加法运算9．设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A)，+,-,/为数的加、减、除运算，⋂为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有（）。
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第三部分：代数系统1.在代数系统,S *中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算*必定可结合。
( )2.每一个有限整环一定是域，反之也对。
( )3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。
( )4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨一定为有补分配格。
( )5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。
( )6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。
( )7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。
( )8.循环群一定是阿贝尔群。
( )9.每一个链都是分配格。
( )1. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈( )A. min(,)a b a b *=B. 2a b a b *=+C. 3a b a b *=+-D. a b a b *=+ (mod3)2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 不能构成交换群D. 能构成交换群3. 循环群33,Z +的生成元为[][]1,2，它们的周期为 ( )A. 5B. 6C. 3D. 94. 设<A,*, >是环，则下列正确的是 ( )A. <A, >是交换群B. <A,*>是加法群C. 对*是可分配的D. *对 是可分配的5. 下面集合哪个关于减法运算是封闭的 ( )A. NB. {2|}x x I ∈C. {21|}x x I +∈D. {x |x 是质数}6. 具有如下定义的代数系统,G 〈*〉，哪个不构成群 ( )A. G={1,10}，*是模11乘B. G={1,3,4,5,9}，*是模11乘C. G ＝Q(有理数集)，*是普通加法D. G ＝Q(有理数集)，*是普通乘法7. 设G ＝{23|,m n m n I *∈}，*为普通乘法．则代数系统,G 〈*〉的么元为 () A.不存在 B. e ＝0023⨯ C. e ＝2×3 D. e ＝1123--⨯8. 任意具有多个等幂元的半群，它( A )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 必能构成群D. 能构成交换群9. 在自然数集N 上，下面哪个运算是可结合的，对任意a,b N ∈ ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 5a b a b *=+D. ||a b a b *=-10. Q 为有理数集，Q 上定义运算*为a b a b ab *=+-，则,Q 〈*〉的幺元为( )A. aB. bC. 1D. 011. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ （ ）A.数的加B.数的减C. 数的乘 (D) 数的除12. ,G 〈*〉是群，则对* ( )A. 满足结合律、交换律B. 有单位元，可结合C. 有单位元，可交换D. 每元有逆元，有零元13. 实数集R 的下列运算，哪个满足结合律？ ( ) A. n m n m -= B. ()n m n m +=21 C. n m n m 2+= D. 22n m n m +=14. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ ( )(A) 数的加 (B) 数的减(C) 数的乘 (D) 数的除15. 在代数系统中，整环和域的关系为 ( )A. 整环一定是域B. 域下一定是整环C. 域一定是整环D. 域一定不是整环16. 具有如下定义的代数系统,G *，哪个不构成群 ( )A. {1,10}G =，*是模11乘B. {1,3,4,5,9}G =， *同(1)C. G Q = (有理数集)，*是普通加法D. G Q =，*是普通乘法17. Q 为有理数集，,Q ⨯ (其中⨯为普通乘法)不能构成 ( )A. 群B. 独异点C. 半群D. 交换半群18.下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是 ( )（A ）a*b=a+2b （B ）a*b=a+b-ab（C ）a*b=a （D ）a*b=|a+b|19. 设I 是整数集，+，分别是普通加法和乘法，则,,I +是 ( )A. 域B. 整环和域C. 整环D. 含零因子环20. R 为实数集，运算*定义为：,a b R ∈，||a b a b *=，则代数系统,R *是( )A. 半群B. 独异点C. 群D. 阿贝尔群21. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的 ( )A. min(,)a b a b *=B. 3a b a b *=++C. 2a b a b *=+D. a b a b *= (mod3)22.为有理数集，Q 上定义运算*为：a b a b ab *=+-，则,Q *的么元是( )A. aB. bC. 1D. 023. 设,H ，,K 是群,G 的子群，下面哪个代数系统仍是,G 的子群( )A. ,HKB. ,H KC. ,H K -D. ,K H -24. 群,R +与{0},R -⨯ ( )A. 同态B. 同构C. 后者是的前者的子群D. (2)与(3)都正确25. 在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的 ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 2a b a b *=+D. ||a b a b *=-26. 循环群,I +的所有生成元为 ( )A. 1,0B. -1,2C. 1，2D. 1，-127. 任何一个有限群在同构的意义下可以看作是 ( )A. 循环群B. 置换群C. 变换群D. 阿贝尔群28. 下列集合关于指定的运算哪一个可以构成群？ （ ）(A) 给定a >0且1≠a ，集合{}Z n a G n ∈=关于数的乘法。
(B) 非负整数集N ，关于数的加法。
(C) 整数集Z ，关于数的减法。
(D) 一元实系数多项式集合，关于多项式乘法。
1. 在环中进行计算，则（a+b ）（a-b ）＝2. S 是一非空集合, P(S)是S 的幂集, 代数系统(),P S 中的幺元为3. 设群G ＝a 〈〉是15阶循环群，则子群H ＝3a 〈〉的元素是4. 在A={1,2,...,10}与运算×11( 模11乘)构成的群中，元素5的阶是5. 在代数系统,N +中， (其中N 为自然数集，+为普通加法)，仅有 有逆元．6. 给定环}5|,,x x I ∈+，其中I 是整数集，+和是普通的加法和乘法，它 整环．因为 ．7. 设代数系统6,V Z =〈⊗〉，其中⊗为模6乘法，那么V 中的幂等元是8. ,S *是独异点．对,a b S ∈，且,a b 均有逆元，则11()a --= ，9. 设S 是非空有限集，()P S 为S 的幂集，代数系统(),,P S 〈〉中，()P S 对 的么元为 ，零元为 ．10. ,G *是群，B G ⊆且B 是有限集，,B *是,G *的子群当且仅当 ·11. 设S 为非空有限集，代数系统2,S U 〈〉中么元为 ，零元为12.在A={1,2,...,10}与运算×11( 模11乘)构成的群中，元素5的阶是13. 设S 是非空有限集，()P S 为S 的幂集，代数系统(),,P S 〈〉中， ()P S 对的么元为 ，零元为 ． 14. 三阶群有 个(不同构)，其运算表为15.半群(),A ρ是独异点，因为有幺元A1. 设 ||2G >，且a G ∀∈，2a =e ，证明G 必含4阶子群．2. 己知G ＝｛1,2,3,4,5,6｝，7⨯为模7乘法．试说明7,G 〈⨯〉是否构成群?是否为循环群？若是，生成元是什么？3. 在乘法模7运算7*下，考虑群7,*G ，其中{}6,5,4,3,2,1=G , （1）求出7*的乘法表， （2）求1116,3,2---，（3）7,*G 是循环群吗？4. 试证明若,G 〈*〉是群，H G ⊆，且任意的a H ∈，对每一个x G ∈，有 a x x a *=*，则,H 〈*〉是,G 〈*〉的子群．5. 设S=R-{-1} (R 为实数集)，a b a b ab *=++．(1)说明,S 〈*〉是否构成群；(2)在S 中解方程237x **=．6. 若G 中只有一个2阶元，则这个2阶元一定与G 中所有元素可交换．7. 设代数系统V=A,的运算表如表所列，表a bc d a a b c db bc b dc c a b cd d a c c(1) 说明运算是否满足交换律、结合律、幂等律;(2) 求出运算的单位元和零元(如果存在)；(3) 求出所有可逆元素的逆元．8．设G={Q x x ∈且}1≠x ，定义xy y x y x -+= ，G y x ∈∀, 证明： ,G 是一个群。
9. 设,H 〈〉和,K 〈〉都是群,G 〈〉子群，问,H K 〈⋂〉和,H K 〈⋃〉是否是,G 〈〉 的子群，并说明理由．10. 设2,G Z =〈⊕〉是模2加群(1) 给出直积G G ⨯运算表；(2) 说明G G ⨯与哪个4阶群同构．11. 试画出集合A ＝{1，2，3，4，5，6}在偏序关系“整除”下的哈斯图，并分别求出：(1)集合A 的最大元、最小元、极大元和极小元；(2)集合B ＝{2，3，6}的上界、下界、最小上界、最大下界．。