多项式的整除性和带余除法教学提纲
第二次课 整除的概念
第二次课 整除的概念教学目标要求：理解多项式整除概念和性质,熟练掌握带余除法及整除的性质。
教学内容：１．带余除法定理和综合除法 ２．整除的概念 ３．整除的性质。
教学重点与难点：多项式整除的概念和性质,带余除法定理；带余除法定理的理论证明.．一、 带余除法与综合除法１．带余除法定理1 设f (x ), g (x )都是F [x ]中的多项式,且g (x )≠0,那么总可以在F [x ]中找到q (x )和r (x ),使得f (x )=g (x )q (x )+r (x )这里r (x )=0或者r (x )的次数小于g (x )的次数,满足以上条件的q (x )和r (x )只有一对. 证明 : 可行性若是f (x )=0或者f (x )的次数小于g (x )的次数,取q (x )=0,r (x )=f (x ),可使（2）式成立.若 0∂(f (x ))≥0∂(g (x )),令f (x )=a 0x n +a 1x n -1+…+a n -1x +a ng (x )=b 0x m +b 1x m -1+…+b m -1x +b m这里 a 0≠0,b 0≠0,且n ≥mg (x )=b 0x m +b 1x m -1+…+b m -1x +b m mn m n n n n n x a b x a b x f a x a n a x a ------+=++++110100101110)(1111111010)(n n n n a x a x a x f x a +++=+-2221,21220210)(n n n n a x a x a x f x a ++++-由此得： )()()(0101x g x a b x f x f m n ---=,)()()(01012x g x a b x f x f m n ---=,………………)()()(10,1101x g x a b x f x f m n k K k k ------=而 f k (x )=0或f k (x )=0的次数小于m ,把这些等式加起来得)())(()(110,1101010010x f x a b x a b x a b x g x f k m n k m n m n k ++++=-------- 取 )()(,)(110,1101010010x f x r x a b x a b x a b x q k m n k m n m n k =+++=-------- ,命题得证.唯一性：若还有q ’(x ),r ’(x ),使f (x )=g (x )q ’(x )+r ’(x ),则由f (x )=g (x )q (x )+r (x ),得g (x )(q (x )-q ’(x ))=r ’(x )-r (x ).。
小学数学教案学习除法的整除与余数
小学数学教案学习除法的整除与余数小学数学教案：学习除法的整除与余数【教学目标】1. 熟练掌握整除和余数的概念；2. 学会使用除法进行计算，并正确理解计算结果的含义；3. 能够运用所学知识解决实际问题。
【教学准备】黑板、白板、教具卡片、小白板、彩色粉笔、计算器。
【教学过程】一、导入老师用彩色粉笔写出一个算式“20 ÷ 4 = ?”，并强调除法是一种运算方法，用来平均分配或分组。
请学生思考并回答这个算式的含义和结果。
二、概念解释1. 整除：当一个数能够被另一个数整除时，我们就称前面的数为后面的数的倍数，并且没有余数。
2. 余数：当一个数不能被另一个数整除时，我们进行除法运算时得到的剩余数就是余数。
三、例题讲解1. 老师设计一个例题：“36 ÷ 6 = ?”，请学生思考并回答这个算式的含义和结果。
然后进行解答，解释36被6整除得到的商为6，没有余数。
2. 老师设计另一个例题：“27 ÷ 5 = ?”，请学生思考并回答这个算式的含义和结果。
然后进行解答，解释27被5整除得到的商为5，余数为2。
强调余数表示无法完全平均分配或分组的数量。
四、巩固练习老师分发教具卡片，每张卡片上有一个除法算式。
学生们需要根据算式计算商和余数，并在小白板上写出算式和结果。
然后轮流回答问题，并解释自己的答案。
五、拓展应用老师提供一些实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
例如：“班级里有27个学生，老师要将他们平均分成5个小组，每个小组应该有多少人？是否能够完全平均分配？如果不能，会有多余的人分在哪个小组？”学生们用除法算出每组应有的人数为5人，余数为2人，最后一个小组多余2人。
【教学总结】老师对本节课的内容进行总结，强调整除的概念、余数的含义以及学生们的学习成果。
提醒学生在日常生活中多运用除法进行计算，加深对整除和余数的理解。
【课后作业】完成课堂练习题，巩固所学知识。
同时，观察生活中的分配和分组情况，并尝试用除法进行计算和分析。
多项式的整除性和带余除法
多项式整除性理论主要讨论任给两个多项式 f(x),g(x), 是否有 g(x) 整除f(x)以及与此相关的多项式的最大公因式, 多项式的因式分解等问题. 在讨论一元多项式的整除性理论时,带余除法是 一个重要定理, 它给出了判断多项式 g(x)能否整除多项式f(x)的一个有效方法; 并且是讨论一元多项式的最大公因式及多项式根的理论基础.
如果f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意多项式u(x),v(x) 都有f(x)|(u(x)g(x)+v(x)h(x));
为什么?
多项式的整除不是运算, 它是Ｆ[x]元素间的一种关系, 类似于实数集 R 元素间的大小关系, 相等关系; 多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的.即当数域扩充时, 作为扩充后的数域上的多项式 f(x)和g(x), g(x)
g(x)≠0, g(x)│f(x)等价于 g(x)除 f(x)的余式零.
q(x)和r(x)的求法与中学的方
法基本相同. 在做除法时, 可
由定义不难看出 零多项式被任意一个多项式整除; 零多项式不能整除任意非零多项式; 任意多项式一定整除它自身. 零次多项式(非零常数)整除任意多项式. 当g(x)≠0时,由带余除法定理得到 Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)≠0, 则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.
多项式的整除性和带余除法
带余除法定理:对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中(g(x)≠0,一定有P[x]中的多项式q(x)和r(x)存在,使得
Definition5.(整除的定义)
称P[x]上的多项式g(x) 整除f(x),如果存在P[x]上的多项式h(x), 使得
一元多项式的定义和运算讲解
令f (x)是F [x]的一个次数大于零的多项式，并且
此处
定理 2.4.2
例 在有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积.容易看出
（2）
一次因式x + 1自然在有理数域上不可约.我们证明， 二次因式 也在有理数域上不可约.不然的话, 将能写成有理数域上两个次数小于2的因式 的乘积，因此将能写成
这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述
若多项式 有一个非平凡因式 而 ，那么 与 的次数显然都小于 的次数.反之，若 能写成两个这样的多项式的乘积，那么 有非平凡因式.因此我们可以说：
这里
多项式的减法
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律:
（2）加法结合律:
（3）乘法交换律:
（4）乘法结合律:
（5）乘法对加法的分配律:
注意：
要把一个多项式按“降幂”书写
当
时，
叫做多项式的首项.
2.1.6 多项式的运算性质
定理
是数环R上两个多项式,并且
定义 2
设 是多项式 与 的一个公因式.若是 能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做 与 的一个最大公因式.
定义 1
的任意两个多项式 与 一定有最大公因式.除一个零次因式外, 与 的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若 是 与 的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数 c与 的乘积 ，而且当 与 不全为零多项式时，只有这样的乘积是 与 的最大公因式.
由此得出，
是
与
的最大公因式，而
定理 2.3.3
的两个多项式 与 互素的充分且必要条 件是：在 中可以求得多项式 与 ，使
多项式整除
例3．求实数 m , p, q 满足什么条件时多项式
x mx 1 整除多项式 x 3 px q.
2
附：整数上的带余除法
对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r， 使 a＝qb＋r，
其中 0 r b .
q x g x r x q x g x r x
即
q x －q x g x ＝r x －r x .
若q x q x ，由g x 0, 有r x －r x 0
4 2i 5 2i
9 8i 9 8i
１ 有
f ( x ) g( x ) x 2 2ix 5 2i 9 8i .
例２.
把 f ( x ) x 表成 x 1的方幂和．
5
０ ０ ０ ０ ０ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １= c0 2 3 4 １ 2 3 4 5= c1 １ １ 1 3 6 3 6 10= c2 １ １ 1 4 4 10= c3 １ １ 1 1 5= c4 x 5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1) 1
g( x ) | f ( x ) h2 x 使得 f ( x ) g ( x )h2 x .
f ( x ) h1 x h2 x f ( x ).
若 f ( x ) 0,
则 g ( x )＝0,
f ( x )＝cg( x )，c P ,c 0
② g ( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g ( x ) | f ( x ).
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
多项式的整除性和带余除法-课件（PPT 演示）
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
原题目：多项式的整除性质
原题目：多项式的整除性质
多项式的整除性质
在代数学中，多项式的整除性质是一种非常重要的属性。
它描
述了多项式之间的除法关系。
本文将介绍多项式的整除性质及其应用。
定义
设A(x)和B(x)是两个多项式，如果存在另一个多项式C(x)，
使得A(x) = B(x) * C(x)，则称B(x)可以整除A(x)，记作B(x) | A(x)。
整除定理
多项式的整除性质可以通过整除定理来描述。
整除定理指出，
当B(x)是一个一次多项式，即B(x) = ax + b，并且B(x)整除A(x)时，A(x)在x = -b/a时取值为零。
应用
多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
一些重要的应用包括：
1. 确定多项式的公因式：如果B(x)整除A(x)，则B(x)是A(x)的一个公因式。
这可以用来简化多项式、分解多项式或找到多项式的根。
2. 带余除法：根据整除性质，可以使用带余除法来将一个多项式除以另一个多项式。
带余除法是一种有效的算法，可以用于多项式的除法运算。
3. 多项式的因式分解：利用多项式的整除性质，可以将一个多项式因式分解为较低次数的多项式乘积的形式。
这在代数学和数值计算中都是非常重要的操作。
4. 多项式的最大公因式：通过利用多项式的整除性质，可以求解多项式的最大公因式。
最大公因式是两个或多个多项式共有的最高次数的公因式。
总结
多项式的整除性质是一种重要的代数属性，它描述了多项式之间的除法关系。
整除定理提供了判断多项式整除性的方法，而多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
《高等代数》电子教案——4.1整数的一些整除性质
第4章 多项式4.1整数的一些整除性质教学内容：4.1整数的一些整除性质教学目标：掌握整除的性质及带余除法，掌握最大公因数与互素的概念及互素的一些简单性质授课时数：2学时教学重点：整除的性质、带余除法、最大公因数存在定理教学难点：带余除法定理及最大公因数存在定理的证明（定理4.1.1与定理4.1.2的证明）教学过程：一、整数的整除1、整除的定义定义1 设,a b 是两个整数。
如果存在一个整数q 使得b aq =，则称a 整除b ，或称b 被a 整除，记作|a b ，也说a 是b 的因数，b 是a 的倍数。
如果对任意整数q ，都有b aq ≠,则称 a 不整除，记作|a b 。
注：用乘积的等式来定义整除，给后面的讨论带来方便，这是研究方法上的一个进步。
例1 3|6,3|6,5|11,0|0,0|(0),|0.b b a -≠2、整除与除法的区别除法中不能用0作除数；由于整除是由乘积的等式来定义的，有0|0。
二．整除的基本性质根据定义，容易推出整除的基本性质：1）若|,|,a b b c ,则|a c 。
2）若|,|a b a c ,则.|()a b c +。
3）若|,a b c Z ∈,则|a bc 。
4）若|,1,2,,i a b i n = ，,对任意12,,,n c c c Z ∈ ,则有1122|()n n a b c b c b c +++ 。
* 4）是2、3）的推广5）对于任意整数a 有，|0,1|,|a a a a ±±。
6）若|a b 且|b a ，则|b a ±。
6）的证明：按定义，存在整数,c d ，使得,b ac =且a bd =。
将b ac =代入a bd =，有()()a bd ac d a cd ===。
若0a =，则0b ac a ===；若0a ≠，则由消去律得1ad =，因此1c d ==±，于是|b a ±。
例2 若3|n ，且7|n ，则21|n 。
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都有
g(x)|u(x)f(x);
• 5.如果f(x)|g(x)(x),v(x) 都有
f(x)|(u(x)g(x)+v(x)h(x));
值得注意的是:
多项式的整除不是运算, 它是Ｆ[x]元素间 的一种关系, 类似于实数集 R 元素间的大小 关系, 相等关系;
多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的. 即当数域扩充时, 作为扩充后的数域上的多项 式 f(x)和g(x), g(x)
r(x)称为g(x)除f (x)的余式.
• Definition5.(整除的定义)
• 称P[x]上的多项式g(x) 整除f(x),如果 存在P[x]上的多项式h(x), 使得
f (x) g(x)h(x)
成立.
用g(x) | f (x)表示g(x) 整除 f (x),
用g(x) | f (x)表示g(x)不能整除f (x).
当g(x) | f (x) 时, 称g(x)为 f (x)的因式,
称f (x)为g(x)的倍式.
▲g(x)≠0, g(x)│f(x)等价于 g(x) 除 f(x)的余式零.
▲q(x)和r(x)的求法与中学的方
法基本相同. 在做除法时, 可以 分离系 数, 因为ｎ次多项
式是由它的ｎ＋1 个系数唯一确 定的, (做除法时按降幂排列).
c | an
a n 1 cbn1
an2 cbn2
a1 cb1
bn1 bn2 bn3 b0
a0 cb0
r
EXAMPLE3. 用综合除法求,用x 3除
f (x) x 4 2x2 5x 94 的商式和余数.
解 : 作综合除法:
3 | 1 0 2 5 94
3 9 33 114
1 3 11 38 20 所以 q(x) x3 3x 2 11x 38
EXAMPLE3. 设
2x3 x2 3x 5
a(x 2)3 b(x 2)2 c(x 2) d
求a,b, c, d的值。
课堂小结
• 1.整除的概念及性质 • 2.带余除法定理 • 3.整除的定义及性质 • 4.整除与带余除法的关系 • 5.综合除法原理
• 作业： • 认真复习总结所学知识，作学习笔记； • P－44－2、3、4
f(x)的余式为零.
• 整除性的几个常用性质:
• 1.任一多项式 f(x)都能被 cf(x) 整除
• 2.如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),则
f(x)=cg(x)(c≠0);
• 3.如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),则
f(x)|h(x);
• 4.如果g(x)|f(x),则对任意多项式u(x)
r f (3) 20
EXERCISES2. 设f (x) 2x3 x 2 3x 5 用综合除法求 f (2). EXERCISES3. 求用 (x i) 除 f (x) x 4 2ix3 (1 i)x 2 3x 7 i 的商式与余数. *结论 : f (c) 0 (x c) | f (x)
由定义不难看出 1.零多项式被任意一个多项式整除; 2.零多项式不能整除任意非零多项式; 3.任意多项式一定整除它自身. 4.零次多项式(非零常数)整除任意多项式.
当g(x)≠0时,由带余除法定理得到
Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式 f(x)与g(x),其中g(x)≠0, 则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除
除f(x)的商式和余式仍
然是上面的q(x)和r(x).
EXAMPLE1 . 实数 m, p, q 满足什么条件时,
多项式 x2 mx 1 能 整除x4 px q ?
EXA2. 求 l, m，使f (x) x3 lx2 5x 2
能被g(x) x2 mx 1整除.
2.4
EXERCISES. 设P是一个数域, a P.
1-3 多项式的整除性和带余除法
多项式整除性理论主要讨论任给两个多项式 f(x),g(x), 是否有 g(x) 整除f(x)以及与此 相关的多项式的最大公因式, 多项式的因式 分解等问题.
在讨论一元多项式的整除性理论时,带余 除法是 一个重要定理, 它给出了判断多项
式 g(x)能否整除多项式f(x)的一个有效方法; 并且是讨论一元多项式的最大公因式及多项 式根的理论基础.
证明 : x a | (xn an)
• 补充:综合除法
设 f (x) an x n an1 x n1 a1 x a0 f (x) (x c)q(x) r
q( x) bn1 x n1 bn2 x n2 b1 x b0 比较系数, 有
an bn1 , an1 bn2 cbn1 , , a0 r cb0 我们得到综合除法
• 带余除法定理:对于P[x]中任意两个 多项式f(x)与g(x),其中(g(x)≠0, 一定有P[x]中的多项式q(x)和r(x)
存在,使得
f (x) q(x)g(x) r(x)
成立,其中(r(x)) (g(x)) 或者, r(x) 0,
并且这样的 q(x),r(x) 是唯一决定的.
其中q(x)通常称为g(x)除f (x)的商,